1.4 C¸arpım Uzayı

8
1.4
1. Verilen Topoloji ve Fonksiyonlarla Yeni Topoloji Üretmek
Çarpım Uzayı
(Xi )i∈I boş kümeden karklı kümelerin ailesi olmak üzere, bu kümenin kartezyan
çarpımının
Q
I
i∈I Xi = {f : f ∈ (∪i Xi ) , ∀i, f (i) ∈ Xi }
olarak tanımlandığını hatırlıyalım. Bu küme seçme beliti beliti altında boş
kümeden farklıdır.
((Xi , τi ))i∈I topolojik uzayların bir ailesi olsun. Bu aileyi kullanarak
Q
X = i∈I Xi
üzerinde ”dogal” bir topoloji tanımlıyacağız. Ilk bakışta X kümesi üzerinde
tanımlanacak doğal topoloji, tabanı
Q
B = { i Ui : Ui ∈ τi }
olan topolojidir. (B’nin sonlu arakesit işlem kapalı olduğu bariz.) B ratafından
üretilen topolojiye kutu topolojisi denir. Topolojisi kutu topolojisi olan
toplojik uzay (X, τ )’ye topolojik kutu uzayı (ya da kutu uzayı) denir.
Kutu uzayı bazı ters örnek oluşumlarında verimli olsa da, bu topolojik uzay
topoloji alanında
pek çalışılan bir topolojik uzay değildir.
Q
X = i∈I Xi kümesi üzerinde izdüşüm fonksiyonlarla tanımlanan başka
bir topoloji tanımlıyacağız. Öncelikle izdüşüm fonksiyonları hatırlıyalım: j ∈ I
olmak üzere
Q
Pj : i∈I Xi → Xk , Pj (f ) = f (j)
olarak tanımlanan fonksiyona
Qj’ninci izdüşüm denir. Pratiksel açıdan her i ∈ I
için f (i) = ai olan f ∈
i∈I Xi fonksiyonunu f = (ai ) olarak da yazabileceğimizi unutmuyalım.
Q
Tanım 1.5. (Xi , τi )i∈I topolojik uzayların bir ailesi ve X = i∈I Xi olsun.
X üzerinde
{Pi−1 (Ui ) : i ∈ I, Ui ∈ τi }
tarafından üretilen topolojiye çarpım topolojisi ya da Tychonoff topolojisi ve topolojisi çarpım topolojisi olan X topolojik uzayına topolojik çarpım
uzayı3 (ya da çarpım uzayı) denir.
X, ((X, τi ))i∈I topolojik uzaylar ailesinin çarpım uzay olsun. Aşağıdakilerin
doğruluğu hemen hemen de barizdir.
3
Çarpım uzayları ilk kez Steinitz’nin 1908 tarihli makalesinde bahsedilmiştir. Daha soyutsal olarak, sonlu indeksli küme üzerinde, çarpım uzayları 1910 yilinda Frechet tarafından
tartışılmıştır.
1.4. Çarpım Uzayı
9
(i) Her i ∈ U için Pi izdüşümü süreklidir.
(ii) {f −1 (Ui ) : i ∈ I, Ui ∈ τi }, X uzayının bir öntabanıdır.
Q
(ii) B = { i∈I Ui : Ui ∈ τi , {j ∈ I : Uj =
6 Xj } sonlu}, X uzayının bir
tabanıdır.
Teorem 1.7. X, ((X, τi ))i∈I topolojik uzaylarının çarpım uzayı olsun. Her
j ∈ I için, Xj uzayı, X’nin bir altuzayına homeomorfiktir.
Kanıt: j ∈ I verilsin. Her i ∈ I \ {j} için ai ∈ Xi seçelim.
Y = {(xi ) : ∀i, i 6= j, xi = ai }
olarak tanımlansın. Xj ’nin Y altuzayına homeomorfik olduğu bariz.
Q
Teorem 1.8. (Xi )i∈I
Q topolojik
Q uzayların bir ailesi olsun ve i Xi bu ailenin
çarpım uzayı olsun. i Ai ⊂ i Xi için,
Y
Ai =
i∈I
Y
Ai .
i
Kanıt: En az bir i için i için Ai = ∅ olması durumunuda
eşitlik bariz. Şimde
Q
her i için Ai 6= ∅ olduğunu varsayalım. x = (xi ) ∈ i∈I Ai verilsin. U açık bir
küme ve x ∈ U olsun.
x ∈ ∩i∈J Pi−1 (Ui ) ⊂ U
olacak biçimde sonlu J ⊂ I kümesi vardır. Burada geçen Ui ’ler Xi topolojik
uzayında açık ve her i ∈ J için xi ∈ Ui dir. Her i ∈ J için, xi ∈ Ai olduğundean,
yi ∈ A ∩ Ui vardır. i ∈ I \ J için yi ∈ Ai seçelim. y = (yi ) olmak üzere
Y
y ∈ (∩i∈J Pi−1 (Ui )) ∩
Ai
i∈I
Q
Q
olduğundan dolayı x ∈ i Ai dir. x = (xi ) ∈ i Ai verilsin. j ∈ I, Uj , Xj
topolojik uzayında açık ve xj ∈ Uj olsun. x ∈ Pj−1 (Uj ) dir. Varsayım gereği
(Pi−1 (Uj )) ∩
Y
Ai 6= ∅,
i
olduğundan Uj ∩ Aj 6=Q∅ dir. Böylece xj ∈ Ai olduğu gösterilmiş olur. j ∈ I
keyfi olduğundan x ∈ i Ai olduğu gösterilmiş olur. Bu kanıtı tamamlar. Teorem 1.9. ((Xi , τi ))i∈I topolojik uzayların bir ailesi ve ∅ =
6 J, K ⊂ I
kümeri ayrık ve J ∪ K = I olsun. X, ((Xi , τi ))i∈I ’nin çarpım uzayı, Y ,
((Xi , τi ))i∈J ’nin çarpım uzayı ve Z, ((Xi , τi ))i∈K ’nin çarpım uzayı olsun. Y
ve Z’nin a̧rpım uzayının X uzayına homeomorfikdir.
