q-anal z ve uygulamaları yüksek l sans tez

T.C.
AH EVRAN ÜNVERSTES
FEN BLMLER ENSTTÜSÜ
Q-ANALZ
VE UYGULAMALARI
Esra GÖK“N
YÜKSEK LSANS TEZ
MATEMATK ANABLM DALI
KIR“EHR
OCAK 2015
T.C.
AH EVRAN ÜNVERSTES
FEN BLMLER ENSTTÜSÜ
Q-ANALZ
VE UYGULAMALARI
Esra GÖK“N
YÜKSEK LSANS TEZ
MATEMATK ANABLM DALI
DANI“MAN
Yrd. Doç. Dr. M. Baki YA‡BASAN
KIR“EHR
OCAK 2015
ii
TEZ BLDRM
Tez içindeki bütün bilgilerin etik, davran³ ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunuldu§unu, ayrca tez yazm kurallarna uygun olarak hazrlanan bu çal³mada bana ait olmayan
her türlü ifade ve bilginin kayna§na eksiksiz atf yapld§n bildiririm.
Esra GÖK“N
iv
Q-ANALZ
VE UYGULAMALARI
(Yüksek Lisans Tezi)
Esra GÖK“N
Ahi Evran Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Ocak 2015
ÖZET
Tezin ilk ksm,
q -analizinde
gerekli tanm ve e³itliklerin yansra klasik analizin temel kavram-
lar olan türev, integral ve seri kavramlarnn
ikinci ksm, baz özel fonksiyonlarn
q
versiyonlarnn tantlmasna ayrlm³tr. Tezin
q -benzerlerinin
tantlmasna ayrlm³tr.
Tezin üçüncü
ve son ksmnda Picard, Gauss-Weierstrass operatörleri ile Bernstein tipi operatörlerinin
benzerleri ve bu operatörlerin yakla³m ve yaknsaklk özellikleri incelenmi³tir.
Anahtar Kelimeler:
q -analizi, q -integral
operatörler,
Sayfa Adedi: 36
Tez Yöneticisi: Yrd. Doç. Dr. M. Baki YA‡BASAN
v
q -özel
fonksiyonlar
q-
Q-ANALYSIS
AND APPLICATIONS
(Master Thesis)
Esra GÖK“N
Ahi Evran University
Institute of Science
January 2015
ABSTRACT
The rst chapter of this thesis is devoted to introduce
q -versions
power series besides some denitions and equalities required in
is devoted to introduce the
thesis,
q -analogues
q -analogues
of derivative, integral and
q -analysis.
of some special functions.
The second chapter
In the nal chapter of this
of Picard, Gauss-Weierstrass operators and Bernstein type operators are
introduced and their approximation and convergence properties are examined.
Keywords
q -analysis, q -integral
operators,
q -special
functions
Number of Pages: 36
Thesis Advisor: Yrd. Doç. Dr. M. Baki YA‡BASAN
vi
TE“EKKÜR
Bu tezi hazrlama a³amasnda bilgilerini payla³mak adna büyük yol almam sa§layan de§erli
hocam Yrd.
Doç.
Dr.
M. Baki YA‡BASAN'a ayrca her zaman bana destek olan dostlarm
“. Gülçiçek ESK ve Öznur YÜCEL'e ve hayatm boyunca yanmda olan aileme te³ekkürü bir
borç bilirim.
Esra GÖK“N
vii
ÇNDEKLER
ÖZET
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
ABSTRACT
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
TE“EKKÜR
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
ÇNDEKLER
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SMGELER VE KISALTMALAR
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.
GR“
2.
TEMEL KAVRAMLAR
3.
4.
viii
2.1.
q -Analizinde
2.2.
q -Türev
2.3.
q -Kuvvet
ve
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Temel Tanmlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
q -ntegral
Serileri
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
BAZI ÖZEL FONKSYONLAR VE
Q-BENZERLER
. . . . .
13
3.1.
Hipergeometrik Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.2.
Üstel Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.3.
Gama Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Q-ANALZNN
OPERATÖR TEORYE UYGULAMALARI
4.1.
q -Picard
4.2.
q -Bernstein-Kantorovich
4.3.
q -Bernstein-Durrmeyer
4.4.
q -Bernstein
q -Gauss-Weierstrass
Singüler ntegral Opertörleri . . .
Operatörleri
Operatörleri
19
. . . . . . . . . . . . . . . .
23
. . . . . . . . . . . . . . . .
27
. . . . . . . . . . .
28
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
KAYNAKLAR
ÖZGEÇM“
ve
19
Schurer Kantorovich Operatörleri
viii
SMGELER VE KISALTMALAR
Bu çal³mada kullanlm³ baz simgeler ve ksaltmalar, açklamalar ile birlikte
a³a§da sunulmu³tur.
Ksaltmalar
Açklama
[n]
Bir
(a; q)k
q -Pochammer
(a + x)nq
(a + x)n
exq
Eqx
n
tamsaysnn
nin
q -benzeri
sembolü
q -benzeri
Üstel fonksiyonun
q -benzeri
Üstel fonksiyonun
q -benzeri
cq (x)Γq (x)
Euler integral temsilinin
q -geni³lemesi
Pλ (f ; x)
Picard singüler integrali
Pλ (f ; q, x)
q -Picard
Wλ (f ; x)
Gauss-Weierstrass singüler integrali
Wλ (f ; q, x)
q -Gauss-Weierstrass
ωp (f ; δ)
f 'nin
Lp,ω (R)
R
singüler integrali
singüler integrali
süreklilik modülü
üzerinde
ω
a§rlk fonksiyonuna göre
p-mutlak
integrallenebilir fonksiyonlarn uzay
Bn (f ; x)
Bernstein polinomu
Bn (f ; q, x)
q -Bernstein
Kn (f, x)
Bernstein-Kantorovich operatörü
Kn,q (f, x)
q -Bernstein-Kantorovich
Dn (f, x)
Bernstein-Durrmeyer operatörü
Dn,q (f, x)
q -Bernstein-Durrmeyer
Bnp (f, x)
Bernstein-Schurer operatörü
Bnp (f ; q, x)
Knp (f ; q; x)
polinomu
q -Bernstein-Schurer
operatörü
operatörü
operatörü
q -Bernstein-Schurer-Kantorovich
ix
operatörü
1.
Kuantum analizi veya
q -analizinin
GR“
q -analizi genellikle limitsiz analiz olarakta bilinir ve
geçmi³i Leonhard Euler'e kadar uzanmaktadr. Aslnda
q -serileri
ilk
olarak saylar teorisi, eliptik ve modüler fonksiyonlarda örnekler olarak ortaya
çkt. Modern anlamda
olarak
q -integrallerin
ba³latlabilir.
q -analizinin ba³langc Jackson tarafndan yaynlanan, ilk
sistematik olarak tanmlanp geli³tirildi§i [1] makalesi ile
Daha sonra
q -gama
ile
q -beta
fonksiyonlarnn integral temsilleri
Sole ve Kac tarafndan [6]'da verilmi³tir. Günümüzde
lama alan vardr.
q -analizinin geni³ bir uygu-
Matematikte özel fonksiyonlar, ortogonal polinomlar ile Lie
cebirleri gibi ve zikte genel rölativite, sicim teorisi, kuantum kromodinami§i,
moleküler ve nükleer spektroskopi gibi uygulama alanlar vardr.
Fizikteki bu
uygulamalar hakknda bilgi almak için [2] nolu kayna§a baklabilir.
Son yllarda, bu tezde yer alan Picard, Gauss-Weierstrass ve Bernstein tipi
(Bernstein-Kantorovich, Bernstein-Durrmeyer ve Bernstein-Schurer-Kantorovich
gibi) operatörlerin yansra bu tezde yer almayan daha bir çok operatörün
q-
versiyonlar tanmlanp bu operatörlerin çe³itli yaknsaklk ve yakla³m özellikleri
bir çok matematikçi tarafndan ara³trlmaktadr. Ali Aral, Vijay Gupta ve Ravi
P. Agarwal [9]'de son yllarda tanmlanan
q -operatörleri
derlemi³lerdir.
Bu çal³mada, son bölüm [9] nolu kaynakta yer almayan M. A. Özarslan
ve T. Vedi tarafndan [18]'de tantlan
q -Bernstein-Schurer-Kantorovich operatör-
lerinin incelenmesine ayrlm³tr.
1
TEMEL KAVRAMLAR
2.
2.1.
q -Analizinde
Bu ksmda
q -faktöriyel
ve
Temel Tanmlar
q -analizindeki temel tanmlar olan q -saylarnn tanmlanmas,
q -Pochammer
sembolü gibi kavramlar tanmlanp
q -analizinin
ö-
nemli teoremlerden biri olan Binom teoremi verilecektir.
Klasik
q -teorisi
ba³lam³tr. Bir
n
negatif olmayan tamsaylarn
tamsaysnn
q -benzeri 0 < q < 1
lim−
q→1
için
Bu tez boyunca aksi söylenmedikçe
kabul edilecektir.
Tanm 2.1. Bir
[n]
tanmlamakla
1 − qn
=n
1−q
e³itli§inden ilham alarak tanmlanm³tr.
