1.3 Ultranet - Zafer ERCAN

1.3. Ultranet
1.3
9
Ultranet
Bir topolojik uzayda bir netin limit noktası aynı zamanda yığılma noktasıdır.
Fakat bunun tersi genelde doğru değildir. Hangi özellikteki netlerin yığılma
noktaları ile limit noktaları çakışır? Hangi tür netlerin en az bir yığılma noktası
vardır? soruları anlamlıdır. Açağıda tanıtımı yapılan ultranet kavramı, bir çok
şeyin yanında bu soruları da yanıtlar.
Tanım 1.7. X bir topolojik uzay f : I → X bir net olsun. Her A ⊂ X için
f ’nin en az bir kuyruğu A ya da X \A tarafından kapsanıyor ise, f ’ye ultranet3
denir.
Alıştırmalar
1.11. Bir X topolojik uzayında sonunda sabit olan her net bir ultranet dir.
Teorem 1.7. X bir topolojik uzay ve f : I → X bir ultranet olsun. x ∈ X
verilsin. Aşağıdakiler denktir.
(i) x, f ’nin bir cluster noktasıdır.
(ii) f → x dir.
Kanıt: (ii) =⇒ (i): Bariz.
(i) =⇒ (ii): x, f ’nin clustur noktası olsun. U ⊂ X açık ve x ∈ U olsun. f 6→ x
olduğunu varsayalım. Bu durumda, U , f ;nin hiçbir kuyruğunu kapsamaz, yani,
Fi = {f (j) : j ≥ i} ⊂ U
özelliğinde i ∈ I yoktur. f , ultrafilter olduğundan Fj ⊂ U ya da Fj ⊂ X \ U
özelliğinde j ∈ J vardır. x, f ’nin yığılma noktası olduğundan, x ∈ Fj ve
dolayısıyla Fj 6⊂ X \ U dir. Buradan Fj ⊂ U dır. Bu çelişkidir. f → x olduğu
gösterilmiş olur.
Alıştırmalar
1.12. x ∈ X, I bir yönlü küme olmak üzere, f : I → X, f (i) = x olarak tanımlanan net bir
ultranet olduğunu gösteriniz.
1.13. Bir ultranetin her altnetinin bir ultranet olduğunu gösteriniz.
1.14. Her netin ultranet olan bir altnetinin olduğunu gösteriniz. (Kanıt için Teorem ???’ye
bakınız.)
1.15. X ve Y iki topolojik uzay ve f : X → Y bir fonksiyon olsun. σ : I → X bir ultranet ise,
f ◦ σ : I → Y ’nin bir ultranet olduğunu gösteriniz.
3
Literatürde Utranet kavramı farklı biçmde de verilmekte. Bunun için AArness ve Anderaes’nin 1972 tarihli makalesinde bakılabilir.