1. Hafta Uygulama Soruları

1. Hafta Uygulama Soruları
1) x−ekseni, x = 2 doğrusu, y = 2x ve y = −x2 + 1 eğrileri arasında kalan alan nedir?
2x2
x2
ve y = 4 −
parabolleri arasında kalan alan nedir?
3
3
2) y =
3) y 2 = 2x, x − y = 4 eğrileri arasında kalan alan nedir?
4) x = (y − 1)2 , (y − 1)2 = 2 − x eğrileri arasında kalan alanı bulunuz.
Z
∞
dx
integrali yakınsak mıdır? Yakınsak ise değerini bulunuz.
x3
∞
dx
√
integralinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz.
2
x + x3
∞
arctan x
dx integralinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz.
x
∞
dx
integralinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz.(Karşılaştırma testi)
ln x
5)
1
Z
6)
1
Z
7)
1
Z
8)
2
Z
9)
1
√
0
dx
integralinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz.
1 − x2
10) y = x − x2 ve y = 0 eğrileri ile sınırlanan bölgenin x-ekseni etrafında döndürülmesi ile
üretilen cismin hacmini hesaplayınız.
11) x =
2
eğrisi ve x = 0, y = 0, y = 3 doğruları arasında kalan bölgenin y-ekseni
y+1
etrafında döndürülmesi ile üretilen cismin hacmini hesaplayınız.
12) y =
1
eğrisinin [1, ∞) aralığında x-ekseni etrafında döndürülmesi ile oluşan cismin
x
hacmini hesaplayınız.
1
13) Aşağıda verilen üçgen piramidin hacmini bulunuz.
A
3
4
5
C
B
14) y = 4−x2 , y = 2−x eğrileri ile sınırlı ve y-ekseninin sağ tarafında kalan bölgenin x-ekseni
etrafında döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini bulunuz.
15) Taban yarıçapı 2br olan silindirden 30◦ ’lik açıyla taban çapından kesilerek elde edilen
cismin hacmini hesaplayınız.
16) Tabanı, yarıçapı 1br olan daire; dik kesitleri, kare olan şeklin hacmini hesaplayınız.
17) y = x2 − 4x ve y = −x eğrileri ile sınırlı kapalı bölgenin;
(a) x - ekseni,
(b) y - ekseni
etrafında döndürülmesi ile elde edilen cisimlerin hacimlerini integral ile ifade ediniz.
(İntegrali hesaplamayınız).
2
18) Düzlemde y = x2 ve x = y 2 eğrileri ile sınırlı kapalı bölgeyi çiziniz ve bu bölgenin x = −1
doğrusu etrafında döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini bulunuz.
3
2. Hafta Uygulama Soruları
Kartezyen Koordinatlarda Yay Uzunluğu ve Dönel Yüzey Alanı
1. x ∈ [2, 3] iken y =
x3
1
+
eğrisinin uzunluğunu hesaplayınız.
6
2x
2. x = ln(sec y) eğrisinin 0 ≤ y ≤ π/3 aralığındaki parçasının uzunluğu nedir?
(
x = 2(1 − cos t)
3. t ∈ [0, 2π] aralığında
şeklinde parametrik olarak verilen eğrinin
y = 2 sin t
uzunluğunu hesaplayınız.
√
4. 0 ≤ x ≤ 6 aralığında y = x eğrisinin x - ekseni etrafında döndürülmesi ile elde edilen
yüzey alanı hesaplayınız.
5. (x − 2)2 + (y − 3)2 = 4 çemberinin x - ekseni etrafında döndürülmesi ile elde edilen şeklin
(torus) yüzey alanını hesaplayınız.
6. 0 ≤ x ≤ 3 aralığında y = (x − 1)2 eğrisinin x = −1 doğrusu etrafında döndürülmesi ile
elde edilen yüzey alanı hesaplayınız.
