Metrik Çözümleri

Aşağıdaki uzay-zaman metrikleri için Einstein alan denklemlerinin (Rik − 12 Rgik = −Tik )
çözümlerini bulunuz.
1
Viskoz ve Perfect Fluid Çözümleri
A) ds2 = A2 dx2 − dt2 + B 2 dy 2 + C 2 dz 2 Marder metriği
A = A(t), B = B(t), C = C(t) xi = (x, y, z, t),
ui = Komoving hızlar
1. Perfect Fluid ve Magneto Fluid (x-yönündeki magnetik alan için (Fik nın sadece F23
bileşeni var.
İlave Şartlar: We assume that the space-time is of degenerate Petrov type I the
degeneracy being in y and z directions. This requires that C12 12 = C13 13 . The
condition C12 12 = C13 13 leads to (Roy and Prakash[1])
!
B̈ C̈ 2Ȧ Ḃ Ḃ
− −
−
= 0.
B C
A B B
2. Viskoz Fluid ve Magneto Fluid (x-yönündeki magnetik alan için (Fik nın sadece F23
bileşeni var.
İlave Şartlar: For a comoving observer the magnetic flux vector is uniform in
space and time coordinates so that h1 is constant (Bali[2]). This requires in virtue of
23
h1 = AF
that A be proportional to BC. By a simple transformation of coordinates,
µBC
we may put the proportionality factor equal to unity. Thus we have
3. Viskoz Fluid
İlave Şartlar: We need an additional condition. In order to obtain it, we assume
the space-time to be Petrov type-I non-degenerate, which leads to (Bali and Jain
[3]) C14 14 = C23 23 = 0. The condition C14 14 = C23 23 = 0 leads to
!.
Ȧ
2Ḃ Ċ
B̈ C̈
+ −2
−
= 0.
B C
A
BC
(i) η = constant.
B
µ
η
= ν yani B 2 = µν, C 2 =
(ii) = `(constant). BC = µ,
θ
C
ν
4. Viskoz Fluid:
İlave Şartlar: We need an extra condition. We assume the space-time to be Petrovtype D (Bali and Jain [4]) This requires that, either
(a) C12 12 = C13 13
or
(b) C12 12 = C23 23
• The condition C12 12 = C13 13 leads to
Ȧ
B̈ C̈
− −2
B C
A
1
Ḃ Ḃ
−
B B
!
= 0.
(i) η = constant.
η
B
µ
(ii) = `(say). BC = µ,
= ν yani B 2 = µν, C 2 =
θ
C
ν
23
12
• The condition C12 = C23 leads to
!.
!
Ȧ
C̈ 2Ḃ Ċ Ȧ Ḃ Ḃ
+
−
= 0.
= −
A
C
BC
A B B
(ii) η = `/θ.
5. Viskoz Fluid:
İlave Şartlar: The coefficients of viscosity η and ξ are taken as constants. We need
an extra condition. We assume that C14 14 = C23 23 = 0. The resulting space-time
will obviously be of non-degenerate Petrov type I (Roy and Prakash [5]).
• The condition C14 14 = C23 23 = 0 leads to
!.
Ȧ
Ḃ Ċ
B̈ C̈
2
.
= + −2
A
B C
BC
6. Perfect Fluid:
İlave Şartlar: ρ = 3p,
BC = µ, B/C = ν (Roy and Singh [6]).
• The condition C14 14 = C23 23 = 0 leads to
!.
Ȧ
Ḃ Ċ
B̈ C̈
2
.
= + −2
A
B C
BC
7. Viskoz Fluid:
İlave Şartlar: ρ = p,
BC = µ, B/C = ν,
(i) η = constant.
η
(ii) = `(say). BC = µ,
θ
ξ = 0 (Bali and Jain [7]).
B
= ν yani B 2 = µν,
C
C2 =
µ
ν
Aşağıdaki uzay-zaman metrikleri için Einstein alan denklemlerinin (Rik − 12 Rgik = −Tik )
çözümlerini bulunuz.
B) ds2 = A2 dx2 − dt2 + B 2 dy 2 + C 2 dz 2 Marder metriği
A = A(x, t), B = B(x, t), C = C(x, t) xi = (x, y, z, t),
ui = Komoving hızlar
1. Perfect Fluid:
İlave Şartlar: A = BC (Narain [8]).
• B = f (x)µ(t), C = g(x)µ(t)
(I, a) µ̇ = 0
(I, b) f 0 /f + g 0 /g = 0
• B = f (x)µ(t), C = f (x)ν(t)
2
2. Perfect Fluid ve Magneto Fluid:
İlave Şartlar: To get a determinate solution, we assume a supplementary condition
between metric potential as (Bali and Tyagi [9])
A = (BC)n
• We consider the current is flowing along z axis so that F12 is the only nonvanishing component of Fik .
