0 H0 :λ = λ 0 ve Ha :λ = λ Xi c) H0 :λ = λ 0 ve Ha :λ >

14.381, Örnek Final Sınavı
Sonbahar 2005
Soru 1. WLLN varsayımlarını kaldırmak (Teorem 5.5.2)
a) p lim X n = µ olduğunu Teorem 5.5.2’de Xi için geçerli olan varsayımlar ile gösterinizsadece bağımsızlık varsayımını Xi’lerin ilgileşimsiz olduğu ile değiştiriyoruz.
b) Şimdi de tüm Xi’lerin aynı varyansa sahip olması varsayımını tüm varyansların C < ! şeklinde sınırlanması ile değiştirelim.
Soru 2. Şu yoğunluğu değerlendirin f y (y) =
2y
, burada 0 < y < ! , ! > 0 ’dır. (b)
!2
şıkkından sonrası için varsayalım bu dağılımdan Y1,…,Yn gözlemlerinden oluşan rastsal
bir örneklemi gözlemleyebiliyoruz.
a) Bunun aslında bir yoğunluk olduğunu gösteriniz.
b) Beklemler yöntemi (method of moments) tahmincisi ! ’yı sadece birinci bekleme
göre hesaplayınız.
c) Bu tahmincinin varyansını hesaplayınız.
d) ! ’yı örneklemde tahmin etmek için Fisher bilgisini hesaplayınız.
e) (c) ve (d)’deki sonuçlarınızı karşılaştırın ve yorumlayın.
Soru 3. Varsayalım Poisson (λ) dağılımından bir rastsal örneklem alalım. Herbir Xi için
e! ! ! x
olasılık yoğunluğu şudur: f x (x) =
burada 0 ! ! < " ve x=1, 2, 3, …’dır. Hem
x!
ortalama hem de varyans λ’ya eşittir.
a) Şu sınamayı yaptığınızı düşünün: H 0 : ! = !0 ve H a : ! = !1 > !0 . Bu sınamanın
büyük
! X için reddettiğini gösteriniz.
i
b) Bu test istatistiği için örnekleme dağılımını hesaplayınız (kritik değerin
hesaplanması için gereklidir). (Dikkat ediniz: kritik değeri açıkça hesaplamanıza
gerek yoktur.)
c) H 0 : ! = !0 ve H a : ! > !0 sınaması için bir UMP testi mevcut mudur?
Açıklayınız.
Soru 4. Bir rastsal değişken X ve Y = a + bX dönüşümünü değerlendiriniz. Bu iki rastsal
değişken arasındaki ilgileşim nedir? 1