Kutupsal Koordinat ve Eğri Çizimleri
1. Aşağıdaki eşitsizliklerin grafiğini çiziniz
(a) 0 ≤ θ ≤ π/6,
r≥0
(b) 0 ≤ θ ≤ π/2,
1 ≤ |r| ≤ 2
2. Aşağıdaki denklemleri kartezyen denklemlerle ifade ediniz
(a) r = 4 tan θ sec θ
(b) r sin(θ + π/6) = 2
3. Aşağıdaki denklemleri kutupsal koordinatlarda ifade ediniz
(a) xy = 2
(b) x2 − y 2 = 1
4. Aşağıdaki denklemlerin grafiğini çiziniz
(a) r2 = 4 cos 2θ
(b) r = −1 + sin θ
(c) r =
1
2
+ cos θ
1
Kutupsal koordinatlarda alan ve yay uzunluğu
1. r = cos 2θ ile tanımlı dört yapraklı gülün alanını hesaplayınız.
2. r = 3 çemberinin dışında ve r = 2(1 + cos θ) kardiyodinin içinde kalan bölgenin alanını
bulunuz.
3. r = 3 sin θ çemberinin içinde ve r = (1 + sin θ) kardiyodinin dışında kalan bölgenin alanını
bulunuz.
4. r = a sin 3θ yaprak eğrisinin bir yaprağının alanını bulunuz.
5. r = 1 + sin θ kardiyodinin uzunluğunu hesaplayınız.
6. Kutupsal koordinatlarda r = 1 − cos θ ve r = cos θ ile verilen eğrileri çiziniz ve kesişim
bölgesinin alanını veren integrali yazınız. (İntegrali hesaplamayınız)
2
3. Hafta Uygulama Soruları
Soru 1) Monotonluk kavramını kullanarak (an ) =
n
n+2
dizisinin yakınsak olup olmadığını
araştırınız.
Soru 2) an = 1 +
Soru 3) an = √
1
1
1
1
+ + + ··· +
genel terimi ile verilen (an ) dizisi yakınsak mıdır?
1! 2! 3!
n!
1
n2
1
1
1
+√
+√
+ ··· + √
genel terimi ile verilen (an )
2
2
2
+1
n +2
n +3
n +n
dizisi yakınsak mıdır?
Soru 4) 2, 4, 8, 16, . . . olarak verilen geometrik dizinin ilk 100 teriminin toplamını bulunuz.
∞
X
1
Soru 5)
ln 1 +
serisi yakınsak mı ıraksak mı?
n
n=1
Soru 6)
∞
X
31−n serisi yakınsak mı ıraksak mı?
n=1
Soru 7)
∞
X
2−n
n=1
5−n
serisi veriliyor. Seri yakınsak mı ıraksak mı?
Soru 8)
1
n
dışında monoton azalan dizi örneği veriniz.
Soru 9)
1
n
dışında sınırlı olan dizi örneği veriniz.
Soru 10) (an ) =
2n − 1
3
dizisi aritmetik dizi midir belirleyiniz ve ilk 100 teriminin toplamını
bulunuz.
1
4. Hafta Uygulama Soruları
Genel Terim Testi:
Aşağıdaki serilerin karakterlerini genel terim testini kullanarak inceleyiniz.
a)
∞
X
sin(1/n)
n=1
b)
∞
X
n sin(1/n)
c)
n=1
∞ n
X
2 + 4n
n=0
3n
+
4n
d)
∞
X
1
n ln(1 + 1/n)
n=1
Karşılaştırma Testi:
Aşağıdaki serilerin karakterlerini karşılaştırma testini kullanarak inceleyiniz.
∞ √
n
X
n
a)
n
n=1
b)
∞
X
1
ln
n n
n=1
c)
∞
X
1
ln nln n
n=2
İntegral Testi:
Aşağıdaki serilerin karakterlerini integral testi kullanarak inceleyiniz.