• B = f (x)g(t), C = h(x)k(t).
3. Perfect Fluid:
İlave Şartlar: We assume that the metric is Petrov type II non-degenerate. This
requires that (Roy and Narain [10])
C1212 − C1313 = 2C1224
In particular if C − 1224 is zero the metric will be of Petrov type D. Equation
C1212 − C1313 = 2C1224 leads to
!
!
B̈ C̈ B 00 C 00 Ḃ 0 Ċ 0
Ȧ A0
Ḃ Ċ B 0 C 0
− +
−
+
−
=2
+
− +
−
B C
B
C
B
C
A
A
B C
B
C
Aşağıdaki uzay-zaman metrikleri için Einstein alan denklemlerinin (Rik − 12 Rgik = −Tik )
çözümlerini bulunuz.
2
String Bulutu Çözümleri
A) ds2 = A2 dx2 − dt2 + B 2 dy 2 + C 2 dz 2 Marder metriği
A = A(t), B = B(t), C = C(t) xi = (x, y, z, t),
ui = Komoving hızlar
1. İlave Şartlar: xi = x-yönünde, B = b (αt + β)n , n = 1/2 ve n 6= 1/2 için (Yavuz
and Tarhan [11]).
B) ds2 = A2 dx2 − dt2 + B 2 dy 2 + C 2 dz 2 Marder metriği A = A(x, t), B = B(x, t), C =
C(x, t) xi = (x, y, z, t),
ui = Komoving hızlar
1. İlave Şartlar: We assume the following condition on the metric potential (Battal
and Yavuz [12]).
A = (BC)n
• B = f (x)g(t),
C = h(x)g(t).
2. String ve Magneto Fluid
İlave Şartlar: Magnetik alan z−yönündedir. Yani sadece F12 vardır. Assuming
that the metric coefficients are separable function as the following (Battal and Yavuz
[13]).
A = f (x)k(t)
3
and
B =g(x)`(t)
C =h(x)`(t)
and
f0
= m(= constant)
f
3. İlave Şartlar:
To get a determinate solution, let us assume that expansion (θ) in the model is
proportional to the eigenvalue σ 11 of the shear tensor σ µν . This condition leads to
(Baysal et. al. [14]).
A = (BC)n
• B = f (x)g(t),
• B = f (x)g(t),
C = h(x)k(t),
C = f (x)k(t),
C) Bianchi Type-I Cosmological Models The metric for Bianchi type-I cosmological models is
ds2 = −dt2 + A2 dx2 + B 2 dy 2 + C 2 dz 2 ,
(1)
where A, B, and C are function of t only.
İlave Şartlar:
• Let us assume that ρ and λ are related by Takabayashi’s equation of state, ρ =
(1 + ω)λ.
• Let us assume
A = at + b,
a 6= 0,
where a and b are arbitrary constants.
• Let us assume A = t.
D) Kantowski-Sachs-Type Cosmological Models The metric for Kantowski-Sachs-type
cosmological models is (Letelier [16])
ds2 = −dt2 + Λ2 dr2 + K 2 (dθ2 + sin2 θdφ2 ),
İlave Şartlar:
• Let us assume
t
K= ,
a
where a denotes an arbitrary constant.
• Let us assume
K = a.
4
E) Bianchi Type-I Metric
ds2 = −dt2 + e2α dx2 + e2β (dy 2 + dz 2 )
• Stringler ve magnetik alan x-yönünde alınmıştır (F23 6= 0). α, β, t nin fonksiyonudur. (Banerjee et. al. [16]).
F) Bianchi Type II, VIII ve IX The locally rotationally symmetric (LRS) metric for the
spatially homogeneous Bianchi-type II (δ = 0), VIII (δ = −1) and IX (δ = +1) cosmological model is (Krori et. al. [17])
ds2 = −dt2 + (Sdx + Szdy)2 + (Rdy)2 + (Rdz)2
where R and S are functions of t only.
Bianchi type-II (δ = 0), Bianchi type-VIII (δ = −1) ve IX (δ = +1) dur.
Bianchi type V I0 ic.in:
ds2 = −dt2 − Adx2 + Be−2mx dy 2 + Ce2mx dz 2
G) Nonstatic Gödel Type Models String + Isı Akısı + Skaler Alan ve Kozmolojik Sabit
(Baysal et. al. [18]).
ds2 = − (dt + H(t)ex dy)2 +
1
H(t)2 e2x dy 2 + dx2 + dz 2
α2
Skaler alan z ye bağlı (V = a.z + b), String x ve z yönlerinde alınmıştır.