0<q<1
q -benzerlerini
n
pozitif tamsaysnn
q -benzeri 0 < q < 1
için
[n]q
veya ksaca
gösterimi kullanlr ve
[n] = [n]q =
1 − qn
= 1 + q + q 2 + · · · + q n−1
1−q
³eklinde tanmlanr. Bu son e³itlik, reel veya kompleks bir
tanmlamak için de kullanlr. Yani reel veya kompleks
[α] =
saysnn
q -benzeri
1 − qα
1−q
³eklinde tanmlanm³tr. Bu son e³itlikte
lizdeki sonsuz kavramnn
α
α saysnn q -benzerini
α→∞
için limit alnarak klasik ana-
q -benzeri
[∞] =
1
1−q
³eklinde tanmlanr [3].
Tanm 2.2. Do§al saylardaki faktöriyel kavramna benzer ³ekilde bir
tamsays için
[n]! = [1][2] · · · [n]
Tanm 2.3. Bir
çarpm
e³itli§i ile tanmlanr. Ayrca
[0]! = 1
n
pozitif
dir [3].
a kompleks says ve 0 < q < 1 için (1 − a)(1 − aq) · · · (1 − aq k−1 )
(a; q)k sembolü ile gösterilir ve (a; q)k gösterimine q -Pochhammer sembolü
denir [3].
2
Bu durumda
(a; q)n = (1 − a)(1 − aq) · · · (1 − aq n−1 ) =
Bu e³itlikte
n→∞
Q∞
k
k=0 (1 − aq
)
Qn−1
k=0 (1 − aq
k
) olur.
q -Pochammer sembolü (a; q)∞ =
Q
k
(q; q)∞ = ∞
k=0 (1 − qq ) oldu§undan
için limit alnarak sonsuz
elde edilir.
a=q
q -faktöriyel, q -Pochhammer
[n]! =
alnd§nda
sembolü cinsinden
(q; q)n
(q; q)∞
=
n
(1 − q)
(1 − q)n (q n+1 ; q)∞
³eklinde ifade edilebilir.
Klasik analizde
dir ve
(x + y)n
n, k
n>k
n
n!
=
k
k!(n − k)!
iki do§al say ve
olmak üzere
iki terimlisi
n X
n n−k k
x y
(x + y) =
k
k=0
n
³eklinde açlma sahiptir.
q -analizinde
xq = qx,
yq = qy
ve
yx = qxy
de§i³me kurallar kabul edildi§inde Gaussian katsaylar veya Gaussian Binom
katsaylar olarak da adlandrlan
q -binom
katsaylarnn tanmna ula³lr.
q -benzeri
" #
n
[n]!
=
[n − k]! [k]!
k
Tanm 2.4. Binom katsaylarnn
³eklinde tanmlanr [3].
q -Binom
katsaylarnn
" #
n
k
³eklindedir. Üstelik
=
(x + y)n
q -Pochhammer
(q;q)n
(1−q)n
(q;q)n−k (q;q)k
(1−q)n−k (1−q)k
=
cinsinden ifadesi
(q; q)n
(q; q)n−k (q; q)k
iki terimlisinin açlmnn
n
(x + y) =
" #
n
X
n
k=0
³eklindedir.
3
k
xn−k y k
q -analizindeki
kar³l§
Klasik analizde binom katsaylar arasnda
n+1
k
n
n
=
+
k
k−1
³eklinde bir ili³ki vardr. Gaussian Binom katsaylar arasnda ise
"
n+1
#
=
k
ve
"
n+1
k
" #
n
#
k
" #
n
=
k
"
qk +
#
n
k−1
"
+ q n+1−k
n
#
k−1
³eklinde iki ili³ki söz konusudur. Burada
" #
n
0
" #
n
= 1,
n
=1
dir [3].
q -Pochammer sembolü ile ilgili a³a§daki e³itlikler daha önce verilen tanm
ve e³itlikler kullanlarak do§rudan hesaplamalarla ispatlanabilir. Burada verilen
e³itlikler ve fazlas için [5] nolu referansa baklabilir.
(a;q)∞
(aq n ;q)∞
(1)
(a; q)n =
(2)
(a; q)n+k = (a; q)n (aq n ; q)k
(3)
(a; q)n =
(4)
(a; q)n = (a; q)k (aq k ; q)n−k ,
(5)
(a; q)n = (a−1 q 1−n ; q)n (−a)n q ( 2 ) ,
(6)
(aq −n ; q)n = (a−1 q; q)n (−a)n q −n−( 2 ) ,
(7)
(a; q)2n = (a; q 2 )n (aq; q 2 )n
(8)
(a2 ; q 2 )n = (a; q)n (−a; q)n
(9)
(a; q)∞ = (a; q 2 )∞ (aq; q 2 )∞
(a;q)k (aq k ;q)n
(aq n ;q)k
k = 0, 1, 2, . . . , n
n
a 6= 0
n
a 6= 0
(10)
(a2 ; q 2 )∞ = (a; q)∞ (−a; q)∞
(11)
(a; q)k = (1 − a)(aq; q)k−1
(12)
(q; q)k = (1 − q k )(q; q)k−1
(13)
(a; q)k − (aq; q)k = −a(1 − q k )(aq; q)k−1
4
Bu ksm,
q -Binom
teoreminin ifadesi, ispat ve baz sonuçlar ile bitirile-
cektir.
Teorem 2.5. Her
k∈N
için
∞
Y
ck ≥ 0
(1 − ck ) < ∞ ⇔
k=0
∞
X
ck < ∞
k=0
[8].
|x| < 1, |q| < 1
q
Teorem 2.6. ( -Binom Teoremi)
∞
X
(a; q)k
k=0
(q; q)k
xk =
için
(ax; q)∞
(x; q)∞
dr [3].
spat
fa (x) =
P∞
(a;q)k k
k=0 (q;q)k x olsun. Bu durumda
∞
fa (x) − fa (qx) X (a; q)k xk − (qx)k
=
x(1 − q)
(q; q)k x(1 − q)
k=0
e³itli§inden
∞
fa (x) − fa (qx)
1 X (a; q)k k
=
x (1 − q k )
x
x k=0 (q; q)k
=
∞
X
(a; q)k
k=1
(q; q)k
(1 − q k )xk−1
elde edilir. Burada (11) ve (12) e³itlikleri kullanlarak
∞
fa (x) − fa (qx) X (a; q)k
=
(1 − q k )xk−1
x
(q;
q)
k
k=1
=
∞
X
(1 − a)(aq; q)k−1
k=1
(1 −
= (1 − a)
q k )(q; q)k−1
(1 − q k )xk−1
∞
X
(aq; q)k−1
k=1
(q; q)k−1
xk−1
= (1 − a)faq (x)
bulunur. Dolaysyla da
fa (x) − fa (qx) = (1 − a)xfaq (x)
e³itli§i elde edilir.
5
(2.1)
fa
fonksiyonunun tanmlan³ndan
fa (x) − faq (x) =
∞
X
(a; q)k
k=0
=
faq (x) =
(q; q)k
k
x −
P∞
(aq;q)k k
k=0 (q;q)k x olup
∞
X
(aq; q)k
(q; q)k
k=0
∞
X
(a; q)k − (aq; q)k
(q; q)k
k=1
xk
xk
elde edilir. Burada (13) e³itli§i kullanlarak
fa (x) − fa (qx) =
∞
X
(a; q)k − (aq; q)k
(q; q)k
k=1
=
xk
∞
X
−a(1 − q k )(aq; q)k−1
(1 − q k )(q; q)k−1
k=1
= −ax
= −ax
∞
X
(aq; q)k−1
k=1
∞
X
k=0
(q; q)k−1
xk
xk−1
(aq; q)k k
x
(q; q)k
= −axfaq (x)
bulunur. Dolaysyla da
fa (x) = (1 − ax)faq (x)
(2.2)
e³itli§i elde edilir. Elde edilen (2.1) ve (2.2) e³itlikleri taraf tarafa oranlanlanarak
fa (x) − fa (qx)
(1 − a)xfaq (x)
=
fa (x)
(1 − ax)faq (x)
ve bu e³itlik düzenlenerek
1 − ax
fa (qx)
1−x
1 − ax 1 − aqx
fa (x) =
fa (q 2 x)
1 − x 1 − qx
fa (x) =
.
.
.
fa (x) =
1 − ax 1 − aqx
1 − aq n−1 x
(ax; q)n
n
···
f
(q
x)
=
fa (q n x)
a
n−1
1 − x 1 − qx
1−q x
(x; q)n
elde edilir. Burada
n → ∞ iken limit alnabilmesi için (ax; q)n
P∞
olmas gerekmektedir. O halde, Teorem 2.5.'den dolay
yaknsak oldu§undan
n→∞
Q∞
k=0 (1 − xq
k
) ve
Q∞
k=0 (1 − axq
k
fa (x) =
k=0
(q; q)k
bulunur.
6
xk =
(x; q)n
qk
geometrik serisi
yaknsak
) çarpmlar da yaknsaktr.
iken limit alnarak
∞
X
(a; q)k
k=0
ve
(ax; q)∞
(x; q)∞
Sonuç 2.7.
