mühendislik öğrencileri için fizik-1 laboratuvarı güz yarıyılı bölüm
advertisement
MÜHENDİSLİK ÖĞRENCİLERİ İÇİN FİZİK-1 LABORATUVARI GÜZ YARIYILI DENEY 1 BİR DENEYİN ANALİZİ DENEY 5 DENEY 2 YAYLI ve BASİT SARKAÇ NEWTON HAREKET YASALARI FOTOĞRAF DENEY 4 DENEY 3 EYLEMSİZLİK MOMENTİ MOMENTUM KORUNUMU Ad-Soyad: Öğrenci No: Bölüm: Grup No: Öğretim Yılı: Bu çevrim her deneyde getirilecektir. BÖLÜM KOPYASI MÜHENDİSLİK ÖĞRENCİLERİ İÇİN FİZİK-1 LABORATUVARI GÜZ YARIYILI DENEY 1 BİR DENEYİN ANALİZİ DENEY 5 DENEY 2 YAYLI ve BASİT SARKAÇ NEWTON HAREKET YASALARI FOTOĞRAF DENEY 4 DENEY 3 EYLEMSİZLİK MOMENTİ MOMENTUM KORUNUMU Ad-Soyad: Öğrenci No: Bölüm: Grup No: Öğretim Yılı: Bu çevrim her deneyde getirilecektir. ÖĞRENCİ KOPYASI 1. DENEY . BİR DENEYİN ANALİZİ Amaç: Bir deneyden alınan sonuçların grafikler halinde nasıl gösterilebileceğinin ve analiz edilebileceğinin öğrenilmesi, analiz sonucu elde edilen matematiksel bağıntılar yardımıyla benzer deneylerin sonuçlarının tahmin edilebilmesi ve hata hesabının öğrenilmesi. Araç ve Gereçler: Bilimsel hesap makinesi, ince uçlu kurşun kalem, silgi, cetvel, grafik kağıdı. 1. Bilgi Bilimsel çalışmanın temel unsuru gözlemdir. Bu nedenle gözlemlenen büyüklüğün doğru ölçülmesi ve ölçüm sonuçlarının evrensel bir dille aktarılabilmesi oldukça önemlidir. Bilinmeyen bir değerin, kendi cinsinden bilinen ve birim olarak kabul edilen değerlerle karşılaştırılmasına ölçme denir. Herhangi bir ölçü aleti kullanmadan insanlar duyu organları yardımıyla bu tür fiziksel büyüklükleri algılayabilse de kişiden kişiye farklılıklar gösteren bu algılama karışıklıklara sebebiyet vermektedir. Bu nedenle insan duyularından etkilenmeyen, yani ölçümü yapan kişinin etkisinin ölçüme yansımadığı, ölçüm aletleri, sistem ve teknikleri geliştirilmiştir. Tüm bilim dallarında deney yapmak, ispat edilmek istenen hipotez için; kurulan deney düzeneğinden; 1. Ölçüm alet ve teknikleri kullanılarak sonuçlar toplamayı, 2. Bu sonuçları kullanarak deneysel verilerin birbiriyle olan ilişkilerini, matematiksel olarak ifade edilen denklemler ile evrensel yasalar olarak belirlemeyi amaçlar. Sonuçların toplanması aşamasında kullanılan ölçü alet ve cihazlarının duyarlılıkları deney sonuçlarının güvenirliliğini büyük ölçüde etkilemektedir. Bir deney sonucunda ölçülen değerin kullanılan ölçü aletinin duyarlılığına göre değişimine uzunluk ölçü aletleriyle örnek verelim; Bir cetvel yardımıyla ölçüm yaptığımızı düşünelim, Şekil 1’de de görüldüğü gibi cetvel ile yapılan ölçmede belirsizlik ± 1 (mm)’ dir. 1,36 cm lik uzunluğun bir cetvel yardımıyla ölçüldüğü söylenemez. Örneğin bir cetvel ile ölçülen bir çubuğun boyu, 15 mm ise sonuç 15 ± 1 (mm) olarak verilmelidir. Şekil 1. Cetvel ile ölçümde belirsizliğin gösterilmesi. Şekil 2’de görüldüğü gibi kumpas kullanılarak ölçülen bir cismin çapı 10,5 mm ise sonuç 10,5± 0,1 (mm) olarak verilmelidir. Çünkü kumpas 0,1 mm duyarlılıkla ölçüm yapan bir alettir. Şekil 2. Kumpas ile ölçümde belirsizliğin gösterilmesi. 1 Şekil 3’te görüldüğü gibi mikrometre kullanılarak ölçülen bir cismin eni 13,77 mm ise sonuç 13,77± 0,01 (mm) olarak verilmelidir. Çünkü mikrometre 0,01 mm duyarlılıkla ölçüm yapan bir alettir. Şekil 3. Mikrometre ile ölçümde belirsizliğin gösterilmesi. Yukarıda kullandığımız ölçü aletlerinde de görüldüğü gibi ölçümdeki belirsizlik, kullanılan ölçüm aletiyle azaltılabilir ancak yok edilemez. Anlamlı Rakam Bir ölçüm için kullanılan ölçü aletiyle toplanan verilerin ölçüm aletinin hassasiyetine uygun şekilde anlamlı rakamlarla yazılması gerekmektedir. Elde edilen verilerin basamak değerleri ölçü aletinin duyarlılığı ile aynı olmak zorundadır. • Sıfır olmayan tüm rakamlar anlamlıdır. • Bir sayı içinde sıfır var ise bulunduğu yere göre anlam kazanır. Anlamlı rakamlar arasında yer alan tüm sıfırlar anlamlıdır. 3 Anlamlı 2,04 (g) Ondalık virgülden sonra yazılan tüm sıfırlar anlamlıdır. 4 Anlamlı 9,720 (m) Ondalık virgülden önce yazılan tüm sıfırlar anlamsızdır. 1 Anlamlı 0,002 (cm) Tablo 1’de bazı sayıların anlamlı rakam miktarları verilmiştir. Tablo 1 Sayı Bilimsel gösterim Anlamlı rakam 6,23 3 9,1 2 -3 0,00246 2,46x10 3 -8 1 0,00000001 0,000000010 1× 10 -8 2 1,0× 10 Anlamlı Rakamlarda Dört İşlem • • Farklı duyarlıklı ölçüm aletleriyle alınan ölçüm sonuçları toplanırken ve/veya çıkarılırken ondalık rakam sayısına dikkat edilir. Sonuçtaki ondalık rakam sayısı verilerdeki en az ondalık rakam sayısı kadar olmalıdır. Örneğin; uzunlukları farklı iki ölçüm aleti kullanılarak alınan iki değerin toplamı a=5,25 cm ve b=2,1 cm a+b=7,35 cm Farklı duyarlıklı ölçüm aletleriyle alınan ölçüm sonuçları çarpılması ve/veya ~7,4 cm olarak yazılmalıdır. a=16,2 cm ve b=4,4 cm (2 anlamlı) axb=71,28 cm2 =71 cm2 ( 2 Anlamlı) olarak yazılmalıdır. 