LİMİT ve SÜREKLİLİK LİMİT

LİMİT ve SÜREKLİLİK
12. BÖLÜM
Örneğin
LİMİT
Şekildeki f(x) fonksiyonun da
Acayip muhabbet bi konu.☺
Limit bir yaklaşma olayıdır.
Bir sağdan yaklaşıyorsunuz. Bir de soldan. Eğer
yaklaştığınız şey(değer) aynı ise problem yok. Ama
sağdan ve soldan yaklaşırken hedef şaşmış ve farklı
şeylere(değerlere) yaklaşmışsanız geçmiş olsun.
Limit mimit yok.☺
Yalnız burada neye, ne zaman, nasıl yaklaşacağınız
önemli işte. ☺
lim f(x) = b dir.
x→ a +
y
f(x)
b
0
x
a
Soldan Limit
x değişkeni a ya soldan (yani a dan küçük ve artan
değerlerle) yaklaşırken f(x) in limiti varsa bu limit
değerine f(x) in x = a noktasındaki soldan limiti denir ve
Bunun daha bilimsel tarifi ise şu,
lim f ( x) = ...
A ∈ R ve f : A − {a} → R ye bir fonksiyon olmak
x→ a −
üzere,
şeklinde gösterilir.
x değişkeni a sayısına yaklaştığında f(x) fonksiyonu
da L sayısına yaklaşıyorsa, L sayısına; x, a ya yaklaşırken f(x) fonksiyonunun limiti denir. Ve
Örneğin
lim f(x) = L
Şekildeki f(x) fonksiyonun da
x →a
şeklinde gösterilir.
y
f(x)
c
lim f (x) = c dir.
x→ a −
0
Fonksiyonun Grafiğinden Yararlanarak Limit
Bulma ve Sağdan- soldan Limit
a
x
Bir fonksiyonun herhangi bir noktada limitinin
olması için bu noktada sağdan ve soldan limit
değeri birbirine eşit olması gerekir.
Sağdan Limit
x değişkeni a ya sağdan (yani a dan büyük ve azalan değerlerle) yaklaşırken f(x) in limiti varsa bu limit
değerine f(x) in x = a noktasındaki sağdan limiti
denir ve
Yani, fonksiyonun herhangi bir noktada sağdan ve
soldan limiti eşit değilse bu noktada limiti yoktur. Bu
kadar basit.☺
lim f (x) = ...
x→ a +
şeklinde gösterilir.
32
LİMİT VE SÜREKLİLİK
12. BÖLÜM
Pekii… Fonksiyonun x =
2 noktasında tanımlı olduğu değer ile limiti
farklı olsa ne olur?
Tabii ki hiçbir şey olmaz.☺
Bu noktadaki limiti yine 4
y
f(x)
L
Şekildeki f fonksiyonunda
4
0
2
Ve size değişik bir fonksiyon grafiği
lim f ( x ) = lim f ( x ) = L olduğundan lim f ( x ) = L
x→ a+
f(x)
5
olur.
Ama f(2) = 5 bu ne olacak.
Size ne ki! Siz limite bakın. Limite.☺
x
a
0
y
x→ a
x→ a−
y
dir.
Ve en önemli hususlardan biri de
Bir fonksiyonun herhangi bir noktada limitinin
var olması tanımlı olup olmamasıyla ilgili değildir.
1
0
-2
Yani, limiti olduğu noktada tanımlı olmayabilir veya
tanımlı olduğu değer limit değerinden daha farklı bir
değer de olabilir.
Bunu grafik üzerinde ayrıntısıyla anlatacağım. Durun hele. Acele etmeyin bakalım. ☺
x
2
Bu grafiğe göre,
lim f ( x ) = ∞
lim f ( x ) = −∞
x→ − 2−
Örneğin
x→ − 2+
lim f ( x ) = lim f ( x ) = ∞
x→ 2+
y
f(x)
Yani x = - 2 de limit yoktur. Ama x = 2 de limit ∞
dur.
Ayrıca şunu da fark etmiş olmanız lazım.☺
4
0
x→ 2−
2
x
lim f ( x ) = lim f ( x ) = 1 dir.
x→ ∞
x → −∞
Gördünüz mü?
