Artan - Azalan Fonksiyonlar Max. Min. ve Dönüm Noktalarý 1. Aþaðýdaki fonksiyonlardan hangisi 4. f(x) = x3 – 3ax2 + 2x – 1 fonksiyonunda f ý(x) in daima artandýr? A) y = ÖSYM SORULARI yerel (baðýl) minimum deðerinin –1 olmasý için a 1 B) y = (x – 1)2 D) y = x +1 x–2 x2 C) y = olmalýdýr? A) 0 E) y = x2 – 3x + 2 2 x –1 C) 2 D) 3 E) 4 (1983 - ÖYS) y 5. 0 < x < ∞ için f(x) azalan bir fonksiyon olduðuna y = f(x) göre aþaðýdakilerden hangisi ayný aralýkta ile bunun türevinin artan bir fonksiyondur? grafikleridir. Bu grafiklerden ya- B) 1 (1974) 2. Grafikteki eðriler, y = f(x) fonksiyonu nýn pozitif deðeri aþaðýdakilerden hangisi x –1 x+2 x yý = f ý(x) yýý = f ýý(x) rarlanýlarak aþaðý- B) f(x2) A) f(x) – x C) x – f(x) E) [f(x)]3 D) 2f(x) dakilerden hangisi (1983 - ÖYS) söylenemez? A) yý = 0 olduðu noktalarda (y) nin minimumu ya da maksimumu vardýr. B) yýý = 0 olduðu bir noktadan (y′) nin maksimumu vardýr. 6. f(x) fonksiyonu (a, b) aralýðýnda pozitif olarak C) (y) nin minimum, maksimum noktalarýnda tanýmlý ve artan ise aþaðýdakilerden hangisi ayný yýý = 0 dýr. aralýkta azalandýr? D) yýý > 0 olduðu bölgelerde yý artandýr. A) 2f(x) E) yýýý < 0 olduðu bölgelerde yýý eksilendir. B) 1 f(x) C) f3(x) D) f2(x) (1976) E) – 1 f 2(x) (1985 - ÖYS) 7. 0 < a < b ve ∀ x ∈ [a, b] için 3. y = x3 + bx2 + cx – 1 fonksiyonunda apsisi x = 1 f ý(x) > 0 olduðuna göre, olan nokta dönüm (büküm) noktasýdýr. Foksiyonun ∀ x ∈ (a, b) için aþaðýdakilerden hangisi daima doðrudur? bu noktadaki teðetinin eðimi 1 olduðuna göre c nin deðeri kaçtýr? A) f(x) > f(a) A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 D) f(x) > f(b) (1983 - ÖYS) B) f(x) > 0 C) f(x) < 0 E) f(x) = f(b) (1986 - ÖYS) 282 ÖSYM SORULARI 12. k nin hangi aralýktaki deðerleri için y = kx +1 8. f ve g bir l aralýðýnda türevli olan fonksiyonlardýr. Bu fonksiyonlar için aþaðýdaki baðlantýlardan fonksiyonu daima eksilendir (azalandýr)? hangisi saðlanýrsa g(x) ⋅ f(x) çarpýmý l aralýðýn- x +k A) –∞ < k < –2 B) –2 < k < –1 C) –1 < k < 1 da artandýr? B) 1 < k < 2 A) f ý(x) > g(x) C) 0 < k < 2 (1996 - ÖYS) B) fý(x) ⋅ g(x) > –f ý (x) ⋅ g(x) C) f ý(x) ⋅ g(x) > –f ý(x) g′(x) D) f(x) > g(x) > 13. f: R → R, f(x) = x3 + 6x2 + kx veriliyor. f(x) –f ý(x) ⋅ g(x) fonksiyonu (–∞,+∞) aralýðýnda artan olduðuna E) f(x) ⋅ g(x) > –f ý(x) ⋅ g(x) göre, k için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? (1987 - ÖYS) A) k = –7 B) k = –1 D) k<0 9. C) k < –2 