A - Belirsiz (sınırsız) integral.qxp - Soruhane.com

BÖLÜM 7
ÝNTEGRAL
1. Belirsiz (Sýnýrsýz) Ýntegral
~ Belirsiz Ýntegralin Özellikleri
~ Ýntegral Alma Kurallarý
~ Trigonometrik Fonksiyonlarýn Ýntegrali
~ Basit Deðiþken Deðiþtirme Yöntemleri
~ Alýþtýrmalar 1
~ Test 1
~ Kýsmi (Parçal) Ýntegrasyon Yöntemi
~ Kesirli (Rasyonel) Fonksiyonlarýn Ýntegrali
~ Köklü Fonksiyonlarýn Ýntegrali
~ Trigonometrik Fonk. Cinsinden Rasyonel Olarak
Ýfade Edilen Fonksiyonlarýn Ýntegrali
~ Alýþtýrmalar 2
~ Test 2
2. Belirli (Sýnýrlý) Ýntegral
~ Belirli Ýntegralin Özellikleri
~ Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Ýntegrali
~ Alýþtýrmalar 3
~ Test 3
3. Ýntegralin Uygulamalarý
~ Eðri Altýndaki Alan (Ýki Eðri Arasýnda Kalan Alan)
~ Hacim Hesabý
~ Alýþtýrmalar 4
~ Karma Testler 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10
~ ÖSYM Sorularý
Öðrenmenin zevki
Tarihin en ünlü filozoflarýndan biri olan Sokrates (MÖ.470 - MÖ.399), Atina
kanunlarýna göre yargýlanýp ölüme mahkûm edildi.
Sokrates’i son kez görmeye gelen öðrencilerinden birinin elinde bir saz gördü.
Sazýn nasýl çalýnacaðýný öðrenmek istediðinde öðrencisi hayretle:
“Üstadým! Ama nasýl olur? Az sonra zehiri içeceksiniz, çalmaya vaktiniz
olmayacak ve bir zevk duymayacaksýnýz.” dedi.
Sokrates, ölümden önce son dersini verdi:
“Evladým! Asýl zevk çalmakta deðil, çalmayý öðrenmektedir...”
Ýddia
iki matematikçi aralarýnda tartýþmaktadýr. Bunlardan biri aslýnda matematiði
herkesin az çok bildiðini iddia ederken, diðeri de öyle olmayýp sadece eðitimini
almýþ insanlarýn bildiðini savunmaktadýr. Sonunda bu meseleyi tartýþarak halledemeyeceklerinin farkýna varýrlar ve teklifte bulunur herkesin bildiðini iddia eden:
- Þurada restoran var. Girelim oraya ve ordaki garson kýza x’in integralini
soralým. Kabul ediyor musun?
Diðeri hemen kabul eder. Öyle ya x’in integralini bilen kaç tane garson kýz
vardýr ki? Ne var ki, bu tartýþmayý planlamýþ bulunan diðeri daha önceden garson
kýza gidip, ona bir miktar karþýlýk önererek kendisine sorulacak olan soruya
2
x
2
cevabý vermesi hususunda anlaþmýþtýr. Neyse, gelirler restorana ve o kýzý görüp
yanýna gelirler. Kýza:
- Afedersiniz, size bir soru sorabilir miyiz?
derler. Kýz kabul edince de soruyu sorarlar. Garson kýz pek fazla düþünmeden:
-
2
x
2
diye cevap verir. Biri kazanmanýn sevinci, biri de kaybetmenin hüznüyle teþekkür
ederek ayrýlýrken garson kýz sonradan seslenir:
- Bir de C sabiti var...
Belirsiz (Sýnýrsýz) Ýntegral
Örnek
BELÝRSÝZ (SINIRSIZ) ÝNTEGRAL
1.
2.
ý
f (x) = 2x ve f(2) = 5 ise
f(x) fonksiyonunu bulunuz.
Ýntegralin iki anlamý vardýr.
Türevi verilen bir fonksiyonun aslýný bulma
anlamýna gelen belirsiz integraldir. Burada
türevi alýnmýþ bir fonksiyonun ilkelinin
(önceki halinin) nasýl bulunacaðý incelenecektir. Yapýlacak bu iþleme integral
alma veya fonksiyonun ilkelini bulma iþlemi denir. Bu yönüyle integral türevin
aynadaki görüntüsü olarak adlandýrýlýr.
Ýntegral toplamlar bütünü ya da sonsuz
tane küçük parçalardan oluþan bütün
anlamýna gelen belirli integraldir.
Çözüm
dy
= 2x Burada içler dýþlar çarpýmý
dx
yapýldýðýnda,
f ý (x) =
dy = 2x .dx
∫ dy = ∫ 2x dx
ise y = x 2 + c bulunur.
y = f(x) = x 2 + c ise
f(2) = 2 2 + c = 5 ⇒ c = 1 bulunur.
O halde f(x) = x 2 +1 dir.
y
Taným :
Türevi f(x) veya diferansiyeli f(x).dx olan
F(x) ifadesine f(x) in belirsiz (sýnýrsýz) integrali denir.
y=2x2 + 2
y=2x2 + 1
y=2x2
y=2x2 − 1
y=2x2− 2
∫ f(x) dx = F(x) þeklinde gösterilir.
x
⇔
d
.F(x) = f(x) dir.
dx
ise
ise
ise
y ý = 2x
y ý = 2x
y ý = 2x
~
Bu türevleri tersinden düþünelim.
