Elektrik Devre Denklemlerinin Hamilton ve Euler Lagrange

Elektrik Devre Denklemlerinin
Euler Lagrange ve Hamilton
Formülasyonları
Mustafa Kösem
Özkan Karabacak
İÇERİK
• Çalışma grubumuz
• Neden farklı bir formülasyon?
• Euler-Langrange(EL) ve Hamilton(H)
denklemleri
• Elektrik devrelerinin EL-H formülasyonlarıkısa tarihçe
• Ötesi…
Neden farklı bir formülasyon?
•
•
•
•
Elektromekanik sistemler
Lineer olmayan sistemler
Davranışı doğrudan görmek
Kapılar tanımlayarak enerji temelli kontrol
yapmak
• Ve diğer teorileri elektriğe taşımak
EL-H Denklemleri
(Neden Newton yetmiyor?)
Tek parçacık için Newton’un ikinci yasası:
dp
F=
dt
Kuvvet korunumlu ise
F
⋅
dx
=
0
∫
Stokes
theorem
∇× F = 0
F = −∇V
V bir skaler fonksiyon; adı potansiyel (enerji)
EL-H Denklemleri
2
(Neden Newton yetmiyor?)
2
2
dv
W12 = ∫ F ⋅ dx = ∫ m ⋅ dx = m ⋅ ∫ v ⋅ dv
dt
1
1
1
V1 − V2 = T2 − T1 ,
2
Ti = m ⋅ vi / 2
T bir skaler fonksiyon; adı kinetik enerji
H = V1 + T1 = V2 + T2
H bir skaler fonksiyon; adı enerji
H korunur.
EL-H Denklemleri
(Neden Newton yetmiyor?)
N parçacık için Newton’un ikinci yasası:
∑ Fji + Fi
(e)
= pi ,
i = 1,2, … , N
j
Kuvvetler korunumlu ise,
1
2
T = ∑ mi ⋅ vi
2 i
,
1
V = ∑ Vi + ∑ Vij
2 i≠ j
i
H korunur.
EL-H Denklemleri
(Neden Newton yetmiyor?)
Çünkü sistemde etkisini bilip de kendisini bilemediğimiz kuvvetler
olabilir. Yani KISIT KUVVETLERİ
x2
θ
genelleştirilmiş
koordinat
Kısıt kuvveti
(genelde işsiz)
x1
alışıldık
koordinatlar
(e)
F
Kısıt:
f ( x1 , x2 , … , x N ) = 0
EL-H Denklemleri
(Kısıt kuvvetlerinden
bağımsız bir denklem: D’Alembert Prensibi)
∑
statik
Fi ⋅ δ xi = 0
i
Fi = Fi
∑
Fi
(a)
(a)
kısıt kuvvetlerini ayırdık
+ fi
statik
⋅δxi = 0
i
∑ (F − p )⋅ δx
i
i
i
i
∑ (F
(a)
i
dinamik
=0
)
− pi ⋅δxi = 0
i
D’Alembert Prensibi
∑ (F
i
i
− p i )⋅ δ x i = 0
dinamik
EL-H Denklemleri
(D’Alembert Prensibi
genelleştirilmiş koordinatlara taşınması: EL-H denklemleri )
Euler-Lagrange denklemleri
d ⎛ ∂L(q, q) ⎞ ∂L(q, q)
⎜⎜
⎟⎟ −
= 0 , L = T −V
dt ⎝ ∂q ⎠
∂q
L: Lagrange fonksiyonu
Korunumsuz kuvvetler var ise:
d ⎛ ∂L(q, q) ⎞ ∂L(q, q)
⎜⎜
⎟⎟ −
=Q ,
dt ⎝ ∂q ⎠
∂q
L = T −V
EL-H Denklemleri
(D’Alembert Prensibi
genelleştirilmiş koordinatlara taşınması: EL-H denklemleri )
Hamilton denklemleri:
∂H(q,p)
q=
, p = M (q) ⋅ q
∂p
∂H(q,p)
p=−
, H = T +V
∂q
H: Hamilton fonksiyonu
BASİT SARKAÇ
Newton denklemleri kullanılarak
Sabit uzunluklu ip cismin hareketini sınırlamaktadır.