E) k>12 y (1997- ÖYS) 14. a ≠ 0 olmak üzere, y = ax3 + bx2 + cx + d −3 −1 0 1 4 fonksiyonu ile ilgili olarak, x 6 I. Büküm (dönüm) noktasý vardýr? II. Yerel minimum noktasý vardýr. ý y = f (x) III. Yerel maksimum noktasý vardýr. Türevinin grafiði yukarýda verilen f ý fonksiyonu Yargýlardan herhangi her zaman doðrudur? hangi x deðeri için maksimum deðerini alýr? A) –3 B) –1 C) 1 D) 4 A) Yalnýz I E) 6 B) Yalnýz II D) I ve II (1984 - ÖYS) C) Yalnýz III E) II ve III (1998- ÖYS) 10. P(x) = ax4 + 4x3 – 3x2 + bx + c nin iki katlý bir 15. a bir parametre (deðiþken) olmak üzere, kökü x = 2 olduðuna göre, a ile b arasýndaki y = x2 – 2ax + a eðrilerinin ekstremum nokta- baðýntý nedir? larýnýn geometrik yeri aþaðýdakilerden hangi- A) 32a + b + 10 = 0 sidir? B) 32a + b + 36 = 0 A) y = –x2 + 2x B) y = –x2 + x C) y = x2 – 2x C) 16a + b – 24 = 0 D) y = x2 + x D) 16a + b – 32 = 0 E) y = x2 + 2x (1998- ÖYS) E) 16a + 2b + 24 = 0 (1989- ÖYS) 3 3 ⎛ 3 ⎞ A) ⎜ − , − 1⎟ ⎝ 2 ⎠ 1⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞ B) ⎜ −1 , − ⎟ C) ⎜ − , 0 ⎟ 2⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠ 1⎞ ⎛ ⎛ 1 3⎞ D) ⎜ 0, ⎟ E) ⎜ , ⎟ 2⎠ ⎝ ⎝ 2 2⎠ dönüm (büküm) noktasýnýn apsisi 1 ise, ordinatý kaçtýr? B) –1 C) 0 D) 1 2 larýn hangisinde azalandýr? 11. Denklemi y = x3 + ax2 + (a + 7)x – 1 olan eðrinin A) –2 2 16. f(x) = 2x − x + 5 fonksiyonu aþaðýdaki aralýk- E) 2 (1993- ÖYS) (2006- ÖSS) Cevaplar: 1-C 2-C 3-B 4-B 5-E 6-B 7-A 8-D 9-E 10-B 11-D 12-C 13-E 14-A 15-A 16-D 283 Maksimum ve Minimum Problemleri - 1 ÖSYM SORULARI 1. y = x2 + 2x + 2 parabolünün y = –2x + 1 5. y = (cosx + 5)(7 – cosx) ifadesinin en büyük doðrusuna en yakýn noktasý aþaðýdakilerden deðeri nedir? hangisidir? A) 48 A) (2, 1) B) (2, –2) D) (1, 2) B) 42 C) 40 D) 36 E) 35 C) (–2, –2) (1976) E) (–2, 2) (1967) 2. x2 + (2 – m)x – m – 3 = 0 denkleminde köklerin 6. Bir kenarý y = 4 doðrusu, karelerinin toplamý minimum olmasý için m aþaðý- diðer bir kenarý y ekseni daki sayýlardan hangisi olmalýdýr? ve bir köþesi de A) –0,5 B) –1 C) 1 D) –2 y 4 y = x2 eðrisi üzerinde E) 0,5 deðiþen dikdörtgenlerin (1969) 0 en büyük alanlýsýnýn x 2 alaný ne olur? A) 16 3 9 3. P(x) =3x3 + 6x2 + qx+1 polinomu x = –1 için D) sýfýra eþit oluyor. Buna göre q nün deðeri aþaðý- B) 16 2 9 14 5 C) 16 3 E) 3ñ6 (1977) dakilerden hangisidir? A) –1 B) 0 C) 1 D) 4 E) 3 (1974) 7. Þekilde, y = x2 pa- y rabolü ile A(3, 0) y = x2 noktasý verilmiþtir. Grafiðin A ya en 4. x 2 – mx +10 fonksiyonunun, x = 1 için bir x–3 maksimumu bulunduðuna göre m, aþaðýdakilery= olduðuna göre, B) 4 C) 3 0 AP uzaklýðý kaç A(3, 0) x birimdir? den hangi deðeri alýr? A) 5 A(x, y) yakýn noktasý P D) 2 A) 1 E) 1 B) ñ2 C) ñ3 D) 2 E) ñ5 (1983 - ÖYS) (1974) 284 ÖSYM SORULARI 8. 