~
F(x) =
∫ f (x)dx
y = x2
y = x 2 +10
y = x 2 –64
dy
yý =
= 2x
dx
veya integral eðrileri denir. Bu eðriler sonsuz tanedir ve birbirine paraleldir.
seçilmesi demektir.
Tanýmda Türev ile Ýntegral iþlemleri birbirinin bir bakýma tersidir demiþtik. Bunu
biraz açýklayalým.
⇒ y = x2 + c
y = f(x) in türevi
Yukarýda 3 ayrý fonksiyonun türevi alýndýðýnda tek bir fonksiyon elde edildiðini
(sabitin türevi sýfýr olduðundan) biliyoruz.
Bu türevi alýnmýþ fonksiyonlarýn integralleri
alýndýðýnda ayný fonksiyonu elde edebilmek için bir C sabitinin olduðunu düþünmek zorundayýz. Tamamen keyfi bir deðer
olan bu C sabitine integral sabiti denir.
Demekki
∫ f(x)dx
Ýntegral sabitinin verilen bir þarta göre
bulunmasý sonsuz tane eðriden birinin
ise dy = 2x .dx dir.
Her iki tarafýn integralini alalým.
∫ dy = ∫ 2x .dx
Yukarýdaki eðrilere F(x) in ilkeller ailesi
f ý (x) =
f(x) =
dy df
d
f(x) dir.
=
=
dx dx dx
d
∫ f (x)dx = ∫ dx f(x).dx
ý
∫
∫
= d f(x) = dy dir.
Buna göre,
integralinin hesaplan-
masý, türevi f(x) olan fonksiyonun bulun-
∫dx = x + c
masýdýr.
O halde belirsiz integrallerde mutlaka bir
integral sabitinin varlýðýný unutmamalýyýz.
∫ dy = y + c
297
Belirsiz (Sýnýrsýz) Ýntegral
5.
∫ dk = k + c
∫ d f(x) = f(x) + c
A)
Bir fonksiyonun diferansiyelinin integrali
bu fonksiyona bir C ∈ R keyfi sabiti eklenerek bulunur.
∫ d F(x) = F(x) + c
Gerçekten;
BELÝRSÝZ ÝNTEGRALÝN ÖZELLÝKLERÝ
∫ dF(x) = ∫ F (x) = ∫ f(x)dx
ý
∫
f(x) dx = F(x) + c
= F(x) + c bulunur.
belirsiz integralin tanýmýndan aþaðýdaki
özellikler vardýr.
Örnek 1
1.
Sabit bir çarpan integral dýþýna çýkabilir.
d ⎡
dx ⎢⎣
∫ c f(x) dx = c ∫ f(x)dx dir.
2.
Ýntegral
sahiptir.
∫
operatörü
3
+ 2)dx ⎤ = x 3 + 2
⎥⎦
Örnek 2
özelliðine
d ⎡
dx ⎢⎣
⎤ 2x + 1
dx ⎥ = 2
+3
⎦ x +3
2x + 1
∫x
2
⎡⎣f(x) + g(x) − h(x)⎤⎦dx =
=
3.
daðýlma
∫ (x
Örnek 3
∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx − ∫ h(x)dx
d ⎡
(1 + cos x)dx ⎤⎥ = 1 + cos x
dx ⎢⎣
⎦
∫
Belirsiz integralin türevi integraline eþittir.
∫
(f(x)dx ) ý = f(x)
d ⎡
dx ⎢⎣
∫
Örnek 4
veya
d
∫ d(sin x) =∫ dx sin x .dx = sin x + c
f(x)dx ⎤ = f(x) dir.
⎥⎦
Örnek 5
4.
Belirsiz integralinin diferansiyeli integral
sembolü altýndaki ifadeye eþittir.
d
d
dx
∫ d(x
2
+ 3x + 5) =
∫ f(x)dx = f(x)dx
d 2
(x + 3x + 5)
dx
= 2x + 3
Örnek 6
Gerçekten;
d
f(x) =
d
∫ f(x)dx = dx ⎡⎢⎣∫ f(x)dx ⎤⎥⎦ dx
=
ý
∫ d(x
2
− 1) ise f (4) ün deðeri kaçtýr?
∫ d(x
2
− 1) = x 2 − 1
Çözüm
d
[F(x) + c]dx
dx
f(x) =
f(x) = x 2 − 1 ⇒ f ý (x) = 2x
= F ý (x)dx
f ý (4) = 2.4 = 8 dir.
= f(x)dx dir.
298
Belirsiz (Sýnýrsýz) Ýntegral
Örnek 7
Örnek 11
∫
f(x) = (x 3 − x + 3)dx ise f (1) in deðeri kaçtýr?
ý
Çözüm
ý
∫
F(x) =
x−5
dx ise
x−3
ý
F (2) nin deðeri kaçtýr?
ý
f (x)=x 3 –x+3 ⇒ f (1)=1–1+3 = 3 bulunur.
Çözüm
Örnek 8
∫
Fý (x) =
x −5
dir. Buna göre
x −3
Fý (2) =
2−5
−3
−3
=
=
= −3 bulunur.
2−3
1
−1
f(x) = (x 2 − 3x + 1)dx ise,
f(x) fonksiyonunun x=4 noktasýndaki
teðetinin eðimi kaçtýr?
Çözüm
Örnek 12
f(x) =
∫
f ý (x)dx olduðunu hatýrlatýrsak,
f(x) =
ý
f (x) = x 2 – 3x +1 dir.
mx + n
∫ ax + 2bdx ise
⎛3⎞ n
f ý ⎜ ⎟ = + 1 ise m ∈ IR deðeri kaçtýr?