(a)
∞
X
n=0
(b)
q -binom
teoreminin sonuçlar a³a§da verilmi³tir [3].
1
xn
=
, |x| < 1, |q| < 1.
(q; q)n
(x; q)∞
n
∞
X
(−1)n q ( 2 ) xn
= (x; q)∞ , |q| < 1.
(q; q)n
" #
PN
k
N
(−1)k q (2) xk = (x; q)N .
k=0
k
#
"
P∞ N + k − 1 k
1
x = (x;q)
, |x| < 1.
k=0
N
k
n=0
(c)
(d)
spat Teorem(2.6.)'da
a = 0, a = q −N
(d) e³itlikleri elde edilir.
ve
x
2.2.
yerine
ax
q -Türev
ve
a = qN
konularak srasyla (a), (c) ve
(b) ³kkn elde etmek için Teorem(2.6.)'da
a
yerine
1
a
yazmak yeterlidir.
ve
Tanm 2.8. Bir
q -ntegral
f
q -diferensiyeli dq f
fonksiyonunun
ile gösterilir ve
dq f (x) = f (x) − f (qx)
³eklinde tanmlanr [6].
Tanm 2.9. Bir
f
fonksiyonunun
q -türevi Dq f
x 6= 0
olmak
fonksiyonunun
x = 0
ile gösterilir ve
üzeren klasik analizdeki türev tanmna benzer olarak
Dq f (x) =
f (x) − f (qx)
dq f (x)
=
dq x
(1 − q)x
³eklinde iki diferensiyelin oran olarak tanmlanr [6].
noktasndaki
0
q -türevi ise f (0) olarak tanmlanr.
Buna göre bir
q -türevi
(
Dq f (x) =
f (qx)−f (x)
,
(q−1)x
0
f (0),
³eklinde de ifade edilir [5].
7
f
x 6= 0
x=0
f
fonksiyonunun
q -Türev
ile ilgili özellikler a³a§da listelenmi³tir.
Bu e³itliklerin ispat
türev tanm ve do§rudan hesaplamalarla elde edilebilir.
q-
Bu e³itlikler ispat ile
[4]'de bulunabilir.
(1)
Dq (f (x) ± g(x)) = (Dq f )(x) ± (Dq g)(x)
(2)
Dq (αf (x)) = α(Dq f )(x)
(3)
Dq (f (x)g(x)) = f (qx)(Dq g)(x) + g(x)(Dq f )(x)
(4)
Dq (f (x)g(x)) = f (x)(Dq g)(x) + g(qx)(Dq f )(x)
f (x)
g(x)Dq f (x) − f (x)Dq g(x)
Dq
=
, g(qx)g(x) 6= 0
g(x)
g(qx)g(x)
f (x)
g(qx)Dq f (x) − f (qx)Dq g(x)
Dq
=
, g(qx)g(x) 6= 0
g(x)
g(qx)g(x)
(5)
(6)
Burada sadece Leibniz kuralnn ispat verilecektir.
f (x)g(x) − f (qx)g(qx)
(1 − q)x
f (x)g(x) − f (qx)g(x) + f (qx)g(x) − f (qx)g(qx)
=
(1 − q)x
g(x) − g(qx)
f (x) − f (qx)
= f (qx)
+ g(x)
(1 − q)x
(1 − q)x
Dq (f (x)g(x)) =
= f (qx)(Dq g)(x) + g(x)(Dq f )(x)
elde edilir.
likte
Böylece (3) ispatlanr.
f (qx)g(x)
yerine
f (x)g(qx)
(4) e³itli§ini ispatlamak için ikinci e³it-
terimi eklenip çkartlr ve gerekli düzenlemeler
yaplrsa (4) görülür.
Tanm 2.10.
rilmi³tir. Bir
Z
q -integralin
f
tanm Thomae[1869] ve Jackson[1910] tarafndan ve-
fonksiyonunun
a
f (x)dq x =
∞
X
0
[0, a]
aral§ üzerinden
n
n
f (aq )(aq − aq
n+1
q -integrali
) = a(1 − q)
n=0
e³itli§i ile tanmlanr.
Z
a
ve
n=0
b
key saylar olmak üzere
b
Z
b
Z
f (x)dq x −
f (x)dq x =
a
∞
X
0
f (x)dq x
0
³eklinde tanmlanr [3].
8
a
q n f (aq n )
q → 1−
Burada
iken limit alnarak
a
Z
lim−
a
f (x)dx
f (x)dq x =
q→1
elde edilir.
Z
0
0
Klasik analizin temel teoremlerinin
q -benzerleri
a³a§da verilmi³tir.
Bu teoremler ispatlaryla birlikte [3]'de bulunabilir.
x=a
Teorem 2.11.
Dq F = f
yani
noktasnda sürekli bir
f
fonksiyonunun
q -anti
türevi
F
ise
ise
b
Z
f (x)dq x = F (b) − F (a)
a
dr [3].
spat
F (x) = (1 − q)x
P∞
n=0
q n f (q n x) + F (0)
³eklinde tanmlansn. Bu durumda
F (x) − F (qx)
(1 − q)x
∞
∞
X
X
1
j
j
j
j+1
=
(1 − q)x
q f (q x) − (1 − q)qx
q f (q x)
(1 − q)x
j=0
j=0
Dq F (x) =
∞
X
=
j=0
∞
X
=
q j f (q j x) −
q j f (q j x) −
j=0
olur. Böylece
Z
F
Z
q j f (q j x) = f (x)
f
nin ilkelidir. Buradan
a
b
Z
f (x)dq x −
f (x)dq x =
a
j=0
∞
X
q j+1 f (q j+1 x)
j=1
fonksiyonu
b
∞
X
= b(1 − q)
f (x)dq x
0
0
∞
X
n
n
q f (bq ) − a(1 − q)
n=0
∞
X
n=0
= F (b) − F (a)
elde edilir.
Teorem 2.12. Herhangi bir
f
fonksiyonu için
Z
Dq
x
f (t)dq t = f (x)
0
dir [3].
9
q n f (aq n ) + F (0) − F (0)
2.3.
q -Kuvvet
Serileri
Klasik analizde
∞
X
ck (x − a)k = c0 + c1 (x − a) + · · · + cn (x − a)n + · · ·
k=0
kuvvet serisi
³eklindeki sonsuz toplama
f
katsaylar ad verilir. E§er bir
mertebeden türeve sahip ise
f
denir.
fonksiyonu
a
Buradaki
ck
saylarna serinin
noktasnn bir kom³ulu§unda her
fonksiyonu bu kom³uluktaki her bir
f (x) =
∞
X
f (n) (a)
n!
n=1
Herhangi bir
D q xn =
f
fonksiyonunun
n ∈ Z+ ∪ {0}
için
q -Taylor
xn
nn
için
(x − a)n
³eklinde bir kuvvet serisi olarak ifade edilebilir. Bu kuvvet serisine
denir. Bu ksmda bir
x
Taylor serisi
serisi kavram incelenecektir.
q -türevi
(qx)n − xn
(q n − 1)xn
1 − q n xn
=
=
= [n]xn−1
(q − 1)x
(q − 1)x
1−q x
olmasna ra§men
Dq (x − a)n 6= [n](x − a)n−1
dir.
Dolaysyla
Taylor serisinde
Tanm 2.13.
q -analizinde Dq (x − a)nq = [n](x − a)qn−1
(x − a)n
özelli§ini sa§layan ve
ifadesinin yerini tutacak bir ifadeye ihtiyaç vardr.
a, b ∈ C ve n ∈ Z+ ∪ {0} olmak üzere (a + b)n
nin
q -benzeri (a + b)nq
ile gösterilir ve
(
(a +
b)nq
=
1,
Qn−1
n=0
j=0 (a
j
+ q b) = (a + b)(a + bq) · · · (a + bq
n−1
), n ≥ 1
e³itli§i ile tanmlanr [6].
Örnek 2.14. Bu örnekte,
n ∈ Z+ ve a ∈ C olmak üzere Dq (x+a)nq = [n](x+a)n−1
q
10
e³itli§inin sa§land§ gösterilecektir.
Dq (x +
a)nq
=
=
=
=
=
=
(qx + a)nq − (x + a)nq
(q − 1)x
(qx + a) · · · (qx + aq n−1 ) − (x + a) · · · (x + aq n−1 )
(q − 1)x
n−1
((qx + a)q
− (x + aq n−1 ))(x + a)n−1
q
(q − 1)x
(q n x + aq n−1 − x − aq n−1 )(x + a)n−1
q
(q − 1)x
n
(q − 1)x(x + a)n−1
q
(q − 1)x
qn − 1
(x + a)qn−1
q−1
= [n](x + a)qn−1 ,
Örnek 2.15.
(x + a)0q = 1
e³itli§inin
n ∈ Z+ ve a ∈ C olmak üzere Dq (a+x)nq = [n](a+qx)n−1
q
sa§land§ gösterilecektir.
