Ankara Üniversitesi Açık Erişim Sistemi

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DOKTORA TEZİ
KÜTLELİ NÖTRİNO FİZİĞİ
Deniz YILMAZ
FİZİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI
ANKARA
2005
Her hakkı saklıdır
ÖZET
Doktora Tezi
KÜTLELİ NÖTRİNO FİZİĞİ
Deniz YILMAZ
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Fizik Mühendisliği Anabilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. A. Ulvi YILMAZER
Bu tez çalışmasında, Güneş nötrino açığının, madde ortamı tarafından zenginleştirilmiş
spin-çeşni
presesyon
etkisinden
kaynaklandığı
varsayılarak,
Güneş
nötrino
deneylerinden gelen verilerinin KamLAND verileri ile birleştirilmesiyle bir global
analiz yapılmıştır. Güneşin tamamı boyunca etkili iki farklı manyetik alan şekli
kullanıldı: Wood-Saxon ve Gaussyen şeklinde. Dirac nötrinoları için, μB değerleri
artarken, izinli bölgelerin manyetik alan şeklinden bağımsız olduğu ve LMA’ daki izinli
bölgelerin SMA bölgesine kaydığı görülmüştür. İzinli bölgeler % 95 CL güven
seviyesinde hesaplanmıştır. 0.95 CL’ de elektron nötrinosu manyetik momenti için bir
üst limit bulundu: Her iki manyetik alan şekli için 1σ seviyesinde μB< 0.2×10-7μ BG .
2005, 98 sayfa
ANAHTAR KELİMELER : Nötrino, RSFP, Dirac kütlesi, Majorana kütlesi, Helisite,
Ellilik, Global, İstatistik, Wood-Saxon, Gauss, Manyetik alan, Spin-çeşni, Presesyon,
LMA, SMA,
i
ABSTRACT
Ph. D. Thesis
MASSIVE NEUTRINO PHYSICS
Deniz YILMAZ
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Engineering Physics
Supervisor: Prof. Dr. A. Ulvi YILMAZER
In this thesis, a global analysis of the solar neutrino data from all solar neutrino
experiments combined with the KamLAND data is presented assuming that the solar
neutrino deficit is due to the matter-enhanced spin-flavor precession effect. We used
two types of magnetic field profiles throughout the entire Sun: Wood-Saxon shape and
the Gaussian shape. We showed that for Dirac neutrinos, the allowed regions are
independent of the magnetic field profiles for all of the magnetic moments that we used
in this thesis and the allowed region in the large mixing angle (LMA) region shifted to
the small mixing angle region as μB value is increased. We calculated the allowed
regions at 95 % CL. We also find a limit for the electron magnetic moment at 0.95 CL
so that μB<0.2×10-7μ BG for both magnetic field profiles at 1σ level.
2005, 98 pages
Key Words: Neutrino, RSFP, Dirac mass, Majorana mass, Helicity, Chirality, Global,
Statistics, Wood-Saxon, Gauss, Magnetic field, Spin-flavor, Precession, LMA, SMA.
ii
TEŞEKKÜR
Doktora tez çalışmalarım boyunca bana her konuda yardımcı ve destek olan
danışmanım Prof. Dr. A. Ulvi YILMAZER’ e çok teşekkür ederim. Ayrıca Prof. Dr. Z.
Zekeriya AYDIN’ a ve Prof. Dr. Ramazan Sever’ e Tez İzleme Komitesi (TİK)
toplantılarında, çalışmalarımla ilgili yararlı görüşlerinden dolayı teşekkürlerimi
sunarım. Bunun yanında TÜBİTAK-Bilim Adamı Yetiştirme Grubuna (BAYG)
sağladığı bütünleştirilmiş doktora programı bursu için ve bu burs çerçevesinde
Wisconsin Üniversitesinde birlikte çalıştığım, doktora tezimin oluşmasında büyük
yardımları olan ve kendisini tanımaktan dolayı çok şanslı olduğum Prof. Dr. A. Baha
BALANTEKİN’ e teşekkürlerimi bir borç bilirim.
Hayat boyu desteklerini benden esirgemeyen sevgili aileme ve her türlü sıkıntımda
yanımda yer alan çok değerli fizik öğretmenim Seçkin KARABULUT’ a yardım ve
destekleri için teşekkürlerimi sunarım.
Ayrıca çok sevgili arkadaşlarım Ömer-Nesrin TARDU, Zeki TUĞCULAR, Memet
KARAMAN ve Özgür S. AYTEKİN’ e de doktora çalışmam sırasındaki desteklerinden
dolayı teşekkür ederim.
Deniz YILMAZ
Ankara, Ocak 2005
iii
İÇİNDEKİLER
ÖZET……………………………………………………………………………………..i
ABSTRACT…………………………………………………………………………......ii
TEŞEKKÜR………………………………………………………………………….....iii
SİMGELER DİZİNİ…………………………………………………………………....vii
ŞEKİLLER DİZİNİ………………………………………………………………...….viii
ÇİZELGELER DİZİNİ……………………...………………………………..…...……..x
1. GİRİŞ………………………………………………………………………....1
2. KURAMSAL TEMELLER………………………………………………....5
2.1. Nötrinoların Tanımlanması............................................................................5
2.1.1. Dirac ve Majorana kütle terimleri...............................................................8
2.2. Nötrinoların Elektromanyetik Özellikleri.....................................................10
2.2.1. Nötrinoların manyetik dipol momenti.......................................................13
2.2.2. Nötrinoların manyetik momentleri üzerine sınırlamalar...........................13
2.3. Güneş Nötrino Problemi...............................................................................14
2.4. Nötrino Salınımlarının Teorisi.....................................................................16
2.4.1. Vakumda nötrino salınımları: iki çeşni durumu........................................20
2.4.2. Madde ortamında nötrino salınımları........................................................22
2.4.2.1 Madde ortamında efektif potansiyeller....................................................24
2.4.2.2. İki çeşni durumu için madde ortamında evrim denklemi ve nötrino
salınımı…………………………………………………………….......26
2.5. Güneş’ te Spin-Flip ve Spin-Çeşni Presesyonu………......………………..33
2.5.1. Manyetik alanda spin-flip…………………………..……………………33
2.5.2. Güneş’te spin-çeşni presesyonu…………………...………………..…...34
2.6. Standart Güneş Modeli Çerçevesinde Güneş………………………...…....39
2.6.1. Standart Güneş Modeli (SGM) …………………………….....................39
2.6.2. Güneş nötrino akısı……………………………........................................42
2.6.3. Güneşteki manyetik alanlar……………………………...........................45
2.7. Nötrino Deneyleri…………………………….............................................46
2.7.1. Güneş nötrino deneyleri……………………...…….................................46
2.7.1.1. Homestake (Klor) deneyi………………...……....................................46
iv
2.7.1.2. Galyum deneyleri……………………...................................................48
2.7.1.3. Süper Kamiokande (SK) ………………................................................49
2.7.1.4. SNO (Sudbury Neutrino Observatory) ..................................................51
2.8. İstatistik ve Olasılık......................................................................................53
2.8.1. Olasılık tanımı, rastgele değişkenler, örnek uzay......................................53
2.8.2. Olasılık hesabı...........................................................................................55
2.8.2.1. Tanımlamalar..........................................................................................55
2.8.2.2. Koşulsal olasılık.....................................................................................56
2.8.3. Bayes Teoremi...........................................................................................57
2.8.4. Olasılık dağılımlarının genel özellikleri....................................................58
2.8.4.1. Olasılık yoğunluk fonksiyonu................................................................58
2.8.4.2. Kümülatif dağılım fonksiyonu...............................................................58
2.8.4.3. Olasılık yoğunluk fonksiyonunun özellikleri.........................................59
2.8.4.4. Bir fonksiyonun beklenen değeri............................................................60
2.8.4.5. Ortalama değer ve bir rastgele değişkenin varyansı...............................60
2.8.4.6. Kovaryans matris; korelasyon katsayıları..............................................61
2.8.5. Özel olasılık dağılımları............................................................................63
2.8.5.1. Binom ve Poisson dağılımı (Kesikli dağılımlar) ...................................63
2.8.5.3. Normal veya Gausyen dağılımı (Sürekli dağılım) .................................64
2.8.5.4. N(μ,σ 2 ) ’ nin olasılık içerikleri............................................................65
2.8.6. χ 2 istatistiği ve χ 2 dağılım fonksiyonu..................................................66
2.8.7. En-küçük kareler yöntemi.........................................................................68
2.8.8. Klasik güven aralığı (Neyman güven aralığı) ..........................................69
2.8.8.1. Klasik güven aralıklarına örnekler.........................................................71
2.8.8.1.1. Gauss dağılımına sahip güven aralığı..................................................71
2.8.8.1.2 Fona sahip Poisson süreci.....................................................................72
2.8.9. Feldman-Cousins Sıralama İlkesi..............................................................73
2.8.10. Fit uyumu ve izinli bölge hesabı.............................................................75
3. MATERYAL ve YÖNTEM..........................................................................76
3.1. İstatistiksel Analiz ve Nötrino Deneyleri.....................................................76
4. ARAŞTIRMA BULGULARI.......................................................................82
5. TARTIŞMA ve SONUÇ................................................................................88
v
KAYNAKLAR…………........................……………………………………...89
EKLER……………................………………………......…………………….93
EK1…………….............……………………………………….………………94
EK2……………....................………….……….……………………………....97
ÖZGEÇMİŞ……………..........................……......…………………...……....98
vi
SİMGELER DİZİNİ
ν
Nötrino alanı
νc
Nötrino alanının yük eşleniği
νL
Sol-elli nötrino alanı
νR
Sağ-elli nötrino alanı
H
Hamiltoniyen
D
m
Dirac kütlesi
jμem
Elekromanyetik akım
μel
Elektrik dipol momenti
μel
Manyetik dipol moment
θ
Nötrino karışım açısı
θ0
Vakumda Nötrino karışım açısı
GF
Fermi sabiti
γμ
Dirac matrisleri
C
Yük eşleniği operatörü
Ve
Elektron efektif potansiyeli
Vμ
Muon efektif potansiyeli
Ne
Elektron sayı yoğunluğu
Nμ
Muon sayı yoğunluğu
L
Güneş yüzey ışınlığı
T
Güneş yüzey sıcaklığı
M
Güneş kütlesi
R
Güneş yarıçapı
B
Güneşteki manyetik alan
Ф
Nötrino akısı
σ
Tesir kesiti
vii
ŞEKİLLER DİZİNİ
Şekil 2.1. Nötrino manyetik momentine katkıda bulunan bir-ilmek diyagramı………..10
Şekil 2.2. Standart Güneş Modeli ile Güneş nötrino deneyleri arasındaki ilişki.............15
Şekil 2.3. Nötrino salınım deneyi…………………………………………………....…16
Şekil 2.4. İki çeşni nötrino salınımlarının geçiş olasılığını mesafeye bağlayan eğri.…21
Şekil 2.5. Nötrino saçılım diyagramları……………………...……………………..…24
Şekil 2.6. Dirac nötrinolarının iki aileli durumu için enerji-seviye geçişleri. RMSW ve
R1 sırasıyla MSW rezonansı ve ν eL → ν μ R rezonans durumuna karşı gelir..36
Şekil 2.7. MSW ve ν eL → ν μR rezonanslarının karşılaştırılması. Üst kısım (B=0
durumunda ) yalnızca MSW rezonansı durumundaki, alt kısım (B≠0
durumunda ) ise her iki rezonans durumundaki hayatta kalma olasılığının
güneş yarıçapına bağlı değişimini vermektedir ( P(ν e → ν e ) - R/R )..........37
Şekil 2.8. Güneşteki pp zinciri........................................................................................40
Şekil 2.9. Güneşteki CNO döngüsü.................................................................................40
Şekil 2.10. Detaylı Güneş şekli.......................................................................................41
Şekil 2.11. Güneş yarıçapına bağlı olarak SGM çerçevesinde hesaplanan elektron
yoğunluğu dağılımı........................................................................................42
Şekil 2.12. Güneş nötrino spektrumunun nötrino enerjisine bağlı gösterimi..................44
Şekil 2.13. Güneş yarıçapının bir fonksiyonu olarak nötrino üretimi.............................44
Şekil 2.14 Güneş’ teki manyetik alan tipleri. (a) Wood-Saxon (b) Gauss tipinde
manyetik Alan şekilleri.................................................................................45
Şekil 2.15. Venn diyagramları.........................................................................................55
Şekil 2.16. Koşulsal olasılığı gösteren Venn diyagramı..................................................56
Şekil 2.17. B1, B2, ..., Bn ayrık alt kümelerinden oluşan Ω alt uzayı. A kümesi de Ω
içinde herhangi bir küme................................................................................57
Şekil 2.18. Düzgün dağılımlı olasılık yoğunluk fonksiyonu için yerel parametreler......59
Şekil 2.19. Binom dağılımı..............................................................................................63
viii
Şekil 2.20. Gauss (normal) dağılımı.............................................................................. .64
Şekil 2.21. Binom ve normal dağılım..............................................................................65
Şekil 2.22. χ 2 dağılımının olasılık içerikleri..................................................................66
Şekil 2.23. Kümülatif χ 2 dağılımı.................................................................................67
Şekil 2.24. En genel güven kemeri..................................................................................70
Şekil 2.25. (a) % 90 CL üst limitinde, Gausyen dağılımın ortalaması için standart
güven kemeri. (b) % 90 CL merkezi güven aralıklarında, Gausyen
dağılımın ortalaması için standart güven kemeri...........................................72
Şekil 2.26. (a) % 90 CL üst limitinde, b=3 durumu için bilinmeyen μ ortalamalı
Poisson signali için standart güven kemeri. (b) % 90 CL merkezi güven
aralıklarında, b=3 durumu için bilinmeyen μ ortalamalı Poisson sinyali
için standart güven kemeri.............................................................................73
Şekil 2.27. FC sıralama ilkesine göre (a) Poisson dağılımı için (b) Gausyen dağılım
için güven kemerleri.......................................................................................74
Şekil 4.1. Dört farklı µB değerinde (µB = 0, 2, 5 ,10 × 10-7) ve % 95 CL güven
seviyesinde herbir Güneş nötrino deneyi için nötrino parametre uzayının
izinli bölgeleri.................................................................................................82
Şekil 4.2. Şekil 2’ deki aynı µB değerlerinde birleştirilmiş (combined) Güneş nötrino
deneylerinin izinli bölgeleri. “*”’ lar yerel en iyi fit noktasını belirtir….…83
Şekil 4.3. KamLAND spectrum verileri için farklı güven seviyelerindeki izinli
bölgeler. “*” en iyi fit noktasını belirtir……………..………………….......84
Şekil 4.4. Güneş nötrino verilerini ve KamLAND verilerini birleştirilmesinden
oluşturulan global analizden, % 95 CL’ de dokuz farklı µB değeri
(0, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 4, 5, 10x10-7 µBG) için elde edilen izinli bölgeler.
“*” en iyi fit noktasını belirtir…………..…………………...…………...…85
Şekil 4.5. Δχ2 fonksiyonunun µB üzerindeki izdüşümü……………………………..…87
EK 1.
Şekil.1.a) Standart Model’ deki elektron ve kütlesiz elektron nötrinosu için
helisite ve ellilik durumları.............................................................................96
Şekil 1.b) Kütleli Dirac ve Majorana nötrinosu için helisite ve ellilik durumları...........96
EK 2.
Şekil 1. a) muon nötrinosu tarafından üretilen b) elektron duşunun ürettiği
Cherenkov ışınımları....................................................................................97
ix
ÇİZELGELER DİZİNİ
Çizelge 2.1. Güneşteki nötrino üretim reaksiyonları…………………..…………….…43
Çizelge 2.2. Cl ve Ga deneyleri için tahmin edilen olay oranları………………………49
Çizelge 2.3. b=3 bilinen fon durumunda μ=0.5 durumu için güven kemeri yapımındaki
hesaplamalar.…………………………………………………………..…74
Çizelge 4.1. Her iki manyetik alan şekli için en iyi fit noktaları……………………….86
x
1. GİRİŞ
Nötrino radyoaktif çekirdeklerin beta bozunumunda ortaya çıkan enerji problemine bir
çözüm olarak, 1930’ da Pauli tarafından ortaya atılmıştır. Standart Modelde lepton
aileleri içinde yer alan, yükü sıfır, kütlesi sıfır ve ½ spinli parçacıklar olarak bilinen
nötrinoların varlığının deneysel olarak doğrulanması 1950’ li yıllarda gerçekleşir. 1950’
lerin ortalarına kadar doğadaki tüm nötrinoların yarısının “sol-elli” helisiteli, diğer
yarısının da “sağ-elli” helisiteli oldukları kabul ediliyordu. Ancak daha sonra, parite
bozulumunun gözlenmesinin ardından keşfedildi ki doğada nötrinolar yalnızca sol-elli
polarizasyona karşılık gelen helisite ile, antinötrinolar ise sağ elli polarizasyona karşı
gelen helisite ile ortaya çıkmaktadırlar (Wu et al. 1956, Lee ve Yang 1957).
Standart Modelde sol-elli leptonlar, üç aile şeklinde, SU(2)L zayıf izospin grubunun
ikilileri olarak, sağ-elli leptonlar ise tekliler olarak yer almaktadırlar;
( eν )L ,eR ( μν )L ,μ R ( τν )L ,τR
e
μ
τ
Eğer nötrinolar kütleli ise, elektrozayıf etkileşmelerin kuark sektörüne benzer olarak, νe,
νμ, ντ zayıf etkileşme özdurumları (çeşni özdurumları) ile ν1, ν2, ν3 nötrino kütle
özdurumları arasında bir karışım vardır. Zayıf etkileşmeler ile üretilen nötrinolar uzayda
yoluna devam ederken farklı çeşnideki bir nötrinoya peryodik geçiş yaparlar. Buna
“nötrino salınımları” denir.
Nötrinoların sıfırdan farklı kütlelere sahip olabileceklerinin ilk deneysel kanıtı olan,
1998’in haziran ayında gerçekleştirilen, Süper-Kamiokande deneyi ile, nötrino kütleleri
ve karışımı problemi günümüz yüksek enerji fiziğinin en ilgi çeken problemlerinden
biri olarak karşımızda durmaktadır.
Dünya üzerindeki güneşsel nötrino ölçümlerinin, standart Güneş model tahmininin
yaklasık üçte biri kadar olduğu deneysel olarak hesaplandıktan sonra, nötrino
1
osilasyonları deney ve teori arasındaki bu açığı açıklayabilecek bir mekanizma olarak
sunuldu.
Öte yandan, kayıp Güneş nötrinoları için öne sürülen çözümlerden birisi MikheyevSimirnov-Wolfenstein (MSW) (Wolfenstein 1978, Mikheyev ve Smirnov 1986)
etkisidir. Bu çözümde, nötrinoların madde içindeki koherent ileri saçılması, elektron
nötrinolarının başka çeşnideki nötrinolara dönüşmesine neden olur. Bu etkide karışım
açılarının ve kütle kare farklarının ince ayarına gerek yoktur ve rezonans koşulu şu
bağıntı ile verilir:
Δm 2
Cos 2θ 0
2GF N e =
2E
(1.1)
Büyük karışım açısı (LMA), küçük karışım açısı (SMA) ve düşük δm2 (LOW)
bölgeleri yaygın MSW çözümü olarak bilinirler. Tüm nötrino deneylerinin global
analizi LMA çözümünü nötrino parametre uzayındaki en olası çözüm olarak
göstermiştir. Ayrıca KamLAND (Eguchi et al. 2002) deneyinden gelen veriler de LMA
bölgesini çözüm bölgesi olarak işaret etmiştir. Böylece reaktör ve Güneş nötrino
deneyleri çözüm bölgesi olarak güçlü bir şekilde LMA bölgesini belirtmiştir.
Bir diğer çözümde ise, nötrinoların manyetik momente sahip olduğu düşünülür. Eğer
nötrinolar büyük manyetik momentlere sahipse güneş nötrino problemi için daha
spekülatif bir çözüm vardır. Güneşin manyetik alanından geçiş, nötrinoların spinini
etkiler; sol-elli elektron nötrinosunu şu anki nükleer dedektörlerde gözlenemeyen sağelli nötrinoya dönüştürür.
Bu gözlemlerden yola çıkarak, Okun, Voloshin ve Vysotsky (Okun et al. 1986) bu
manyetik moment çözümünü iyice incelediler. Elektrik ve manyetik dipol momentlere
ek olarak, farklı türler arasındaki çeşni geçiş momentlerine sahip olmanın da akla yatkın
olduğunu vurguladılar. Akhmedov (Akhmedov 1988) ve Barbieri ve Fiorentini
(Barbieri ve Fiorentini 1988) çeşni değişim spin rotasyonunun resonant artırımı
üzerindeki madde etklilerini incelediler. Nötrino spin ve çeşni presesyonu üzerine
2
maddenin ve manyetik alanların birleşik etkisi (RSFP) Lim ve Marciano ( Lim ve
Marciano 1988) tarafından incelenmiştir. Çeşni karışımı ve manyetik(köşegensel veya
geçiş) momentlerinin eş anlı varlığının MSW rezonansına ek olarak iki yeni rezonansa
yol açabileceğini vurgulamıştır. Bu olasılığı Minakata ve Nunokawa ( Minakata ve
Nunokawa 1989) çalışmıştır. Onlara göre önemli bir etki için oldukça büyük manyetik
alanlara veya manyetik momentlere gereksinim vardır. Geçiş manyetik momentine
sahip Güneş nötrinolarının madde-etkili spin-çeşni presesyonu klor ve galyum deneyleri
için Balantekin et al. (Balantekin et al. 1990) tarafından detaylıca incelenmiştir. Son
yıllarda RSFP’ yi farklı bakış açılarında inceleyen başka birçok çalışma yapılmaktadır.