⎝2⎠ 3
x = 4 noktasýndaki teðetin eðimi ise;
ý
f (4)=4 2 – 3.4 + 1 = 5 bulunur.
Çözüm
Örnek 9
f ý (x) =
∫
2
f(x) = (x − 4x + 5)dx
ise
ý
Çözüm
Tanýma göre,
ý
ýý
f (x) = x 2 – 4x + 5 ⇒ f (x) = 2x – 4 ise,
2x – 4 = 0
x = 2 dir.
x = 2 apsisli nokta f(x) in dönüm (büküm)
noktasýdýr.
3m
+n
n+3
2
=
ise
3
3
3m
3m
+ n = n + 3 ise
=3
2
2
Buradan m = 2 bulunur.
Örnek 13
Örnek 10
∫ f(2x + 3)dx = x
x . f(x).dx = 2x 2 − 3x + 2 ise
2
+ 2x + c olduðuna göre
f(x) ve f(5) in deðeri kaçtýr?
f(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
Her iki tarafýn türevini alalým.
Çözüm
Ýntegrali alýnan bir fonksiyonun türevini
aldýðýmýzda ilkelini buluruz.
d
dx
Buna göre;
d
∫ f(2x + 3)dx = dx (x
2
+ 2x + c)
f(2x + 3) = 2x + 2
x . f(x) = (2x 2 − 3x + 2)ý
⎡ ⎛ x −3 ⎞
⎤
⎛ x −3 ⎞
f ⎢2 ⋅ ⎜
⎟ + 3⎥ = 2 ⎜
⎟+2
2
⎠
⎝ 2 ⎠
⎣ ⎝
⎦
x . f(x) = 4x − 3
f(x) =
dir. Buna göre
3
m⋅ + n
n
⎛3⎞
2
= +1
f ⎜ ⎟=
c
f
2
3
⎝ ⎠ d + g 3
2g
d
ed 2
hg
f(x) fonksiyonunun dönüm noktasýnýn
apsisi kaçtýr?
∫
mx + n
ce x + 2 fh
4x − 3
3
= 4 − bulunur.
x
x
f(x) = x − 1 ⇒ f(5) = 4 bulunur.
299
Belirsiz (Sýnýrsýz) Ýntegral
B)
Örnek 7
ÝNTEGRAL ALMA KURALLARI
Bazý fonksiyonlarýn belirsiz integralini (ilkelini) türev alma kurallarýndan yararlanýlarak doðrudan bulabiliriz.
Ýntegral alma iþlemi yapýlýrken integral
operatörü altýndaki fonksiyon acaba hangi
ilkel fonksiyonun türevidir düþüncesinden
hareket edilerek yapýlýr.
1.
∫
3 2
x dx =
=
∫
dx
2
+1
x3
+c =
2
+1
3
+c
Örnek 8
xn+1
+c
n+1
∫ (3x
2
)
− 2x + 7 dx = 3 ⋅
x3
x2
−2⋅
+ 7x + c
3
2
= x 3 − x 2 + 7x + c
Örnek 9
x 3 +1
x4
+c =
+c
x dx =
3 +1
4
3
∫
Örnek 2
∫
5
3
3 3
x + c bulunur.
5
Örnek 1
∫
5
x3
5
=
n ∈ Z ve n ≠ −1 olmak üzere
x n dx =
∫
2
3
x
∫
∫
3
+1
1+
1
2
dx
5
x2
2
=
+ c = x2 + c
3
5
+1
2
0 +1
x
+ c = 5x + c
5dx = 5 ⋅
0 +1
Örnek 10
Örnek 3
x1+1
∫ 2x dx = 2 ⋅ 1+ 1 + c = x
2
∫ x ⋅ dt = x ⋅ t + c
+c
Örnek 11
Örnek 4
∫x
1
x ⋅ x dx = x ⋅ x 2 dx = x
−2
dx =
∫ ax dy = ax y + c
x −2 +1
x −1
1
+c =
+c = − +c
−2 + 1
−1
x
Örnek 12
Örnek 5
∫ dx = ∫ 1⋅ dx = x + c
x3
3x − 2 dx = 3 ⋅
− 2x + c
3
∫(
)
2
Örnek 13
= x 3 − 2x + c
∫
Örnek 6
dx
∫x =∫
4
=
1
−
2x 2 − x
dx = (2x + x 2 )dx
x
∫
1
− +1
x −4 +1
+c
x dx =
−4 + 1
x2 x 2
= 2⋅
+
+c
1
2
− +1
2
−4
x −3
1
+c = −
+c
−3
3x 3
= x2 + 2 ⋅ x + c
300
Belirsiz (Sýnýrsýz) Ýntegral
Örnek 14
∫
Çözüm
f(x) =
∫
(x − 2)2 dx = (x 2 − 4x + 4)dx
∫ f (x)dx = ∫ (3x
ý
x3
x2
=
− 4⋅
+ 4x + c
3
2
f(x) = 3 ⋅
)
− 2x + 1 dx
x3
x2
−2⋅
+x +c
3
2
f(x) = x 3 − x 2 + x + c ise
f(1) = 13 − 12 + 1 + c = 5 ise c = 4
Örnek 15
∫ (8x
2
3
olduðundan f(x) = x 3 − x 2 + x + 4 elde edilir.
