tc süleyman demirel üniversitesi fen bilimleri enstitüsü

T.C.
SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DEJENERE HELİSLER ÜZERİNE
Zafer ŞANLI
Danışman: Prof. Dr. A. Ceylan ÇÖKEN
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ISPARTA-2009
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürlüğüne
Bu çalışma, jürimiz tarafından MATEMATİK ANABİLİM DALI'nda oybirliği ile
YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.
Başkan : Prof. Dr. M. Kemal SAĞEL
Mehmet Akif Ersoy Üniversitesi Fen-Ed. Fak. Matematik Bölümü
Üye :
Prof. Dr. A. Ceylan ÇÖKEN (Danışman)
Süleyman Demirel Üniversitesi Fen- Ed. Fak. Matematik Bölümü
Üye :
Doç. Dr. Nihat AYYILDIZ
Süleyman Demirel Üniversitesi Fen- Ed. Fak. Matematik Bölümü
ONAY
Bu tez 16/04/2009 tarihinde yapılan tez savunma sınavı sonucunda, yukarıdaki jüri
üyeleri tarafından kabul edilmiştir.
...../...../2009
Prof. Dr. Mustafa KUŞCU
Enstitü Müdürü
I·ÇI·NDEKI·LER
I·ÇI·NDEKI·LER...................................................................................................i
ÖZET.................................................................................................................ii
ABSTRACT......................................................................................................iii
TEŞEKKÜR......................................................................................................iv
SI·MGELER DI·ZI·NI·...........................................................................................v
1. GI·RI·Ş.............................................................................................................1
2. TEMEL KAVRAMLAR.................................................................................3
2.1. Simetrik Bilineer Formlar............................................................................3
2.2. Yar¬-Riemann Manifoldlar..........................................................................6
¼ I·LER...................12
3. LORENTZ MANI·FOLDLARINDA s-DEJENERE EGR
3.1. Bir s-Dejenere E¼
gri I·çin Frenet Çat¬s¬.......................................................12
3.2. Bir s-Dejenere E¼
gri I·çin Cartan Çat¬s¬......................................................30
¼ I·LER.........................35
4. Rn1 MINKOWSKI UZAYINDA s DEJENERE EGR
griler I·çin Cartan Çat¬s¬................35
4.1. Rn1 Minkowski Uzay¬nda s-Dejenere E¼
4.2. R41 Minkowski Uzay¬nda 2-Dejenere Helisler.............................................37
5. R51 MINKOWSKI UZAYINDA s DEJENERE HELI·SLER........................42
5.1. R51 Minkowski Uzay¬nda 2-Dejenere Helisler.............................................42
5.2. R51 Minkowski Uzay¬nda 3-Dejenere Helisler.............................................44
6. KAYNAKLAR.............................................................................................45
ÖZGEÇMI·Ş......................................................................................................46
i
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
DEJENERE HELI·SLER ÜZERI·NE
Zafer ŞANLI
Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dal¬
Jüri:
¼
Prof. Dr. M. Kemal SAGEL
Prof. Dr. A. Ceylan ÇÖKEN (Dan¬şman)
Doç. Dr. Nihat AYYILDIZ
Bu çal¬şma beş bölümden oluşmaktad¬r.
Birinci bölümde konunun …zikle olan ilgisi hakk¬nda genel bilgi verilmiştir.
I·kinci bölümde, simetrik bilineer formlar ve yar¬-Riemann manifoldlar ile ilgili temel tan¬m ve
teoremler verilmiştir.
Üçüncü bölümde, Lorentz manifoldlar¬ndaki s dejenere e¼
griler için Frenet çat¬s¬ ve Cartan
çat¬s¬ elde edilmiştir.
Daha sonra ise s dejenere e¼
griler için varl¬k ve teklik teoremleri
ele al¬nm¬şt¬r.
Dördüncü bölümde, Rn1 Minkowski uzay¬ndaki s dejenere e¼
griler için Cartan çat¬s¬n¬n varl¬g¼¬
ve tekli¼
gi ifade edilerek, R41 Minkowski uzay¬ndaki 2 dejenere helis denklemleri incelenmiştir.
Beşinci ve son bölümde ise,
R51 Minkowski uzay¬ndaki 2 dejenere ve 3 dejenere
helis denklemleri elde edilmiştir.
Anahtar kelimeler: Minkowski Uzay¬, s-Dejenere E¼
gri, Frenet Çat¬s¬, Cartan Çat¬s¬.
2009, 45 sayfa
ii
ABSTRACT
M.Sc. Thesis
ON DEGENERATE HELICES
Zafer ŞANLI
Süleyman Demirel University Graduate School of Applied and Natural Sciences
Department of Mathematics
¼
Thesis Committee: Prof. Dr. M. Kemal SAGEL
Prof. Dr. A. Ceylan ÇÖKEN (Supervisor)
Assoc. Prof. Dr. Nihat AYYILDIZ
This thesis consists of …ve chapters.
In the …rst chapter, it was given general information about the subject’s relations with physics.
In the second chapter, some fundamental de…nitions and theorems about symmetric bilinear
forms and Semi-Riemannian manifolds are given.
In the third chapter, it is obtained that Frenet frame and Cartan frame of s-degenerate curves
in Lorentzian manifolds. Then existence and uniqueness theorems for s-degenerate curves are
examined.
In the fourth chapter, by expressing the existence and uniqueness of Cartan frames for
s-degenerate curves in Rn1 Minkowski spaces, the equation of 2-degenerate helices are
examined.
In the …fth and the last chapter, it is obtained that the equation of 2-degenerate and
3-degenerate helices in R51 Minkowski space.
Keywords: Minkowski Space, s-Degenerate Curve, Frenet Frame, Cartan Frame.
2009, 45 pages
iii
TEŞEKKÜR
Çal¬şmalar¬m boyunca de¼
gerli yard¬m ve katk¬lar¬yla beni yönlendiren, k¬ymetli
tecrübelerinden ve bilgilerinden faydaland¬g¼¬m, çal¬şmam¬n her aşamas¬nda beni
destekleyen dan¬şman hocam Prof. Dr. A. Ceylan ÇÖKEN’e teşekkür ederim.
Ayr¬ca tezimin hiçbir aşamas¬nda beni yaln¬z b¬rakmayan aileme sonsuz sevgi ve
sayg¬lar¬m¬sunar¬m.
Zafer ŞANLI
ISPARTA, 2009
iv
SI·MGELER DI·ZI·NI·
R
Reel say¬lar cismi
V
Reel vektör uzay¬
b
Simetrik bilineer form
g
Skalar çarp¬m
Rad (V) V vektör uzay¬n¬n s¬f¬r uzay¬
rV
Rad (V) nin boyutu
Direkt toplam
?
Ortogonal direkt toplam
M
Yar¬-Riemann Manifoldu
Yar¬-Riemann Manifoldunun indeksi
Tp (M )
p 2 M noktas¬ndaki tanjant uzay
Rn
n-boyutlu -indeksli yar¬-Öklid uzay¬
(M )
M manifoldu üzerindeki vektör alanlar¬n¬n kümesi
r
M manifoldu üzerindeki Koneksiyon
ki
i: e¼
grilik
i
i: Cartan e¼
grili¼
gi
v
1. GI·RI·Ş
Teorik …zikte uzayzaman(spacetime) kavram¬ 3-boyutlu uzay ile 1-boyutlu
zaman uzay¬n¬ tek bir Lorentz manifoldu üzerinde birleştiren matematiksel bir
modeldir.
Uzayzaman kavram¬, Albert Einstein taraf¬ndan 1905 ve 1907
y¬llar¬nda temelleri at¬lan Özel ve Genel Relativite Teorileri için temel
niteli¼
gindedir. Dolay¬s¬yla graviton ve foton gibi çok küçük parçac¬klar¬n bu
uzayda ald¬klar¬yollar¬n incelenmesi önemlidir.
Uzayzamanda ¬ş¬ks¬(lightlike) hiperyüzeylerin geometrisi, gravitasyon …zi¼
ginde ve
matemati¼
ginde oldu¼
gu kadar Genel Relativite’nin gelişmesinde de önemli bir rol
oynam¬şt¬r.
Genel olarak uzayzaman kavram¬ karadeliklerin, asimptotik
düzlem sistemlerinin ve gravitasyonal dalgalar¬n ola¼
gan yap¬s¬n¬da anlamak için
gereklidir (Ferrandez vd. 2003).
Iş¬ks¬hiperyüzeylerin çal¬ş¬lmas¬için ilk olarak bu hiperyüzeylerin üzerinde yatan
e¼
grilerin incelenmesi gereklidir. Bu ba¼
glamda Lorentz uzay formalar¬ndaki ¬ş¬ks¬
e¼
griler bir çok …zikçi ve matematikçi taraf¬ndan çal¬ş¬lm¬şt¬r. Iş¬ks¬e¼
griler ile ilgili
ilk
kapsaml¬ çal¬şma
yap¬lm¬şt¬r.
1969
y¬l¬nda
…zikçi
W.B.
Bonnor
taraf¬ndan
Bu çal¬şma daha sonralar¬ A. Bejancu taraf¬ndan Lorentz
manifoldlar¬na genelleştirilmiştir.
Ancak bir ¬ş¬ks¬ hiperyüzey üzerinde ¬ş¬ks¬
e¼
griler d¬ş¬nda farkl¬ tipte e¼
griler de bulunmaktad¬r.
Bunlar ise yüksek
mertebeden türevleri ¬ş¬ks¬olan uzays¬e¼
griler, yani s-dejenere e¼
grilerdir.
A. Ferrandez, A. Gimenez ve P. Lucas 2003 y¬l¬nda yapt¬klar¬ bir çal¬şmada
Lorentz uzay formlar¬ndaki s-dejenere e¼
grileri s: mertebeden türevi ¬ş¬ks¬, s den
küçük mertebedeki türevleri uzays¬(spacelike) olan e¼
griler olarak tan¬mlam¬şlard¬r.
