Problemler ve Çözümleri

Matematik Dünyas›, 2004 Güz
P
roblemler ve Çözümleri
Refail Alizade*
[email protected]
Bu, bir y›l sürecek bir yar›flmad›r. Grup halinde,
okul olarak ya da bireysel olarak kat›labilirsiniz.
Dergimize al›flt›rma problemlerinin çözümlerini
de¤il, yaln›zca yar›flma problemlerinin çözümlerini
yollay›n›z. Ayr›ca lütfen flu noktalara dikkat ediniz:
Her sorunun çözümünü ayr› bir k⤛da okunakl› ve anlafl›l›r bir biçimde yaz›n›z.
K⤛d›n sa¤ üst köflesine ad›n›z›, soyad›n›z›, adresinizi, ö¤renciyseniz okulunuzu ve s›n›f›n›z› yaz›n›z.
Çözümleri, ‹zmir Yüksek Teknoloji Enstitüsü,
Matematik Bölümü, Gülbahçe Köyü, Urla ‹zmir adresine 01.03.2005 tarihine kadar ad›ma gönderiniz.
Y307. Bir dik üçgenin içte¤et çemberi, hipotenüsü uzunluklar› 4 ve 5 olan iki parçaya bölüyor.
Üçgenin alan›n› bulunuz.
Y308. Birkaç voleybol tak›m› aralar›nda bir
turnuva yapt›. Herhangi iki A ve B tak›mlar› al›nd›¤›nda, e¤er A, B’yi yenmiflse, A’ya yenilmifl ve
B’yi yenmifl olan bir C tak›m› bulunur. Turnuvaya
en az kaç tak›m kat›lm›flt›r?
Y309. a1, a2, ..., an pozitif gerçel say›lar›
a1 + a2 + ... + an = 1
eflitli¤ini sa¤lar. i < j olmak üzere tüm
ALIfiTIRMA PROBLEMLER‹
A306. Alt›nc› dereceden kuvvetinin ondal›k
yaz›l›m› 0, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4 rakamlar›ndan oluflan
tüm pozitif tamsay›lar› bulunuz.
A307. ‹çte¤et çemberi bulunan bir yamu¤un
taban uzunluklar› 1 ve 3’tür. Yamu¤un yan kenarlar›n›n aras›ndaki aç› en fazla kaç derece olabilir?
A308. Kongreye çeflitli ülkelerden 1000 kifli
kat›l›yor. Her üç kifli kendi aralar›nda anlaflabiliyor (bunlardan biri ötekiler için tercümanl›k yapabilir). Kongreye kat›lanlar›, her odada 2 kifli olacak
ve bu kiflilerin kendi aralar›nda anlaflabilece¤i flekilde 500 odaya yerlefltirilebilece¤ini kan›tlay›n›z.
A309. a, b, c, d gerçel say›lar› a2 + b2 = 1, c2 +
d2 = 1 ve ac + bd = 0 eflitliklerini sa¤lar. ab + cd ifadesinin alabilece¤i tüm de¤erleri bulunuz.
A310. 99 tane 9 ardarda yaz›lm›flt›r. Elde edilecek 199 basamakl› say› tamkare olacak flekilde
bu rakamlar›n sa¤›na 100 rakam daha yaz›labilece¤ini kan›tlay›n›z.
say›lar›n›n toplam›n›n en fazla (n − 1)/4 olabilece¤ini kan›tlay›n›z.
Y310. n ≥ 5 ö¤eden oluflan bir kümede n + 1
tane birbirinden farkl› üç elemanl› altküme al›nm›flt›r. Bunlardan, tam bir tane ortak eleman› olan
ikisinin bulundu¤unu kan›tlay›n›z.
ESK‹ SORULARA ÇÖZÜMLER
(Bahar 2004, y›l 13, say› 1)
A296. Karelerinin toplam› asal olan tüm ard›fl›k asal say› üçlülerini bulunuz.