2
− 3x + 2x − 5) dx
Örnek 19
x4
x 3 2x 2
− 3⋅
+
− 5x + c
4
3
2
= 8⋅
f ý (x) = 4x 3 + 2x − 3 ve f(2) = 10 ise
= 2x 4 − x 3 + x 2 − 5x + c dir.
f(1) in deðeri kaçtýr?
Çözüm
Örnek 16
∫
f(x) =
2
⎛x
2 ⎞
− 2 ⎟ dx =
⎜
2
x ⎠
⎝
=
∫
⎛1 2
−2 ⎞
⎜⎝ x − 2x ⎟⎠dx
2
∫ f (x)dx = ∫ (4x
ý
f(x) = 4 ⋅
1 x3
x −1
1
2
−2
+ c = x3 + + c
2 3
−1
6
x
)
+ 2x − 3 dx
x4
x2
+2⋅
− 3x + c
4
2
f(x) = x 4 + x 2 − 3x + c ise
f(2) = 2 4 + 2 2 − 3 ⋅ 2 + c = 10
14 + c = 10 ⇒ c = −4
Örnek 17
∫
3
2x − 3
x
dx =
=
∫
∫
=2
f(x) = x 4 + x 2 − 3x − 4 ⇒ f(1) = −5 bulunur.
⎛ 2x
3 ⎞
⎜⎝ x − x ⎟⎠ dx
1
1
⎛
−
− ⎞
⎜ 2 ⋅ x ⋅ x 2 − 3 ⋅ x 2 ⎟ dx
⎜⎝
⎟⎠
∫
1
x2
1
dx − 3
+1
∫
−1
x2
Örnek 20
d
⋅ f(x) = 12x 3 − 3x 2 + 2x ve f(1) = 6 ise
dx
dx
f(0) ýn deðeri kaçtýr?
1
− +1
Çözüm
x2
x 2
= 2⋅
−3
+c
1
1
+1
− +1
2
2
3
f ý (x) = 12 x 3 − 3x 2 + 2x
∫ f (x)dx = ∫ (12 x
ý
1
2
= 2⋅ x2 − 3⋅2x2 + c
3
=
f(x) = 12 ⋅
4 3
x −6 x +c
3
3
)
− 3x 2 + 2x dx
x4
x3
x2
−3⋅
+2⋅
+c
4
3
2
f(x) = 3x 4 − x 3 + x 2 + c
f(1) = 3 − 1 + 1 + c = 6 ⇒ c = 3
Örnek 18
ý
o halde f(x) = 3x 4 − x 3 + x 2 + 3 ⇒ f(0) = 3
2
f (x) = 3x − 2x + 1 ve f(1) = 5 olduðuna göre
bulunur.
f(x) fonksiyonunu bulunuz.
301
Belirsiz (Sýnýrsýz) Ýntegral
Örnek 8
2.
∫
ý
f (x)
dx = ln f(x) + c
f(x)
1
∫ x dx = ln
⎛ 3
x +c
1
⎞
2
3
= 3 ⋅ ln x + 2 / 3.ln 3x + 4 + c
Örnek 9
Örnek 1
∫
2
∫ ⎜⎝ x + 3x + 4 ⎟⎠ dx = 3 ∫ x dx + 3 ∫ 3x + 4 dx
5
dx = 5
x
∫
∫
1
dx = 5 ⋅ ln x + 3
x
3e x + 3
ex + x
dx = 3
ex + 1
∫e
x
+x
dx = 3 ln e x + x + c
Örnek 10
Örnek 2
∫
3
dx = 3
x +1
∫
cos x
dx = ln sin x + c
sin x
∫ cot anx dx = ∫
1
dx = 3 ⋅ ln x + 1 + c
x +1
Örnek 11
Örnek 3
∫x
cos x
2x
2
∫ 1+ sin x dx = ln 1 + sin x
2
+7
dx = ln(x + 7) + c
+c
Örnek 12
∫ 3x
Örnek 4
∫x
2x − 3
2
− 3x + 7
x −1
− 2x
dx =
=
1
2
2x − 2
∫x
2
− 2x
dx
x
2
−4
∫x
2
dx −
∫x
2
2
+
1
ln x 2 − 2x + c
2
2⎞
⎟ dx =
x⎠
∫ 3x
2
dx + 2
∫x
1
∫ x dx
3.
= x 3 + 2.ln x + c
x
2
−4
sin x
2
−4
=?
− sin x
= − ln cos x + c
cos x
=
x−2
∫x
2
−4
dx
1
∫ x + 2 dx = ln x + 2 + c
a, p, q ∈ R + , a ≠ 1 ise
apx +q
+c
p ⋅ lna
∫a
dx =
∫e
dx = e x + c
px + q
Örnek 7
∫ cos x dx = − ∫
−4
Çözüm
Örnek 6
⎛
2
dx −
=
∫ ⎜⎝ 3x
dx = ln 3x 2 + x + 5 + c
Örnek 13
∫x
2
+x+5
dx = ln x 2 − 3x + 7 + c
Örnek 5
∫x
6x + 1
2
x
(e x fonksiyonunun türevi integraline eþittir.)
302
Belirsiz (Sýnýrsýz) Ýntegral
Örnek 1
∫3
4.
x
dx =
3
+c
1⋅ ln 3
Trigonometrik fonksiyonlarýn integralini
almak için aþaðýdaki formüllerin bilinmesi
gerekir.
Örnek 2
∫
TRÝGONOMETRÝK
FONKSÝYONLARIN ÝNTEGRALÝ
x
5 2x −1
+c
2 ⋅ ln 5
5 2x −1 dx =
4.