Dq (a +
x)nq
=
=
=
=
=
=
(a + qx)nq − (a + x)nq
(q − 1)x
(a + qx) · · · (a + q n x) − (a + x) · · · (a + q n−1 x)
(q − 1)x
n
((a + q x) − (a + x))(a + qx)n−1
q
(q − 1)x
n
(a + q x − a − x)(a + qx)qn−1
(q − 1)x
n
(q − 1)x(a + qx)n−1
q
(q − 1)x
qn − 1
(a + qx)qn−1
q−1
= [n](a + qx)qn−1
Sonuç olarak
Dq (x + a)nq 6= Dq (a + x)nq
Dq (x − a)nq = −[n](x − a)n−1
q
bir
f
nin
q -Taylor
f
fonksiyonu
Benzer i³lemler yaplarak
e³itli§i benzer hesaplamalarla gösterilebilir. Böylece
fonksiyonunun Taylor açlmnn
Tanm 2.16.
dir.
(a, b)
q -benzeri
a³a§daki ³ekilde verilebilir.
aral§nda sürekli ve
c ∈ [a, b]
açlm
f (z) =
∞
X
Dqn f (c)
n=0
[n]!
(z − c)nq ,
11
z ∈ (a, b)
olsun. O halde
f
formal serisi ile verilir [7].
Basit hesaplamalarla
Dolaysyla bir
f
(a − b)nq = an ( ab ; q)n
fonksiyonunun
q -Taylor
f (z) =
serisi
∞
X
Dqn f (c)
n=0
[n]!
e³itli§i ile verilir.
12
e³itli§i kolayca gösterilebilir.
zn
c ;q n
z
BAZI ÖZEL FONKSYONLAR VE
3.
3.1.
Q-BENZERLER
Hipergeometrik Fonksiyonlar
Klasik analizde hipergeometrik fonksiyon
r Fs
∞
X
a1 , · · · , ar (a1 )k · · · (ar )k z k
z
=
(b1 )k · · · (bs )k k!
b ,··· ,b 1
s
k=0
³eklinde tanmlanmaktadr. Burada hipergeometrik fonksiyonun yaknsaklk yarçap


∞ ; r < s + 1
ρ= 1 ; r =s+1


0 ; r >s+1
dr.
Tanm 3.1. Hipergeometrik fonksiyonun
r ϕs
q -benzeri
∞
1+s−r z k
X
a1 , · · · , ar (a1 ; q)k · · · (ar ; q)k k (k2)
q; z =
(−1) q
(b1 ; q)k · · · (bs ; q)k
(q; q)k
b ,··· ,b 1
s
k=0
³eklinde tanmlanr. Burada
q -hipergeometrik fonksiyonun


∞ ; r < s + 1
ρ= 1 ; r =s+1


0 ; r >s+1
yaknsaklk yarçap
dr[5].
(a; q)n = (1 − a)(1 − aq) · · · (1 − aq n−1 ) = (1 − a)nq
oldu§undan
q -hipergeo-
metrik seri
r ϕs
X
∞
1+s−r z k
(1 − a1 )kq · · · (1 − ar )kq a1 , · · · , ar k (k2)
(−1)
q
q;
z
=
(1 − b1 )k · · · (1 − bs )k
(1 − q)k
b ,··· ,b 1
s
k=0
q
³eklinde verilebilir.
13
q
q
Hipergeometrik fonksiyonlarn baz dönü³üm formülleri
2 ϕ1
−1
∞
(1 − az)∞
a, b b c, z q (1 − b)q
q; z =
ϕ
q; b
∞ 2 1
(1 − c)∞
c az
q (1 − z)q
∞
(1 − b−1 c)∞
abc−1 z, b c
q (1 − bz)q
=
2 ϕ1
q; b
∞
(1 − c)∞
bz
q (1 − z)q
−1 −1 (1 − abc−1 z)∞
a c, b c abz
q
=
2 ϕ1
q; c
(1 − z)∞
c
q
olup bu dönü³üm formülleri ile daha fazlas [5]'de bulunabilir.
3.2.
Üstel Fonksiyon
Klasik analizde üstel fonksiyonun seri açlm
x
e =
∞
X
xn
n=0
dr.
Bu ksmda üstel fonksiyonun
fonksiyonun iki farkl
Eqx
q
n!
q -benzerleri
incelenecektir.
Literatürde üstel
q -üstel fonksiyonlar srasyla exq ve
P∞ xn
x
gösterilen q -benzeri e =
n=0 n! seri
benzeri mevcuttur. Bu
ile gösterilir. Üstel fonksiyonun
exq
ile
açlm kullanlarak tanmlanr. Yani
exq
∞
X
xn
=
[n]!
n=0
e³itli§i ile tanmlanr. Buradan
exq
∞
X
xn
=
[n]!
n=0
=
=
∞
X
(1 − q)n xn
n=0
∞
X
n=0
=
elde edilir.
(q; q)n
(1 − q)x
(q; q)n
n
1
1
=
∞
(1 − q)x; q ∞
1 − (1 − q)x q
Üstel fonksiyonun di§er
q -benzeri Eqx
ile gösterilir ve
siyonu Sonuç 2.7. (b)'deki
n
∞
X
(−1)n q ( 2 ) xn
n=0
(q; q)n
14
= (x; q)∞
Eq
üstel fonk-
e³itli§inde
Eqx
x
=
yerine
−(1 − q)x
yazlarak
n
∞
X
q ( 2 ) (−(1 − q)x)n
(q; q)n
n=0
³eklinde tanmlanr.
= − (1 − q)x; q
Yukarda tantlan
q -üstel
∞
= 1 + (1 − q)x
∞
q
fonksiyonlarn tanmlar için [7]
veya [3]'e baklabilir.
q -üstel
Burada yeni tanmlanan
lk olarak,
eq
ve
exq
Eq
fonksiyonlar
= 1 ϕ0
q -hipergeometrik
fonksiyon cinsinden
X
∞
0 xn
1
q;
x
=
=
;
(q;
q)
(x;
q)
−
n
∞
n=0
ve
Eqx
fonksiyonlarn özellikleri incelenecektir.
= 0 ϕ0
|x| < 1
n
X
∞
− q ( 2 ) xn
q; −x =
= (−x; q)∞
(q; q)n
−
n=0
³eklinde verilebilir. Ayrca
∞
1
1
−
(1
−
q)x
=1
q
1 − (1 − q)x)∞
q
exq · Eq−x =
oldu§u görülür [7].
Teorem 3.2.
eq
üstel fonksiyonunda
elde edilir. Yani
lim−
q→1
q → 1−
iken limit alnarak üstel fonksiyon
1
= ex
(1 − (1 − q)x)∞
q
dir [3].
spat
lim− exq = lim−
q→1
q→1
= lim−
q→1
= lim−
q→1
= lim−
q→1
=
∞
X
n=0
1
(1 − (1 − q)x)∞
q
∞
X xn
(1−q)n
q
n=0 (1−q)n
∞
X
xn
1−q 1−q 2
n=0 1−q 1−q
∞
X
n=0
n
· · · 1−q
1−q
xn
1(1 + q) · · · (1 + q + · · · + q n−1 )
xn
n!
= ex
elde edilir.
15
Teorem 3.3. Benzer ³ekilde
Eq
üstel fonksiyonunda
q → 1−
iken limit alnarak
üstel fonksiyon elde edilir. Yani
x
lim (1 + (1 − q)x)∞
q = e
q→1−
dir [3].
spat
lim Eqx = lim− (1 + (1 − q)x)∞
q
q→1−
q→1
= lim−
q→1
= lim−
q→1
= lim−
q→1
=
n
∞
X
q ( 2 ) xn
(1−q)n
q
n=0 (1−q)n
n
∞
X
q ( 2 ) xn
1−q 1−q 2
n=0 1−q 1−q
∞
X
n=0
n
· · · 1−q
1−q
n
q ( 2 ) xn
1(1 + q)(1 + q + q 2 ) · · · (1 + q + · · · + q n−1 )
∞
X
xn
n=0
n!
= ex
elde edilir.
Örnek 3.4.
q -üstel
fonksiyonlarn
Dq exq =
exq
q -türevi
eqx
q
−
(1 − q)x
X
∞
∞
X q n xn
xn
−
[n]! n=0 [n]!
n=0
X
∞
(1 − q n )xn
1
=
(1 − q)x n=0
[n]!
1
=
(1 − q)x
∞
X
(1 − q n )xn
=
(1 − q)[n]!x
n=1
=
∞
X
n=1
[n]
xn−1
[n − 1]![n]
∞
X
xn−1
=
[n − 1]!
n=1
∞
X
xn
=
= exq
[n]!
n=0
16
ve
Eqx − Eqqx
(1 − q)x
X
∞
∞
n
n n
X
n x
n q x
1
(
)
(
)
=
q 2
−
q 2
(1 − q)x n=0
[n]! n=0
[n]!
Dq Eqx =
∞
X n (1 − q n )xn
1
=
q(2)
(1 − q)x n=1
[n]!
=
∞
X
n
q(2)
n=1
=
∞
X
n
q(2)
n=1
∞
X
(1 − q n ) n−1
x
(1 − q)[n]!
xn−1
[n − 1]!
n
n+1 x
)
(
2
=
q
[n]!
n=0
=
∞
X
n
q ( 2 )+n
n=0
=
∞
X
n
q(2)
n=0
xn
[n]!