2 bölünmesi işlemlerinde sonuçtaki anlamlı rakam sayısı veriler arasında en az anlamlı rakam içerendeki kadar olmalıdır. Eğer deneysel verilerin elde edilmesinde kullanılan aletlerin duyarlılığı yazılmamışsa, ölçme belirsizliğinin sıfırdan farklı son ondalık birimi kadar olduğu kabul edilir. Örneğin ölçme sonucu 15 s yazılmışsa belirsizlik 1 s, 1,25 g yazılmışsa belirsizlik 0,01 g ve 250 cm yazılmışsa belirsizlik 10 cm’ dir. Boyut ve Birim Kavramları Boyut: Kalitatif bir kavram olup herhangi bir büyüklüğün "hangi türden" bir büyüklük olduğunu belirtir. Örneğin iki nokta arası mesafenin boyutuna “uzunluk” denilir. Birim: Her hangi bir boyutun ölçümü için kullanılan referans büyüklüğünü ifade eder. Örneğin uzunluk fiziksel bir büyüklüktür ve birimi SI (uluslararası birim sistemi) birim sisteminde metredir ve “m” ile gösterilir. Keyfi olarak seçilmiş temel büyüklükler ve bunlardan türetilmiş büyüklüklerin oluşturduğu sisteme “ birim sistemi” denir. Toplumlar eskiden birbirinden farklı birim sistemleri kullanmakta iken birim sistemlerinin evrensel hale gelmesi için 1875 yılında 17 devletin temsilcileri bir araya gelerek ortak birim sistemleri oluşturmuş “metre konvansiyonunu” imzalamışlardır. Burada her birimin diğer birim sistemindeki karşılıkları gösterilmiştir. Tablo 2. Bazı temel ve fiziksel büyüklüklerin CGS ve MKS birim sistemlerinde gösterimi Fiziksel Büyüklük Türetilmiş Büyüklükler Temel Büyüklükler Boyutun Sembol CGS Birim Sistemi MKS Birim Sistemi Birimin Birimin Adı Gösterimi Adı Sembol Uzunluk [L] l santimetre Kütle [M] m gram Zaman [T] t saniye Alan [L2] S, A Santimetrekare cm2 metrekare m2 Hacim [L3] V Santimetreküp cm3 metreküp m3 Hız [L]/[T] υ Santimetre/ saniye cm/s metre/saniye m/s İvme [L]/[T2] a Santimetre/ saniyekare cm/s2 metre/ saniyekare m/s2 Kuvvet [M]x[L]/[T2] F Dyne Enerji [M]x[L2]/[T2] E Erg cm Adı Sembol metre m g kilogram kg s saniye s dyn=g.cm/s2 Erg= g.cm2/s2 Newton Joule N=kg.m/s2 J= kg.m2/s2 3 Başlıca kullanılan birim sistemleri: • SI: Uluslararası birim sistemi (metre, kilogram, saniye, amper, kelvin, kandela, mol) • MKS: metre, kilogram, saniye • CGS: santimetre, gram, saniye • FPS: Foot, pound, saniye Sayıların Üst ve Ast Katları Bazı fiziksel büyüklüklerin değeri çok büyük veya çok küçük olabilir. Bu tür sayıların yazımında özellikle hatalı yazma ihtimali çok büyüktür bu nedenle bilimsel gösterim kullanımı geliştirilmiştir. Bu gösterimlerde 10 ve 10’un katlarına üst 1/10 ve 1/10’ un katlarına ast kat denir. Tablo-3’ te üst ve ast katların ön ek çarpan ve sembolleri görülmektedir. Tablo 3. Üst ve ast katlar Ön Ek Deka Hekto Kilo Mega Giga Tera Peta Eksa Üst Katlar Sembol dek h k M G T P E Çarpan 101 102 103 106 109 1012 1015 1018 Ön Ek desi santi mili mikro nano piko femto atto Ast Katlar Sembol d c m µ n p f a Çarpan 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 2. Deney Şekil 4 Yapılan bir deneyde tabanlarında farklı çaplarda delik bulunan kaplara doldurulan 30 cm yükseklikteki suyun boşalma sürelerinin delik çapına nasıl bağlı olduğu araştırılmak üzere aynı hacimli dört büyük silindirik kap kullanılmış, kapların tabanlarına çapları farklı büyüklüklerde dairesel delikler açılmıştır. Her denemede kaplara 30 cm yükseklikte su konulmuş ve kaplardan 30 cm yüksekliğindeki suyun boşalma süreleri bir kaç kez tekrarlanarak ölçülmüş (Şekil 4) ve tüm deneysel veriler Tablo 4’e işlenmiştir. Bizden beklenen deney sonuçlarını grafikler halinde ifade ederek, analiz etmek ve benzer deney sonuçlarını, deney yapmadan tahmin etmektir. Tablo 4. Tabanında farklı çaplı delikler bulunan kaplardan 30 cm yükseklikteki suyun boşalma süreleri. 4 Delik çapı d (cm) 1.5 2.0 3.0 5.0 Kabın boşalma süresi t (s) 72.8 73.2 73.1 41.7 41.3 41.4 18.6 18.3 18.2 6.6 7.0 6.9 t ort (s) Analiz Belirli şartlar altında değişimi veya sabit tutulması olayların gidişatını etkileyebilecek tüm faktörlere değişken denir ve bir bilimsel araştırmada üç çeşit değişken bulunur. Veriler grafiklerle gösterilirse benzer bir deneyin sonucunu kestirmek ve olayla ilgili matematiksel bağıntıyı bulmak çok kolaydır. Böyle bir analizde birbirinden bağımsız değişkenler, değişkenlerden biri sabit tutularak ayrı ayrı incelenir. Örneğin, bu deneyde, delik çapı (d) bağımsız değişken, h=30 cm su yüksekliği kontrol edilen (sabit) değişken ve zaman (t) bağımlı değişkendir. Sabit su yüksekliğinde (h=30 cm), kaplardaki suyun boşalma süresi (t)’ nin delik çapına (d) bağlı olarak, değişimi incelenecektir. Bu amaçla, t=f(d) grafiği çizilerek analiz yapılacak ve deneysel sonuçlar ile ilgili matematik bir bağıntı bulunmaya çalışılacaktır. UYARI 1: Grafik çizilirken; • Her grafiğin bir ismi olmalıdır ve bu isim grafiğin altına yazılır. Grafiğin hangi fiziksel değerlere ait olduğunu belirtir. • Grafik çizimi kurşun kalem ile cetvel kullanılarak yapılmalıdır. • Bağımsız değişken, x eksenine bağımlı değişken y eksenine yerleştirilir. • Her iki eksen üzerinde mutlaka eksenlerin isimleri belirtilir ve ölçüm değerlerinin hangi birimde olduğu parantez içinde yazılır. Bu parantezde ayrıca ölçeklendirme esnasında kullanılan büyütme ya da küçültme çarpanı da belirtilir. • Eksen çizgileri üzerinde deneysel verilere uygun periyodik ölçeklendirme yapılır. (Kesinlikle ölçüm değerlerinin rakamsal karşılıkları yazılmaz.) • Hem x hem de y eksenlerine yerleştirilecek verilerin minimum ve maksimum değerlerini belirlenir. • Her iki eksen içinde uygun bir grafik skalası belirlenir. İki eksenin değerlerini birbirinden bağımsız olarak ölçeklendirilir. • Ölçüm değerleri grafik kâğıdı üzerine dikkatlice yerleştirilir. Delik çapına bağlı olarak suyun boşalma süresinin grafiği çizilirken, delik çapı (d) bağımsız değişken, boşalma süresi (t) bağımlı değişken olduğu için delik çapı (d), x eksenine ve kaptan suyun boşalma süresi zaman (t) y eksenine yazılacaktır. 5 1. t=f(d) grafiğini aşağıdaki grafik kağıdına çiziniz ve grafiğin ismini grafiğin altındaki noktalı kısma yazınız. 2. Grafik noktaları üzerine uygun eğriyi oturtunuz. 