R fonksiyonu sınırlıise f (x)

¼ I·
KONU 10. FONKSI·YONLARIN ASI·MPTOTI·G
Tan¬m 10.1. E¼
ger f : [a; b] ! R fonksiyonu s¬n¬rl¬ise
f (x) = O (1) ; x 2 [a; b]
olarak tan¬mlan¬r, yani
jf (x)j
M; 8x 2 [a; b] , f (x) = O (1) ; 8x 2 [a; b] :
Benzer olarak
f (x)
g (x)
M; 8x 2 [a; b] , f (x) = O (g (x)) ; 8x 2 [a; b]
yaz¬l¬r. Ayn¬şekilde
f (x)
(x)
g (x)
M; 8x 2 [a; b] , f (x) =
(x) + O (g (x)) ; 8x 2 [a; b]
tan¬mlan¬r. E¼
ger lim f (x) mevcut ve s¬n¬rl¬ise, bu özellik
x!a
f (x) = O (1) ; x ! a
asimptotik eşitli¼
gi ile yaz¬l¬r.
f (x) = O (g (x)) ; x ! 1
ve
f (x) =
(x) + O (g (x)) ; x !
1
benzer biçimde tan¬mlan¬r.
O (1) asimptotik ifadesinden farkl¬olarak o (1) asimptotik ifadesi s¬f¬ra yak¬nsama anlam¬nda kullan¬l¬r.
f (x) = o (1) ; x ! 1 , lim f (x) = 0
x!1
Ayn¬şekilde
f (x) = o (g (x)) ; x ! a
ve
f (x) =
(x) + o (g (x)) ; x ! a
tan¬mlan¬r.
Soru 10.2.
cos x = 1 + O x2
asimptotik eşitli¼
gini ispatlay¬n¬z.
Çözüm.
cos x 1
x!0
x2
lim
1
x!0
limitinin mevcut ve s¬n¬rl¬bir say¬oldu¼
gunu gösterelim.
cos x 1
= lim
x!0
x!0
x2
lim
sin x
2x
=
1
2
oldu¼
gundan
cos x 1
= O (1) ; x ! 0 ) cos x = 1 + O x2 ;
x2
Soru 10.3.
ex = 1 + x +
x!0
x2
+ O x3 ; x ! 0
2
oldu¼
gunu isptlay¬n¬z.
Çözüm.
lim
x!0
ex
1
x
x3
x2
2
= lim
x!0
ex
1 x
ex 1
ex
1
= lim
= lim
=
2
x!0
x!0 6
3x
6x
6
oldu¼
gundan asimptotik eşitlik sa¼
glan¬r.
Soru 10.4.
x arctan x
x + = o (1) ; x ! 1
2
asimptotik eşitli¼
gi gerçekleniyorsa kaçt¬r?
Çözüm.
h
i
h
i
0 = lim x arctan x
x + = lim x arctan x
+
x!1
x!1
2
2
1
arctan x 2
1
+
x2 + = 1 +
+ = lim
0 = lim
1
1
x!1
x!1
x
x2
0 =
1+ ) =1
elde edilir.
Al¬şt¬rmalar.
1) sin x = x + o x2 ; x ! 0 eşitli¼
gini ispatlay¬n¬z.
x
1
2)
=O
; x ! 1 asimptotik eşitli¼
gini gösteriniz.
1 + x3
x2
3) ln (1 + x) = x + O x2 ; x ! 0 eşitli¼
ginin do¼
grulu¼
gunu ispatlay¬n¬z.
2