Şekildeki f(x) fonksiyonu x = 2 noktasında tanımlı
değildir. Yani ‘’f(2) kaçtır? ‘’ diye bir soru soramazsınız. Ama bu noktada limiti vardır. Çünkü fonksiyonun x = 2 noktasındaki limiti, bu noktada aldığı değer(tanımlı olduğu değer) değil, x in 2 ye sağdan ve
soldan yaklaşırken f(x) in yaklaştığı değerdir. f(x)
sağdan ve soldan 4 e yaklaştığına göre, x = 2 noktasındaki limiti 4 tür.
Buraya kadar anlattıklarımı özetleyeyim.
y
7
y = f(x)
4
2
Yani, lim f (x) = 4 tür.
x→ 2
a
33
b
c
0
e
f
g
x
x
LİMİT VE SÜREKLİLİK
12. BÖLÜM
Örnek 2
Şekilde verdiğim f(x) fonksiyonunun grafiğinde apsisi a, b, c, 0, e, f ve g olan noktalar için,
y
7
x = a da,
4
2
lim f (x) = f (a) = 2 dir.
x→ a
(limiti tanımlı olduğu değere eşit.)
-8 -6 -4
2
4
x
5
y = f(x)
x = b de,
lim f ( x ) = 4 (fonksiyon bu noktada tanımlı değil.
x→ b
Şekilde verilen y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre,
(Ama limit olması için tanımlı olması gerekmiyordu
ki zaten.)
a)
x = f de
lim f ( x ) = 2 ve
x→ f −
lim f ( x ) + lim f ( x ) toplamı kaçtır?
x→ − 6
lim f ( x ) = 7 olduğundan yani
x→0 −
x→ f +
sağdan ve soldan limiti farklı olduğundan x = f de
limit yoktur.
b)
Aynı şekilde,
lim f ( x ) + lim f ( x ) toplamı kaçtır?
x→ 4−
x→0 +
Cevap: a) 11
x = c , x = e , x = g noktalarında fonksiyonun limiti
b) 11
tanımlı olduğu değere eşit,
x = 0
da ise sağdan ve soldan limitler farklı olduğundan limit yok.
Anladınız mı şimdi sağdan, soldan limit meselesini?
İşte olay bu.
Örnek 3
y
Örnek 1
y = f(x)
4
y
2
1
5
4
f(x)
3
a
0
b
-5 -4 -3
x
-3
x →a +
x →b −
3
4
x
Cevap: 5
lim f ( x ) + lim f ( x )
x →b +
1
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonunun
apsisi - 5 , - 4 , - 3, 0, 1, 3 ve 4 olan noktalarda
var olan limitlerinin toplamı kaçtır?
Şekilde f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre,
x →a −
0
lim f ( x ) + lim f ( x )
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevap: 8
34
LİMİT VE SÜREKLİLİK
12. BÖLÜM
Örnek 4
Örnek 6
y
y
3
y = f(x)
2
1
1
-5
1 2
-4 -3
x
4
-3
-2
3
x
-3
Yukarıda f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Şekilde verilen f(x) fonksiyonunun grafiğine göre,
Buna göre,
lim f ( x ) + lim f ( x ) +
x→ −5+
x→ 2 −
lim
x → −3 −
f (x)
a)
toplamı kaçtır?
Cevap: 2
b)
c)
lim f ( x ) limit değeri nedir?
x→ −3−
lim f ( x ) limit değeri kaçtır?
x→ − ∞
lim f ( x ) limit değeri kaçtır?
x→ ∞
Örnek 5
y
d)
6
lim f ( x ) limit değeri nedir?
x→3 −
4
2
Cevap: a) ∞
-3
-5
-2
-3
c)1
d) − ∞
x
3
0
b)1
f(x)
Şekilde f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Polinom ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının
Limiti
Buna göre, fonksiyonun x = – 5 , x = – 3 x = 0 ve
x= 3 noktalarındaki limit değerlerinin toplamı
kaçtır?
f(x) bir polinom fonksiyon ise,
lim f ( x ) = f (a) dır.
x→a
Cevap: 9
Yani fonksiyonda x gördüğünüz yerlere a yazın. O
kadar. Hiçbir özelliği yok anlayacağınız.
Ayrıca,
x = a da limiti olan f(x) fonksiyonu için
lim f (x) = f (a)
x→a
Bu değerlerin toplamıyla f( −5) + f( −3) + f(0) + f(3)
toplamı eşit midir?
