Sonlu Periyodik Diyelektrik YapÆlara Ait Elektromanyetik

Sonlu Periyodik Diyelektrik Yaplara Ait Elektromanyetik Geçirgenlik
Özelliklerinin Integral
Denklemleri ve Çok Seviyeli Hzl Çokkutup
†
Yöntemiyle Incelenmesi
Seçil Klnç1,2 , Özgür Ergül1,2 ve Levent Gürel1,2
1
Elektrik ve Elektronik Mühendisligi Bölümü
2
Bilişimsel Elektromanyetik Araştrma Merkezi (BiLCEM)
Bilkent Üniversitesi
TR-06800, Bilkent, Ankara
E-posta: {kilinc,ergul,lgurel}@ee.bilkent.edu.tr
Özet: Bu çalşmada, dikdörtgenler prizmas şeklindeki diyelektrik katmanlarn periyodik olarak dizilmesiyle
elde edilen frekans seçici yaplar incelenmiştir. Sonlu sayda ve boyutlarda dielektrik katmanlardan meydana
gelen bu yaplarn gerçekçi ve yüksek dogruluktaki benzetimleri için yüzey integral denklemleri kullanlmştr.
Dalga boyuna göre küçük üçgenlerin kullanlmasyla ayrklaştrlan yüzeyler üzerindeki eşdeger elektrik ve
manyetik akmlar Rao-Wilton-Glisson fonksiyonlaryla açlmştr. Elde edilen büyük matris denklemleri çok
seviyeli hzl çokkutup yöntemiyle iteratif olarak çözülmüştür. Iteratif
yaknsamalarn hzlandrlmas amacyla
öniyileştirici tekniklerden faydalanlmştr. Saçlan elektromanyetik alanlarn hesaplanmasyla birlikte, çeşitli
gözlem noktalarndaki toplam güç ve güç geçirgenligi degerleri elde edilmiş, bu degerler frekansa bagl olarak
incelenmiştir.
1. Giriş
Metalik veya diyelektrik cisimlerin periyodik olarak bir araya getirilmesiyle oluşturulan yaplar, frekans seçici
özelliklerinden dolay antenler ve radarlar gibi çeşitli alanlarda kullanlmaktadr. Özellikle, dikdörtgenler prizmas şeklindeki diyelektrik katmanlarn periyodik olarak dizilmesiyle elde edilen yaplar, göreceli olarak kolay
imal edilebilmelerinden dolay büyük öneme sahiptirler [1]. Bu yaplarn elektromanyetik benzetim ortamlarnda
modellenmeleri ve varolan tasarmlarnn iyileştirilmesi de son derece önemlidir. Bu çalşmada, periyodik
dielektrik katmanlarn elektromanyetik geçirgenlik özellikleri yüksek dogrulukta incelenmiştir. Problemlerin
formülasyonlar için yüzey integral denklemleri kullanlmş, yüzeyler üzerinde tanmlanan eşdeger akmlar
Rao-Wilton-Glisson fonksiyonlaryla ayrklaştrlmştr. Sonlu sayda ve boyutlardaki katmanlarn yüksek hassasiyetteki çözümlerinde yüzbinlerce bilinmeyenli matris denklemleri elde edilmiştir. Bu denklemler iteratif
olarak çözülmüş, ihtiyaç duyulan matris-vektör çarpmlar çok seviyeli hzl çokkutup yöntemi (ÇSHÇY) [2]
ile, çözümlerin hassasiyetinden ödün vermeden, hzl ve verimli bir biçimde gerçekleştirilmiştir. Ayrca, iteratif
yaknsamalarn hzlandrlmas amacyla öniyileştirici tekniklerden faydalanlmştr. Geliştirilen benzetim ortam
sayesinde, diyelektrik katmanlardan oluşan frekans seçici yaplara ait geçirgenlik problemlerinin yüksek dogruluktaki çözümleri elde edilmiştir.