Chauhan (Chauhan et al. 2002) nötrino osilasyonunun ve spin çeşni presesyonunun
birleşik etkisini incelemişlerdir: Güneş’ ten gelen elektron karşıt-nötrinolarını
incelemişler ve µB’ ye bir üst sınır (µB<2.8x10-19 MeV) getirmişlerdir; burada µ,
nötrinonun manyetik momenti, B ise manyetik alan şiddetidir. Ayrıca Güneş’ in
manyetik alanının etkisinin detaylı bir incelemesi için, güneş verilerinin istatistiksel
analizi yapılır ve minimum χ2 değerinden, farklı profiller için manyetik alan değerleri
çıkarılabilir.
Bunlara ek olarak, nötrinonun manyetik momentine bir üst sınır getirmek için, önce
herbir nötrino deneyi için, farklı µB değerlerinde, nötrino parametre uzayının izinli
bölgeleri incelenir. Sonra aynı µB değerleri için, Güneş nötrino deneylerinin birleşik
etkisine bakılarak izinli bölgeler bulunabilir. Son olarak da, global analiz yapmak için,
KamLAND verileri, birleşik güneş nötrino verilerine eklenir. Bu tezde, Güneş nötrino
açığının
RSFP’
den
kaynaklandığı
varsayılarak,
böyle
bir
yol
kullanıldı.
Hesaplamalarda, Δm2 ve tan2θ osilasyon parametrelerinin izinli değerlerini elde etmek
için sıklıkla kullanılan standart en-küçük kareler yöntemi kullanıldı.
Bu tez çalışmasında, yapılan global analiz ile RSFP etkisinin, reaktör ve Güneş nötrino
deneylerinin güçlü bir şekilde işaret ettiği LMA bölgesini nasıl değiştirdiğine bakıldı.
İki farklı Güneş manyetik şekli ve dokuz farklı µB değerleri için yapılan hesaplamalar
sonucunda LMA’ daki izinli bölgenin µB değeri arttıkça SMA bölgesine kaydığı
bulunmuştur. Bu gözlemlerden dolayı µB’ ye bir üst sınır getirilebilir.
3
İkinci bölümde, “Kuramsal Temeller” olarak öncelikle nötrinoların genel bir tanımı
verilmiştir. Bunun için iki alt bölümde nötrinoların helisite ve ellilik özellikleri ile kütle
terimleri ve nötrinoların elektromanyetik özellikleri hakkında bilgiler verildi. Daha
sonra “Güneş Nötrino Problemi (GNP) ”’ nden bahsedilerek izleyen iki alt bölümde
GNP’ nin çözümü olarak öne sürülen nötrino salınımları ve Güneş’ te spin-çeşni
presesyonu detaylıca anlatılmıştır. Sonraki iki alt bölümde, “ Standart Güneş Modeli
(SGM)”’ den ve Güneş nötrino deneylerinden bahsedilmiştir. “Kuramsal Temeller”’ in
son kısmında ise, deneylerden gelen verilerin analizi için gerekli olan istatistiksel analiz
hakkında detaylı bilgi verilmiştir.
“Materyal ve Yöntem” kısmında ise “Kuramsal Temeller”’ in ışığında Güneş nötrino
deneylerinden elde edilen verilerin istatistiksel analizi anlatılmıştır.
“Araştırma Bulguları”’ nda ise elde edilen sonuçlar ve grafikler verilmiştir. Son olarak
“Sonuç” kısmında bulduğumuz μB limiti ile literatürdekiler karşılaştırılmıştır.
4
2. KURAMSAL TEMELLER
2.1. Nötrinoların Tanımlanması
Yüklü leptonlar ve kuarklar dört bileşenden oluşan Dirac parçacıklarıdır: sol ve sağ-elli
parçacıklar ve onların karşıt-parçacıkları.
Nötrinoların zayıf etkileşmeleri daima elli alanlarla tanımlanır. Ellilik izdüşüm
operatörleri
PL =
1− γ 5
2
PR =
1+ γ 5
2
(2.1)
şeklinde tanımlanır. Şöyle ki sol ve sağ elli alanlar, örneğin nötrinolar için
ν L = PLν
ve ν R = PRν
olarak yazılır. “Sol-elli” ‘lik ve “sağ-elli”’ lik kavramları, relativistik parçacıklar için
elliliğin, helisite ile özdeş oluşumundan doğar. Helisite bir parçacığın spininin
momentumu üzerine izdüşümü olarak tanımlanır ve helisite izdüşüm operatörleri
P± =
1
σ.p
(1 m
)
2
p
(2.2)
şeklindedir. Helisite operatörünün özdurumları -1 (sol veya negatif helisiteli) ve +1 (sağ
veya pozitif helisiteli)’ dir. Kütleli bir parçacık için belirli bir elliliğe sahip bir durum
helisite durumlarının bir lineer karışımından oluşur. Sol (sağ)-elli durum baskın olarak
negatif helisiteli durumdan ve az miktar (m/E) sağ (sol)-elli durumun toplamından
oluşur [EK 1]. Serbest bir fermiyon için, helisite korunur, fakat ellilik korunmaz. Ellilik
yalnızca
m → 0 limitinde korunur (Akhmedov 2000). σ.p kütleli veya kütlesiz olsun
serbest parçacığın Hamiltonien’i ile yerdeğiştirir, fakat γ 5 yerdeğiştirmez (Kim ve
Pevsner 1993).
5
Ellilik ve helisite kavramlarından sonra, nötrino durumlarına tekrar dönecek olursak,
önce kütleli nötrinoları helisite çerçevesinden inceleyelim.
İşe, negative helisiteli kütleli bir nötrino alarak başlayalım, ν − . Bütün fizik teorileri
CPT (yük-parite-zaman) altında değişmez olduğu için ν − ’ nin CPT altında bir ayna
görüntüsü vardır; bu da pozitif helisiteli karşıt nötrinodur: ν + .
Helisitenin yük eşleniği (C), parite (P) ve zaman tersinmesi (T) altındaki dönüşümü ise
şu şekildedir:
C (yük):
t → t,
p → p,
P (uzay):
t → t,
p → -p,
T (zaman):
t → -t,
p → -p,
PT (uzay-zaman): t → -t,
p → p,
x → x,
q → -q
L=x × p → L ⇒ s → s, helisite: h=
x → -x,
q→q
L=x × p → L ⇒ s → s, helisite: h=
x → x,
σ.p
→h
p
σ.p
→ -h
p
q→q
L=x × p → -L ⇒ s → -s, helisite: h=
x → -x,
σ.p
→ -h
p
q→q
L=x × p → -L ⇒ s → -s, helisite: h=
σ.p
→ -h
p
Bu özelliklerden yararlanarak nötrinoların CPT altındaki dönüşümlerini inceleyebiliriz.
ν − ⎯CPT
⎯
⎯→ ν +
Nötrinoları kütleli kabul ettiğimizden dolayı, hızları ışık hızından küçüktür ve
dolayısıyla bir gözlemci nötrinolardan hızlı gidebilir. Bu gözlemcinin çerçevesinden
bakıldığında, nötrino diğer tarafa gidiyormuş gibi gözükür. Fakat spini yine aynı kalır.
Başka bir deyişle, negative helisiteli (ν − ) nötrino Lorentz ötelemesi altında, pozitif
helisiteli (ν + ) nötrinoya dönüşür.
6
Buradaki önemli soru, ν + ile ν + ’ nın aynı olup olmadığıdır; yani maddeyle aynı
şekilde mi etkileşirler?
Eğer ν + (− ) ile ν +(− ) ile aynı parçacık değilse (başka bir deyişle maddeyle aynı şekilde
etkileşmiyorlarsa), o zaman ν + ’nın da kendi CPT ayna görüntüsü vardır: ν − .
Dolayısıyla aynı kütleli dört duruma sahip oluruz ki, bu durumların kümesi DIRAC
nötrinosu (ν D ) olarak adlandırılır.
Genel olarak, Dirac nötrinoları manyetik ve elektrik dipol momentlere sahiptirler.
Böylelikle ( ν − ν + ) durumları (ν − ν + ) durumlarına Lorentz dönüşümleri veya dış
elektromanyetik alanlarla (E ,B) dönüştürülür.
Eğer ν + (− ) , ν +(− ) ’ ya özdeş ise, yani iki durum da maddeyle aynı şekilde etkileşiyorsa,
bu durumda aynı kütleli iki duruma sahip oluruz:
Bu durumlar kümesi MAJORANA nötrinosu (ν M ) olarak adlandırılır. Majorana
nötrinosu kendisinin karşı-parçacığıdır.
7
2.1.1. Dirac ve Majorana kütle terimleri
Kütlesiz bir nötrino iki bileşenli Weyl spinör alanı ile tanımlanır; sağ ve sol olmak üzere
belirli bir ellilikleri vardır. Kütleli bir nötrino ise ya Dirac ya da Majorana parçacığı
olabilir ve sırasıyla Dirac veya Majorana spinörleri ile tanımlanırlar.
Dirac spinörü dört bağımsız kompleks bileşenden oluşur: parçacıklar (sol ve sağ elli) ve
karşı-parçacıklar (sol ve sağ-elli). Karşı-parçacık spinörleri yük eşleniği operatörü ile
parçacık spinörlerinden elde edilirler:
Ψ C = CΨ
T
C = iγ 2 γ 0
burada C yük eşleniği matrisini tanımlar ve
C † = C T = C −1 = −C
C 2 = −1
C −1γ μ C = −(γ μ ) T
özelliklerine sahiptir.
Yük eşlenik operatörü yük benzeri kuantum sayılarını değiştirirken, ellilik gibi diğer
kuantum sayılarını değiştirmez. Bundan dolayı yeni bir operator tanımlayacağız:
)
)
parçacık-karşı parçacık operatörü: C . C operatörü sol ve sağ-elli alanlara
uygulandığında
)
C : ν L → (ν L ) C = (ν C ) R
ν R → (ν R ) C = (ν C ) L
elde edilir. Dolayısıyla sol-elli bir nötrinoyu var olan sağ-elli karşı-nötrinoya
dönüştürür. Oysa ki yük eşleniği sol-elli bir nötrinoyu var olmayan sol-elli karşı
nötrinoya dönüştürür.
8
Buradan yola çıkarak Dirac alanını yazacak olursak; Dirac alanı iki bileşenden oluşur:
ν = ν L +ν R
Böylece Dirac kütle terimi
-ℒm= m Dνν = m D (ν L + ν R )(ν L + ν R ) = m D (ν Lν R + ν Rν L )
şeklinde yazılır.
Dirac durumunun aksine Majorana durumunda kütleli alanın sağ-elli bileşeni sol-elli
)
bileşenin C -eşleniğidir:
ΨR = ( ΨL ) C = ( Ψ C ) R
Yani, parçacık kendisinin aynı zamanda karşıt-parçacığıdır. Bu durumda nötrinolar için
Majorana alanı
ν = ν L + η (ν C ) R = ν L + η (ν L ) C
olarak yazılır ve η = e iϕ olmak üzere keyfi bir fazdır. Böylece Majorana alanı yalnızca
bir Weyl alanından oluşur. Majorana kütle terimi ise
[
]
1
1
-ℒm= m M (ν L + (ν L ) C )(ν L + (ν L ) C ) = m M ν L (ν L ) C + hc
2
2
olarak ifade edilir.
9
Dirac ve Majorana kütle terimleri arasında önemli bir fark vardır: Dirac kütle terimleri
νν
ν → e iαν ν → ν e −iα
U(1) global faz dönüşümleri altında değişmezdir. Böylece Dirac durumunda elektrik
yükü, lepton ve baryon sayıları gibi karşı gelen yükler korunur. Fakat Majorana durumu
lepton sayıları L=+1 ve L=-1 olan iki bileşenin bir lineer karışımıdır. Dolayısıyla
toplam lepton sayısı korunmaz; ΔL = ±2 .
2.2. Nötrinoların Elektromanyetik Özellikleri
Yüksüz olmasına karşın nötrinolar bir fotonla ilmek (radyatif) diyagramlar yoluyla
etkileşebilir (Kim ve Pevsner 1993).
Şekil 2.1. Nötrino manyetik momentine katkıda bulunan bir-ilmek diyagramı
Sırasıyla ( pi , pf ) dörtlü momentumuna ve ( si , sf ) spinlerine sahip iki nötrino, (νi , νf),
arasındaki elektromanyetik akımın matris elemanı için en genel ifade şu şekilde yazılır:
< νf ; pf , sf |jemμ (0) | νi ; pi , si >=uf (pf , sf) Γμ (i → f)ui(pi , si)
(2.3)
burada Jemμ (×=0) elektromanyetik akımdır ve Γμ (i → f) ise Fa(q2; i → f) Γaμ’ nın bir
lineer kombinasyonudur. Buradaki Γaμ(a=1,2,…,10) γμ, γμ γ5, qμ, qμ γ5, Q μ, Qμ γ5, σμνqν,
σμνqνγ5, σμνQν, σμνQνγ5’ i temsil eder ve qμ=(pf – pi)μ ve Qμ=(pf + pi)μ şeklindedir.
10
Fa (q 2 ; i → f) ise karşı gelen form faktörleridir. Bununla birlikte buradaki on terim
birbirlerinden lineer bağımsız değildir. uf ve ui Dirac denklemini sağladığından, Gordon
ayrıştırma (dekompozisyon) ilişkilerinin kullanımına eklenmesi terimlerin sayısını 10’
dan 6’ ya indirir. Son olarak jemμ ‘ nin korunumundan
∂μjemμ(×)=0
veya
qμ < νf ; pf , sf |jemμ (0) | νi ; pi , si >=0
(2.4)
bağımsız terimlerin sayısını dörde indirir ve
< νf ; pf , sf |jemμ (0) | νi ; pi , si >=uf (pf , si){[F(q2; i → f)- γ5G(q2; i → f)][ γμ- (qμ γ0q/q2)]
+ [M(q2; i → f)-i γ5D(q2; i → f)]iσμνqν}ui(pi , si)
(2.5)
olarak bulunur. Jemμ(×)’ in hermitsel oluşundan yukarda tanımlanan bütün köşegensel
(i=f) form faktörleri reel (gerçel )’dir. Hermitselliğin sağlanması
< νf |jemμ | νi >*=< νi |jemμ | νf >
(2.6)
olarak ifade edilir. Bunu (2.3) nolu eşitliğe uyguladığımızda
Γμ (i → f)= γ0Γ†μ (f → i) γ0
(2.7)
ifadesini elde ederiz. Yukardaki ifadeler, köşegensel form faktörlerini, F(q2; i → f),
G(q2; i → f), M(q2; i → f), D(q2; i → f), reel yapar. Köşegen dışı form faktörleri için ise
F*(q2; i → f)= F(q2; f → i)
(2.8)
ifadesi geçerlidir. Buradaki efektif elektromanyetik form faktörleri, F(q2) ve G(q2),
elektrik yükü ile orantılıdır ve F(q2)
11
F(q2)=- q2(1/2M2W)η(q2)
(2.9)
olarak bilinir. Dolayısıyla nötrinoların yükü sıfır olduğundan F(q2) ve G(q2) q → 0
limitinde yok olur. Bu form faktörleri yük yarıçapı ve aksiyel yük yarıçapı form
faktörleri olarak adlandırılırlar ve hayali yüklü parçacıklar, W±, ve diğer hayali yüklü
fermiyonlar arasındaki sıfır yükün iç dağılımı üzerine bilgi içerir.
M(q2) ve D(q2) ise genel olarak q2 → 0 limitinde bile kaybolmayan, sırasıyla manyetik
ve elektrik dipole moment form faktörleri olarak adlandırılır. M(q2=0) ve D(q2=0)
basitçe μ ve d ile tanımlanırlar ve nötrinonun manyetik ve elektrik dipol momentleri
olarak ifade edilirler. Eğer ilk ve son nötrinolar özdeş (farklı) ise köşegen (köşegen dışı,
geçiş) momentleri diye adlandırılırlar.
Dirac nötrinoları köşegen ve köşegen dışı manyetik momentlere sahip olabilir. Fakat
sağ-elli akımların varlığında, nötrino kütlesi ile orantılıdır ve deneysel olarak
gözlenebilen bir olaya katkısı çok küçüktür. Majorana nötrinoları ise self-konjuge
özelliğinden dolayı köşegensel momentlere sahip değildirler. Şöyle ki: Eğer bir
Majorana nötrinosu bir manyetik(μman) ve elektrik(μel) dipol momente sahipse, dış
elektromanyetik alanla etkileşim enerjisi
Eet=- μman<s.B> - μel<s.E>
olarak yazılır. Bu etkileşmenin CPT altındaki dönüşümüne bakılırsa: ilk olarak s, -s’ e
dönüşür, B ve E ise değişmez kalır. Dolayısıyla Eet, -Eet’ e dönüşür. Eğer fizik yasaları
CPT invaryant ise
μman=0 ve μel=0
olmak zorundadır. Dolayısıyla Majorana nötrinoları için köşegensel elektrik ve
manyetik dipole moment yoktur. Fakat bunun yanısıra, Majorana nötrinoları geçiş
(köşegen dışı) manyetik momentlere sahip olabilir.
12
2.2.1. Nötrinoların manyetik dipol momenti
Manyetik moment (2.5) eşitliğinden de görüldüğü gibi
νσμνqννAμ
(2.10)
çiftleniminin katsayısı olarak tanımlanır. Bu ifade
νLσμνqννRAμ + νRσνμqννLAμ
(2.11)
olarak da yazılabilir. Başka bir deyişle, nötrinonun helisitesi bir manyetik alanda
değiştirilir, ki buda ancak Standart Model(SM)’ de nötrinoların kütleli olmasıyla
mümkündür; yani νeL→ νeR dönüşümü için kütle terimi varlığını gerektirir. Sağ-elli
nötrinolar, νeR, SM’ de olsalar bile, kütleli olmadıklarından W± ile etkileşmezler. SM’ in
küçük bir genişletilmiş halinde, nötrinoların kütleli Dirac parçacıkları sayılması
durumunda, Şekil 2.1’ de gösterilen radyatif düzeltmeler yoluyla Dirac nötrinoları
manyetik moment elde ederler:
μ(ν)=3GFemν/8π2√2 =3,2×10-19(mν/1eV)μB
(2.12)
burada μ B =eh/2me c ≈ 5.8×10-15 MeVG -1 olmak üzere Bohr magnetonudur.
2.2.2. Nötrinoların manyetik momentleri üzerine sınırlamalar
(2.12) eşitliğinde verilen manyetik moment sıfır değil, fakat oldukça küçüktür. Sağ elli
alanlar ve minimal elektrozayıf modelin Higgs genişletilmesi gibi, SM’ in ötesindeki
fizik, daha geniş manyetik momentlere yol açabilir:
Nötrino-elektron (ν e +e → ν e +e) saçılmasından
|μνe| ≤10-9μB,
karşı-nötrino-elektron (ν e +e → ν e +e) saçılmasından
|μνe| ≤4×10-10 μB,
13
astrofiziksel ve kozmolojik tartışmalardan
|μνe| ≤10-11 μB,
ve SN1987A süpernova patlamasından ise yaklaşık olarak
|μνe|≲(10-13-10-12) μB
sınırlamaları elde edilir.
2.3. Güneş Nötrino Problemi
Güneşteki ve yıldızlardaki enerjiler protonların α-parçacıklarına dönüşümüyle üretilir:
4p+2e-=4He+2νe+26,73 MeV
Güneşteki ana yanma reaksiyonu pp zinciridir. CNO (Karbon-Nitrojen-Oksijen)
döngüsü ise güneş enerjisinin yaklaşık % 2’ sinden sorumludur. Bu reaksiyonlar
sonucunda nötrinolar üretilirler. Güneş’te üretilen nötrinoların sayısı yaklaşık olarak
saniyede 1038’ dir. Bu yüzden Güneş’teki reaksiyonların en önemli sonuçlarından birisi
nötrino üretimidir. Bu nötrinolar, fotonların aksine, Güneş’ in çekirdek bölgesinden
geçebilir ve üretim noktaları ile ilgili ilk bilgiyi taşıyarak Güneş’ten kaçabilirler.
Nötrino üreten, pp zincirinde beş reaksiyon ve CNO döngüsünde ise üç reaksiyon vardır
(ilerki bölümlerde detaylı olarak incelenecek).
Güneş nötrino akıları SGM çerçevesinde hesaplanır. Bir çok nötrino deneyleri güneş
nötrinolarını gözlemlemişler ve deneysel akıyı SGM’ ce hesaplanan beklenen akıdan
oldukça az sayıda bulmuşlardır (Şekil 2.2) (Bahcall homepage). Bu Güneş Nötrino
Problemi (GNP) olarak bilinir.
GNP’ nin çok çeşitli mümkün olabilen parçacık fiziği çözümleri vardır. Bunlardan birisi
“nötrino salınımları”’ dır. Özellikle Süper Kamiokande topluluğu tarafından yayınlanan
atmosferik nötrino salınımlarının güçlü kanıtından sonra nötrino salınım çözümü daha
akla yatkın olmuştur. Nötrino salınımları Güneş elektron nötrinosunu (νe) başka bir
nötrino çeşnisine (νμ, ντ) dönüştürür. Nötrino salınımları vakumda ve madde etkili
14
nötrino salınımlarıdır. Madde etkili salınımlar Mikheyev-Simirnov-Wolfenstein (MSW)
etkisi olarak bilinirler.
Bir diğer çözümde ise nötrinoların manyetik momente sahip olduğu düşünülür. Böylece
nötrinolar Güneş’ in manyetik alanından geçerlerken, manyetik alan nötrinoların spinini
dönderir; yani sol-elli elektron nötrinosunu sağ-elli elektron nötrinosuna dönüştürür ki,
bu da dedektörlerde gözlenemediği için nötrino açığına neden olur.
Şekil 2.2. Standart Güneş Modeli ile Güneş nötrino deneyleri arasındaki ilişki
15
2.4. Nötrino Salınımlarının Teorisi
Tipik bir nötrino salınımı deneyi için bir pion demeti alınır ve pionlar büyük çoğunlukla
müon ve nötrinolara bozunabilir:
π+ Æ μ+ + νμ
Bozunan pionların akış yönünde nötrinoları arayan bir hedef dedektör konur. Dedektör
eğer elektronla ilgili bir etkileşme algılarsa bu, nötrino salınımlarının gözlenmesi olarak
açıklanır. Bu sonuca, elektrona eşlik edecek olan olan nötrinonun νμ değil νe olması
gerekliliğinden ulaşılır. Bunun için, νμ’ nün bozunum noktası ile dedektör arasında νe’
ye dönüşmesi gerekir. Bunun nasıl olacağının yanıtı kuantum mekaniği ile verilebilir
(Kayser 1989).