Bu ba¼
glamda klasik ¬ş¬ks¬ e¼
griler 1-dejenere e¼
grilerdir. A. Ferrandez vd., bu
çal¬şmalar¬nda Bonnor’un Minkowski uzayzaman¬ndaki ¬ş¬ks¬ e¼
griler için olan
çat¬s¬n¬bir s-dejenere e¼
gri boyunca genelleştirerek yeni bir çat¬elde etmişlerdir.
Ayr¬ca
n-boyutlu
Lorentz
uzay
formlar¬ndaki
s-dejenere
helisleri
karakterize ederek 4-boyutta bu e¼
griler için tam bir s¬n¬‡and¬rma yapm¬şlard¬r.
1
2005 y¬l¬nda Rus …zikçiler D.Y. Tsipenyuk ve V.A. Andreev taraf¬ndan
"5-Dimensional Extended Space Model" isimli bir çal¬şma yap¬lm¬şt¬r.
Bu
çal¬şmada 4-boyutlu Minkowski uzay¬ bir S aral¬g¼¬ ile birlikte ele al¬narak,
Einstein’¬n Özel Relativite Teorisini 5-boyutlu bir uzay üzerine genelleştirmişlerdir.
Haz¬rlanan
bu
çal¬şmada
ilk
olarak
Ferrandez
vd.
taraf¬ndan
s-dejenere e¼
griler boyunca Frenet ve Cartan çat¬lar¬elde edilerek R41 Minkowski
uzay¬ndaki s-dejenere helisler incelenmiştir.
Daha sonra ise elde edilen
Cartan çat¬s¬ yard¬m¬yla 5-boyutlu R51 Minkowski uzay¬ndaki s-dejenere
helislerin diferensiyel denklemleri hesaplanm¬şt¬r.
2
2. TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde çal¬şmaya esas olan tan¬m ve teoremler verilecektir.
2.1 Simetrik Bilineer Formlar
Tan¬m 2.1.1. V bir reel vektör uzay¬olsun.
b:V
dönüşümü 8 1 ;
2
V!R
2 R ve 8u; v; w 2 V için
i) b(u; v) = b(v; u)
ii ) b( 1 u +
b(u;
1v
2 v; w)
+
2 w)
=
1 b(u; w)
=
1 b(u; v)
+
+
2 b(v; w)
2 b(u; w)
özelliklerine sahip ise b dönüşümüne V reel vektör uzay¬ üzerinde bir simetrik
bilineer form denir (O’Neill, 1983).
Tan¬m 2.1.2. V bir reel vektör uzay¬ve b bir simetrik bilineer form olsun. E¼
ger
8v 2 V için b( ; v) = 0 olacak şekilde V nin s¬f¬rdan farkl¬bir
vektörü varsa
b simetrik bilineer formuna V üzerinde dejeneredir, aksi halde non-dejeneredir
denir (Ferrandez vd., 2003).
Tan¬m 2.1.3. V bir reel vektör uzay¬ve b bir simetrik bilineer form olmak üzere
Rad (V) = f 2 V : b ( ; v) = 0; v 2 Vg
olarak tan¬mlanan altvektör uzay¬na b simetrik bilineer formuna göre V nin s¬f¬r
uzay¬ (radikali) denir. Ayr¬ca Rad(V) altuzay¬n¬n boyutuna da b nin s¬f¬rl¬k
derecesi denir ve rV ile gösterilir (Ferrandez vd., 2003).
Lemma 2.1.4.
Bir V reel vektör uzay¬ üzerinde tan¬ml¬ b simetrik bilineer
formunun non-dejenere (dejenere) olmas¬için gerek ve yeter şart Rad(V) = f0g
(Rad(V) 6= f0g) olmas¬d¬r (Duggal ve Bejancu, 1996).
3
Tan¬m 2.1.5. Bir V reel vektör uzay¬üzerinde tan¬mlanan simetrik bilineer form
b olsun. E¼
ger
i) 8v 2 V ve v 6= 0 için b (v; v) > 0
(b (v; v) < 0) ise b simetrik bilineer formuna
pozitif (negatif) tan¬ml¬;
ii) 8v 2 V için b (v; v)
0 (b (v; v)
0) ise b simetrik bilineer formuna
pozitif (negatif) yar¬-tan¬ml¬;
iii) 8v 2 V için b (v; w) = 0 iken w = 0 oluyorsa b simetrik bilineer formuna
non-dejenere
denir (O’Neill, 1983).
Tan¬m 2.1.6. V bir reel vektör uzay¬ve
b:V
V!R
b:W
W!R
bir simetrik bilineer form olsun.
negatif tan¬ml¬olacak şekildeki en büyük boyutlu W
b simetrik bilineer formunun indeksi denir ve
V altuzay¬n¬n boyutuna
ile gösterilir (O’Neill, 1983).
Tan¬m 2.1.7. Bir V reel vektör uzay¬üzerinde tan¬mlanan non-dejenere simetrik
bilineer forma V üzerinde bir skalar çarp¬m ad¬verilir. Bu taktirde (V;g) ikilisine
skalar çarp¬ml¬vektör uzay¬ denir (O’Neill, 1983).
Tan¬m 2.1.8. Bir V reel vektör uzay¬ üzerindeki skalar çarp¬m g olsun. E¼
ger
bir v 2 V vektörü için
g (v; v) =
1
ise v vektörüne bir birim vektör denir (Ferrandez vd., 2003).
4
Tan¬m 2.1.9. (V;g) bir skalar çarp¬m uzay¬olsun. Bir v 2 V vektörüne
i) g (v; v) > 0 veya v = 0 ise uzays¬(spacelike) vektör
ii) g (v; v) < 0 ise zamans¬(timelike) vektör
iii) v 6= 0 iken g (v; v) = 0 ise ¬ş¬ks¬(null-lightlike) vektör
denir. Ayr¬ca v vektörünün içinde bulundu¼
gu kategoriye, v vektörünün Kozsul
karakteri ad¬verilir (O’Neill, 1983).
Tan¬m 2.1.10. V bir vektör uzay¬ ve U ve W uzaylar¬ da V nin altuzaylar¬
olsun. Bu taktirde
U
W = fu + w : u 2 U;w 2 Wg
olarak tan¬ml¬uzaya U ve W altuzaylar¬n toplam uzay¬ ad¬verilir
(Ho¤man ve Kunze, 1971).
Tan¬m 2.1.11. (V;g) bir skalar çarp¬m uzay¬ olsun. E¼
ger u; v 2 V vektörleri
için g (u; v) = 0 oluyorsa bu vektörlere ortogonaldirler denir ve u ? v biçiminde
gösterilirler (O’Neill, 1983).
Tan¬m 2.1.12. (V;g) bir skalar çarp¬m uzay¬ve V vektör uzay¬n¬n iki altuzay¬
da U ve W olsun. E¼
ger 8u 2 U ve 8w 2 W için g (u; w) = 0 oluyorsa U ve W
altuzaylar¬ortogonaldirler denir ve U ? W şeklinde yaz¬l¬r (O’Neill, 1983).
Tan¬m 2.1.13. Bir (V;g) skalar çarp¬m uzay¬n¬n U \ W = f0g şart¬n¬sa¼
glayan
iki ortogonal altuzay¬U ve W olsun. Bu taktirde U ve W altuzaylar¬n ortogonal
direkt toplam¬ U ? W olarak yaz¬l¬r (Ferrandez vd., 2003).
Önerme 2.1.14. Bir (V;g) skalar çarp¬m uzay¬n¬n bir altuzay¬ W olsun. Bu
taktirde
i) boy (W) + boy W? = boy (V)
ii) W?
?
=W
iii) Rad (W) = Rad W? = Rad W \ W?
dir (Duggal ve Bejancu, 1996).
5
Sonuç 2.1.15. Bir (V;g) skalar çarp¬m uzay¬n¬n bir altuzay¬ W olsun. Bu
taktirde aşa¼
g¬daki ifadeler denktir:
i) W non-dejenere bir altuzayd¬r.
ii) W? non-dejenere bir altuzayd¬r.
iii) W ve W? birbirini tümleyen ortogonal altuzaylard¬r.
iv) W ve W? altuzaylar¬n¬n ortogonal direkt toplam¬V uzay¬d¬r, yani
V = W ? W?
dir (Duggal ve Bejancu, 1996).
Tan¬m 2.1.16. Bir (V;g) skalar çarp¬m uzay¬n¬n birbirine dik birim vektörlerin
oluşturdu¼
gu
E = fe1 ; :::; en g
kümesine V nin bir ortonormal baz¬ denir (Duggal ve Bejancu, 1996).
2.2. Yar¬-Riemann Manifoldlar
Tan¬m 2.2.1. M bir diferensiyellenebilir manifold olsun. 8p 2 M noktas¬ndaki
tanjant uzay Tp (M ) olmak üzere
gp : Tp (M )
Tp (M ) ! R
! gp (vp ; wp )
(vp ; wp )
şeklinde tan¬ml¬sabit indeksli, simetrik, bilineer, non-dejenere (0; 2) tensörüne M
üzerinde bir metrik tensör denir (O’Neill, 1983).
Tan¬m 2.2.2. M bir diferensiyellenebilir manifold olsun. E¼
ger M manifoldu bir
g metrik tensör ile donat¬lm¬ş ise M manifolduna bir yar¬-Riemann manifoldu
denir (O’Neill, 1983).
6
Tan¬m 2.2.3. Bir M yar¬-Riemann manifoldu üzerindeki g metrik tensörünün
indeksine yar¬-Riemann manifoldunun indeksi denir (O’Neill, 1983).
Tan¬m 2.2.4. M bir yar¬-Riemann manifoldu olsun. 0
e¼
ger
= 0 ise M ye Riemann manifoldu; n
boyM olmak üzere
2 için
= 1 ise M ye Lorentz
manifoldu denir (O’Neill, 1983).