Nedenini açıklayabilir misiniz?☺
Ve
35
LİMİT VE SÜREKLİLİK
lim
2n +1
x→a
f ( x) =
2n +1
12. BÖLÜM
Örnek 10
f (a) dır.
lim
x→ −4
− 3x + 2
limitinin değeri kaçtır?
Fark ettiyseniz bu kısımda anlattığım limit hesabının
fonksiyonda değer bulmadan hiçbir farkı yok.
Gerçekten. Tıpatıp aynısı. ☺
Cevap: 14
Örnek 7
(
)
lim 2x 2 − 3x + 5 limitinin değeri kaçtır?
x→ 2
Cevap: 7
Örnek 11
lim mx + 2 = 2
x −1
x → −1
olduğuna göre, m kaçtır?
Cevap: 6
Örnek 8
lim f ( x ) = 3 ve lim g ( x ) = k olmak üzere,
x→ 2
x→ 2
g( x ) ⎞
⎛
lim ⎜ x.f ( x ) +
=8
5 ⎟⎠
x→ 2 ⎝
olduğuna göre, k kaçtır?
Örnek 12
Cevap: 10
lim
x→ 0
3x + 4
1− 2x
limitinin değeri kaçtır?
Cevap: 2
Örnek 9
lim
x→ 3
5x + 10
Örnek 13
limitinin değeri kaçtır?
Cevap: 5
lim
x→ 2+
(3 x 2 + 2x − 7 )
limitinin değeri kaçtır?
Cevap: 9
36
LİMİT VE SÜREKLİLİK
12. BÖLÜM
Örnek 14
Sıkıştırma Teoremi
lim
x→ −2
10 − 3 x + 5
Acayip basit bir teorem.
Teorem kelimesine gıcık olduğunuzu biliyorum. Be-
limitinin değeri kaçtır?
nim de pek sevdiğim söylenemez☺☺ Ama Bay X
Cevap: 3
ne etsin. Adamlar müfredata koymuşlar. Siz de bilin
bari.☺
Önceleri yoktu sıkıştırma mıkıştırma gibi şeyler.☺
Adamların sıkıştırma işiyle alakalarının kuvvetli olduğu belli.
Ne diyeyim.☺
Eee…
Örnek 15
Zahmet edip sıkıştırma teoreminin ne olduğunu öğrenirsiniz artık. Olur ya belki sorarlar.
3
lim ⎛⎜ x 2 + 2x − 7 + x ⎞⎟
−⎝
⎠
x → −1
limitinin değeri kaçtır?
Teorem şu;
Cevap: - 3
f ve g fonksiyonları x = a da limitleri olan iki fonksiyon olmak üzere,
lim f ( x) = lim g(x) = L ve x in a ya yakın tüm değer-
x→a
x→a
leri için
g(x) ≤ h(x) ≤ f(x) ise lim h( x ) = L olur. İşte buna
x→ a
Örnek 16
(
Sıkıştırma Teoremi denir.
)
lim 4 x + 2 x +1 − 10 = 14
x→ n
Yesinler…
Ne teorem ama.☺ Bu adamlar m….k ya!☺ Sanki
olduğuna göre, n kaçtır?
başka işleri yok☺
Cevap: 2
Minik bir örnekçik yeter di mi.☺ Al.
Örnek 18
f(x) fonksiyonu − 1 ≤ x ≤ 1 için
Örnek 17
4 − 3x2 ≤ f(x) ≤
(
lim x 2 + 3log 2 ( 5x + 1)
x →3
)
4 − 2x 2
eşitsizliğini sağladığına göre, lim f ( x) kaçtır?
x→0
limitinin değeri kaçtır?
Cevap: 2
Cevap: 21
37
LİMİT VE SÜREKLİLİK
12. BÖLÜM
Örnek 21
Parçalı Fonksiyonun Limiti
⎧2x + n
⎪⎪
f ( x ) = ⎨7
⎪ 2
⎪⎩ x + 3
Parçalı fonksiyonun limitinde şu dediklerime dikkat
edin yeter. Bu da çok kolay.☺
Parçalı fonksiyonun kritik noktalarında (yani,
fonksiyonun parçalara ayrıldığı x değerlerinde)
limitini hesaplarken sağdan ve soldan limite bakın. Gerisini biliyorsunuz.
Ama limiti hesaplanan nokta kritik nokta değilse önce fonksiyonun hangi parçasını kullanacağınıza karar verin, sonra normal (anormali nasıl oluyorsa☺)
limit alın☺
Anladınız mı?
