1104024132006.1 CEB RSEL TOPOLOJ F NAL SINAVI Süre 90

20.01.2016
Ö§renci No:
Ad-Soyad:
mza:
Soru
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Toplam
Puan
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
105
Alnan Puan
1104024132006.1 CEBRSEL TOPOLOJ FNAL SINAVI
Süre 90 dakika. stedi§iniz 7 soruyu cevaplaynz.
1. a)
1S 1
birim dönü³ümü ile
∀z ∈ S 1
için
α(z) = −z
ile tanmlanan antipodal dönü³ümün
homotop oldu§unu gösteriniz.
b) Her
Cevap:
f : X → D2
sürekli dönü³ümünün nullhomotop oldu§unu ispatlaynz.
2. Öyle bir
X, Y
topolojik uzaylar ve
surjektif olmasn ancak
f∗
f :X→Y
sürekli dönü³üm bulunuz ki
f
injektif olsun,
f
dönü³ümünün
surjektif olsun, injektif olmasn.
Cevap:
3.
f : S1 → S1
p : S1 → S1,
Açklaynz.
Cevap:
sürekli dönü³ümünün derecesinin
p(z) = z 3
6
oldu§u biliniyor. Buna göre
örtü dönü³ümüne ba§l olarak sürekli bir yükseltilmi³i var mdr?
4. a)
b)
Π1 (X) = {0}
X
ve
Y
olacak ³ekilde büzülemeyen bir
X
topolojik uzay örne§i veriniz.
uzaylar büzülebilir ise ayn homotopi tipine sahiptirler, açklaynz.
Cevap:
5.
Π1 (X) = Z3
Cevap:
olan bir
X
uzay için
p : X → D2
örtü dönü³ümü tanmlanabilir mi? Açklaynz.
6. E§er
A ve B
kümeleri
X
uzaynn deformasyon retrakt iseler
A ile B
nin ayn homotopi tipine
sahip oldu§unu ispatlaynz.
Cevap:
7.
A ⊆ R3
alt kümesi,
n = 1, 2, 3, · · ·
birle³imi olsun. Bu durumda
Cevap:
A
olmak üzere
( n1 , 0, 0)
merkezli ve
1
n
yarçapl kürelerin
alt uzaynn basit ba§lantl oldu§unu açklaynz.
8.
X
a³ikar topolojik uzay için
Π1 (X) = {0}
oldu§unu ispatlaynz.
Cevap:
9.
e →X
p:X
örtü dönü³ümü olsun. E§er
mas örten ise bu durumda
Cevap:
p
e x
p∗ : Π1 (X,
f0 ) → Π1 (X, x)
indirgenmi³ homomorz-
örtü dönü³ümünün homeomorzma oldu§unu gösteriniz.
10.
X
ba§lantl, yerel yol ba§lantl ve
sonlu yaprak says varsa bu durumda
e →X
p:X
e
X
örtü dönü³ümü olsun.
X
kompakt ve
p
nin
nn da kompakt olaca§n ispatlaynz.
Cevap:
Ba³arlar Dilerim.
Prof. Dr. smet KARACA