∫ sinx dx = −cosx +c
5.
∫ cosx dx = sinx +c
6.
∫ cos x = ∫ (1+ tan x)dx = ∫ sec x dx
Örnek 3
∫a
x −1
x −1
a
+c
1⋅ lna
dx =
Örnek 4
∫e
2
∫
dx = 2 e − x dx
x
= 2⋅
2
dx
8.
∫
9.
∫ 1+ x
1− x2
dx
2
= arcsinx +c 1 = −arccosx +c 2
= arctanx +c 1 = −arccotanx +c 2
Trigonometrik integral alýnýrken trigonometri ile ilgili aþaðýdaki özelliklerin bilinmesi
gerekir.
e− x
= −2e − x + c
−1⋅ ln e
e
+3
ex
dx =
∫ (e
x
+ 3⋅e
−x
* cot anx =
)dx
*
= ex − 3 ⋅ e− x + c
1
tan x
1
= cos ecx
sin x
, tan x.cot anx = 1
,
1
= sec x
cos x
* sin2x = 2 sin x.cos x
Örnek 7
* cos 2x = cos 2 x − sin 2 x
x
)
− x 3 dx =
3x
x4
−
+c
ln 3
4
= 2 cos 2 x − 1
= 1 − 2 sin2 x
* sinp.cos q = 1/ 2 [sin(p + q) + sin(p − q) ]
Örnek 8
∫
2
2
* sin2 x + cos 2 x = 1, sin x = 1 − cos 2 x
2x
∫ (3
dx
∫ sin x ∫ (1+cotan x)dx = ∫ cosec x dx
Yardýmcý bilgiler
Örnek 6
∫
2
= − cotanx +c
eax +b
1
= eax +b + c
dx =
a ⋅ ln e a
Örnek 5
∫e
2
2
= tanx +c
7.
ax +b
dx
* cosp.sinq = 1/ 2 [sin(p + q) − sin(p − q) ]
1⎞
x3
⎛ 2
x
x
⎜⎝ 3x − e + x ⎟⎠ dx = 3 ⋅ 3 − e + ln x + c
* cosp.c os q = 1/ 2 [cos(p + q) + cos(p − q) ]
= x 3 − e x + ln x + c
* sinp.sinq = −1/ 2 [cos(p + q) − cos(p − q) ]
303
Belirsiz (Sýnýrsýz) Ýntegral
Örnek 1
Örnek 8
1
∫ sin 3x dx = − 3 cos 3x + c
∫
cos(2x + 3)dx = sin(2x + 3) ⋅
1
+c
2
∫
sin2 x
dx =
1 + cos x
=
Örnek 3
1
∫ sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) ⋅ a + c
∫
∫
1 − cos 2 x
− dx
1 + cos x
(1 − cos x)(1 + cos x)
dx
(1 + cos x)
∫
= (1 − cos x)dx = x − sin x + c
Örnek 4
∫
integralini hesaplayalým.
Çözüm
Örnek 2
∫
sin2 x
1 + cos x
Örnek 9
(x + sin x)dx =
∫ tan
x2
− cos x + c
2
2
x dx integralini hesaplayalým.
2
x dx = (tan 2 x + 1 − 1)dx
Çözüm
Örnek 5
Ι=
∫
∫ tan
∫
sin2 x dx − cos 2 x dx = ?
∫
Ι = (sin2 x − cos 2 x)dx =
= − sin 2x ⋅
∫
=
− cos 2x dx
1
+c
2
∫
∫
∫ (cot an x + 4)dx
2
∫
+ 1 + 3)dx
∫
∫
= − cot anx + 3x + c
Örnek 11
sin x
∫ sin (cos x) dx
2
integralini hesaplayalým.
integralini hesaplayalým.
Çözüm
u = cos x dersek du = − sin x dx
Çözüm
∫
2
= (cot an 2 x + 1)dx + 3 dx
Örnek 7
dx
integralini hesaplayalým.
2
1⎛
1
⎞
⎜ x + sin2x ⎟ + c
2⎝
2
⎠
∫ 1+ cos 2x
∫
x )dx − dx = tan x − x + c
∫ (cot an x + 4)dx = ∫ (cot an
1
1
1
= x + sin2x ⋅ + c
2
2
2
=
2
Çözüm
1 + cos 2x
dx
2
1
1
dx +
cos 2x dx
=
2
2
∫
∫ (1+ tan
Örnek 10
Örnek 6
cos2 x dx =
∫
dx
=
1 + cos 2x
=
−
dx
∫ 1+ 2 cos
dx
∫ 2 cos
2
x
2
x −1
=
− sin x
du
∫ sin (cos x) dx = −∫ sin
2
2
u
= −( − cot anu) + c
1
⋅ tan x + c
2
= cot an(cos x) + c
304
Belirsiz (Sýnýrsýz) Ýntegral
Örnek 12
∫
Çözüm
sin x
⋅ d(x 2 ) integralini hesaplayalým.
x
Burada
d
−1
(cot anx) =
olup
dx
sin2 x
Çözüm
∫
d(cot anx) =
sin x d 2
(x ) ⋅ dx =
⋅
x dx
∫
sin x
⋅ 2x ⋅ dx
x
∫
−1
sin2 x
dx
∫
= sin2 x ⋅ d(cot anx) = sin 2 x ⋅
∫
= 2 sin x dx = −2 cos x + c
=
Örnek 13
−1
sin2 x
⋅ dx
∫ −1⋅ dx = − x + c bulunur.