, x > 1 ise
,x = 1 ise
, x < 1 ise
fonksiyonunun x = 1 noktasında limitinin olması
için n kaç olmalıdır?
Cevap: 2
Örnek 19
⎧− x + 4
⎪⎪
f ( x ) = ⎨4
⎪ 2
⎪⎩ x − x
olduğuna göre,
, x > 3 ise,
,x = 3 ise,
, x < 3 ise,
lim f ( x ) + lim f ( x ) toplamının
x→ 3 +
x→ 3 −
değeri kaçtır?
Cevap: 7
Örnek 22
⎧⎪ x 2 − 5x + 2
f (x) = ⎨
⎪⎩5
olduğuna göre,
,x ≠ 2 ise,
,x = 2 ise,
lim f ( x ) + lim f ( x ) toplamı kaç-
x→ 2+
x→ −1
tır?
Cevap: 4
Örnek 20
⎧⎪3x + 2
f (x) = ⎨
2
⎪⎩ x + 3
, x > 1 ise,
, x ≤ 1 ise
olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun x = 1 noktasında limiti var mıdır?
Nedenini açıklayabilir misin?
Cevap: Sağdan ve soldan limiti eşit olmadığından dolayı limiti yoktur.
38
LİMİT VE SÜREKLİLİK
12. BÖLÜM
Örnek 23
Örnek 25
⎧ x 2 − 2x
, x < 2 ise,
⎪⎪
f (x) = ⎨ x − 2
⎪ 2
⎪⎩ x + m , x > 2 ise,
⎧ 2x + p , x > 1 ise
⎪⎪
f ( x ) = ⎨3
,x = 1 ise
⎪ 2
⎪⎩4x + 1 , x < 1 ise
fonksiyonunun x = 2 noktasında limiti olması
için m kaç olmalıdır?
fonksiyonunun x = 1 noktasında limiti olduğuna
göre, p nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Cevap: - 6
Cevap: - 4
Örnek 24
Örnek 26
⎧ x − 2x
⎪⎪
f ( x ) = ⎨3
⎪ 2
⎪⎩ 4x + 1
2
olduğuna göre,
, x < −1
⎧ 2x
⎪
f (x) = ⎨ x
⎪− 5
⎩
ise,
, − 1≤ x ≤ 2 ise,
,x>2
ise,
olduğuna göre,
lim f ( x ) + lim f ( x ) toplamı kaç-
x→ 2+
x→ −1
, x ≠ 0 ise,
, x = 0 ise,
lim f ( x ) − lim f ( x ) farkı kaçtır?
x→ 0+
x→ 0 −
Cevap: 4
tır?
Cevap: 20
39
LİMİT VE SÜREKLİLİK
12. BÖLÜM
Peki, aferin. ☺
Ama daha bitmedi. Şunları da hesaplayın bakalım.
Genişletilmiş Reel Sayılar Kümesi
R ye −∞ ve ∞ un eklenmesiyle oluşan kümeye
genişletilmiş reel sayılar kümesi denir.
a) lim 3x + 1 =
x−2
x→ 2+
∞ la ilgili olarak şunları bilmek lazım.
∞ + ∞= ∞
∞ .∞ = ∞
2x + 3 =
b) lim
x → 1 ( x − 1) 2
a pozitif reel sayı ise,
a.∞ = ∞
∞ =∞
a
∞ ∓ a= ∞
a =0
∞
r > 1 ise r
∞
2
c) lim x + 1 =
=∞
x→3 −
x−3
∞
0 < r < 1 ise r = 0
∞ − ∞ , ∞ , 0. ∞ , 1∞ belirsizdir.
∞
Örnek 27
2
⎛
⎞⎟
⎜
lim ⎜⎜ 2.5 x + 2 x + 4 ⎟⎟⎟
− ⎜
x → 0 ⎜⎝
⎠⎟⎟
limitinin değeri kaçtır?
Cevap: 5
Alın bakalım.