Çözüm: Say›lar, p < q < r olmak üzere, p, q ve
r olsun. Say›lardan hiçbiri 3 de¤ilse (dolay›s›yla 3’e
bölünmüyorsa), p2 ≡ q2 ≡ r2 ≡ 1 (mod 3)’tür, dolay›s›yla p2 + q2 + r2 toplam› 3’e bölünür ve asal olamaz. Demek ki say›lardan biri 3’tür. p = 3 ise q =
5 ve r = 7’dir ve p2 + q2 + r2 = 83 asal oldu¤unudan (3, 5, 7) üçlüsü koflulu sa¤lar. q = 3 ise, p = 2
ve r = 5’tir. Bu durumda p2 + q2 + r2 = 38 asal de¤il, dolay›s›yla bu üçlü koflulu sa¤lamaz. r = 3 olamaz elbet. Yan›t (3, 5, 7)’dir.
YARIfiMA PROBLEMLER‹
Y306. Befl basamakl› abcde say›s› 41’e bölünüyor. Befl basamakl› eabcd say›s›n›n da 41’e bölündü¤ünü kan›tlay›n›z.
A297. ABCD paralelkenar›n›n AD ve DC kenarlar› üzerinde, |AN|:|AD| = 1:3 ve |DM|:|DC| =
* ‹zmir Yüksek Teknoloji Enstitüsü ö¤retim üyesi.
72
Matematik Dünyas›, 2004 Güz
A
K
oldu¤undan an ≤ 3 − 12/2n eflitsizli¤i n için de sa¤lan›r. Demek ki her n = 1, 2, ... için an < 3 eflitsizli¤i do¤rudur.
B
a
N
2a
D
b
O
M
3b
A300. n ≥ 3 bir tek say› olmak üzere,
21 − 1, 22 – 1, 23 − 1, ... , 2n−1 – 1
say›lar› verilmifltir. Bu say›lardan en az birinin n’ye
bölündü¤ünü gösteriniz.
Çözüm: n tek say› oldu¤undan 21, 22, 23, ...,
2n say›lar›ndan hiçbiri n’ye bölünmez. Bunlardan n
tane (n − 1’den fazla) oldu¤undan, modülo n denk
olan ikisi (diyelim 2i ve 2j) bulunur. i < j olsun. Demek ki, 2i ≡ 2j (mod n). Dolay›s›yla, n ile 2i aralar›nda asal oldu¤undan 2j−i ≡1 (mod n) olmal›. fiimdi k = j − i al›nd›¤›nda 1 ≤ k ≤ n − 1’dir ve 2k − 1
say›s› n’ye bölünür.
C
1:4 olacak flekilde s›ras›yla N ve M noktalar› al›nm›flt›r. BM ve CN do¤rular›n›n kesiflimine O diyelim. |OM|:|OB|’yi bulunuz.
Çözüm: |AN| = a, |DM| = b alal›m. CN do¤rusunu, AB’nin uzant›s›n› bir K noktas›nda kesene kadar uzatal›m. NKA ve NCD üçgenleri benzerdir. O
halde |KA|:|CD| = |AN|: |DN| = a:2a = 1:2 eflitli¤inden |KA| = 2b ve |KB| = |KA| + |AB| = 6b elde edilir.
Ayr›ca KOB ve COM üçgenleri benzerdir. O halde
|OM|:|OB| = |CM|:|KB| = 3b:6b = 1:2 elde edilir.
A298. 1’den 2004’e kadar olan tüm tamsay›lar
bir çember boyunca saat yönünde küçükten büyü¤e
s›rayla yaz›lm›flt›r. 1’den bafllayarak ve saat yönünde giderek, her ad›mda daha önce silinmemifl olan
her ikinci say›y› siliyoruz. En sona kalan say› kaçt›r?
Çözüm: Önce 2004 yerine 2n fleklinde bir say›
alal›m. Bu durumda ilk olarak 2, 4, 6,... , 2n say›lar› silinecek ve geriye 2n−1 tane say› kalacak: 1, 3,
5, ... Bu sefer 3, 7, 11, ..., 2n−1 say›lar› silinecek ve
geriye 1, 5, 9, ... say›lar› kalacak vs. En sona kalan
say› bafllang›çtaki ilk say›, yani 1 olacak.
fiimdi, 2004 = 980 + 210 eflitli¤inin fark›na varal›m. Silinecek ilk 980 say› 2, 4, ..., 1960 say›lar›
olacak ve geriye 210 say› kalacak. ‹lk say›m›z 1961
olaca¤›ndan, bu durumda, birinci paragraftan dolay› en sona kalan say› 1961 olacak.
