9.sinif geometri

VI. BÖLÜM
DÜZLEMDE VEKTÖRLER
YÖNLÜ DO⁄RU PARÇASI
Tan›m : Düzlemde A ve B noktalar› verilsin. [AB] n›n A dan B ye do¤ru yönlendirildi¤ini düflünelim. Böyle do¤ru parçalar›na, yönlü do¤ru parçalar› denir.
→
AB yönlü do¤ru parças›, AB ile gösterilir. Yönlü do¤ru parças›nda; A
bafllang›ç noktas›, B ise bitim noktas›d›r.
B
A
E
Tan›m
: Bir d do¤rusu üzerinde; A, B, C ve D noktalar› alal›m. d
→
→
do¤rusuna, AB ve CD yönlü do¤ru parçalar›n›n tafl›y›c›s›; d do¤rusunun düzlemindeki konumuna
→
→
da AB ve CD n›n do¤rultusu denir.
D
→
d
C
Birbirine paralel olan do¤rular›n do¤rultular› ayn›d›r. AB yönlü do¤ru parças›nda yön, A dan B ye do¤rudur.
B
A
→
A ve B noktalar› aras›ndaki uzakl›¤a, AB n›n uzunlu¤u denir ve
→
| AB | ile gösterilir.
Bir yönlü do¤ru parças›; yönü, uzunlu¤u ve do¤rultusu ile bellidir.
Tan›m : Tafl›y›c›lar› ayn› veya paralel olan yönlü do¤ru parçalar›na, paralel yönlü do¤ru
parçalar› denir.
D
d
d1
d2
H
C
B
F
A
G
E
A, B, C, D ∈ d ise
→
→
AB // CD
E, F ∈ d
G, H ∈ d2 ve d // d ise
1
2
→
→
EF // GH
1
Tan›m : Yönleri z›t ve tafl›y›c›lar› ayn› veya birbirine paralel olan yönlü do¤ru parçalar›na, z›t
(ters) yönlü do¤ru parçalar› denir.
D
d
d1
C
B
A
B
d2
C
D
A
→
→
AB // CD z›t yönlü do¤ru parçalar›d›r.
→
→
Bafllang›ç ve bitim noktas› ayn› olan yönlü do¤ru parças›, AA ile gösterilir. AA yönlü do¤ru
parças›n›n uzunlu¤u s›f›r, yönlü ve do¤rultusu belirsizdir.
135
Tan›m : Do¤rultular› ve yönleri ayn›, uzunluklar› eflit olan yönlü do¤ru parçalar›na, efl yönlü
D
do¤ru parçalar› denir.
→
→
→
→
→
A
→
→
F
B
AB ≡ CD fleklinde gösterilir.
→
d
C
→
AB ve CD efl yönlü do¤ru parçalar›
2
E
d1
→
AB ≡ CD ve AB // CD ve | AB | = | CD | yaz›l›r.
→
→
AB yönlü do¤ru parças›na d›fl›ndaki E noktas›ndan EF // AB ve |EF| = |AB| olacak flekilde bir EF
→
→
yönlü do¤ru parças› çizilir. Burada, AB ≡ EF olur.
Örnek : Yandaki flekilde; A, B ve C ∈ d dir.
Uç noktalar› A, B ve C olan yönlü do¤ru parçalar›n› yazal›m.
d
C
B
A
→
Çözüm : AB yönlü do¤ru parças›nda; A bafllang›ç,
→
B bitim noktas›d›r. BA yönlü do¤ru parças›nda; B bafllang›ç,
A bitim noktas›d›r. d do¤rusu AB yönlü do¤ru parças›n›n do¤rultusudur. Yönü A dan B ye do¤rudur.
→→→ →→→ →→→ →→→
→
CA
CA,BC
CA
BC
BCCB
BC
CB
CB CB yönlü do¤ru parçalar›nda, bafllang›ç ve bitim noktalar›n› söyleyiniz.
AC
AC
AC
AC
, CA
ve
d do¤rusu yukar›da yaz›lan yönlü do¤ru parçalar›n›n tafl›y›c›s›d›r.
Örnek : fiekilde; d1 // d2 ve
|AB| = |EF| = |KL| = 2 birim,
|CD| = |GH| = |MN| = 1 birim ise
birbirine efl yönlü do¤ru parçalar›n›
ve z›t yönlü do¤ru parçalar›n› yazal›m.
B
A
H
C
G
K
D
E
L
M
F
d1
N
d2
Çözüm :
→ →→
→ →→
→ →→→ →→→ →
→
→
CD
EF
KL
MN
CDKL
EFEF
EF
KLKL
MNMN
CD
CD yönleri ve do¤rultular› ayn›, uzunluklar› eflit oldu¤undan;
ile
ve
ile MN n›n
→
→→→ → → →→
→→→
→
→
→
→
EF≡KLKLMN
MNCD
CD
EF
KL
CD AB ve EF n›n do¤rultular› ayn›, uzunluklar› eflit olmas›na karfl›n yönleri
EF
EF
ve
≡ MN d›r.
→
→
z›t oldu¤undan; AB ≡/ EF d›r.
→
→
→→
→→
→
→→→ →→
→→
→→
→
EF
MN
CDCD
EF
KL GH
MN;AB
CDMN
CDEF
, EF
, KL KL
ile MN
ayn› yönlü do¤ru parçalar›d›r.
AB ile
→
→
→ →→
→→ →
→ →→ → → → → →
→→
MNMNCDCD
CD
EF,EFKLKL
KLGH
MN
CDMN
EF ile
AB
; AB
, EF
ile
z›t yönlü do¤ru parçalar›d›r.
Düzlemde yönlü do¤ru parçalar› kümesinde tan›ml› efl (≡) olma ba¤›nt›s›n›n, denklik
ba¤›nt›s› oldu¤unu gösterelim.