12. x y + =1, x = 0; y = 0 doðrularý ile sýnýrlý bölgede 6 4 bulunan ve köþelerinden üçü bu doðrular y üzerinde diðeri de O(0, 0) noktasýnda olan bir 1 dikdörtgenin alaný en çok kaç birim karedir? A) 12 B) 10 C) 8 D) 6 −3 −2 x −1 f ý(x) E) 4 (1983 - ÖYS) Yukarýdaki eðri, f(x) fonksiyonun f ý(x) türevinin eðrisidir. Buna göre, aþaðýdakilerden hangisi f(x) fonksiyonunun ekstremum (yerel maksi- mum, minimum) noktalarýndan birinin apsi- 9. f(x) = mx2 + (m + 1) x + m – 1 fonksiyonunun –3 te bir minimumu olduðuna göre, m x= 4 kaçtýr? A) –3 B) –2 C) –1 D) 1 sidir? A) 1 B) 0 C) –1 D) –2 E) –3 (1988 - ÖYS) E) 2 (1985 - ÖYS) 13. Þekildeki P(x1 , y1) x y + = 1 doðru8 16 suna en yakýn noktasýnýn apsisi kaçtýr? noktasý, denklemi 10. 4x2 + 9y2 = 144 elipsinin A) 10 2 B) 16 9 C) 9 10 5 D) 9 4 E) y P(x1, y1) y = x (5 – x) olan parabol üzerindedir. 9 2 5 0 x (1986 - ÖYS) x1 in hangi deðerleri için x1 + y1 maksimumdur? A) 2,50 B) 7,75 C) 3,00 D) 3,25 E) 4,00 (1989 - ÖYS) 11. Þekildeki gibi dikdörtgen biçiminde ve bir kenarýnda, duvar bulunan bir bahçenin üç kena- x 2+mx olan fonksiyonun x = 3 x –1 noktasýnda ekstremum noktasýnýn olmasý için m 14. Denklemi f(x)= rýna bir sýra tel çekilmiþtir. Kullanýlan telin uzunluðu 80 m olduðuna göre, bahçenin alaný en fazla kaç m2 olabilir? A) 800 B) 1000 C) 1200 D) 1400 kaç olmalýdýr? A) 2 E) 2000 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 (1994 - ÖYS) (1987 - ÖYS) Cevaplar: 1-E 2-C 3-D 4-A 5-D 6-A 7-E 8-D 9-E 10-C 11-A 12-D 13-C 14-B 285 Maksimum ve Minimum Problemleri - 2 1. D ÖSYM SORULARI 5. Þekildeki denklemi C x2 + y2 = 9 y olan 3 dörtte bir çemberin A 0 |AB| = 2 birim olan bir yarýçemberin içine çizili seni üzerindeki dik ABCD yamuðunun alaný en büyük deðeri izdüþümü aldýðýnda, yüksekliði kaç birim olur? 2 B) 3 1 A) 2 2 C) 2 B B noktasýnýn x ek- B x A(x, 0) 3 0 A(x, 0) noktasýdýr. 