3. Eğriyi çizmenin tek bir yolu mu var, yoksa aynı noktalardan geçen farklı eğriler de çizilebilir mi? Düşününüz. Grafik 1. ……………………………………………………………………………………………………………………………….. UYARI 2: Bir grafikte ölçülen noktalar arasında bulunan ama ölçümü yapılmamış bir noktadaki değerin grafikten okunmasına interpolasyon, ölçülen noktalar dışında kalan herhangi bir noktadaki değeri okumaya ekstrapolasyon yapmak denir. Buna göre, Grafik 1’ den deliğin çapının d=4cm ve d=8cm olduğu durumlarda, kaptaki suyun boşalma sürelerini okuyun ve kaydedin. d=4 cm için t =…….. d=8 cm için t =…….. 4. Sizce hangi değer daha güvenilirdir? Düşününüz. 5. Zaman (t) ve delik çapı (d) arasında bir bağıntı bulmak için, t ile d arasındaki matematiksel ilişki değişik matematiksel fonksiyonlar denenerek bulunabilir. Zaman (t) ile delik çapı (d) arasında grafikten de görüldüğü gibi matematiksel ve fiziksel olarak, t∝ 1 d2 bağıntısını yazmak doğrudur. 6. Tablo 5’deki değerler inceleyerek ‘n’ nin kaç olabileceği konusunda gerekçeli bir öneri de bulununuz. Tablo 5 6 n=1 7. n=2 -1 2 n=3 -2 t (s) d (cm) 1/d (cm ) 1/d (cm ) 1/d3 (cm-3) 73,0 1.5 0,67 0,44 0,30 41,5 2.0 0,50 0,25 0,13 18,3 3.0 0,33 0,11 0,037 6,8 5.0 0,20 0,040 0,0080 Bu durumda uygun bir ölçek seçerek ………ile t arasındaki değişimini gösteren grafiği t=f(…..) grafiği Tablo-5’ teki değerler yardımıyla aşağıdaki grafik kağıdına çiziniz ve grafiğin ismini grafiğin altındaki noktalı kısma yazınız. 1 orantısını eşitlik halinde yazmak için; k orantı sabitinin belirlenmesi gerekmektedir; d2 1 t=k 2 d 8. t∝ 9. k orantı sabitini belirlemenin kaç yolu vardır? Tartışınız. UYARI 3: Grafik Analizi Elde edilen grafik doğrusal ise; y = f(x) için; y = mx + n şeklinde ifade edilebilir. Bu ifade genel doğru denklemidir. Burada n, doğrunun düşey ekseni kestiği nokta, m ise doğrunun x eksenine (yatay eksen) göre eğimidir. Bunun için, grafik üzerinden deneysel noktalar dışında iki nokta seçilir ve bu noktalardan eksenlere paraleller çizilerek bir dik üçgen oluşturulur. Üçgenin yatay eksen ile yaptığı açının tanjantı doğrunun eğimini yani m katsayısını verir. Bu doğru denkleminden yararlanarak, iki değişken arasındaki ilişki formülleştirilebilir. 10. Sizde yukarıda verilen Uyarı 3 teki bilgiden faydalanarak çizdiğiniz 2. grafiğin eğimini bulunuz. 11. Grafikte seçtiğiniz yükseklikteki su için t ile d arasındaki bağıntıyı gösteren bir denklem yazınız. t = .............. 1 d2 Deneyde Yapılan Hatanın Belirlenmesi Hata: Bir fiziksel büyüklüğün ölçülen değeri ile gerçek değeri arasındaki farka denir. Ölçüm sonucunun güvenilirliği yapılan hataların sınırı ile belirlenir. Hatanın işaretini tespit etmek mümkün değildir. Bundan ötürü hata sınırı, ±a belirsizliği ile verilir. Örneğin; 15,4±0,2 ifadesinin anlamı şudur; ölçülen güvenilir değer 15,4 tür. Ancak hakiki değer, 15,4 den 0,2 daha büyük veya küçük olabilir demektir. Hata sistematik ve istatistiksel olmak üzere iki türlüdür. 7 Grafik 2. …………………………………………………………………..…………………………………………………………… Sistematik hatalar, deney yapılan aletlerin başlangıçta ayarlanmaması, izlenen yöntemin yanlışlığı şeklinde sıralanabilir. Bu tür hatalar sonuca, her zaman aynı yönde etki eder. Deneysel sonuç gerçek değerinden sürekli olarak ya daha büyük ya da daha küçük olur. İstatistiksel hatalar, ölçü aletlerinin duyarlılıklarının sınırlı olması ölçülen büyüklük veya ölçüm sisteminin kararsız olmasından kaynaklanır. Bu tür hatalar küçük ve çift yönlü hatalardır. Bu hatalar aynı ölçmenin çok sayıda tekrarlanması ile ortaya çıkar. Elde edilen sonuçlar farklı olup belli bir değer etrafında (ortalama değer) dağılım gösterir. Ortalama değer ile her bir ölçme sonucu arasındaki farkların cebirsel toplamı sıfırdır. Bu sonuç bize aynı bir büyüklük için tekrarlanan çok sayıda ölçmede yapılan istatistiksel (rastgele) hataların toplam etkisinin sıfır olduğunu gösterir. Bu tür hataların etkisini azaltmak için ölçüm sayısı artırılır. Mutlak Hata Ölçülen bir fiziksel büyüklüğün gerçek değeri x 0 ile, ölçülen x değeri arasındaki farka x 0 ’ın mutlak hatası denir. Mutlak hata; Gerçek değer; ±∆x = x 0 − x x 0 = x ± ∆x x 0 gerçek değeri genel olarak tam bilinmediğinden ∆x ’in de tam değeri bilinemez. ∆x ’in ancak yaklaşık değeri bazı yollardan hesaplanabilir. Uygulamada mutlak hatanın görünen değeri belirlenebilir. Bu da ölçülen değer ile birçok ölçümler sonucu elde edilen en iyi değer arasındaki farka eşittir. Bağıl Hata Mutlak hata ∆x ’in ölçülen değer x’ e oranına bağıl hata denir. 𝐵𝑎ğ𝚤𝑙 𝐻𝑎𝑡𝑎 = |∆𝑥| 𝑥0 𝑌ü𝑧𝑑𝑒 𝐵𝑎ğ𝚤𝑙 𝐻𝑎𝑡𝑎 = |∆𝑥| 𝑥100 𝑥0 8 22.DENEY Y . NEW WTON HA AREKET YA ASALARI Ama aç: Hava rayı d düzeneği ile Newton hareke et yasalarının gerçekleştirilm mesi. Araçç ve Gereçler: Hava rayı, hava h üfleyici, elektronik süüre ölçer, opttik kapılar, farklı kütleli araaçlar, kefe, 10g’lık kütlelerr, ip, kalem m, silgi, hesap p makinası 1. Bilgi New wton Hareket Y Yasaları: I ) Biirinci Yasa: Eyylemsizlik Yasa ası Duraan bir cisme b bir etki yapılm madıkça harekkete geçemeyyeceğini, başka bir deyişle sıfır olan hızınnda bir değişm me olamayacağını günlük gözlem ve denemelerim mizden biliriz. M Maddesel varrlıklarda hız de eğişmelerine k karşı koyan büüyüklüğe eylemsizlik denir. Cisim mlerin bu özelliklerini dikkate alarak New wton'un birincci kanununu şö öyle ifade ede ebiliriz: Bir cisiim üzerine etkki eden net ku uvvet sıfır (dengelenmişş