→
→
1. Her yönlü do¤ru parças› kendine eflittir. AB ≡ AB dir. (yans›ma özelli¤i)
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→→
→
→
→
EF her
KL AB
MN, CD yönlü do¤ru parçalar›
EFiçin,
AB
KL EF
MN≡KL
CDMN
2. Düzlemin
⇒ CD ≡ AB olur. ( simetri özelli¤i)
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→→
→
→
→
→
→
EF her
KL AB
MN, CD ve EF yönlü do¤ru parçalar›
3. Düzlemin
ve CD ≡ EF ⇒ AB ≡ EF olur.
KL EF
MN≡KL
CDMN
EFiçin,
AB
(geçiflme özelli¤i)
Yönlü do¤ru parçalar› aras›ndaki efl (≡) olma ba¤›nt›s›n›n; yans›ma, simetri ve geçiflme özellikleri oldu¤undan , denklik ba¤›nt›s›d›r.
Bu nedenle yönlü do¤ru parçalar› kümesinde efl olma ba¤›nt›s›, kümeyi denklik s›n›flar›na ay›r›r.
136
ALIfiTIRMALAR
1.
d
B
Yandaki yönlü do¤ru parças›n›n; bafllang›ç noktas›n›, bitim noktas›n›,
do¤rultusunu, yönünü belirtiniz.
A
A
2.
Yandaki ABC üçgeninin kenarlar›n›n orta noktalar›; D, E ve F dir. Birbirine
efl yönlü do¤ru parçalar›n› yaz›n›z.
F
E
B
D
C
D
3.
C
Yandaki ABCD eflkenar dörtgeninden yararlanarak, afla¤›da yaz›lan
ba¤›nt›lar›n do¤ru ya da yanl›fl olduklar›n› belirtiniz.
→
→
→
a. AB ≡ DC
→
→→
→
→
→
BC≡ CB
AC CA
b. AD
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
O
OD≡OB
OD OC
OB OD
AO
OC
OB
AO≡OC
OC
c. OD
d. AO
AO
OB
B
A
VEKTÖR
Tan›m : Yönlü do¤ru parçalar› aras›ndaki efl olma denklik ba¤›nt›s› ile ayr›lan denklik s›n›flar›n›n her birine, vektör denir.
→
Vektörler Áu, Áv, Áw, ... gibi harflerle
gösterilir.
A
Áu vektörü, AB yönlü do¤ru parças›na denk olan bütün yönlü do¤ru
parçalar›n›n temsilcisi olan vektördür.
G
D
u
N
→
F
u
v
M
→
→ → →
AB ≡ CD ≡ EF ≡ ... ≡ u
→
L
→
v
K
→
E
..............................................
Tan›m
H
→
v
→
C
→
B
u
→
→ → →
GH ≡ KL ≡ MN ≡ ... ≡ v
: Bafllang›ç ve bitim noktas› ayn› olan vektörlere, s›f›r vektörü denir.
→
AA ≡ BB ≡ .... ≡ Á0 ile gösterilir.
Bir vektör; yönü, do¤rultusu ve uzunlu¤u de¤iflmemek üzere yer de¤ifltirebilir. Böyle vektörler,
eflit vektörlerdir. Áu ve Áq eflit vektörler ise, Áu = Áq fleklinde gösterilir.
→
→
→
AB vektörünün uzunlu¤u (normu), || AB || veya | AB | ile gösterilir. Normu (uzunlu¤u) 1 birim
olan vektörü, birim vektör denir.
A
B
C
D
→
Örne¤in; |AB|= 5 birim ise || AB || = 5 birimdir.
→
→
→
→
KL ise
MN|| CD || = 5 birimdir.
EFbirim
|CD|= 5
→
→→ →
→
→
→ →→
→
EF KLABMN
EF KL AB
MN= CD vektöve CD vektörlerinin do¤rultular› ve yönü ayn›, uzunluklar› eflit oldu¤undan,
rüdür.
Do¤rultular› ayn› yönleri z›t olan vektörlere ise, z›t (ters) vektörler denir.
F
→
→
→
→
→
MN CD
fiekildeki EF ve GH , AB
z›t vektörlerdir.
137
E
G
H
d
→
→
Yandaki flekilde; AB ve BA vektörleri do¤rultular› ayn›,
A
→
→
A
uzuklar› eflit z›t vektörler olup, AB =– BA yaz›l›r.
Örnek
B
B
: Yandaki flekilde, ABCD paralelkenar›nda eflit vektörleri yazal›m.
D
→
→
→
→
→
C
→
EF ve
KL BA
MN= CD ,
Çözüm : [AB]//[CD] ve |AB|=|DC| ⇒ AB = DC
→
→→
→
→
→
→
→
→
→
O
CA
BC= CB ,
AC AD
CA= AC
BC ve
CB DA
[AD]//[BC] ve |AD|=|BC| ⇒
|AO| = |OC| ve A, O, C noktalar› do¤rusald›r.
→→
→
→→
→
→
→→
→
→
→→→
B
A
→
→
AO
AO=AO
OC
OCOC
OA
OA OA
−OC
−OC
AO
OC
OA
−OC olur.
ve
=−OC
ANAL‹T‹K DÜZLEMDE VERTÖRLER
Tan›m
: Analitik düzlemde, A(x1,y1) ve B(x2,y2) noktalar› verilsin.
y
B(x 2 , y 2 )
→
→
AB vektörüne eflit ve bafllang›ç noktas› orijin olan OP vektörünü çizelim.
→
→
OP vektörüne, AB vektörünün yer (veya konum) vektörü denir.