Grafiği ben çiziyorum. Gerisi size kalmış artık☺
y
y=
1
x
x
Örneğin siz de,
Aşağıdaki limit değerlerini yukarıdaki grafik yardımıyla bulun bakalım.☺
∞
2∞ = ∞
⎛2⎞
⎜ ⎟
⎝3⎠
e∞ = ∞
4 . ∞3 = ∞
=0
2 −∞ = 0
∞ =∞
5
gibi basit örnekler verebilirsiniz.☺
lim
x→ 0+
1 =
x
lim 1 =
x
x→ ∞
lim
x→ 0−
lim
x→ − ∞
1 =
x
⎧⎪∞
lim x n = ⎨
⎪⎩ − ∞
x→ − ∞
1 =
x
lim
x→ ∓ ∞
40
n çift ise,
n tek ise,
( a n x n + a n−1x n−1 + ... + a 0 ) = x →lim∓ ∞ a n x n dir.
LİMİT VE SÜREKLİLİK
12. BÖLÜM
Örnek
Trigonometrik Fonksiyonların Limiti
Aşağıdaki limit değerlerini bulun bakalım.
a)
(
Diğerlerinden hiçbir farkı yok.
Yine x gördüğünüz yere verilen değeri yazacaksınız.
O kadar.
)
lim 3x 2 − 5x + 2 =
x→ ∞
Örneğin,
b)
(
)
3
lim sin x = sina
lim −2x + 7x + 1 =
x→ ∞
x→ a
lim cos x = cos a dır.
x→ a
c)
lim
x→ − ∞
Çok da uzatmaya gerek yok. Değil mi?
( x 2 + x + 3) =
Örnek 29
lim
d)
lim
x → −∞
x→ π
4
( 4x 5 − 6x + 2) =
( sin 2 x + 2 tanx )
limitinin değeri kaçtır?
Cevap:
(
)
5
2
e) lim − 5x 2 + x + 2 =
x→ ∞
Örnek 28
lim
x→ ∞
((a
2
)
)
− 3a − 10 x 2 + 6x + 2 = −∞
olduğuna göre, a nın alabileceği tam sayıların
toplamı kaçtır?
Örnek 30
Cevap: 9
lim
x→ 0
sin 3 x
2x + 5
limitinin değeri kaçtır?
Cevap: 0
41
LİMİT VE SÜREKLİLİK
12. BÖLÜM
Örnek 31
lim
π
x→
3
Örnek 34
sin 2 x
1 + cos x
2
2 ⎞
⎛
lim ⎜ cos x − sin x ⎟
π
1 + sin2x ⎠
x→ ⎝
limitinin değeri kaçtır?
8
Cevap:
limitinin değeri kaçtır?
3
3
Cevap:
2 −1
Örnek 32
cos x − sin x
2
lim
cos2x
x→ π
Örnek 35
limitinin değeri kaçtır?
lim ⎛⎜ cos x + sinx ⎞⎟
x → π ⎝ cos x − sinx ⎠
Cevap: - 2
12
limitinin değeri kaçtır?
Cevap:
Örnek 33
lim
x→
π
4
2sin x − 1
1 − 2 cos x
limitinin değeri kaçtır?
Cevap: - 1
42
3
LİMİT VE SÜREKLİLİK
12. BÖLÜM
Örnek 36
Belirsizlikler
lim
Öncelikle şunu söyleyeyim. ‘’Yok efendim bu belirsizlikler saçmaymış… Yok böyle şey olur muymuş,…’’ gibi mantıksal bir sonuç çıkarmaya çalışmayın. İlle de çıkaracağım diyorsanız LYS ye kadar
bunları öğrenmeniz lazım geldiği sonucunu çıkarın.
Sinirimi bozmayın. ☺
a3 − b 3
a → b a2 − ab
limitinin değeri nedir?
Cevap: 3b
1) 0 belirsizliği
0
Örneğin
2
lim x − 1 limitinin değerini bulalım.
x→ 1 x − 1
x yerine 1 yazınca ne oluyor?
Örnek 37
0
çıkıyor. Değil mi?
0
3x 2 − 2mx − m2
=8
x −m
x→m
lim
Yani hem pay, hem de payda aynı anda sıfıra yaklaşıyor.
olduğuna göre, m kaçtır?
Cevap: 2
Sizce bu neden kaynaklanıyor?
- Evet… Bekliyorum.☺
- …?
0
belirsizliği olan durumlarda gerekli sadeleştirme0
leri yaparak belirsizliği ortadan kaldıracaksınız. Bunun için biraz cebirsel yetenek ihtiyacınız olur. O
kadar. Gerisi teferruat.☺
Örnek 35
lim
x→2
x2 − 4
x − 5x + 6
Örnek 38
2
lim
limitinin değeri kaçtır?
x→0
Cevap: - 4
1 − cos 2x
sin2 x
limitinin değeri kaçtır?