Tan¬m 2.2.5. n-boyutlu Öklid uzay¬ Rn verilsin. 0
n olmak üzere
tamsay¬s¬için Rn üzerindeki metrik tensör
X
g (vp ; wp ) =
vi wi +
i=1
n
X
vi wi
i= +1
olarak tan¬mlan¬rsa bu uzay n-boyutlu yar¬-Öklid uzay¬ olarak adland¬r¬l¬r ve Rn
ile gösterilir. Özel olarak n
= 1 ise Rn1 uzay¬na n-boyutlu Minkowski
2 için
uzay¬ denir (O’Neill, 1983).
Tan¬m 2.2.6. 2r
2r olmak üzere Rn nun bir baz¬
n ve m = n
2
B= fL1 ; N1 ; :::Lr ; Nr ; W1 ; :::; Wm g
i; j 2 f1; :::; rg,
;
2 f1; :::; mg ve
" =
olmak üzere e¼
ger
< Li ; Lj >
8
<
1 ; 1
: 1
;
= < Ni ; Nj >
< Li ; Nj > = 0;
r
r+1
= 0 ;
m
< Li ; Ni >
= "i
i 6= j;
< L i ; W > = < Ni ; W > = 0 ; < W ; W > = "
şartlar¬n¬ sa¼
gl¬yorsa
B
baz¬na
bir
(Ferrandez vd., 2003).
7
yar¬-ortonormal
baz
ad¬ verilir
Tan¬m 2.2.7. Bir V vektör uzay¬n¬n bir baz¬fe1 ; :::; en g olsun. E¼
ger
det [e1 :::en ] > 0
ise bu baza pozitif yönlendirilmiş; e¼
ger
det [e1 :::en ] < 0
ise negatif yönlendirilmiş denir (O’Neill, 1983).
Tan¬m 2.2.8. Bir V vektör uzay¬n¬n iki baz¬e = fe1 ; :::; en g ve f = ff1 ; :::; fn g
olarak verilmiş olsun. Bu taktirde
ei =
n
X
aij fj
j=1
olmak üzere A = [aij ] matrisi için det A > 0 ise V nin e ve f bazlar¬ ayn¬
yönlendirmeye sahiptirler denir. Burada ayn¬yönlendirmeye sahip olma ba¼
g¬nt¬s¬
V nin tüm bazlar¬n¬n kümesinde bir denklik ba¼
g¬nt¬s¬d¬r ve V nin yönlendirmeleri
olarak adland¬r¬lan iki denklik s¬n¬f¬n¬belirtir. Ayr¬ca bu baz¬içeren yönlendirme
[fe1 ; :::; en g] ile gösterilir (O’Neill, 1983).
Tan¬m 2.2.9. Bir M yar¬-Riemann manifoldu için bir U
erinde
M komşulu¼
gu üz-
= fx1 ; :::; xn g bir koordinat sistemi ve
(p) =
hn
@1 jp ; :::; @n jp
oi
olsun. Her p 2 M noktas¬na Tp (M ) nin yönlendirmesini eşleyen ve 8p 2 M için
p nin baz¬koordinat komşuluklar¬nda
anlam¬nda diferensiyellenebilir bir
=
olacak şekilde p de bir
bulunmas¬
fonksiyonuna M nin bir yönlendirilmesi denir
(O’Neill, 1983).
Tan¬m 2.2.10.
M bir yar¬-Riemann manifoldu olsun.
E¼
ger M nin en az
bir yönlendirmesi varsa M ye yönlendiredirilebilirdir denir. Buna göre M yi
yönlendirmek belli bir yönlendirmeyi seçmek anlam¬ndad¬r (O’Neill, 1983).
8
Önerme 2.2.11.
M ve N iki yar¬-Riemann manifoldu ve
diferensiyellenebilir bir dönüşüm olsun. E¼
ger
: I ! M bir e¼
gri ise
: M ! N
:I!N
dir. Bu taktirde 8t 2 I için
d ( 0 (t)) = (
)0 (t)
olur (O’Neill, 1983).
Tan¬m 2.2.12. M ve N birer yar¬-Riemann manifoldu ve
:M !N
diferensiyellenebilir bir fonksiyon olsun. E¼
ger 8vp ; wp 2 Tp (M ) için
g(d (vp ); d (wp )) = g(vp ; wp )
ise
fonksiyonuna bir izometri denir (O’Neill, 1983).
Özel olarak bir
: R n ! Rn
izometrisine bir yar¬-Öklid transformasyonu,
= 1 olmas¬halinde de bir Lorentz
transformasyonu ad¬verilir (Dodson ve Poston, 1977).
Önerme 2.2.13. M ve N iki yar¬-Riemann manifoldu ve
olsun. Bu taktirde 8X; Y 2 (M ) için
d (rX Y ) = rd
olur (O’Neill, 1983).
9
(X) d
(Y )
: M ! N bir izometri
Tan¬m 2.2.14. X; F (t) ve A (t) s¬ras¬yla
0
x (t)
B 1
B
B x2 (t)
X=B
B ..
B .
@
xn (t)
1
0
f (t)
C
B 1
C
B
C
B f (t)
C ; F (t) = B 2
C
B ..
C
B .
A
@
fn (t)
1
0
a (t) a12 (t) : : : a1n (t)
C
B 11
C
B
C
B a (t) a22 (t) : : : a2n (t)
C ; A (t) = B 21
C
B
..
..
...
C
B
.
.
:::
A
@
an1 (t) an1 (t) : : : ann (t)
1
C
C
C
C
C
C
A
matrisleri ile gösterilirse o zaman birinci mertebeden
dxi X
=
aij (t) xj (t) + fi (t) ;
dt
j=1
n
1
i
n
lineer denklem sistemi
X 0 = A (t) X + F (t)
(2.1)
.
olarak yaz¬labilir. E¼
ger 2.1 sistemi homojen ise..
dX
= A (t) X
dt
(2.2)
olur (Özer ve Eser, 2000).
Tan¬m 2.2.15.
Herhangi bir I aral¬g¼¬ndaki çözüm vektörü, elemanlar¬ bu
aral¬kta 2.1 sistemini sa¼
glayan diferensiyellenebilir fonksiyonlar olan
2
x (t)
6 1
6
6 x2 (t)
X=6
6 ..
6 .
4
xn (t)
sütun matrisidir (Özer ve Eser, 2000).
10
3
7
7
7
7
7
7
5
Tan¬m 2.2.16. t0 herhangi bir I aral¬g¼¬nda bir nokta ve 1
i
n için bi ler
verilen sabitler olmak üzere
0
x (t )
B 1 0
B
B x2 (t0 )
X (t0 ) = B
B
..
B
.
@
xn (t0 )
1
0
1
b
C
B 1 C
C
C
B
C
B b2 C
C
C ve X0 = B
C
B .. C
C
B . C
A
A
@
bn
olarak tan¬mlans¬n. O zaman
X 0 = AX + F (t)
(2.3)
X (t0 ) = X0
problemine bu aral¬kta bir başlang¬ç-de¼ger problemi denir (Özer ve Eser, 2000).
Teorem 2.2.17. A (t) ve F (t) matrislerinin elemanlar¬ t0 noktas¬n¬ içeren bir
I aral¬g¼¬üzerinde sürekli fonksiyonlar olsunlar. Bu taktirde 2.3 başlang¬ç-de¼
ger
probleminin tek bir çözümü vard¬r (Özer ve Eser, 2000).
11
¼ I·LER
3. LORENTZ MANI·FOLDLARINDA s-DEJENERE EGR
Bu bölümde, ilk olarak bir Lorentz manifoldundaki s-dejenere e¼
gri kavram¬
tan¬mlarak, bir s-dejenere e¼
gri boyunca Frenet çat¬s¬ ve Cartan çat¬s¬ elde
edilecektir. Daha sonra ise bu tip e¼
griler için varl¬k ve teklik teoremleri ifade
edilecektir.
3.1 Bir s-Dejenere E¼
gri I·çin Frenet Çat¬s¬
Tan¬m 3.1.1 (M1n ; r) bir yönlendirilmiş Lorentz manifoldu ve
: I ! M1n
bir diferensiyellenebilir e¼
gri olsun.
boyunca her V vektör alan¬n¬n kovaryant
türevi V 0 ile gösterilsin. Ayr¬ca t 2 I ve i = 1; :::; n olmak üzere
Ei (t) = span
0
(t);
00
(t); :::;
(i)
(t)
ve
d = max fi : boy(Ei (t)) = i; 8t 2 Ig
olarak tan¬mlans¬n. E¼
ger her t 2 I ve 1
i
d için boyRad(Ei (t)) sabit, her
j < s için Rad(Es ) 6= f0g ve Rad(Ej ) = f0g olacak şekilde bir 1 < s
varsa
d say¬s¬
e¼
grisine bir s-dejenere(¬ş¬ks¬) e¼gri denir (Ferrandez vd., 2003).
Yukar¬daki tan¬ma göre klasik ¬ş¬ks¬ e¼
griler 1-dejenere e¼
grilerdir. Bu yüzden
bu çal¬şmada Lorentz uzaylar¬ndaki s > 1 için s-dejenere e¼
griler incelenecektir.
Buradaki di¼
ger önemli bir nokta da bu tip e¼
grilerin uzays¬ e¼
griler olmas¬
gerekti¼
gidir.
Lorentz manifoldlar¬ndaki s-dejenere e¼
griler için Frenet çat¬s¬n¬elde etmeden önce
temel niteli¼
ginde olan aşa¼
g¬daki lemmay¬inceleyelim.
12
Lemma 3.1.2. (V; h; i) bir bilineer uzay ve V nin bir hiperdüzlemi F olsun.