∞
X
∞
X
1
a)
2+1
n
n=101
1
b)
2)
n
ln(n
n=2
c)
∞
X
1
n(ln
n)2
n=2
Limit Karşılaştırma Testi:
Aşağıdaki serilerin karakterlerini limit karşılaştırma testini kullanarak inceleyiniz.
a)
∞
X
sin(1/n)
n=102
b)
∞
X
√
1 + n2 − n
n=0
c)
∞
X
1
n − nπ
π
n=1
Oran Testi:
Aşağıdaki serilerin karakterlerini oran testini kullanarak inceleyiniz.
a)
∞
X
n100
en
n=−102
b)
∞
X
(n!)2
n=1
c)
(2n)!
∞
X
2n
√
n=1 n
2
Kök Testi:
Aşağıdaki serilerin karakterlerini kök testini kullanarak inceleyiniz.
∞
X
√
a)
( n n − 1)n
n=2
b)
∞
X
3
n=1
1
n
n
n+1
n2
c)
∞
X
1
1+n
n
n=1
Karışık Sorular
∞
X
np
serisi hangi p ∈ R değerleri için yakınsaktır?
n=1 p
n
(n + 1)(n + 2) · · · 2n
4
c) lim
= olduğunu gösteriniz.
n→∞
n
e
a)
pn
b) lim
n→∞
n!
= 0 olduğunu gösteriniz.
nn
Alterne Seri Testi(Leibnitz Testi)-Şartlı ve Mutlak Yakınsaklık:
Aşağıdaki serilerin karakterlerini Leibnitz testi veya Mutlak yakınsaklık kuralını kullanarak belirleyiniz
∞
X
(−1)n+1
√
n
n=1
√
∞
3
X
sin (π n + 1)
√
d)
n n
n=1
a)
Bonus 1:
Bonus 2:
b)
∞
X
n=1
sin
2n + 1
π
π
− arctan n
2
2
∞
∞
X
X
π2
1
1
=
serisinin toplamı kaçtır?
olduğu bilindiğine göre
2
n
6
(2n
−
1)2
n=1
n=1
∞
X
n=1
n4
n
=?
+ n2 + 1
2
c)
∞
X
(cos nπ)(n+1)
√
n=1
n
2
5. Hafta Uygulama Soruları
Kuvvet Serileri, Taylor ve Maclaurin Serileri
1)
2)
3)
∞
X
(−1) n
(2n)!
n=1
∞
X
xn
serisinin yakınsaklık yarıçapını ve yakınsaklık aralığını bulunuz.
n
n3
n=1
∞
X
(1 + x)k
2k
k=0
4)
5)
x2n serisinin yakınsaklık yarıçapını ve yakınsaklık aralığını bulunuz.
∞
X
(−4)n (x − 1)n
√
kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapını ve yakınsaklık aralığını bulunuz.
n
+
2
n=0
∞
X
x2n
2n
n=1
=
∞
X
1
6)
2n + 1
n=0
7)
x2 x 4
+
+ · · · serisinin yakınsaklık aralığını bulunuz.
2
4
x−1
x+1
∞
X
(2x − 1)n
n=2
8)
serisinin yakınsaklık aralığını bulunuz.
∞
X
(n − 1) 9n
(x)k =
k=0
(a)
∞
X
∞
X
1
, |x| < 1 eşitliğinden yararlanarak
1−x
(x)8n =
9)
1
, |x| < 1
+1
−x8
(−1)n x2n =
n=0
∞
X
serisinin yakınsaklık aralığını bulunuz.
serisinin yakınsaklık aralığını bulunuz.
n=0
(b)
2n+1
1
, |x| < 1 olduklarını gösteriniz.
1 + x2
∞
X
an x kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı 1 ve
bn xn kuvvet serisinin yakınsaklık
n
n=0
yarıçapı 2 ise
∞
X
n=0
(an + bn ) xn kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı ne olur?
n=0
10)
∞
X
k
2k
k=1
serisinin toplamını bulunuz.
∞
X
1
11)
serisinin toplamını bulunuz. (|x| < 1)
k2k
k=1
1
12) f (x) =
1
şeklindeki f : R\ {0} −→ R fonksiyonunun x = 1 noktasındaki Taylor serisini
x
yazınız.