Cevap: 2
43
LİMİT VE SÜREKLİLİK
12. BÖLÜM
0
belirsizliğinin klasik bir tipi de şu.
0
Örnek 39
Gerçi türevi öğrendiğinizde bunu bilmeseniz bile yine çözebileceksiniz. Ama şimdilik bununla idare
edin bakalım.☺
f(x) = x 2 + x
olduğuna göre, lim
x→ 3
f(x) − f(3)
x2 − 9
limiti kaçtır?
Cevap:
7
6
lim
x→ 0
sin ax
= a dir.
bx
b
Hatta sinax yerine tanax ya da sadece ax veya bx yerine sinbx ya da tanbx yazsanız dahi
fark etmez.
- Hımmm…
- Vay be!
Örnek 42
lim
Örnek 40
lim
h→ 0
x→ 0
( 3x − 2h )2 − 9x 2
sin 6x
2x
limitinin değeri kaçtır?
h
Cevap: 3
limitinin değeri nedir?
Cevap: −12x
Örnek 43
lim
x→ 0
sin 2 6x
9x 2
limitinin değeri kaçtır?
Cevap: 4
Örnek 41
a ve b reel sayılar olmak üzere,
2
lim x − ax + 3 = b
x→ 1
x2 −1
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
Örnek 44
Cevap: 3
lim
x→ 0
sin 5 x + x.cos 2x
3x
limitinin değeri kaçtır?
Cevap: 2
44
LİMİT VE SÜREKLİLİK
12. BÖLÜM
Örnek 45
Örnek 48
4
lim
x −1
x→ 1
tan12x
lim
sin(x 2 − 1)
x→ 0
limitinin değeri kaçtır?
2 x
limitinin değeri kaçtır?
Cevap: 2
Cevap:
2)
lim
∞
belirsizliği
∞
Bu belirsizlikle daha çok pay ve paydanın polinom
tipi olduğu rasyonel fonksiyonlarda karşılaşacaksınız.
Örnek 46
x→ 0
3
sin 5x + tan7x
x + sin2x
limitinin değeri kaçtır?
Cevap: 4
lim
an x n + ... + a0
x→ ∓ ∞ b
m
x m + ... + b0
= lim
an x n
x→ ∓ ∞ b
m
xm
dir.
Eğer,
Payın derecesi paydanın derecesinden büyükse limit değeri ∞ ,
Payın derecesi daha küçükse limit değeri 0 (sıfır),
Pay ve paydanın dereceleri eşit ise limit baş kat sayıların oranına eşit olur.
Derece Sırası
Örnek 47
lim
x→ 2
Sonsuza en hızlı hangisi gider?
tan ( 2x − 4 ) + sin ( 6x − 12 )
Bu muhabbeti anlamak için mantığınızı devreye sokun
x → ∞ iken x li ifadeleri sonsuza gitme hızlarına göre
2
4x − 16
limitinin değeri kaçtır?
Cevap:
sıraladım.
1
2
x
x
> x! > 5 x > e x > x 2009 > x 61
> log x > sinx > sayı
( sayı) x
x sayı
Bu ifadelerden herhangi ikisi ya da daha fazlası bir
arada ise sonsuza hızlı gideni tespit edip diğerlerini sallayın. Sonsuza ilk kim giderse bayrağı sonsuza o diker.
Gerisi yolda telef olur. Onun için taa en başta sallayın gitsin.☺
Anladınız mı?
45
LİMİT VE SÜREKLİLİK
12. BÖLÜM
Örnek 53
Aslında sonsuzları karşılaştırmak doğru değil. Lakin
burada anlatmak istediğim x değişkenine bağlı ifade-
⎛ 3 + 9 + 15 + ... + 3(2n − 1) ⎞
lim ⎜
⎟
2n 2 + 3n − 1
⎝
⎠
lerin bazıları çok hızlı bir şekilde sonsuz koşar ve
n→∞
diğerlerini yutar!☺
limitinin değeri kaçtır?
Evet. Öyle diyebilirsiniz. Müsaade ediyorum☺
Cevap:
3
2
Örnek 50
⎛ 4x 2 − 2x + 1 ⎞⎟
lim ⎜⎜
⎟⎟
x 2 + x − 2 ⎠⎟
x → ∞ ⎜⎜⎝
limitinin değeri kaçtır?