A(x 1, y1 )
P(a, b)
→
→
AB = OP oldu¤undan, OPBA paralelkenard›r. P(a,b) ise
a=x2–x1 ve b=y2–y1 olur. Bu durumda; A(x1,y1) ve B(x2,y2) olmak üzere,
x
O
→
→
AB vektörünün yer vektörü, (x2–x1, y2–y1)=(a,b) olur. OP =(a,b) fleklinde
→
gösterilir. a reel say›s›na, OP konum vektörünün birinci bilefleni; b reel say›s›na da ikinci bilefleni
denir.
Bir Vektörün Normu (Uzunlu¤u)
→
→
OP =(a,b) vektörü verilsin. OP =(a,b) yer vektörünün uzunlu¤u
→
y
P(a, b)
→
(normu), || OP || veya | OP | ile gösterilir. OP′P dik üçgeninden,
→
|| OP ||=
a2 + b 2 bileflenleri cinsinden yaz›l›r.
→
→
→
→
−OC
AO OC OA =(x
Analitik düzlemde her A(x1,y1) noktas›na,
1,y1) yer vektörü
karfl›l›k gelir. Her vektöre de analitik düzlemde bir nokta karfl›l›k gelir.
→
→
→
x
P′
O
→
−OC
AO OC OA vektörü
yerine ÁA vektörü de yaz›labilir.
→
Örnek : A(2,3), B(3,5) noktalar› veriliyor. AB nün yer vektörünün bileflenlerini bularak uzunlu¤unu hesaplayal›m.
y
→
→
→
B
5
Çözüm : AB =(x2–x1, y2–y1)=(3–2,5–3)=(1,2)
→
OP = AB =(1,2) den, AB vektörünün birinci bilefleni 1 ve ikinci bilefleni 2
A
3
→
olur. AB vektörünün normu,
→
P
→
2
2
2
2
|| AB ||=|| OP ||= a + b = 1 + 2 = 5 birim bulunur.
→
Örnek : A(2, –3) ve B(a, 1) noktalar› veriliyor. || AB ||=5 birim ise
a reel say›lar›n› bulal›m.
→
→
Çözüm : AB =(a–2,1+3) ⇒ || AB ||=
a = 5 veya a = –1 bulunur.
O
2
(a – 2)2 + 4 2 = 5 ⇒ (a – 2)2 = 9 oldu¤undan
138
3
x
‹ki Vektörün Eflitli¤i
ÁA(x1,y1) ve ÁB(x2,y2) vektörleri verilsin. ÁA = ÁB ⇔ x1 = x2 ve y1 = y2 dir.
: ÁA=(a+2b,4), ÁB=(–1,b–a) vektörleri veriliyor. ÁA=ÁB ise a+b de¤erini bulal›m.
Örnek
Çözüm : ÁA = ÁB ⇒ (a+2b,4) = (–1,b–a) ⇒ a+2b = –1 ve 4 = b–a olur.
a + 2b = –1
 ⇒ b = 1 ve a = –3 tür. Buradan, a+b = –3+1 = –2 bulunur.
B – A = 4 
→
Örnek
: A(3,a) ve B(b,–2) noktalar› veriliyor. AB = (–3,2) ise a+b de¤erini bulal›m.
→
Çözüm : AB = (b – 3,–2 – a) = (–3,2) ⇒ b – 3 = –3 ⇒ b = 0,
–2 – a = 2 ⇒ a = –4 ⇒ a + b = –4 olur.
‹ki Vektörün Toplam› ve Fark›
y
C(X1 , + x2 , y1+ y )
2
Analitik düzlemde, ÁA=(x1,y1) ve ÁB=(x2,y2) vektörleri
verilsin.
A(x1, y1)
→ →
A–B
ÁA + ÁB = (x1 + x2, y1 + y2) ve ÁA – ÁB = (x1 – x2, y1 – y2)
fleklinde tan›mlan›r.
B(x 2 , y 2 )
→ →
A+B
→ → → →
OBOB vektörlerinin toplam›
fiekilde, OAOA
ve
x
O
→
paralelkenar kural›na göre OC vektörüdür.
A(x1, y1) ⇒ ÁA = (x1, y1)
B = (x2, y2) ⇒ ÁB = (x2, y2)
OBCA paralelkenar›nda, C(x1 + x2, y1 + y2) dir. Bu durumda,
→
ÁA + ÁB = ÁC = (x1 + x2, y1 + y2) ve BA = ÁA – ÁB = (x1 – x2, y1 – y2) olur.
y
: ÁA = (–3,4) ve ÁB = (1,2)
vektörleri verilsin.
Örnek
→
→
A + B = (−2, 6 )
ÁA + ÁB ve ÁA – ÁB vektörlerini bulal›m.
6
→
A(–3, 4)
Çözüm : ÁA = (–3,4) ve ÁB = (1,2) vektörleri için,
ÁA + ÁB = (x1+x2, y1+y2) = (–3+1,4+2)=(–2,6)
→
4
→
ÁA – ÁB = (x1–x2, y1–y2) = (–3–1,4–2)=(–4,2) olur.
–4
→
2
A − B = (−4, 2)
–3
–2
–1
→
O
B(1, 2)
1
x
→
Örnek : A(1,2) ve B(–3,–2) noktalar› ile ÁC = (–1,5) vektörü veriliyor. AB + ÁC ve ÁC – AB
vektörlerini bulal›m.
→
Çözüm : AB = ÁB – ÁA = (–3 –1, –2 –2) = (–4,–4) olur.
→
AB + ÁC = (–4,–4) + (–1,5) = (–4 –1,–4 + 5) = (–5,1) ve
→
ÁC – AB = (–1,5) – (–4,–4) = (–1 + 4,5 + 4) = (3,9) bulunur.