1
fonksiyonunun x = 0 noktasındaki Taylor serisini bulunuz. Bulduğunuz
4x − 5
13) f (x) =
serinin hangi x değerleri için verilen fonksiyona eşit olduğunu gösteriniz.
8
fonksiyonunun a = 0 için Taylor serisini bulunuz.
8 + x3
Z1
8
dx integralini seri olarak bulunuz.
(b) a şıkkını kullanarak
8 + x3
14) (a) f (x) =
0
(c) Serinin ilk üç terimi alınarak integral yaklaşımı yapılırsa hata hakkında ne söyleyebiliriz?
15) f (x) = sin ax fonksiyonun Maclaurin serisini yazınız.
16)
∞
X
xn =
1
olduğunu gösteriniz.
1−x
n=1
17)
∞
X
n=1
n−1
(−1)
(x − 5)n
√
serisini inceleyelim.
3n n
(a) Serinin yakınsaklık yarıçapını bulunuz.
(b) Serinin yakınsaklık aralığını bulunuz.
(c) Yukarıdaki seriyi f (x) ile gösterirsek, f (49) (5) ne olur?
2
6. Hafta Uygulama Soruları
1) Aşağıda verilen fonksiyonların x = 0’daki Taylor serilerini kuvvet serisi işlemlerini kullanarak
bulunuz.
1
a) x2 sin(x)
b) x cos(πx)
c) x2 cos(x2 )
d)
(1 − x)2
1
f ) ln(1 + x) − ln(1 − x)
e) ex +
(1 + x)
2x3
2) f (x) =
fonksiyonunun Maclaurin serisini yazınız. Bundan faydalanarak f (102) (0)’ı bulunuz.
2−x
3) f (x) =
x−2
fonksiyonunun x = 2’deki Taylor serisini yazınız.
4−x
4) Hangi f (x) fonksiyonunun Maclaurin serisi
∞
P
x3n −
n=0
∞
P
x3n+1 dir. Bunu kullanarak f (1698) (0)
n=0
değerini hesaplayınız (ayrıca türevdeki bu sayının anlamını bulunuz).
5) Hangi f (x) fonksiyonunun x = 2 deki Taylor seri açılımı
∞ 4n
P
(x − 2)n dir.
n
n=1
x3
Taylor polinomu ile yaklaşık
6) sin x fonksiyonunun x = 0.1 noktasındaki değeri için P3 (x) = x −
6
olarak hesaplanırken yapılan hata için tahmin veriniz.
1
x2 x 3 x4
7) ex fonksiyonunun değeri x = noktasında P4 (x) = 1 + x +
+
+
ile hesaplanırsa yapılan
2
2
6
24
hata için tahmin veriniz.
Ödevler a) f (x) =
x2
fonksiyonunun Maclaurin serisini yazınız.
x+4
2x − 6
fonksiyonunun x = 3 teki Taylor seri açılımını yazınız ve f (2017) (3) ü bulunuz.
4−x
8
c) f (x) =
fonksiyonunun Maclaurin serisini yazınız.
8 + x3
b) f (x) =
8) Aşağıdaki fonksiyonların Binom serilerini bulunuz. Ayrıca ilk 3 terimini açıkça yazınız.
x 4
a) (1 − 2x)1/2
b) (1 + x2 )−1/3
c) 1 −
2
9) Aşağıdaki limitleri, ilgili fonksiyonların seri açılımı yardımı ile bulunuz.
ex − (1 + x)
=?
x→0
x2
a) lim
x2 − 4
x→2 ln(x − 1)
b) lim
1
7. Hafta Uygulama Soruları
1. Aşağıdaki verilen fonksiyonların tanım kümelerini bulunuz ve kartezyen düzlemde gösteriniz.
(a) f (x, y) =
(b) f (x, y) =
√
y−x−2
(x − 1)(y + 2)
(y − x)(y − x2 )
(c) (Ödev) f (x, y) =
1
ln(4 − x2 − y 2 )
2. Aşağıdaki fonksiyonların tanım ve değer kümelerini bulunuz. Bu fonksiyonların grafiklerini seviye eğrileri yardımı ile çiziniz.