(qx)n
[n]!
= Eqqx
elde edilir.
3.3.
Gama Fonksiyonu
Klasik analizde gama fonksiyonu
Z
Γ(t) =
t>0
için
∞
xt−1 e−x dx
0
s, t > 0 için
Z 1
B(t, s) =
xt−1 (1 − x)s−1 dx
³eklinde ve beta fonksiyonu ise
0
³eklinde tanmlanr.
17
Gama ve beta fonksiyonlarnn baz özelliklerini hatrlatacak olursak
Γ(t + 1) = tΓ(t)
Γ(1) = 1
B(t, s) =
Γ(t)Γ(s)
Γ(t + s)
dir.
Tanm 3.5.
t>0
için
q -gama
fonksiyonu
[∞]
Z
xt−1 Eq −qx dq x
Γq (t) =
0
olarak tanmlanm³tr.
s, t > 0
q -beta
için
fonksiyonu ise
1
Z
xt−1 (1 − qx)s−1
q dq x
Bq (t, s) =
0
olarak tanmlanm³tr [6].
Γq (t)
Çünkü
ve
q → 1−
Teorem 3.6.
Bq (t, s)
gama ve beta fonksiyonlarnn uygun bir
iken limit alnarak sras ile
Γq
Γ(t)
ve
B(t, s)
Γq (α) = (1 − q
∞
Y
1 − q n+1
(q; q)∞
)
= (1 − q)1−α α
n+α
1−q
(q ; q)∞
n=0
e³itli§i ile verilebilir [7].
Özel olarak
Γq (1) = 1
ve her
t>0
için
Γq (t + 1) = [t]Γq (t)
e³itli§i sa§lanr [6].
Teorem 3.7.
elde edilir.
fonksiyonu
1−α
q -gama
ve
q -beta
fonksiyonlar arasnda
Bq (t, ∞)
(1 − q)t
Γq (t) =
ve
Bq (t, s) =
Γq (t)Γq (s)
Γq (t + s)
ili³kisi vardr [6].
18
q -benzeridir.
Q-ANALZNN
4.
q -Picard
4.1.
ve
OPERATÖR TEORYE UYGULAMALARI
q -Gauss-Weierstrass
Singüler ntegral Opertörleri
f
Reel de§i³kenli, reel de§erli bir fonksiyon
olsun.
λ > 0
ve
x ∈ R
için
Picard ve Gauss-Weierstrass singüler integral operatörleri srasyla
1
Pλ (f ; x) =
2λ
ve
∞
Z
1
Wλ (f ; x) = √
πλ
|t|
f (x + t)e− λ dt
−∞
Z
∞
t2
f (x + t)e− λ dt
−∞
e³itlikleri ile tanmlanr.
Bu operatörlerin
q -geni³lemelerini tanmlamak için [10]'da 0 < q < 1 gama
fonksiyonu için Euler integral temsilinin a³a§daki
1 − q x(x−1)
cq (x)Γq (x) =
q 2
ln q −1
Z∞
q -geni³lemesi
tx−1
dt,
Eq ((1 − q)t)
kullanlm³tr:
Re x > 0
(4.1)
0
burada
cq (x) =
³eklinde tanmldr.
cq
1.
cq (x + 1) = cq (x)
2.
cq (n) = 1,
3.
limq→1− cq (x) = 1
1 − q x(x−1) Γ(x)Γ(1 − x)
q 2
ln q −1
Γq (x)Γq (1 − x)
fonksiyonu
n = 0, 1, 2, . . .
³artlarn sa§lar [10].
Tanm 4.1.
f
nin
f :R→R
q -genelle³tirilmi³
bir fonksiyon olsun.
Picard ve
λ>0
q -genelle³tirilmi³
ve
0<q <1
Gauss-Weierstrass singüler
integralleri srasyla
(1 − q)
Pλ (f ; q, x) =
2[λ] ln q −1
ve
1
Z
∞
−∞
Wλ (f ; q, x) = p
π [λ](q 1/2 ; q)1/2
19
f (x + t)
dt
Eq
Z
(1−q)|t|
[λ]
∞
−∞
olmak üzere
f (x + t)
dt
t2
Eq [λ]
tanmlanr [9].
q → 1−
için bu genelle³tirmelerin Picard ve Gauss-Weierstrass singüler
integral operatörlere indirgendi§ine dikkat ediniz.
Bu integral operatörlerin
Lp (R)
de yaknsaklk oranlar, a§rlkl uzayda
yaknsaklklar, yakla³k hatalar ve global pürüzsüzlük koruma özelli§i [9]'da incelenmi³tir.
Tanm 4.2. Bir
f ∈ Lp (R)
için
f
nin süreklilik modülü
ωp (f ; δ) = sup kf (· + h) − f (·)kp
|h|≤δ
e³itli§i ile tanmlanr, burada
Lemma 4.3. Her
operatörü ile
(a)
(b)
R
R
R
R
λ>0
ve
kf kp =
R
∞
−∞
0<q<1
q -Gauss-Weierstrass
için
|f (x)|p dx
R
1/p
üzerinden
dir [9].
q -Picard
operatörünün integralleri
1
singüler integral
dir, yani
Pλ (f ; q, x)dx = 1,
Wλ (f ; q, x)dx = 1
olur [9].
“imdiki lemma
Lp (R)
q -Picard
ve
q -Gauss-Weierstrass
integral operatörlerinin
üzerinde snrl oldu§unu ifade eder.
Lemma 4.4.
f ∈ Lp (R), 1 ≤ p < ∞
ve
0<q<1
olsun. Bu takdirde
kPλ (f ; q, ·)kp ≤ kf kp
ve
kWλ (f ; q, ·)kp ≤ kf kp
e³itsizlikleri do§rudur [9].
Bu operatörler için yaknsaklk oranlar a³a§daki teoremde verilmi³tir.
Teorem 4.5.
1≤p<∞
olmak üzere
f ∈ Lp (R)
ise
1
kPλ (f ; q, ·) − f (·)kp ≤ ωp (f ; [λ]) 1 +
q
20
ve
kWλ (f ; q, ·) − f (·)kp ≤ ωp
q
p −1/2
1/2
f ; [λ]
1+ q
(1 − q )
e³itsizlikleri sa§lanr [9].
spat Lemma 4.3. gere§i
1−q
Pλ (f ; q, x) − f (x) =
2[λ] ln q −1
Z
∞
−∞
f (x + t) − f (x)
dt
Eq (1−q)|t|
[λ]
yazlr. Buradan
kPλ (f ; q, ·) − f (·)kp ≤
1−q
2[λ] ln q −1
1−q
≤
2[λ] ln q −1
p 1/p
Z∞ Z∞
f
(x
+
t)
−
f
(x)
dx
 dt
(1−q)|t|
Eq
[λ]
−∞ −∞

Z∞
−∞
ωp (f ; |t|)
dt
(1−q)|t|
Eq
[λ]
Z∞ 1−q
|t|
dt
≤ ωp (f ; [λ])
1
+
2[λ] ln q −1
[λ] E (1−q)|t|
q
[λ]
−∞
1
≤ ωp (f ; [λ]) 1 +
q
elde edilir.
ve
Burada gama fonksiyonu için Euler integral temsilinin
Γq (n + 1) = [n]!
e³itli§i ile
C>0
q -geni³lemesi
için
ωp (f ; Cδ) ≤ (1 + C)ωp (f ; δ)
e³itsizli§i kullanlm³tr.
Benzer ³ekilde, Berg'in [11]'de hesaplad§
Z
∞
−∞
2
t2k
1/2
− k2
dt
=
π
q
;
q
q
q 1/2 ; q k ,
1/2
2
Eq (t )
k = 0, 1, 2, . . .
integral kullanlarak
p !
Z∞
ωp f ; [λ]
|t|
dt
kWλ (f ; q, ·) − f (·)kp ≤ p
1+ p
1/2
π [λ](q ; q)1/2
[λ] Eq t2
[λ]
−∞


1/2 
Z ∞ 2
p 1
t
dt


 
≤ ω f ; [λ] 1 +

1/2
π[λ](q ; q)1/2 −∞ [λ] E t2
q
≤ ωp f ;
p
[λ]
q
1 + q −1/2 (1 − q 1/2 )
21
[λ]
elde edilir.
0<q<1
olmak üzere
q'
nun sabit bir de§eri için
lim [λ] =
λ→∞
oldu§undan son teorem,
1
1−q
Lp -normunda Pλ (f ; ·) − f (·)
vermez. Bununla birlikte, e§er
λ
qλ → 1
λ→∞
olacak ³ekilde ³eçilirse
ya ba§l
qλ
için
için bir yaknsaklk oran
0 < qλ < 1
saysn
[λ]qλ → ∞
olur.
ve
λ→∞
iken
Böylece a³a§daki
teorem verilebilir.
Teorem 4.6.
p<∞
qλ ∈ (0, 1)
olmak üzere
says
f ∈ Lp (R)
λ→∞
qλ → 1
için
³artn sa§lasn.