Bu taktirde rF = boyRad(F) ve rV = boyRad(V) olmak üzere aşa¼
g¬daki ifadeler
sa¼
glan¬r:
i) rF = 0 ve rV = 1 ise
V = F ?span fLg
olacak şekilde bir L ¬ş¬ks¬vektörü vard¬r.
ii) rF = rV 2 f0; 1g ise
V = F ?span fW g
olacak şekilde ¬ş¬ks¬olmayan bir W vektörü vard¬r. Ayr¬ca Rad(V) = f0g ise W
işaretine göre tektir.
iii) L 2 Rad(F) ve E non-dejenere olmak üzere rF = 1; rV = 0 ve F = E ? L ise
öyle bir N ¬ş¬ks¬vektörü vard¬r ki, " =
1 olmak üzere
< L; N > = "
ve
V = (span fLg
span fN g)? E
dir (Ferrandez vd., 2003).
I·spat:
i) rF = 0 oldu¼
gunda Lemma 2.1.4. gere¼
gince F non-dejenere bir hiperdüzlemdir.
Dolay¬s¬yla key… bir L vektörü için F? = span fLg olmak üzere
V = F ? F?
yaz¬labilir. Di¼
ger taraftan rV = 1 oldu¼
gundan
Rad(V)
sokma(inclusion) dönüşümü
13
F?
Rad(V) = span fLg = F?
olmas¬n¬gerektirir ki bu halde
V = F ?span fLg
olur.
ii) I·lk olarak rF = rV = 0 olsun. Bu taktirde V ve F non-dejenere uzaylar olup,
W vektörü F hiperyüzeyinin ¬ş¬ks¬olmayan birim normal vektörü olmak üzere
V = F ?span fW g
olarak yaz¬labilir.
Şimdi de rF = rV = 1 oldu¼
gunu kabul edelim. E non-dejenere bir altuzay ve L
¬ş¬ks¬bir vektör olmak üzere
F = E ?span fLg
oldu¼
gu gözönüne al¬n¬rsa
V = E ? E?
olarak yaz¬labilir. Di¼
ger taraftan boy(E? ) = 2 oldu¼
gundan, Rad(E) = span fLg
ve W 2 E? ¬ş¬ks¬olmayan bir vektör olmak üzere
E? = span fLg
span fW g
olur. Bu taktirde
V = E ? E?
= E ? fspan fLg
span fW gg
= fE ?span fLgg
span fW g
olup
14
E\span fW g = f0g
oldu¼
gundan
V = E ?span fW g
elde edilir.
iii) rV = 0 ve rF = 1 olsun. Yukar¬daki ispatta oldu¼
gu gibi
E? = span fLg
span fW g
ve
F = E ?span fLg
oldu¼
gu gözönüne al¬n¬rsa
V = E ? E?
elde edilir. Di¼
ger taraftan Rad(V) = f0g oldu¼
gundan < L; W > 6= 0 d¬r. Buna
göre
N=
"
(W
< L; W >
< W; W >
L)
2 < L; W >
olarak tan¬mlans¬n. Bu taktirde
< N; N > = <
"
(W
<L;W >
<W;W >
"
L); <L;W
(W
2<L;W >
>
<W;W >
L)
2<L;W >
2
=
"2
(<
<L;W >2
<W;W >
W; W > + 4<L;W
< L; L >
>2
=
1
(<
<L;W >2
W; W >
>
<W;W >
2 2<L;W
< L; W >)
>
< W; W >)
= 0
ve
"
< L; N > = < L; <L;W
(W
>
=
"
(<
<L;W >
L; W >
= "
15
<W;W >
L)
2<L;W >
<W;W >
2<L;W >
>
< L; L >)
olup, N 2 E? dir. Bu taktirde
V =span fLg
span fN g ? E
parçalanmas¬elde edilmiş olur (Ferrandez vd., 2003).
Teorem 3.1.3. (M1n ; r) bir yönlendirilmiş Lorentz manifoldu ve
d ise M1n de
bir s-dejenere e¼
gri olsun. E¼
ger d = n ve s
0
e¼
grisi boyunca
= k1 W 1
W10
= k2 W 2
Wi0
=
ki W i
=
ks 1 W s
Ws0
: I ! M1n
1
1
+ ki+1 Wi+1 ;
2
2
i
s
2
+ "ks L
L0
= "ks+1 L + ks+2 Ws
Ws0
= "ks+3 L
N0
=
(3.1)
"ks+2 N
ks 1 W s
"ks+1 N
1
ks+3 Ws + ks+4 Ws+1
0
Ws+1
= "ks+4 L + ks+5 Ws+2
Wj0
=
"ks+3 Wj
1
Wm0
=
km+3 Wm
1
+ kj+4 Wj+1 ;
s+2
j
m
1
denklemlerini sa¼
glayan tek bir F = fW1 ; :::; Ws 1 ; L; Ws ; N; Ws+1 ; :::; Wm g kümesi
vard¬r (Ferrandez vd., 2003).
I·spat:
e¼
grisi bir s-dejenere e¼
gri oldu¼
gundan tan¬m¬gere¼
gince,
0
¬ş¬ks¬olmayan
bir vektör olup, k1 > 0 ve W1 bir birim uzays¬vektör olmak üzere
0
= k1 W1
yaz¬labilir. Bu taktirde
16
(3.2)
E2 = span f 0 ;
00
g
= span f 0 g span f 00 g
= E1 span f 00 g
olup, Lemma 3.1.2. nin (ii) ş¬kk¬gere¼
gince
E2 = E1 ? span fW2 g
olacak şekilde bir W2 birim uzays¬vektörü vard¬r. Ayr¬ca W2 seçimi gere¼
gince,
f 0;
00
g ile fW1 ; W2 g ayn¬yönlendirmeye sahip olacak şekilde tektir. Bu düşünce
ile haraket edilerek ve Lemma 3.1.2. nin (ii) ş¬kk¬ kullan¬larak
1
i
s
1 için
0
; :::;
(i)
boyunca her
ile fW1 ; :::; Wi g ayn¬yönlendirmeye sahip olacak
şekilde ortonormal uzays¬vektörlerin bir fW1 ; :::; Ws 1 g kümesi elde edilir.
0
= k1 W1 oldu¼
gundan, her iki taraf¬n türevi al¬n¬rsa
00
= k10 W1 + k1 W10
olup
00
=
k1
k10 W1
k1
k10
k1
=
1
k1
00
W10 =
00
0
k1
k10
k12
0
olaca¼
g¬ndan
W10 2 span f 0 ;
00
g = span fW1 ; W2 g
olarak bulunur. Bu taktirde
W10 =
1 W1
+
2 W2
(3.3)
olarak yaz¬labilir. (3:3) ifadesinin her iki taraf¬, s¬ras¬yla, W1 ve W2 ile çarp¬l¬rsa
< W10 ; W1 > =
1
< W10 ; W2 > =
2
17
olur. Di¼
ger taraftan < W1 ; W1 >= 1 oldu¼
gundan bu ifadenin de her iki taraf¬n¬n
türevi al¬n¬rsa
2 < W10 ; W1 >= 0
olup
=0
1
olarak elde edilir. < W1 ; W2 > = 0 oldu¼
gundan, yine her iki taraf¬n türevi al¬n¬rsa
< W10 ; W2 > =
olup k2 = < W10 ; W2 > =
< W1 ; W20 >
< W1 ; W20 > dersek
= k2
2
olarak bulunur. Bu taktirde
W10 = k2 W2
(3.4)
olarak elde edilir. Benzer şekilde, (3:4) ifadesinin türevi al¬n¬r, (3:2) ve (3:3)
eşitlikleri de gözönünde bulundurulursa
W100 = k20 W2 + k2 W20
olup
=
W100 k20 W2
k2
k20 W10
W100
k2
k22
00
0
1
k2
k1
k20
k2
=
1
k2
2k10
k12
W20 =
=
1
k2
000
0
0
k1
k20
k1 k 2
+
2
00
+
k1 k100 +2(k10 )
k13
+
olaca¼
g¬ndan
W20 2 span f 0 ;
00
;
000
g = span fW1 ; W2 ; W3 g
olarak bulunur. Dolay¬s¬yla
18
k10 k20
k12 k2
0
W20 =
1 W1
+
2 W2
+
(3.5)
3 W3
olarak yaz¬labilir. (3:5) ifadesi, s¬ras¬yla, W1 ; W2 ve W3 ile iç çarp¬l¬rsa
< W20 ; W1 > =
1
< W20 ; W2 > =
2
< W20 ; W3 > =
3
olur. O halde, yukar¬da oldu¼
gu gibi
1
=
k2 ;
2
= 0;
3
= k3
olup
W20 =
olarak bulunur. Bu taktirde 2
i
(3.6)
k2 W 1 + k3 W 3
2 ve i + 1 6= j için
s
< Wi0 ; Wi >
= 0;
< Wi0 ; Wj >
= 0;
< Wi0 ; Wi+1 > =
0
Wi ; Wi+1
= ki+1
ifadeleri gözönüne al¬n¬rsa,
Wi0 =
ki W i
1
+ ki+1 Wi+1 ;
2
i
s
2
elde edilir.
Şimdi
boy (Rad (Es )) = 1
olmak üzere
Es = Es
1
span
(s)
olarak alal¬m. Burada yine Lemma 3.1.2. nin (i) ş¬kk¬kullan¬larak
19
(3.7)
Es = Es
span fLg
1
olacak şekilde tek olmayan bir L ¬ş¬ks¬vektör alan¬bulunabilir. s 6= n oldu¼
gunda
En in non-dejenere olmas¬sebebiyle
(s+1)
Es+1 = Es span
dir.
Şimdi boyRad (Es+1 ) = 1 oldu¼
gunu ispatlayal¬m.
Kabul edelim ki
boyRad (Es+1 ) = 0 olsun . Bu taktirde Lemma 3.1.2. nin (iii) ş¬kk¬gere¼
gince
< Wi ; N > =< N; N > = 0; < L; N > = "; " =
1
(3.8)
ve
Es+1 = span fW1 ; :::; Ws 1 ; L; N g
olacak şekilde bir tek N ¬ş¬ks¬vektörü vard¬r. Bu taktirde
Ws0
2 fW1 ; :::; Ws 1 ; Lg
1
olup, (3:7) ifadesi gözönüne al¬n¬rsa
Ws0
1
=
s 2 Ws 2
+
(3.9)
sL
yaz¬labilir.
