matr˙ısler
advertisement
MATRİSLER Murat Donduran∗ April 9, 2008 1 Giriş Matrisler iktisadın birçok alanında önemli bir role sahiptir. Markov süreci, girdi çıktı analizi, oyun teorisinde ödeme matrisi, katsayı matrisi ya da en geniş kullanım alanıyla ekonometri de karşımıza çıkmaktadır. 2 Temel Matris Kavramları Bir matris sayıları düzenli bir dikdörtgen biçiminde yazılmış bir örneğidir. Yani, herhangi bir veri tablosu matristir. Bir matrisin büyüklüğü satır ve sütun sayısıyla belirtilmektedir. k satırlı ve n sütunlu bir matrise k × n (k çarpı n) matris denir. i satır sayısı, j sütun sayısı (i, j). giriş olarak adlandırılır. aij olarak yazılır. Genellikle ekonometride kullanıldığı üzere satırlar yılları sütunlar ise belirli değişkenleri belirtmektedir. Bir vektör bir satırda ya da sütunda düzenlenmiş sıralı sayılar kümesidir. Satır vektörü matrisin bir satırı, sütun vektörü matrisin bir sütununu temsil etmektedir. Örneğin, 1972 yılında gözlemlenmiş beş değişken bir satır vektörüdür. Aynı şekilde tüketim için zaman serisi değerleri bir sütun vektörüdür. Bir matris sütunlar vektörünün bir kümesi olarak görülebilir. Bir matrisin boyutu içerdiği satır ve sütun sayısına eşittir. A, n × k matrisidir. Bu ifade her zaman n satır ve k sütun sayısına sahiptir anlamına gelmektedir. Eğer n = k ise, o zaman A matrisi kare matristir. a11 a12 . . a1k a21 a22 . . . . . . . A = [aik ] = [A]ik = . . . . . . an1 an2 . . ank ∗ Department of Economics, Yildiz Technical University, Istanbul, Turkey. [email protected] 1 e-mail: 2.1 2.1.1 Temel Matrisler Kare Matris k = n satır ve sütun sayısının eşit olduğu matrise denir. 2.1.2 Sütun Matris n = 1 sadece bir sütunu olan matristir. Örneğin, a b c verilebilir. 2.1.3 Satır Matris k = 1 sadece bir satırı olan matristir. Örneğin, ¡ ¢ 123 verilebilir. 2.1.4 Simetrik Matris A, aik = aki bütün i ve k değerleri için sağlanıyorsa matris simetrik matristir. Örneğin, 1 5 2 5 3 4 2 4 7 verilebilir. 2.1.5 Köşegen (Diagonal) Matris Bir kare matristir ve köşegenlerinin üstündeki ve altındaki farklı diğer bütün elemanları sıfıra eşittir. Örneğin, 1 0 0 0 3 0 0 0 7 verilebilir. 2.1.6 Sayıl (Scalar) Matrisi Köşegendeki bütün elemanların eşit olduğu bir köşegen matristir. 2 2.1.7 Birim (Identity) Matris Köşegenlerindeki elemanlarının hepsi 1 olan bir sayıl matristir. I ile gösterilir. Altsimge boyutunu göstermek için kullanılır. Örneğin, 1 0 0 I3 = 0 1 0 0 0 1 verilebilir. 2.1.8 Üst-Üçgen (Triangular) Matris Genellikle kare matrislerde söz konusudur. i > j olduğunda, aij = 0 ise, köşegenin altındaki elemanlar sıfır (0) olacaktır. Örneğin, 1 5 2 0 3 4 0 0 7 verilebilir. 2.1.9 Alt-Üçgen (Triangular) Matris Genellikle kare matrislerde söz konusudur. i < j olduğunda, aij = 0 ise, köşegenin üstündeki elemanlar sıfır (0) olacaktır. Örneğin, 1 0 0 5 3 0 2 4 7 verilebilir. 2.1.10 Denkgüçlü (Idempotent) Matris B × B = B eşitliğini sağlayan kare matristir. Örneğin, B = I ya da · ¸ 5 −5 4 −4 verilebilir. 2.1.11 Permutasyon Matrisi Her sütunda ya da satırda bir tane 0 1 0 1 olan kare matristir. Örneğin, 1 0 0 0 0 1 verilebilir. 3 2.1.12 Nonsingular Matris Rankı sütun ya da satır sayısına eşit olan kare matristir. Böyle bir katsayı matrisi için sistemin sadece 1 tane çözümü vardır. 2.2 2.2.1 Matrislerin Cebirsel Kullanımı Matrislerin Eşitliği A ve B matrisi (ya da vektörü) yalnızca ve yalnızca aynı boyutta ve A matrisinin her elemanı B matrisinin karşılık gelen elemanına eşit ise eşittir. Bütün i ve k değerleri için, aik = bik ⇒ A = B olacaktır. 4