Newton-Cotes ile Sayısal İntegral Hesabı • Burda integralin yaklaşık dğerini data noktalarına polinom uydurarak hesaplıyoruz. Pn • İntegralin yaklaşık değeri şu genel yapı ile hesaplanabilir: i=1 Aif (xi) • Burada Ai değerleri kaç nokta ve kaçıncı derece polinom kullandığımıza göre değişir. Newton-Cotes ile Sayısal İntegral Hesabı • Genel olarak n noktadan n − 1. polinom geçirebiliriz Pn−1(x) = n X f (xi)`i(x) i=1 • Terimleri düzenlersek I= Z b a Pn−1(x) dx = n X i=1 [f (xi) Z b a `i(x) dx] = n X i=1 Aif (xi) (2) Yamuk Kuralı/Trapezoid Rule ile İntegral Hesaplama • Burda bir yamuk oluşturarak alanı hesaplıyoruz (x−x2 ) −(x−b) n=2 için, ⇒ `1 = (x = h 1 −x2 ) −1 b h A1 = (x − b)dx = h a 2 Z (x−x1 ) (x−a) = Benzer şekilde, `2 = (x h 2 −x1 ) 1 b h A2 = (x − a)dx = h a 2 Z Yamuk Kurali/Trapezoid Rule ile İntegral Hesaplama • Yerine koyarsak I = [f (a) + f (b)] h 2 (Y amuk Kuralı)(3) • Ya da direkt geometrik olarak alan hesabından aynı sonuca ulaşabiliriz. Bileşik Yamuk Kuralı/Composite Trapezoidal Rule ile İntegral Hesabı • Burda noktaları iki iki gruplayıp her iki noktadan bir doğru geçirerek integral hesabı yapıyoruz, yani küçük küçük yamuklar oluşturarak alanları topluyoruz. h Ii = [f (xi) + f (xi+1)] 2 n−1 X h I= Ii = [f (x1) + 2f (x2) + 2f (x3) + ... + 2f (xn−1) + f (xn)] (4) 2 i=1 Bileşik Yamuk Kuralının Recursive olarak Hesaplanması • Ik → 2k−1 panel (yamuk) kullanılarak hesaplanan integral olsun. H = b − a; I1 = [f (a) + f (b)] H 2 H H 1 H H k = 2 : I2 = [f (a) + 2f (a + ) + f (b)] = I1 + f (a + ) 2 4 2 2 2 k = 3 : I3 = 1 H 3H H I2 + [f (a + ) + f (a + )] 2 4 4 4 • Genel terim: k−1 (2i − 1)H 1 H 2X f [a + ], Ik = Ik−1 + k−1 k−1 2 2 2 i=1 k = 2, 3..(5) • Yani her aşamadki sonucu bir önceki aşamadaki sonucu kullanarak hesaplayabiliyoruz. Simpson Kuralı ile İntegral Hesabı • Burda noktaları iki iki gurplamak yerine üç üç gruplayıp, bir parabol geçiriyoruz. h a+b ) + f (b)] I = [f (a) + 4f ( 2 3 Sonuç olarak: Z x i+2 xi Z b a f (x)dx ≈ [f (xi) + 4f (xi+1) + f (xi+2)] f (x)dx = Z x n x1 f (x)dx = n−2 X i=1,3,.. [ Z x i+2 xi h 3 f (x)dx] (∗) (∗∗) Simpson Kuralı ile İntegral Hesabı • Birden fazla üçlü grup oluşturup birleştirirsek: Z b a f (x)dx ≈ I = h [f (x1)+4f (x2)+2f (x3)+4f (x4)+...+2f (xn−2)+4f (xn−1)+f (xn)] 3 Simpson Kuralının Çıkarımı • 3 noktadan geçen parabolü Lagrange yöntemi ile bulalım: (x − x2)(x − x3) , `1(x) = (x1 − x2)(x1 − x3) (x − x1)(x − x3) `2(x) = , (x2 − x1)(x2 − x3) (x `3(x) = (x3 Rb R ξ1 = −h, ξ2 = 0, ξ3 = h, then Ai = a `i(x) = − hh`i(ξ)dξ Z Z 1 (ξ − 0)(ξ − h) h (ξ 2 − hξ)dξ = h A1 = dξ = hh h (−h)(−2h) 2h2 − 3 − −1 4h (ξ + h)(ξ − h) h 2 2 h dξ = 2 A2 = h h (ξ − h )dξ = (h)(−h) h − 3 − Z Z (ξ + h)(ξ − 0) 1 h (ξ 2 + hξ)dξ = h dξ = A3 = hh h (h)(2h) 2h2 − 3 − Z Z • Sonuç olarak: 3 X a+b h I= Aif (xi) = [f (a) + 4f ( ) + f (b)] 2 3 i=1