< W s 1 ; Ws
2
> = 0
oldu¼
gundan, her iki taraf¬n türevi al¬n¬rsa
< Ws0 1 ; Ws
2
> =
olur. (3:10) eşitli¼
ginde (3:7) kullan¬larak, Ws0
20
< Ws 1 ; Ws0
2
2
>
(3.10)
ve (3:9) ifadeleri yerlerine yaz¬l¬rsa
< Ws0 1 ; Ws
<
s 2
s 2 Ws 2
< W s 2 ; Ws
2
+
>+
s
2
> =
< Ws 1 ; Ws0
s L; Ws 2
> =
< W s 1 ; ks 2 W s
< L; Ws
2
> = ks
2
ks
2
< W s 1 ; Ws
1
>
3
< W s 1 ; Ws
3
+ ks 1 W s
1
>
1
>
olup
s 2
=
ks
1
bulunur. (3:8) eşitli¼
gini gözönüne al¬p, (3:9) denklemini N ile iç çarparsak
< Ws0 1 ; N > =
s 2
< Ws 2 ; N > +
s
< L; N >
den
s
= "ks
bulunur. Böylece (3:9) ifadesi
Ws0
1
=
ks 1 W s
2
(3.11)
+ "ks L
olarak elde edilir. Son olarak, benzer düşünceyle L0 2 Span fW1 ; :::; Ws 1 ; L; N g
olaca¼
g¬ndan
0
L =
s 1
X
i Wi
+
sL
+
s+1 N
i=1
olarak yaz¬labilir. Bu ifadenin de her iki taraf¬ N ile çarp¬l¬p, (3:8) ifadeleri
gözönüne al¬n¬rsa
< L0 ; N > =
s 1
X
i
< Wi ; N > +
i=1
eşitli¼
ginden
21
s
< L; N > +
s+1
< N; N >
>
= "ks+1
s
dir. O halde
L0 = "ks+1 L
elde edilir. Böylece türev al¬narak j = 1; :::; s + 1 için kj fonksiyonlar¬ belirli
fonksiyonlar olmak üzere
0
= k1 W 1
W10
= k2 W 2
Wi0
=
ki Wi
=
ks 1 W s
Ws0
1
L0
1
i
s için
i
2
2
i
s
(3.12)
2
+ "ks L
= "ks+1 L
denklemleri elde edilmiş olur.
1
+ ki+1 Wi+1 ;
Ancak L 2 span
0
; :::;
(s)
oldu¼
gundan
6= 0 olmak üzere
L=
0
1
+ ::: +
s
(s)
yaz¬labilir. Bu taktirde
L0 =
1
00
+ ::: +
s 1
(s)
+
s
(s+1)
= "ks+1 L 2 span
0
; :::;
(s)
bulunur. Bu ise bize
(s+1)
2 span
0
; :::;
(s)
oldu¼
gunu gösterir ki, bu ifade boyRad (Es+1 ) = 0 olmas¬ile çelişir. Bu taktirde
boyRad (Es+1 ) = 1
olup,
Lemma
3.1.2.
nin
(ii)
ş¬kk¬ kullan¬larak
0
; :::;
(s+1)
ile
fW1 ; :::; Ws 1 ; L; Ws g ayn¬yönlendirmeye sahip olacak şekilde bir Ws vektör alan¬
bulunur. n > s + 1 oldu¼
gundan
22
Rad (Es+2 ) = 0
dir. Gerçekten e¼
ger Rad (Es+2 ) = 1 ise, bu taktirde Lemma 3.1.2 nin (ii) ş¬kk¬
gere¼
gince Es+1 e ortogonal bir Ws+1 birim uzays¬vektör alan¬vard¬r ki
span fWs+1 g
Es+2 = Es+1
dir. Buradan da türev al¬narak
Ws0
1
L0
=
=
ks 1 W s
2
+ "ks L
(3.13)
"ks+1 L + ks+2 Ws
bulunur. Rad (Es+2 ) = span fLg oldu¼
gundan
< L;
(s+1)
> = < L;
(s+2)
> = 0
dolay¬s¬yla da
< L0 ;
(s+1)
> = 0
elde edilir. Buradan ve (3:13) den
< L0 ;
(s+1)
> = < "ks+1 L + ks+2 Ws ;
= "ks+1 < L;
(s+1)
(s+1)
>
> +ks+2 < Ws ;
(s+1)
>
olup
< Ws ;
(s+1)
> = 0
bulunur. Yani Ws 2 Rad (Es+1 ) olur ki bu Ws bir uzays¬vektör oldu¼
gundan bu
bir çelişkidir. Böylece Rad (Es+2 ) = 0 ve
hN; Li = "; hN; Wi i = 0
olacak şekilde bir tek N vard¬r.
23
E¼
ger
0
; :::;
(s+2)
ve fW1 ; :::; Ws 1 ; L; Ws ; N g ayn¬yönlendirilmeye sahip olacak
şekilde bir " seçelirse s + 2 = n oldu¼
gunda işlem sonland¬r¬l¬r. Aksi taktirde
i > s + 2 için boyRad (Ei ) = 0 olup ayn¬yönlendirme kural¬ile m = n
2 için
ortonormal uzays¬vektörlerin bir fWs+1 ; :::; Wm g sistemi elde edilir. Wm vektör
alan¬ise
fW1 ; :::; Ws 1 ; L; Ws ; N; Ws+1 ; :::; Wm g
pozitif yönlendirmeye sahip olacak şekilde seçilir. Bu çat¬ya göre fk1 ; :::; km+3 g
fonksiyonlar¬ belirli fonksiyonlar olmak üzere (3:2), (3:4), (3:6), (3:7), (3:10)
eşitliklerinde
oldu¼
gu
gibi,
0
; Wj0 ; Wm0
L0 ; Ws0 ; N 0 ; Ws+1
s¬ras¬yla,
ifadeleri
şu şekilde hesaplanabilir: L0 2 span fW1 ; :::; Ws 1 ; L; Ws g oldu¼
gundan
0
L =
s 1
X
i Wi
+
sL
+
(3.14)
s+1 Ws
i=1
olarak yaz¬labilir. Bu ifadenin her iki taraf¬n¬önce N sonra da Ws ile çarp¬l¬rsa
0
< L ;N > =
s 1
X
< L 0 ; Ws > =
i
i=1
s 1
X
< Wi ; N > +
s
< W i ; Ws > +
i
< L; N > +
s
s+1
< L; Ws > +
< Ws ; N >
s+1
< W s ; Ws >
i=1
den
s
= "ks+1
ve
s+1
= ks+2
olarak, di¼
ger katsay¬lar da s¬f¬r olarak bulunur. Bu ifadeler (3:14) de yerine
yaz¬l¬rsa
L0 = "ks+1 L + ks+2 Ws
(3.15)
elde edilir. Ws0 2 span fW1 ; :::; Ws 1 ; L; Ws ; N g oldu¼
gundan
Ws 0 =
s 1
X
i Wi
+
sL
i=1
24
+
s+1 Ws
+
s+2 N
(3.16)
olarak yaz¬labilir. < Ws ; L > = 0 oldu¼
gundan
< Ws ; L0 >
< Ws0 ; L > =
dir. Burada (3:15) den
< Ws ; L0 > =
< Ws ; "ks+1 L + ks+2 Ws >
=
"ks+1 < Ws ; L >
ks+2 < Ws ; Ws >
ve (3:16) dan
sP1
< Ws0 ; L > = <
=
sP1
i Wi
+
sL
+
s+1 Ws
+
s+2 N; L
>
i=1
i
< Wi ; L > +
s
< L; L > +
s+1
< Ws ; L >
i=1
+
s+2
< N; L > +
s+2
< N; L >
eşitlikleri yerine yaz¬l¬rsa
s+2
=
"ks+2
bulunur. (3:16) denkleminin her iki taraf¬n¬n N ile çarp¬m¬al¬n¬rsa
< Ws 0 ; N > = <
=
sP1
i=1
sP1
i Wi
+
sL
+
s+1 Ws
+
s+2 N; N
>
i=1
i
hWi ; N i +
s
hL; N i +
s+1
hWs ; N i +
s+2
hN; N i
olup
s
= "ks+3
olarak bulunur. Bu ifadeler (3:16) de yerine yaz¬l¬rsa
Ws0 = "ks+3 L
(3.17)
"ks+2 N
bulunur. N 0 2 span fW1 ; :::; Ws 1 ; L; Ws ; N; Ws+1 g oldu¼
gundan
0
N =
s 1
X
i Wi
+
sL
+
s+1 Ws
i=1
25
+
s+2 N
+
s+3 Ws+1
(3.18)
yaz¬labilir. < N; N > = 0 oldu¼
gundan < N 0 ; N > = 0 d¬r. Dolay¬s¬yla (3:18)
ifadesi N ile çarp¬m¬al¬nd¬g¼¬nda
=0
s
bulunur. < N; Ws
1
> = 0 oldu¼
gundan, < N 0 ; Ws
1
< N; Ws0
>=
1
> olup,
burada (3:12) ve (3:18) yerine yaz¬l¬rsa
=
s 1
ks
olur. < N; Ws > = 0 oldu¼
gundan < N 0 ; Ws > =
< N; Ws0 > olup, burada
(3:17) ve (3:18) yerine yaz¬ld¬g¼¬nda
s+1
=
ks+3
elde edilir. (3:18) eşitli¼
gi, s¬ras¬yla, L ve Ws+1 ile iç çarp¬l¬rsa
s+2
=
"ks+1
ve
s+3
= ks+4
bulunur. Bu ifadeler (3:18) de yerlerine yaz¬l¬rsa
N0 =
ks 1 W s
1
"ks+1 N
ks+3 Ws + ks+4 Ws+1
(3.19)
denklemi elde edilir.