2. Yüzey Integral
Denklemleri
Diyelektrik problemlerin çözümleri için literatürde pek çok yüzey formülasyonu bulunmaktadr. Bunlardan
en çok kullanlanlar Poggio-Miller-Chang-Harrington-Wu-Tsai (PMCHWT) ve Müller formülasyonlardr. Öte
yandan, yakn zamanda geliştirilen elektrik ve manyetik akm birleşik alan integral denklemi (EMABAID) [3],
özellikle büyük problemlere gidildikçe, verimlilik ve dogruluk bakmndan diger formülasyonlardan genellikle
daha üstündür. EMABAID’nin RWG fonksiyonlaryla ayrklaştrlmas sonucunda
x
v
Z̄ 11 Z̄ 12
·
=
(1)
Z̄ 21 Z̄ 22
y
w
————————————–
†Bu çalşma, TÜBITAK (105E065, 105E172 ve 107E136), Türkiye Bilimler Akademisi (LG/TÜBAGEBIP/2002-1-12), ASELSAN ve SSM tarafndan desteklenmektedir.
IV. URSI-TÜRKİYE BİLİMSEL KONGRESİ, AKDENIZ UNIVERSITESI, EKIM 2008, ANTALYA
33
20 GHz
0
30 GHz
0
10
10
BiCGStab
BiCGStab+4PBDÖ
GMRES
GMRES+4PBDÖ
BiCGStab
BiCGStab+4PBDÖ
GMRES
GMRES+4PBDÖ
−1
−1
10
Kalan Hata
Kalan Hata
10
−2
10
−3
10
0
−2
10
−3
100
200
300
400
Matris-Vektör Çarpımı
500
600
10
0
100
200
300
400
Matris-Vektör Çarpımı
(a)
500
600
(b)
Şekil 1. Boyutlar 0.41 cm × 2 cm × 2 cm olan diyelektrik prizmalardan oluşan 10 katmanlk yapnn
(a) 20 GHz’te ve (b) 30 GHz’te iteratif çözümleri.
şeklinde 2N × 2N boyutlarnda yogun matris denklemleri elde edilir. Bu matris denklemlerinin Krylov altuzay
yöntemleriyle iteratif olarak çözülmesiyle, eşdeger akmlara ait bilinmeyen katsaylar (x ve y vektörleri) elde
edilir. Böylece, saçlan elektrik ve manyetik alanlar istenilen gözlem noktalarnda hesaplanabilir.
ÇSHÇY sayesinde iteratif yöntemlerin ihtiyaç duydugu matris-vektör çarpmlar O(N log N ) karmaşklgyla
gerçekleştirilebilir. Bu yöntemde RWG fonksiyonlar arasndaki elektromanyetik etkileşimler gruplar baznda
ve çok seviyeli olarak hesaplanr. Diyelektrik problemlerin çözümlerinde ÇSHÇY’nin hem iç, hem de dş
ortam için ayr ayr uygulanmas gerekmektedir. Bu dogrultuda, demetleme, öteleme ve dagtma gibi ÇSHÇY
aşamalar iki farkl agaç yaps üzerinde gerçekleştirilir. Demetleme işlemleriyle elektrik ve manyetik akmlardan
şyan elektromanyetik dalgalar hesaplanr. Öteleme ve dagtma işlemleri sayesinde test fonksiyonlarna gelen
dalgalar hesaplanr. Son olarak, gelen elektrik ve manyetik alanlarn test edilmesiyle matris-vektör çarpmlar
gerçekleştirilmiş olur.
3. Iteratif
Çözümler
Yogun matris denklemlerinin iteratif çözümleri için literatürde pek çok Krylov altuzay metodu bulunmaktadr. Periyodik diyelektrik katmanlar üzerinde yaplan karşlaştrmalar sonucunda, GMRES metodunun diger
metodlara göre daha hzl çözümler verdigi tespit edilmiştir. Yaknsamalarn daha da hzlandrlmas amacyla
öniyileştirici teknikler kullanlmştr. Bu teknikler arasnda özellikle dört parçal blok-diyagonal öniyileştiricisinin
(4PBDÖ) çözümlerin verimini önemli derecede artrdg gözlemlenmiştir. Bu öniyileştirici birbirlerine çok yakn
RWG fonksiyonlar arasndaki etkileşimlerin kullanlmasyla oluşturulmaktadr. Ortaya çkan blok-diyagonal
yapdaki öniyileştirici matrisinin hem oluşturulmas hem de iterasyonlar esnasnda kullanlmas son derece
verimlidir.