En genel olarak N çeşnili yüklü leptona, l =e, μ, τ, ... N tane nötrino νe, νμ, ντ, ... eşlik
etsin. Elimizde bir tane çeşni özdurumu olan ν l kaynağı olsun. Nötrino çeşni durumu
olan ν l , ν m kütle özdurumlarının bir lineer karışımıdır:
n
ν l = ∑ U lm ν m
m=l
Şekil 2.3. Nötrino salınım deneyi
16
(2.13)
Basitlik için p ν momentumu iyi tanımlanmış ve t=0 ‘da doğmuş bir ν l nötrinosu göz
önüne alınırsa, bu nötrinoya ait dalga fonksiyonu
ψ ( x,t=0) =∑ Ulm ν meipν x
(2.14)
m
şeklindedir. Bir t zaman sonra, dalga fonksiyonu evrime uğrayarak
ψ ( x,t ) =∑ Ulm ν m eipν x e-iEm t
(2.15)
m
halini alır. Burada
E=E ( ν m ) = p 2ν +M m2
(2.16)
dir. M m << p ν durumunda, yani nötrinoların ışık hızına yakın hızlarda hareket ettiği
düşünüldüğünde
Em ≅ pν +
M 2m
2p ν
yaklaşıklığı kullanılabilir. Böylece nötrino eğer x=0’ da doğmuşsa t zaman sonra
yaklaşık
olarak
x=t’de
olacaktır.
ψ(x,t)=ψ ( t,t ) =ψ ( x,x )
Dolayısıyla,
dalga
fonksiyonuna bakılabilir:
ψ ( x,x ) ≅ ∑ U lm ν m e
-i ⎡⎢ M 2m /2p ν ⎤⎥ x
⎣
⎦
(2.17)
m
elde edilir. ν m , ν l ’lerin bir kombinasyonu olarak yazılırsa
ν m = ∑ U*l'm ν l'
l'
17
(2.18)
bulunur. Buradan ψ ( x,x ) dalga fonksiyonu
⎡
ψ ( x,x ) = ∑ ⎢ ∑ U lm e
l
⎣
'
) U* ⎤ν
l' m ⎥ l'
(
-i M 2m /2p ν x
(2.19)
⎦
m
halini alır. Bu dalga fonksiyonu bütün nötrino çeşnilerinin bir karışımıdır. l çeşnisiyle
doğmuş nötrinonun belirli bir x mesafesini geçtikten sonra yeni bir l ' çeşnisine sahip
olma genliği sadece ν l' ’nün katsayısıdır. Böylece bu dönüşümün olasılığı,P( l → l ' , x),
(2.19) eşitliği kullanılarak elde edilir:
⎡
P ( l → l' ,x ) = ⎢ ∑ U*lm' e
iM 2 ' x/2p ν
m
⎦ ⎣
⎣ m'
=
∑m
2
U lm
⎤ ⎡
U l 'm
2
(
+
∑
m ' ,m
2
⎦
m
(
'
m ,m
⎛ M 2m -M 2 ' ⎞
m
x⎟+
⎜
⎟
2p
ν
⎝
⎠
)
R e U l m U *l m ' U l ' m ' U *l ' m cos ⎜
)
⎛ M 2m -M 2 '
∑ Im Ulm U*lm Ul'm' U*l'm sin ⎜
'
⎤
U l'm' ⎥ . ⎢ ∑ U lm e-iMm x/2pν U*l'm ⎥
⎜
⎝
m
2p ν
⎞
x⎟
(2.20)
⎟
⎠
CP’ nin korunduğu varsayılırsa o zaman U reel seçilebilir. Bu durumda (2.20) ifadesi
basitleşerek
P ( l → l' ,x ) = ∑ U l2m U l2'm + ∑ U lm U lm' U l'm' U l'm cos(2π
m' ¹m
m
x
Lmm'
)
(2.21)
halini alır. Bu olasılık x mesafesinin bir fonksiyonu olan iyi bir salınım desenine
sahiptir. Burada L mm' , ν m ve ν m' arasındaki salınım uzunluğudur:
L mm' =2π
2p ν
2p ν
≡ 2π
2
2
ΔM mm
M -M m'
'
2
m
(2.22)
(2.22) ifadesinden de görüldüğü gibi, kütleler eşitse salınım gerçekleşmez. Yine l ' ≠ l 0
olmak üzere, eğer ν l 0 = ν m0 ise salınım gerçekleşmez. Yani salınımın olabilmesi için
18
nötrinoların hem bir kütleye, hem de basit olmayan bir karışıma sahip olması gerekir.
Buradan yola çıkarak nötrino salınımlarının bazı özellikleri sıralanabilir:
(
i) P l → l ' ,x
)
ifadesindeki salınım terimleri nötrino dalga fonksiyonundaki farklı
kütle özdurumları arasındaki girişimlerden gelir.
ii) Eğer x
iii) x
L mm' ise nötrino başlangıç çeşnisinde kalır, yani salınım yapmaz.
L mm' ise salınım deseni yok olur. Bunun nedeni nötrino demetindeki Δp ν
momentum yayılmasıdır. Daha kesin bir şekilde eğer p ν momentumlu nötrino
p'ν =p ν +Δp ν /2 momentumlu nötrino ile karşılaştırıldığında π kadarlık faz kaymasına
sahipse salınım yok olur. X , yok olma mesafesi ve L'mm' ’ de p'ν momentumuna karşı
gelen salınım uzunluğu olsun. Bu durumda
2π
X
X
= 2π
-π
L mm'
L mm'
'
ve
2p'ν
2
≅ 2π
L mm' =2π
2
2
ΔM mm'
ΔM mm
'
'
Δp ν ⎞
⎛
⎜ pν + 2 ⎟
⎝
⎠
⎛ Δp ν ⎞
⎜1+
⎟
⎝ 2p ν ⎠
⎛ Δp ⎞
≅ L mm' ⎜1+ ν ⎟
⎝ 2p ν ⎠
≅ 2π
2p ν
ΔM 2mm'
(2.23)
olur. Böylece
X≈
pν
L '
Δp ν mm
(2.24)
yaklaşıklığı kullanılabilir. Dolayısıyla, salınım eğer x, X’ den büyükse yok olur. Bu
noktanın ötesinde
19
P ( l → l ' ,x ) = ∑ U l2m U l2'm ≠ 0
(2.25)
m
dır. Görüldüğü gibi, l nötrino demeti içinde hala bir l ' nötrinosu bulma olasılığı vardır
fakat bunun olasılığı mesafe ile artık değişmeyecektir. Sonuç olarak, salınım deseni
eğer x deney uzunluğu, L mm' salınım uzunluğunun büyüklüğü mertebesinde ise
gözlenebilir (Kayser et al. 1989).
2.4.1. Vakumda nötrino salınımları: iki çeşni durumu
νe ve νμ iki aileli durumu tanımlamak için U üniter matrisi
⎛ cosθ
sinθ ⎞
⎟
⎝ - sinθ cosθ ⎠
U= ⎜
olarak alınır. Bu durumda (ν e , ν μ ) çeşni durumları (ν1 , ν 2 ) kütle özdurumlarına
⎛ ν e ⎞ ⎛ cosθ 0
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜
⎝ ν μ ⎠ ⎝ - sinθ 0
sinθ0 ⎞ ⎛ ν1 ⎞
⎟⎜ ⎟
cosθ 0 ⎠⎝ ν 2 ⎠
ν e =cosθ 0 ν1 +sinθ 0 ν 2
ν μ = - sinθ 0 ν1 +cosθ0 ν 2
(2.26)
şeklinde bağlıdır. ν e → νμ geçiş olasılığı
P ( ν e → ν μ ;t)= A ( ν e → ν μ ;t ) = Uμje
2
-iE jt t
U*ej
2
(2.27)
ifadesinden bulunur. Bu ifadede j=1,2 kütle özdurumlarını belirtir. P momentumlu
rölativistik nötrinolar göz önüne alındığında, Ei ifadesi
20
E i = p 2 +mi2 ≅ p+
mi2
m2
≅ p+ i
2p
2E
şeklinde seriye açılabilir. Böylece iki kütle özdurumu için enerji farkı
m 22 -m12 Δm 2
E 2 -E1 =
=
2E
2E
olarak bulunur. U üniter matrisi (2.27) eşitliğinde kullanıldığında ν e → νμ geçiş
olasılığı
⎛ Δm 2 ⎞
⎟t
⎝ 4E ⎠
P(ν e → ν μ ;t)=P(ν μ → ν e ;t)=Sin 2 2θ 0Sin 2 ⎜
(2.28)
olarak bulunur. Bu geçiş olasılığı nötrinoların aldığı yol, L, türünden yazılabilir:
rölativistik nötrinolar için L=t alındığında olasılık
⎛
L ⎞
⎟⎟
⎝ l sal ⎠
P ( ν e → νμ ;L ) =Sin 2 2θ0Sin 2 ⎜⎜ π
halini alır (Şekil 2.4). Burada l sal salınım uzunluğudur ve
Şekil 2.4. İki çeşni nötrino salınımlarının geçiş olasılığını mesafeye bağlayan eğri
21
(2.29)
l sal =
(
4πE
E(GeV)
≅ 2.48km
2
Δm
Δm 2 (eV 2 )
)
şeklindedir. Bu durumda P ν e → ν μ ;L olasılığı
⎛ π Δm 2 ⎞
L⎟
2.48
E
⎝
⎠
2
⎛
Δm ⎞
=Sin 2 2θ0Sin 2 ⎜1.27
L⎟
E
⎝
⎠
P ( ν e → ν μ ;L ) =Sin 2 2θ 0Sin 2 ⎜
(2.30)
olarak da yazılabilir.
2.4.2. Madde ortamında nötrino salınımları
Bir ortamdan geçen nötrinolar, ortamdaki parçacıklarla etkileşirler ve saçılmaları
koherent olduğunda bir efektif potansiyel hissederler. Nötrinoların hissettiği efektif
potansiyeller, kütlelerinde ve ortamdaki karışım açılarında önemli değişiklikler
oluştururlar.
Efektif potansiyellerin işareti pozitif (negatif) olduğu zaman, nötrino (antinötrino)
osilasyonları çarpıcı bir şekilde ortamdaki bölgelerde artarlar. Bu bölgeler rezonans
bölgeleri olarak adlandırılırlar.
Temel olarak nötrinoların bu rezonans bölgesinden geçmesi iki yolla olur: Birincisi
adyabatik süreçtir. Bu süreçte nötrino, rezonans osilasyonları üreten rezonans
bölgesinden geçerken, birçok kereler osilasyona uğrar. Diğer durumda ise osilasyon
uzunluğu rezonans bölgesinin boyunu aşar. Sonuç olarak nötrinolar rezonans bölgesini
görmez veya tanımlayamaz. Dolayısıyla osilasyon güçlendirilmez ve bu süreç
adyabatik olmayan süreç olarak adlandırılır.
22
Rezonans osilasyonları yer aldığında, Güneşte doğan elektron nötrinoları ( ν e ), rezonans
bölgesini adyabatik olarak geçerlerken muon veya tau nötrinosuna ( νμ , ντ ) efektif
olarak dönüşürler. Bu iyi bilinen Mikheyev-Smirnov-Wolfenstein (MSW) etkisidir.
Büyük karışım açısı (LMA), küçük karışım açısı (SMA), düşük δm2 (LOW) bölgeleri
yaygın MSW çözümü olarak bilinirler. Bu bölgeler ve VO (Vakum Salınımı) bölgesi
için nötrino parametre uzayındaki aralık değerleri
LMA bölgesi için,
10-1 <tan 2θ<10
2 ×10-6eV 2 <Δm 2 <10-3eV 2
SMA bölgesi için,
10-4 <tan 2θ<10-1
10-8eV 2 <Δm 2 <10-3eV 2
LOW bölgesi için,
10-1 <tan 2θ<10
10-8eV 2 <Δm 2 <2 ×10-6eV 2
VO bölgesi için,
10-1 <tan 2θ<10
10-11eV 2 <Δm 2 <10-8eV 2
olarak bilinir.
23
Şekil 2.5. Nötrino saçılım diyagramları
2.4.2.1 Madde ortamında efektif potansiyeller
Bütün üç çeşni nötrinoları ( ν e , νμ , ντ ), Z0 bozonu sayesinde yüksüz akım (NC)
etkileşmesi yoluyla maddenin elektron, proton ve nötronları ile etkileşirler. Ayrıca
elektron nötrinoları atomdaki elektronlarla W ± değiştokuşu yaparak yüklü akım (CC)
etkileşmeleri gerçekleştirirler (Şekil 2.5) ( Kim ve Pevsner 1993)
CC etkileşmeleri için düşük nötrino enerjilerinde efektif Hamiltonyen
GF ⎡
eγ μ (1-γ 5 ) ν e ⎦⎤ . ⎡⎣ ν e γ μ (1-γ 5 ) e ⎤⎦
⎣
2
G
= F ⎡⎣ eγ μ (1-γ 5 ) e ⎤⎦ . ⎡ ν e γ μ (1-γ 5 ) ν e ⎤
⎣
⎦
2
H cc =
(2.31)
ile tanımlanır. Madde içindeki elektronlardan dolayı efektif yüklü akım zayıf etkileşim
Hamiltonyeni başka bir ifadeyle yine
24
H e C (x)=
GF 3
d pef(E e ,T)
2∫
× e(pe ) e(x)γμ (1-γ5 ) ν e (x)ν e (x)γμ (1-γ5 ) e(x) e(pe )
G
= F ν e (x)γμ (1-γ5 ) ν e (x)
2
(2.32)
×∫ d3pe f(E e ,T) e(pe ) e(x)γμ (1-γ5 ) e(x) e(pe )
ile verilir. Burada f(E e ,T) , T sıcaklığına sahip homojen ve izotropik bir ortam içindeki
elektronların istatistiksel enerji dağılımıdır. Koheranslık, ilk ve son durumdaki
elektronlar için aynı momentum alınarak sağlanır. f(E e ,T) ifadesi
∫ d pef(Ee ,T) = 1
3
(2.33)
ile normalize edilir. Elektron matris elemanı
e(pe ) e(x)γμ (1-γ5 ) e(x) e(pe ) = U e (pe )γμ (1-γ5 ) U e (pe )
=
Ne
(m +γ.p) μ
γ (1-γ5 ) ]
Tr[ e
2
2E e
=N e
(pe )μ
Ee
(2.34)
olarak verilir. Burada Ne elektron sayı yoğunluğudur ve elektron spin durumları
üzerinden ortalama alınır. Ayrıca,
rr
⎡
γ.pe ⎤
γμ (pe )μ
3
=
γ
−
d
p
f(E
,T)
d
p
f(E
,T)
⎢
⎥ = γ0
e
e
e
e
0
∫
∫
Ee
E
e
⎣
⎦
3
(2.35)
olduğu için, efektif yüklü akım zayıf etkileşim Hamiltonyeni
H e C (x)=
G F Ne
ν e (x)γ 0 (1-γ5 ) ν e (x)
2
25
(2.36)
olarak elde edilir. (2.36) eşitliğinden, ν e ’ nin ortamda hissettiği VC efektif potansiyeli
r
ur
VC = ν e ∫ dxH e C (x) ν e
=
r
G F Ne
ν e ∫ dxν e (x)γ 0 (1-γ5 ) ν e (x) ν e
2
= 2G F N e
(2.37)
olarak bulunur. Benzer şekilde nötral akım etkileşmeleri için de efektif potansiyel
bulunabilir:
VN =-
1
G F Nn
2
(2.38)
Burada Nn nötron sayı yoğunluğudur. (2.37) ve (2.38) eşitliklerinden elektron, muon ve
tau nötrinosu için efektif potansiyeller yazilacak olunursa
Ve = 2G F (N e −
Nn
)
2
Vμ,τ =-
1
GF Nn
2
(2.39)
sonucu elde edilir. Karşı-nötrinolar için Vα =-Vα alınır.
2.4.2.2. İki çeşni durumu için madde ortamında evrim denklemi ve nötrino
salınımı
Gözlenebilir nötrinolar için çeşni özdurumları kütle özdurumlarının bir karışımı olarak
yazılabilir:
⎛ νe ⎞
⎛ ν1 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ =U ⎜ ⎟
⎝ ν2 ⎠
⎝ νμ ⎠
⎛ νe ⎞
⎛ ν1 ⎞
†
⎜ ⎟ =U ⎜⎜ ν ⎟⎟
⎝ ν2 ⎠
⎝ μ⎠
⎛ cosθ
sinθ ⎞
⎟
⎝ - sinθ cosθ ⎠
U= ⎜
26
burada θ karışım açısıdır. Vakum ortamında evrim en basit olarak kütle özdurumları
bazında incelenir. Vakumdaki evrim denklemi
i
⎡E
d
ν =H m ν m
dt m
0⎤
Hm = ⎢ 1
⎥
⎣ 0 E2 ⎦
şeklindedir ve E1 E2 nötrino enerjisidir. Rölativistik nötrinolar için E i ≅ p+
(2.40)
mi2
alınır.
2Ei
Çeşni özdurumu için önce vakumdaki evrim denklemi bulunur:
i
d ⎛ ν e ⎞ d ⎛ cosθ V sinθ V ⎞ ⎛ ν1 ⎞
⎜ ⎟ =i ⎜
⎟⎜ ⎟
dt ⎜⎝ ν μ ⎟⎠ dt ⎝ - sinθ V cosθ V ⎠ ⎝ ν 2 ⎠
⎛ cosθ V sinθ V ⎞ d ⎛ ν1 ⎞
=⎜
⎟i ⎜ ⎟
⎝ - sinθ V cosθ V ⎠ dt ⎝ ν 2 ⎠
⎛ cosθ V
=⎜
sinθ V ⎞ ⎡ E1 0 ⎤ ⎛ ν1 ⎞
⎟
⎜ ⎟
cosθ V ⎠ ⎢⎣ 0 E 2 ⎥⎦ ⎝ ν 2 ⎠
⎝ - sinθ V
⎛ cosθ V sinθ V ⎞ ⎡ E1 0 ⎤ ⎛ cosθ V -sinθ V ⎞ ⎛ ν e ⎞
=⎜
⎟⎢
⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
⎥⎜
⎝ - sinθ V cosθ V ⎠ ⎣ 0 E 2 ⎦ ⎝ sinθ V cosθ V ⎠ ⎝ ν μ ⎠
ΔE
⎛ E1 + E 2 ΔE
⎞
sinθ V
⎜ 2 − 2 cos2θ V
⎟ ⎛ νe ⎞
2
⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
=⎜
ν
E1 + E 2 ΔE
ΔE
⎜
+
sinθ V
cos2θ V ⎟⎟ ⎝ μ ⎠
⎜
2
2
2
⎝
⎠
Buradaki Hamiltonyen
⎛ E1 + E 2 ΔE
⎜ 2 − 2 cos2θ V
H= ⎜
ΔE
⎜
sinθ V
⎜
2
⎝
ΔE
⎞
sinθ V
⎟
2
⎟
E1 + E 2 ΔE
cos2θ V ⎟⎟
+
2
2
⎠
(2.41)
olarak bulunur. (2.41) eşitliği vakum için türetilmiş Hamiltonyendir. Madde içerisinde
elektron nötrinoları, madde ortamındaki elektron ve nötron yoğunluğundan dolayı
efektif potansiyelleri hissedeceklerdir. Bu potansiyeller vakum için bulunan
Hamiltonyen’e eklenirse madde ortamındaki evrim denklemi
27
⎛ E1 + E 2 ΔE
−
cos2θ V +VC +VN
ν
⎛
⎞
d e ⎜ 2
2
i ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜
ΔE
dt ⎝ νμ ⎠ ⎜
sinθ V
⎜
2
⎝
ΔE
⎞
sinθ V
⎟ ⎛ νe ⎞
2
⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ (2.42)
ν
E1 + E 2 ΔE
+
cos2θ V +VN ⎟⎟ ⎝ μ ⎠
2
2
⎠
olarak yazılır. Burada ΔE=E 2 -E1 ve VC = 2G F N e VN =-
⎧
⎛ VC ΔE
−
cos2θ V
⎪
ν
⎛
⎞
VC ⎡1 0 ⎤ ⎜ 2
d e ⎪ E1 + E 2
2
+⎜
+VN - ) ⎢
i ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎨(
ΔE
2
2 ⎣0 1 ⎥⎦ ⎜
dt ⎝ ν μ ⎠ ⎪
sinθ V
⎜
⎪⎩
2
⎝
1
G F N n ’ dir.