Örnek 16
∫ 3 sin 2x ⋅ cos x dx
sin3 x
∫ cos
integralini hesaplayalým.
5
integralini hesaplayalým.
dx
x
Çözüm
Çözüm
sin3 x
∫ 3 ⋅ 2 sin x ⋅ cos x ⋅ cos x ⋅ dx
∫ cos
∫
= 6 cos 2 x ⋅ sin x dx
=
u3
= 6 u2 ⋅ ( −du) = −6 ⋅
+c
3
∫
Örnek 14
x
2
)
∫u
3
5.
= −2(cos x)3 + c bulunur.
2
1
⋅
2
x cos x
dx =
∫ tan
3
x⋅
1
cos 2 x
dx
⎛
⎞
dx
dir. ⎟
⎜⎝ u = tan x dersek du =
2
⎠
cos x
u = cos x dersek du = − sin x dx
∫ sin (3 − x
3
⋅ du =
u4
1
+ c = tan4 x + c
4
4
BASÝT DEÐÝÞKEN
DEÐÝÞTÝRME YÖNTEMLERÝ
Göstermiþ olduðumuz integral alma kuralý na benzemeyen fonksiyonlarý deðiþken
deðiþtirerek bu formüllere benzetir daha
sonra integrallerini alýrýz.
dx integralini hesaplayalým.
Çözüm
x
∫ sin (3 − x
2
2
)
dx =
Örnek 1
−1
−2x
dx
2 sin 2(3 − x 2 )
∫
∫ (x
= −1/ 2 ⋅ ⎡ − cot an(3 − x 2 ) ⎤ + c
⎣
⎦
− 3x)6 (2x − 3)dx
integralini hesaplayalým.
Çözüm
= 1/ 2 ⋅ cot an(3 − x 2 ) + c
u = x 2 − 3x dersek du = (2x − 3)dx dir.
(3−x 2 ) = −2x’i
pay ksmýnda oluþturmak için integrali −2
ile çarpýp ve –2 ye böldüðümüze dikkat
ediniz.
Bu dönüþüme göre yeni integral;
∫
Örnek 15
∫
2
u6 ⋅ du =
u7
1
+ c = (x 2 − 3x)7 + c
7
7
Örnek 2
sin2 x ⋅ d(cot anx)
dx
∫ (2x − 3)
intetgralini hesaplayalým.
305
4
integralini hesaplayalým.
Belirsiz (Sýnýrsýz) Ýntegral
Örnek 6
Çözüm
u = 2x − 3 dersek du = 2 . dx
∫e
1 du 1
u−4 du
⋅
=
4
2
2
∫u
∫
=
=
u = sin x dersek du = cos x dx
∫ e du = e
u
1 1
⋅
⋅ (2x − 3)−3 + c
2 −3
1
1
⋅
+ c bulunur.
6 (2x − 3)3
Örnek 3
∫(
)
3
Çözüm
⋅ e x dx
integralini hesaplayalým.
t = ln x dersek dt =
u = e x + 2 dersek du = e x dx dir.
3
⋅ du =
+ c = e sin x + c
cos(ln x)
dx integralini hesaplayalým.
x
Çözüm
∫u
u
Örnek 7
∫
ex + 2
.cos x dx integralini hesaplayalým.
Çözüm
1 u −4 +1
⋅
+c
2 −4 + 1
=−
sin x
=
dx
dir.
x
∫ cos t dt = sin t + c = sin(ln x) + c
u4
1
+ c = (e x + 2)4 + c
4
4
Örnek 8
Örnek 4
∫3
∫
x2 −2
⋅ x dx integralini hesaplayalým.
(arcsin x)3
Çözüm
z = arcsin x dersek dz =
Çözüm
u = x 2 − 2 dersek du = 2x ⋅ dx
∫
=
du 1 u
3u ⋅
=
3 du
2
2
∫
=
1 3u
⋅
+c
2 ln 3
1− x2
z4
1
+ c = (arcsin x) 4 + c
4
4
dx
∫ x ⋅ sin (ln x)
2
integralini hesaplayalým.
Çözüm
Örnek 5
∫e
∫
z 3 dz =
dx
Örnek 9
2
1
=
⋅ 3x −2 + c
2 ⋅ ln 3
2
x − 2x + 3
u = ln x dersek du =
⋅ (x − 1)dx integralini hesaplayalým.
1
dx
dx
dir.
x
1
∫ sin (ln x) ⋅ x = ∫ sin
2
Çözüm
u = x 2 − 2x + 3 dersek du = 2(x −1) ⋅dx dir.
=
dx integralini hesaplayalým.
1− x2
2
u
du
= − cot an u + c
1 u
1
1 2
e du = eu + c = e x −2x + 3 + c
2
2
2
∫
= − cot an(ln x) + c
306
Belirsiz (Sýnýrsýz) Ýntegral
Örnek 10
Örnek 13
dx
sin2x
∫ 2 + sin
2
x
∫ x.(ln x)
dx integralini hesaplayalým.
Çözüm
t = lnx ise
Çözüm
u = 2 + sin2 x dersek du = 2 sin x ⋅ cos x dx
dt =
du = sin 2x dx olur.
sin 2x
∫ 2 + sin
2
x
du
∫u
dx =
dx
⇒ x ⋅ dt = dx
x
dönüþümü yapýlýrsa,
= ln u + c
dx
dt
3
3
3
∫t
=
=−
Örnek 11
cos x dx integralini hesaplayalým.