Kısıt denklemi :
Sisteme ait dinamik denklem
Kısıt kuvveti
:
Sisteme ait kısıt denklemi
BASİT SARKAÇ
Euler-Lagrange denklemleri kullanılarak
Koordinat dönüşümü
Genelleştirilmiş koordinatlara geçiş
EULER-LAGRANGE DENKLEMİ
UYARILMIŞ SARKAÇ
Euler-Lagrange denklemleri kullanılarak
EULER-LAGRANGE DENKLEMİ
Elektrik devrelerinin EL-H
formülasyonları
•
•
•
•
•
Application of the Lagrangian equations to electrical circuits, D. A.
Wells, 1938.
A theory of nonlinear networks, R. K. Brayton, J. K. Moser, 1964.
Explicit topological formulation of Lagrangian and Hamiltonian
equations for nonlinear networks, L. 0. Chua and J. D. McPherson,
1974.
A method for obtaining a canonical hamiltonian for nonlinear LC
circuits, G. M. Bernstein and M. A. Lieberman, 1989.
Ötesi…
Brayton-Moser Denklemleri
Devre üzerine kısıtlamalar
Kondansatör gerilimleri ve endüktans akımları tam değişkenler kümesi
oluştursun.
Denge noktası problemi çözülebilir olsun.
diL ∂P
L ( iL )
=
( iL , vC )
dt ∂iL
dvC
∂P
C ( vC )
=−
( iL , vC )
dt
∂vC
P karışık potansiyel fonksiyonu (mixed potantial function)
LC DEVRELERİ
Devre topolojisi üzerine kısıtlamalar
Kondansatörler çevre, endüktanslar kesitleme oluşturmuyor.
Eleman tanım bağıntıları üzerine kısıtlamalar
Dallar
Kirişler
ENERJİ FONKSİYONLARI
Enerji :
Tümleyen Enerji :
LAGRANGE FONKSİYONU
Klasik mekanik :
LC devresi :
Genelleştirilmiş konum :
Genelleştirilmiş hız :
Problem : Kondansatör akısı ve endüktans yükü alışılagelmiş büyüklükler değil!
EULER-LAGRANGE DENKLEMLERİ
Bu denklem sağlanır.
SONUÇ :
Kirchhoff’un gerilimler yasası
Enerjinin korunumu (Euler-Lagrange denklemleri)
Kondansatör gerilimlerine dair dinamik denklem
L, C, J, R DEVRELERİ
Dallar
Kirişler
Bağımsız DC akım kaynakları akı kontrollü endüktanslar gibi düşünülür.
Dirençler denklemlere genelleştirilmiş kuvvet olarak katılır.
L, C, J devresi :
L, C, J, R devresi :
GENEL HALDE EULER-LAGRANGE DENKLEMLERİ
Yük kontrollü kapasiteler
Akı kontrollü endüktanslar
Akım kontrollü bağımsız kaynaklar Gerilim kontrollü bağımsız kaynaklar
Gerilim kontrollü kondansatörler
Akım kontrollü endüktanslar
ÖRNEK
Durum değişkenleri gösterimi
Euler-Lagrange gösterimi
HAMİLTON DENKLEMLERİ
Eleman tanım bağıntıları üzerine kısıtlamalar :
Hamilton fonksiyonu :
BİR LC DEVRESİNİN KARMAŞIKLIĞI
Devre topolojisi üzerine kısıtlamalar
Kondansatörler çevre, endüktanslar kesitleme oluşturmuyor.
Durum değişkeni sayısı
Gerçek karmaşıklık
5 kondansatör gerilimi
5-1=4 kondansatör gerilimi
6 endüktans akımı
6-2=4 endüktans akımı
ÖZELLİK :
Bağımsız kondansatör gerilimi sayısı,
bağımsız endüktans akımı sayısına eşittir.
KANONİK YAPIDA HAMİLTON DENKLEMLERİ
Bu eşitliği sağlayan M ve
N
matrisleri vardır.
Genelleştirilmiş koordinatlara geçiş :
Kanonik hamilton gösterimi
Ötesi…
• Kontrol
- enerji şekillendirme (Power shaping)
- pasiflik temelli kontrol (PBC)
- bağlantı ve sönüm atama yoluyla
pasiflik temelli kontrol (IDA-PBC)
• Diferansiyel geometri
- manifold üzerinde dinamik sistem
- simetri