bir kuvvet) isse, cismin hızıında bir değişşiklik olmaz, yyani cisim duru umunu korur.. Eğer cisim hareket halind de ise hızın nı değiştirmekksizin düzgün doğrusal harreketine devaam eder; yanii doğrultu, yö ön ve mutlak değer bakım mından hızında a bir değişşiklik olmaz; ccisim durgun iise bu halini de eğiştirmez. II ) İkkinci Yasa: Tem mel Yasa Bir cisme c bir kuvvvet etki ettiğinde cismin hızında h bir deeğişiklik olacakktır, birim zam manda hızda meydana gelen değişme ivme i olduğundan, cisim m ivme kazanm mış olacaktır. İkinci kanun kinematik bir büyüklük olan ivme ile dinnamik bir büyyüklük olan ku uvvet arasındaki bağıntıyı oluşturur. Masa üzerinde sü ürtünmesiz olaarak hareket edebilecek biir arabaya incce bir ip bağla ayarak F1 kuvvveti ile çektiğimizde kazan ndığı ivme e a1 , aynı cismi F2 kuvvetti ile çektiğim mizde kazandığğı ivme a2 olsun. Uygulanan kuvvetle, kkazanılan ivm me arasındaki oran her zzaman sabittirr ve bu oran sabitine kütle denir. F1 F2 ........... sabit a1 a2 (1) İkincci kanunu şöyle ifade edebiliriz: Sabit bir kuvvetin etkissinde olan bir parçacık sabit bir ivme kazzanır. F ma (2) Bu bağıntıya dinam miğin temel b bağıntısı denir. Bu bağıntı bize kuvveti tanımlam maktadır. Kuvvvet vektörel b bir büyüklükttür, doğrultussu ivmenin dooğrultusunda, yönü ivmen nin yönündeddir. Kuvvetin birimi MKS birim b 2 siste eminde NEWTTON dur. Tan nımı, 1kg’lık kütleye k 1 m//s ’lik ivme kaazandıran kuvvvettir. CGS ssisteminde isse kuvvetin birimi b Dyn’dir. 1 dyn, 1 gg kütleye 1 cm m/s2 ivme kaza andıran kuvveettir. 1 Newton'un ikinci kanunu, birinci kanunu da kapsamaktadır. Bir parçacığa bir kuvvet etki etmiyorsa F 0 demektir. Cismin kütlesi olan m sıfır olamayacağına göre, temel denklemden a 0 olur. Bunun anlamı, cismin hızında değişiklik olmaz, yani cismin hızı sabit kalıyor demektir. III ) Üçüncü Yasa: Etki‐tepki Yasası Kuvvet, cisimlerin karşılıklı etkilerinden doğar ve bu nedenle daima çift olarak ortaya çıkar. Bir cisim diğer bir cisme kuvvet uygularsa ikinci cisim de birinciye aynı büyüklükte fakat zıt yönde bir kuvvetle karşı koyar. F ve F ' kuvvetleri iki cismin birbirlerine uyguladıkları kuvvetler ise F F olur. F kuvvetine etki kuvveti dersek, F ' kuvvetine F in tepkisi veya tepki kuvveti denir. Etki‐ tepki ilkesi genel olarak şöyle ifade edilir: Her etkiye eşit ve zıt yönde bir tepki vardır veya iki cismin birbirine karşılıklı etkileri eşit ve zıt yönlüdür. İki cismin birbirlerine karşılıklı uyguladıkları kuvvetlerin oranı momentum impuls ilişkisi ile sağlanabilir. Bir cismin veya taneciğin kütlesi m ile hızı v çarpımına, o cismin momentumu veya hareket miktarı denir ve p mv (3) bağıntısıyla ifade edilir ve yönü hız vektörü yönündedir. Bir kuvvetin etki süresi ile çarpımına ise impuls denir. Eğer F kuvveti serbest bir cisme dt saniye süresi kadar etkimiş ise impuls F dt olacaktır. (3) denklemi (2) denkleminde kullanılarak dinamiğin temel bağıntısı d (mv ) dp F dt dt (4) şeklinde yazılır. Bu bağıntıdan görüldüğü gibi bir cisme veya taneciğe ivme kazandıran net kuvvet birim zamandaki momentum değişimine eşittir. Her iki cisme cisimler birbirinden ayrılana kadar uygulanan itmeler (4) bağıntısına göre sırasıyla F1t1 p1 ve F2 t2 p2 (5) (6) ise ve (2) bağıntısı kullanılarak her iki cisme etki eden kuvvetler oranı F1 m1 t2 l1 F2 m2 t1 l2 bulunur. 2 2. Deney 1. Işık kapıları Şekil‐1' deki gibi yerleştirilir. Ray eğimsiz olacak şekilde vidalı ayaklar yardımıyla ayarlanır. Şekil 1 I ) Newton’ un 1. Yasanın Uygulanması: 2. Şekil‐1'deki rayın bir ucuna lastik yansıtıcı yerleştirilir ve zaman ölçerler sıfırlanır. Işık kapısı ile yansıtıcı arasına yerleştirilen araca yansıtıcıdan dönebileceği şiddette küçük bir itme verilir. Dönen aracın her iki ışık kapısından geçiş süreleri (t1, t2) zaman ölçerlerden okunarak Tablo‐1’e işlenir. 3. Aracın boyu ( ) ölçülür ve v t (7) bağıntısı kullanılarak her iki kapıdan geçiş hızı ( v1 , v2 ) hesaplanır, sonuçlar Tablo‐1’e işlenerek karşılaştırılır. Deney farklı kütleli iki araçlarla tekrarlanır. Tablo 1 m (kg) (m) t1 (s) t2 (s) v1 (m/s) v2 (m/s) 4. Hava kaynağı çalışırken araç hareketsiz kalacak şekilde ray üzerine yerleştirilir ve hareketi gözlemlenir (Cisim durgun ise bu halini değiştirmez). II ) Newton’ un 2. Yasasının Uygulanması: Şekil 2 3 5. Işık kapıları arasındaki mesafe s 40cm olacak şekilde ayarlanır. Rayın bir ucuna makara takılır. Kefe ip vasıtasıyla araca takılarak makara üzerinden sarkıtılır (Şekil‐2). 6. Araç, şekildeki konuma yerleştirildikten sonra zaman ölçerler sıfırlanır ve araç serbest bırakılır. 7. Aracın her iki kapıdan geçiş süreleri (t1 , t2 ) zaman ölçerlerden okunarak Tablo‐2'ye işlenir. Kefeye 10'ar gr lık kütleler ilave edilerek ölçümler tekrarlanır. 8. Araç boyu ölçülür. 9. (3) bağıntısı kullanılarak aracın her iki kapıdan geçiş hızları (v1 , v2 ) hesaplanarak, kareleri alınıp Tablo‐2'ye işlenir. 10. v22 v12 a 2s (8) bağıntısı kullanılarak aracın ivmesi (a) hesaplanır ve Tablo‐2’ye işlenir. Tablo 2 mkefe (kg) t1 (s) F (N) t2 (s) v12 (m/s)2 a (m/s2) v22 (m/s)2 M sistem (kg) M araç (kg) 0,03 0,04 0,05 0,06 M araç ort 11. (1) bağıntısı kullanılarak sistemin (araç + kefe) kütlesi M sistem bulunur. M sistem M araç mkefe bağıntısı kullanılarak M araç hesaplanır. 