Ws+1 0 2 span fW1 ; :::; Ws 1 ; L; Ws ; N; Ws+1 ; Ws+2 g
oldu¼
gundan
0
Ws+1
=
s 1
X
i Wi
+
sL
+
s+1 Ws
+
s+2 N
i=1
26
+
s+3 Ws+1
+
s+4 Ws+2
(3.20)
yaz¬labilir. (3:20) ifadesi s¬ras¬yla N ve Ws+2 ile iç çarp¬l¬rsa
=
s
"ks+4 ;
= ks+5
s+4
ve di¼
ger katsay¬lar s¬f¬r olmak üzere (3:20) denklemi
0
Ws+1
= "ks+4 L + ks+5 Ws+2
olarak bulunur. s + 2
j
(3.21)
1 için
m
i
= 0;
i = 1; :::; s
s
=
=0
s+1
1
olup
< Wj0 ; Wj
1
> =
kj+3 ;
< Wj0 ; Wj+1 > =
kj+4
eşitlikleri gözönüne al¬n¬rsa,
Wj0 =
kj+3 Wj
1
+ kj+4 Wj+1 ;
denklemi elde edilir. Son olarak < Wm ; Wm
< Wm0 ; Wm
dir. Burada (3:22) den Wm0
1
1
> =
1
s+2
j
m
1
(3.22)
> = 0 oldu¼
gundan
< Wm ; Wm0
1
>
ve Wm0 yerine yaz¬l¬rsa
Wm0 =
km+3 Wm
bulunur (Ferrandez vd., 2003).
27
1
(3.23)
Böylece, bu çat¬ya göre e¼
grilik fonksiyonlar¬ ve Frenet denklemleri şu şekilde
tan¬mlanabilir:
Tan¬m 3.1.4. (M1n ; r) bir yönlendirilmiş Lorentz manifoldu ve
s-dejenere e¼
gri olsun.
Bu taktirde d = n ve s
: I ! M1n bir
d olmak üzere (3:1)
denklemini sa¼
glayan F = fW1 ; :::; Ws 1 ; L; Ws ; N; Ws+1 ; :::; Wm g kümesine
boyunca Frenet çat¬s¬ denir.
Ayr¬ca fk1 ; :::; km+3 g fonksiyonlar¬na ve (3:1)
denklemlerine de s¬ras¬yla
e¼
grisinin F
Frenet çat¬s¬na göre e¼grilik
fonksiyonlar¬ ve Frenet denklemleri ad¬verilir (Ferrandez vd., 2003).
Buradan şu sonuç verilebilir:
Lemma 3.1.5. s-dejenere e¼
grilerin s tipi e¼
grinin parametresine ba¼
gl¬ de¼
gildir
(Ferrandez vd., 2003).
I·spat: Kabul edelim ki t ve t farkl¬iki parametre olsun. Bu taktirde
(t) =
t (t)
olarak yaz¬labilir. Bu ifadenin t ye göre türevi al¬n¬rsa
0
0
(t) = t (t) :
00
(t) = t (t) :
000
(t) = t (t) :
00
000
0
t
2
0
0
t + t (t)
0
0
00
:
00
t
00
t + 2t (t) t (t) + t (t) :
olup bu şekilde devam edilirse
(i)
(t) =
i
X
xij (t)
j=1
28
(j)
t
00
0
t + t (t)
2
:
000
t
bulunur. Dolay¬s¬yla
0
Ei = span
(i)
(t) ; :::;
(t) = span
n
0
t ; :::;
(i)
t
o
elde edilir ki bu eşitlik s-dejenere bir e¼
grinin s tipinin, e¼
grinin parametresine ba¼
gl¬
olmad¬g¼¬n¬gösterir (Ferrandez vd., 2003).
Teorem 3.1.6. M1n bir Lorentz manifoldu olmak üzere
: M1n ! M1n
bir izometri ve
(t) = (
) (t)
olsun. Bu taktirde her V vektör alan¬ için Dt ve Dt s¬ras¬yla
boyunca kovaryant türevleri göstermek üzere
D
d
dt
(t)
(V (t)) = d
(t)
D
V (t)
dt
dir (Ferrandez vd., 2003).
I·spat: Önerme 2.2.11. den
d
(t)
( 0 (t)) = (
)0 (t) =
0
(t)
oldu¼
gu gözönüne al¬nd¬g¼¬nda, Önerme 2.2.13. gere¼
gince
d
(t)
r
0 (t)
V (t)
= rd
= r
29
(t) (
0 (t)
d
0 (t))
(t)
d
(t)
(V (t))
(V (t))
ve
e¼
grileri
elde edilir. Bu taktirde
D
d
dt
(t)
(V (t))
= r
0 (t)
= rd
d
(t)
(t) (
= d
(t)
= d
(t)
0 (t))
(V (t))
d
(V (t))
(t)
r 0 (t) V (t)
D
V (t)
dt
olup
D
d
dt
(t)
(V (t)) = d
(t)
D
V (t)
dt
olarak elde edilmiş olur.
Buradan şu sonuç verilebilir:
Sonuç 3.1.7. M1n bir Lorentz manifoldu ve
: M1n ! M1n
bir Lorentz transformasyonu olsun. Bu taktirde
: I ! M1n
ve
: I ! M1n
e¼
grileri için
<
(i)
(t) ;
(j)
(t) > = <
(i)
(t) ;
(j)
(t) >
olmas¬ Lorentz transformasyonlar¬ alt¬nda bu tip e¼
grilerin invaryant kald¬g¼¬n¬,
dolay¬s¬yla da e¼
grinin s-tipinin bir Lorentz transformasyonu alt¬nda de¼
gişmedi¼
gini
gösterir (Ferrandez vd., 2003).
30
3.2. Bir s-Dejenere E¼
gri I·çin Cartan Çat¬s¬
Bu bölümde bir Lorentz manifoldu üzerinde bulunan s-dejenere e¼
gri için Lorentz
transformasyonlar¬alt¬nda e¼
griliklerinin say¬s¬minimum olacak şekilde bir Frenet
çat¬s¬elde edilecektir.
Teorem 3.2.1. n = m + 2 ve s > 1 olmak üzere
: I ! M1n
bir s-dejenere e¼
gri ve her t için
0
sisteminin T
(t)
00
(t) ;
(n)
(t) ; :::;
(t)
(M1n ) tanjant uzay¬n¬gerdi¼
gini kabul edelim. Bu taktirde
0
= W1
W10
=
Wi0
=
i Wi 1
=
s 2 Ws 2
Ws0
1
1 W2
L0
=
Ws0
= " sL
N0
=
+
i+1 Wi+1 ;
2
i
s
2
+L
s+1 Ws
0
Ws+1
= "
"Ws
s+1 L
(3.24)
"
s 1N
s Ws N
1
+
+
s+1 Ws+1
s+2 Ws+2
Wj0
=
j Wj 1
Wm0
=
m Wm 1
+
j+1 Wj+1 ;
s+2
j
m
1
denklemini sa¼
glayacak şekilde tek bir Frenet çat¬s¬vard¬r (Ferrandez vd., 2003).
I·spat: Genelli¼
gi bozmamak için
n¬n yay-uzunlu¼
gu parametresine sahip bir e¼
gri
oldu¼
gunu kabul edelim. Bu taktirde W1 =
al¬nmas¬yla Lemma 3.1.2.
31
0
ve k1 = 1 olur. Ayr¬ca ks = " olarak
fW1 ; :::; Ws 1 ; Lg
kümesinin tek olarak belirlenebilece¼
gini gösterir.
O halde geriye sadece Ws
vektörünün elde edilmesi kal¬r. boyRad (Es+1 ) = 1 oldu¼
gundan Lemma 3.1.2
gere¼
gince tek olmayan öyle bir Ws vektörü vard¬r ki
0
; :::;
(s)
(s+1)
;
ile fW1 ; :::; Ws 1 ; L; Ws g
ayn¬yönlendirmeye sahiplerdir. Buna göre kabul edelim ki Ws ve Ws iki farkl¬
Frenet çat¬s¬üreten vektör alanlar¬, yani
fW1 ; :::; Ws 1 ; L; Ws ; N; Ws+1 ; :::; Wm g
! f1; k2 ; :::; ks = 1; ks+1 ; :::; km+3 g
W1 ; :::; Ws 1 ; L; Ws ; N ; Ws+1 ; :::; Wm
!
1; k2 ; :::; ks = 1; ks+1 ; :::; km+3
olsunlar. Bu taktirde f : I ! R diferensiyellenebilir bir fonksiyon olmak üzere
(3.25)
Ws = f L + Ws
olsun. Di¼
ger taraftan
N 2 span
0
; :::;
(s)
;
(s+1)
;
(s+2)
= span fW1 ; :::; Ws 1 ; L; Ws ; N g
oldu¼
gundan
N =
1L
+
2 Ws
+
3N
(3.26)
olarak yaz¬labilir. Ayr¬ca Lemma 3.1.2. gere¼
gince özel olarak " = 1 olarak al¬n¬rsa
< N ; L > = 1;
< N ; Ws > = < N ; N > = 0
ve
< N; L > = 1;
< N; Ws > = < N; N > = 0
32
d¬r. Bu taktirde (3:26) eşitli¼
gi ve son eşitlikler gözönüne al¬n¬rsa
< N ;L > = 1 )
<
)
olup
3
1
< L; L > +
2
1L
+
2 Ws
+
< Ws ; L > +
3
3 N; L
> = 1
< N; L > = 1
= 1;
< N ; Ws > = <
1L
+
2 Ws
+
3 N; Ws
> )
2
= < N ; Ws >
ve (3:25) eşitli¼
ginden
fL >
< N ; Ws > = < N ; Ws
= < N ; Ws >
oldu¼
gundan
2
=
f < N ;L >
f;
< N ;N > = 0 ) <
1L
+
)
2 Ws
2
+
1 3
3 N;
1L
< N; L > +
)
olup
1
=
f2
2
+
2 Ws
2
2
+
3N
> = 0
< W s ; Ws > = 0
2
1
+ f2 = 0
bulunur. Buna göre
N =
f2
L
2
f Ws + N
olarak bulunur. Ayr¬ca
ks+1 = < L0 ; N >
f2
= < L0 ;
L f Ws + N >
2
f2
=
< L0 ; L0 > f < L0 ; Ws > + < L0 ; N >
2
olup
33
(3.27)
ks+1 = ks+1
f ks+2
dir. Böylece
Ws = f L + Ws ;
N =
1 2
f L+N
2
ve
f Ws
ks+1 = ks+1
f ks+2 (3.28)
eşitlikleri elde edilmiş olur. Di¼
ger taraftan buradaki f fonksiyonu ks+1 = 0
olacak şekilde seçilebilir.
adland¬r¬lmas¬yla,
f 1 ; :::;
Bu taktirde e¼
grilik fonksiyonlar¬n¬n yeniden
mg
belirli
fonksiyonlar
olmak
üzere
(3:24)
denklemleri elde edilmiş olur (Ferrandez vd.,2003).