139
Vektörler Kümesinde Toplama ‹flleminin Özellikleri
Düzlemde vektörler kümesi V olsun:
1. ∀ ÁA, ÁB ∈ V için ÁA, ÁB ∈ V dir. ‹ki vektörün toplam› yine bir vektör oldu¤undan, V vektörler
kümesi toplama ifllemine göre kapal›d›r.
ÁA=(x1,y1) ve ÁB=(x2,y2) ise ÁA +ÁB=(x1+x2,y1+y2)=(x0,y0)=ÁC ∈ V dir.
2. ∀ ÁA, ÁB ∈ V için ÁA + ÁB = ÁB + ÁA dür. V kümesinde toplama iflleminin de¤iflme özelli¤i vard›r.
ÁA=(x1,y1) ve ÁB=(x2,y2) ise ÁA +ÁB=(x1+x2,y1+y2)=(x2+x1,y2+y1)= ÁB + ÁA olur.
3. ∀ ÁA, ÁB, ÁC ∈ V için ÁA + (ÁB + ÁC)=(ÁA + ÁB) + ÁC dür. V kümesinde toplama iflleminin birleflme
özelli¤i vard›r.
ÁA=(x1,y1), ÁB=(x2,y2) ve ÁC=(x3,y3) ise,
ÁA + (ÁB + ÁC)=(x1,y1)+(x2+x3,y2+y3)=(x1+x2+x3,y1+y2+y3)=(x1+x2,y1+y2)+(x3,y3) = (ÁA + ÁB) + ÁC
oldu¤u görülür.
4. ∀ ÁA ∈ V için ÁA + Á0 = Á0 + ÁA = ÁA olur. Á0 vektörü, toplama iflleminin birim (etkisiz) eleman›d›r.
ÁA=(x1,y1) ve Á0=(0,0) ise ÁA +Á0=(x1+0,y1+0)=(x1,y1)=ÁA olur.
5. ∀ ÁA ∈ V için ÁA + ÁB = ÁB + ÁA = Á0 olacak flekilde, ÁB = –ÁA vard›r. ÁB vektörüne, ÁA vektörünün
toplama ifllemine göre tersi denir.
ÁA=(x1,y1) ve ÁB=–ÁA =(–x1,–y1) ise ÁA +ÁB=(x1–x1,y1–y1)=(0,0)= Á0 dür.
ÁA=(x1,y1) vektörünün toplama ifllemine göre tersi, –ÁA =(–x1,–y1) vektörüdür.
Bir Vektörün Bir Reel Say› ile Çarp›m›
V vektörler kümesinde her ÁA = (x1,y1) vektörü ve k ∈ R için k.ÁA = k.(x1,y1) = (k.x1,k.y1) fleklinde
tan›mlan›r.
k.ÁA = ÁB olsun.
k < 0 ise, ÁB ile ÁA ters yönlü ve ||ÁB|| = –k||ÁA||,
k > 0 ise, ÁB ile ÁA ayn› yönlü ve ||ÁB|| = k||ÁA||,
k = 0 ise, ÁB = Á0 olur.
k ≠ 0 ve ÁB = k.ÁA ise; ÁA ve ÁB vektörlerinin do¤rultular› ayn› oldu¤undan, ÁB // ÁA dür.
Örnek
: ÁA = (–1,2) ve ÁB = (2,3) vektörleri veriliyor. 2ÁA – 3ÁB vektörünü bulal›m.
Çözüm : ÁA = (–1,2), B = (2,3) vektörleri için,
2ÁA – 3ÁB = 2(–1,2) – 3(2,3) = (–2,4) + (–6,– 9) = (–2 – 6,4 – 9) = (–8,–5) olur.
Örnek : ÁA = (2,–1), ÁB = (3,1) ve ÁC = (1,–4) vektörleri veriliyor. xÁA + yÁB = ÁC ise x ve y reel
say›lar›n› bulal›m.
Çözüm : ÁA=(2,–1), ÁB=(3,1) ve ÁC=(1,–4) vektörleri için,
xÁA + yÁB = ÁC
⇒ x(2,–1)+y(3,1)=(1,–4)
⇒ (2x,–x)+(3y,y)=(1,–4)
⇒ (2x+3y,–x+y)=(1,–4) olur. Buradan,
2x + 3y = 1 
 denklem sistemi elde edilir. Bu sistemin çözümünden, x = 13 , y = − 7 bulunur.
− x + y = −4
5
5
140
VEKTÖRLER‹N B‹R REEL SAYI ‹LE ÇARPIMININ ÖZELL‹KLER‹
ÁA=(x1,y1) ve ÁB=(x2,y2) vektörleri verilsin. k, p ∈ R ise:
1. k.(ÁA+ÁB)=kÁA+kÁB dür.
k.(ÁA+ÁB)=k.(x1+x2,y1+y2)=(kx1+kx2,ky1+ky2)=(kx1,ky1)+(kx2,ky2)=k.(x1,y1)+k.(x2,y2)=k.ÁA+kÁB olur.
2. (k+p)ÁA=kÁA+pÁA dür.
(k+p)ÁA=(k+p)(x1,y1) = ((k+p).x1,(k+p).y1)=(kx1+px1, ky1+py1)
= (kx1, ky1) + (px1, py1)
= k.(x1, y1) + p.(x1, y1)
= kÁA+pÁA olur.
3. k.(p.ÁA) = p.(k.ÁA) = (k.p)ÁA dür.
k.(p.ÁA) = k.(p.(x1,y1)) = k.(px1,py1) = (kpx1,kpy1) = (kp)(x1,y1) = k.p.ÁA olur.
4. –1.ÁA = –1(x1,y1) = (–x1,–y1) = –ÁA
1.ÁA = 1(x1,y1) = (x1,y1) = ÁA
0.ÁA = 0(x1,y1) = (0,0) = Á0
k.Á0 = k(0,0) = (0,0) = Á0 olur.