12. Kullanılan aracın kütlesinin ortalama değeri M araç ort alınarak deneyde yapılan bağıl hata (9) denklemi yardımıyla hesaplanır. M M araç gerçek M M M araç gerçek araç ort (9) araç gerçek III ) Newton’ un 3. Yasasının Uygulanması: 13. Araçların birer uçlarına lastik yansıtıcılar yerleştirildikten sonra Şekil 3'deki gibi lastik yansıtıcılar karşılıklı olacak şekilde iki kapı arasına yerleştirilir ve zaman ölçerler sıfırlanır. 4 Şekil 3 14. Araçlar diğer uçlarından eşit büyüklükte kuvvet ile sıkıştırılır ve her iki araçtaki kuvvetler aynı anda ani olarak kaldırılır. Her iki aracın ışık kapılarından geçiş süreleri (t1 , t2 ) zaman ölçerlerden okunarak Tablo‐3’e işlenir. Tablo 3 m1 (kg) m2 (kg) t1 (s) m1 m2 t2 (s) t1 t2 15. Her iki araca etki eden kuvvetler oranı, (6) bağıntısı kullanılarak bulunur. F1 m1 t2 l1 ........... F2 m2 t1 l2 16. Deney farklı kütleli araçlarla tekrarlanır ve sonuçlar Tablo‐3’e işlenir. 5 3.DENEY . ÇİZGİSEL MOMENTUM KORUNUMU Amaç: İki boyutlu çarpışma yardımı ile momentum korunumunun incelenmesi. Araç ve Gereçler: Metal oluklu yol, 2 tane metal bilye (büyük ve küçük), karbon kağıdı, beyaz kağıt, cetvel, çekül ve ip. 1. Bilgi I) Momentum: Bir noktasal cismin çizgisel momentumu bir vektörel büyüklük olup cismin m kütlesi ile v hızının çarpımına eşittir. (1) Hız vektörünün yönü ve doğrultusu momentum vektörünün yönü ve doğrultusunu belirler. Newton’un ikinci yasasından bir cisme etki eden dış kuvvet ∆ ∆ ∆ ∆ (2) (3) veya; ∆ → ∆ lim∆ şeklinde yazılabilir. Yani cisme uygulanan dış kuvvet momentumun zamana göre türevine eşit olmaktadır. Cisme uygulanan kuvvet ile bu kuvvetin uygulama süresinin çarpımına itme (impuls) denir. Newton’un ikinci yasasından, itme; ∙ ∆ ∆ ∆ (4) şeklinde tanımlanır. Denklem (4)’ de görüldüğü gibi bir kuvvetin itmesi, momentumdaki değişme miktarına eşittir ve yönü momentum değişimi yönündedir. II) Momentum Korunumu: Bir tek parçaçık yerine n tane parçaçıktan oluşan bir sistemin, toplam momentumunu; M sistemin toplam kütlesi ve , , … .. parçacıkların hızları ve v sistemin kütle merkezinin hızı olmak üzere ⋯ ⋯ (5) şeklinde yazılır. O halde, noktasal kütleler sisteminin toplam momentumu, sistemin toplam kütlesi ile kütle merkezinin hızının çarpımına eşittir. Sisteme etki eden dış kuvvetlerin bileşkesi sıfıra eşitse sistemin toplam momentumu (2) numaralı denklemden de anlaşılacağı gibi sabit kalır. Buna genellikle çizgisel momentumun korunumu prensibi denir. Sistemi oluşturan her noktasal kütlenin , momentumlarının değişebilmelerine karşılık sistemin toplam momentumu sabit kalır. , … (6) III) Çarpışmalar: Kütleleri m1 ve m2 olan iki cismin çarpışmaları durumunda cisimler birbirlerine çok kısa zaman süresinde çok büyük kuvvet uygularlar. Çarpışma sırasında 2. cismin 1. cisme uyguladığı kuvvet , 1. cismin 2. cisme uyguladığı kuvvet de ise Newton’un 3. yasasından (etki‐tepki yasası) bu kuvvetler aynı doğrultuda, aynı şiddette ve zıt yönde olmalıdır. Çarpışma sonucunda 1. cismin momentumundaki değişme ∆ ∆ (7) (8) 2. cismin momentumundaki değişme miktarı ise; ∆ ∆ çarpışma süresince sisteme dış kuvvet etki etmiyorsa (sistem izole ise) 1 ∆ ∆ 0 (9) olur.. Bu durumd da, sistemin ilk ve son to oplam momeentumları birrbirine eşit olur. o Bu sonuuçta bize çarrpışma olaylarında mom mentumun korrunduğunu gö österir. Çarp pışmalar esnek çarpışma ve v esnek olma ayan çarpışm ma olarak ikiye e ayrılmaktad dır. Her iki çarrpışma türünde de momentum koru unmaktadır. Şekil 1. (a) Esnek çarppışma (b) esnek olmayan ça arpışma. Şekill 1’deki esnekk çarpışma gö öz önüne alınd dığında sistem min toplam momentumun m un x bileşeni çarpışmadan önceki ve so onraki duru umlar için; co os cos (10) (11) (12) ve sistemin toplam m momentum munun y bileşe eni sin sin şeklinde yazılır. Essnek çarpışmaada kinetik enerji korunur, ddolayısıyla eşitliiği yazılır. Şekill 1’deki esnek olmayan çarp pışma göz önü üne alındığındda, sistemin çaarpışmadan önceki ve sonraaki toplam mo omentumunun x bileşşeni; (13) şeklinde yazılır. Sisstemin toplam m momentum munun y bileşeeni yoktur. Bu çarpışmada k kinetik enerji kkorunmaz. Esne ek çarpışmadaa kinetik enerrji kaybı olmamasına, yani kinetik enerjii korunmasına a rağmen esnnek olmayan ççarpışmada kiinetik enerrjinin bir kısm mı çarpışma süresince ısı enerjisi e gibi b aşka enerji tü ürlerine dönü üşür ve kinetiik enerji koru unmaz. Tam esnek e olmaayan çarpışmaada cisimler çaarpışmadan so onra ortak hızzla birlikte harreket ederler. 2. De eney 1. 2. Oluklu bilye yolunun tuttu urulmuş olduğğu masanın öönündeki zemine büyük beyaz kağıt yayıılır ve çekülün n izi kağıt üzeerinde Bu durumdan sonra kağıdın konumu den ey süresince d değiştirilmez ((şekil 2). işaretlenir. B Bilyelerin küttleleri ölçülerek Tablo‐1’e işlenir. 2 Şekil 2. Deney düzeneği. 3. 4. Vidası çevressinde dönen B B kolu bilyeyi e engellemeyeccek şekilde ayaarlanır. Oluklu yolun n tepesinden yuvarlanmayya bırakılan çeelik bilye, yolun sonunda kazandığı hızzla masa kenarından yatayy atış hareketi yaparak yerdeki kkağıt üzerine d düşer ve kağıtt üzerinde bıraktığı iz işarettlenir. Bu işlem m yaklaşık 5 kez tekrarlanır. Şekil 3 3. Oluklu yolddan çıkan bilye enin çizdiği yörünge. onunda sahip olacağı hız, şeekil 3’deki gibii yatay atış hareketi göz önüüne alınarak; Buraada bilyenin oluklu yolun so (14) (15) (16) (17) ifade esinden olaraak elde edilir. Burada, hız iffadesi; Buradaki sabitt olaraak yazılabilir. B 9,8 ≅ 2,52 2 ∗ 0,77 olaraak hesaplanır.. Dolayısıyla bilyenin mome entumunun büüyüklüğü 2,52 ifade esiyle hesaplanabilir. 