H) Bianchi type-III Çözümleri
ds2 = −dt2 − A2 dx2 + B 2 e−2ax dy 2 + C 2 dz 2
İlave Şartlar A, B, C sadece t ye bağlıdır. String z-yönünde, magnetik alan z−yönünde
ve C = An (Tikekar and Patel [19]).
I) Uzaysal Homojen Çözümler
ds2 = −e2h dt2 + e2A dx2 + dy 2 + e2B dz 2
İlave Şartlar h, A, B sadece t ye bağlıdır. String z-yönünde, magnetik alan z−yönünde.
Takabayasi durum denklemi ve h = mA ve B = nA (Ram and Singh [20]).
3
Skaler Alan Çözümleri
1. Eksensel simetrik Einstein-Rosen Metrik
ds2 = e2α−2β dρ2 − dt2 + ρ2 e−2β dφ2 + e2β dz 2
α and β are functions of ρ and t only and ρ, φ, z, t correspond recpectively to x1 , x2 , x3 , x4
coordinates. Massive skaler alan özümlerine izin vermediğini gösteriniz (Roy and Rao
[21]).
5
2. FRW Metriği iin
dr2
2
2
2
2
ds = −dt + Q (t)
+
r
dθ
+
sin
θdφ
1 − kr2
2
2
2
Massive skaler alan özümünü bulunuz (Rao et. al. [22]).
3. Küresel Simetrik Konformal Flat Çözümler
ds2 = eλ −dt2 + dr2 + r2 dθ2 + sin2 θdφ2
where λ is function of r and t only. Zero-mass skaler alan + elektromagnetik alan + toz
özümleri (Rao and Singh [23]).
4. Plane-Simetrik Skaler Dalgalar
ds2 = E −dt2 + dz 2 + G dx2 + dy 2
where E and G are functions of t and z. Zero-mass skaler (Li [24]).
4
Küresel Simetrik Çözümler
1. Schwarzschild Çözümü
ds2 = −eν dt2 + eλ dr2 + r2 dθ2 + sin2 θdφ2
where λ and ν are functions of r and t. Vakum (dış) özümlerini bulunuz (Landau and
Lifshitz [25]).
2. Kerr Çözümü (1963): Stasyoner, eksensel simetrik, vakum özümlerdir. (Stephani [26])
(Boyer-Lindquist (r, θ, φ, t) koordinatlarında).
2
2
dr
2M r
2
2
+ dθ + r2 + a2 sin2 θdφ2 − dt2 +
ds = Σ
a sin2 θdφ − dt
4
Σ
Σ = r2 + a2 cos2 θ,
4 = r2 − 2M r + a2
m kütle, a birim kütle başına aısal momentumdur (Demianski [27]).
3. Reissner-Nordström Çözümü (Stephani [26]) (Küresel simetrik, statik, yüklü kütle dağılımının
dış alanını tanımlar).
dr2
2M
κQ2
2
2
2
2
2
ds =
dθ + sin θdφ − 1 −
+ 2 dt2
2 + r
r
2r
1 − 2M + κQ2
r
2r
and the electromagnetic field by the four-potential
Aα = 0,
U = −A4 = Q/r.
6
5
Tachyon Alan Çözümleri
1. FRW Çözümleri [28]
ds2 = −dt2 + a2 dx2 + dy 2 + dz 2 ,
a = a(t)
Yine aynı metrik iin özüm yapınız (Feinstein [?]).
2. Bianchi type-I Universe [30]
ds2 = −dt2 + R12 dx2 + R22 dy 2 + R32 dz 2 ,
6
Ri = Ri (t)
Monopol Çözümleri
Monopoller iin Lagrangian
2
1
1 a a
L = ∂µ φa ∂ µ φa −
φ φ − η2
2
4
Küresel simetrik konfigürasyon iin φ skaler alan
φa = ηh(r)
xa
r
dir. Burada xa lar küresel koordinatlardır (r, θ, φ, t).
ds2 = −B(r)dt2 + A(r)dr2 + r2 dθ2 + sin2 θdφ2
statik küresel simetrik metrik iin Einstein alan denklemlerini monopoller alarak özünüz (Vilenkin
2
and Shellard [31]). (T 11 = T 44 = ηr2 , T 22 = T 33 = 0 olduğu bulunmalıdır).
7
Genel Sorular
1. Metriği ds2 = sec2 y dx2 + dy 2 ile verilen uzayın geodezik denklemlerini bulunuz ve bu
denklemleri özünüz?