‹K‹ VEKTÖRÜN PARALELL‹⁄‹
ÁA≠Á0, ÁB≠Á0 ve k≠0 olmak üzere, ÁB=k.ÁA ⇔ ÁB // ÁA dür.
ÁB=(x0,y0) ve ÁA=(x1,y1) ise (x0,y0)=k(x1,y1) ⇒ (x0,y0)=(kx1,ky1) ⇒ x0= kx1 ve y0= ky1 eflitliklerinden,
x0
x1
=
y0
y1
Örnek
= k olacakt›r. Bulunan oran, iki vektörün paralellik flart›d›r.
: ÁA= (a–1,2) ve ÁB (3,–4) vektörleri veriliyor. ÁA // ÁB ise ÁA vektörünün normunu bulal›m.
Çözüm : A // ÁB ⇔ ÁA=kÁB dür. (a–1,2)=k(3,–4) ⇒ (a–1,2)=(3k,–4k) ⇒ a–1=3k ve 2=–4k olur.
Buradan,
a −1 2
1
=
=k ⇒ a =−
3
−4
2
bulunur.
 1
  3 
ÁA= − −1,2 = − ,2 dir. ÁA vektörünün normu, ||ÁA||=
 2
  2 
Örnek
rini bulal›m.
9
25 5
+4 =
=
4
4 2
olur.
→
: A(3,–2), B(–1,5) noktalar› ile ÁC=(a–2, 2a+1) vektörleri veriliyor. AB // ÁC ise a de¤e→
→
→
Çözüm : AB = OB – OA = (–1,5)–(3,–2)=(–1,5)+(–3,2)=(–4,7)
→
AB // ÁC ⇒
Örnek
¤unu bulal›m.
7
−4
2
=
⇒ –8a–4=7a–14 ⇒ a=
bulunur.
a − 2 2a +1
3
→
→
: ÁA=(2,1), ÁB=(–1,4) ve ÁC=(0,–3) vektörleri veriliyor. 2 AB + 3 BC vektörünün uzunlu→
→
Çözüm : AB = ÁB– ÁA=(–1,4)–(2,1)=(–3, 3) ve BC = ÁC – ÁB= (0,–3)–(–1,4)=(1,–7)
→
→
2 AB + 3 BC = 2(–3,3)+3(1,–7)=(–6+3,6–21)=(–3,–15) bulunur.
→
→
Vektörün uzunlu¤u ise, ||2 AB + 3 BC || =
(−3)2 + (−15)2 = 9 + 225 = 234 = 3 26 birim
bulunur.
141
ALIfiTIRMALAR
→
→
→
→
→
→
→
→
→
1.
AC CA
CA BC
BC vektörlerinin
CB
CB
Analitik düzlemde; A(–1,3), B(2,–3) ve C(–1,–4) noktalar› veriliyor. AB , AC
ve
bileflenlerini bulunuz.
2.
ÁA=(3,5), ÁB=(0,–4), ÁC=(–7,0) ve ÁD=(–2,–5) vektörlerini analitik düzlemde gösteriniz.
3.
A(–2,5) ve B(1,1) noktalar› veriliyor. AB vektörünü ve konum (yer) vektörünü analitik düzlemde
→
→
gösteriniz. AB vektörünün normunu bulunuz.
→
4.
A(7, –5) ve B(a, 3) noktalar› veriliyor. || AB || =17 ise a reel say›lar›n› bulunuz.
5.
A(2,3), B(–5,–1), C(a,–2) ve D(4,b) noktalar› veriliyor. AB = CD ise a ve b reel say›lar›n› bulunuz.
6.
ÁA=(3,–1) ve ÁC=(6,11) vektörleri veriliyor.
→
→
a) ÁA ve ÁB vektörlerinin toplama ifllemine göre terslerini bulunuz.
b) ÁA + ÁB ve ÁB – ÁA vektörlerini bulunuz.
→
→
c) AB ve BA vektörlerini bulunuz.
7.
A(2,7), B(–6,3) ve C(–3,4) noktalar› veriliyor.
→ → →
→→ → →
→
→
→
ACABCA
CB
CB
a)ACABCA
+ BC ve
– BC vektörlerini
bulunuz.
→ → →
→
→
→→
→
→
→
AB CA
CB3AC
CB
b) AC
2 ABCA– BC ve
+ 2 BC vektörlerini
bulunuz.
8.
ÁA + ÁB= (–4, 5) ve 2ÁA – 3ÁB=(–18, –5) ise ÁA ve ÁB vektörlerini bulunuz.
9.
AB = (8,–3) ve ÁB= (–1, 9) ise ||ÁA|| nu hesaplay›n›z.
→
10. ÁA= (–1, 2), ÁB= (4, –1) ve ÁC= (–16, 11) vektörleri veriliyor. xÁA + yÁB= ÁC eflitli¤ini sa¤layan x ve y
reel say›lar›n› bulunuz.
11. ÁA=(3, –1) ve ÁB=(a+1, 3–2a) vektörleri veriliyor. ÁA // ÁB ise a de¤eri kaçt›r?
→
12. AB =(5, –8) ve ÁA=(3, k) vektörleri veriliyor. ÁA // ÁB ise k de¤eri kaçt›r?
→
→
13. A(7, –4) ve B(4, a) noktalar› ile ÁC= (6, –8) vektörü veriliyor. AB // ÁC ise AB vektörünün uzunlu¤unu bulunuz.
142
B‹R‹M VEKTÖR
Tan›m : Uzunlu¤u 1 birim olarak vektöre, birim vektöre denir. ||ÁA||= 1 birim ise, ÁA vektörü
birim vektördür.


: ÁA=  5 ,− 12  vektörünün birim vektör oldu¤unu gösterelim.