5. 6. bir açıda ayarlanarak sabitlenir (Şekkil 4a,b). B kolu belli b B kolunun uccundaki yuvayya şekil 4’dekii gibi ikinci billye yerleştirilirr. Birinci bilye enin oluklu yo lun tepesinde en bırakılarak ikinci bilyeye çarpm ması sağlanır.. Bu çarpışma sonucunda bbilyeler kazand dıkları hızlarla yatay düzlem mde, oluklu yo olun doğrultussuyla, belirli açılar yapacak şekilde saçılırlar. Saçılan bilyeeler yatay atışş hareketi yap parak yere düüşerler. Bu işlem yaklaşık 5 kez üştükleri noktaların izleri beelirlenir (Şekil 5). tekrarlanarak bilyelerin dü Şekil 4a. Billyelerin üstten n görünümü. 3 Şekil 4b. Oluklu yolun ucunda küçük bilyenin konumunun ayarlanması. Şekil 5. Bilyelerin esnek çarpışması. 7. Bilyelerin izlerini içine alacak şekilde çemberler çizilir. Bu çemberlerin merkezleri çekülün iz düşümü ile birleştirilir (Şekil 5). r1 , r1 ve r2 uzunlukları belirlenerek Tablo 1’e işlenir. Tablo 1 ü ü 0,0112 üçü 0,0056 0,77 Bilyenin çarpışmadan önceki ve her iki bilyenin çarpışmadan sonraki ve momentumlarının büyüklükleri (17) bağıntısından hesaplanır. Sistemin momentumunun korunumunu göstermek için önce çarpışan bilyelerin çarpışmadan önceki ve çarpışmadan sonraki momentumlarının x ve y eksenlerindeki değerleri bulunur. Bunun için bilyelerin yere çarptıkları konum vektörlerinin x ve y eksenlerine izdüşümleri, rix, riy değerleri kağıt üzerinde cetvel yardımıyla belirlenir. Daha sonra, bilyelerin x ve y eksenlerindeki momentumları her bir bilye için, 8. 9. 2,52 2,52 İfadeleriyle hesaplanarak sonuçlar Tablo 2’ye işlenir. Bileşenler yardımıyla momentumun korunup korunmadığı Tablo 3’deki değerler hesaplanarak gösterilir. Tablo 2 / / / / / / Tablo 3 4 4.DENEY . EYLEMSİZLİK MOMENTİ Amaç: Sabit bir eksen etrafında dönen katı cisimlerin eylemsizlik momentlerini ölçmek. Araç ve Gereçler: Kronometre (zaman ölçer), kumpas, cetvel, disk, halka, levha, kütleler 1. Bilgi Eylemsizlik momenti dönme hareketi yapan cisimlere ilişkin bir fiziksel özelliktir. Eylemsizlik kütlesi nasıl bir cismin çizgisel hızındaki değişmeye karşı gösterdiği direncin bir ölçüsü ise eylemsizlik momenti de bir cismin açısal hızındaki değişmeye karşı gösterdiği direncin bir ölçüsüdür. Eylemsizlik momenti büyük olan cisimlerin açısal momentumunu değiştirmek için daha büyük bir tork gerekir. Şekil 1. z ekseni etrafında dönme hareketi yapan katı bir cisim. Dönme Hareketi: Katı cismin zamana göre sabit bir eksen etrafında dönme hareketinin kinematiği çizgisel hareket eden bir parçacığın hareketinin kinematiğine benzer. Şekil 1 de, eylemsiz bir koordinat sisteminin z‐ekseni etrafında dönen bir katı cisim verilmiştir. Bu cismin, her birinin kütlesi Δm olan çok sayıda parçacıktan oluştuğunu varsayalım. Dönme ekseninden r kadar uzakta A noktasında bulunan Δm kütlesinin açısal konumunu açısı ile gösterelim. Dönme sırasında bir Δt süresi içinde açısal konum Δ kadar değişirse parçacık Δs=rΔ kadar yol alır. Parçacığın çizgisel hızının şiddeti dS d r dt dt (1) olarak verilir. (1) bağıntısındaki açının zamanla değişme hızına açısal hız denir ve d dt (2) (3) şeklinde ifade edilir. Birimi rad/s’dir. Buna göre (1) bağıntısı r olarak yazılabilir. Katı cismi meydana getiren bütün parçacıkların açısal hızı aynı çizgisel hızları farklıdır. Açısal İvme: Açısal hızın zamanla değişme hızına açısal ivme denir ve d dt (4) (5) olarak verilir. Birimi rad/s2’dir. (3) bağıntısından türev alınarak çizgisel (teğetsel) ivme at d d r dt dt 1 olarak elde edilir. Buna göre, dönen cismin açısal ivmesi ile at teğetsel ivmesi arasında at r (6) bağıntısı vardır. Dönme Kinetik Enerjisi: Sabit açısal hızıyla dönen bir katı cismin her parçacığının kütlesine ve hızına bağlı bir kinetik enerjisi vardır. i. parçacığın kütlesi Mi ve hızı i ise kinetik enerjisi Ki 1 1 M ii 2 M i ri 2 2 2 2 (7) (8) dir. Cismin toplam kinetik enerjisi Denklem (7) ‘de verilen kinetik enerjilerin toplamı olacaktır: K Ki 1 1 2 2 2 M i ri ( M i ri ) 2 2 2 burada her parçacık için aynı olduğundan parantez dışına alınır. 2 Eylemsizlik Momenti: Denklem (8)’deki parantez içindeki nicelik, dönme eksenine göre eylemsizlik momenti olarak tanımlanır: 2 I M i ri (9) Eylemsizlik momenti I sembolü ile gösterilir ve birimi kg∙m2’dir. Cisim sürekli yapıya sahip ise denklem (9) I r 2dm (10) şekline dönüşür. Bu durumda bir eksen etrafında dönmekte olan bir cismin toplam kinetik enerjisi Ek 1 2 I 2 (11) ifadesi ile verilir. Enerji Korunumu Kullanılarak Eylemsizlik Momenti Hesabı: Şekil 2’de şematik olarak gösterilen sistem, düşey bir eksen etrafında dönebilen disk şeklinde bir tabla ile h yüksekliği boyunca düşen bir m kütlesinden oluşmuştur. m kütlesinin ağırlığı r yarıçaplı bir kasnağa sarılı olan ipi çekerek, tablayı döndürür. Şekil 2. Deney Düzeneğinin Şematik Gösterimi. 