1.3 Dizisel Topolojik Uzayların Metrik Uzay Teri

1.3. Dizisel Topolojik Uzayların Metrik Uzay Terimiyle Betimlenmesi
1.3
9
Dizisel Topolojik Uzayların Metrik Uzay Terimiyle Betimlenmesi
Bir metrik uzayın topolojisi dizisel topolojidir. Hatda bir metrik uzayın bölüm
topolojisisdir. Üstelik her dizisel topoloji bir metrik uzayın bölüm topolojisine
eşittir. Bunlar bu kısımda kanıtlanacaktır.
Her i, j ∈ I ve i 6= j için Xi ∩ Xj = ∅ olamak üzere ((Xi , τi ))i∈I topolojik
uzayların bir ailesi verilsin. X = ∪i∈I Xi olmak üzere,
τX = {U ⊂ X : ∀i ∈ I, U ∩ Xi ∈ τi },
X üzerinde bir topoloji olduğu barizdir. (X, τX ) topolojik uzayına ((Xi , τi ))i∈I
topolojik uzayların toplamı denir ⊕i∈I Xi ile gösterilir.
Teorem 1.7. (Franklin, 1965) (X, τ ) be a topolojik uzay olsun. Aşağıdakiler
dentir.
(i) τ dizisel topolojidir.
(ii) τ bir metrik uzayın bölüm uzayıdır.
(iii) τ birinci dereceden sayılabilir bir topolojik uzayın bölüm topolojisidir.
(iv) τ bir dizisel topolojik uzayın bölüm topolojisidir.
Kanıt: (i) =⇒ (ii):
Y = {0} ∪ { n1 : 2 ≤ n ∈ N}
kümesini Euclidean topolojik uzay R’nin altuzayı olarak ele alalım. Y ’nin topolojisinin
τY = {A ⊂ Y : 0 6∈ A yada Y \ A sonlu}
olduğunu not edelim.
C = {f ∈ X N : f → f (1)}
olarak tanımlıyalım. Her f ∈ C için
Zf = {f } × Y
olarak tanımlıyalım. Her f , g ∈ C ve f 6= g için Zf ∩ Zg = ∅ dır. Her f ∈ Zf
için Zf üzerine
df ((f, y1 ), (f, y2 )) = |y1 − y2 |
metriğini koyalım ve Zf ’yi bu metrik topolojik uzay olarak görelim. (Zf uzayı
ile Y uzayının izometrik olduğu aşikar!) Z, (Zf )f ∈C topolojik uzayların toplamı, yani
10
1. Dizisel Topolojik Uzaylar
Z = ⊕f ∈C Zf
olsun. Z’nin topolojisini τZ ile gösterelim. τZ bir metrik topolojidir. (Gerçekten
|y1 − y2 |
if f = g
d((f, y1 ), (g, y2 )) =
1
if f 6= g
olarak tanımlanan d : Z × Z → R fonksiyonu Z’de bir metriktir ve üretiği
topoloji τZ ’e eşittir.)
A ∈ τZ ⇐⇒ her f ∈ C
için {y ∈ Y : (f, y) ∈ A} ∈ τY
olduğunu not edelim. π : Z → X fonksiyonu
f (1)
if y = 0
π(f, y) =
f (i)
if y = 1i , i ≥ 2
olarak tanımlansın. π’nin örten olduğu açık. (Gerçeten x ∈ X verilsin. f : N →
X dizisi f (n) = x olarak tanımlansın. π(f, 0) = x dir.)
τ = {A ⊂ X : π −1 (A) ∈ τZ }
olduğunu göstereceğiz ki- eşitliğin ikinci yanın Z’nin π’ye göre bölüm topolojisidirbu τ ’nın π’ye göre Z uzayının bölüm uzayı demektir ve kanıtı tamamlayacaktır.
A ∈ τ verilsin. Her f ∈ C için
Af = {y ∈ Y : (f, y) ∈ π −1 (A)}
diyelim. Iki durum sözkonusu:
birinci durum. 0 ∈ Af : Bu durumda π(f, 0) = f (1) ∈ A dır. f (n) → f (1)
olduğundan her n ≥ n0 için f (n) ∈ A olacak biçimde n0 vardır. Dolayısıyla
Y \ Af sonludur. Dolayıyla bu durumda Af , Y ’de açıktır.
birinci durum. 0 6∈ Af : Bu durumda, her n ∈ N için { n1 }, Y ’de açık
olduğundan, Af açıktır.
Böylece her f ∈ C için Zf ∩ π −1 (A), Zf ’de açıktir. Dolayısıyla π −1 (A),
Z’de açıktır.
τ ⊂ {A ⊂ X : π −1 (A) ∈ τZ }
gösterilmiş olur. Şimdi A ⊂ X ve A 6∈ τ olsun. X dizisel topolojik uzay
olduğundan, A, dizisel açık değildir. Dolayısı ile
f →a∈A
olacak biçimde f (1) = a ve n ≥ 2 için f (n) 6∈ A olacak biçimde f dizisi vardır.
Bu durumda
{y ∈ Y : (f, y) ∈ π −1 (A)} = {0}
1.3. Dizisel Topolojik Uzayların Metrik Uzay Terimiyle Betimlenmesi
11
kümesi Y ’de açık değildir. Buradan π −1 (A) 6∈ τZ elde edilir. Istenilen gösterilmiş olur.
(ii) =⇒ (iii): Metrik uzaylar topolojisi birinci dereceden sayılabilir olduğundan
istenilen bariz.
(iii) =⇒ (iv): Birinci derecen topolojinin dizisel topoloji olmasındandır.
(iv) =⇒ (i): τ , dizisel topolojik uzay (Y, τY )’nın bölüm toplojisi olsun. Yani
f : Y → X örten bir fonksiyon olmak üzere
τ = {A ⊂ X : f −1 (A) ∈ τY }
olsun. A ⊂ X dizisel kapalı olsun. A’nın kapalı olduğunu göstereceğz-bunun
için f −1 (A)’nın dizisel Y ’de dizsiel kapalı olduğunu göstermek yeterlidir. (xn ),
f −1 (A) da bir dizi ve xn → x olsun. f sürekli olduğundan f (xn ) → f (x) dir.
A’nın dizisel kapalı olmasından f (x) ∈ A, yani x ∈ f −1 (A) dır. f −1 (A)’nın
dizisel kapalılı olduğu gösterilmiş olur ve kanıt biter.
Alıştırmalar
1.10. (Xi )i∈I topolojik uzayların bir ailesi ve i 6= j için Xi ∩ Xj = ∅ olsun. X = ⊕i∈I Xi
uzayının metrikleşebilir uzay olması için gerekli ve yeterli koşulun her i ∈ I için Xi
uzayının metrikleşebilir olması gerektiğini gösteriniz.
1.11. Bir X topolojik uzayında bir dizinin en fazla bir limiti var ise X, T1 -uzayıdır. Gösteriniz.
1.12. Birinci dereceden sayılabilir topolojik uzayın Hausdorff olması icin gerekli ve yeterli
koşulun her dizinin en fazla bir tane limit noktasının olması gerektiğini gösteriniz.
1.13. Frechet-Urysohn uzayın altuzayının Frechet-Urysohn olduğunu gösteriniz.