2
⎞⎫
⎟ ⎪⎪ ⎛ ν e ⎞
⎟⎬ ⎜ ⎟
⎜ν ⎟
V
ΔE
cos2θ V − C ⎟⎟ ⎪ ⎝ μ ⎠
2
2 ⎠ ⎪⎭
ΔE
sinθ V
2
Parantez içerisindeki ilk terim toplam faz olduğu için nötrino salınımları üzerine etkisi
yoktur ve evrim denklemine dahil edilmezler.
m12
E1 ≅ p+
2E1
E 2 ≅ p+
m 22
2E 2
⎫
⎪
(m 22 -m12 ) Δm 2
⎪
ΔE=E
-E
=
=
⎬
2
1
2E
2E
⎪
⎪
⎭
alındığında evrim denklemi:
⎛ Δm 2
2G f N e
cos2θ V +
⎜−
ν
⎛
⎞
d e
2
i ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ 4E
2
dt ⎝ ν μ ⎠ ⎜
Δm
sinθ V
⎜
4E
⎝
⎞
Δm 2
sinθ V
⎟⎛ ν ⎞
4E
⎟⎜ e ⎟
2
2G f N e ⎟ ⎜⎝ ν μ ⎟⎠
Δm
cos2θ V −
⎟
4E
2
⎠
(2.43)
olarak bulunur. Bu denklemi çözmek için önce evrim denklemindeki Hamiltonyeni
köşegenleştiren üniter dönüşüm matrisleri bulunur:
H=SM LS†M
28
⎛ cosθ m
SM = ⎜
⎝ - sinθ m
sinθ m ⎞
⎟
cosθ m ⎠
-sinθ m ⎞
⎛κ 0 ⎞
⎟ L= ⎜
⎟
cosθ m ⎠
⎝0 κ⎠
⎛ cosθ m
S†M = ⎜
⎝ sinθ m
Fakat buradaki dönme açıları artık madde açıları olarak adlandırılırlar. Bu ifadeler,
Hamiltonyen ile karşılaştırıldığında
2
⎛ Δm 2
2G f N e ⎞ Δm 2
κ= ⎜⎜
Cos2θ V −
Sinθ V
⎟⎟ +
4E
2
4E
⎝
⎠
Δm 2
sin2θ V
2E
sin2θ m =
κ
Δm 2
cos2θ V − 2G f N e
2E
cos2θ m =
κ
tan2θ m =
Δm 2
sin2θ V
2E
Δm 2
cos2θ V − 2G f N e
2E
ifadeleri kolaylıkla bulunabilir. Evrim denklemi bu yeni ifadelerle
i
⎛ νe ⎞
d ⎛ νe ⎞
†
⎜⎜ ⎟⎟ =SM LSM ⎜⎜ ⎟⎟
dt ⎝ νμ ⎠
⎝ νμ ⎠
halini alır. Kütle özdurumları da bu durumda
⎛ ν1 ⎞ † ⎛ ν e ⎞
⎜ ⎟ =SM ⎜⎜ ν ⎟⎟
⎝ ν2 ⎠
⎝ μ⎠
olarak yazılır.
29
Kütle özdurumlarının evrim denklemi ise
i
d ⎛ ν1 ⎞ d ⎛ † ⎛ ν e ⎞ ⎞
⎜ ⎟ =i ⎜ S ⎜ ⎟ ⎟
dt ⎝ ν 2 ⎠ dt ⎜⎝ M ⎜⎝ ν μ ⎟⎠ ⎟⎠
=i
d † ⎛ νe ⎞ † d ⎛ νe ⎞
(S ) ⎜ ⎟ + S i ⎜ ⎟
dt M ⎜⎝ ν μ ⎟⎠ M dt ⎜⎝ ν μ ⎟⎠
=i
⎛ νe ⎞
⎛ν ⎞
d †
SM ) SM ⎜ 1 ⎟ + S†MSM LS†M ⎜⎜ ⎟⎟
(
dt
⎝ ν2 ⎠
⎝ νμ ⎠
=i
⎛ νe ⎞
⎛ν ⎞
d †
SM ) SM ⎜ 1 ⎟ + S†MSM LS†MSM ⎜⎜ ⎟⎟
(
dt
⎝ ν2 ⎠
⎝ νμ ⎠
⎛ν ⎞
⎛d † ⎞
SM ⎟ SM +L) ⎜ 1 ⎟
⎝ dt
⎠
⎝ ν2 ⎠
=(i ⎜
(2.44)
şeklindedir. Nötrino yörüngesi boyunca küçük aralıklar için ( x i → x f ) elektron sayı
yoğunluğu, Ne, sabit alınırsa, yani adyabatik yaklaşım kullanılırsa, Ne’ ye bağlı madde
ortamındaki karışım açısı sabit olur ve zamana göre değişimi sıfır olur. Bu durumda
i
d †
S =0 olduğundan evrim denklemi
dt M
i
d ⎛ ν1 ⎞ ⎡ κ 0 ⎤ ⎛ ν1 ⎞
⎜ ⎟=
⎜ ⎟
dt ⎝ ν 2 ⎠ ⎢⎣ 0 -κ ⎥⎦ ⎝ ν 2 ⎠
(2.45)
halini alır. Bu ifadelerden nötrinonun son durumdaki kütle özdurum fonksiyonu ilk
haline bağlı olarak yazılabilir:
tf
d
i ν1 =κν1 ⇒ ν1 (t f ) = ν1 (t i )exp[-i ∫ κdt]
dt
t
i
tf
i
d
ν =κν 2 ⇒ ν 2 (t f ) = ν 2 (t i )exp[i ∫ κdt]
dt 2
t
i
burada
tf
λ=exp[-i ∫ κdt]
(2.46)
ti
30
olarak alınırsa, son durumdaki nötrino kütle özdurum fonksiyonu ile ilk durumu
arasındaki ilişki
⎛ ν1 ( t f ) ⎞ ⎡ λ 0 ⎤ ⎛ ν1 ( t i ) ⎞
⎜
⎟=⎢
⎟
*⎥⎜
⎝ ν 2 (t f ) ⎠ ⎣0 λ ⎦ ⎝ ν2 (ti ) ⎠
(2.47)
olarak yazılabilir. Buradan tekrar çeşni özdurum bazına
⎛ ν1 ( t i ) ⎞ † ⎛ ν e ( t i ) ⎞
⎜
⎟ =SM ⎜⎜ ν ( t ) ⎟⎟
⎝ ν 2 (t i ) ⎠
⎝ μ i ⎠
⎛ ν1 ( t f ) ⎞ † ⎛ ν e ( t f ) ⎞
⎜
⎟ =SM ⎜⎜ ν ( t ) ⎟⎟
⎝ ν 2 (t f ) ⎠
⎝ μ f ⎠
dönüşümleri kullanılarak geçilebilir:
⎛ νe (t f ) ⎞
0 ⎤ † ⎛ νe (ti ) ⎞
⎡ λ(t)
⎜⎜
⎟⎟ = SM ⎢
⎟⎟
⎥ SM ⎜⎜
*
⎣ 0 λ (t ) ⎦ ⎝ νμ (t i ) ⎠
⎝ νμ (t f ) ⎠
(2.48)
Daha açık bir ifadeyle madde etkili evrim denklemi
⎡ λ+λ* -λ+λ*
cos2θ m
⎛ νe (t f ) ⎞ ⎢ 2
2
⎜⎜
⎟⎟ = ⎢
ν
t
(
)
-λ+λ*
μ
f
⎝
⎠ ⎢
sin2θ m
⎢
2
⎣
λ+λ*
=
2
tf
tf
ti
ti
exp[-i ∫ κdt] + exp[i ∫ κdt]
2
tf
-λ+λ*
=
2
⎤
-λ+λ*
sin2θ m
⎥ ⎛ νe (t i ) ⎞
2
⎥⎜
⎟
⎥ ⎜⎝ ν μ ( t i ) ⎟⎠
λ+λ* -λ+λ*
cos2θ m ⎥
+
2
2
⎦
=cosκ(t f -t i )=cosκΔt
tf
-exp[-i ∫ κdt] + exp[i ∫ κdt]
ti
ti
2
31
=isinκ(t f -t i )=isinκΔt
(2.49)
ifadelerinden
⎛ ν e ( t f ) ⎞ ⎡cosκΔt-isinκΔtcos2θ m
⎜⎜
⎟⎟ = ⎢
isinκΔtsin2θ m
⎝ νμ (t f ) ⎠ ⎣
isinκΔtsin2θ m
⎤ ⎛ νe (ti ) ⎞
⎜
⎟
cosκΔt+isinκΔtcos2θ m ⎥⎦ ⎜⎝ ν μ ( t i ) ⎟⎠
(2.50)
olarak bulunur. Burada, örneğin ν e ( t i ) Güneş’in merkezinde üretilen elektron
nötrinosunun dalga fonksiyonudur ve ν e ( t f ) de Güneş’in yüzeyindeki elektron nötrino
dalga fonksiyonudur. Evrim denkleminden
ν e (t f ) = ( cosκΔt-isinκΔtcos2θ m ) ν e (t i ) + isinκΔtsin2θ m ν μ (t i )
ν μ (t f ) = isinκΔtsin2θ m ν e (t i ) + ( cosκΔt+isinκΔtcos2θ m ) ν μ (t i )
ifadeleri elde edilir. Elektron nötrinosu için Güneş’in yüzeyinde hayatta kalma olasılığı
P(ν e → ν e ,t f ) = ν e (t f )ν e (t f )*
= ( cos 2 κΔt+sin 2 κΔtcos 2 2θ m ) ν e (t i ) + sin 2 κΔtsin 2 2θ m ν μ (t i )
2
sin4θ m
sin2κΔt
sin2θ m − sin 2 κΔt
)ν e ν*μ
2
2
sin4θ
sin2κΔt
m
− (i
sin2θ m +sin 2 κΔt
)ν*e ν μ
2
2
+ (i
2
(2.51)
olarak elde edilir. Burada
2
⎛ Δm 2
2G f N e ⎞ Δm 2
κ= ⎜⎜
cos2θ V −
sinθ V
⎟⎟ +
4E
2
4E
⎝
⎠
olarak başlangıç vakum karışım açısına ve Güneş yarıçapına bağlı elektron sayı
yoğunluğuna, Ne, bağlıdır:
N e =245e
10.54r
RG
N A cm-3
N A = 6.02 ×1023 mol-1
32
Hayatta kalma olasılığındaki κ ’ lı terimler üzerinden ortalama alınırsa, yani olasılık
ifadesinde
Sin2κΔt = 0
Sin 2 κΔt = Cos 2 κΔt =
1
2
ortalama değerleri kullanılırsa basitçe P(ν e → ν e ,t f )
2
1
2
⎛1 1
⎞
P(ν e → ν e ,t f ) = ⎜ + Cos 2 2θ m ⎟ ν e (t i ) + Sin 2 2θ m ν μ (t i )
2
⎝2 2
⎠
1 Sin4θ m
+
(ν e ν*μ + ν*e ν μ )
2 2
(2.52)
olarak bulunur.
2.5. Güneş’ te Spin-Flip ve Spin-Çeşni Presesyonu
2.5.1. Manyetik alanda spin-flip
Eğer nötrinolar manyetik momente sahiplerse, ν e ’ nin helisitesi, bir manyetik alandan
geçerken manyetik alan etkisiyle değişir; yani sol-elli elektron nötrinosu ( ν eL ) sağ-elli
elektron nötrinosu ( ν eR ) halini alır. Elektron nötrinosu için elli bileşenler ( ν eL ve ν eR )
farklı biçimde maddeyle etkileşirler. m ν kütleli ve μ νe manyetik momentli bir Dirac
nötrinosunun iki helisite bileşeninin madde ortamından ve manyetik alandan geçişini
tanımlayan eşitlik (Balantekin et al. 1990)
μB
⎡ Ve (t)
⎤
d ⎛ ν eL ⎞ ⎢
⎥ ⎛⎜ ν eL ⎞⎟
2
i ⎜
⎟=⎢
m
μB -Ve (t) ν2 ⎥ ⎜⎝ ν eR ⎟⎠
dt ⎜⎝ ν eR ⎟⎠
⎢⎣
2p ⎥⎦
33
(2.53)
olarak verilir. Buradaki B enine manyetik alan ve Ve maddenin efektif kütleye
katkısıdır:
Ve (t)=
Gf
(2N e -N n )
2
Ne ve Nn elektron ve nötron sayı yoğunluğudur. m ν /p → 0 limitinde sağ-elli nötrinolar
maddeyle etkileşmezler.
(2.53) eşitliğinin çözümünden, t=0’ da doğan sol-elli elektron nötrinosunun, ν eL , t
zaman sonra, ν eR , olarak bulunma olasılığı
( 2μB ) Sin 2 ⎧ ⎡ V 2 + 2μB 2 ⎤1/ 2 t ⎫
P(ν e → ν e )= 2
)⎦ ⎬
⎨ e (
2
2⎭
⎩⎣
Ve + ( 2μB )
2
L
R
(2.54)
olarak bulunur. Vakum durumunda, Ve=0, (2.54) ifadesi μB frekanslı standart spinpresesyon formülü olur. Fakat Ve2
2μB durumunda presesyon baskılanır. Spin-flip
durumunda rezonans koşulu ise Ne=Nn/2 olduğundan, bu rezonans koşulunu Güneş’te
elde etmek olanaklı değildir. Çünkü Güneş’ te nötron sayı yoğunluğu Nn=Ne/6
( 0.2 < r/R
≤ 1) ve Nn=Ne/3 ( 0.1 < r/R ≤ 0.2 ) şeklindedir. Bununla birlikte spin-flip
nötron yoğunluğunun yüksek olduğu süpernovalarda elde edilebilir.
2.5.2. Güneş’te spin-çeşni presesyonu
İki aile durumunda ( ν e , ν μ ) spin-çeşni presesyonu için evrim denklemine vakum kütle
matrisinden, elektromanyetik etkileşmelerin matrisinden ve madde etkileşmeleri
matrisinden katkı gelir (Bahcall 1989):
34
⎞ ⎛ Madde
⎞ ⎛ Elektromanyetik ⎞
⎟
⎟+⎜
⎟+⎜
⎝ Etkileşmeleri ⎠ ⎝ Etkileşmeleri ⎠ ⎝ Etkileşmeleri
⎠
⎛ Vakum
H= ⎜
Dolayısıyla Dirac nötrinoları için evrim denklemi
⎛ ν eL
⎜
d ⎜ νμL
i ⎜
dt ν eR
⎜
⎜ νμ
⎝ R
⎞
⎛ ν eL ⎞
⎟
⎜
⎟
⎟ ⎡ H L BM † ⎤ ⎜ ν μ L ⎟
⎟ = ⎢ BM H ⎥ ⎜ ν ⎟
R ⎦ ⎜ eR ⎟
⎟ ⎣
⎟
⎜ νμ ⎟
⎠
⎝ R⎠
(2.55)
olarak yazılır. Buradaki HL ve HR ile manyetik momentlerin matrisi
⎡ Δm 2
sin 2θ+Ve
⎢
H L = ⎢ 2E 2
⎢ Δm
⎢⎣ 4E sin2θ
⎤
Δm 2
sin2θ ⎥
4E
⎥
Δm 2
⎥
cos 2θ+Vμ ⎥
⎦
2E
⎡ μ ee
M= ⎢
⎣μ μe
H R = H L (Ve = 0 = Vμ )
μ eμ ⎤
μ μμ ⎥⎦
şeklindedir. Yukardaki ifadelerdeki θ karışım açısı, Δm 2 kütle kare farkı ve E de
nötrino enerjisidir. Daha önce de verildiği gibi Ve ve Vμ ( =-
Gf
N n ) polarize olmamış,
2
nötral bir ortam için madde potansiyelleridir.
(2.55) ifadesinden, dört nötrino elli durumları için enerji-seviye kesişim rezonansları
köşegen üzerindeki terimler eşitlenerek bulunabilir:
35
ν eL → ν eR rezonansı
Gf
(2N e -N n )=0
2
MSW ( ν eL → ν μ L ) rezonansı
2G f N e =
Δm 2
cos2θ
2E
ν eL → ν μR rezonansı
Gf
Δm 2
cos2θ
(2N e -N n )=
2E
2
ν μ L → ν eR rezonansı
Gf
Δm 2
cos2θ
Nn =
2E
2
olarak elde edilir. Şekil 2.6’ da dört olası geçiş için kesişim gösterilir (Lim ve Marciano
1988).
Güneş için, nötron yoğunluğu elektron yoğunluğunun yaklaşık olarak 1/6’ i olduğu için
MSW ve ν eL → ν μR rezonansları birbirlerine oldukça yakındır. Süpernova için ise
ν eL → ν eR rezonası ile ν eL → ν μ R rezonansı birbirlerine çok yakındır.
Şekil 2.6. Dirac nötrinolarının iki aileli durumu için enerji-seviye geçişleri. RMSW ve R1
sırasıyla MSW rezonansı ve ν eL → ν μ R rezonans durumuna karşı gelir.
36
Şekil 2.7. MSW ve ν eL → ν μ R rezonanslarının karşılaştırılması. Üst kısım (B=0
durumunda ) yalnızca MSW rezonansı durumundaki, alt kısım (B≠0
durumunda ) ise her iki rezonas durumundaki hayatta kalma olasılığının
güneş yarıçapına bağlı değişimini vermektedir ( P(ν e → ν e ) - R/R ).
Şekil 2.7’ de MSW ve ν eL → ν μ R rezonansları karşılaştırılıyor. Burada manyetik alan
20 kG civarında alınmıştır.
Majorana nötrinoları için ise evrim denklemi, Dirac nötrinoları için yazılandan farklıdır.
Majorana durumunda
ν eR = ν eR ve ν μR = ν μR
yazılabileceği için, evrim denklemindeki Hamiltonyen’e karşı-nötrinoların maddeyle
etkileşmelerinden –Ve ve –Vμ efektif potansiyel terimleri eklenir ve ayrıca da Majorana
durumunda köşegensel manyetik moment olmadığı için evrim denklemi
37
⎡
Ve
⎢
⎢
⎛ ν e ⎞ ⎢ Δm 2
⎜ ⎟
sin2θ
d ⎜ ν μ ⎟ ⎢ 4E
⎢
i ⎜ ⎟=
dt ν e
⎢
⎜ ⎟ ⎢
0
⎜ νμ ⎟
⎝ ⎠ ⎢
⎢
μB
⎢⎣
Δm 2
sin2θ
4E
Δm 2
cos2θ+Vμ
2E
0
-μ*B
-μB
-Ve
0
Δm 2
sin2θ
4E
⎤
⎥
⎥ ν
⎥⎛ e ⎞
0
⎥ ⎜ νμ ⎟
⎥⎜ ⎟
2
Δm
⎥ ⎜ νe ⎟
sin2θ ⎥ ⎜⎜ ⎟⎟
4E
⎥ ⎝ νμ ⎠
2
Δm
cos2θ-Vμ ⎥⎥
2E
⎦
μ*B
(2.56)
olarak yazılır.
Dirac ve Majorana nötrinoları için elde edilmiş olan evrim denkleminin, madde
ortamındaki nötrino salınımları için yapılan çözüme benzer olarak çözülmesiyle
elektron nötrinosu için hayatta kalma olasılığı bulunur. Bunun için yine işe evrim
denklemindeki Hamiltonyen köşegenleştirilerek başlanır:
H(
Δm 2
Δm 2
Δm 2 T Δm 2
r)=S(
r)D(
r)S (
r)
E
E
E
E
(2.57)
buradaki S ve ST matrisleri ortagonal köşegenleştirici matrislerdir. Yeterince küçük
adımlar için, yoğunluk ve manyetik alan ρ =
Δm 2
r ile oldukça yavaş değişir.
E
Dolayısıyla Hamiltonyenin ρ bağımlılığı ihmal edilebilir. Bir adımdan diğer adıma
geçiş ν(ρ+Δρ) :
ν(ρ+Δρ)=Se-iDΔρST ν(ρ)
(2.58)
olarak verilir. Buradan, elektron nötrinosunun Dünya’da yaşamına elektron nötrinosu
olarak devam etme olasılığı, vakumdaki mesafe üzerinden ortalama alındıktan sonra
38
1 1
1
P(ν e → ν e )=( + cos 2 2θ)P νe → νe (ρsınır )+ sin 2 2θP νe → νμ (ρsınır )
2 2
2
1
- sin4θRe ⎡⎣ ν e (ρsınır )ν μ (ρsınır ) ⎤⎦
2
(2.59)
olarak elde edilir. Buradaki P νe → νe (ρsınır ) terimi Güneşte elektron nötrinosu olarak
doğan nötrinonun, Güneş’in manyetik alanının etkisinin kalmadığı yerde (~1.5 R )
hayatta kalma olasılığıdır. P νe → νμ (ρsınır ) ise aynı noktada elektron nötrinosunun müon
nötrinosu olma olasılığıdır.
2.6. Standart Güneş Modeli çerçevesinde Güneş
2.6.1. Standart Güneş Modeli (SGM)
Standart Güneş Modeli, Güneş’ i tanımlar. Bu modele göre Güneş (Kim ve Pevsner
1993)
yüzey ışınlığı
L = 3.86×(1±0.005)×1033erg/s
yüzey sıcaklığı
Güneş kütlesi
Güneş yarıçapı
T = 5.78×103K
M = 1.99×1033gr
R =6.96×105
gözlenen parametrelerine sahiptir. Ayrıca Güneş küresel olarak simetriktir ve
hidrostatik ve termal olarak dengededir.
SGM’ ye göre Güneş, protonların α, e+ ve nötrinolara dönüşmesiyle ışır. Her dört proton
tüketiminde Güneş, 26 MeV’ lik bir termal enerji üretir. Bu nükleer reaksiyonun
sonucu:
4pÆ4He + 2e++2νe+γ
E(2νe)= 0.59 MeV
olarak bilinir. Nükleer reaksiyonlar pp zinciri (Şekil 2.8) ve CNO (Şekil 2.9) döngüsü
sayesinde oluşurlar.
39
Şekil 2.8. Güneşteki pp zinciri
pp zinciri Güneş’ teki enerji üretiminin yaklaşık olarak % 98.5’ ini oluştururken, CNO
döngüsü ise ancak % 1.5’ ini oluşturur. Güneş yaklaşık olarak %70.5 protonlardan,
% 27.5 4He ve % 2 ağır elementlerden oluşur.
Şekil 2.9. Güneşteki CNO döngüsü
40
Şekil 2.10. Detaylı Güneş şekli.
Bu modelde Güneş üç bölgeye ayrılmıştır:
1) Çekirdek Bölgesi (r≤0.3 R
(Şekil 2.10’ da en içteki kısım)): r, Güneş’ in
merkezinden itibaren mesafe, R
ise Güneş yarıçapıdır): Bu bölge pp zincirinin
ve CNO döngüsünün yer aldığı bölgedir. Bu bölgede üretilen enerji yüzeye ısı,
radyasyon ve nötrinolarla taşınır.
2) Radyasyon Alanı (0.3 R ≤r≤0.71 R
(Şekil 2.10’ da orta kısım)): Bu bölge
ise çekirdek dış bölge arasında köprü görevi görür. Isı dış bölgeye başlıca
radyasyon yoluyla taşındığı için bu bölgeye radyasyon alanı denir. Isı transferi
bu bölgedeki ısı ve elementlerin kompozisyonu tarafından belirlenen opaklık ile
kontrol edilir.
