Alıstırma Seti I

Alıştırma Seti I
1. f (x) =
p
x − JxK olsun.
(a) f fonksiyonunun tanım kümesinin bulunuz.
(b) f fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
(c) lim− f (x) değerini hesaplayınız.
1
(x2 − 1),
x−1
p
(r) lim x2 + 2x + 3 − x,
x→∞
p
(s) lim x2 + 4x + 3 − x + 5,
(q) lim
x→1
x→∞
x→1
r
2. f (x) =
x+1
fonksiyonunun tanım kümesini
x−1
bulunuz.
(t) lim tan x,
x→0
sin(cos x − 1)
,
x
sin x − sin 1
lim
,
x→1
x−1
√
√
3
x− 32
√ ,
lim √
x→2 4 x − 4 2
x sin x
lim
,
x→0 sin(2x2 )
√
3
x+5−2
lim √
.
x→3 4 x − 2 − 1
(u) lim
x→0
p
(x − 1)(4 − x)
fonksiyonunun tanım
x2 − 5x + 4
kümesini bulunuz.
3. f (x) =
4. Aşağıdaki limitleri (eğer varsa) hesaplayınız.
1
(a) lim x sin
,
x→0
x
(v)
(w)
(x)
(b) lim x2 − |x|,
(y)
(c) lim x2 − JxK,
(z) lim
x→0
x→1
(d) lim JxK2 − JxK − 6,
x→−1
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
|x|
,
lim
x→0− x
x3 − x2 − x + 1
lim
,
x→1
x2 − 3x + 2
x3 + x2 − 5x + 3
lim
,
x→1
x3 − 3x + 2
√
x+2−2
√
lim
,
x→2 3 −
x+7
√
√
x− 5
,
lim 2
x→5 x − 6x + 5
x−2
√ ,
lim √
x→2 3 x − 3 2
x2 − 4x + 3
(k) lim √
,
√
x→1 3 x2 + 3 x + 1
√
√
x x−a a
,
(l) lim
x→a
x−a
(m) lim Jx + 1K,
x→2+
(n) lim− JxK − sgn(x),
x→0
|x − 1|
(o) lim− Jx2 + 1K + sgn(x − 1) +
,
x−1
x→1
√
x2 + x − 2x
(p) lim √
,
x→∞
4x2 + 1 + x
x6 − 64
x→2 x − 2
5. Aşağıdaki limitleri (eğer varsa) hesaplayınız.
√
x−1−2
√
(a) lim
x→5 3 −
x+4
(b) lim Jx + 1K − Jx − 1K
x→−1
1
1
1
−
(c) lim
x→1 x − 1
9 (x + 2)2
1
x4 − 1
x→1 x − 1
6+x
(e) lim p
x→−6
(6 + x)2
(d) lim
|x − 2|
x→2 (x − 2)2
(f) lim
x2 + 1
x→1 x|x − 7|
(g) lim
(h) lim3
x→ 2
|4x2 − 9|
4x − 6
x3
x→0 sin x(1 − sec x)
cos ax − cos bx
(j) lim
x→0
x2
√
2 cos x − 1
(k) limπ
x→ 4 1 − tan2 x
(i) lim
2x
x→0 1 − sec x
x − x cos x
(m) lim 2 2
x→0 x sin x
1 − sin x
(n) limπ
x→ 2
cos x
x
√
(o) lim
+
x→0 sin x
p
(c) f (x) = cos3 sin(x2 − 1)
r q
√
(d) f (x) = x x x
1
1
(e) y = ln (x + 1) 2 (x2 + 2) 3 .
3
(f) y = tan3 sin−1 x2 +
.
x
(g) y = tan−1 sin−1 (x2 + x) .
p
(h) y = tan−1 ( x2 − 1) + (sin−1 (x3 + 1))2 .
(l) lim+
cos2 x
x→ 2 csc x − 1
√
x2 + x − 2x
lim √
x→−∞
4x2 + 1 + x
√
√
lim x( x + 3 − x)
x→∞
p
lim x x2 − 2 − x
x→∞
p
p
lim x2 + 2x + 1 − x2 − 2x + 1
(p) limπ
(q)
(r)
(s)
(t)
−1
(i) y = tan−1 (ex ) − esin
3
+ 2x .
(j) y = (cos−1 (x2 + 2x))2 .
(k) y = sin3 (tan−1 (2x + sin−1 x)).
14. a ve b nin hangi değerleri için
ax2 + b, x < 1
f (x) =
2x + 2, x ≥ 1
x→∞
x3 + 3x2 + 4x
fonksiyonunun bütün asimpx2 + x
totlarını bulunuz.
6. y =
fonksiyonu her yerde türevlenebilirdir?
15.
2 + x − x2
7. y = −x doğrusunun f (x) =
fonksix−1
yonunun bir eğik asimptotu olduğunu gösteriniz.

 2 sgn(x − 1), x > 1,
a,
x = 1, olsun.
8. f (x) =

x + b,
x < 1,
f (x) =
x2 sin x12 , x 6= 0
0,
x=0
olsun.
(a) Eğer varsa lim f (x) değerini bulunuz. f
x→0
fonksiyonu x = 0 noktasında sürekli midir?
f (x) − f (0)
(b) Eğer varsa lim
değerini bux→0
x
lunuz. f fonksiyonu x = 0 noktasında
türevlenebilir midir?
f fonksiyonu x = 1 noktasında sürekli ise, a ve
b değerleri ne olmalıdır?