2
x +1
∫ sin
−3
dt =
t −3 +1
+c
−3 + 1
1 −2
1
1
t +c= − ⋅
+c
2
2 (ln x)2
Örnek 14
∫ cos
Çözüm
u = sin x dersek du = cos x dx olur.
2
3x ⋅ sin 3x ⋅ dx integralini hesaplayalým.
Çözüm
du
2
x ⋅ dt
∫ x ⋅(ln x) = ∫ x ⋅ t = ∫ t
= ln 2 + sin 2 x + c
∫u
integralini hesaplayalým.
3
+1
= arctanu + c = arctan(sin x) + c
t = cos 3x ise dt = −3 sin 3x dx
dönüþümü yapýlýrsa,
l=
∫t
=−
Örnek 12
tan x
∫ (1 + tan
2
x) ⋅ cos 2 x
2
2
x)cos x
=
∫
dt
1 2
=−
t dt
−3 ⋅ sin 3x
3
∫
1 t3
1
⋅ + c = − (cos 3x)3 + c
3 3
9
Örnek 15
∫
Çözüm
tan x dx
⋅ sin 3x ⋅
dx
integralini hesaplayalým.
∫ (1 + tan
2
=
∫
tan x dx
1
⋅ cos 2 x
cos 2 x
tan x dx =
∫
1 − cos x
sin2 x
dx integralini hesaplayalým.
Çözüm
u = sinx ise du = cosx dx buna göre;
l=
sin x
dx
cos x
dx
∫ sin
2
x
−
du
∫u
2
∫
= − cot anx − u −2 du
u = cos x dersek du = − sin x dx
− sin x ⋅ dx
du
=−
=−
cos x
u
= − cot anx −
u−1
+c
−1
= − ln u + c = − ln cos x + c
= − cot anx +
1
+ c dir.
sin x
∫
∫
307
ALIÞTIRMALAR 1
Belirsiz (Sýnýrsýz) Ýntegral
d ⎡
3x 2 dx ⎤⎥ deðeri kaçtýr?
dx ⎢⎣
⎦
∫
1.
7.
Cevap: 3x
2
x2 + x + 2
dx
x
∫
deðeri kaçtýr?
Cevap:
2.
∫
x2
+ x + 2 . In x + c
2
ý
f(x) = (x 3 − x + 3)dx ise f (1)in deðeri kaçtýr?
1
x
∫
8. f(x) = 3x 2 − + 3 ve g(x) = f(x)dx
Cevap : 3
fonksiyonlarý veriliyor. g(1) = 7 ise,
g(x) fonksiyonunu bulunuz.
Cevap : x 3 – ln|x| + 3x + 3
3.
f(x) =
∫ d(x
3
− 3x + 1) ise
ý
f (x) fonksiyonunu bulunuz.
Cevap :
3x 2
9.
– 3
x2
dx −
x −1
∫
∫
1
dx = ?
x −1
Cevap:
4.
x2
+x+c
2
∫
f(x) = (x 2 − 3x + 2)dx ise f(x) in ekstremum
noktalarýnýn apsisleri toplamý kaçtýr?
10.
Cevap : 3
∫ (e
x −1
+ 3 x +1 )dx = ?
Cevap: e x −1 +
5.
∫ (x − 1).f(x)dx = x
3
3 x +1
+c
In3
− 3x + 2 ise f(x) fonksiyo-
11.
nunu bulunuz.
∫e
3x 2 − 2x
.(3x − 1)dx = ?
Cevap:
Cevap : 3x+3
6. f ý (x) = 3x 2 – 4x + 2 ve f(–1) = 2 ise,
12.
f(2) nin deðeri kaçtýr?
∫
ex
x
e −5
1 3x 2 − 2x
+c
e
2
dx = ?
Cevap: ln(e x – 5) + c
Cevap : 11
308
Belirsiz (Sýnýrsýz) Ýntegral
ALIÞTIRMALAR 1
13.
∫
1 + tan2 x
dx = ?
tan x
18.
∫ (cos
4
x − sin 4 x)dx = ?
Cevap:
Cevap: ln|tanx| + c
19.
14.
∫
2e x − 2
ex − x + 5
1
sin2x + c
2
dx
∫ x .ln x = ?
Cevap: ln(lnx)+c
dx = ?
Cevap: 2.ln|e x – x + 5|+c
20.
∫
e x .cos(e x )dx = ?
Cevap: sin(e x )+c
15.
∫
(lnx)2
dx = ?
x
Cevap:
1
(lnx)3 + c
3
21.
∫
cos x
dx = ?
3 + sin x
Cevap: ln|3+sinx|+c
16.
∫
x − 2 sin 4x
x 2 + cos 4x
Cevap:
17.
∫
e
x
x
22.
dx = ?
∫
1
ln(x 2 +cos4x)+c
2
dx = ?
x
=?
Cevap: −
23.
Cevap: 2e
x dx
(x 2 + 5)4
∫
cos(tan x)
cos 2 x
1
1
.
+c
6 (x 2 + 5)3
dx = ?
Cevap: sin(tanx)+c
+c
309
TEST 1
1.
f(x) =
Belirsiz (Sýnýrsýz) Ýntegral
∫ (4x
A) 12
3
6.
ý
+ 1)dx ise f (2) nin deðeri kaçtýr?
∫
x2 − x
dx integralinin sonucu aþaðýdakilerx
den hangisine eþittir?
B) 15
C) 17
D) 27
E) 33
A) x 2 −
x
+c
2
B)
x2
+x +c
2
D) x 2 − 2x + c
2.