3) Konvektif Alan (0.71 R
≤r≤ R
(Şekil 2.10’ da en dıştaki kısım)): Fotonlar
konvektif alana ulaştıklarında artık ilerleyemezler. Çünkü ortalama serbest yol
onların yüzeye gitmelerinde etkili olamayacak kadar kısadır. Bunun için bilinen
tek mekanizma alandaki materyalin ısı aktarımıdır.
Bu modele göre hesaplanan Güneş yoğunluğu ve elektron sayı yoğunluğu Güneş
yarıçapına bağlı olarak verilir (Şekil 2.11) (Bahcall 1989):
Ne/NA =245 exp(-10.54R/Rgüneş)
41
Şekil 2.11 Güneş yarıçapına bağlı olarak SGM çerçevesinde hesaplanan elektron
yoğunluğu dağılımı .
2.6.2. Güneş nötrino akısı
Güneş’ teki nükleer reaksiyonların en önemli sonuçlarından birisi nötrino üretimidir.
Fotonların aksine nötrinolar çekirdek bölgesinden geçebilir ve Güneş’ ten kaçabilirler.
Bu nötrinoların gözlenmesiyle, çekirdek bölgesindeki nükleer olaylar hakkında bilgi
edinilebilir ve ayrıca da SGM’ nin bir testi sağlanabilir. Dünya yüzeyindeki nötrino
akısı için kaba bir hesap şu şekildedir: Güneş’ in bilinen enerji çıkışı yaklaşık olarak
3.86x1037 erg/sn ve her bir 4He oluşumunda 26 MeV=4.2x10-5 erg’ lik enerji ortaya
çıktığı için bu ikisinden Güneş’ te saniyede yaklaşık olarak 9.2x1037 füzyon olduğu
bulunur. Herbir füzyon reaksiyonunda 2νe üretildiği için toplam üretilen νe sayısı
saniyede 1.8x1038 olarak bulunur. Bu değer Dünya’ nın yüzey alanına bölünürse
(1.8×1038 / 4π (1.5 ×1013 )2 ) / cm 2sn = 6.4 ×1010 / cm 2sn
bulunur.
42
Çizelge 2.1. Güneşteki nötrino üretim reaksiyonları
Kaynak
Reaksiyon
<Eν> (MeV)
pp
p + p Æ D + e + + νe
≤0.42
pep
p + e- + p Æ D + νe
1.552
hep
3
He + p Æ 4He + e+ + νe
7
Be
7
Be + e- Æ 7Li + νe
(%90)0.86
(%10)0.38
8
8
B Æ 8Be* + e+ + νe
≤15
B
≤18.67
13
N
13
C+e++ νe
≤1.199
15
O
15
N+e++ νe
≤1.732
17
O+e++ νe
≤1.740
17
F
Nötrino akısına neden olan beş reaksiyon pp zincirinden, üç reaksiyon ise CNO
döngüsünden gelir (Çizelge 2.1)
Güneş nötrino spektrumu nötrino enerjisinin bir fonksiyonu olarak Bahcall ve grubu
tarafından hesaplanmıştır (Şekil 2.12). Şekil 2.13’ te nötrino ve enerji üretiminin güneş
yarıçapına bağlılığı verilir (Bahcall et al. 2001).
43
Şekil 2.12. Güneş nötrino spektrumunun nötrino enerjisine bağlı gösterimi.
Şekil 2.13. Güneş yarıçapının bir fonksiyonu olarak nötrino üretimi.
44
2.6.3. Güneşteki manyetik alanlar
Güneş nötrino probleminin bazı çözümleri Güneş’ in iç kısımlarında oldukça büyük
manyetik alan olması gerektiğini gösterdi. Standart Güneş modeliyle de uyum içinde
olması için Güneş’in çekirdek kısmındaki manyetik alana bir üst sınır getirilir: ~(0.82)x107 G. (0.71 R ≤r≤ R ) aralığındaki konvektif bölgede ise manyetik alan
büyüklüğü 30-300 kG aralığında alınır.
Literatürde bir çok manyetik alan şekli vardır (Akhmedov ve Pulido 2002, Chauhan
2002). Fakat bu çalışmada iki tip manyetik alan şekli kullanılacaktır. Birincisi WoodSaxon şeklindedir (Şekil 2.14 a):
B(r)=
B0
1+exp[10(r-R )/R ]
Burada B0 Güneş’in merkezindeki manyetik alandır.
Şekil 2.14. Güneş’ teki manyetik alan tipleri. (a) Wood-Saxon (b) Gauss tipinde
manyetik alan şekilleri
45
(2.60)
İkinci olarak alınan Gausyen şeklindedir (Şekil 2.14 b). Her iki tip manyetik alan
şeklinde de, manyetik alan şiddetinin Güneş’ ten sonra da bir süre devam ettiği göz
önüne alınmıştır.
2.7. Nötrino Deneyleri
Güneş nötrinoları beş Güneş nötrino deneyinde gözlenir (Homestake, galyum, SK ve
SNO). Bu beş nötrino deneyinin hepsinde beklenenden daha az nötrino gözlenmiştir ve
bunlar her bir deney için farklı oranlardadır.
Güneş nötrinolarından başka, atmosferik nötrinoları inceleyen (IMB, AMANDA, ... ) ve
reaktörlerden gelen karşı-nötrinoları (KamLAND) gözleyen deneyler de vardır.
2.7.1. Güneş nötrino deneyleri
2.7.1.1. Homestake (Klor) deneyi
Ray Davis ve grubu tarafından Güneş’ ten gelen nötrinoları başarılı olarak gözleyen ilk
deneydir (1960). Deney Amerika’ da Homestake altın madeninde, yerin yaklaşık 1600
m altında kuruldu. Dedektör 615 ton C2Cl4 (temizlik sıvısı) içerir ve bunun 133 tonu Cl’
dur. Dedektör, Bruno Pontecorvo tarafından 1946’ da öne sürülen klor-nötrino
etkileşmesi üzerine kurulmuştur. Nötrinoları gözlemek için kullanılan bu zayıf süreç
νe +
37
ClÆe- +
37
Ar
şeklindedir ve eşik enerjisi 0.814 MeV’ dir. Bu reaksiyon nadirdir ve sıklıkla olmaz.
Her hafta bir argon atomu üretilir.
37
Ar radyokimyasal yöntemle çıkartılır.
37
Ar 35
günlük bir yarı ömre sahiptir ve bir elektron yakalayarak tekrar Cl atomuna geri
bozunur. Bu kimyasal süreçle birleştirilince üretilen
37
Ar ayrıştırılır. Böylece yapılan
sayım sonucunda kaç tane nötrino gözlendiği belirlenir (Kim ve Pevsner 1993, Davis et
al. 1998).
46
0.814 MeV’ lik eşik enerjisinden dolayı, Cl deneyi
8
BÆ8Be + e+ + ν e
reaksiyonundan gelen nötrinolara daha duyarlıdır. Bunun yanısıra
7
Be ve pep
reaksiyonlarından gelen nötrinolar da gözlenir.
Cl deneyinin ilk sonuçları 1968’ de açıklandı (Davis ve Hoffmann 1968) ve ölçümlerin
açıkca argon atomlarının, nötrinoların klorla etkileşmesiyle üretildiği gösterildi. Fakat
elde edilen nötrino miktarı, beklenenden oldukça azdı. Klor deneyi 1995’ e kadar veri
topladı ve
ΦCl = 2.56 ± 0.16 ± 0.16 SNU
olay oranı elde edildi. Burada 1 SNU (Solar Neutrino Unit) atom başına saniyede 10-36
nötrino yakalamadır:
1 SNU = 10-36 ν yakalama / atom s
Oysa ki SGM’ ye göre
ΦCl (SGM)= 7.9 ±3 SNU
olay oranı bekleniyordu. Bu iki olay oranı arasındaki fark Güneş nötrino problemi
olarak bilinir.
Ray Davis’ e, Dünya’ da gözlenen elektron nötrino akısının, Güneş’ te üretilenden daha
az olduğunu gösteren bu öncü çalışmasından dolayı Masatoshi Koshiba ve Riccardo
Giacconi ile birlikte 2002 yılında Nobel fizik ödülü verildi.
47
2.7.1.2. Galyum deneyleri
Üç farklı galyum deneyi vardır. Birincisi Rusya’ da Baksan labaratuvarında SovyetAmerikan galyum deneyi (SAGE), diğeri ise İtalya’da Gran Sasso labaratuvarında
Avrupa grubu tarafından yapılan GALLEX/GNO deneyidir. SAGE 57 ton galyum
içeren sıvı metal hedef kullanırken, Avrupa grubu (GALLEX/GNO) 101 tonluk sulu
asit solüsyonu içerisinde 30 tonluk doğal galyum kullanır.
Bu deneylerde
νe +
71
GaÆe- +
71
Ge
reaksiyonuna bakılır. Eşik enerjisi 0.233 MeV’ dir. Burada
ömre sahiptir ve elektron yakalaması yoluyla tekrar
71
71
Ge 16.5 günlük bir yarı
Ga’ e bozunur. Bu elektron
yakalamayla ortaya çıkan Auger elektronları ve X-ışınları 71Ge için bir işaret anlamına
gelir. Böylece bir nötrino gözlenmiş olur (Kim ve Pevsner 1993).
Düşük eşik enerjisinden dolayı
71
Ga dedektörleri pp, 7Be, 8B ve pep nötrinolarına
duyarlıdır (Şekil 2.12).
SAGE ve GALLEX/GNO deneylerinin her ikisi de beklenen orandan daha az miktarda
nötrino gözlediler:
+3.7
ΦGa (SAGE)= 69.6 +−4.4
4.3 −3.2 SNU
ΦGa (GALLEX)= 77.5 ±6.2 ± 4.5 SNU
ΦGa (GNO)= 65.2 ±6.4 ± 3.0 SNU
ΦGa (GALLEX/GNO)= 70.8 ±4.5 ± 3.8 SNU
48
Çizelge 2.2. Cl ve Ga deneyleri için tahmin edilen olay oranları
Kaynak
pp
pep
hep
7
Be
8
B
13
N
15
O
17
F
Cl(SNU)
Ga(SNU)
70.8
3.0
0.06
34.3
14.0
3.8
6.1
0.06
0.0
0.2
0.03
1.1
6.1
0.1
0.3
0.003
Toplam(SGM) 7.9±3.0
132 +−20
17
SGM’ ye göre hesaplanan olay oranı ise
ΦGa (Galyum)=129 +−97 SNU
olarak bulunur (Abdurashitov et al. 2002, Altmann et al. 2000, Hampel et al. 1999).
Galyum ve klor deneylerine ayrı ayrı nötrino katkıları Çizelge 2.2’ de verilir (Bahcall
1989).
2.7.1.3. Süper Kamiokande (SK)
Süper Kamiokande 50000 tonluk görsel (imaging) su-Cherenkov dedektörüdür.
Japonya’ da 1996 yılında Kamioka Mozumi madeninde 2700 m su eşdeğerli derinlikte
kurulmuştur. 50000 ton oldukça saf hafif sudan oluşur. Silindirik geometriye sahiptir.
39.3 metre çapa ve 40 metre yüksekliğe sahiptir. Dedektör iç ve dış olmak üzere iki
kısma ayrılmıştır: Dış kısım gelen kozmik ışın müonlarını dışlar ve harici düşük enerji
fonu için kalkan görevi yaparken iç kısım ise 11146 foto çoğaltıcı tüple gözlenen 32000
tonluk sudan oluşur.
49
Bu deneyde Güneş nötrinoları, nötrino-elektron elastik saçılması (ES)
ν x + e- → ν x + eyoluyla gözlenir. Burada x, (e,µ,τ) olabilir. Bu etkileşmenin tesir kesitleri arasındaki
ilişki
σ (νμτ e- → νμτ e- ) 0.15 × σ (ν ee- → ν ee- )
şeklindedir. Bu deneyde Güneş nötrinoları ES olayından gelen elektronlar tarafından
yayınlanan Cherenkov fotonlarının [Ek 2] gözlenmesiyle gözlenir. Cherenkov fotonları
foto çoğaltıcı tüpler tarafından toplanır.
Eşik enerjisi Te ≥ 5.5 MeV olduğu için, SK deneyi 8B nötrinolarına duyarlıdır (Şekil
2.12). Deneydeki ES nötrino akısının kesin hesabı
ΦES = (2.35±0.02±0.08) × 106 cm-2 s-1
olarak bulunur. SGM’ ye göre hesaplanan 8B akısı ise
-2 -1
6
ΦSGM =5.05 +−1.01
0.81×10 cm s
bulunur. SK için ölçülen nötrino akısı ile beklenen nötrino akısının oranına bakıldığında
veri/SGM = 0.47±0.02
bulunur (Fukuda et al. 2002)..
50
2.7.1.4. SNO (Sudbury Neutrino Observatory)
SNO 1000 ton ağır-su Cherenkov dedektörüdür. Kanada’ da Creighton madeninde yerin
2km altındadır. 7000 tonluk ultra saf hafif su ise destek ve kalkan olarak kullanılır.
Dedektörde Cherenkov fotonlarını gözlemek için foto-çoğaltıcı tüpler kullanılır; 9456
foto çoğaltıcı tüp vardır.
Diğer nötrino deneyleri başlıca elektron nötrinolarına duyarlı olmasına karşın, SNO üç
nötrinonun da ölçülmesine olanak sağlar. Elektron nötrinoları yüklü-akım etkileşmesi
yoluyla gözlenirken, yüksüz-akım etkileşmeleri youluyla da tüm nötrinolar gözlenebilir.
SNO deneyinin eşik enerjisi Te ≥ 5.0 MeV olduğu için SNO’ da SK gibi Güneş’ teki 8B
bozunumundan gelen elektron nötrinolarına duyarlıdır (Şekil 2.12). Nötrinoları
gözlemeye yarayan reaksiyonlar, yüklü-akım (CC) reaksiyonu, yüksüz-akım (NC) ve
elastik saçılma (ES) reaksiyonlarıdır.
•Yüklü-akım (CC) reaksiyonu: Elektron nötrinolarına duyarlıdır:
d + ν e → p+p+e•Yüksüz-akım (NC) reaksiyonu: Tüm nötrino çeşnilerine duyarlıdır (x=e,µ,τ):
ν x + d → n+p+e•Elastik Saçılma (ES) reaksiyonu: SK deneyinde belirtildiği gibi başlıca elektron
nötrinolarına duyarlıdır:
ν x + e- → ν x + e-
51
Her üç reaksiyon için olay oranları ile nötrino akıları arasındaki ilişki
ΦCC= φe
ΦES= φe +0.15 φμτ
ΦNC= φe + φμτ
olarak verilebilir. Gözlenen akılar ise şu şekildedir:
-2 -1
+0.09
6
ΦCC= 1.76+−0.06
0.05 −0.09 × 10 cm s
-2 -1
+0.12
6
ΦES= 2.39+−0.24
0.23 −0.12 × 10 cm s
-2 -1
+0.46
6
ΦNC= 5.09+−0.44
0.43 −0.43 × 10 cm s
SGM’ ye göre hesaplanan 8B akısı ise
-2 -1
6
ΦSGM =5.05 +−1.01
0.81×10 cm s
olarak bulunur. SNO için ölçülen nötrino akısı ile beklenen nötrino akısının oranına
bakıldığında
veri/SGM(CC) = 0.35±0.02
veri/SGM(ES) = 0.47±0.05
veri/SGM(NC)=1.01±0.13
oranları bulunur (Ahmad et al. 2002).
52
2.8. İstatistik ve Olasılık
İstatistik, verilerle eş anlamlı olarak kullanılabilir veya verilerden bilgi çıkarma
yöntemleriyle ilgili tamamen bilimsel bir dal olarak alınabilir.
Farklı içeriklerde kullanılan istatşistik kelimesi,verilerdeki sapmalari ölçerek,
incelemeleri daha ayrıntılı yaparak deneylerdeki gözlenenlerin toplanması ve
özetlenmesine eşlik eder. Bunların içerisinde diğer veriler veya modellerle karşılaştırma
ve gözlenen veriler bazında parametre tahmini ve hipotez testi de vardır.
Olasılık ve istatistik yoluyla teori ve deney arasındaki ilişki şu şekilde kurulur:
Bir teorik model bir gözlenebilir nicelik, x, ile deneysel olarak bilinmeyen ve ölçüm
için doğrudan erişilemeyen θ parametresi arasında belirli bir karşılıklılık öngörür;
burada θ değeri model tarafından tahmin edilebilir veya edilemeyebilir. Deneyin amacı
x gözlenebilirinin yapılan ölçümleriyle, θ değerini “düzenlemek”’ tir. X1, x2, ..., xn
gözlenen sayılarının kümesinden, istatistiksel yöntem, parametre için bir tahminin nasıl
elde edilebilineceğini söyler. Gözlenenler bazında parametre tahmini fizikte istatistiğin
en önemli uygulamasıdır. İkinci ana uygulama ise hipotez testidir. Hipotez testi,
modelce öngörülen parametrenin deneysel gözlemlerden çıkan değerle uyuşup
uyuşmadığını ortaya çıkarır (Frodesen et al. 1976).
Teorik modeller “θ parametresinin verilen bir değeri için, gözlenen x’ in beklenen
dağılımı nedir?” sorusuna yanıt ararlar. Deney ise bunun tersini yaparak, “verilen x1, x2,
..., xn gözlemlerine karşın, θ değeri nedir?” sorusuna yanıt arar. Bu iki soru temelde
farklı görünseler de, bir şekilde birbirlerine bağlıdır. Olasılık teorisi ve istatistik
arasındaki tamamlayıcı ilişki sırasıyla teorisyenler ve deneyciler tarafından sunulur.
2.8.1. Olasılık tanımı, rastgele değişkenler, örnek uzay
Fizikçiler için olasılık, oluşumun göreli sıklık limiti olarak tanımlanabilir. Örneğin bir
deneyde n deneme sonunda bir E olayının r kadar olma olasılığı (Frodesen et al. 1976)
53
P(E)=
r
n
olarak verilir. Burada E olayının olasılığı
0 ≤ P(E) ≤ 1
aralığındadır.
Rastgele değişkenin ne anlam ifade ettiğini anlamak için zar atma örneği verilebilir.
Atıştan önce sonuç tam bir kesinlikle ölçülemediği için, gözlenen noktaların sayısı
rastgele değişkendir. Bu durumda sonuç 1, 2, ..., 6 sayılardan birisi olacaktır. Bu yüzden
örnek uzay 1 ile 6 arasındaki tamsayıların tamamından oluşur. Bir özel sonucun
oluşması, örneğin 1’ in gelmesi, diğer olasılıkları dışladığı için 2, 3, ..., 6 olaylarına
dışlanmış denir. Eğer X rastgele değişkeni yalnızca değerlerin sonlu bir sayısı ise,
örneğin zarın atılması, X, kesikli rastgele değişken olarak adlandırılır. Deneyin her bir
mümkün xi sonucuna (outcome) bir Pi olasılığı eşlik eder:
P(X= xi)= Pi
∑P =1
i
i
Eğer X rastgele değişkeni sonlu aralıkta sürekli değerlere sahipse, sürekli rastgele
değişken olarak adlandırılır. Bir çubuk üzerindeki ölçümlerden elde edilen X uzunluğu
buna bir örnektir. Bu durumda X sürekli rastgele değişkeni için f(x) olasılık yoğunluk
fonksiyonu tanımlanır:
f(x)dx=P(x≤X≤x+dx)
∫ f(x)dx=1
Ω
Buradaki integral hesabı, örnek uzayı, Ω, tanımlayan mümkün tüm x çıktıları üzerinden
alınır.
54
Şekil 2.15. Venn diyagramları
2.8.2. Olasılık hesabı
Olasılık hesabına başlamadan önce küme teorisi ile ilgili bazı tanımlamalar bilinmelidir.
2.8.2.1. Tanımlamalar
Küme kavramı, bazı genel özelliklere sahip nesnelerin kümesini tanımlamak için
kullanılır. A kümesine ait bir nesneye A’ nın bir elemanı denir. B kümesinin her
elemanı aynı zamanda A kümesinin de elemanı ise B’ ye A’ nın alt kümesi denir.
A, Ω örnek uzayında elemanların keyfi bir kümesi olsun. A’ nın tamamlayanı A ise Ω
örnek uzayında olan fakat A’ ya ait olmayan elemanların kümesidir (Şekil 2.15).
A ve B kümelerinin birleşimi A ∪ B , A’ ya veya B’ ye veya her ikisine ait olan
elemanların kümesidir.
A ve B kümelerinin kesişimi, A ∩ B , ise her iki kümeye de ait olan elemanların
kümesidir.
P( A ∪ B )=P(A)+P(B)-P( A ∩ B )
55
(2.61)
Şekil 2.16. Koşulsal olasılığı gösteren Venn diyagramı
2.8.2.2. Koşulsal olasılık
A ve B, Ω örnek uzayının alt kümeleri olsun ve sırasıyla P(A) ve P(B) olasılıklarını
temsil etsinler. Yalnızca A kümesi ile ilgilenilsin ve böylece yalnızca A alt kümesi için
örnek uzayı yeniden tanımlamak istensin. O zaman, B alt kümesinin olasılığı bu “yeni”
örnek uzayı A’ya göre nasıl açıklar? Bu yeni olasılığa B’ nin A’ ya göre koşulsal
(
)
olasılığı denir ve P B A ile gösterilir. Yani “verilen bir A içerisinde B’ nin olasılığı”
(
)
olarak söylenir. P B A ,
P(A ∩ B)=P ( B A ) P(A)
(2.62)
eşitliği ile tanımlanır. Koşulsal olasılık şekilsel olarak Şekil 2.16’ daki Venn
diyagramına bakılarak anlaşılabilir.
