I ARASINAVI CEVAP ANAHTARI
advertisement
19.11.2013
No:
Ad-Soyad:
Soru
Puanlama
mza:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Toplam
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
105
Alnan Puan
40502341997.1 GENEL TOPOLOJ-I ARASINAVI CEVAP ANAHTARI
(ÖRGÜN ÖRETM)
Not: Süre
1.
X
90
sonsuz bir küme olsun.
Dakika. stedi§iniz
S = {{x}c : x ∈ X}
7
soruyu cevaplaynz.
kümesini alt baz olarak alan
X
üzerindeki
topolojiyi belirleyiniz.
Cevap :
Alt bazn elemanlarnn sonlu kesi³imlerini alarak topolojinin baz kümesini elde etmi³ oluruz. Bu
takdirde
{x1 }c , {x2 }c , ..., {xm }c ∈ S
için
{x1 }c ∩ {x2 }c ∩ ... ∩ {xm }c = X − {x1 , x2 , ...xm }.
O halde bu uzayn baz
B = {X − {x1 , ..., xm } : xi ∈ X, m < ∞}.
B
nin üretti§i topoloji ise sonlu tümleyenler topolojisidir.
2.
R
üzerinde
τ`
alt limit topoloji olsun. A³a§daki kümelerin
Y = (0, 5] ⊂ R
üzerindeki alt uzay topolojisine göre açk/kapal olma durumlarn inceleyiniz.
a) {1}
b) (1, 2)
c) [4, 5]
Cevap :
Y
kümesi üzerinde
R
üzerindeki
τ` = {∅, R,
[
[a, b) : a, b ∈ R, a < b}
alt kümesi
alt limit topolojisi ile indirgenen alt uzay topolojisi
τY = {Y ∩ G : G ∈ τ` }
³eklindedir.
• ∀ε > 0
için
{1} =
6 Y ∩ [1, 1 + ε)
oldu§undan
{1}
kümesi alt uzay topolojisine göre açk
de§ildir.
{1}
kümesi
R
üzerindeki alt limit topolojisine göre kapal oldu§undan
Y
üzerindeki ait
uzay topolo jisine göre de kapal olacaktr.
• (1, 2) kümesi R üzerindeki alt limit topolojisine göre açk oldu§undan Y
üzerindeki ait uzay
topolojisine göre de açk olacaktr.
(1, 2)cY = (0, 1] ∪ [2, 5)
(1, 2)cY
kümesi
Y
kümesini ele alalm.
∀ε > 0
için
(0, 1] 6= Y ∩ (0, 1 + ε)
(1, 2)
üzerinde açk de§ildir. O halde
kümesi
Y
oldu§undan
üzerinde kapal küme
olamaz.
• [4, 5] = Y ∩ [4, 6)
ve
[4, 6) ∈ B
oldu§undan bu küme
Y
üzerinde açktr.
[4, 5]cY = (0, 4) kümesi R üzerindeki alt limit topolojisine göre açk oldu§undan Y
ait uzay topolojisine göre de açk olacaktr. O halde
3.
Q⊂R
[4, 5]
kümesi
Y
üzerindeki
üzerinde kapaldr.
rasyonel saylar kümesi üzerindeki alt uzay topolojisinin diskrit(ayrk) topoloji ol-
mad§n gösteriniz.
Cevap :
Q
rasyonel saylar kümesinin
Q
kuvvet kümesinin
Q
üzerindeki alt uzay topolo jisine e³it olama-
yaca§n görmeliyiz. Bunun için de tek noktal kümelerin alt uzay topolojisinde açk olmad§n
görmemiz yeterlidir.
Q
üzerindeki alt uzay topolojisi
τQ = {Q ∩ G : G ⊆ R
³eklindedir. Key
p∈Q
rasyonel saysn alalm.
∀ε > 0
açk
}
için
{p} =
6 Q ∩ (p − ε, p + ε)
olaca§ndan tek noktal kümeler
4.
X 6= ∅ ve p ∈ X
olmak üzere
ele alalm. Bu durumda bir
bulunuz.
Q
üzerinde açk olamaz.
EEXp = {X} ∪ {A ⊂ X : p ∈
/ A} çkarlm³ nokta topolojisini
B⊂X
alt kümesinin içini
B◦,
kapan³n
B
ve snrn
∂B
kümelerini
Cevap :
[
B◦ =
G
\
B=
∂B = B − B ◦
F
G⊂B
B⊂F
G ∈ EEXp
F ∈ Kp
tanmlarn kullanarak istenenleri elde edelim. Bunun için de öncelikle uzayn kapallar snfn
belirleriz:
Kp = {∅} ∪ {F ⊂ X : p ∈
/ F }.