Y296. Bir n pozitif tamsay›s› için
2n + 1 ve 3n + 1
say›lar› tamkarelerdir. n’nin 8’e bölündü¤ünü gösteriniz.
Çözüm: p2 = 2n + 1, q2 = 3n + 1 olacak flekilde p ve q pozitif tamsay›lar› bulunur. O halde p,
1’den büyük bir tek say›d›r; yani k pozitif tam say› olmak üzere p = 2k + 1 fleklinde yaz›labilir. 2n =
p2 − 1 = (p − 1)(p + 1) = 2k(2k+2) eflitli¤inden, q2
= 3n + 1 = (3/2)(2n) + 1 = (3/2)2k(2k+2) = 6k(k +
1) + 1 elde edilir. Demek ki q2 bir tek say›d›r. Bundan da q’nün bir tek say› oldu¤u ç›kar. Yani bir m
tamsay›s› için, q = 2m + 1 elde edilir. Bundan da 3n
= q2 − 1 = 2m(2m + 2) = 4m(m + 1) eflitli¤i elde edilir. ‹ki ard›fl›k say›dan biri çift oldu¤undan, son
eflitliklerin sa¤ taraf› 8’e bölünür. O halde, 3n, ve
dolay›s›yla n de, 8’e bölünür.
Çözenler: Ertu¤rul Aksünger, Antalya; Mustafa
Atakl›, Safa Dersanesi, Gaziantep; Orhan Atefl, Bal›kesir Üniversitesi; Behzat Aytimur, Zonguldak; Bilgin
Canpolat, H.F.Z. Anadolu Lisesi, Çerkezköy, Tekirda¤; Alper Çay, Uzman Dersanesi, Kayseri; Y›lmaz
Da¤, Dokuz Eylül Üniversitesi, ‹zmir; Jale Dinler,
Adana Fen Lisesi; Aras Erzurumluo¤lu, ‹stanbul Lisesi; Serdar Karatekin, ‹stanbul Lisesi; Ercan Karadafl,
TCMB, Ankara; Halit Öztürk, Çorum; Rukiye Öztürk, Antalya; Metin Sarayköylü, Tire Akademik
Dershanesi, ‹zmir; Cemal Sertkaya, Mücahit Meral,
Dumlup›nar Üniversitesi, Kütahya; ‹lknur Sever, Hac› Fahri Zümbül Anadolu Lisesi, Tekirda¤; Servet Soyarslan, Karadeniz Teknik Üniversitesi; Nasire Taçk›n, Ege Üniversitesi, ‹zmir; Osman Telli, Özel Kaz›-
A299. (an)n dizisi, a1 = a2 = 1 ve her n ≥ 1 için
an+2 = an+1 + an/2n olarak tan›mlanm›flt›r. Her n
için an < 3 oldu¤unu kan›tlay›n›z.
Çözüm: a1 = a2 = 1 < 3’tür. Tümevar›mla, her
n ≥ 3 için, an ≤ 3 − 12/2n eflitsizli¤inin sa¤land›¤›n›
kan›tlayal›m. a3 = 3/2 = 3 – 12/23 ve a4 = 7/4 < 3
– 12/24 oldu¤undan, n = 3, 4 için eflitsizlik sa¤lan›yor. fiimdi her 3 ≤ k < n için eflitsizli¤in do¤ru oldu¤unu varsayarak, eflitsizli¤in n ≥ 5 için do¤ru oldu¤unu kan›tlayal›m.
an = an−1 + an−2/2n−2
≤ (3 − 12/2n−1) + (3 − 12/2n−2)/2n−2
= 3 − 12/2n−1 + 3/2n−2 − 12/22n−4
= 3 − 12/2n − 12/22n−4
≤ 3 − 12/2n
73
Matematik Dünyas›, 2004 Güz
mo¤lu Lisesi, ‹stanbul; Nami Y›ld›r›m, Türkiye ‹fl
Bankas›, ‹zmir; ‹hsan Yücel, Ondokuz May›s Üniversitesi, Amasya E¤itim Fakültesi; Hasan Zerve, ODTÜ, Kimya Müh., Ankara.
herhangi iki tafl›n yerini de¤ifltirebiliyoruz. Bafllang›çtaki durum ne olursa olsun, belli bir n hamlede,
tüm komflu tafllar›n farkl› renkte olmas› sa¤lanabilir. n en az kaç olabilir?