2 Başlangıçta sadece potansiyel enerjisi olan m kütlesi bu enerjiyi kendi hızlanması ( ) ve ipin sarılı olduğu diski döndürmesi ( ) 0 ve 0 0 suretiyle kinetik enerjiye dönüştürecektir. Sistem durgun halden harekete başlarsa 0 olacağından, başlangıçta sistemin kinetik enerjisi sıfırdır. Sistemin enerjisi, m kütlesinin potansiyel enerjisi olan mgh kadardır. m kütlesi h kadar alçalınca, başlangıçta sadece mgh kadar potansiyel enerjisi olan m kütlesi, bu enerjiyi kendi hızlanması ( 1 ) ve ipin sarılı olduğu disk şeklindeki tablanın dönmesinden ( ) kaynaklanan kinetik enerjilere dönüştürecektir. Bu durum enerji korunumuna göre, mgh 1 1 m 2 I 2 2 2 (12) (13) şeklinde olmalıdır. İpin sarıldığı kasnağın yarıçapı r ise diskin dönme açısal hızı ( ) ile m kütlesinin aşağıya iniş hızı arasında r bağıntısı vardır. Sistem sabit bir kuvvetin etkisiyle (yer çekimi kuvveti) hareket ettiğine göre m kütlesi düzgün hızlanan doğrusal bir hareket yapar. Dolayısıyla, 2h t (14) (15) yazılabilir. (12), (13), (14) bağıntılarından yararlanarak gt 2 I mr ( 1) 2h 2 şeklinde bulunur. 2.Deney: Deney düzeneğindeki ipin sarılı olduğu kasnağın yarıçapı ölçülür ve tabloya işlenir. 30 gramlık kütlenin bırakılacağı h yüksekliği 75 cm olarak ayarlanır. Kütlenin bu yükseklikten aşağıya iniş süresi 3 kez ölçülerek ortalama süre hesaplanır. Denklem (15) kullanılarak tablanın ( I Tabla ) eylemsizlik momenti hesaplanır. Tablo 1 rkasnak h m t1 t2 t3 (m) (m) (kg) (s) (s) (s) ITabla (kg∙m2) tort (s) Disk: Deney düzeneğindeki tablanın üzerine disk yerleştirilir. 30 gramlık kütlenin bırakılacağı h yüksekliği 75 cm olarak ayarlanır. Kütlenin bu yükseklikten aşağıya iniş süresi 3 kez ölçülerek ortalama süre hesaplanır. Denklem (15) kullanılarak tabla ve diskin toplam eylemsizlik momenti ( ITabla I Disk ) hesaplanır. Toplam eylemsizlik momentinden ( ITabla I Disk ), tablanın eylemsizlik 3 momenti ( I Tabla ) çıkarılarak, diskin eylemsizlik momenti ( I Disk ) hesaplanır. Denklem (16) kullanılarak diskin teorik eylemsizlik momenti ( I Disk Teorik ) hesaplanır ve hata hesabı yapılır. I Disk Teorik 1 MR 2 2 (16) Tablo 2 rkasnak h m t1 t2 t3 (m) (m) (kg) (s) (s) (s) ITabla I Disk I Disk Deney tort (s) (kgm2) MDisk RDisk I Disk Teorik B. Hata (%) (kg∙m2) (kg) (m) (kg∙m2) Halka: Deney düzeneğindeki tablanın üzerine halka yerleştirilir. 30 gramlık kütlenin bırakılacağı h yüksekliği 75 cm olarak ayarlanır. Kütlenin bu yükseklikten aşağıya iniş süresi 3 kez ölçülerek ortalama süre hesaplanır. Denklem (15) kullanılarak tabla ve halkanın toplam eylemsizlik momenti ( ITabla I Halka ) hesaplanır. Toplam eylemsizlik momentinden ( ITabla I Halka ), tablanın eylemsizlik momenti (Itabla) çıkarılarak, halkanın eylemsizlik momenti ( I Halka ) hesaplanır. Halkanın iç yarıçapı Riç ve dış yarıçapı Rdış olmak üzere denklem (17) kullanılarak halkanın (IHalka_Teorik) teorik eylemsizlik momenti hesaplanır ve hata hesabı yapılır. I HalkaTeorik 1 M Riç 2 Rdış 2 2 (17) Tablo 3 rkasnak h m t1 t2 t3 (m) (m) (kg) (s) (s) (s) MHalka Riç Rdış I HalkaTeorik B. Hata (kg) (m) (m) (kg∙m2) (%) tort ITabla I Halka I Halka Deney (s) (kg∙m2) (kg∙m2) 4 Levha: Deney düzeneğindeki tablanın üzerine levha yerleştirilir. 30 gramlık kütlenin bırakılacağı h yüksekliği 75 cm olarak ayarlanır. Kütlenin bu yükseklikten aşağıya iniş süresi 3 kez ölçülerek ortalama süre hesaplanır. Denklem (15) kullanılarak tabla ve levhanın toplam eylemsizlik momenti ( ITabla I Levha ) hesaplanır. Toplam eylemsizlik momentinden (Itabla+ILevha), tablanın eylemsizlik momenti ( I Tabla ) çıkarılarak, levhanın eylemsizlik momenti ( I Levha ) hesaplanır. Levhanın kısa kenarı a ve uzun kenarı b olmak üzere denklem (18) kullanılarak levhanın teorik eylemsizlik momenti ( I LevhaTeorik ) hesaplanır ve hata hesabı yapılır. I LevhaTeorik 1 M (a 2 b 2 ) 12 (18) Tablo 4 rkasnak h m t1 t2 t3 (m) (m) (kg) (s) (s) (s) tort ITabla I Levha I Levha Deney MLevha a b I LevhaTeorik B. Hata (s) (kg∙m2) (kg∙m2) (kg) (m) (m) (kg∙m2) (%) 5 55.DENEY Y . YAY YLI ve BASSİT SARKA AÇ Ama aç: i) ii) Bir sspiral yayın yaay sabitinin beelirlenmesi vee basit harmon nik hareket yap pan bir cisminn periyodunun n incelenmesi.. Basiit sarkaç kullannılarak yerçek kimi ivmesininn belirlenmesi. Araçç ve Gereçlerr: Yay, farklı uzunlukta ip, kütle, çubukk metre, kron nometre (zam man ölçer), m milimetrik kağğıt, bilimsel hesap makinesi. 1. Bilgi Basitt Harmonik H Hareket: Belirrli aralıklarla ttekrarlanan haarekete periyyodik hareket, sabit bir nookta etrafında periyodik hareket yapaan cismin hareeketine ise titrreşim hareketti denir. Gene ellikle sinüs vveya kosinüs fonksiyonu f olarak ifade eddilen periyodik hareketlere e harmonik haareket denir. Böyle bir hareket yapaan bir parçacığın hiçbir ku uvvetin etkisin nde olmadığı konumu den nge konumu ve herhangi bir andaki konumunun k d denge konu umuna olan u uzaklığı da uzaanım olarak anılır. Parçacığğı denge konu umuna geri ge etirmeye çalışşan kuvvet, uzzanımla oranttılı ise titreşim hareketin ne basit harmo onik hareket (BHH) denir. Bir yyaya asılı bir kü ütlenin dengee durumundan n uzaklaştırılarrak serbest bırakılması sonucu Şekil 1.. BHH yapan p parçacık. yaptığı hareket BH HH’dir. BHH’de parçacığa ettki eden geri ggetirici kuvvett F ve bu kuvvvetin yönü y’’nin zıt yönünde olduğundaan, F -kx (1) dir. B Bu bağıntıdakki k orantı kattsayısıdır. Diğe er taraftan, paarçacığa bir kkuvvet etki etttiğinden Newt wton’un ikinci kanununa göre bu geri getirici kuvvett, d d 2x m 2 dt dtt (2) d2y d vveya m 2 kx 0 kxx m dt ddt (3) (4) F ma m dir. B Buradan, denkklemi yazılabillir. k m ( ; açısal frekans ) olmaak üzere, bu so on denklem 2 d2y 2 x 0 2 dt şeklinde ifade ediilir. (4) denkleemine genellikkle harmonik osilatör denkklemi denir ve e çözümü, A bbir sabit genliik, δ başlangıç fazı olmaak üzere 1 y Asin t (5) şeklindedir. (5) b bağıntısından h hareket edereek; v d x Accos (t ) dt (6) a