(a) f (x, y) =
p
x2 + y 2 + 4
(b) f (x, y) = 6 − 2x − 3y
(c) (Ödev) f (x, y) = y 2
3. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
3x2 − y 2 + 5
(x,y)→(0,0) x2 + y 2 + 2
2
x + y2
(b)
lim cos
(x,y)→(0,0)
x+y+1
(a)
lim
x−y
(x,y)→(2,2) x2 − y 2
√
√
x− y+1
(d)
lim
(x,y)→(4,3)
x−y−1
(c)
lim
4. Aşağıdaki fonksiyonların verilen noktalardaki limitlerini bulmaya çalışınız.
(a)
(b)
(c)
xy
(x,y)→(0,0) |xy|
lim
lim
(x,y)→(0,0) x2
x
+ y2
xy + 1
(x,y)→(1,−1) x2 − y 2
lim
5. Sıkıştırma yöntemi (Sandwich) ile aşağıdaki limitleri bulunuz.
1
(a)
lim
y sin
(x,y)→(0,0)
1
x
p
4 − 4 cos |xy|
(b)
lim
(x,y)→(0,0)
|xy|
p
x2 y 2
2|xy| −
< 4 − 4 cos |xy| < 2|xy| olduğu biliniyor.
6
6. Aşağıdaki fonksiyonların sürekli olduğu bölgeleri bulunuz.
(a) f (x, y) =
y
x2 + 1
1
x2 − y



xy 2


 2
4
(c) f (x, y) = x + y




0
(b) g(x, y) =
7. f (x, y) =
ve
√
(x, y) 6= (0, 0) iken
(x, y) = (0, 0) iken
2x + 3y − 1 fonksiyonu için, limit tanımını kullanarak, (−2, 3) noktasında
∂f
kısmi türevlerini hesaplayınız.
∂y
8. Aşağıdaki fonksiyonların kısmi türevlerini bulunuz.
(a) f (x, y) = e−x sin(x + y)
(b) (Ödev) exy ln y
Z
y
(c)
(d)
g(t)dt
x
∞
X
(xy)n , |xy| < 1
n=0
9. ln(x + 2y + 3z) fonksiyonunun tüm kısmi türevlerini bulunuz.
10. (Ödev) sin−1 (xyz) fonksiyonunun tüm kısmi türevlerini bulunuz.
11. h(x, y) = xey + y + 1 fonksiyonunun ikinci kısmi türevlerini bulunuz.
12. (Ödev) w(x, y) = x2 tan(xy) fonksiyonunun ikinci kısmi türevlerini bulunuz.
2
∂f
∂x
8. Hafta Uygulama Soruları
-Zincir Kuralı
-Yöne Göre Türev Ve Gradyent Vektörü
-Teğet Denklem Ve Diferensiyel Kavramı
1. Aşağıdaki limitleri kutupsal dönüşüm,sıkıştırma ve y = mx dönüşüm yöntemleri ile ayrı ayrı
bulunuz.
a)
4xy
p
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
lim
b)
x2 − y 2
xy p
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
lim
2. Aşağıdaki limitleri kutupsal dönüşüm yöntemi ile bulunuz (eğer varsa).
a)
lim
(x,y)→(0,0)
−p
x
b)
x2 + y 2
sin(x2 + y 2 )
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
lim
3. Aşağıdaki limitlerde kutupsal dönüşüm yönteminin bir sonuca varamadığını gözlemleyiniz.
a)
x2 + y 2
(x,y)→(0,0)
x
lim
b)
2x2 y
(x,y)→(0,0) x4 + y 2
lim
4. z = ln(x2 + y 2 ) , x = eu cos v , y = eu sin v olduğuna göre ;
∂z
=?
∂u
∂z
=?