1


 x2 − 9 , x < 0,
9. f (x) =
olsun.


 2x − 1 , x ≥ 0,
9
f fonksiyonu hangi noktalarda süreksizdir?
p
10. lim x2 + x + 1+ax+b = 0 ise a ve b değerleri
x→∞
ne olmalıdır?
16.
f (x) =


1,
x≤0
−x + 1, 0 < x ≤ 1

(x − 1)2 , x > 1
olsun.
(a) f (x) fonksiyonu x = 0 ve x = 1 noktalarında sürekli midir?
11. a nın hangi değeri için
2
x − 1, x < 3,
f (x) =
2ax,
x ≥ 3,
(b) f (x) fonksiyonu x = 0 ve x = 1 noktalarında türevlenebilir midir?
(c) f 0 (2) değerini hesaplayınız.
her yerde süreklidir?
12. b nin hangi değeri için
x
g(x) =
bx2
x
17. f (x) = x2 g(5 − x2 ), g(1) = 3 ve g 0 (1) = 2 ise
f 0 (2) değerini bulunuz.
18. A, B ve C nin hangi değerleri için f (x) = Ax2 +
Bx + C eğrisi (1, 3) noktasından geçer ve (2, 0)
noktasında y = −4x + 8 doğrusuna teğet olur?
x < −2
x ≥ −2
her yerde süreklidir?
19.
13. Verilen fonksiyonun türevini alınız.
√
(a) f (x) = sin3 cos 5x
√
(b) f (x) = tan x3
dy
’i bulunuz.
dx
(a) x2 y 2 + xy 3 = x2 + 2y 2 + 3.
x
(b) x3 tan + y 2 cos(xy) = 1.
y
2
2
(c) x sin(xy) + cos(xy) = 0.
√
(d) x x + y = 2xy 2 .
3
3 2
3
(f) y = e(1+sin
3
(g) y = (x − 4) (2x + 1)10 .
2
(h) y = xx cos x .
2 2
(f) x y + xy + cos(x y ) + sin(xy) = 1.
2
(i) y =
(g) x cos(xy) + y sin(xy) = 1.
ex (x + 1)4 (x2 + 1)7
1
(i) x3 + 4xy − 3y 3 = 2x.
(x + 2) 3
x
e sin x cos x
.
(j) y =
(x2 + 2)3
(j) x3 + xy + 5y 2 = 5.
(k) y = (ln x)ln x .
(h) x cos(x2 y) + 2yx2 − 3 = 0.
4
2
(k) x3 + y 3 = xy.
(l) y =
(l) ln(x + y) + x2 − 2y 3 = 1.
2x (x − 1)7 ex
.
xx (x + 2)3
2
(m) ln(1 + x2 + y 2 ) − 2x2 y 3 = ln 2.
20.
.
1
2
2
(e) sec(x y) + x y = y x + sin(xy ).
3 2
1
x) 2
(m) y = (cos x)x
+x
.
5
2
d2 y
’yi bulunuz.
dx2
(n) y =
ex (x + 1) cos x
.
(x2 + 2)3
(a) x3 + xy + 5y 2 = 4
(o) y = xcos x .
(b) x2 y 2 + x3 y + y 3 = 1.
(p) y =
21. Verilen eğriye verilen noktada çizilen teğetin
denklemini bulunuz.
(x + 1)4 (x − 2)3
1
(x2 + 1) 2
.
x
(q) y = xe .
4
4
4
(a) x + y + x + y = 2; (0, 1).
(b) sin(xy) + xy = π; (1, π).
(s) y = xsin x .
2
(c) sin(xy) + y = x ; (0, 0).
3
(x + 1)3 (x + 3) 2
.
(x − 1)5
(d) 2y cos(xy) + x sin(x + y) = 2π; (0, π).
(t) y =
(e) x sin(xy) + cos(xy) + 1 = 0; (π, 1).
π
(f) x sin(xy) + 2x2 − 3 = 0; 1,
.
2
(g) x2 y 2 + x3 y + y 3 = 1; (−1, 1).
(x + 1)3 (x − 1) 2
(u) y =
.
x2 + 1
1
(v) y =
(x + 1)2 xx ex
3
3x (x + 2) 2
(h) 2x2 − 5xy + 2y 2 = 0; (1, 12).
√
(i) 3x2 y + 5x + y = 19; (1, 4).
(w) y = 2xx .
(j) xy 3 − 3y 2 cos x + 3 = 0; x = 0, (y > 0).
(x) y =
(l) (xy)2 + exy = ln(x + y) + 1; (0, 1).
(m) ln(1 + x2 + xy) + ex
22. x = t2 − 3t ise
2 2
y
− x = ln 2; (1, 0).
dx
dt
ve
’i bulunuz.
dt
dx
dy
’i bulunuz.
dx
p
3
(x2 + 1)2
(a) y =
.
x(x2 + 2)
x
1
(b) y = π +
.
x
x2 −1
(c) y = (sin x)
2
(d) y =
(1 + x )
2
.
2
(k) ln(1 + x2 + y 2 ) − 2x2 y 3 − x = ln 2; (0, 1).
23.
e3x (2x + 3) 3 xx+1
.
(cos x) 5x2 +1
(r) y =
.
3
2
4 .
(1 + x3 ) 3
x
1
(e) y = 1 +
.
x
3
√
(2 − x)5 x + 1
.
(x + 3)7
.