1.2 Stone-Cech Kompaktlama

6
1. Stone Cech Kompaktlama
1.2
Stone-Cech Kompaktlama
Bu kısımda tümüyle düzenli X uzayının bir kompact K uzayın için Cb -embedded
olduğunu göstereceğiz. Yani şunu kanıtlıyacağız: X tümüyle düzenli uzaysa
öyle bir kompakt Hausdorff uzay K vardır ki, X uayı K uzayının yoğun altuzayına homeomorfik (altuzayı olarak varsayabiliriz!) ve her f ∈ Cb (X)’nin bir
genişlemesi f ∈ C(K) vardır. Bu durumda Cb (X) ve C(K) halkaları izomorfik
olacaklarından K uzayı homeomorfik olarak tektir. Bahsi geçen özellikteki K
uzayının inşasının çeşitli yolları vardır. Bu kısımda ”standard” olan inşasını
vereceğiz.
Tanım 1.2. X tümüyle düzenli uzay olarak,
Y
βX →
f (X), β(x) = (f (x))f ∈Cb (X)
f ∈Cb (X)
olmak üzere
βX = β(X)
olarak tanımlansın. βX uzayına X’nin Stone-Cech kompactlaması2 denir.
X’den β(X)’e tanımlı, x → β(x) fonksiyonunu da β ile göstermek karmaşa
yapmayacaktır. Ancak, uzayı vurgulama için β yerine βX yazma durumum
olabilir. Aşağıdaki theoremin ikl kısmı R’de sınırlı ve kapalı her kümenin kompakt olması ve Tychonoff teoreminin bir sonucudur. Ikinci kısmı ise, çarpım
uzaylarında projeksiyonların sürekli olmalarının bir sonucudur.
Teorem 1.4. X tümüyle düzenli uzay olsun.
(i) βX kompakt Hausdorff uzaydır.
(ii) β : X → β(X) bir homeomorfizmadır.
Aşağıdaki sonuş yukarıdaki teoremin direk bir sonucudur.
Sonuç 1.5. X Hausdorff uzay olsun. Aşağıdakiler denktir.
(i) X tümüyle düzenli.
(ii) X, bir kompakt Hausdorff uzayı K’nın yoğun altuzayına homeomorfiktir.
(iii) X, bir kompakt Hausdorff uzayı K’nın altuzayına homeomorfiktir.
Aşağıdaki teorem tümüyle düzenli X uzayından kompakt uzay K’ya tanımlı
sürekli her fonksiyonun sürekli olarak βX uzayına genişleyebileceğini söyler.
Aşağıdaki
teoremde X topolojik uzay ve f ∈ Cb (X) için If = f (X) yazarız.
Q
ve f ∈Cb (X) If , If ’lerin çarpım uzayını gösterecektir.
2
Bazı kitaplarda Stone Cech kompaktlama yerine Cech-Stone kompaktalama da denir.
1.2. Stone-Cech Kompaktlama
7
Teorem 1.6. X completely regular uzay ve K compact Hausdorff uzay olsun.
olarak tanımlansın. Her h ∈ Cb (X, K) için
h ◦ βX = h
özelliğinde h ∈ C(βX, K) vardır.
Kanıt: h ∈ C(X, K) verilsin.
Q
Q
H : f ∈Cb (X) f (X) → g∈C(K) g(K) = βK K, Pg H(ϕ) = Pg◦h (ϕ)
olarak tanımlansın. yani Pg ◦ H = Pg◦h . Projeksiyonlar sürekli olduğundan her
g ∈ C(K) için Pg ◦ H sürekli ve dolayısıyla Teorem ??? gereği H süreklidir.
Her x ∈ X için,
H(β(x)) = βK ((h(x)) ∈ βK (K),
yani
Q H(β(X)) ⊂ βK (K) dır. H sürekli, β(X) = βX ve βK (K) = βK K altuzayı
g∈C(K) g(K) çarpım uzayında kapalı olduğundan,
H(βX) ⊂ βK (K)
elde edilir.
i : βX →
Q
f ∈Cb (X) f (X),
i(x) = x
olmak üzere, βK ’nın K uzayından βK (K) altuzayına örten homeomorfizma
olduğundan
−1
h = βK
◦H ◦i
eşitliğiyle h : βX → K fonksiyonunu tanımlayabiliriz. h ∈ C(βX, K) olduğu
barizdir.
h = h ◦ βX
olduğu da barizdir. Kanıt tamamlanır.
X topolojik uzay olmak üzere her f ∈ Cb (X) için f (X) ⊂ R kümesi kompakt olduğundan yukarıdaki teoremin bir uygulaması olarak aşağıdaki teoremin kanıtı barizdir.
Teorem 1.7. X tümüyle düzenli uzay olsun.
π : C(βX) → Cb (β(X)), π(f ) = f |β(X)
olarak tanımlanan fonksiyon örten izomorfizmadır. β(X) ve X uzayları homeomorfik olduklarından Cb (X) ve C(βX) halkaları izomorfiktir.
8
1. Stone Cech Kompaktlama
K kompakt Hausdorff uzaysa βK ve K uzaylarının homeomorfik oldukları
barizdir. βN, βQ ve βR uzaylarının özellikleri ??? de verilecektir.
Alıştırmalar
1.3. X = (0, 1) olmak üzere βX ve [0, 1] uzayları homeomorfik midirler?
1.4. l∞ = {(xn ) : xn ∈ R}, noktasal çarpma ve toplama işlemleri altında bir halkadır. l∞ ve
C(βN) halkalarının izomorfik olduklarını gösteriniz.