40502341997.1 GENEL TOPOLOJ
advertisement
13.01.2014
No:
Ad-Soyad:
Soru
Puanlama
mza:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Toplam
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
105
Alnan Puan
40502341997.1 GENEL TOPOLOJ-I FNAL SINAVI CEVAP ANAHTARI
(ÖRGÜN ÖRETM)
Not: Süre
1.
(X, τ )
Buna göre
topolojik uzay,
R
de
90
Dakika. stedi§iniz
A⊂X
olsun. E§er
A = {x ∈ R : 0 < x < 21 }
açk oldu§unu ancak
A∪B
7
(A)◦ = A
ve
soruyu cevaplaynz.
ise
A
kümesine regüler açk denir.
B = {x ∈ R :
1
2
< x < 1}
kümelerinin regüler
oldu§undan
A = A ∪ A0 = [0, 21 ]
nin regüler açk olmad§n gösteriniz.
Cevap :
A = (0, 21 )
kümesi için y§lma noktalarnn kümesi
A0 = [0, 12 ]
dir. Buradan
(A)◦ = A
olacaktr. Benzer ³ekilde
§undan
B = ( 12 , 1)
B = B ∪ B 0 = [0, 12 ]
kümesi için y§lma noktalarnn kümesi
dir. Buradan
(B)◦ = B
olacaktr. Yani
A
ve
B
regüler açk kümelerdir. Ancak
1
1
A ∪ B = (0, ) ∪ ( , 1)
2
2
için
A ∪ B = A ∪ B = [0, 1]
dir. Buradan
(A ∪ B)◦ = (0, 1) 6= A ∪ B
elde edilir.
A∪B
regüler açk de§ildir.
B 0 = [ 12 , 1]
oldu-
2.
Q◦
R
ile
üzerinde standart topoloji tanml ve
(Q)◦
Q⊂R
rasyonel saylar kümesi olsun. Bu takdirde
kümelerinin e³it olup olmad§n belirleyiniz.
Cevap :
∀U ⊆ R
açk kümesi için
U ∩ Q 6= ∅
oldu§undan
Q = R.
Ayrca
Q
rasyonel saylar kümesi,
R
nin bo³tan farkl açk alt kümelerini içeremeyece§inden
Q◦ = ∅.
Bu durumda
Q◦ = ∅
Q◦ 6= (Q)◦
oldu§undan
3.
ancak
(Q)◦ = R◦ = R
elde edilir.
B = {(m, n) : m, n ∈ Z, m < n} ⊂ P(R)
koleksiyonunu ele alalm.
a)
B
b)
R üzerinde B baz ile üretilen τB topolojisini R üzerindeki τs standart topoloji ile kar³la³trnz.
nin
R
üzerindeki bir topoloji için baz te³kil etti§ini ispatlaynz.
Cevap :
a)
B
nin baz oldu§unu göstermek için a³a§dakileri gerçeklemeliyiz:
• ∀x ∈ R
noktas için
• B, B 0 ∈ B
ve
x∈B
B ∩ B 0 6= ∅
olacak ³ekilde bir
ise
∀x ∈ B ∩ B 0
B∈B
için
vardr.
x ∈ B 00 ⊂ B ∩ B 0
olacak ³ekilde
B 00 ∈ B
vardr.
• x ∈ R
için
bxc, x
den küçük ya da e³it en büyük tamsay de§eri olsun. Bu durumda
x ∈ (bxc − 1, bxc + 1) ∈ B
• (m, n), (m0 , n0 ) ∈ B
ve
dir.
(m, n) ∩ (m0 , n0 ) 6= ∅
a := max{m, m0 }
olsun. Bu durumda
ve
b := min{n, n0 }
alnrsa
(m, n) ∩ (m0 , n0 ) = (a, b)
ve
(a, b) ∈ B.
O halde
b)
B
koleksiyonu
τB ⊂ τs
R
üzerindeki bir topoloji için bazdr.
oldu§unu ancak
τB 6= τs
oldu§unu gösterelim:
• Bs := {(a, b) : a, b ∈ R, a < b}
oldu§undan
∀(m, n) ∈ B
τB ⊂ τs
•
B
baznn elemanlar
için
(m, n) ∈ Bs
τs
koleksiyonu
R
üzerindeki standart topoloji için baz
standart topolo jisinin de elemandr. Ba³ka bir deyi³le
oldu§undan
τB
nin üretti§i topoloji
τs
de kapsanr. O halde
dir.
imdi de
τB 6= τs
oldu§unu gösterelim. Yani
τs
de olup
τB
de olmayan bir
U
kümesi örne§i
bulmalyz.