∫
7.
d(cos x)
B) sinx
D) –sinx+c
C) –cosx
2
A) x 3 − x 2 + x
E) sinx+c
8.
3. f ý (x) = 4x3 + 2x – 3 ve f(2) = 10 ise,
C) –2
D) –5
∫
B) x 2 − 2x + 3
x3
− x2 + c
3
f(x) =
∫
A) ln x +
E) –6
9.
⎛ x2 + 3
1⎞
− x.e x + 3x + ⎟ dx
⎜
4
4
⎝
⎠
fonksiyonu verildiðine göre, f (0) ýn deðeri
kaçtýr?
B) 2
C) 3
D)
4
3
1
+c
x
B) ln − x + c
f(x) =
∫ d(x .ln x − x
2
E)
D) y = lnx.2x
C) ln x −
E) x 2 −
1
+c
x
1
+c
x
− sin x)dx
B) x3 +cosx+c
∫
x
x2 + 2
C) x3 +sinx+c
E) 3x2 – cosx+c
dx
integrali aþaðýdakilerden hangisine eþittir?
+ 1) veriliyor.
B) y = x + 2
2
D) 2x– cosx+c
3
4
f(x) eðrisinin A(1, –2) noktasýndaki teðetinin
denklemi nedir?
A) y = 2x – 1
∫ (3x
1
+c
x
A) x3 –cosx+c
10.
5.
x3
− x2 + x + c
3
integrali aþaðýdakilerden hangisine eþittir?
ý
A) 1
x
−x +c
3
⎛1 1⎞
⎜⎝ x − 2 ⎟⎠ dx
x
D) x −
4.
E)
C)
integrali aþaðýdakilerden hangisine eþittir?
f(1) in deðeri kaçtýr?
B) 2
E) x 2 + x + 1
∫ (x − 1) dx
D)
A) 4
x2
−x +c
2
integralinin sonucu aþaðýdakilerden hangisine
eþittir?
integrali aþaðýdakilerden hangisine eþittir?
A) cosx+c
C)
C) y = –x – 1
E) y = –x + 3
A)
1
ln(x 2 + 2) + c
2
B) 2ln(x 2 + 2) + c
C)
1
ln 2x + c
2
D) ln(x 2 + 2) + c
E)
310
1 3
x + 2x + c
2
Belirsiz (Sýnýrsýz) Ýntegral
TEST 1
11.
∫ (e
−x
16.
+ e2 )dx
integrali aþaðýdakilerden hangisine eþittir?
A) e − x + c
C) − e
−x
+ ex + c
D) e
E) − e
12.
∫ (2
x
−x
A)
− ex + c
∫
17.
D)
∫
2x
1
+ ex + c
ln x 2
18.
2
2
2
C) x ⋅ e x + c
1 x2
e +c
2
⎛
⎞
2 x
− 1⎟ dx
⎜⎝ 2 ⋅ cos
2 ⎠
E)
15.
∫
∫
+c
C)
−1
cos 3 x
+c
E) 2 cos 3 x + c
integrali aþaðýdakilerin hangisine
B) − 2 cos x + c
C) cos x + c
E) − cos 2x + c
e x ⋅ sin(e x )dx
B) e x ⋅ cos(e x ) + c
C) sin(e x ) + c
D) − cos(e x ) + c
E) − sin(e x ) + c
19.
integrali sonucu aþaðýda-
∫
cos(sin 2 x) ⋅ sin 2x dx
integrali aþaðýdakilerin hangisine eþittir?
B) cos x + c
x
+c
2
A) cos(e x ) + c
1 2x
e +c
2
kilerin hangisine eþittir?
D) 2 sin
2
sin 2 x
integrali aþaðýdakilerden hangisine eþittir?
B) e x + c
A) sin x + c
B)
D) sin 2x + c
2x
+ 2e2x + c
ln2
integrali aþaðýdakilerden hangisine eþittir?
14.
sin 2x
∫ cos x dx
A) sin x + c
x ⋅ e x dx
D)
+c
eþittir?
B) 2 x + 2 ⋅ e 2x + c
2x
1
+ ⋅ e2x + c
ln2 2
A) e x + c
−1
2 sin2 x
− x ⋅e + c
A) 2 x + e2x + c
13.
dx integrali aþaðýdakilerin hangisine
D) sin3 x + c
+ e2X )dx
E)
x
2
integrali aþaðýdakilerden hangisine eþittir?
C)
3
eþittir?
B) − e − x + x ⋅ e 2 + c
−x
cos x
∫ sin
C) − sin x + c
E) 2 cos
A) − sin(sin 2 x) + c
B) sin(sin 2x) + c
C) cos(sin 2 x) + c
D) sin(cos x) + c
x
+c
2
E) sin(sin 2 x) + c
20.
sin x − cos x
dx integrali aþaðýdakilerin hancos x + sin x
e tan x
∫ cos
2
x
dx
integrali aþaðýdakilerin hangisine eþittir?
gisine eþittir?
A) cos x + sin x + c
B) − sin x + cos x + c
A) 1 + tan2 x + c
B) tan 2 x + c
C) ln cos x + sin x + c
D) ln cos x − sin x + c
C) e tan x + c
D) e cos x + c
E) − ln sin x + cos x + c
E) e cot anx + c
Cevaplar: 1-E 2-A 3-D 4-A 5-C 6-C 7-E 8-A 9-B 10-A 11-B 12-C 13-D 14-A 15-E 16-A 17-B 18-D 19-E 20-C
311