B
kümesini
p∈B
•
p
olsun.
Uzayn açklar
büyü§ü
•
p
p∈
/B
X
noktasn içermedi§inden (
B ◦ = B − {p}
Uzayn kapallar
• B
•
noktasn içerip içermeme durumuna göre iki alt durumda inceleyece§iz.
p
kümesinin snr
B
hariç)
kümesinin içerdi§i açklarn en
dir.
noktasn içerdi§ininen (
∅
hariç)
B
kapaldr. Yani,
B = B.
∂B = B − (B − {p}) = {p}.
olsun.
Uzayn açklar
p
noktasn içermedi§inden (
X
hariç)
B
kümesinin açktr. Yani
B◦ = B
dir.
•
Uzayn kapallar
küçü§ü
• B
B ∪ {p}
p
noktasn içerdi§ininen (
dir. Yani,
kümesinin snr
∅
hariç)
B
B = B ∪ {p}.
∂B = (B ∪ {p}) − B = {p}.
Bu durumda a³a§dakileri elde etmi³ oluruz:
B=
B
p∈B
B ∪ {p} p ∈
/ B.
B◦ =
B − {p} p ∈ B
B
∂B = {p}
p∈
/ B.
kümesini kapsayan kapallarn en
5.
m, n ∈ Z (m < n)
n∈Z
durumda her bir
Im,n = {m, m + 1, ..., n}
tamsaylar için
kümeleri tanmlansn. Bu
için
B(n) =
{n}
n
tek
{n − 1, n, n + 1} n
çift
B = {B(n) : n ∈ Z} baz ile üretilen dijital topolojiye göre I3,7 kümesinin kapan³n
olmak üzere
ve içini belirleyiniz.
Cevap :
X
Çözüm için de§me ve iç nokta tanmlarn kullanaca§z:
bir topolojik uzay,
A⊂X
ve
x∈X
olsun.
lk olarak
x∈
/ I3,7
• 2
I3,7
açk
x ∈ A◦ :⇐⇒ ∀x ∈ A
∃G
için
için
U ∩ A 6= ∅.
, x ∈ G ⊆ A.
açk
kümesinin kapan³ kümesini ele alalm.
I3,7 ⊂ I3,7
her zaman do§rudur. u halde
noktalarndan hangilerinin kapan³a ait oldu§unu belirleyelim.
noktasn içeren en temel açk
rumda
2
Bu durum
{1}
n<1
Benzer ³ekilde
8
açk kümesi ile
I3,7
I3,7
dür ve
I3,7
nin arakesiti bo³ küme oldu§undan
noktasn içeren en temel açk
8 ∈ I3,7
ile arakesiti bo³tan farkldr. Bu du-
nin arakesiti bo³tan farkl olaca§ndan
tamsaylar için de geçerlidir yani
bo³tan farkl oldu§undan
O halde
{1, 2, 3}
noktasn içeren her açk ile
noktasn içeren
•
x ∈ A :⇐⇒ ∀x ∈ U ⊆ X
dir ve tüm
n≤1
7, 8, 9
n≥9
için
2 ∈ I3,7 . 1
1∈
/ I3,7
olur.
n∈
/ I3,7 .
kümesinin
I3,7
tamsaylar için
kümesi ile arakesiti
n∈
/ I3,7
I3,7 = {2} ∪ I3,7 ∪ {8} = I2,8 .
imdi de
I3,7
kümesinin içini belirleyelim.
I3,7 = {3} ∪ {3, 4, 5} ∪ {5} ∪ {5, 6, 7} ∪ {7}.
Görülüyor ki
6.
ise
X
I3,7
kümesi açk kümelerin birle³imi ³eklinde yazlabiliyor. O halde
bir topolojik uzay,
A∩B
A, B ⊂ X
açk alt kümeler olsun. E§er
A
ve
B
◦ =I .
I3,7
3,7
yo§un (
A = X = B)
kümesi de yo§undur. Gösteriniz.
Cevap :
A
yo§un oldu§undan
∀x ∈ X
noktasdr. Bu durumda
için
x ∈ A
∀x ∈ U ⊂ X
dr yani
açk kümesi için
U ∩ A 6= ∅.
X
kümesindeki her nokta
A
non de§me
Bu demektir ki
y ∈ U
ve
y ∈ A
olacak ³ekilde bir
kendi noktalarnn kom³ulu§udur. O halde öyle bir
y ∈ X
G⊂X
eleman vardr.
A
açk oldu§undan
aç§ vardr ki
y ∈ G ⊂ A.