Burada, Ω örnek uzayı N elemana sahip, A ve B alt kümeleri de sırasıyla NA ve NB
elemanlarına sahipken A ve B’ nin her ikisinin ortak NC elemanı vardır. Venn
diyagramından olasılık ifadeleri
P(A)=
NA
N
NC
N
N
P(B A )= C
NA
P(A ∩ B)=
P(B)=
NB
N
Ω’ ya göre kesişim bölgesi
A’ ya göre kesişim bölgesi
56
P(A B)=
NC
NB
B’ ye göre kesişim bölgesi
şeklinde yazılabilir. Görüldüğü gibi bu olasılıklar (2.62) eşitliğini sağlarlar.
2.8.3. Bayes Teoremi
(
)
(
)
Bayes Teorem P A B ile P B A arasında ilişki kurar. Ω uzayı Bi (i=1, ...,n) alt
kümelerinden oluşsun (Şekil 2.17).
Burada Bi’ lerin olasılıkları toplamı 1’ i verir:
∑ P(B ) = 1
i
i
Eğer A, Ω’ ya ait bir küme ise, Bayes’ Teorem
P ( Bi A ) =
P ( A Bi ) P ( Bi )
∑ P (A B ) P (B )
n
j
(2.63)
j
j=1
durumunu belirtir. Bazı tanımlamalar yapılırsa: P ( Bi ) , prior olasılık ve P ( Bi A ) ,
(
)
posterior olasılıktır. P A Bi ise verilen bir Bi’ de A olayının olabilirliğidir.
Şekil 2.17. B1, B2, ..., Bn ayrık alt kümelerinden oluşan Ω alt uzayı. A kümesi de Ω
içinde herhangi bir küme.
57
Bayes Teoremi’ ne güzel bir örnek K0 mezonunun leptonik bozunum çalışmasındaki
Cherenkov sayımıdır. Bayes Teoremi’ ne göre
P ( A ) Æ Cherenkov sayımı veren olay sayısı
P ( B ) Æ Doğru leptonik bozunum olayının oluşma olasılığı
P ( A B ) Æ Cherenkov sayımı veren doğru leptonik bozunum olma olasılığı
P ( B A ) Æ Eğer bir Cherenkov sayımı elde edildiyse, bunun doğru leptonik
bozunumdan gelme olasılığı olarak ifade edilebilir.
2.8.4. Olasılık dağılımlarının genel özellikleri
2.8.4.1. Olasılık yoğunluk fonksiyonu
X sürekli rastgele değişkeni Ω örnek uzayında herhangi bir değere sahip olabilir. X için
olasılık belirli bir aralıkta, [x, x+dx], oluşur ve
P(x<X<x+dx)=f(x)dx
(2.64)
olarak yazılır. F(x), birim uzunluktaki olasılığı temsil eder ve olasılık yoğunluk
fonksiyonu olarak adlandırılır. Toplam olasılık
∫ f(x)dx=1
Ω
olmalıdır.
2.8.4.2. Kümülatif dağılım fonksiyonu
f(x) olasılık dağılım fonksiyonu ile karakterize edilen X rastgele değişkeni yerine
F(x)= ∫
x
x min
f(x´ )dx´
x min ≤ x ≤ x maks
(2.65)
ile tanımlanan kümülatif dağılım, F(x), kullanılabilir. Burada F(x), x’ in minimum ve
maksimum noktalarında
58
F(xmin)=0
F(xmaks)=1
değerlerine sahiptir.
2.8.4.3. Olasılık yoğunluk fonksiyonunun özellikleri
Olasılık yoğunluk fonksiyonu, x rastgele değişkeni hakkında bütün bilgiyi içerir. F(x)’
in çeşitli özellikleri dağılımı karakterize eder (Şekil 2.18):
Dağılımın modu: Olasılık dağılım fonksiyonunu maksimum yapan x değeridir.
Olasılık yoğunluk fonksiyonunun medyanı: F(xmedyan)=1/2’ yi sağlayan x değeridir.
Ortalama: Merkezi değeri ölçer.
Varyan: Dağılımın yayılımını ölçer.
Şekil 2.18. Düzgün dağılımlı olasılık yoğunluk fonksiyonu için yerel parametreler.
59
2.8.4.4. Bir fonksiyonun beklenen değeri
g(x), x fonksiyonunun herhangi bir fonksiyonu olsun. G(x)’ in beklenen değeri
E(g(x)) ≡ ∫ g(x)f(x)dx
(2.66)
Ω
olarak bulunur. F(x), g(x) için ağırlık fonksiyonu olarak davranır. E(g(x)), g(x)
fonksiyonunun ortalama veya merkezi değerini ölçer.
2.8.4.5. Ortalama değer ve bir rastgele değişkenin varyansı
Basit bir uygulama olarak, g(x)=x alınabilir. Bu durumda rastgele değişkenin bir f(x)
olasılık yoğunluk fonksiyonu için ortalama değeri, µ,
μ ≡ E(x)= ∫ xf(x)dx
(2.67)
Ω
ile tanımlanır.
En genel olarak g(x)’ in varyansı, V(x), g(x)’ in merkezi değerden yayılımı veya
kayması olarak bilinir ve
V[g(x)] ≡ E(g(x)- E(g(x))
)2
1
424
3
(2.68)
μ
ile tanımlanır. G(x)=x’ in varyansı ise
σ 2 ≡ V[x]=E(x-μ)2 = ∫ (x-μ) 2 f(x)dx
(2.69)
Ω
şeklindedir. σ, f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu için x’ in standart sapması olarak
adlandırılır.
60
Birden fazla rastgele değişken dağılımı durumunda, yani x1, x2, ..., xn durumunda, f(x)
olasılık yoğunluk fonksiyonu, f(x1, x2, ..., xn) birleşik olasılık yoğunluk fonksiyonu olur.
Bu fonksiyonun, pozitif ve her x1, x2, ..., xn noktasında tekil değere sahip olduğu
varsayılırsa
∫ f(x x ...x
1
2
n
)dx1dx 2 ...dx n = 1
(2.70)
Ω
olarak normalize edilir. Kısaca,
∫ f(x)dx = 1
Ω
şeklinde yazılabilir. Bu durumda g(x)=g(x1x 2 ...x n ) ’ in beklenen değeri ve varyansı
E(g(x))= ∫ g(x)f(x)dx
Ω
V[g( x )]=E(g( x )-E(g(x)))2
= ∫ (g(x)-E(g(x))) 2f(x)dx
Ω
olarak bulunur.
2.8.4.6. Kovaryans matris; korelasyon katsayıları
g(x)=x i ’ de özelleştirilirse, xi’ nin ortalama veya beklenen değeri
μ ≡ E(x i )= ∫ x i f(x)dx
(2.71)
Ω
ile bulunur. Çok değişkenli durumda, genişletilmiş varyans tanımı vardır. Bu x ’ in
kovaryans matrisi V( x) ’ dir ve kendi elemanları ile tanımlanır:
Vij ≡ E[(x i -μ i )(x j -μ j )]= ∫ (x i -μ i )(x j -μ j )f(x)dx
Ω
µi ve µj sırasıyla, xi ve xj’ nin beklenen değeridir.
61
(2.72)
Kovaryans matris, fiziksel analiz için büyük öneme sahiptir. Bazı özellikleri şu şekilde
sıralanabilir:
(i) V( x) simetriktir.
(ii) Vii köşegen elemanı, xi’ in varyansı, σ i2 , olarak adlandırılır. σ i2 negatif olmayan bir
niceliktir.
σ i2 ≡ Vii =E(x i -μ i ) 2 = ∫ (x i -μ i ) 2f(x)dx
(2.73)
Ω
(iii) Vij (i ≠ j) köşegen dışı elemanı ise, xi ve xj’ nin kovaryansı olarak adlandırılır ve
cov(xi,xj) olarak tanımlanır:
cov(x i ,x j ) ≡ Vij =E(x i x j ) − E(x i )E(x j )
(2.74)
Kovaryans pozitif veya negatif olabilir.
xi ile xj arasındaki korelasyon, ρ ( x i ,x j ) korelasyon katsayısı ile verilir ve
ρ ( x i ,x j ) ≡
Vij
1/2
(Vii Vjj )
=
cov(x i ,x j )
σ iσ j
(2.75)
ile tanımlanır. Burada ρ ( x i ,x j ) ,
−1 ≤ ρ ( x i ,x j ) ≤ 1
aralığındadır ve ρ ( x i ,x j ) ’ in aldığı +1, 0, -1 değerlerine göre sırasıyla pozitif
korelasyonlu, negatif korelasyonlu ve korelasyonsuz olarak söylenir.
62
Şekil 2.19. Binom dağılımı
2.8.5. Özel olasılık dağılımları
2.8.5.1. Binom ve Poisson dağılımı (Kesikli dağılımlar)
B(r;n,p)=(nr )pr (1 − p)n-r
r=0, 1, ..., n
(2.76)
burada
(nr ) ≡
n!
r!(n-r)!
ve diğer ifadeler ise
p: başarılı sonucun olma olasılığı
q=(1-p): başarısızlık olasılığı
n: bağımsız denemeler
r: toplam başarı
olarak bilinir (Şekil 2.19).
Poisson dağılımı ise
1
r!
P(r;μ) = μ r e-μ
şeklindedir. Buradaki µ, r’ nin ortalama değeridir.
63
(2.77)
Şekil 2.20. Gauss (normal) dağılımı
2.8.5.3. Normal veya Gausyen dağılımı (Sürekli dağılım)
Gausyen veya normal dağılım
1 - 12 (x-μ)2 /σ2
e
N(μ,σ ) ≡ f(x)=
2πσ
2
(2.78)
ile verilir. Ortalama değer ve varyasyon ise
∞
E(x)= ∫ xf(x)dx = μ
-∞
∞
V(x)= ∫ (x-μ)2 f(x)dx = σ 2
-∞
olarak ifade edilir. Standart normal dağılım
N(0,1) ≡ g(y)=
1 y2 /2
e
2π
olarak alınırken, kümülatif standart normal dağılım
y
G(y)= ∫ g(y´)dy´
−∞
G(-y)=1-G(y)
ile ifade edilir.
64
(2.79)
Şekil 2.21. Binom ve normal dağılım.
Aslında normal dağılım kesikli Binom dağılımında n’ nin çok büyük olmasına karşı
gelen limit durumdur (Şekil 2.21).
2.8.5.4. N(μ,σ 2 ) ’ nin olasılık içerikleri
x, N(μ,σ 2 ) ’ ye göre dağılım özelliği gösteren rastgele bir değişken olsun. x’ in a alt
limiti ile b üst limiti arasına düşme olasılığı,
P(a ≤ x ≤ b)=P(x ≤ b)-P(x ≤ a)
(2.80)
olarak ifade edilir. Eşitliğin sağ tarafındaki eşitsizlikler, standartlaştırılmış (x-µ)/σ
değişkeni türünden yazılabilir:
P(a ≤ x ≤ b)=P(
x-μ
σ
≤
b-μ
σ
)-P(
b-μ
a-μ
σ
σ
-∞
-∞
x-μ
σ
≤
a-μ
σ
)
= ∫ g(y´)dy´ − ∫ g(y´)dy´
Böylece
P(a ≤ x ≤ b)=G(
b-μ
σ
65
)-G(
a-μ
σ
)
(2.81)
Şekil 2.22. χ 2 dağılımının olasılık içerikleri.
olarak yazılabilir. Buradaki G kümülatif standart normal dağılımdır. Verilen µ, σ2 ve
[a,b] aralıklarında G’ nin değerleri istatistik tablolarından bulunabilir. Örneğin, µ
ortalama değerinden bir, iki ve üç standart sapma aralığında olasılık içerikleri
P(μ-1σ ≤ x ≤ μ+1σ )=2G(1)-1=0.6827
P(μ-2σ ≤ x ≤ μ+2σ )=2G(2)-1=0.9545
P(μ-2σ ≤ x ≤ μ+2σ )=2G(2)-1=0.9545
olarak bulunur. Normal olasılık dağılımının olasılık içerikleri Şekil 2.22’ de detaylı
olarak görülebilir.
2.8.6. χ 2 istatistiği ve χ 2 dağılım fonksiyonu
Hepsi normal dağılıma sahip n bağımsız rastgele değişken, x1, x2, ..., xn verilsin. xi’ ler
aynı fiziksel sistem üzerindeki n defa tekrar edilmiş ölçümler veya aynı nicelik
üzerindeki n bağımsız gözlemler olarak düşünülebilir. O zaman xi’ ler σ2 varyansa ve µ
ortalamaya sahip normal bir populasyondan n boyutlu bir örnektir (sample).
66
χ 2 dağılımı, istatistikte önemli rol oynayan bir başka önemli dağılımdır. N serbestlik
dereceli χ 2 rastgele değişkeni
n
χ ≡ ∑(
2
i=1
x i -μ
σ
)2
(2.82)
olarak tanımlanır. χ 2 değişkeni,
f ( χ ;n ) =
2
1
n
2
2n/2Γ( )
n
1
-1 − χ 2
2 2
2
(χ ) e
(2.83)
ile verilen olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir. Bu fonksiyon n serbestlik dereceli
χ 2 dağılımı olarak adlandırılır.
Uygulamada, güven aralıklarını (CL) hesaplamak için veya χ 2 rastgele değişkenlerini
içeren hipotez testi için kümülatif χ 2 dağılımı ile ilgilenilir. Kümülatif χ 2 dağılımı
χα2
F(χα ;ν) ≡ ∫ f (u;ν)du = 1 − α
2
(2.84)
0
olarak tanımlanır. Burada u, χ 2 yerine , ν de n yerine kullnılmıştır. F(u,ν)-u grafiği
Şekil 2.23’ de verilir.
Şekil 2.23. Kümülatif χ 2 dağılımı
67
2.8.7. En-küçük kareler yöntemi
x1, x2, ..., xn gözlenen noktalar, y1, y2, ..., yn birbirinden bağımsız deney sonuçlarının n
boyutlu bir kümesi, η1, η2, ..., ηn ise gözlenebilirlerin bilinmeyen gerçek değerleri olsun.
Elimizde, herhangi bir fonksiyonel bağımlılık yoluyla her bir xi’ ye eşlik eden gerçek
değeri tahmin edebilen bir teorik model olsun:
fi=fi(θ1, θ2, ..., θL;xi)
L≤n
burada θ1, θ2, ..., θL, parametrelerin bir kümesidir. En küçük kareler yöntemine göre,
bilinmeyen parametrelerin en iyi değerleri
n
χ 2 = ∑ w i (yi -f i )2 =minimum
i=1
ile bulunur. wi i. Gözleme ait ağırlık fonksiyonudur. χ 2 ’ yi minimum yapan
θ$ = {θ$ 1 , θ$ 2 , ..., θ$ L } parametrelerinin kümesi parametrelerin en-küçük kareler tahmini
olarak adlandırılır. wi, yi ölçümündeki kesinliktir. Bir çok durumda, bütün gözlemler
eşit kesinlikte varsayılır. Bu durumda wi=1 alınır. Eğer hatalar farklı gözlemlerde farklı,
fakat biliniyorsa, i. Gözlemin ağırlığı, genellikle onun duyarlılığına eşit alınır; yani
wi=1/ σi2 alınır. Bu durumda minimum yapılmak istenen nicelik
n
χ2 = ∑(
i=1
yi -f i
σi2
)2
halini alır.
Eğer gözlemler, simetrik kovaryans matris V( y) ile verilen kovaryans terimlerle ve
hatalarla ilişkili ise, bilinmeyen parametrelerin en iyi değerlerini bulan en-küçük kareler
yöntemi
68
n
n
χ 2 = ∑∑ (yi -f i )Vij-1 (y j -f j )
(2.85)
i=1 j=1
olarak verilir.
2.8.8. Klasik güven aralığı (Neyman güven aralığı)
µt bilinmeyen gerçek değerine sahip µ parametresi hakkında bir çıkarım yapılmak
istensin. Bunun, x gözlenebilirinin tekil bir ölçümü yapılarak elde edildiği varsayılsın.
Öyle ki, x değerini elde etmek için olasılık yoğunluk fonksiyonu bilinmeyen µ
parametresine bağlıdır. Bu, olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak adlandırılır. P(x μ ) .
Olarak adlandırılır. P(x μ ) , x değerini µ parametresine göre elde etme olasılığıdır.
Güven aralıkları P(x μ ) ’ den çıkarılan durumlara sınırlandırılmıştır. Bir [µ1, µ2] güven
aralığı (Feldman ve Cousins 1998)
P(µЄ[µ1, µ2])=α
(2.86)
Özelliğine sahip bir kümenin elemanlarıdır. Burada α güven seviyesi, µ1 ve µ2’ de
ölçülen x’ in fonksiyonlarıdır. (2.86) eşitliği, sabit bir µ’ ye sahip deneylerin bir
bütününden, [µ1, µ2] değişen güven aralıklarını belirtir ve her izinli µ değeri için
doğrudur. Böylece, özel olarak, aralıklar deneylerin α kesrinde belirli bilinmeyen µt
değerini içerir.
Güven aralıkları ile ilgili bazı özellikler şu şekilde verilebilir:
(i)
(ii)
(iii)
Eğer (2.86) eşitliği sağlanırsa, aralıklar µ’ yü belirtilen güven aralığında
kapsar denir; veya başka bir deyişle aralıkların kümesi doğru “kapsama”
sahiptir denir.
Eğer µ’ nün herhangi bir değeri için P(µЄ[µ1, µ2])<α ise o zaman aralıklar
belirtilen µ için “undercover”’ dır. Herhangi bir µ için önemli önemli bir
undercoverage ciddi bir kusurdur.
Eğer µ’ nün herhangi bir değeri için P(µЄ[µ1, µ2])>α ise o zaman aralıklar
belirtilen µ için “overcover”’ dır.
69
Şekil 2.24 En genel güven kemeri
Eğer µ’ nün hiçbir değeri undercover değilken, bazı değerleri için overcover ise,
aralıklar
kümesi
“conservative(koruyucu)”
olarak
adlandırılır.
Conservatism,
“undercover” düşüncesi kadar ciddi bir kusur olarak değerlendirilmez; yalnızca yanlış
hipotezin reddindeki güç kaybı olarak değerlendirilebilir.
Bir ölçülen nicelik ve bir bilinmeyen parametre için Neyman’ ın güven aralığı yapısı
“güven kemerleri” yöntemi olarak adlandırılır. Şekil 2.24, µ parametresinin ölçülen x
niceliğine göre grafiğini veren bir yapıyı gösterir.
µ’ nün her bir değeri için µ boyunca yatay çizgi üzerinde P(x μ ) hesaplanır. Bu
çizginin bir alt kümesi olan
P(xЄ[x1, x2])=α
(2.87)
koşulunu sağlayan bir [x1, x2] aralığı seçilir. Bu aralıklar her bir µ için Şekil 2.24’ teki
yatay çizgi bölümleri olarak çizilir.
Kabul bölgesinin tekliğini sağlamak için, bazı zorunlu kriterler seçilmelidir. Bunlardan
en yaygın olanlar
70
P(x<x1 μ ) = 1 − α
üst güven sınırı
(2.88)
P(x>x 2 μ ) = 1 − α
alt güven sınırı
(2.89)
1−α
) merkezi güven aralıkları
2
P(x<x1 μ ) = P(x>x 2 μ ) = (
(2.90)
olarak bilinir. Yapı, µ’ nün tüm değerleri için yatay kabul aralıkları çizildiğinde
tamamlanmış olur. x değerini ölçmek için yapılan bir deney sonucunda bulunan x
değeri üzerine, x0 noktasında düşey bir çizgi çizilir (Şekil 2.24’ teki düşey çizgi). Düşey
çizgi ile kesişen yatay aralıklara karşı gelen µ değerlerinin birleşimi güven aralığıdır.
2.8.8.1. Klasik güven aralıklarına örnekler
2.8.8.1.1. Gauss dağılımına sahip güven aralığı
x gözlenebiliri belirli bir σ standart sapmalı Gausyen çözünürlük fonksiyonuna sahip bir
deneyde μ’ nün ölçülmüş değeri olsun:
P(x μ ) =
1
exp[-(x-μ)2 /2]
2π
σ=1
Bu duruma ait üst ve merkezi güven kemerleri sırasıyla Şekil 2.25 ve Şekil 2.26’ da
verilir. Fiziksel olarak izinli negatif olmayan μ değerleri alınmıştır (örneğin μ kütle
olabilir). Şekil 2.25 a, (2.88) eşitliğine göre çizilirken, Şekil 2.25 b, (2.90) eşitliğine
göre çizilmiştir.
Bununla birlikte deney sonuçları üzerine, üst limitin ya da merkezi güven aralığının
hangisinin yayınlanıp yayınlanmayacağına karar vermek daha hassas bir konudur. Bir
diğer sorun ise Şekil 2.25 a ve b’ den görüldüğü gibi, örneğin x=-1.8 için bir sonuç elde
edilemiyor oluşudur. Bu durumda, x=-1.8’ de bir düşey çizgi çizildiğinde güven aralığı
boş küme olarak elde edilir. Başka bir deyişle bu durum güven kemeri yapılırken
71
(a)
(b)
Şekil 2.25. (a) % 90 CL üst limitinde, Gausyen dağılımın ortalaması için standart güven
kemeri. (b) % 90 CL merkezi güven aralıklarında, Gausyen dağılımın
ortalaması için standart güven kemeri.
fiziksel olmayan μ’ lere izin verir: yani güven aralığı tamamen fiziksel olmayan
bölgededir. Bu önemli problem Feldman-Cousins (FC) sıralama ilkesi ile ortadan kalkar
(Feldman ve Cousins 1998).
2.8.8.1.2 Fona sahip Poisson süreci
x gözlenebiliri, bilinen b ortalamalı fon olaylarından ve μ ortalamalı sinyal olaylarından
oluşan n gözlenen olaylarının toplam sayısı olsun:
P(n μ ) = (μ+b)n exp[-(μ+b)]/n!