Çözüm: Dama tafllar›n› saat yönünde 1’den
30’a kadar tamsay›larla numaraland›ral›m. Çift
numaral› 15 tafl aras›nda beyazlar siyahlardan daha az olsun (siyahlar›n daha az oldu¤u durum benzer flekilde incelenir). O halde çift numaral› beyaz
tafllar›n say›s› en fazla 7’dir. Tek numaral› siyah
tafllar›n say›s› da ayn›d›r. Çift numaral› beyazlarla
tek numaral› siyahlar›n yerini de¤ifltirdi¤imizde en
fazla 7 hamle yapm›fl olaca¤›z ve tafllar› yeniden
numaraland›rd›¤›m›zda beyaz tafllar›n numaralar›
tek, siyah tafllar›n numaralar› da çift oldu¤undan
komflu tafllar farkl› renkte olacakt›r. n’nin 7’den az
olamayaca¤›n› kan›tlamak için tafllar›, ilk 15 tafl
beyaz, sonraki 15 tafl da siyah olacak flekilde s›ralayal›m. O halde {1, 2}, {3, 4}, ... , {13, 14}, {17,
18}, {19, 20}, ..., {29, 30} çiftleri ayn› renkte olan
komflulard›r. Tüm komflular›n farkl› renkte olmas›
için bu çiftlerin her birinden en az 1 tafl üzerinde
bir hamle yap›lmal›d›r. Çiftlerin say›s› 14 oldu¤u
ve her hamle 2 tafl üzerinde yap›ld›¤› için en az 7
hamle yap›lmal›d›r.
Çözenler: Alper Çay, Uzman Dersanesi, Kayseri;
Y›lmaz Da¤, Dokuz Eylül Üniversitesi, ‹zmir; Ercan
Karadafl, TCMB, Ankara; Hasan Zerve, ODTÜ,
Kimya Müh., Ankara.
A
Y297.
ABC
ikizkenar üçgeninin
?
(|AB| = |AC|) içinde, m(PBA) =
P
10
m(PBC), m(PCA) =
30
C 10° ve m(PCB) =
B
30° olacak flekilde
bir P noktas› al›nm›flt›r. m(PAC) kaç derecedir?
(Soruyu öneren: Onur Baysal, ‹YTE, Matematik
Bölümü.)
Çözüm: Afla¤›daki flekildeki gibi DBC eflkenar
üçgenini çizelim.
D
m(ABP) = m(PBC)
A
= (30° + 10°)/2 =
20° oldu¤undan
?
m(ABD) = 60° –
40° = 20°’dir. |BD|
P
= |CD|, |AB| = |AC|
10
30
ve
m(ABD)
=
C
B
m(ACD) = 20° oldu¤undan ABD ve ACD üçgenleri eflittir. Dolay›s›yla m(BDA) = m(CDA) = 30°’dir. |BD| = |BC|,
m(BDA) = m(BCP) = 30° ve m(ABD) = m(PBC) =
20° oldu¤undan ABD ve PBC üçgenleri eflittir. O
halde |BA| = |BP|’dir. Buradan m(BAP) = (180° −
20°)/2 = 80° elde edilir. m(BAC) = 100° oldu¤undan m(PAC) = 20°’dir.
Çözenler: Ertu¤rul Aksünger, Antalya; Osman
Arfl›n, Ortaklar Anadolu Ö¤retmen Lisesi, Ayd›n;
Mustafa Atakl›, Safa Dersanesi, Gaziantep; Bilgin
Canpolat, H.F.Z. Anadolu Lisesi, Çerkezköy, Tekirda¤; Alper Çay, Uzman Dersanesi, Kayseri: Y›lmaz Da¤, Dokuz Eylül Üniversitesi, ‹zmir; Jale Dinler, Adana Fen Lisesi; Yavuz Maranc›, Bal›kesir
Üniversitesi; Ercan Karadafl, TCMB, Ankara; Servet
Soyarslan, Karadeniz Teknik Üniversitesi; Bar›fl
fiahbaz, Ankara; Osman Telli, Özel Kaz›mo¤lu Lisesi, ‹stanbul; Eren Yoldafl Y›ld›r›m, Atatürk Üniversitesi, Erzurum; ‹hsan Yücel, Ondokuz May›s
Üniversitesi, Amasya E¤itim Fakültesi; Hasan Zerve, ODTÜ, Kimya Müh., Ankara.