U
ve
G
açk olduklarndan kesi³imleri
U ∩G
de açktr üstelik ikisi de
y
noktasn içerdi§inden
U ∩ G 6= ∅.
B
kümesi yo§un oldu§undan
U ∩G
kümesi
B
nin baz elemanlarn içermelidir,
(U ∩ G) ∩ B 6= ∅.
G⊂A
oldu§undan
(U ∩ A) ∩ B = U ∩ (A ∩ B) 6= ∅
elde edilir. De§me noktalar tanm gere§i
X ⊂A∩B
7.
R
olur ki bu da
A∩B
x∈A∩B
dir.
x noktas X
üzerinde key alnd§ndan
nin yo§un oldu§u anlamna gelir.
üzerindeki diskrit(ayrk) topolojiye göre
(−3, −1, 1, 3, 5, 7, 9, 10, 10, 10, 10, 10, ...)
dizisinin
yaknsaklk durumunu inceleyiniz ve (varsa) dizinin limitini bulunuz.
Cevap :
x
noktas
gelen
(xn )n
∃N > 0
dizisinin limit noktasdr
do§al says vardr ki her
noktasna yaknsamas için
d dü³mesi gerekir.
10
∀n ∈ Z+
durumda
Z+
için
n > N
x noktasnn her U
noktasn içeren her
için
xn ∈ U
10
U
açk kümesine kar³lk
dur. Dizinin limitinin bir
x ∈ R
açk kom³ulu§una dizinin belli bir noktadan sonra
noktasn içeren en küçük açk kom³uluk
riminden itibaren tüm terimleri
8.
⇐⇒ x
{10}
dur ve dizinin sekizinci te-
oldu§undan bu dizi yaknsaktr ve yaknsad§ de§er
10
dur.
Bn = {n, n + 1, n + 2, ...} olarak tanmlansn ve B = {Bn : n ∈ Z+ } olsun. Bu
üzerindeki
(2, 4, 6, 8, ...)
dizisinin
B
tarafndan üretilen topolojiye göre her noktaya
yaknsad§n gösteriniz.
Cevap :
x
noktas
gelen
(xn )n
∃N > 0
dizisinin limit noktasdr
do§al says vardr ki her
⇐⇒ x
n>N
için
noktasn içeren her
xn ∈ U
dur. Key bir
Bu noktay içeren en küçük açk küme
Bx = {x, x + 1, x + 2, ...}
³eklindedir.
U
açk kümesine kar³lk
x ∈ Z+
noktas alalm.
•
E§er
x
tek say ise
tüm terimleri
•
E§er
x
Bx
x+1
x+1
çifttir ve dizinin
noktasn içeren terimden itibaren dizinin
içine dü³er.
çift say ise dizinin
x
noktasn içeren terimden itibaren dizinin tüm terimleri
Bx
içine dü³er.
(2, 4, 6, 8, ...)
O halde
9.
R
dizisi yaknsaktr ve bu dizi
üzerindeki sa§ topolojiye göre
A = [4, 6)
Z+
üzerindeki her noktaya yaknsar.
kümesinin y§lma noktalarnn kümesini belir-
leyiniz.
Cevap :
üzerindeki sa§ topoloji
R
τ = {∅, R, (a, ∞) : a ∈ R}
³eklindedir. Uzayn kapallar snf ise
K = {∅, R, (−∞, a] : a ∈ R}
olur.
A = A ∪ A0
alalm.
∀ε > 0
A0 = (−∞, 6]
10.
X
ve
Y
ve
için
A = (−∞, 6]
oldu§undan
((x − ε, ∞) − x) ∩ A 6= ∅
(−∞, 4) ∪ {6} ⊂ A0
oldu§undan
x
de
A
dir.
x ∈ [4, 6)
noktasn ele
nn y§lma noktasdr. O halde
elde edilir.
diskrit(ayrk) uzay iken
X×Y
çarpm uzay da diskrit(ayrk) uzay olur mu?
Cevabnz açklaynz.
Cevap :
X
ve
Y
diskrit uzay olduklarndan bazlar srasyla
BX = {{x} : x ∈ X}
³eklindedir. Bu durumda
X ×Y
BX = {{y} : y ∈ Y }
çarpm uzaynn baz
BX×Y = {{x} × {y} : x ∈ X, y ∈ Y }
olur. Bir uzaynn diskrit olmas için tek noktal kümelerin uzayda açk olmas gerekiyordu. u
durumda
∀(x, y) ∈ X × Y
için
{(x, y)} = {x} × {y}
çarpm uzaynda açk oldu§undan çarpm
uzay da diskrit uzaydr.
Ba³arlar Dilerim.
Prof. Dr. smet KARACA