Cevap: 4
Örnek 54
⎛ ( n + 1)!− n ! ⎞⎟
lim ⎜⎜⎜
⎟
⎝ n! + (n + 1) ! ⎠⎟
n→ ∞
Örnek 51
limiti kaça eşittir?
⎛ 6x 3 − 7 ⎞⎟
⎟⎟
lim ⎜⎜⎜
x→ ∞ ⎜⎝ 3x 3 + x 2 − 1 ⎠⎟
Cevap: 1
limiti kaça eşittir?
Cevap: 2
Örnek 55
Örnek 52
⎛
lim ⎜⎜
x → ∞ ⎜⎝
⎛ 2x 3 − x ⎞⎟
⎟⎟
lim ⎜⎜
x → ∞ ⎜⎜⎝ 5x 2 + x + 3 ⎠⎟
⎞⎟
⎟⎟
+x+2 ⎠
5x + 2
3x 2
limitinin değeri kaçtır?
Cevap: 0
limitinin değeri kaçtır?
Cevap:
∞
46
LİMİT VE SÜREKLİLİK
12. BÖLÜM
Örnek 59
Örnek 56
lim
x→ ∞
⎛ 2 x + 5 + 3 x +2
⎜⎜
⎜⎜ x −1
− 2 x +6
⎝ 4
⎞⎟
⎟⎟
⎠⎟
lim
x→ ∞
(a + 2)x 2 − ( 2a + b ) x + 1
=0
3x + 1
olduğuna göre, b kaçtır?
limitinin değeri nedir?
Cevap: 4
Cevap: 0
Örnek 57
Örnek 60
n
∑ ( 2k + 1)
sn =
k=1
2n2
lim
x→∞
+ n +1
3x 3n−6 + 3
2x10−n + 5
limiti bir reel sayıya eşit olduğuna göre n nin alabileceği doğal sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
olduğuna göre, lim sn limitinin değeri kaçtır?
n →∞
Cevap: 10
Cevap:
1
2
Örnek 61
Örnek 58
lim
n reel sayı olmak üzere,
x → −∞
(m − 4)x 2 + (2m + 1)x − 2
lim
=n
(m − 3)x + 1
x→ ∞
3x + 2 +
4x 2 + 1
2x − 7 − x 2 + 2
limitinin değeri kaçtır?
Cevap: 5
olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
Cevap: 13
47
LİMİT VE SÜREKLİLİK
12. BÖLÜM
Örnek 62
Örnek 66
⎛ 5x 2 + 2x + 2
⎞⎟
⎜
+ (a − 2)x + b − 1⎟⎟⎟ = 2
⎜⎜
x → ∞ ⎜⎝
x2 + 5
⎠⎟
3
x2 − x + 1 + 3 x3 + x − 1
lim
x→ −∞
lim
x2 + 2 − x
olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
Cevap: - 1
Cevap: - 4
Örnek 63
lim
x→ ∞
sin 4 x
x
3)
limitinin değeri nedir?
∞ − ∞ belirsizliği
∞ − ∞ belirsizlikleri ilk önce 0 veya ∞ biçimine
Cevap: 0
0
∞
getirilir, sonra da bilinen yöntemlerle limit değerleri
bulunur.
Çok uzatmaya gerek yok. Bakın örneklere.☺
Eğer belirsizlik aşağıdaki gibi ise payda eşitleyin ve
0
a dönüştürerek devam edin.
0
Örnek 67
⎛
⎞
lim ⎜ 4 − 1 ⎟
⎝ x2 − 4 x − 2 ⎠
Örnek 64
f(x) =
2x 3
x→2+
+5
olduğuna göre, lim
x→ ∞
f(3x + 1)
f(2x) +
2x 3
−5
limitinin değeri kaçtır?
limitinin de-
Cevap: −
ğeri kaçtır?
Cevap: 3
48
1
4
LİMİT VE SÜREKLİLİK
12. BÖLÜM
Ama bunun pırt. yolu da var. Yani formülcüğü☺
Baksanıza formüle.
Örnek 68
lim
x → −1+
⎛
⎞
3
+ 1 ⎟
⎜ 2
⎝ x − x − 2 x + 1⎠
ax 2 + bx + c =
lim
x→ ∓ ∞
limitinin değeri kaçtır?
Cevap: −
1
3
lim
x→ ∓ ∞
a x + b dır.
