3 VARLIK VE TEKL˙IK TEOREMLER˙I 3.1 Lineer Kesirli Diferensiyel

3
VARLIK VE TEKLI·K TEOREMLERI·
Bu bölümde kesirli basamaktan diferensiyel denklemlerin başlang¬ç de¼
ger
problemlerinin çözümlerinin varl¬k ve tekli¼
gi ele al¬nacak.
3.1
Lineer Kesirli Diferensiyel Denklemler
Bu k¬s¬mda lineer kesirli diferensiyel denklemlerin ard¬ş¬k türevleri için
başlang¬ç de¼
ger problemlerinin çözümlerinin varl¬k ve tekli¼
gini incelenecek.
Aşa¼
g¬daki başlang¬ç de¼
ger problemini ele alal¬m:
n
0 Dt y(t) +
n
X
j=0
pj (t)0 Dt n j y(t) + pn (t)y(t) = f (t), (0 < t < T < 1)
0 Dt
k 1
y(t)
t=0
= bk ; :::(k = 1; 2; :::; n):
Burada
Dt k
a Dt
k
=
n
X
j
;
k
a
1
a
Dt k :a Dt k 1 ::::a Dt 1
Dt k 1 :a Dt k 1 ::::a Dt 1
(k = 1; 2; ::::; n), 0 <
j
1
(j = 1; 2; :::; n)
j=0
ve f (t) 2 L1 (0; T ) dir, yani
ZT
jf (t)j dt < 1
0
dir.
Teorem 3.1: f (t) 2 L1 (0; T ) ise
0 Dt
n
y(t) = f (t)
denklemi ,(3:2) başlang¬ç koşulunu sa¼
glayan y(t) 2 L1 (0; T ) tek çözümüne
sahiptir.
Teorem 3.2: E¼
ger f (t) 2 L1 (0; T ) ve pj (t) (j = 1; 2; :::; n) ler [0; T ]
aral¬g¼¬nda sürekli fonksiyonlar ise, (3:1)ve (3:2) başlang¬ç de¼
ger problemi
bir tek y(t) 2 L1 (0; T ) çözüme sahiptir.
23