(2.91)
Bu duruma ait üst limit ve merkezi güven kemerleri, b=3.0 ve % 90 güven seviyesi
durumunda Şekil 2.26.a ve b’ de verilir. Bu grafiklerden de, Gausyen için çizilenlerdeki
gibi bazı problemlerin olduğu görülür. Bunlardan birisi, örneğin b=3.0 olmasına karşın
hiçbir olayın gözükmemesidir. Bu durumda yine güven aralığı boş kümedir. Yine, bu
problem de FC sıralama ilkesi ile çözülebilir.
72
(a)
(b)
Şekil 2.26 (a) % 90 CL üst limitinde, b=3 durumu için bilinmeyen μ ortalamalı Poisson
signali için standart güven kemeri. (b) % 90 CL merkezi güven aralıklarında,
b=3 durumu için bilinmeyen μ ortalamalı Poisson sinyali için standart güven
kemeri.
2.8.9. Feldman-Cousins Sıralama İlkesi
FC sıralama ilkesini anlamak için bir örnekle işe başlanabilir. Bunun için yine b=3
olsun ve yatay kabul aralığı μ=0.5’ te yapılsın. (2.91) eşitliğine göre hesaplanan P(n μ )
değerleri Çizelge 2.3’ tedir. Herbir n için P(n μ ) değerini maksimum yapan bir signal
μ değeri olsun, μbest. Bu durumda μbest’ in fiziksel olması, yani negatif olmaması gerekir.
O zaman
μbest=max[0,n-b]
alınabilir. μbest ve P(n μ best ) değerleri Çizelge 2.3’ te ikinci ve üçüncü sütündadır. Aynı
tablodaki beşinci sütündaki oran
R= P(n μ ) / P(n μ best )
73
(2.92)
Çizelge 2.3 b=3 bilinen fon durumunda μ=0.5 durumu için güven kemeri yapımındaki
hesaplamalar
ile hesaplanır ve sıralama ilkesi bu oran üzerine kuruludur. R, iki olabilirliğin oranıdır:
gerçek μ ortalama ile verilen n’ nin elde edilme olabilirliği ile, fiziksel olarak izinli en
iyi fiti veren μbest ile verilen n’ nin elde edilme olabilirliğinin oranıdır. P(n μ ) ’ nün
toplamı güven seviyesine ulaşıncaya veya aşıncaya kadar, n değerleri R’ nin azalan
sırasında (Çizelge 2.3’ te altıncı sütün) verilen μ için kabul bölgesine eklenirler. n
değerleri için, toplam % 90 olasılığı elde etmek için gerekli bu sıralama Çizelge 2.3’ te
beşinci sütünda gösterilir. Böylece μ=0.5 için kabul bölgesi (Şekil 2.24’ teki yatay çizgi
segmentleri gibi) n=[0-6] aralığındadır. n’ nin kesikliğinden dolayı, kabul bölgesi %90’
dan büyük toplam olasılığı içerir. Bu sıralama prensibi ne olursa olsun kaçınılmazdır ve
conservative güven aralıklarına yol açar.
(a)
(b)
Şekil 2.27. FC sıralama ilkesine göre (a) Poisson dağılımı için (b) Gausyen dağılım için
güven kemerleri.
74
FC prensibine göre hesaplanmış Poisson (b=3 ortalama fona sahip) ve Gausyen
süreçleri ile ilgili grafikler Şekil 2.27’ dedir.
2.8.10. Fit uyumu ve izinli bölge hesabı
χ 2min değeri, fit edilen parametre ile ölçülenler arasındaki uyuşumun niteliği hakkında
bir ölçüt verir. Başka bir deyişle χ 2min fit uyumu ölçümünü sağlar. Fit uyumu
∞
Pχ 2 =
∫
f(u;ν)du=1-F(χ 2min ;ν)
(2.93)
χ 2min
ifadesi ile verilir. Burada F(χ 2min ;ν) , ν serbestlik dereceli kümülatif χ 2 dağılımıdır.
χ 2min ’ nin küçük olması büyük Pχ 2 ’ ye, yani iyi fite karşı gelirken, büyük χ 2min değeri
küçük Pχ 2 ’ ye, yani kötü fite karşı gelir.
Eğer minimum χ 2 değeri kabul edilebilir ise o zaman parametre uzayındaki izinli
bölgeleri elde etmek için χ 2 ’ nin minimum değeri civarındaki şekline bakılır. Standart
en küçük kareler yöntemine göre % 100β CL izinli bölgeleri
χ 2 ≤ χ 2min + Δχ 2 (β)
(2.94)
koşulu ile verilir. Burada β güven seviyesidir (CL) ve Δχ 2 (β) , χ 2 değeridir; öyle ki, iki
serbestlik derecesi için kümülatif χ 2 dağılımı β’ ya eşittir. İki serbestlik derecesi için
Δχ 2 (β) değerleri, değişik güven seviyeleri için
Δχ 2 (β) = 4.61
= 5.99
= 9.21
= 11.83
β= 0.90 (1.64σ)
= 0.95 (1.96σ)
= 0.99 (2.57σ)
= 0.9973 (3σ)
olarak bilinir.
75
3. MATERYAL ve YÖNTEM
3.1. İstatistiksel analiz ve nötrino deneyleri
Güneş nötrino verilerince izinli Δm2, tan2θ nötrino osilasyon parametrelerinin
değerlerini bulmada geleneksel yol, genellikle “χ2 fit” olarak adlandırılır. Bu yöntemde
Δm2, tan2θ parametrelerinin Δm 2 , tan 2 θ izinli değerlerini belirlemek için (Yilmaz ve
Yilmazer 2005)
Nden
χ = ∑ (R i1 (teo) -R i1 (den) )(V -1 )i1i2 (R i2 (teo) -R i2 (den) )
2
(3.1)
i1 ,i 2
χ2 fonksiyonu minimize edilir. V deneysel ve teorik belirsizliklerin kovaryans
matrisidir. Ri(den) i. Deneyden ölçülmüş olay oranlarıdır. Ri(teo) ise teorik olay oranlarına
karşı gelir (Δm2, tan2θ’ ya bağlıdır). İndisler Güneş nötrino deneylerini belirtir: i, i1, i2 =
1,…, Nden (Nden=4). Kovaryans matris deneysel ve teorik kısımlardan oluşur:
Vi1i2 = Vi1i2 (deney)+Vi1i2 (teorik)
Vi1i2 (den)=δi1 ,i2 σiden
σiden
1
2
(3.2)
burada σiden i. Deneye ait kesinsizliklerdir. Kovaryans matrisin teorik kısmı ise,
8
(teo)
Vi1 ,i2 (teo)=δi1 ,i2 ∑ R (teo)
+
j1i1 ΔlnC j1i1
j1 =1
2
2
8
12
R (teo)
R (teo)
α j k α j k (ΔlnX k )2
∑
∑
ji
ji
j ,j =1
k=1
2
11
2
2 2
1
2
(3.3)
1 2
şeklindedir. Buradaki indislerden j,j1,j2 = 1,2,...,8, sekiz Güneş termonükleer
reaksiyonunda üretilen Güneş nötrino akılarını belirtir (pp, pep, Hep, 7Be, 8B, N, O, F).
k indisi ise (k=1, 2, …, 12) ΦSSM
SGM(Standart Güneş Model) nötrino akılarının da
j
bağlı olduğu SGM’ deki 12 astrofiziksel parametre girdisidir. Logaritmik türevler
76
α jk =
∂ lnΦSSM
j
(3.4)
∂ lnX k
olarak bilinir ve ΦSSM
nötrino akılarının kesinsizliklerini belirlerler. ΔlnX k ve
j
Δln C(teo)
sırasıyla 1σ SGM giriş parametrelerinin ve enerji-ortalamalı tesir kesitinin
ji
( C(teo)
ji ) göreli kesinsizlikleridir.
Radyo-kimyasal deneyler, klor ve galyum deneyleri, için teorik olay oranları
R ij(teo) = ∫ dEφ j (E)σi (E)Pij (ν e → ν e ,E)
(3.5)
ifadesi ile bulunur. Öyle ki
8
R i(teo) = ∑ R ij(teo)
(3.6)
j=1
şeklindedir. Burada φ j (E) , j. Reaksiyondan gelen E enerjisindeki akıdır ve σi (E) de i.
dedektör için tesir kesitidir.
Güneş nötrinoları SK deneyinde
ν x +e → ν x +e
x=e,μ, τ
nötrino-elektron saçılma (ES) reaksiyonundan gelen Cherenkov ışığı yoluyla
gözlenirler.
SNO ağır su-Cherenkov dedektörü olduğu için, ES’ ye ek olarak Güneş nötrinolarını,
yüklü-akım (CC) ve yüksüz-akım (NC)
ν e +d → p+p + e
(CC)
ν x +d → n + p + e
(NC)
77
yoluyla gözler. Cherenkov ışığı ES’ den ve CC reaksiyonlarından geri tepen elektronlar
tarafından üretilir.
SK ve SNO deneylerinin yüksek eşik enerjiye (Teşik>5MeV) sahip olmalarından,
yalnızca 8B ve hep nötrinolarına duyarlıdırlar. Hep nötrinolarının akısının az oluşundan
toplam oranlara katkısı tamamen ihmal edilebilir.
SK ve SNO için, ES’ den gelen teorik olay oranları
R ES = ∫ dEφ j (E){σiν (E)P(ν e → ν e ,E,t)+σiν (E)[1-P(ν e → ν e ,E,t)]}
e
x
(3.7)
ifadesi ile bulunur. Burada tesir kesiti,
σ
i
ν e (ν x )
(E) =
Tmak
∫
Tmin
d 2σ
dT
dTdE
(3.8)
şeklindedir ve T geri tepen elektronun kinetik enerjisidir. Tmin=Eeşik-me ( Eeşik=5.5 MeV)
ve Tmak=2E/(2E+me), sırasıyla, geri tepen elektronun minimum ve maksimum kinetik
enerjisidir. (νe – e) ve (νx – e) saçılmaları için tesir kesiti
d 2σ
=σ e [g 2L +g R2 (1-T/E) 2 -g L g R (T/E 2 )]
dTdE
1
g L =(± +sin 2θ W )
2
(3.9)
g R =sin 2θ W
olarak verilir. g L ifadesindeki “+” işareti (νe – e) saçılması için ve “-” işareti (νx – e)
saçılması içindir; x, μ veya τ olabilir. Tesir kesiti faktörü ise
σe =
2G 2F me2
=88.083×10-46cm -2
4
πh
şeklindedir.
78
SNO için ES’ ye ek olarak, CC ve NC reaksiyonlarından olay oranları
R CC = ∫ dEφ j (E)σiCC (E)P( ν e → ν e ,E,t )
(3.10)
R NC = ∫ dEφ j (E)σiNC (E)
(3.11)
ifadeleri ile verilir ve SNO için toplam olay oranı
R SNO =R ES +R CC +R NC
ile bulunur.
Global analiz yapmak için χ 2KamLAND ’ in hesaplanmasi gerekir:
2
χ gl2 =χ 2 +χ KamLAND
(3.12)
KamLAND deneyi, nükleer reaktörlerden yayımlanan karşı-nötrinoları
p+ν e → n+e+
reaksiyonu yoluyla gözler. Karşı-nötrinoların enerji spektrumu
dN νj e
∝ exp(a 0 +a1E+a 2 E 2 )
dE
ifadesi ile verilir. Burada j=1,2,3,4 sırasıyla
235
U,
239
(3.13)
P,
238
U,
241
Pu izotoplarına karşı
gelirken, ak (k=0, 1, 2)değerleri, reaktör nötrino spektrumu için fit edilen
parametrelerdir (Bandyopadhyay et al. 2003).
İki çeşnili nötrino durumu için, j. reaktörden gelen electron karşı-nötrinosunun hayatta
kalma olasılığı
79
1.27Δm 2 (eV 2 )d j (km)
)
P(ν e → ν e )=1-sin 2θsin (
E(GeV)
2
2
(3.14)
ifadesi ile bulunur. dj, reaktör-dedektör mesafesidir. KamLAND deneyinde her bir
enerji aralığındaki beklenen olayların sayısı
Niteo (t,E,Δm 2 ,sin 2 2θ)=ηN p ∫ dE V ∫ dE e R(E V ,E e )∑
j
Sj
σ(E ν )P(ν e → ν e ,E ν )
4πd 2j
(3.15)
ile bulunur. Burada Np dedektörün iç hacminde bulunan serbest protonların sayısıdır. Sj
her bir reaktörün izotropik kompozisyonu ve ısısal gücü kullanılarak hesaplanan j
reaktörünün başlangıç enerji spektrumudur. σ(E ν ) ise
σ(E ν )=
2π 2
pE
me2fτ n e e
(3.16)
ile verilen en düşük tesir kesitidir. f=1.69’ dur ve nötron için integre edilmiş Fermi
fonksiyonu olarak bilinir. me, positron enerjisi, τ n , nötron’un yaşam ömrü, pe ve Ee ise
sırasıyla pozitron momentumu ve enerjisidir. Öyle ki toplam positron enerjisi ile gelen
karşı-nötrino enerjisi arasındaki ilişki
Ee=Eν-1.293 MeV
şeklindedir. (3.15) eşitliğindeki R(E V ,E e ) , görülebilir enerjiye ( E V =Ee+me) ve
pozitron enerjisine
R(E V ,E e )=
E -E +m
1
exp(- V e 2 e )
2σ 0
2πσ02
ifadesi ile bağlı, çözünürlük fonksiyonudur ve σ 0 = %6.2 E ’ dir.
80
(3.17)
KamLAND verileri 2.6 MeV’ lik eşik enerjisinin üzerinde 13 enerji aralığında (bin)
yayınlandı (Araki et al. 2004). KamLAND spectrum verileri istatistik için oldukça az
olduğundan spektral olaylar için Poisson dağılımı gözönüne alınır. KamLAND için χ 2
hesabında
χ 2Kml_sp = ∑ [2(κNiteo -Niden )+2Niden ln(
i
Niden
(κ-1)2
)]+
2
κNiteo
σsys
(3.18)
ifadesi kullanılır. Burada toplam KamLAND spektral enerji aralıkları üzerinden alınır.
2
σsys
, sistematik kesinsizliklerdir ve % 6.5 alınabilir. κ ise serbestçe seçilebilen
normalizasyon parametresidir.
81
4. ARAŞTIRMA BULGULARI
Bu çalışmada yapılan hesaplamalarda, Wood-Saxon ve Gauss tipindeki manyetik alan
şekillerinin her ikisi için de Güneş’ in dışında sonlandığı varsayılır. Nötrino
spektrumları Bahcall ve grubunun standart Güneş modelinden alınmıştır. İzinli bölgeler
% 95 Cl güven seviyesinde hesaplanmıştır (Yilmaz ve Yilmazer 2005).
10
Cl Rate
Ga Rate
SK
SNO
-4
10
-5
2
2
Δm (eV )
10
-3
10
-6
10
-7
10
-3
-8
μB=0
-7
10
μB=2x10 μΒG
-5
2
2
Δm (eV )
10
-4
10
10
-7
10
-8
-3
10
-4
10
-5
2
2
Δm (eV )
-6
10
10
-7
10
-8
-3
10
-7
μB=5x10 μΒG
-4
10
-5
2
2
Δm (eV )
-6
10
-6
10
-7
10
-8
-7
μB=10x10 μΒG
10
-4
10
-3
10
-2
2
tan (θ)
10
-1
10
0
10
-3
10
-2
10
-1
10
2
0
10
-3
10
-2
2
tan (θ)
tan (θ)
10
-1
10
0
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
2
tan (θ)
Şekil 4.1. Dört farklı µB değerinde (µB=0, 2, 5 ,10 × 10-7) ve %95 CL güven
seviyesinde herbir Güneş nötrino deneyi için nötrino parametre uzayının
izinli bölgeleri
82
İlk önce yalnızca Güneş nötrino verileri gözönüne alındı. Kullanılan istatistiksel
analizde, kovaryans yaklaşım kullanıldı. Wood-Saxon manyetik alan şekli kullanılarak
dört farklı µB değerinde herbir Güneş nötrino deneyi için nötrino parametre uzayının
izinli bölgeleri ayrı ayrı bulundu (Şekil 4.1). Şekil 4.1’ de her bir sütün ve satır sırasıyla
aynı deney için ve aynı µB değeri içindir. Örneğin üçüncü sütundaki ikinci satırda SK
deneyi için µB=2x10-7µBG’ deki izinli bölge görülür.
Şekil 4.2’ de, Şekil 4.1’ deki aynı µB değerlerinde birleştirilmiş (combined) Güneş
nötrino deneylerinin izinli bölgeleri gösterilmiştir.
2x2 Solar
-3
10
-4
-5
10
2
2
Δm (eV )
10
-6
10
-7
10
μB=0
-7
μB=2x10 μΒG
-8
-3
10
-4
-5
10
2
2
Δm (eV )
10
-6
10
-7
10
-7
-7
μB=5x10 μΒG
μB=10x10 μΒG
-8
10
-4
10
-3
10
-2
-1
0
10
10
2
tan (θ)
10
-3
10
-2
-1
10
10
2
tan (θ)
0
10
Şekil 4.2. Şekil 4.1’ deki aynı µB değerlerinde birleştirilmiş (combined) Güneş nötrino
deneylerinin izinli bölgeleri. “*”’ lar yerel en iyi fit noktasını belirtir.
83
KamLAND Spectrum 766 Ty Data
-3
10
90 % CL
95 % CL
99 % CL
99.73 % CL
-4
2
2
Δm (eV )
10
-5
10
-6
10 0
0.2
0.4
2
0.6
0.8
1
tan (θ)
Şekil 4.3. KamLAND spektrum verileri için farklı güven seviyelerindeki izinli
bölgeler. “*” en iyi fit noktasını belirtir.
Birleştirilmiş Güneş nötrino verilerinin farklı µB değerlerinde incelemerinden sonra,
KamLAND verileri için farklı güven seviyelerindeki izinli bölgeler Şekil 4.3’ te
verilmiştir. Güneş nötrino verilerini ve KamLAND verilerini birleştirerek elde edilen
global analiz, dokuz farklı µB değeri (0, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 4, 5, 10x10-7 µBG) için, Şekil
4.4’ te verilir. Bu şekilde, sonuçlarımız gösterdi ki, µB değeri artarken, LMA’ daki
izinli bölgeler SMA bölgesine kaymıştır. Bu kayma, en son deneysel veriler LMA
bölgesini belirttikleri için, µB değerine bir üst sınır koymamızı sağlar.
84
2x2 Solar & KamLAND 766 Ty Data
10
-4
2
2
Δm (eV )
10
-3
10
-5
μB=0
10
-7
μB=1.5x10 μΒG
-3
-4
2
2
Δm (eV )
10
-7
μB=1x10 μΒG
10
-5
-7
μB=2.5x10 μΒG
-7
-7
μB=5x10 μΒG
μB=2x10 μΒG
10
-3
-4
2
2
Δm (eV )
10
-7
μB=3x10 μΒG
10
-5
-7
μB=4x10 μΒG
10
-7
μB=10x10 μΒG
-6
10
-4
10
-3
10
-2
2
tan (θ)
10
-1
10
-4
10
-3
10
-2
2
tan (θ)
10
-1
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
2
tan (θ)
Şekil 4.4. Güneş nötrino verileri ve KamLAND verilerinin birleştirilmesinden
oluşturulan global analizden, %95 CL’ de, dokuz farklı µB değeri
(0, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 4, 5, 10x10-7 µBG) için elde edilen izinli bölgeler.
“*” en iyi fit noktasını belirtir.
85
0
Çizelge 4.1. Her iki manyetik alan şekli için en iyi fit noktaları.
μB(×10-7μ BG)
Δm 2 (eV) 2
tan 2θ
(χ 2min ) Wood-Saxon
(χ 2min )Gausyen
0
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
5
10
8.7 × 10-5
8.7 × 10-5
1.77 × 10-4
1.77 × 10-4
1.77 × 10-4
1.77 × 10-4
1.77 × 10-4
1.77 × 10-4
1.53 × 10-4
1.53 × 10-4
0.26
0.33
0.20
0.16
0.13
0.095
0.095
0.057
0.022
0.012
26.38
35.4
38.6
41.13
43.81
42.47
42.59
49.39
53.78
55.5
26.38
35.64
38.8
41.16
44.02
42.92
42.45
49.73
54.13
55.85
Daha sonra aynı global analiz, izinli bölgelerin ve minimum χ2 değerlerinin Güneş’ teki
manyetik alan şekillerine nasıl bağlı olduğunu anlamak için, Gauss tipindeki manyetik
şekil için de hesaplandı. Her iki manyetik alan şekli için global analiz sonuçları Çizelge
4.1’ de verilmiştir. Çizelge 4.1’ den de görüldüğü gibi iki manyetik alan şeklinin izinli
bölgeler ve minimum χ2 değerleri üzerine etkisi arasında kayda değer bir fark yoktur.
Son olarak Şekil 4.5’ te her iki manyetik alan şekli için µB değeri üzerine bir sınır
koymak için global Δχ2 fonksiyonunun µB üzerindeki izdüşümü gösterilmektedir. Bu
şekilde, Δχ2 -µB grafiği iki manyetik alan şekli için neredeyse aynı olduğu için genel bir
sınır bulundu: 1σ, 2σ, 3σ sınırı için sırasıyla µB<0.2x10-7 µBG, 0.5x10-7 µBG, 1.0x10-7
µBG.
86
30
Gaussian Shape
Wood-Saxon Shape
25
Δχ
2
20
15
10
3σ
5
2σ
1σ
0
0
2
4
6
-7
μB(MeV)x10
Şekil 4.5. Δχ2 fonksiyonunun µB üzerindeki izdüşümü.
87
8
10
5. TARTIŞMA ve SONUÇ
Literatürde nötrinonun elektromanyetik özellikleri ile ilgili yoğun çalışmalar vardır.
Nötrinolar kütleli olarak bilindikleri için, Standart Modelde ve biraz genişletilmiş
halinde bile çok küçük de olsa bir manyetik momente sahip olabilirler. Astrofiziksel
incelemelerden nötrinoların manyetik momenti üzerine güçlü sınırlamalar gelir
( µν <10-12 µB ); bununla birlikte bu sınırlar model bağımlıdır. Aynı zamanda reaktör
deneyleri de daha az kısıtlayıcı sınırlar koyar: µν<10-12 µB. Süper Kamiokande
deneyinin bir analizinden de benzer bir sınırlama gelir: µν<1.5x10-10 µB.