U =(
açk kümesini ele alalm.
τB
−1
, π) ∈ τs
2
nin elemanlar
B
nin elemanlarnn birle³imi oldu§undan her-
hangi bir aral§n uç noktalar tamsay olmaldr. Bu nedenle
4.
X
ve
Y
topolojik uzaylar,
omorzma ise
f (A◦ ) = f (A)◦
A⊂X
alt kümesi olsun. E§er
U∈
/ τB
dir.
f : X −→ Y
dönü³ümü home-
oldu§unu ispatlaynz.
Cevap :
(⊆) A◦ ⊆ A
oldu§undan
f (A◦ ) ⊆ f (A)
elde edilir. Buradan
f (A◦ )◦ ⊆ f (A)◦ .
f
homeomorzma oldu§undan açk dönü³ümdür O halde
f (A◦) ⊂ Y
açktr. O halde
f (A◦ ) ⊆ f (A)◦ .
(⊇) x ∈ f (A)◦
olsun. ç nokta tanmndan
∃G ⊂ Y
açk kümesi için
x ∈ G ⊂ f (A).
f
bijektif oldu§undan
f −1 (x) ∈ f −1 (G) ⊂ A.
f
sürekli oldu§undan
f −1 (G) ⊂ X
açktr. Buradan
f −1 (x) ∈ f −1 (G) ⊂ A◦
=⇒
x ∈ G ⊂ f (A◦ )
elde edilir.
5. Pasting Lemma'y ispatlaynz:
A∪B
olsun.
Y
X
bir topolojik uzay
A, B ⊂ X
herhangi bir topolojik uzay olmak üzere e§er
dönü³ümleri sürekli ve
∀x ∈ A ∩ B
kapal alt kümeler ve
f : A −→ Y
ile
X =
g : B −→ Y
f (x) = g(x) ise bu takdirde h : X −→ Y
f (x), x ∈ A
h(x) =
g(x), x ∈ B
için
fonksiyonu da süreklidir.
Cevap :
C⊂Y
kapal olsun.
h−1 (C) ⊂ X
kapal oldu§unu göstermeliyiz.
h
nin tanmlan³ndan
h−1 (C) = f −1 (C) ∪ g −1 (C).
f
sürekli oldu§undan
ldr. Benzer ³ekilde
g −1 (C) ⊂ X
6. a)
f
f −1 (C) ⊂ A
kapal ve
kapal oldu§undan
g −1 (C) ⊂ B
f −1 (C) ⊂ X
kapa-
B ⊂ X
kapal oldu§undan
h−1 (C) = f −1 (C) ∪ g −1 (C) birle³imleri de X
de kapal olacaktr.
sürekli oldu§undan
kapaldr. O halde
A ⊂ X
f : R −→ R, x 7−→ f (x) = ex
kapal ve
fonksiyonu kapal dönü³üm müdür? Cevabnz açklaynz.
b) Açk dönü³üm olup kapal dönü³üm olmayan bir dönü³üm örne§i veriniz.
Cevap :
a)
R
kapal bir kümedir ancak
f (R) = (0, ∞)
kümesi
b)
R
de kapal olmad§ndan
f
kapal dönü³üm de§ildir.
a) ³kkndaki f : R −→ R, x 7−→ f (x) = ex
bazlar
(a, b)
üstel fonksiyonu dü³ünelim. Standart topolojinin
açk aralklardr.
f (a, b) = (ea , eb )
açk oldu§undan
7.
d1
ve
d2 X
f
açk dönü³ümdür. Ancak
a)
³kkndan
üzerinde iki metrik olsun. Bu takdirde
d(x, y) = λd1 (x, y) + (1 − λ)d2 (x, y)
fonksiyonu da
X
f
dönü³ümü kapal de§ildir.
0≤λ≤1
olmak üzere
∀x, y ∈ X
üzerinde bir metriktir. Gösteriniz.
için
Cevap :
λ=0
için
d = d2
λ=1
ve
için
d = d1
oldu§undan sonuç a³ikardr. O halde bir
0<λ<1
için
d
nin metrik aksiyomlarn sa§lad§n gösterelim:
M1)
∀x, y ∈ X
için
d(x, y) ≥ 0
olur.
d1
ve
d2
metrik olduklarndan
d1 (x, y) ≥ 0
d2 (x, y) ≥ 0
ve
dr. O halde
M2)
d(x, x) = λd1 (x, x) + (1 − λ)d2 (x, x) = 0 ⇐⇒ d1 (x, x) = d2 (x, x) = 0 ⇐⇒ x = 0.