∂v
5. u = f (x, y, z) = ln(x2 + y 2 + z 2 ) , x = cos t , y = sin t ve z = t
olmak üzere
du
türevini bulunuz.
dt
6. Aşağıdaki eşitlikleri verilen fonksiyonlar için
a) z = x2 + y 2
x=u+v
b) z = x2 − y 2
x = u2 − v 2 , y = 2uv
c) z = xy ,
∂z
∂z
ve
türevlerini hesaplayınız.
∂u
∂v
, y =u−v
x = eu . cos v , y = eu . sin v
7. z = x2 y 3 yüzeyinin A(1, 1) noktasındaki gradiyent vektörünü bulunuz.
8. Aşağıdaki sorularda verilen yüzeylerin P00 daki normalinin denklemini bulunuz.
i) 2z − x2 = 0
P0 (2, 0, 2)
ii) x + y + z = 1 P0 (1, 1 − 1)
1
9. M (2, 1, 3) ve N (5, 5, 15) noktaları veriliyor.
f (x, y, z) = xy+yz +zx fonksiyonun M N yönündeki türevini bulunuz. Bu türevin M noktasındaki
değerini hesaplayınız.
10. f (x, y, z) = ln(ex + ey + ez )
fonksiyonun eksenlerle α, β, γ açılarını yapan vektör yönündeki
türevini hesaplayınız. Bu türevin orijindeki değerini bulunuz.
11. Aşağıdaki fonksiyonları verilen noktalardaki yönlü türevin en büyüğünü ve en küçüğünü bulunuz.
a) f (x, y) = x2 y + exy sin y
P (1, 0)
b) f (x, y, z) = ln(xy) + ln(yz) + ln(xz)
P (1, 1, 1)
c) f (x, y, z) = ln(x2 + y 2 − 1) + sinh(xyz)
P (1, 1, 0)
12. f (x, y, z) fonksiyonun bir P noktasındaki en büyük türevi a = i + j − k yönündeki türevleri olup
√
bu türevin değeri 2 3 tür.
a)∇f 0 nin P noktasındaki değerini bulunuz.
b)f fonksiyonun b = i + j yönündeki türevinin P noktasındaki değerini bulunuz.
En büyük türev gradient yönündeki türevdir.
13. Aşağıdaki sayıların yaklaşık değerlerini hesaplayınız.
a)(1, 02)3.01
p
b) (5, 98)2 + (8, 01)2
14. x2 + y 2 + z 2 = 14 küresine, üzerindeki A(1, 2, 3) noktasından çizilen teğet düzlemin denklemini
yazınız.
TEĞET DÜZLEM DENKLEMİ: fx (a, b, c)(x − a) + fy (a, b, c)(y − b) + fz (a, b, c)(z − c) = 0
15. z = 8 + x2 + y 2 paraboloidinin (0,2,12) noktasındaki teğet düzleminin denklemini bulunuz.
2
9. Hafta Uygulama Soruları
Aşağıdaki fonksiyonların (varsa!) tüm kritik noktalarını bulup sınıflandırınız.
Soru 1) f (x, y) =
x3
y3
−x−
+y
3
3
Soru 2) z = (x − 1) ln (xy)
Soru 3) f (x, y) = ex cos y
Soru 4) z = (x2 + y 2 ) e−(x
2 +y 2
)
Soru 5) f (x, y) = y sin x
Aşağıdaki fonksiyonların verilen bölgelerde mutlak ekstremum noktalarını bulunuz.
Soru 1) f (x, y) = 2x2 − 4x + y 2 − 4y + 1 fonksiyonunun R : x = 0, y = 2; y = 2x doğruları ile sınırlanan
kapalı üçgen bölgede mutlak ekstremumlarını bulalım.
−π
π
≤ y ≤ olarak sınırlanan dikdörtgensel bölgede f (x, y) = (4x − x2 ) cos y
4
4
fonksiyonunun mutlak ekstremleri nedir?
Soru 2) 1 ≤ x ≤ 3 ve
Soru 3) x2 + y 2 ≤ 1 dairesel bölgesinde f (x, y) = x2 + 2y 2 − x fonksiyonunun mutlak ekstremlerini
bulunuz.