4. Saysal Örnekler
Bu çalşmadaki benzetimlere örnek olarak, boyutlar 0.41 cm × 2 cm × 2 cm ve 0.41 cm × 4 cm × 4 cm olan
prizmalardan oluşan 10 katmanlk yaplar ele alnmştr. Elektromanyetik geçirgenligin incelenmesi amacyla,
bu yaplar dipol antenlerle aydnlatlmş ve saçlan elektromanyetik alanlar yaplarn etrafnda hesaplanmştr.
Frekans 20 GHz–40 GHz aralgnda seçildiginde, bu yaplarn dalgaboyunun onda birinden küçük üçgenlerin
kullanlmasyla ayrklaştrmalar sonucunda 77,400 ve 262,920 bilinmeyenli matris denklemleri oluşturulmuş
ve çözülmüştür. Şekil 1’de 0.41 cm × 2 cm × 2 cm boyutlarndaki katmanlardan oluşan yap için iteratif
çözümler sunulmuştur. Frekansn 20 GHz ve 30 GHz oldugu çözümlerde, kalan iteratif hata gerçekleştirilen
matris-vektör çarpmlarnn saysna bagl olarak gösterilmiştir. Her iki frekansta da, GMRES metodunun bir
başka Krylov altuzay metodu olan BiCGSTAB’ye göre çok daha verimli çözümler verdigi gözlemlenmektedir.
Ayrca, 20 GHz’de, hem GMRES, hem de BiCGSTAB çözümleri 4PBDÖ’nün kullanlmasyla hzlanmaktadr.
IV. URSI-TÜRKİYE BİLİMSEL KONGRESİ, AKDENIZ UNIVERSITESI, EKIM 2008, ANTALYA
34
20 GHz
25 GHz
5
−6
−4
−4
4
−2
4
−2
3
0
x (cm)
x (cm)
5
−6
3
0
2
2
2
2
1
4
6
−6
−4
−2
0
z (cm)
2
4
6
1
4
6
−6
0
−4
−2
0
z (cm)
(a)
4
6
30 GHz
35 GHz
5
−4
5
−6
−4
4
−2
4
0
x (cm)
−2
3
3
0
2
2
2
2
1
4
6
−6
0
(b)
−6
x (cm)
2
−4
−2
0
z (cm)
2
4
6
0
1
4
6
−6
−4
−2
0
z (cm)
(c)
2
4
6
0
(d)
Şekil 2. Boyutlar 0.41 cm × 2 cm × 2 cm olan diyelektrik prizmalardan oluşan 10 katmanlk yapnn
(a) 20 GHz’te, (b) 25 GHz’te, (c) 30 GHz’te ve (d) 35 GHz’te güç geçirgenligi.
Bu öniyileştiriciden saglanan hzlanma 30 GHz’de daha azdr. Ancak, 4PBDÖ’nün getirdigi hesaplama yükü
son derece az oldugundan, bu öniyileştiricinin her frekansta kullanlmasnda bir saknca görülmemektedir.