2. İki boyutlu Riemann uzayında en genel yay elemanı
ds2 = a(x, t)dt2 + b(x, t)dx2 + 2c(x, t)dxdt
şeklindedir. Bu metriği ν = ν(x, t), λ = λ(x, t) olmak üzere
ds2 = e2ν dt2 − e2λ dx2
şekline indirgenebileceğini gösteriniz. Sonra Einstein alan denklemlerini hesaplayarak
Ricci tensörünün bileşenlerinin eşit olduklarını belirleyiniz.
7
3. α = α(x), β = β(x) olmak üzere, metriği
ds2 = −e2α dt2 + e2β dx2 + dy 2 + dz 2
ile verilen bir uzay-zamanda Riemann tensör bileşenlerinin sıfır olması (düz uzay) şartlarını
bulunuz?
4. Ne gibi bir enerji-momentum tensörünün
ds2 = −dt2 + ealpha(t) dx2 + dy 2 + dz 2
şeklindeki bir uzay-zamana karşılık geleceğini hesaplayınız?
5. 2-boyutlu Milne uzayı
ds2 = −dt2 + t2 dx2
ile veriliyor. Weyl tensör bileşenlerinin sıfır olması iin |t| → eη dönüşümü yapılması
gerektiğini bulunuz? Ayrıca (η, x) → (u = eη sinh x, v = eη cosh x) dönüşümü altında
metrik nasıl bir şekil alır?
References
[1] S. R. Roy and S. Prakash, Indian J. Phys. 52B, 47 (1978).
[2] Raj Bali, Astrophys. Space Sci. 107, 155, (1984).
[3] Raj Bali and Deepak Raj Jain, Astrophys. Space Sci. 139, 175, (1987).
[4] Raj Bali and Deepak Raj Jain, Astrophys. Space Sci. 141, 207, (1988).
[5] S. R. Roy and S. Prakash, Indian J. Pure Appl. Math. 8, 723, (1977).
[6] S. R. Roy and P. N. Singh, J. Phys. A 10, 49, (1977).
[7] Raj Bali and Deepak Raj Jain, Astrophys. Space Sci. 185, 211, (1991).
[8] S. Narain, Gen. Rel. Grav. 20, 15, (1988).
[9] Raj Bali and Atul Tyagi, Gen. Rel. Grav. 21, 797, (1989).
[10] S. R. Roy and Shyam Narain, Indian J. Pure Appl. Math. 10, 763, (1979).
[11] İ. Yavuz and İ. Tarhan, Astrophys. Space Sci. 240, 45, (1996).
[12] C. B. Kılınç and İ. Yavuz, Astrophys. Space Sci. 238, 239, (1996).
[13] C. B. Kılınç and İ. Yavuz, Astrophys. Space Sci. 271, 11, (2000).
[14] H. Baysal, İ. Yavuz, İ. Tarhan, U. Camcı and İ. Yılmaz, Turk. J. Phys. 25, 1, (2001).
[15] P. S. Letelier, Phys. Rev. D28, 2414 (1983).
8
[16] A. Banerjee, A. K. Sanyal and S. Chakraborty, Pramana 34, 1 (1990).
[17] K. D. Krori, T. Chaudhury, C. R. Mahanta and A. Mazumdar, Gen. Rel. Grav. 22, 123
(1990).
[18] H. Baysal, İ. Yılmaz and İ. Tarhan, Int. J. Mod. Phys. D10, 935 (2001).
[19] Ramesh Tikekar and L. K. Patel, Gen. Rel. Grav. 24, 397 (1992).
[20] Shri Ram and J. K. Singh, Gen. Rel. Grav. 27, 1207 (1995).
[21] A. R. Roy and J. R. Rao, Commun. Math. Phys. 27, 162 (1972).
[22] J. R. Rao, R. N. Tiwari and B. K. Nayak, Australian J. Phys. 29, 195 (1976).
[23] J. R. Rao and R. T. Singh, Int. J. Theor. Phys. 20, 775 (1981).
[24] Jianzeng Li, J. Math. Phys. 33, 3506 (1992).
[25] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields, Vol.2, Pergamon Press
(1987).
[26] Hans Stephani, General Relativity, Ed. John Stewart, Cambridge University Press (1985).
[27] Marek Demianski, Relativistic Astrophysics, Pergamno Press (1985).
[28] G. W. Gibbons, Phys. Lett. B537, 1 (2002), hep-th/0204008.
[29] Alexander Feinstein, hep-th/0204140.
[30] P. K. Suresh, qr-qc/0309043.
[31] A. Vilenkin and E. P. S. Shellard, Cosmic Strings and Other Topological Defects, Cambridge University Press (1994).
9