Örnek
 13
13 
2
2
 5   12 
25 144
169
+
=
= 1 birim olur.
  + −  =
13
13
169
169
169
  

Çözüm : ||ÁA||=
Bu durumda ÁA vektörü birim vektördür.
Analitik düzlemde Áe1= (1, 0) ve Áe2= (0, 1) birim vektörlerine,
taban birim vektörler denir. Bu vektörler; standart (temel veya baz)
birim vektörleri olarak da adland›r›l›r.
y
→
e2 = (0, 1)
Áe1 yatay birim vektörü, ÁΙ ile
Áe2 düfley birim vektörü, Áj ile gösterilir.
Bir ÁA vektörü ile ayn› yönde ve do¤rultuda ÁΙ gibi bir birim
O
vektör vard›r. ÁA=(x1,y1) vektörü ile ayn› do¤rultu ve
yöndeki birim vektör, ÁΙ =
1
→
x
→
e1 = (1, 0)
→
.A veya
y
|| A ||
→
A = (x1 , y 1 )

ÁΙ = 
x1
 x2 + y2
1
 1
→
||||ÁΙ i|| ||=
=
ve ÁΙ i =
→
Örnek
,
x 12
x12 + y 12

 dir. Çünkü
x12 + y12 
y1
+
y12
x 12 + y12
=
x12 + y12
x12 + y12
I
O
= 1 birim
x


→
k = 1 > 0 
=
k.Á
A
oldu¤undan, ÁΙ ile ÁA vektörleri ayn› yönde ve do¤rultudad›r.
.A
→
→


|| A ||


|| A ||
1
: ÁA=(–1, ñ3) vektörü ile ayn› do¤rultudaki birim vektörleri bulal›m.
Çözüm : ÁA=(–1, ñ3) vektörü için, ||ÁA||=
1
ÁA ile ayn› yöndeki birim vektör, ÁΙ 1 =
→
(−1)2 + ( 3 )2 = 2 dir.
→
.A =
|| A ||
ÁA ile ters yöndeki birim vektör, ÁΙ2 = −
1
→
 1 3
1
 ve
(−1, 3 ) = − ,
2
 2 2 
→
.A = −
|| A ||
143
1
1
3
 bulunur.
(−1, 3 ) =  ,−
2 
2
2
VEKTÖRLER‹N L‹NEER B‹LEfi‹M‹
Tan›m
: ÁA ve ÁB vektörleri verilsin. x, y ∈ R olmak üzere x.ÁA + y.ÁB= ÁC ise ÁC vektörüne, ÁA ve
ÁB vektörlerinin lineer bileflimi denir.
V vektörler kümesinin her eleman› ÁA ve ÁB vektörlerinin lineer bileflimi fleklinde yaz›labiliyorsa;
{ÁA, ÁB} kümesi V kümesini gerer (örter) denir. Örne¤in,
ÁA= (–5, 3) ve ÁB= (2, 7) vektörleri için,
ÁC= 2ÁA – ÁB= (–12, –1)
ÁD= 4ÁA+3ÁB= (–14, 33) vektörleri ÁA ve ÁB vektörlerinin lineer bileflimidir.
Örnek
yazal›m.
: ÁC=(–2, 3) vektörünü, ÁA= (–1,3) ve ÁB= (1, –2) vektörlerinin lineer bileflimi fleklinde
Çözüm : ÁC= (–2, 3) vektörü ÁA= (–1, 3) ve ÁB= (1, –2) vektörlerinin lineer bileflimi ise;
x, y ∈ R olmak üzere, ÁC= xÁA+yÁB dür.
(–2, 3)= x(–1, 3)+y(1, –2) ve (–2, 3) = (–x+y, 3x–2y) olur.
−x + y = −2 
 denklem sisteminde, x=–1 ve y=–3 olur. Buradan, ÁC=–ÁA–3ÁB fleklinde yaz›l›r.
3x − 2y = 3
Örnek : ÁA = (–1, 0) ve ÁB=(0,2) vektörleri veriliyor. {ÁA, ÁB} kümesinin V= RxR vektörler kümesini gerdi¤ini gösterelim.
Çözüm : ∀ÁC ∈ V için xÁA + yÁB = ÁC = (a,b) olsun.
x(–1, 0) + y(0, 2) = (a, b) ⇒ (–x, 0) + (0, 2y) = (a, b)
⇒ (–x, 2y)=(a, b) den x = –a ve y =
b
bulunur.
2
ÁC vektörü, ÁA ve ÁB vektörlerinin lineer bileflimi fleklinde yaz›ld›¤›ndan {ÁA, ÁB} kümesi V vektörler
kümesini gerer.
Düzlemde her ÁA = (x1, y1) vektörünü taban birim vektörlerin lineer bileflimi fleklinde
y
yazabiliriz.
→
→
→
→
fiekilden; OA = OP + PA ⇒ OA = x1 Áe1 + y1 Áe2 olur.
→
→
A = (x1 , y 1 )
y 1e 2
Çünkü ÁA = (x1,y1)= x1(1,0)+ y1(0,1)
= x1 Áe1 + y1 Áe2 fleklinde de ifade edilebilir.
ÁA= x1 Áe1 + y1 Áe2 vektörlerindeki x1 Áe1 vektörüne, vektörünün yatay
→
e2
bilefleni; y1 Áe2 vektörüne de, düfley bilefleni denir.
O
Örnek
→
e1
→P
x
x1 e1
: ÁA= (–7, 6) vektörünü Áe1 ve Áe2 vektörlerinin lineer bileflimi olarak yazal›m.
Çözüm : ÁA= (–7, 6)= –7(1, 0) + 6(0, 1)=–7 Áe1 + 6Áe2 olur.