Güneşteki manyetik alana gelince, varolan gözlemlerden çekirdek bölgesindeki üst limit
genellikle 107G olarak alınırken konvektif bölgenin alt kısmında 3x107G olarak alınır.
Yukardaki kısıtlamalardan, µB değeri üzerine bizim analizimiz µν’ nün ve BGüneş’ in
verilen değerleri ile uyum içerisindedir (Yilmaz ve Yilmazer 2005).
88
KAYNAKLAR
Abdurashitov, J. N. (Ed.) ( SAGE Collaboration). 2002. J. Exp. Theor. Phys., 95; 181.
Ahmad, Q. R. (Ed.) 2002. Direct evidence for neutrino flavor transformation from
neutral-current interactions in the SNO. Nucl-ex/0204008.
Ahmad, Q. R. (Ed.) 2002. Measurement of day night neutrino energy spectra at SNO
and constraints on neutrino mixing parameters. Nucl-ex/0204009.
Ahmad, Q. R. (Ed.) 2002. Phys. Rev. Letters, 87(7);71301.
Akhmedov, E. K. and Pulido, J. 2000. RSFP and solar neutrinos. Astropar. Phys.,13;
227.
Akhmedov, E. K. and Pulido, J. 2000. SNO and the neutrino magnetic moment solution
of the solar neutrino problem. hep-ph/0005173.
Akhmedov, E. K. and Pulido, J. 2002. Solar neutrino oscillations and bounds on
neutrino magnetic moment and solar magnetic field. hep-ph/0209192.
Akhmedov, E. K. and Pulido, J. 2002.Distinguishing magnetic moment from oscillation
solution of the solar neutrino problem with Borexino. hep-ph/0201089.
Akhmedov, E. K.1992. RSFP of neutrinos as a possible solution to the SNP. Hepph/9205244.
Akhmedov, E.K. 1988. Resonant amplification of neutrino spin rotation in matter and
solar-neutrino problem. Phys. Letters B, 213(1); 64.
Akhmedov, E.K. 2000. Neutrino Physics. hep-ph/0001264.
Aliani, P., Antonelli, V., Ferrari, R., Picariello, M. and Torrente-Lujan, E. 2002.
Determination of neutrino mixing parameters after SNO oscillation evidence.
hep-ph/0205053.
Aliani, P., Antonelli, V., Ferrari, R., Picariello, M. and Torrente-Lujan, E. 2002.
KamLAND, solar antineutrinos and their magnetic moment. hep-ph/0208089.
Aliani, P., Antonelli, V., Ferrari, R., Picariello and M., Torrente-Lujan, E. 2004.
Analysis of neutrino oscillation data with the recent KamLAND results.
hep-ph/0406182.
Altmann, M., et al. ( GNO Collaboration). 2000. Phys. Lett. B, 490; 16.
Araki, T. (Ed.) 2004. Measurement of neutrino oscillation with KamLAND: evidence
of spectral distortion. hep-ex/0406035.
Bahcall, J. N. 1989. Neutrino Astrophysics. Cambridge University Press, 566, USA.
Bahcall, J. N., Gonzalez-Garcia, M.C. and Pena-Garay, C. 2001. Global analysis of
solar neutrino oscillations including SNO CC measurement. hep-ph/0106258.
Bahcall, J. N., Gonzalez-Garcia, M.C. and Pena-Garay, C. 2002. Robust signatures of
solar neutrino oscillation solutions. JHEP042002007.
Bahcall, J. N., Krastev, P. I. and Smirnov A. Yu. 2000. SNO: predictions for ten
measurable quantities. Phys. Rev. D, 62; 93004.
Bahcall, J. N. and Lisi, E.1996. Test of electron flavor conservation with the SNO.
hep-ph/9607433.
Bahcall, J. N., Pinsonneault, M. H. and Basu, S. 2001. Solar models: current epoch and
time dependences, neutrinos, and helioseismological properties.
hep-ph/0010346.
Balantekin, A. B. 1996. MSW effect in a fluctuating matter density. Phys. Rev. D
54(6); 3941.
89
Balantekin, A. B. 1999. Neutrino propagation in matter. Physics Rep. 315; 123.
Balantekin, A. B., Fricke, S. H. and Hatchell, P. J. 1988. Analytical and semiclassical
aspects of matter-enhanced neutrino oscillations. Phys. Rev. D 38; 935.
Balantekin, A. B., Hatchell, P. J. and Loreti, F. 1990.Matter-enhanced spin-flavor
precession of solar neutrinos with transition mag. Mom. Phys.
Rev.D 41; 3583.
Balantekin, A. B. and Loreti, F. 1994. Neutrino oscillations in noisy media.
Phys. Rev. D 50; 4762.
Balantekin, A. B. and Yüksel, H. 2003. Global analysis of solar neutrino and
KamLAND data. J. Phs. G, 29; 665.
Bandyopadhyay, A., Choubey, S., Goswami, S., Gandhi, R. and Roy, D.P. 2003.
Testing the solar LMA region with KamLAND data. J. Phys. G, 29; 2465.
Bandyopadhyay, A., Choubey, S., Goswami, S. and Petcov, S. T. 2003. On the
measurement of solar neutrino oscillation parameters with KamLAND.
hep-ph/0309236.
Bandyopadhyay, A., Choubey, S., Goswami, S., Petcov, S. T. and Roy, D. P. 2004.
Update of the solar neutrino oscillation analysis with the 766 Ty KamLAND
spectrum. hep-ph/0406328.
Barbieri, R. and Fiorentini, G.1998. Nucl. Phys. B,304; 909.
Bethe, H. A. 1986. Possible explanation of the solar-neutrino puzzle.
Phys. Rev. Letters, 56(12); 1305.
Bethe, H. A. 1989. Solar neutrino experiments. Phys. Rev. Letters, 63(8); 837.
Bilenky, S. M. and Pontecorvo, B. 1977. Lepton Mixing and neutrino oscillations.
Phys. Rep. 41;225
Bykov, A. A., Popov, V. Yu., Rashba, T. I. and Semikoz, V. B.2000. RSFP solution to
the Solar neutrino problem and electron antineutrinos from the sun.
hep-ph/0002174.
Chauhan, C. B. 2002. Solar magnetic field profile: a natural consequence of RSFP
scenario. hep-ph/0204160.
Chauhan, C. B. and Pulido, J. 2002. RSFP of solar neutrinos after SNO NC data.
hep-ph/0206193.
Chauhan, C. B.,Pulido, J. 2004. LMA and sterile neutrinos: a case for resonance spin
flavour precession?. JHEP062004008.
Chauhan, C. B.,Pulido, J. and Torente-Lujan, E. 2003. KamLAND, solar antineutrinos
and the solar magnetic field. hep-ph/0304297.
Chauhan, C.B. 2002. Solar magnetic field profile: a natural consequence of RSFP
scenenario. hep-ph/0204160.
Cousins, R. D. and Baker, S. 1983. Clarification of the use of chi-square and likelihood
functions in fits to histograms. UCLA-HEP-83-3.
Daraktchieva, Z. (Ed.) 2003. Limits on the neutrino magnetic moment from the
MUNU experiment. hep-ex/0304011.
Davis, R. (Ed.) 1998. Measurement of the solar electron neutrino flux with the
Homestake chlorine experiment. The Astrophysical Journal, 496; 505.
Davis, R. and Hoffmann, K. C. 1968. Phys. Rev. Lett., 20,1205.
De Holanda, P. C. and Smirnov, A. Yu. 2002. Solar neutrinos: global analysis with day
and night spectra from SNO. Phys. Rev. D, 66; 113005.
90
Derkaoui, J. and Tayalati, Y. 2001. On the resonant spin flavor precession in the sun.
Astropar. Phys. 14; 351.
Eguchi, K. (Ed.) 2002. First result from KamLAND. hep-ex/0212021.
Feldman, J. G., Cousins, R. D., 1998. Unified approach to the classical statistical
analysis of small signals. Phys. Rev. D 57; 3873.
Fogli, G. L. and Lisi, E. 1995. SSM uncertainties and their correlations in the analysis
of the SNP. Astropar. Phys. 3, 185..
Fogli, G. L., Lisi, E., Marrone, A., Montanino, D., Palazzo,A. 2002.getting the most
from the statistical analysis of solar neutrino oscillations. hep-ph/0206162.
Fogli, G. L., Lisi, E. and Montanino, D. 1996. Matter-enhanced three-flavor
oscillations of the solar neutrino problem. hep-ph/9605273.
Fogli, G. L., Lisi, E., Montanino, D. and Palazzo,A. 1999. Three-flavor MSW
solutions of the solar neutrino problem. hep-ph/9912231.
Fogli, G. L., Lisi, E., Montanino, D. and Palazzo,A. 2001. Model dependent and
independent implications of the first SNO results. hep-ph/0106247.
Fogli, G. L., Lisi, E., Palazzo, A. and Villante, F.L. 2001. Solar neutrino event spectra:
Tuning SNO to equalize SK. Rev. D, 63; 113016.
Friedland, A., Gruzinov, A. 2002. A new solution to the solar neutrino deficit.
hep-ph/0202095.
Frodesen A. G., Skjeggestad O. and Tofte H. 1976. Probability and Statistics in Particle
Physics. Columbia University Press, 501, USA.
Fukuda, S. (Ed.) 2002. Determination of solar neutrino oscillation parameters using
1496 days of SK-I data. Hep-ex/0205075.
Fukuda, Y. (Ed.) 1998. Measurements of the solar neutrino flux from SK’ s first 300
days. Phys. Rev. Letters. 81(6); 1158.
Fukuda, Y. (Ed.) 1999. Contraints on neutrino oscillation parameters from the measur.
of day-night neutrino fluxes at SK. Phys. Rev. Letters. 82(9); 1810.
Fukuda, Y. (Ed.) 1999. Measurements of the solar neutrino energy spectrum using
neutrino-electron scattering. Phys. Rev. Letters. 82(12); 2430.
Garzelli, M. V. and Giunti, C. 2001. Bayesian view of solar neutrino oscillations.
hep-ph/0108191.
Garzelli, M. V. and Giunti. C. 2000. A frequentist analysis of solar neutrino data.
hep-ph/0007155.
Garzelli, M. V. and Giunti. C. 2000. Statistical treatment of detection cross-section
uncertainties in the analysis of solar neutrino data. hep-ph/0006026.
Grimus, W. 2003. Neutrino physics-theory. hep-ph/0307149.
Hampel, W. (Ed.) (GALLEX Collaboration), 1999. Phys. Lett. B, 447; 127.
Hata, N. and Langacker, P. 1994. Solar model uncertainties, MSW analysis, and future
solar neutrino experiments. Phys. Rev. D, 50(2);632.
Hudson Derek J. 1963. Lectures on Elementary Statistics and Probability. CERN
Libraries, 101. GENEVA.
Joshipura, S. A. and Mohanty, S. 2002. Bounds on neutrino magnetic moment tensor
from solar neutrinos. hep-ph/0204305
Kayser, B., Gibrat-Debu, F. and Perrier, F. 1989. The Physics of Massive Neutrinos.
World Scientific, 117, Singapore.
Kim, C. W. and Pevsner A. 1993. Neutrinos in Physics and Astrophysics. Harwood
Academic Publisher, 428, USA.
91
Lee, T.D. and Yang, C.N. 1957. Parity Nonconservation and a Two-Component Theory
of the Neutrino. Phys. Rev. 105 5; 1671.
Li, H. B. (Ed.) 2003. Limit on the electron neutrino magnetic moment from the KuoSheng reactor neutrino experiment. Phys. Rev. Letters, 90; 131802.
Lim, C. and Marciano, J. W. 1988. RSFP of solar and supernova neutrinos.
Phys. Rev. D, 37(6); 1368.
Liu, J. 1987. Magnetic moment of Dirac neutrinos. Phys. Rev. D, 35(11); 3447.
Masood, S. S. 2001. Magnetic moment of neutrino in statistical background.
hep-ph/0109042.
McDonald, A.B. 2001. First neutrino observs. from the SNO. Nucl. Phys. B, 91; 28.
Mikheyev, S. P. and Smirnov, A. Yu. 1986. Yad. Fiz., 42; 1441.
Minakata, H. and Nunokawa, H. 1989. Phys. Rev. Lett., 63;121
Murayama, H. and Pierce, A. 2000. Energy spectra of reactor neutrinos at KamLAND.
hep-ph/0012075.
Nakamura, S., Sato, T., Gudkov, V. and Kubodera, K. 2001. Neutrino reactions on the
deuteron. Phys. Rev. C, 63; 34617.
Peccei, R. D. 1999. Neutrino Physics. hep-ph/9906509.
Pulido, J. 2000. Neutrino magnetic moment solution for the solar neutrino problem and
the SNO experiment. hep-ph/0012059.
Pulido, J. 2001. Global analysis of solar neutrinos with magnetic moment and solar
field profiles. hep-ph/0106201.
Pulido, J. 2002. Solar neutrinos with magnetic moment:rates and analysis.
hep-ph/011204.
Raghavan, R.S., Balantekin, A. B., Loreti, F., Batz, A. J., Pakvasa,S. and Pantaleone, J.
1991. Direct tests for solar-neutrino mass, mixing, and Majorana magnetic
moment. Phys. Rev. D 44;3786.
Roe Byron P. 2001. Probability and Statistics in Experimental Physics. SpringerVerlag, 252, USA.
Roe, P. B. and Woodroofe M. B. 2000. Setting confidence belts. hep-ex/0007048.
Schwetz, T. 2003. Variations on KamLAND: likelihood analysis and frequentist
confidence regions. hep-ph/0308003.
Suzuki, Y. 2001. Solar neutrino results from the SK. Nucl. Phys. B, 91; 29.
Vogel, P. and Beacom, F.1999. Angular distribution of neutron inverse beta decay.
Phys. Rev. D 60; 53003.
Vogel, P. and Beacom, F.1999. Neutrino magnetic moments, flavor mixing, and the SK
solar data. Phys. Rev. Letters, 83; 5222.
Vogel, P. and McKeown, R. D. 2004. Neutrino masses and oscillations: triumphs and
challenges. Phys. Rep. 394;315.
Voloshin, M. B. and Vysotskii, M. I. 1986. Yad. Fiz., 44; 845.
Voloshin, M. B. and Vysotskii, M. I., Okun, L. B., 1987. Sov. Phys. JETP, 64; 446.
Wolfenstein, L. 1978. Neutrino oscillations in matter. Phys. Rev. D, 17(9);2369.
Wu, C. S. (Ed.) 1957, Experimental Test of Parity Conservation in Beta Decay.
Phys. Rev. 105; 1413.
Yilmaz, D. and Yilmazer, A. U. 2005. Global analysis of the data from solar neutrinos
having transition magnetic moments together with KamLAND data.
J. Phys. G, 31;57.
92
EKLER
Ek 1. Helisite ve Ellilik Kavramları
Ek 2. Cherenkov Radyasyonu
93
EK 1
Ellilik ve helisite zaman zaman yanlışlıkla birbirlerinin yerine kullanılan ve dolayısıyla
karışıklığa yol açan iki farklı temel kavramdır.
Ellilik helisiteye aşikar olmayan bir şekilde bağlı iki-değerli bir niceliktir. Helisite ve
ellilik kütlesiz parçacıklar için özdeş, ışık hızına yakın hızlarda hareket eden kütleli
parçacıklar için ise hemen hemen özdeştir. Ellilik kavramı zayıf kuvvet ile etkileşen
parçacık durumlarını tanımlamada ve Dirac ve Majorana arasındaki temel farkları
açıklamada önemlidir.
Helisite, parçacığın spininin parçacığın hareketi doğrultusu boyunca izdüşümüdür.
Böyle iki durum vardır: spinin hareket doğrultusu boyunca oluşu (sağ-helisite) ve spinin
hareket doğrultusuna zıt oluşu (sol-helisite).
Bir parçacık belirli bir helisite durumunda üretilebilir ve açısal momentum korunumlu
olduğundan bu durum doğrudan ölçülebilir. Kütleli parçacıklar için helisite göreli bir
nicelik değildir. Eğer nötrinolar kütleli ise helisiteleri gözlem çerçevesine göre
değişebilir. Sol-helisiteli kütleli bir nötrino, ışık hızına yakın bir hızla hareket eden bir
gözlem çerçevesinden bakıldığında sağ-helisiteli görünür.
Aksine, ellilik parçacık spin durumları için göreli bir niceliktir. Spin-1/2 parçacıkları
için iki tane ellilik durumu vardır: sol-elli ve sağ-elli. Lepton sayısı ve elektrik yükü
gibi parçacığın elliliği bakılan gözlem çerçevesinden bağımsızdır. Ayrıca, bir parçacık
kütleli ya da kütlesiz olsun sol-elli ve sağ-elli iki bağımsız bileşene ayrılabilir ve bu
gözlem çerçevesi ile değişmez.
Ellilik serbest bir parçacık için bir hareket sabiti olmadığından uzay boyunca hareket
eden bir spin-1/2 parçacık, helisitesini değiştirmeksizin elliliğini değiştirebilir,
dolayısıyla ellilik doğrudan ölçülebilir değildir.
94
EK 1 (Devam)
Ellilik nötrino kütlesini tartışmak için de önemli bir kavramdır. Bilindiği gibi spin-1/2
parçacıklarına sıfırdan farklı bir kütle veren herhangi bir etkileşme ya da mekanizma
farklı elli parçacıkları birleştirmelidir. Yani etkileşme belli bir elli parçacığı yok edip zıt
elli parçacığı yaratmalıdır. Böylece kütleli bir parçacık uzayda hareket ederken sol-elli
ve sağ-elli durumlar arasında geçiş yapabilir. Halbuki kütlesiz bir parçacık böyle bir
dönüşüme uğramadan helisite ve elliliğini koruyarak hareket eder.
Ellilik ve helisite arasındaki ilişkiyi matematiksel olarak ifade etmek için elektronun
sol-elli ve sağ-elli durumları ile e λ helisite durumları arasındaki bağıntı aşağıdaki gibi
yazılabilir:
m
e
E 1/2
m
e
−
E -1/2
eL ∝ e-1/2 +
eR ∝ e1/2
vv v
Burada m, parçacığın kütlesi, E enerjisi ve λ=s.p / p de helisitesidir. (λ=1/2 sağ-
helisiteli, λ=-1/2 sol-helisteli). Bu bağıntılar parçacık kütlesizse helisite ve elliğin aynı
olduğunu gösterir. Eğer sol-elli bir parçacık göreli ise yani ışık hızına yakın hızda
hareket ediyorsa ( m
E ) çoğunlukla sol-helisiteli bir durumda bulunur, benzer olarak
göreli hızlarda hareket eden bir sağ elli parçacık da çoğunlukla sağ-helisiteli bir
durumdadır. Helisite ve ellilik farklı özelliklerine sahip olmasına rağmen birbiri ile bu
şekilde yakından ilgilidir.
Şekil 1.a’ da (EK 1) Standart Model’ deki elektron ve kütlesiz elektron nötrinosu için
helisite ve ellilik durumları, Şekil 1.b’ de (EK 1) ise kütleli Dirac ve Majorana nötrinosu
için helisite ve ellilik durumları gösterilmektedir.
95
Şekil 1. a) Standart Model’ deki elektron ve kütlesiz elektron nötrinosu için helisite
ve ellilik durumları
Şekil 1. b) Kütleli Dirac ve Majorana nötrinosu için helisite ve ellilik durumları
96
EK 2
Cherenkov ışınımı, ışığın sudaki hızından fazla hızlarda suya giren parçacıklar
tarafından oluşturulur. Parçacıklar, ışığın yerel hızına doğru yavaşlarken, mavi renkli
bir ışık konisi oluşturur. Bu tıpkı bir botun suda giderken arkasında bıraktığı yay
şeklindeki dalgalar gibidir.
Cherenkov ışınımının en önemli uygulamalarından birisi nötrinoların gözlenmesinde ve
farklı tipteki nötrinoların ayırd edilmesinde kullanılmasıdır. Örneğin SK deneyinde
Cherenkov ışığını gözlemek için 11000 foto-çoğaltıcı tüp kullanılır. Yine SNO
deneyinde de aynı amaç için yaklaşık 10000 foto-çoğaltıcı tüp vardır.
Bir enerjik muon yavaşlarken bozulmadan kalır ve muonun Cherenkov konisi dedektör
üzerinde çok belirgin dairesel halka şeklinde bir iz bırakır (Şekil 1.a. (EK 2)). Bunun
yanısıra, yüksek enerjili bir elektron, yavaşlarken elektron duşu oluşturacağından ve
herbirinin ayrı Cherenkov konisi olacağından, dedektör üzerinde birbirine geçmiş
halkalar gözükür (Şekil 1.b. (EK 2)).
Şekil 1. (a) muon nötrinosu tarafından üretilen (b) elektron duşunun ürettiği
Cherenkov ışınımları
97
ÖZGEÇMİŞ
1975 Yılında Erbaa’ da doğdu. İlk, orta ve lise öğrenimini Erbaa’ da tamamladı. 1991
yılında girdiği Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Fizik Mühendisliği Bölümünden 1995
yılında mezun oldu. 1996 yılında A.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Mühendisliği
Anabilim Dalında Yüksek Lisans programına kaydoldu ve 1997 yılında A.Ü.F.F. Fizik
Mühendisliği Bölümüne Araştırma Görevlisi olarak girdi. 1999 yılında Yüksek Lisans
Programını tamamladı. Aynı yıl aynı anabilim dalında Doktora Programına başladı.
Mart 2002- Ocak 2003 tarihleri arasında bir yıl TÜBİTAK Bütünleştirilmiş Doktora
Programı çerçevesinde ABD’ deki Wisconsin Üniversitesinde misafir araştırmacı olarak
bulundu.
Halen Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Fizik Mühendisliği Bölümünde
Araştırma Görevlisi olarak görev yapmaktadır.
98