Y299. g(x) = ƒ(x) + sin ƒ(x) fonksiyonu devirli (periyodik) olacak flekilde ƒ : R → R fonksiyonu
verilmifltir. ƒ(x) fonksiyonunun da devirli oldu¤unu gösteriniz.
Çözüm: h(x) = x + sin x fonksiyonu al›n›rsa
g(x) = h(ƒ(x)) yaz›labilir. g’nin devri T ise ƒ’nin de
ayn› devre sahip oldu¤unu gösterelim. Aksini varsayal›m. O halde ƒ(a + T) ≠ ƒ(a) olacak flekilde bir
a ∈ R bulunur. h′(x) = 1 + cos x oldu¤undan h(x)
fonksiyonu artand›r, dolay›s›yla ƒ(a + T) > ƒ(a) ise,
h(ƒ(a + T)) > h(ƒ(a)), yani g(a + T) > g(a) elde edilir, bu da g’nin devrinin T olmas›yla çeliflir. ƒ(a +
T) < ƒ(a) durumunda g(a + T) < g(a) eflitsizli¤inden
ayn› çeliflki edilir.
Çözenler: Seçil Çeken, Akdeniz Üniversitesi, Antalya; ‹hsan Yücel, Ondokuz May›s Üniversitesi,
Amasya E¤itim Fakültesi; Hasan Zerve, ODTÜ,
Kimya Müh., Ankara.
Y298. 15 beyaz ve 15 siyah dama tafl› çember
boyunca herhangi s›rayla dizilmifltir. Her hamlede
74
Matematik Dünyas›, 2004 Güz
Y300. Düzlem üzerinde 7 do¤ru verilmifltir.
Bunlar 13 noktada kesifliyorlar. Bu noktalar›n on
birinde ikifler do¤ru, birinde üç do¤ru ve birinde de
dört do¤ru kesifliyor. Do¤rulardan ikisinin birbirine paralel oldu¤unu kan›tlay›n›z.
Çözüm: Üç do¤runun kesiflti¤i nokta A, dört
do¤runun kesiflti¤i nokta da B olsun. ‹ki durum
olabilir.
1) AB do¤rusu sorudaki 7 do¤rudan biridir.
Bu durumda A noktas›ndan AB ve a1, a2 gibi iki
do¤ru daha geçer. B noktas›ndan da AB, b1, b2, b3
do¤rular› geçer. Bu 6 do¤ru d›fl›nda A’dan ve
B’den geçmeyen bir do¤ru daha var, bu da l olsun.
l do¤rusu ai ve bj do¤rular›n›n (i = 1, 2; j = 1, 2, 3)
kesiflim noktalar›ndan da geçmez, çünkü aksi taktirde A ve B d›fl›nda, en az 3 do¤runun geçti¤i bir
nokta daha bulunurdu. 7 do¤rudan hiçbir ikilisi
birbirine paralel olmasayd› do¤rular›n kesiflti¤i
nokta say›s› 13 de¤il 14 olacakt›: A, B; ai’lerin
bj’lerle kesiflti¤i 2 × 3 = 6 nokta ve l’nin geriye kalan 6 do¤ruyla kesiflti¤i 6 nokta. Böylece bu durumda birbirine paralel olan iki do¤ru bulunur.
2) AB do¤rusu 7 do¤ru aras›nda de¤ildir. Bu
durumda A’dan geçen do¤rular› a1, a2, a3; B’den
geçen do¤rular› da b1, b2, b3, b4 ile gösterelim. Bu
do¤rular birbirinden farkl›d›r, dolay›s›yla tüm 7
do¤ruyu oluflturuyor. 7 do¤ru aras›nda birbirine
paralel olan ikisi bulunmuyorsa, her ai her bj ile
kesifliyor ve bu kesiflim noktalar› birbirinden farkl›d›r, çünkü aksi taktirde A ve B d›fl›nda en az 3
do¤runun geçti¤i bir nokta daha bulunurdu. O
halde bunlar 3 × 4 = 12 noktada kesiflecekler ve A,
B ile birlikte toplam 14 kesiflim noktas› bulunacakt›. Kesiflim noktalar›n›n say›s› 13 oldu¤undan çeliflki elde ediyoruz. Böylece bu durumda da birbirine
paralel olan iki do¤ru bulunur.