Şekil 2’de, 0.41 cm × 2 cm × 2 cm boyutlarndaki katmanlardan oluşan yap için 20 GHz, 25 GHz, 30 GHz ve
40 GHz’te hesaplanan güç geçirgenligi degerleri gösterilmiştir. Dipol anten yapy sag tarafndan aydnlatmakta
ve iletim bölgesi yapnn solunda bulunmaktadr. Geçirgenlik degerleri frekansa bagl olarak incelendiginde,
yapnn 30 GHz haricinde saydam oldugu ve elektromanyetik dalgalar ilettigi gözlemlenmektedir. Frekans 30
GHz oldugunda ise, teorik analizlerden beklendigi gibi, yap donuklaşmakta ve güç geçirgenligi degerleri önemli
ölçüde düşmektedir. Öte yandan, katmanlarn sonsuz kabul edildigi analizlerden farkl olarak, geçirgenlik degerleri iletim bölgesinde düzenli olarak düşük seviyelerde degildir. Özellikle yapnn köşelerine yakn bölgelerde
geçirgenlik artmaktadr. Bu ideal olmayan durum yaplarn sonlu kabul edildigi yüksek dogruluktaki çözümler
sonucunda gözlemlenebilmektedir. Şekil 3’te, 0.41 cm × 4 cm × 4 cm boyutlarndaki katmanlardan oluşan
yap için güç geçirgenligi degerleri sunulmuştur. Yapnn büyümesiyle birlikte, 30 GHz’te donuklaşan yapnn
gölgeleme etkisi artmaktadr. Ancak, bu durumda bile yapnn solunda güç geçirgenliginin yükseldigi bölgeler
bulunmaktadr. Ayrca, cismin saydam oldugu diger frekanslarda güç geçirgenligi degerleri gözlem noktasna
bagl olarak artp azalan örüntüler oluşturmaktadr.
IV. URSI-TÜRKİYE BİLİMSEL KONGRESİ, AKDENIZ UNIVERSITESI, EKIM 2008, ANTALYA
35
20 GHz
25 GHz
5
−6
−4
−4
4
−2
4
−2
3
0
x (cm)
x (cm)
5
−6
3
0
2
2
2
2
1
4
6
−6
−4
−2
0
z (cm)
2
4
6
1
4
6
−6
0
−4
−2
0
z (cm)
(a)
4
6
30 GHz
35 GHz
5
−4
5
−6
−4
4
−2
4
0
x (cm)
−2
3
3
0
2
2
2
2
1
4
6
−6
0
(b)
−6
x (cm)
2
−4
−2
0
z (cm)
2
4
6
0
1
4
6
−6
−4
−2
0
z (cm)
(c)
2
4
6
0
(d)
Şekil 3. Boyutlar 0.41 cm × 4 cm × 4 cm olan diyelektrik prizmalardan oluşan 10 katmanlk yapnn
(a) 20 GHz’te, (b) 25 GHz’te, (c) 30 GHz’te ve (d) 35 GHz’te güç geçirgenligi.
5. Sonuç
Integral denklemlerinin ve ÇSHÇY’nin kullanlmasyla geliştirilen benzetim ortamnda sonlu periyodik katmanlardan oluşan çeşitli yaplar ele alnmştr. Katmanlarn sonlu kabul edildigi benzetimler sayesinde bu yaplarn
elektromanyetik geçirgenlik özellikleri çok daha gerçekçi ve dogru olarak incelenebilmektedir.
Kaynaklar
[1] S. T. Peng, T. Tamir ve H. L. Bertoni, “Theory of periodic dielectric waveguides,” IEEE Trans. Microw.
Theory Tech., cilt 23, no. 1, s. 123–133, Ocak 1975.
[2] J. Song, C.-C. Lu ve W. C. Chew, “Multilevel fast multipole algorithm for electromagnetic scattering by
large complex objects,” IEEE Trans. Antennas Propagat., cilt 45, no. 10, s. 1488–1493, Ekim 1997.
[3] P. Ylä-Oijala ve M. Taskinen, “Application of combined eld integral equation for electromagnetic scattering
by dielectric and composite objects,” IEEE Trans. Antennas Propagat., cilt 53, no. 3, s. 1168–1173, Mart 2005.
[4] Ö. Ergül ve L. Gürel, “Diyelektrik cisimlerin iteratif çözümünde integral denklemi formülasyonlarnn
incelenmesi,” URSI-Türkiye 2006 Bilimsel Kongresi, Ankara, Türkiye, 2006, s. 46–48.
IV. URSI-TÜRKİYE BİLİMSEL KONGRESİ, AKDENIZ UNIVERSITESI, EKIM 2008, ANTALYA
36