Tan¬m 3.2.2. s > 1 olmak üzere bir s-dejenere
e¼
grisi e¼
ger (3:24) denklemlerini
sa¼
gl¬yorsa bu e¼
griye bir s-dejenere Cartan e¼grisi ad¬verilir. (3:24) denklemi ile
verilen çat¬ya ve e¼
grilik fonksiyonlar¬na da s¬ras¬yla
e¼
grisinin Cartan çat¬s¬ ve
Cartan e¼grilikleri ad¬verilir (Ferrandez vd., 2003).
Lemma 3.2.3.
E¼
ger m > s ise
yönlendirilmiş olmas¬na göre " =
0
;
00
(n)
; :::;
sisteminin pozitif (negatif)
1 olup, s 6= i için
olur. m = s olmas¬durumunda ise yine
negatif yönlendirilmiş olmas¬na göre " =
0
;
00
; :::;
i
(n)
> 0 ve
m
>0(
m
< 0)
sisteminin pozitif veya
1 ve " = 1 olup s 6= i için
i
> 0 olur
(Ferrandez vd., 2003).
Tan¬m 3.2.4.
M1n deki bir s-dejenere Cartan e¼
grisi
Cartan e¼
grilikleri sabit ise
olsun. E¼
ger bu e¼
grinin
e¼
grisine M1n de bir s-dejenere helis ad¬ verilir
(Ferrandez vd., 2003).
34
¼ I·LER
4. Rn1 MINKOWSKI UZAYINDA s-DEJENERE EGR
Bu bölümde, ilk olarak
j
ler belirli fonksiyonlar ve
fW1 ; :::; Ws 1 ; L; Ws ; N; Ws+1 ; :::; Wm g
sistemi 3.24. denklemlerini sa¼
glayan bir Cartan çat¬s¬olmak üzere Rn1 Minkowski
uzay¬nda bu çat¬ya sahip bir s- dejenere Cartan e¼
grisinin oldu¼
gu ifade ve ispat
Daha sonra ise R41 Minkowski uzay¬nda 2-dejenere helisler
edilecektir.
ele al¬nacakt¬r.
griler I·çin Cartan Çat¬s¬
4.1. Rn1 Minkowski Uzay¬nda s-Dejenere E¼
Lemma 4.1.1. 2r
2r olmak üzere Rn nun bir baz¬
n ve m = n
2
B= fL1 ; N1 ; :::; Lr ; Nr ; W1 ; :::; Wm g olsun.
0
8
>
p1 (Li
>
>
2
>
>
>
< W
i r
Vi =
1
>
p (Li
>
>
2
>
>
>
: W
i 2r
" i Ni )
i = 1; :::; r
i = r + 1; :::;
olmak üzere B = fV1 ; :::; V ; V
" i Ni ) i =
+ 1; :::; + r
i=
+ r + 1; :::; n
+1 ; :::; Vn g
baz¬n¬ göz önüne alal¬m. Bu taktirde
aşa¼
g¬daki ifadeler denktir:
1) B bir yar¬-ortonormal bazd¬r.
0
2) B bir ortonormal bazd¬r.
0
3) B baz¬
X
V iV
j
n
X
+
=1
V iV
j
=
ij
= +1
eşitli¼
gini sa¼
glar.
4) B baz¬
r
X
=1
" (L i N
j
+ L j N i)
Xr
W iW
=1
35
j
+
m
X
=
r+1
W iW j =
ij
eşitli¼
gini sa¼
glar.
Burada Vpk ; Lpk ; Npk ve Wpk s¬ras¬yla Vp ; Lp ; Np ve Wp
vektörlerinin bileşenlerini ve
ij
standart koordinatlar cinsinden kanonik metri¼
gin
matrisini göstermektedir (Ferrandez vd., 2003).
Teorem 4.1.2. i 6= s, m için ki > 0 olmak üzere
k1 ; :::; km : [
; ]!R
diferensiyellenebilir fonksiyonlar olsunlar. m + 2 = n için Rn1 de bir nokta p ve
0
W10 ; :::; Ws0 1 ; L0 ; Ws0 ; N 0 ; Ws+1
; :::; Wm0
sistemi Tp (Rn1 ) nin bir pozitif yönlendirilmiş yar¬-ortonormal baz¬ olsun. Bu
taktirde Rn1 de
(0) = p olmak üzere, Cartan çat¬s¬
L (0) = L0 ; N (0) = N 0 ; Wi (0) = Wi0
şartlar¬n¬
sa¼
glayacak
şekilde
tek
bir
i 2 f1; :::; mg
e¼
grisi
s-dejenere
vard¬r
(Ferrandez vd., 2003).
I·spat: Teorem 2.2.7. gere¼
gince [
; ] aral¬g¼¬ üzerinde tan¬ml¬ ve teoremin
başlang¬ç koşullar¬n¬sa¼
glayan, (3:24) denklemlerinin tek bir
fW1 ; :::; Ws 1 ; L; Ws ; N; Ws+1 ; :::; Wm g
çözümü vard¬r. (3:24) denklemleri gözönüne al¬nd¬g¼¬nda do¼
grudan hesaplamayla
d
dt
" (Li (t) Nj (t)) + (Lj (t) Ni (t)) +
m
X
!
W i (t) W j (t)
=1
=0
oldu¼
gu gösterilebilir. O halde fW1 ; :::; Ws 1 ; L; Ws ; N; Ws+1 ; :::; Wm g baz¬ t = 0
da ortonormal oldu¼
gundan, r = 1 için Lemma 4.1.1. den
36
"Li (t) Nj (t) + Lj (t) Ni (t) +
m
X
W i (t) W j (t) =
ij ;
=1
8t 2 [
; ]
elde edilir. Lemma 4.1.1. tekrar kullan¬larak her t için fL; N; Wi ; :::; Wm g in
yar¬-ortonormal oldu¼
gu sonucuna var¬l¬r.
Böylece ispat tamamlanm¬ş olur
(Ferrandez vd., 2003).
Teorem 4.1.3. 1
i
m için ki : [
; ] ! R bir diferensiyellenebilir fonksiyon
olmak üzere Rn1 üzerindeki iki s-dejenere Cartan
e¼
griliklerine sahip olsun . Bu taktirde Rn1 nin
ve
e¼
grisi f 1 ; :::;
e¼
grisini
mg
Cartan
e¼
grisine bijektif olarak
eşleyen bir Lorentz transformasyonu vard¬r (Ferrandez vd., 2003).
4.2. R41 Minkowski Uzay¬ndaki s-Dejenere Helisler
R41 Minkowski uzay¬nda
: I ! R41
bir s-dejenere Cartan e¼
grisi olsun. O halde (3:24) denklemleri
0
= W1
(4.1)
W10 = L
(4.2)
L0 =
W20 = " 2 L
N0 =
formunda olur. Şimdi
(4.3)
1 W2
"W1
" 1N
(4.4)
2 W2
(4.5)
e¼
grisinin bir s-dejenere helis oldu¼
gunu kabul edelim. Bu
taktirde Tan¬m 3.2.4. gere¼
gince, yukar¬da verilen Cartan denklemlerindeki
1;
2
Cartan e¼
grilikleri sabit olaca¼
g¬gözönüne al¬narak, (4:1) eşitli¼
ginin her iki taraf¬n¬n
türevi al¬n¬rsa
00
= W10
37
elde edilir. Bu ifadede (4:2) yerine yaz¬l¬rsa
00
(4.6)
=L
olur. Benzer şekilde (4:6) eşitli¼
ginin her iki taraf¬n¬n türevi al¬n¬p (4:3) eşitli¼
ginde
yerine yaz¬l¬rsa
000
=
(4.7)
1 W2
olup
000
W2 =
(4.8)
1
olarak bulunur.
Kabul gere¼
gince
Cartan e¼
grili¼
gi sabit oldu¼
gundan, (4:7)
1
denkleminin yine her iki taraf¬n¬n türevi al¬n¬rsa
4
0
1 W2
=
olup (4:4) ve (4:6) eşitlikleri yerine yaz¬l¬rsa
(4)
bulunur. Son olarak
1;
2
="
1 2
00
" 21 N
(4.9)
Cartan e¼
griliklerinin sabit oldu¼
gu gözönüne al¬narak,
bu denklemin de türevi al¬n¬rsa
(5)
="
1 2
000
" 21 N 0
olup, burada (4:1), (4:5), ve (4:8) denklemleri yerine yaz¬l¬rsa
(5)
= "
1 2
000
= "
1 2
000
+
2
1 W1
= "
1 2
000
+
2 0
1
= 2"
1 2
"
000
+
38
2
1
( "W1
+"
+"
2 0
1
2 W2 )
2
1 2 W2
000
2
1 2
1
bulunur. Bu taktirde
e¼
grisi R41 Minkowski uzay¬nda bir s-dejenere helis ise
(5)
2"
1 2
2 0
1
(3)
(4.10)
=0
lineer homojen diferensiyel denklemini sa¼
glar.