3 E) 3 D) 3 2 Buna göre, OAB üçgeninin alaný x in hangi deðeri için en büyüktür? (1990 - ÖYS) A) 3 2 2 B) 3 2 4 C) 3 3 4 D) 1 E) 2 (1994 - ÖYS) 2. Dik yarýçaplarý [OA], B [OB] olan dörtte bir P birim çember üzerindeki deðiþken bir 6. y = –x2 eðrisi üzerinde, P(–3, 0) noktasýna en yakýn olan noktanýn apsisi kaçtýr? P noktasýnýn OA üzerindeki dik izdüþümü 0 H A A) 4 B) 3 C) 2 D) –1 H olduðuna göre, POH üçgeninin çevresi en E) –2 (1995 - ÖYS) çok kaç birim olabilir? A) ñ2 + ñ3 B) 2ñ2 – 1 D) 1 + ñ3 C) 2ñ3 – 1 E) 1 + ñ2 (1990 - ÖYS) 7. f(x) = x2 – 7x + 14 parabolü üzerindeki bir noktanýn koordinatlarý toplamýnýn alabileceði en küçük deðer kaçtýr? 3. f(x) = x3 – 3x + 8 fonksiyonunun [–1 , 2 ] aralýðýn- A) 10 B) 8 C) 6 D) 5 da alabileceði en küçük deðer kaçtýr? A) –1 B) 6 C) 8 D) 10 E) 3 (1996- ÖYS) E) 12 (1990 - ÖYS) 8. m,n ∈ R olmak üzere, f: R → R fonksiyonu, 4. 1 3 x − mx 2 +nx ile tanýmlýdýr. f fonksiy3 onunun x1 = 2 ve x2 = 3 noktalarýnda yerel f(x)= 4 fonksiyonunun baþlangýç noktasýna en x yakýn olan noktasýnýn, baþlangýç noktasýna uzay= ekstremumu B) 4 göre, n – m farký kaçtýr? klýðý kaç birimdir? A) 8 olduðuna C) 2 D) 4ñ2 A) –1 E) 2ñ2 (1990 - ÖYS) B) 4 C) 7 2 D) 9 2 E) 17 5 (1996 - ÖYS) 286 ÖSYM SORULARI 9. Köþesi A(6, 3) olan 12. Þekilde merkezi O, yarý- y A(6, 3) þekildeki dik üçgenin kenarlarý B çapý |OA|= OB|= 4 cm koordinat olan dörtte bir çember F eksenlerini E ve F de N L 4 yayý üzerindeki bir N nokx E kesmektedir. 0 tasýndan yarýçaplara inen dikme ayaklarý K ve L dir. Buna göre, |EF| nin en küçük deðeri kaçtýr? A) 2ñ5 B) 3ñ5 C) 2ñ3 D) 5 A K A Buna göre, OKNL dikdörtgeninin en büyük E) 4 alaný kaç cm2 dir? (1991 - ÖYS) A) ñ2 B) ñ3 C) 2ñ3 D) 6 E) 8 (1996 - ÖYS) 10. O, [AB] üzerinde A 13. F AE ⊥ AB y BF ⊥ AB y = f(x) 1 2 OE ⊥ OF 1 3 α |AO| = 8 birim A 8 0 27 B |OB| = 27 birim −1 Yukarýdaki grafikte, A(3, –1) noktasý f(x) fonksif(x) yonunun yerel minimum noktasý ve h(x)= x olduðuna göre, h′′(3) ün deðeri kaçtýr? tür? A) ñ3 B)ñ2 2 3 C) D) 3 4 x A(3, −1) Yukarýda verilenlere göre, tan α nýn hangi deðeri için |OE| + |OF| toplamý en küçük- 3 E) 1 (h′(x), h(x) in türevi) (1992 - ÖYS) A) –1 B) 1 2 C) 1 3 D) 1 4 E) 1 9 (1998 - ÖYS) y 11. Denklemi y = ñx olan þekildeki parabolün A A P ve P noktalarýnýn x y= x 14. a, b gerçel (reel) sayýlar ve ekseni üzerindeki dik izdüþümleri sýrasýyla 0 H B A = –a2 + 8a +1 x B = b2 + 18b + 5 B(36, 0) ve H(x, 0) dýr. olduðuna göre, HBP üçgeninin alaný, x in hangi deðeri için en A nýn en büyük sayý deðeri ile B nin en küçük büyüktür? sayý deðeri toplamý kaçtýr? A) 12 B) 9 C) 8 D) 6 A) –59 E) 4 B) –50 C) 60 D) 70 E) 80 (1999 - ÖYS) (1993 - ÖYS) Cevaplar: 1-D 2-E 3-B 4-E 5-A 6-D 7-D 8-C 9-B 10-C 11-A 12-E 13-E 14-A 287