E§er
16
ise
kPλ (f ; qλ , ·) − f (·)kp 6 ωp f ; [λ]qλ
1
1+
qλ
ve
kWλ (f ; qλ , ·) − f (·)kp 6 ωp f ;
q
[λ]qλ
r
1+
−1/2
qλ
1−
1/2
qλ
!
e³itsizlikleri sa§lanr [9].
Bu ksmda a§rlkl
Lp
üzerinde tanml pozitif sürekli
uzaynda yaknsaklk incelenecektir.
ω
Z
Reel eksen
fonksiyonu
t2p ω(t)dt < ∞
(4.2)
R
³artn sa§lasn.
R üzerinde ω
fonksiyonlarn uzay
Lp,ω (R)
(
Lp,ω (R) =
a§rlk fonksiyonuna göre
p-mutlak integrallenebilir
1 6 p < ∞ için
)
Z
p1
|f (t)|p ω(t)dt
=
<∞
ile gösterilir. Bu durumda
f : R → R|kf kp,ω
R
³eklinde tanmlanr.
A³a§daki teorem, a§rlkl
Teorem 4.7.
dizisi
Lp,ω (R)
i = 0, 1, 2
Lp
uzaynda Korovkin tipi teoremdir.
üzerinde pozitif lineer operatörlerin düzgün snrl
için
lim kLn (ti ; x) − xi kp,ω = 0
n→∞
³artn sa§lasn. Bu takdirde her
f ∈ Lp,ω (R)
için
lim kLn f − f kp,ω = 0
n→∞
sa§lanr [9].
22
(Ln )
p > 1
olmak üzere
p
1
seçilirse
6m
1+x
ω(x) =
Lp,ω (R)
Lp,m (R)
ile
f ∈ Lp,m (R)
ise
uzay
gösterilir.
Lemma 4.8. E§er
0<q<1
16p<∞
m
ve bir
pozitif tamsays için
için
6m−1
kPλ (f ; q, ·)kp,m 6 2
[λ]6m [6m]!
1 + 3m(6m+1) kf kp,m
q
ve
6m−1
kWλ (f ; q, ·)kp,m 6 2
1 + [λ]
3m − 9m
2
2
q
q
1/2
;q
3m
kf kp,m
e³itsizlikleri sa§lanr [9].
Teorem 4.9.
takdirde her
qλ ∈ (0, 1)
f ∈ Lp,m (R)
olsun ve
λ → ∞
için
qλ → 1−
³artn sa§lasn.
Bu
için
lim kPλ (f ; qλ , ·) − f kp,m = 0
λ→0
sa§lanr [9].
Teorem 4.10.
Her
qλ ∈ (0, 1)
f ∈ Lp,m (R)
olsun öyle ki
λ → ∞
için
qλ → 1−
³artn sa§lasn.
için
lim kWλ (f ; qλ , ·) − f kp,m = 0
λ→0
olur [9].
q -Bernstein-Kantorovich
4.2.
n∈N
olmak üzere
bn,k (x) =
n
Operatörleri
yinci dereceden Bernstein baz polinomlar
n
k
!
xk (1 − x)n−k ,
k = 0, 1, . . . , n
e³itli§iyle tanmlanr. Bernstein baz polinomlarnn bir
Bn (x) =
n
X
ck bn,k (x)
k=0
lineer kombinasyonuna
n
yinci dereceden Bernstein polinomu ve
Bernstein katsaylar veya Bézier katsaylar denir.
bir
f
[0, 1]
fonksiyonu için
n
X
k
Bn (f ; x) =
f
bn,k (x)
n
k=0
23
ck
katsaylarna
aral§ üzerinde sürekli
Bernstein polinomunu gözönüne alnz. Bu durumda
Bn (f ; x) → f (x)
yaknsamas
[0, 1]
aral§ üzerinde düzgündür.
Kn : L1 [0, 1] → C[0, 1]
Bernstein polinomlar yardmyla
pozitif lineer
operatörleri
Kn (f, x) = (n + 1)
n
X
(k+1)/(n+1)
Z
bn,k (x)
f (t)dt
k/(n+1)
k=0
e³itli§iyle tanmlanr. Bu tip operatorler ilk olarak Kantorovich tarafndan tanmlanm³ ve çal³lm³tr. Bu sebepten bu operatörlere Kantorovich operatörleri veya
Bernstein-Kantorovich operatörleri denir. Bu konuda bilgi için [14] nolu kaynak
incelenebilir.
q -Bernstein
polinomlar [13]'de
" # n−k−1
n
X
n k Y
[k]
f
Bn (f ; q, x) =
x
(1 − q s x)
[n]
k
s=0
k=0
³eklinde geni³letilmi³tir.
q = 1
durumunda
q -Bernstein
polinomlarndan klasik
Bernstein polinomlarnn elde edilece§i kolayca görülebilir.
mano§lu,
q -Bernstein
Daha sonra Dal-
operatörleri,
Kn,q (f, x) = [n + 1]
n
X
Z
[k+1]/[n+1]
f (t)dq t
bn,k (q; x)
[k]/[n+1]
k=0
e³itli§iyle tanmlam³tr, burada
bn,k (q; x) =
e³itli§iyle tanmldr [12].
q=1
" #
n
k
x
k
n−k−1
Y
(1 − q s x)
s=0
durumunda kolayca görülece§i gibi
q -Bernstein-
Kantorovich operatörleri klasik Bernstein-Kantorovich operatörlerine indirgenir.
Dalmano§lu [12]'de
q -Bernstein-Kantorovich operatörlerin yakla³m özellikleri ile
yaknsaklk orann incelemi³tir.
Bu operatörlerin yakla³m özellikleri ilgili teoremi verelim.
Teorem 4.11. E§er
³artlarn sa§larsa
(0, 1)
içindeki
0<a<1
(qn )
dizisi
olmak üzere her
kKn,q (f, x) − f k → 0,
e³itli§i sa§lanr [12].
24
limn→∞ qn = 1
f ∈ C[0, a]
için
n→∞
ve
limn→∞
1
[n]qn
=0
spat
q -Bernstein-Kantarovich
Kn,q (1, x) = [n + 1]
operatörünün tanm gere§i
n
X
q
" #
−k n
k=0
dr. Burada
Z
q -integral
k
x
k
n−k−1
Y
Z
s
[k+1]/[n+1]
(1 − q x)
dq t
[k]/[n+1]
s=0
tanm kullanlarak
[k+1]/[n+1]
[k+1]/[n+1]
Z
[k]/[n+1]
Z
dq t −
dq t =
[k]/[n+1]
0
dq t
0
∞
∞
[k] X j
[k + 1] X j
= (1 − q)
q − (1 − q)
q
[n + 1] j=0
[n + 1] j=0
∞
X
qk
1−q
([k + 1] − [k])
qj =
=
[n + 1]
[n + 1]
j=0
dolaysyla da
Kn,q (1, x) = 1
elde edilir. Buradan açk olarak
kKn,qn (1, x) − x0 k = k1 − 1k = 0 → 0
olur. “imdi
Kn,q (t, x) = [n + 1]
n
X
q
" #
−k n
k
k=0
e³itli§inde önce
Z
q -integral
[k+1]/[n+1]
x
k
n−k−1
Y
s
Z
[k+1]/[n+1]
(1 − q x)
tdq t
[k]/[n+1]
s=0
hesaplanarak
Z
[k+1]/[n+1]
Z
[k]/[n+1]
tdq t −
tdq t =
tdq t
0
0
[k]/[n+1]
∞
∞
[k + 1] X 2j [k + 1]
[k] X 2j [k]
= (1 − q)
q
q
− (1 − q)
[n + 1] j=0
[n + 1]
[n + 1] j=0
[n + 1]
∞
X
1−q
qk
1
2
2
=
([k + 1] − [k] )
q 2j =
([k](1 + q) + 1)
2
[n + 1]
[n + 1] 1 + q
j=0
elde edilir. Buradan
Kn,q (t, x) = [n + 1]
" #
n
X
n
k=0
=
k
x
k
n−k−1
Y
(1 − q s x)
s=0
1
1
([k](1 + q) + 1)
2
[n + 1] 1 + q
[n]
1
1
x+
[n + 1]
1 + q [n + 1]
[n]−[n+1]
1
1
x + 1+q
ifadesi x de§i³kenine
[n+1]
[n+1]
1
1
göre azalan oldu§undan kKn,q (t, x) − xk =
bulunur. Böylece q yerine
1+q [n+1]
1
1
qn yazlarak, kKn,qn (t, x) − xk = 1+qn [n+1]q → 0 elde edilir. Kn,q (t2 , x) de§erini
n
elde edilir.