d v 2 A Asin(t ) 2 y dt (7) elde edilir. Öte yandan açısal frrekansın T 2 m k 2 olduğu ggöz önüne alın nırsa, basit ha armonik harekketin periyodu u da T (8) olaraak bulunur. Yerçekimi İvmesi:: Bilindiği gibi, yeryüzünde fazla yüksek oolmayan bir yyerden serbest bırakılan birr cisim gittikçe e hızlanarak d düşer. Cism min bir ilk hızı o olmadığına gö öre harekete ggeçebilmesi iççin bir kuvvet gerekir. Bu ise e dinamiğin teemel prensibine göre, cism min bir ivme e kazanmasıyla açıklanabilirr. Öte yandan serbest düşe n cisim gittikççe hızlandığına a göre cismin böyle bir ivme kazandığı aççıktır. Cism me etki eden b bu ivmeye (g) yerçekimi ivmesi, bu ivmeenin oluşturduğu (G) kuvve etine de cism min ağırlığı den nir. Bu takdird de, m cismin kütlesi ise, G mg (9) dir. B Başka bir deyyimle G ağırlığğı dünyanın ciisme etki etti rdiği kuvvettir ve genellikle e gravitasyonn veya yerçek kimi kuvveti o olarak anılırr. Ancak etki‐ttepki prensibiine göre, dünyyanın cisme eetki ettirdiği G G kuvvetine ka arşılık cisim dee dünyaya, bu u kuvvete eşit fakat zıt yö önde bir kuvvet etki ettirmektedir. Basitt Sarkaç: Bir u ucundan tespiit edilmiş u uzunluğundakii hafif iplikle ttaşınan m kütleli noktasal bbir cismin oluşşturduğu düzeeneğe basitt sarkaç denir (Şekil‐2). Basit B sarkaç denge d konum mundan küçük bir açısı kadar uzakla ştırılıp serbesst bırakılırsa mg yerçekimi kuvvetiyle ipteki T geerilmesinin ettkisi altında düüşey bir düzle emde periyodik salınımlar yyapar. (x, y) kkoordinat ekseenleri nler seçildiğin nde mg ’nin xx doğrultusun ndaki bileşeni olaraak Şekil‐1’de verilen eksen mg sin , y doğrultusuundaki bileşenni ise mg cos olur. DDolayısıyla ipteki T gerilmessi mg cos iile dengelenirr. Şekil 2 mg sin bileşenni ise, m kütleesini 0 denge ddurumuna gettirmeye çalışaan geri getirici kuvvetin şidddeti olup, F mgsinθ (10) şeklinde ifade edilebilir. açıssının küçük (5 5°den küçük) oolması halinde, sin olup, θ x dir. Bu durumda geri geetirici kuvvvet, 2 F -mg -mg x dir. O halde küçük x uzanımları için geri getirici kuvvet uzanımla orantılıdır ( F hareketi basit harmonik hareket’tir. Buna göre k orantı katsayısı olmak üzere, F -kx (11) x ). Dolayısıyla bu şart altında basit sarkacın (12) yazılabilir. (12) bağıntısındaki (‐) işareti geri getirici kuvvet olduğunu ifade eder. (11) ve (12) bağıntıları yardımıyla kx mg x mg veya k (13) d 2x yazılabilir. F m 2 ile verilen dinamiğin temel bağıntısı yardımıyla dt d 2x kx m 2 dt elde edilir. 2 (14) k olmak üzere, (13) bağıntısı m d 2x 2 x 0 2 dt (15) şekline dönüşür. Bu bağıntı ise basit harmonik hareketin diferansiyel denklemidir. (15) denkleminin çözümü, A bir sabit olan genlik değeri, δ başlangıç fazı olmak üzere, x Asin( t δ) (16) (16a) m m 2 2 k mg g (17) şeklindedir. Ancak başlangıç şartına bağlı olarak, çözüm x Acos( t δ) şeklinde de olabilir. Öte yandan T 2 2 olduğundan hareketin periyodu, T ile ifade edilir. Bu bağıntıdan küçük salınımlar için basit sarkaç periyodunun sarkaç cisminin kütlesine, salınımın genliğine bağlı olmadığı; sadece sarkaç uzunluğuna ve yerçekimi ivmesine bağlı olduğu anlaşılır. “Ancak (17) bağıntısı açısının küçük olması halinde geçerlidir.” 2. Deney Yay Sabitinin Belirlenmesi 1. Yayın ucuna bir m kütlesi asılır ve kütle denge durumundan bir miktar aşağıya doğru çekilerek serbest bırakılır. Bu durumda yay ve kütleden oluşan sistem denge durumu etrafında BHH yapar. 2. BHH’in periyodunu belirlemek için 10 tam salınımlık süre ölçülür. Bu değerlerden ortalama periyot hesaplanır. Sonuçlar Tablo‐1’e işlenir. 3 Şekkil 4. Yaylı sarkkaç. m kütlesi asıldığı zama an yay y ka dar uzar. Yay kuvveti kütlen nin ağırlığına eeşit olunca de enge oluşur. K Kütle denge kkonumundan y 3. A kadarr aşağı çekilir ve serbest bırrakılırsa BHH ggözlenir. Yaya asılan kü ütleler gittikçee arttırılarak b benzer şekildee ortalama perriyot hesaplan nır. Sonuçlar TTablo‐1’e işlen nir. Tablo 1 m (kg) 10T T (s) Tort (s) T 2 (s2) k (N/m) f m grafiği çizilir. Bu eğri (8) baağıntısına göree orijinden geççen bir doğru olmalıdır. 4. Tablo‐1’deki d değerlerden T 5. Çizilen bu eğrriden seçilen iki tane 2 m, T değer çiifti için (8) bağıntısı yardımmıyla yay sabitti hesaplanır. Sonuçlar Tabllo‐1’e 2 nir. işlen Yerçekimi İvmesin nin Belirlenmesi 6. Asılma noktaasından sarkaçç cismine kad dar olan iip boyu bir cetvel c yardımııyla ve küren in 2R çapı ko ompas kullanılarak n R uzunluğu hesa aplanır. Bu işl em 4 farklı ip için ölçülerek k değerler Tabblo‐2’ye işlenirr. ölçülerek sarkacın Şekil 5 n bir miktar (yyaklaşık 5°) ayyrılarak salınım m yapması sağlanır. Sabit bbir noktadan sarkacın aynı yöne 7. Sarkaç dengee konumundan ak üzere 10 ttam salınım için geçen sürre kronometrre ile okunara ak sarkaç periiyodu doğrru ardı ardınaa iki geçişi birr salınım olma bulunur. Sonuçlarr Tablo‐2’ye işlenir. 4 8. Bu işlemler farklı uzunluklu sarkaçlar (en az 4 tel) için tekrarlanarak bulunan değerler Tablo‐2’ye işlenir. 2 R 10cm R 5cm = ….. g gerçek 9,8 m s 2 Tablo2 (m/s2) g g gerçek R 10T (s) Tort (s) (m) gort 9. Tablo‐2’den yararlanarak T 2 f grafiği çizilir. Grafikten bulunan T 2 oranı ve (17) ifadesi yardımıyla g yerçekimi ivmesi hesaplanır. 10. Yerçekimi ivmesinin bulunulan yerde bilinen değeri yardımıyla g’nin belirlenmesinde yapılan bağıl hata, g g gerçek g gerçek g ort . g gerçek (18) bağıntısından hesaplanarak Tablo‐2’ye işlenir. 5