M3)
∀x, y ∈ X d1
ve
d2
metrik oldu§undan
d(x, y) = λd1 (x, y) + (1 − λ)d2 (x, y) = λd1 (y, x) + (1 − λ)d2 (y, x) = d(y, x).
M4)
∀x, y, z ∈ X d1
ve
d2
metrik oldu§undan
λd1 (x, y) ≤ λd1 (x, z) + λd1 (z, y)
(1 − λ)d1 (x, y) ≤ (1 − λ)d1 (x, z) + (1 − λ)d1 (z, y)
elde edilir. Taraf tarafa toplanrsa
d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)
elde edilmi³ olur.
8.
R2
üzerinde öklid metri§i tanmlanm³ olsun. Bu takdirde
kümesinin
R2
A = {(x, y) ∈ R2 : 1 < x < 3}
de açk oldu§unu gösteriniz.
Cevap :
(x, y) ∈ A
key noktasn alalm.
ε = min{y − 1, 3 − y}
alnrsa bu takdirde
(x, y)
merkezli
ε
yarçapl
B((x, y), ε)
açk yuvar
(x, y) ∈ B((x, y), ε) ⊂ A
elde edilir.
A
kümesi kendi iç noktalarnn kom³ulu§u oldu§undan
A
kümesi
R2
de açktr.
R2
9.
üzerinde
k.k : R2 −→ R
z = (x, y) ∈ R2
noktas
için
kzk =
p
x2 + y 2
fonksiyonu
ile
tanml
fonksiyonunun norm fonksiyonu oldu§unu gösteriniz ve bu normun do§urdu§u
metri§i bulunuz.
Cevap :
Norm fonksiyonu aksiyomlarnn sa§land§n görelim:
N1)
z 6= 0
N2)
z = 0 ⇐⇒ x = 0 = y ⇐⇒
N3)
z = (x, y) ∈ R2
için
kzk ≥ 0
ve
dr.
λ∈R
p
x2 + y 2 = 0 ⇐⇒ kzk = 0.
için
λzk =
N4)
∀z = (x, y), ω = (x1 , y1 ) ∈ R2
kz + ωk =
O halde
kzk =
p
λ2 (x2 + y 2 ) = |λ|kzk.
için Minkowski e³itsizli§inden
q
p
p
(x + x1 )2 + (y + y1 )2 ≥ x2 + y 2 + x21 + y12 = kzk + kωk.
p
x2 + y 2
ile tanml
k.k
fonksiyon norm fonksiyonudur ve bu normun üretti§i
metrik
d(z, ω) = kz − ωk =
p
(x − x1 )2 + (y − y1 )2
³eklindedir.
10. a)
(X, d)
metrik uzay olsun. Bu takdirde
∀x, y, z ∈ X
için
|d(x, z) − d(y, z)| ≤ d(x, y)|
oldu§unu ispatlaynz.
b)
(X, d)
metrik uzay,
x0 ∈ X
olsun. Bu takdirde
f : X −→ R, x 7−→ f (x) = d(x, x0 )
fonksiyo-
nunun sürekli oldu§unu gösteriniz.
Cevap :
a) spat için a³a§daki e³itsizli§i gösterelim
−d(x, y) ≤ d(x, z) − d(y, z) ≤ d(x, y)
M4
aksiyomundan
zer ³ekilde
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
Buradan
d(x, z) − d(z, y) ≤ d(x, z)
elde edilir. Ben-
−d(x, y) ≤ d(x, z)−d(y, z). Bunlar birle³tirirsek −d(x, y) ≤ d(x, z)−d(y, z) ≤ d(x, y)
elde edilir.
b)
f x = a
noktasnda süreklidir
⇐⇒ ∀ε > 0
için
∃δ(a, ε) > 0
öyle ki
d(x, a) < δ
iken
|f (x) − f (a)| < ε
a)
³kkndan hareketle
|f (x) − f (a)| = |d(x, x0 ) − d(a, x0 )| ≤ d(x, a) < δ
oldu§undan
∃δ = ε
alnabilir. O hale
f
fonksiyonu süreklidir.
Ba³arlar Dilerim.
Prof. Dr. smet KARACA