Çözenler: Mustafa Atakl›, Safa Dersanesi, Gaziantep; Bilgin Canpolat, H.F.Z. Anadolu Lisesi, Çerkezköy, Tekirda¤; Seçil Çeken, Akdeniz Üniversitesi,
Antalya; Y›lmaz Da¤, Dokuz Eylül Üniversitesi, ‹zmir; Özge Duru, Aksaray Anadolu Ö¤retmen Lisesi;
Aras Erzurumluo¤lu, ‹stanbul Lisesi; Ercan Karadafl,
TCMB, Ankara; Halit Öztürk, Çorum; Metin Sarayköylü, Tire Akademik Dershanesi, ‹zmir; Osman Telli, Özel Kaz›mo¤lu Lisesi, ‹stanbul; Eren Yoldafl Y›ld›r›m, Atatürk Üniversitesi, Erzurum; ‹hsan Yücel,
Ondokuz May›s Üniversitesi, Amasya E¤itim Fakültesi; Hasan Zerve, ODTÜ, Kimya Müh., Ankara. ♦
Düzeltme
Bir yanl›fll›k sonucu geçen say›m›zda daha eski sorulara do¤ru yan›t verenlerin listesini
yay›mlam›fl›z. Yanl›fl›m›zdan dolay› özür dileyip do¤ru listeyi afla¤›da sunuyoruz:
Do¤ru yan›t yollayanlar: Bayram Adaletsever (Uluda¤ Üniversitesi, Matematik Bölümü) Y291;
Muhammet Alan-Halit Öztürk (Gazi Üniversitesi, E¤itim Fakültesi, Matematik Bölümü) Y291,
Y292, Y295; Osman Arfl›n (Menderes, ‹zmir) Y291, Y292; Tayfun Atalar (‹stanbul Atatürk Fen
Lisesi) Y292; Oktay Balk›fl (Aksaray Anadolu Ö¤retmen Lisesi) Y291, Y292, Y295; Dilek Bayrak
(Karadeniz Teknik Üniversitesi, Matematik Ö¤retmenli¤i Bölümü) Y291; Ayfle Borat (Ege Üniversitesi, Matematik Bölümü) Y291; Alper Çay (Erciyes Üniversitesi, Matematik Bölümü) Y291, Y292;
Enver Çetin (Karatafl Erkek Lisesi, ‹stanbul) Y292; Serkan Da¤lar (Eskiflehir K›l›ço¤lu Anadolu
Lisesi) Y292; Mustafa Dönmez (Turgutlu Halil Kale Fen Lisesi), Yaflar Dönmez (Turgutlu Lisesi)
Y291, Y292; Aras Erzurumluo¤lu (‹stanbul Lisesi) Y291; Cihat Gülcu (Ankara Fen Lisesi) Y291;
Zekeriya Güney (Mu¤la Üniversitesi, Matematik Bölümü) Y291, Y292, Y293, Y294; Esma ‹nan (19
May›s Üniversitesi, Matematik Bölümü) Y291; Levent Kulaço¤lu (Ataköy ‹stanbul) Y291, Y292,
Y293; Kürflat Hakan Oral (Bak›rköy ‹stanbul) Y291; Yüksel Özalt›n (Kad›köy ‹stanbul) Y292;
Ercan Ünlü (Yata¤an Anadolu Lisesi mezunu) Y292; Eren Yoldafl Y›ld›r›m (Atatürk Üniversitesi,
Matematik E¤itimi Bölümü) Y292; Hasan Zerve (Orta Do¤u Teknik Üniversitesi, Kimya
Mühendisli¤i Bölümü) Y291,Y293, Y294, Y295; Cengiz Zopluo¤lu (Abant ‹zzet Baysal Üniversitesi, ‹lkö¤retim Matematik Ö¤retmenli¤i Bölümü) Y291. ♦
75