Buradan
Kn,q (t, x) − x =
25
hesaplamak için ilk önce a³a§daki integral de§eri
Z
[k+1]/[n+1]
2
[k+1]/[n+1]
Z
0
=
olarak hesaplanr ve
[k]/[n+1]
t dq t −
t dq t =
[k]/[n+1]
Z
2
t2 dq t
0
1
1
(q k [k + 1]2 + [k][k + 1] + [k]2 )
3
2
[n + 1] 1 + q + q
[k + 1] = q[k] + 1
e³itli§i ile yukardakilere benzer yöntemler
kullanlarak
Kn,q (t2 , x) =
1
[n][n − 1] q 3 + q 2 + q 2
[n] q 2 + 3q + 2
1
x
+
x+
2
2
2
2
2
[n + 1] 1 + q + q
[n + 1] 1 + q + q
[n + 1] 1 + q + q 2
elde edilir. Buradan
[n][n − 1]q − [n + 1]2 2
[n] q 2 + 3q + 2
Kn,q (t , x) − x =
x +
x
[n + 1]2
[n + 1]2 1 + q + q 2
1
1
+
2
[n + 1] 1 + q + q 2
2
2
ikinci dereceden bir terimlisi elde edilir.
oldu§undan bu ifade maksimum de§erini
x=
için
qn yazlarak
[n]qn [n − 1]qn qn − [n + 1]2qn 2
[n]qn qn2 + 3qn + 2
2
2
x
+
kKn,qn (t , x) − x k = x
[n + 1]2qn
[n + 1]2qn 1 + qn + qn2
1
1
+
[n + 1]2qn 1 + qn + qn2 2
[n]2qn
1
2 + 3q + q 2
=
4 [n + 1]2qn ([n]qn [n − 1]qn qn − [n + 1]2qn ) 1 + q + q 2
2
[n]2qn
2 + 3q + q 2
1
−
2 [n + 1]2qn ([n]qn [n − 1]qn qn − [n + 1]2qn ) 1 + q + q 2
1
1
+
2
[n + 1]qn 1 + qn + qn2
alr. Böylece
q
[n][n−1]q−[n+1]2
< 0
[n+1]2
[n]
2+3q+q 2
1
− 2 [n][n−1]q−[n+1]2 1+q+q2 noktasnda
0 < q < 1
yerine
→0
elde edilir. Böylece
i = 0, 1, 2
için
kKn,qn (ti , x) − xi k → 0
gere§i ispat biter.
26
olup Korovkin Teoremi
4.3.
q -Bernstein-Durrmeyer
f ∈ C[0, 1],
Operatörleri
x ∈ [0, 1],
n = 1, 2, . . .
0<q<1
ve
için
q -Durrmeyer
tip
operatörler Gupta tarafndan [15]'de
Dn,q (f, x) = [n + 1]
n
X
q
−k
Z
1
f (t)pn,k (q; qt)dq t
pn,k (q; x)
0
k=0
³eklinde tanmlanm³tr, burada
pn,k (q; x) =
" #
n
k
x
k
n−k−1
Y
(1 − q s x)
s=0
³eklinde tanmlanmaktadr. Kolayca görülece§i üzere
q=1
durumunda yukarda
tanml operatör iyi bilinen
Dn (f, x) = (n + 1)
n
X
Z
pn,k (x)
1
f (t)pn,k (t)dt
0
k=0
Bernstein-Durrmeyer operatörünü verir, burada
n k
pn,k (x) =
x (1 − x)n−k
k
ile tanmlanr.
Lemma 4.12. A³a§daki e³itlikler do§rudur [9].
[k]
−x
[n]
[k]
− qt
t(1 − qt)Dq pn,k (q; qt) = [n]pn,k (q; qt)
[n]
x(1 − x)Dq pn,k (q; x) = [n]pn,k (q; x)
“imdiki lemma
Dn,q
Bernstein-Durrmeyer operatörünün snrl oldu§unu
ifade eder.
Lemma 4.13.
f ∈ C[0, 1]
Lemma 4.14.
n > 3
için
kDn,q f k 6 kf k
olsun ve
dir [9].
q0 = q0 (n) ∈ (0, 1)
says her
q n+2 − q n+1 − 2q n − 2q n−1 − · · · − 3q 3 − q 2 + q + 2 < 0
2
e³itsizli§i sa§lanr [9].
27
için
³artn sa§layan en küçük
ϕ (x) = x(1 − x), x ∈ [0, 1] için
2
1
2
2
ϕ (x) +
Dn,q (t − x) , x 6
[n + 2]
[n + 3]
say olsun. O halde
q ∈ (q0 , 1)
Teorem 4.15.
Bu takdirde
n>3
ve
q0 = q0 (n) ∈ (0, 1)
f ∈ C[0, 1], δn2 (x) = ϕ2 (x) +
says lemma 4.14.' deki gibi olsun.
1
,
[n+3]
x ∈ [0, 1]
ve
q ∈ (q0 , 1)
olmak
üzere
|Dn,q (f, x) − f (x)| 6 Cω2 f, [n + 2]
olacak ³ekilde bir
Teorem 4.16.
C>0
n>3
olsun. Bu takdirde
4.4.
q -Bernstein
1−x
δn (x) + ω f,
[n + 2]
sabiti vardr [9].
olsun ve
q0 = q0 (n) ∈ (0, 1)
says lemma 4.13.' deki gibi
f ∈ C[0, 1], q ∈ (q0 , 1), ψ(x) = 1 − x ve x ∈ [0, 1] olmak üzere
kDn,q f − f k 6 Cω2ϕ (f, [n + 2]
olacak ³ekilde bir
−1
2
C>0
−1
2
) + ωψ (f, [n + 2]−1 )
sabiti vardr [9].
Schurer Kantorovich Operatörleri
Bernstein-Schurer operatörleri 1962 ylnda [16]'da Schurer tarafndan
[0, 1]
x∈
olmak üzere
Bnp (f, x)
n+p X
r
n+p r
=
f
x (1 − x)n+p−r
n
r
r=0
e³itli§i ile tanmlanm³tr.
Muraru,
ler
q -Bernstein-Schurer
p ∈ N0 , x ∈ [0, 1]
ve
0<q<1
operatörleri [16]'da tanmlad. Bu operatör-
olmak üzere
# n+p−r−1
"
n+p X
Y
n
+
p
[r]
Bnp (f ; q; x) =
f
xr
(1 − q s x)
[n]
r
r=0
s=0
e³itli§i ile tanmlanr. Son e³itlikte
p=0
alnrsa klasik
q -Bernstein
operatörleri
elde edilir. Bu operatörler için Muraru tarafndan elde edilen Korovkin tip yakla³m ile birinci yaknsaklk modülü cinsinden operatörlerin yaknsaklk orann
ifade eden teoremler a³a§da verilmi³tir.
Lemma 4.17.
j = 0, 1, 2 için ej (x) = xj
olmak üzere a³a§daki e³itlikler sa§lanr
[17].
1.
Bnp (e0 ; q; x) = 1.
28
2.
Bnp (e1 ; q; x) = x
3.
Bnp (e2 ; q; x) =
[n + p]
.
[n]
[n + p]
([n + p]x2 + x(1 − x)).
2
[n]
spat Tümevarmla
" #
m
X
m
k=0
k
xk (1 − x)m−k
=1
q
oldu§u kolayca gösterilebilir. Bu e³itlikte
m=n+p
seçilirse
n+p−k−1
(1 −
x)qn+p−k
Y
=
(1 − q s x)
s=0
oldu§undan
"
#
n+p
X
n+p
k
k=0
n+p−k−1
x
Y
k
(1 − q s x) = 1
s=0
p
dolaysyla da Bn (e0 ; q; x)
= 1 elde edilir. Benzer ³ekilde
"
# n+p−k−1
n+p
X
Y
n
+
p
[k]
Bnp (e1 ; q; x) =
xk
(1 − q s x)
[n]
k
s=0
k=1
n+p−1
n+p−k−2
Y
[n + p − 1]
[n + p] X
k
x
(1 − q s x)
=x
[n]
[k][n
+
p
−
k
−
1]
s=0
k=0
=x
[n + p]
[n]
elde edilir. Son olarak,
Bnp (e2 ; q; x)
=
"
#
n+p
X
n+p
k=1
n+p
=
[k]
x
Y
(1 − q s x)
s=0
X [k] [k]
k=1
olup bu e³itlikte
k
n+p−k−1
k
yerine
[n + p]
xk
[n] [n] [n + p − k]![k]!
q[k − 1] + 1
n+p−k−1
Y
s=0
[n + p] X q[k − 1][n + p − 1]! k
x
=
[n]2 k=2 [k − 1]![n + p − k]!
n+p
+
(1 − q s x)
yazlrsa
n+p
Bnp (e2 ; q; x)
[k]2
[n]2
[n + p] X
[n + p − 1]!
xk
2
[n] k=1 [k − 1]![n + p − k]!
29
n+p−k−1
Y
(1 − q s x)
s=0
n+p−k−1
Y
s=0
(1 − q s x)
elde edilir.
Burada birinci toplamda
k → k+2
ve ikinci toplamda
k → k+1
yazlrsa
n+p−2
[n + p − 1][n + p] X
[n + p − 2]!
q
[n]2
[k]![n + p − k − 2]
k=0
Bnp (e2 ; q; x) =
n+p−k−3
x
Y
k+2
(1 − q s x)
s=0
n+p−k−2
n+p−1
Y
[n + p] X
[n + p − 1]!
k+1
(1 − q s x)
+
x
[n]2 k=0 [k]![n + p − k − 1]
s=0
[n + p − 1][n + p] 2 [n + p]
qx +
x
[n]2
[n]2
=
elde edilir.