Aşağıdaki soruları Lagrange çarpanları metodunu kullanarak çözünüz.
Soru 1) x + 3y = 10 doğrusu üzerinde f (x, y) = 49 − x2 − y 2 fonksiyonunun maksimum değerini
hesaplayınız.
Soru 2) xy 2 = 54 eğrisi üzerinde orijine en yakın noktaları bulunuz.
Soru 3) (2, 1, −2) noktasının x2 +y 2 +z 2 = 1 küresine olan uzaklığının en büyük ve en küçük değerlerini
bulunuz.
1
10. Hafta Uygulama Soruları
1) Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
1
Z 1Z
(a)
0
Z
x2
dydx
1 + y2
0
ln 8 Z ln y
(b)
Z 2Z
(c)
1
x
1
3
2
Z
ex+y dxdy
0
x 2
1
x
dydx
y2
9−4x2
Z
16xdydx
(d)
0
0
2) Aşağıdaki integrallerin
i) İntegrasyon bölgesini çiziniz.
ii) İntegrasyon sınırlarını değiştiriniz.
iii) İntegrali hesaplayınız.
Z
1
Z
3x+2
(a)
dydx
Z
−2 x2 +4x
√ Z √
2
4−2y 2
(b)
−
0
√
ydxdy
4−2y 2
ex
Z 2Z
(c)
dydx
0
1
3) Aşağıdaki integralleri, kutupsal dönüşümlerden yararlanarak yanlarında yazılı olan bölgeler üzerinde
hesaplayınız.
Z Z
(a)
ydxdy, B = (x, y) | x2 + y 2 ≤ 1
B
Z Z
xydxdy, B = {(r, θ) | r ≤ 4 cos θ ve r ≤ 4 sin θ}
(b)
B
√
4) y = x, y = x − 2 ve x − ekseni eğrileri arasında kalan bölgenin alanını iki katlı integral yardımıyla
hesaplayınız.
5) x − ekseni, y = ln x ve x = e eğrileri arasında kalan bölgenin alanını iki katlı integral yardımıyla
hesaplayınız.
1
y
y = ln x
y=0
1
x
e
1
6) z = 2x2 + y 2 + 1 paraboloidi, x + y = 1 düzlemi ve kordinat düzlemleri tarafından sınırlanan bölgenin
hacmini bulunuz.
7) z = x2 + y 2 paraboloidi ile z = 0, x = −3, x = 3, y = −3 ve y = 3 düzlemleri arasında kalan bölgenin
hacmini hesaplayınız.
−3
3
3
8) x + y + z = 3, x2 + y 2 = 1 ve z = 0 yüzeyleri tarafından sınırlanan bölgenin hacmini bulunuz.
2
11. Hafta Uygulama Soruları
1) Aşağıdaki kapalı bölgeyi iki katlı kutupsal integral ile ifade ediniz ve alanı hesaplayınız.
y
4
1
x
Hatırlatma:
Kutupsal koordinatlarda verilen R kapalı bölgesinin alanı
ZZ
Alan =
rdrdθ
R
ile verilir.
2) r = 1 + cos θ kardiyoidi içinde ve r = 1 çemberinin dışında kalan bölgenin alanını iki katlı kutupsal integral
yardımı ile hesaplayınız.
90
180
0
r = 1 + cos θ
r=1
0.5
1
1.5
2
0
270
3) x2 + y 2 = 1 silindirinin z = −y ile z = 0 düzlemleri arasında kalan iki kapalı bölgeden z > 0 olan kısmının
hacmini bulunuz.
1
Hatırlatma:
Kapalı ve sınırlı D bölgesinin hacmi
ZZZ
Hacim =
dV
D
ile verilmektedir.
4) Birinci bölgede bulunan ve x + z = 1, y + 2z = 2 düzlemleri ile koordinat düzlemleri arasına kalan bölgeyi
üç katlı integral ile ifade ediniz.
z
1
x
y
1
2
2