Sayısal İntegral

Sayısal İntegral
(n+1) nokta için bölünmüş farklar polinomu:
Pn ( x)  f 0 
f1  f 0
x  x0    f 2  f1  / x2  x1    f1  f 0  / x1  x0  x  x0 x  x1  
x2  x0 
x1  x0
f 0[3] x  x0  x  x1  x  x2     f 0[ n ]  x  x0 x  x1  x  xn 1 
f ( x)  Pn ( x)  Hata
 f ( x)dx   P ( x)   Hata
n
Hata   x  x0 x  x1   x  xn 
f ( n 1) ( )
(n  1)!
Newton-Cotes integral formülleri:
b
b
 f ( x)dx   P ( x)dx  Error
n
a
a
iki nokta Trapezoid (Yamuk) formülü:
2
2

f1  f 0
f1  f 0  x1
x0


x f ( x)dx  x  f 0  h ( x  x0 ) dx  f 0 h  h ( 2  x0 x1 )  ( 2  x0 x0 )
0
0
h
h
 f 0 h   f1  f 0    f1  f 0 
2
2
x1
x1

f ( 2) ( ) 
h3 ( 2)
Error   x  x0  x  x1 
f ( )
 dx  
2
12

x0 
x1
üç nokta Simpson 1/3 formülü:
x2

x0
h 1
f ( x)dx   f 2  4 f1  f 0   h 5 f iv ( )
3 90
dört nokta Simpson 3/8 formülü:
x3

x0
f ( x)dx   f 3  3 f 2  3 f1  f 0 
3h 3 5 iv
 h f ( )
8 80
Global Trapezoid Formülü (eşit aralık):
b

a
n 1
h

f ( x)dx   f (a)  2 f i  f (b)
2
i 1

h3 ( 2)
(b  a) 2 ( 2)
Error  n
f ( )  
h f ( )
12
12
Global Simpson 1/3 Formülü (eşit aralık):
b

a
 n / 2 1
n / 2 

h
f ( x)dx   f (a)  2  f 2i  4  f 2i 1  f (b)
3
i 1
i 1

Error  
(b  a ) 4 iv
h f ( )
180
Global Simpson’s 3/8 Formülü:
b

f ( x)dx   f (a)  3 f1  3 f 2  2 f 3  3 f 4  3 f 5  2 f 6    2 f n 3  3 f n  2  3 f n 1  f (b) 
a
Error  
(b  a) 4 iv
h f ( )
80
3h
8
Örnek:
 /2
 sin( x)dx  1
0
h = π/2 için Trapezoid kuralı:
 /2
I
 sin tdt 
0

4
sin(0)  sin( / 2)  0.7854
h = π/4 için Trapezoid kuralı:
 /2
I
 sin tdt 
0

8
sin(0)  2 sin( / 4)  sin( / 2)  0.94806
h = π/4 için Simpson 1/3 kuralı:
 /2
I
 sin tdt 
0

12
sin(0)  4 sin( / 4)  sin( / 2)  1.0023
Sorular:
i
1- Data değerleri verilen f fonksiyonu için aşağıdaki türevleri
hesaplayınız:
a) 2. mertebeden bir polinomla f´(0.72) = ?
a) 2. mertebeden bir polinomla f´(1.33) = ?
a) 2. mertebeden bir polinomla f´(0.50) = ?
Herbir şık için en iyi başlangıç noktasını seçiniz.
2- Yandaki f(x) fonksiyonunu 1.0 den 1.6 ya Trapezoidal,
Simpson 1/3 ve Simpson 3/8 ile entegre ediniz.
3- Trapezoid ve Simpson 1/3 yöntemleri ile exp(x)
fonksiyonunu (0,1) aralığında entegre ediniz. Bağıl Hatanın
10-3 ‘ten küçük olması için h’ı yeteri kadar küçültünüz.
İki yöntemi mukayese ediniz.
xi
fi
0 0.30 0.3985
1 0.50 0.6598
2 0.70 0.9147
3 0.90 1.1611
4 1.10 1.3971
5 1.30 1.6212
6 1.50 1.8325
i
xi
fi
0 1.0 1.543
1 1.1 1.669
2 1.2 1.811
3 1.3 1.971
4 1.4 2.151
5 1.5 2.352
6 1.6 2.577