10
1. Verilen Topoloji ve Fonksiyonlarla Yeni Topoloji Üretmek
Kanıt:
X=
Q
i∈I
Xi , X =
Q
i∈J
Xi ve X =
Q
i∈K
Xi
uzayları çarpım uzaylar olsunler.
π : X → Y × Z, π(f ) → (f |J , f |K )
olarak tanımlansın. π’nin bit=rebir ve örten olduğu bariz. Ayrıca, π’nin ve
tersinin sürekliliği de barizdir.
Alıştırmalar
1.19. (Xi , τi ) (i = 1, 2, ..., n topolojik uzaylar osunlar.
X = X1 × X2 ... × Xn = {(x1 , ..., xn ) : xi ∈ Xi }
ve
B = {U1 × U2 ... × Un : Ui ∈ τi }
olarak tanımlıyalım. X, B tarafından üretilen topolojik uzay olsun. Aşağıdakilerin doğruluğunu
gösteriniz.
(i) B, X uzayının bir tabanıdır.
Q
(ii) (X, τ ) topolojik uzayı, i∈{1,2,...,n} Xi uzerinde tanımlı kutu ve çarpım uzaylayına
homeomorfiktir.
1.20. (Xi , τi ) (i = 1, 2, ..., n topolojik uzaylar osunlar. (Yukarıdaki problemdeki gibi tanımlanan
topolojik uzaylar) (X1 × ... × Xn−1 ) × Xn ve X1 × ... × Xn uzaylarının homeomorfik
olduklarını gösteriniz.
1.21. (Xi , τi ) topolojik uzayların bir ailesi olsun. τ bu ailenin çarpım topolojisi ve T kutu
topolojisi olsun. τ ⊂ T olduğunu gösteriniz.
Q
1.22. R Euclidean uzay olmak üzere X = n∈N R kutu topolojisi ile donatılsın.
f : R → X, f (x) = (x)
olarak tanımlanan fonksiyonun hiçbir noktoda süreli olmadığını gösteriniz.
Kanıt: f ’nin x0 ∈ R noktasında sürekli olduğunu varsayalım.
U=
Y
1
1
(x0 − , x0 + ),
n
n
n
(f (x0 ) noktasını içeren açık kümedir.
f ((x0 − , x0 + )) ⊂ U
özelliğinde > 0 vardır. Buradan, her n ∈ N için
x0 +
2
< x0 +
1
n
elde edilir ki, bu çelişkidir.
Q
Q
1 1
1.23.
n∈N (− n , n ) kümesinin,
n∈N R çarpım uzayında açık olmadığını gösteriniz.
1.24. X, (Xi )i∈I topolojik uzayların bir ailesi olsun. Y bir topolojik uzay ve f : Y → X bir
fonksiyon olsun. Açağıdakilerin denkliğini gösteriniz.
(i) f süreklidir.
(ii) Her i ∈ I için Pi ◦ f : Y → Xi süreklidir.
1.4. Çarpım Uzayı
11
1.25. X, (Xi )i∈I topolojik uzayların çarpım uzayı olsun. Her k = 0, 1, 2 için aşağıdakilerin
denkliğini gösteriniz.
(i) X bir Ti -uzayıdır.
(ii) Her i ∈ I için Xi , Tk -uzayıdır.
1.26. X, (Xi )i∈I topolojik uzayların çarpım uzayı olsun. Her i ∈ I için Pi : X → Xi
izdüşümünün açık olduğunu gösteriniz.
Kanıt: i ∈ I verilsin. k ∈ I ve U ⊂ Xk açık olsun. i = k için Pi (Pk−1 (U )) = U ve i 6= k
için Pi (Pk−1 (U )) = Xi olduğu bariz. {Pi−1 (U ) : i ∈ I, U ⊂ Xi açık} Xnin öntabanı
olduğundan isetenilen açıktır.
Q
1.27. R, Euclidean uzay olamk üzere X = n∈N R çarpım uzayında,
c00 = {(xn ) : ∃n∀i ≥ n, xi = 0}
kümesinin kapanışının
c0 = {(xn ) : limn xn = 0}
olduğunu gösteriniz. X’nin kutu uzayı olması durumunda c00 ’nın kapanışını belirleyiniz.
1.28. X, (Xi )i∈I topolojik uzayların kutu uzayı olsun ve her i ∈ I için Ai ⊂ Xi verilsin.
Q
Q o
Q
Q
0
i Ai ve
i Ai
i Ai =
i Ai =
olduğunu gösteriniz.