Örnek 4.2.1. ! > 0 olmak üzere R41 Minkowski uzay¬nda
!;
(t) = p
olarak tan¬ml¬
!;
1
!2
+
!
2
cosh (!t) ;
sinh (!t) ;
!
!
sin ( t) ;
!
cos ( t)
(t) e¼
grisi
=!
1
ve
2
2
=
!2
2!
sabit Cartan e¼
griliklerine sahip 2-dejenere bir helistir (Ferrandez vd., 2003).
I·spat: " =
1 al¬narak (4:1), (4:2), (4:3), ve (4:4) denklemleri
0
= W1
00
= L
000
=
(4)
=
1 W2
1 2L
2
1N
+
şeklinde düzenlenirse
<
000
;
000
> = <
2
1
=
eşitli¼
ginden
1
=
1 W2 ;
p
<
39
000 ;
1 W2
>
< W 2 ; W2 >
000
>
ve
(4)
<
;
(4)
> = <
1 2L
2
1 N;
+
=
1 2
< L; L >
=
2"
3
1 2
1 2L
3
1 2
2
2
1N
+
>
< L; N > +
4
1
< N; N >
eşitli¼
ginden
2
olarak bulunur. Bu taktirde
!;
=
(4)
<
2
(4)
;
>
3
1
(t) e¼
grisinin ilk dört türevi bilinirse
1
ve
2
e¼
grilikleri hesaplanabilir. O halde
0
!;
00
!;
000
!;
(4)
!;
1
(t) = p
!2 +
1
(t) = p
!2 +
1
(t) = p
2
! +
1
(t) = p
!2 +
2
2
( sinh (!t) ; cosh (!t) ; ! cos ( t) ; ! sin ( t))
( ! cosh (!t) ; ! sinh (!t) ;
! 2 (!t) ; ! 2 cosh (!t) ;
2
! sin ( t) ;
2
! cos ( t) ; !
! 3 cosh (!t) ; ! 3 sinh (!t) ;
2
3
! sin ( t) ;
! cos ( t))
2
sin ( t)
3
! cos ( t)
oldu¼
gundan
1
=
p
= (
<
!2
1
+
000 ;
000
>
2
2
! 4 sinh2 (!t) +
2
! 4 cosh2 (!t) +
6
! 2 sin2 ( t)
1
+ 6 ! 2 cos2 ( t)) 2
1
2 4
= ( 2
! (cosh2 (!t)
! + 2
1
!2 2
!2 + 2 ) 2
= ( 2
2
! +
= !
sinh2 (!t) +
olur. Di¼
ger taraftan
40
4
! 2 (sin2 ( t) + cos2 ( t)))
1
2
2
=
=
(4)
<
2
2
! 6 (cosh2 (!t)
sinh2 (!t) +
2 3!3
1
+
1
=
2
! +
=
>
3
1
2
1
!2 +
(4)
;
!2
2
2
4
4
! (!
)
g
3
3
2 !
2 2
2
! (! 2
) ( 2 + !2)
f
g
2
2 3!3
2
f
2
=
!2
2 !
olarak bulunur.
41
6
! 2 (sin2 ( t) + cos2 ( t))
5. R51 MINKOWSKI· UZAYINDA s-DEJENERE HELI·SLER
Bu bölümde 4.2. deki benzer yöntemle (3:24) Cartan denklemleri yard¬m¬yla R51
Minkowski uzay¬nda 2 dejenere ve 3 dejenere helislerin diferensiyel denklemleri
hesaplanacakt¬r.
5.1. R51 Minkowski Uzay¬nda 2-Dejenere Helisler
R51 Minkowski uzay¬nda
: I ! R51 e¼
grisi bir 2 dejenere Cartan e¼
grisi olsun.
Bu taktirde (3:24) denklemleri
0
= W1
(5.1.)
W10 = L
(5.2.)
L0 =
W20 = " 2 L
N0 =
"W1
ve
3
(5.4.)
" 1N
2 W2
W30 =
şeklinde olur. E¼
ger
(5.3.)
1 W2
+
3 W3
3 W2
e¼
grisi bir helis ise Tan¬m 3.24. gere¼
gince yukar¬daki
(5.5.)
(5.6.)
1;
2
Cartan e¼
griliklerini sabittir. Bu taktirde (5:1) eşitli¼
ginin her iki taraf¬n¬n
türevi al¬n¬r ve (5:2) eşitli¼
ginde yerine yaz¬l¬rsa
00
=L
(5.7.)
elde edilir. Benzer şekilde (5:7) nin türevi al¬n¬p (5:3) yerine yaz¬ld¬g¼¬nda
000
=
1 W2
olup
W2 =
000
1
42
(5.8.)
bulunur. Kabul gere¼
gince
1
Cartan e¼
grili¼
gi sabit oldu¼
gundan
(4)
0
1 W2
=
0
1 W2
+
0
1 W2
=
olup, (5:4) ve (5:7) eşitliklerinde yerine yaz¬ld¬g¼¬nda
(4)
=
1
= "
bulunur. Benzer şekilde
1
ve
1 2
" 1N )
00
" 21 N
nin sabit oldu¼
gu gözönüne al¬n¬rsa
2
(5)
(" 2 L
="
000
1 2
" 21 N 0
olur. Bu eşitlikte (5:1), (5:5) ve (5:8) denklemleri kullan¬l¬rsa
(5)
= "
1 2
000
= "
1 2
000
+
1 W1
= "
1 2
000
+
2 0
1
"
2
1
( "W1
+
3 W3 )
"
2
1 3 W3
2
1 2 W2
+"
+"
2 W2
000
1 2
"
2
1 3 W3
olup
(5)
= 2"
1 2
000
2 0
1
+
"
2
1 3 W3
bulunur. Son olarak, bu eşitli¼
gin yine türevi al¬n¬p (5:6) ve (5:8) denklemlerinde
yerine yaz¬l¬rsa
(6)
= 2"
1 2
= 2"
1 2
= 2"
1 2
(4)
+
2 00
1
"
0
2
1 3 W3
(4)
+
2 00
1
"
2
1 3
(4)
+
2 00
1
+"
2 2
1 3
(
3 W2 )
000
1
olup
(6)
= 2"
1 2
(4)
+"
elde edilir.
43
2 000
1 3
+
2 00
1
(5.9.)
5.2. R51 Minkowski Uzay¬nda 3-Dejenere Helisler
R51 Minkowski uzay¬nda
: I ! R51 bir 3-dejenere Cartan e¼
grisi olsun. O zaman
3.24. denklemleri
0
W10 =
W20 =
1 W1
(5.12.)
+L
(5.13.)
2 W3
W30 = " 3 L
N0 =
(5.11.)
1 W2
L0 =
şeklinde olur.
(5.10.)
= W1
" 2N
(5.14.)
3 W3
(5.15.)
"W2
bir helis e¼
grisi oldu¼
gu kabul edilirse Tan¬m 3.24. gere¼
gince Cartan
e¼
grilikleri sabittir. 2-dejenere helis denkleminin elde edilmesinde oldu¼
gu gibi,
(5:10) denklemlerinden başlayarak türev al¬n¬p, gerekli ifadeler yerlerine yaz¬l¬rsa
00
=
000
=
2 0
1
+
1L
(4)
=
2 00
1
+
1 2 W3
(5)
=
"
(6)
=
2"
1 W2
2
1
2 3
000
2
1
2 3
+"
(4)
2
0
1 2 3
+ 2"
2
1 2 3
"
2
1 2N
+
2
2
2
2
00
00
olup
(6)
2"
2 3
2
1
(4)
2"
2
1 2 3
+
lineer homojen diferensiyel denklemi elde edilmiş olur.
44
=0
6. KAYNAKLAR
Bonnor, W.B., 1969. Null Curves in Minkowski Space-time.
Tensor, N.S., 20, 229-242.
Dodson, C.T.J., Poston, T., 1977. Tensor Geometry, Surveys and Reference
Works in Mathematics. Pitmann, 598p., London.
Duggal, K. L., Bejancu, A., 1996. Lightlike Submanifolds of Semi-Riemannian
Manifolds and Applications. Kluwer Academic Publishers, 300p.,
The Netherlands.
Ferrandez, A., Gimenez A., Lucas, P., 2003. s-Degenerate Curves in Lorentzian
Space Forms. Journal of Geometry and Physics, 40, 116-129.
Ho¤man, K. M., Kunze, R. A., 1971. Linear Algebra. Prentice-Hall, Inc.,
407p., New Jersey.
O’Neill, B., 1983. Semi-Riemannian Geometry with Applications to Relativity.
Academic Press, Inc., 468p., New York.
Özer, N., Eser, D., 2000. Diferensiyel Denklemler (Teori ve Uygulamalar¬). Birlik
Ofset (2. Bask¬)., 461s., Eskişehir.
Tsipenyuk, D.Y., Andreev, V.A., 2005. 5-Dimensional Extended Space Model.
Proc. ESA-ESO-CERN Conference/EPS13, Bern, Switzerland, 11-15
July 2005.
45
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı
: Zafer ŞANLI
Doğum Yeri ve Yılı : Antalya-1980
Medeni Hali
: Bekar
Yabancı Dili
: İngilizce
Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)
Lise
: Antalya Lisesi, Antalya, 1995-1998.
Lisans
: Süleyman Demirel Üniversitesi, Fen-Ed. Fak., Matematik Bölümü,
Isparta, 2002-2006.
Çalıştığı Kurumlar ve Yıl
Mehmet Akif Ersoy Üniversitesi, Fen-Ed. Fak. Matematik Bölümü,
Araştırma Görevlisi, Burdur, 2007- …
46