Örnek
: ÁA= 2 Áe1 – 5Áe2 ve ÁB= –3 Áe1 + 4Áe2 vektörleri veriliyor. |ÁA+ÁB| normunu bulal›m.
Çözüm : ÁA= 2 Áe1 – 5Áe2 =(2, –5) ve ÁB= –3 Áe1 + 4Áe2 = (–3, 4) tür.
ÁA+ÁB=(2 – 3) Áe1 +(–5+4)Áe2 = –Áe1 – Áe2 =(–1, –1) oldu¤undan, |ÁA+ÁB|= (−1)2 + (−1)2 = 2 birimdir.
144
‹ki Vektörün Lineer Ba¤›ml›l›¤›
Tan›m›: Düzlemde s›f›rdan farkl› ÁA ve ÁB vektörleri verilsin.
k1ÁA + k2ÁB= Á0 eflitli¤ini sa¤layan en az biri s›f›rdan farkl› k1 ve k2 reel say›lar› varsa, ÁA ve ÁB vektörlerine, lineer (do¤rusal) ba¤›ml› vektörler denir.
k1 ve k2 nin en az biri s›f›rdan farkl› ve k1ÁA + k2ÁB= Á0 ise ÁA= –
k2
.ÁB veya ÁA= k.ÁB ise, ÁA // ÁB dür.
k1
Bu durumda düzlemde ÁA ve ÁB vektörleri lineer ba¤›ml› ise ÁA // ÁB olur.
Örnek
: ÁA= (3, –4) ve ÁB= (–9, 12) vektörlerinin lineer ba¤›ml› oldu¤unu gösterelim.
Çözüm : k1ÁA + k2ÁB= Á0 ⇒ k1(3, –4) + k2(–9, 12)= (0, 0)
⇒ (3k1 – 9k2, –4k1 + 12k2)= (0, 0)
3k 1 − 9k 2 = 0
 denklem sisteminin k1 = 3k2 fleklindeki sonsuz çözümü oldu¤undan,
−4k 1 +12k 2 = 0 
ÁA ve ÁB vektörleri lineer ba¤›ml›d›r veya ÁB= –3ÁA oldu¤undan , ÁA // ÁB dür. Bulunan bu sonuç,
vektörlerin lineer ba¤›ml› oldu¤unu gösterir.
Örnek
: ÁA=– Áe1 + 2Áe2 ve ÁB=m Áe1 – 6Áe2 vektörleri lineer ba¤›ml› ise m de¤erini bulal›m.
Çözüm : ÁA=– Áe1 + 2Áe2 = (–1, 2) ve ÁB=m Áe1 – 6Áe2 = (m, –6) bulunur. ÁA ve ÁB vektörleri lineer
ba¤›ml› ise ÁA // ÁB ve −
Örnek
1
2
=−
olmal›d›r. Buradan, m= 3 bulunur.
m
6
: Düzlemdeki her vektörün s›f›r vektörü ile lineer ba¤›ml› oldu¤unu gösterelim.
Çözüm : ÁA= (x1 , y1) olsun. k1 , k2 ∈ R olmak üzere k1ÁA + k2Á0 = Á0 eflitli¤i, k1 = 0 ve k2 ≠ 0 için
daima sa¤lan›r. Tan›m gere¤ince, ÁA ve Á0 vektörleri lineer ba¤›ml›d›r.
Lineer Ba¤›ml› Vektörler Kümesi
V= {ÁA1, ÁA2, ÁA3,...., ÁAn} vektörler kümesi ile k1, k2, k3,....,kn ∈ R say›lar› verilsin. k1, k2, k3,....,kn reel
say›lar›ndan en az biri s›f›rdan farkl› olmak üzere k1ÁA1 + k2ÁA2 + k3ÁA3+...+knÁAn = Á0 eflitli¤i sa¤lan›yorsa V
kümesine, lineer (do¤rusal) ba¤›ml› vektörler kümesi denir.
Örnek : ÁA= (6, –4) ve ÁB= (–9, 6) vektörleri veriliyor. {ÁA, ÁB} kümesinin lineer ba¤›ml› küme oldu¤unu gösterelim.
Çözüm : −
6
4
oldu¤undan, ÁA // ÁB dür. Bu durumda k1ÁA + k2ÁB= Á0 eflitli¤inde k1 ve k2 den
=−
9
6
en az biri s›f›rdan farkl›d›r. O hâlde, {ÁA, ÁB} kümesi lineer ba¤›ml› bir kümedir.
Örnek : ÁA= (1, 2), ÁB= (–1, 3) ve ÁC= (4, –2) vektörleri veriliyor. {ÁA, ÁB, ÁC} kümesinin lineer ba¤›ml› oldu¤unu gösterelim.
Çözüm : x, y, z ∈ R için;
xÁA + yÁB + zÁC= Á0 ⇒ x(1, 2) + y(–1, 3) + z(4, –2)= (0, 0)
⇒ (x–y+4z, 2x+3y–2z) = (0, 0)
x − y + 4z = 0

 denklem sistemi elde edilir. z= k olsun. Bu de¤eri denklemlerde yerine yazal›m.
2x + 3y − 2z = 0
x − y = −4k 
 denklem sistemi elde edilir. Bu sistemin çözümünden; x= –2k, y= 2k bulunur.
2x + 3y = 2k 
xÁA + yÁB + zÁC= Á0 sisteminde; x, y ve z den en az biri için s›f›rdan farkl› çözümünün oldu¤u görülür.
145
Buradan; k=1 al›rsak, –2ÁA + 2ÁB + ÁC= Á0 olur. Bu durumda {ÁA, ÁB, ÁC} kümesi lineer ba¤›ml› bir
kümedir. –2ÁA + 2ÁB + ÁC= Á0 ⇒ ÁC = –2ÁA – 2ÁB fleklinde ÁC vektörü, ÁA ve ÁB vektörlerinin lineer
bileflimi olarak yaz›labilir.