Teorem 4.18.
a<1
(qn ) dizisi n ∈ N için 0 < qn < 1 ve limn→∞ qn = 1 ile limn→∞ qnn =
³artlarn sa§lasn. Bu takdirde herhangi bir
f ∈ C([0, p + 1])
için
lim Bnp (f ; qn ) = f
n→∞
olup yaknsama
[0, 1]
üzerinde düzgündür [17].
spat spatta iyi bilinen Korovkin Teoremi kullanlacaktr. Dolaysyla
için
[0, 1]
i = 0, 1, 2
üzerinde düzgün olarak
lim Bnp (ei ; qn ; x) = xi
n→∞
³artlarnn sa§land§n göstermek yeterlidir.
Teoremi ispatlamak için basit hesaplamalarla elde edilen
[n + p]qn
[n + p]qn
=0
= 1, lim
n→∞
n→∞
[n]qn
[n]2qn
lim
limitleri hesaba katlr ve bir önceki lemmadaki e³itliklerin
limitleri alnrsa istenen görülür.
f ∈ C([0, p + 1]) ise
1
1 δn = p
p+ √
,
2 1 − qn
[n]
Teorem 4.19. E§er
q ∈ (0, 1)
olmak üzere
|Bnp (f ; q; x) − f (x)| 6 2ω(f ; δn )
e³itsizli§i sa§lanr [17].
30
n → ∞
üzerinden
Özarslan ve Vedi [18]'de
p ∈ N0
sabit
q -Bernstein-Schurer-Kantorovich
operatörlerini
f ∈ C[0, p + 1] olmak üzere
# n+p−r−1
"
n+p
Y
X
n
+
p
(1 − q s x)
xr
Knp (f ; q; x) =
r
s=0
r=0
Z 1 1 + (q − 1)[r]
[r]
f
+
t dq t
[n + 1]
[n + 1]
0
0<q<1
ve
³eklinde tanmlam³lardr.
lk üç moment ile birinci ve ikinci merkezi momentler için Özarslan ve Vedi
a³a§daki lemmay ispatlam³lardr.
Lemma 4.20.
q -Bernstein-Schurer-Kantorovich
operatörleri için a³a§daki e³it-
likler sa§lanr [18].
(i)
Knp (1; q; x) = 1
(ii)
Knp (u; q; x) =
2[n + p]qx + 1
[2][n + 1]
(iii)
Knp (u2 ; q; x)
4
1
4q + q 3 + q 2
=
[n + p − 1][n + p]x2
[n + 1]2
[2][3]
3
4q + 5q 2 + 3q
1
+
[n + p]x +
[2][3]
[3]
(iv)
Knp
(u − x); q; x =
[n + p]
1
2
q−1 x+
[2][n + 1]
[2][n + 1]
(v)
Knp (u − x)2 ; q; x
4
4q + q 3 + q 2
[n + p]
=
[n + p − 1][n + p] − 4
q + 1 x2
2
[2][3][n + 1]
[2][n + 1]
3
2
4q + 5q + 3q
2
1
+
[n + p] −
x+
2
[2][3][n + 1]
[2][n + 1]
[3][n + 1]2
31
Teorem 4.21.
limn→∞ qn = 1
limn→∞
ve
1
[n]
=0
olmak üzere her
f ∈ C[0, p + 1]
için
lim kKnp (f ; qn ; ·) − f (·)kC[0,1] = 0
n→∞
dr [18].
q -Bernstein-Schurer-Kantorovich
operatörleri için Lipschitz snfnn ele-
manlar ile fonksiyonun birinci ve ikinci süreklilik modülleri cinsinden yaknsaklk
oranlar da yine Özarslan ve Vedi tarafndan [18]' de incelemi³tir.
Bir
f
fonksiyonunun
δ >0
için
[0, p + 1]
aral§nda süreklili§inin birinci
modülü
ω(f, δ) =
max
|h|<δ
x,x+h∈[0,p+1]
|∆h f (x)| =
max
|h|<δ
x,x+h∈[0,p+1]
|f (x + h) − f (x)|
veya denk olarak
ω(f, δ) =
max
|t−x|<δ
t,x∈[0,p+1]
f ∈ C[0, p + 1]
e³itli§i ile tanmlanr.
|f (t) − f (x)|
için
lim ω(f, ·) = 0
δ→0+
ve herhangi bir
δ>0
için
|x − y|
|f (x) − f (y)| 6 ω(f, δ)
+1
δ
oldu§u bilinmektedir.
Teorem 4.22.
olur, burada
f ∈ C[0, p + 1] ise
q
p
|Kn (f ; q; x) − f (x)| 6 2ω f, δn,q (x)
0<q<1
ω(f, ·), f
olsun. E§er
nin süreklilik modülüdür ve
δn,q (x) = Knp (u − x)2 ; q; x
dir [18].
Bir
f : [0, p + 1] → R fonksiyonunun LipM (α), 0 < α 6 1 snfndan olmas
için gerek ve yeter ³art
t, x ∈ [0, p + 1]
için
|f (t) − f (x)| 6 M |t − x|α
³artn sa§lamasdr. Böylece bir
f
fonksiyonu a³ikar olarak süreklidir. A³a§daki
p
teorem Kn operatörlerinin yaknsaklk orann
karakterizasyonunu ifade eder.
LipM (α)
Lipschitz snf cinsinden
Bu teorem Özarslan ve Vedi tarafndan [18]' de
ispatlanm³tr.
32
Teorem 4.23.
f ∈ LipM (α)
ise
α
|Knp (f ; q; x) − f (x)| 6 M δn,q (x) 2
dir, burada
δn,q (x) = Knp (u − x)2 ; q; x
dr [18].
33
KAYNAKLAR
[1] Jackson, F. H.,
On a q -denite integrals,
Q. J. Pure Appl. Math., 41, 193-
203, 1910.
[2] Ernst, T.,
A comprehensive treatment of q-calculus,
Birkhäuser/Springer
Basel AG, Basel, 2012.
[3] Kac, V.; Cheung, P.
Quantum Calculus,
Universitex, Springer-Verlag, New
York, 2002.
[4] Ernst, T.
The history of q-calculus and a new method,
Licenciate Thesis-
Uppsala,2001.
The Askey-scheme of hypergeometric orthogonal
polynomials and its q -analogue, Technical Universty Delft, 1998.
[5] Koekoek, R.; Swarttouw, R.
[6] Sole, A.; Kac, V.
On integral representations of q -gamma and q -beta func-
tions, Department of Mathematics, 2003.
[7] Mansour, M.
Incomplete q -gamma function and tricomi expansion,
World
Scientic, 2009.
Theory and Application of Innite Series (in English trans-
[8] Knopp, Konrad
lation), Dover Publications, ISBN 978-0-486-66165-0, 1990.
[9] Aral, Ali; Gupta, Vijay; Agarwal, Ravi P.
Applications of q-calculus in op-
erator theory, Springer, New York, 2013.
[10] Atakishiyev, N. M., Atakishiyeva, M. K.,
integral, Theor.
A q -analog of the Euler gamma
Math. Phys. 129 (1), 1325-1334, 2001.
From discrete to absolutely continuous solution of indeterminate
moment problems, Arap. J. Math. Sci., 4(2), 67-75, 1988.
[11] Berg, C.,
[12] Dalmano§lu, Ö.
Approximation by Kantorovich type q -Bernstein operators,
in Proceedings of the 12th WSEAS International Conference on Applied
Mathematics, Cairo, Egypt, 113-117, 2007.
[13] Phillips, G. M.,
Bernstein polynomials based on the q -integers, Ann.
Numer.
Math. 4, 511-518, 1997.
[14] Lorentz, G. G.,
Bernstein polynomials, University of Toronto Press, Toronto,
1953.
34
[15] V. Gupta,
Some approximation properties on q -Durrmeyer operators, Appl.
Math. Comput., 197(1), 172-178, 2008.
[16] Schurer, F.
Linear positive operators in approximation theory,
Math. Inst.,
Techn. Univ. Delf Report, 1962.
[17] Muraru, C. V.,
Note on q -Bernstein-Schurer operators, Stud.
Univ. Babe³-
Bolyai Math., 56, no:2, 489-495, 2011.
[18] Özarslan, M. A., Vedi, T.,
q -Bernstein-Schurer-Kantorovich operators,
Inequal. Appl., 2013:444, 15 s., 2013.
35
J.
ÖZGEÇM“
Ki³isel Bilgiler
Soyad, Ad
:
GÖK“N Esra
Uyru§u
:
TC
Do§um Tarihi ve Yeri
:
02.06.1988 Gerede
e-mail
:
[email protected]
Lise
:
Bekir Gökda§ Lisesi
Lisans
:
Ahi Evran Üniversitesi
Yüksek Lisans
:
Ahi Evran Üniversitesi
Yüksek Lisans Tezi
:
q -Analizi
Yabanc Dil
:
ngilizce
E§itim
36
ve Uygulamalar