Düzlemde bu üç vektör lineer ba¤›ml› oldu¤undan herhangi birini di¤er ikisinin lineer bileflimi
fleklinde yazabiliriz.
Örnek
: ÁA = (k–1,
35
) ve ÁB= (2, k+1) vektörleri lineer ba¤›ml› iki vektör ise
2
pozitif k say›s› kaçt›r?
Çözüm : ÁA // ÁB olmal›d›r.
35
k –1
= 2
k +1
2
k2–1=
35
.2
2
k2= 36
k= +6 bulunur.
k= –6 ∉ IR+
Tan›m
: Bir eleman› Á0 vektörü olan her vektör kümesi Lineer ba¤›ml› bir vektör kümesidir.
Örnek : Áϑ= (Á0, (m–1) Áa1, (n–2) Áa2, (k–3) Áa3) vektör kümesi verilsin Áϑ vektörü lineer ba¤›ml›
bir vektör kümesi ise m+n+k toplam› kaçt›r?
Çözüm : t.Á0 + (m–1) Áa1, (n–2) Áa2, (k–3) Áa3 = Á0
t= 1 ve m–1= 0, n–2 = 0, k–3 = 0
m= 1 n= 2
k= 3 oldu¤undan t= 1 kabul edilirse t≠ 0 olup eflitlik sa¤land›¤›ndan
m+n+k= 1+2+3= 6 bulunur. Bu durumda Áϑ vektörü lineer ba¤›ml› bir vektördür.
‹ki Vektörün Lineer Ba¤›ms›zl›¤›
Tan›m
: Düzlemde ÁA ≠ Á0 ve ÁB ≠ Á0 olmak üzere k1ÁA + k2ÁB= Á0 eflitli¤ini sa¤layan yaln›z
k1 = k2 = 0 de¤erleri varsa ÁA ve ÁB vektörlerine, lineer ba¤›ms›z vektörler denir.
Örnek
: ÁA= (2, –5) ve ÁB= (3, 7) vektörlerinin lineer ba¤›ms›z olduklar›n› gösterelim.
Çözüm : k1ÁA + k2ÁB= Á0 ⇒ k1(2, –5) + k2(3, 7)= (0, 0)
⇒ (2k1 + 3k2, –5k1 + 7k2)= (0, 0) eflitli¤inden,
2k 1 + 3k 2 = 0 
 sistemi elde edilir. Bu denklem sisteminin bir tek çözümü, k1 = k2 = 0 d›r. O hâlde,
−5k 1 + 7k 2 = 0
ÁA ve ÁB vektörleri lineer ba¤›ms›zd›r. ‹ki vektör lineer ba¤›ms›z ise, paralel de¤il, yani k ∈ R olmak
üzere ÁA ≠ k.ÁB dür.
Örnek
: Standart vektörlerin lineer ba¤›ms›z oldular›n› gösterelim.
Çözüm : Áe1 = (1, 0) ve Áe2 = (0, 1) için,
k1 Áe1 + k2 Áe2 = Á0 ⇒ k1(1, 0) + k2(0, 1)= (0, 0) ⇒ (k1, k2)= (0, 0) ⇒ k1 = k2 = 0 d›r.
Burada, Áe1 ve Áe2 vektörlerinin lineer ba¤›ms›z oldu¤u görülür. Bu durumda birbirine dik olan iki
vektörün lineer ba¤›ms›z iki vektör oldu¤unu söyleyebilir misiniz?
146
ALIfiTIRMALAR
1.
Afla¤›daki vektörlerin birim vektör oldu¤unu gösteriniz.


a. ÁA=  – 1 , 3 
 2 2 



b. ÁB= (cosα, sinα)
 1
7   3 4
− c.
 − , 
, ÁC=
2   5 5 
 2
7 
 vektörü birim vektör ise a reel say›lar›n›n toplam›n› bulunuz.
13 
2.
ÁA= a, a +
3.
ÁA= (1, 7) vektörü ile ayn› do¤rultudaki birim vektörleri bulunuz.
4.
Afla¤›daki vektörleri taban (standart) birim vektörlerin lineer bileflimi olarak yaz›n›z.

a. ÁA= (3, 0)
5.
b. ÁB= (–5, –7)
c. ÁC= (–2, 0)
ÁA= (5, –1), ÁB= (–2, 7) ve ÁC= (5, 32) vektörleri veriliyor. xÁA + yÁA= ÁC ise x ve y de¤erlerini
bulunuz.
6.
ÁA= Áe1 + 3Áe2, ÁB= 5Áe1 –Áe2 vektörleri veriliyor. 3ÁA – 5ÁB vektörünü ve uzunlu¤unu bulunuz.
7.
ÁA= (k–1, 3), ÁB= (1, k+1) vektörleri lineer ba¤›ml› ise k de¤erlerini bulunuz.
8.
ÁA= (3, 1), ÁB= (2, a) ve ÁC= (b, –1) vektörleri veriliyor. OA = BC ise a + b kaçt›r?
9.
ÁA= (1, 2), ÁB= (3, –1) ve ÁC= (–3, 8) vektörleri veriliyor. x.ÁA + y.ÁB= ÁC eflitli¤ini sa¤layan x ve y
→
→
de¤erlerinin toplam› kaçt›r?
10. ÁA= (2m + 1, 3) ve ÁB= (m, 2) vektörleri lineer ba¤›ml› ise m kaçt›r?
→
→
→→
→
GH AB AB
MN// CD ise m de¤eri kaçt›r?
11. A(3, –4), B(2, 1), C(m, –7) ve D(4, m + 9) noktalar› veriliyor.
147