2a
Ve formülü kullanılır kılalım.☺
Örnek 70
lim
x→∞
(
x 2 + 4x + 2 − x 2 − 2x + 3
)
limitinin değeri kaçtır?
Cevap: 3
Ama bazen belirsizliği yok etmek o kadar kolay olmayabilir.
Örnek 69
lim ⎛⎜
x→ ∞ ⎝
Örnek 71
(
lim x − 4x 2 + 8x − 1
x 2 + 4 x − x + 1⎞⎟
⎠
x→ ∞
)
limitinin değeri nedir?
limitinin değeri kaçtır?
Cevap:
Cevap: 3
Örnek 72
lim
x→∞
(
−∞
)
x 2 + mx + n − x 2 − 6x + 1 = 1
olduğuna göre, m kaçtır?
Cevap: - 4
Bu tür durumlarda pay ve paydayı (Hani bunun paydası yaw☺)eşlenik ifadelerle çarparak kökleri yok
edersiniz.
Sonrası yine bildiğiniz gibi☺
49
LİMİT VE SÜREKLİLİK
12. BÖLÜM
5) 1∞
4) 0.∞ belirsizliği
belirsizliği
Burada 1∞ belirsizliğinin sadece özel bir durumuna
değinip geçelim.
Bu tür bir belirsizlikle karşılaştığınızda bunları da
∞
yine
veya 0 belirsizliklerinden birine dönüştü0
∞
rün ve öyle işlem yapın.
Önce şu mama kutusundakileri bilmeniz lazım ki buradaki sorularda problem yaşamayasınız.☺
Tamam mı?
Nasıl yapacağınızı da siz düşünün☺
Benden söylemesi ☺
Mama Kutusu ☺
lim ⎜⎛ 1 + 1 ⎟⎞
x⎠
x→ ∞ ⎝
Örnek 73
x
=e
lim ⎛⎜ 1 + a ⎞⎟
bx + c ⎠
x→ ∞ ⎝
lim n.sin 2
n
n→ ∞
nx + m
=e
a.n
b
limitinin değeri kaçtır?
Cevap: 2
Nasılmış?
Bir şey anladınız mı?
Neyse… Bunu kalıp olarak bilmekte fayda var.
Örnek 76
lim ⎛⎜ 1 + 3 ⎞⎟
x⎠
x → ∞⎝
Örnek 74
x
limitinin değeri nedir?
⎛
⎞
lim ⎜ 1 ⎟ .tan ( 3x − 6 )
x→ 2 ⎝ x 2 − 4 ⎠
Cevap: e 3
limitinin değeri kaçtır?
Cevap:
3
4
Örnek 77
Örnek 75
lim ⎛⎜ 1 + 2 ⎞⎟
x→∞ ⎝
3x − 1⎠
lim ⎛⎜ x − π ⎞⎟ . ta n x
π ⎝
2 ⎠
x→
2
6 x +1
limitinin değeri nedir?
limitinin değeri kaçtır?
Cevap: e 4
Cevap: - 1
50
LİMİT VE SÜREKLİLİK
12. BÖLÜM
Örnek 81
Örnek 78
lim ⎛⎜ 3x + 7 ⎞⎟
x → ∞ ⎝ 3x + 1 ⎠
2x −1
3
2
lim (1 + 4x ) x
x→0
limitinin değeri nedir?
limitinin değeri nedir?
Cevap: e 8
4
Cevap: e 3
Örnek 79
⎛
⎞
lim ⎜ 1 + 3 − x ⎟
x → ∞⎝
x2 + x ⎠
Süreklilik
2x + 3
Sürekli eğri ( fonksiyon) ne demektir?
Biraz ilkel ama çok mantıklı bir tanım.☺
Koordinat düzleminde kolunu kaldırmadan çizebildiğin eğriler sürekli eğrilerdir.
Ha…
limitinin değeri nedir?
Cevap: e − 2
Bu arada önce şunu söyleyeyim. Limit kapısından
girmeden süreklilik kapısı tıklatılamaz.
Bir Noktada Süreklilik
Bir f fonksiyonunun x = a noktasında sürekli olması için bu noktadaki limit değeri ile tanımlı olduğu değer eşit olmalıdır.
Örnek 80
⎛
⎞
lim ⎜ 1 + 2x − 5 ⎟
2
x → ∞⎝
x + 3x − 1 ⎠
Yani, lim f ( x ) = f ( a ) olmalıdır.
3x + 2
x→a
limitinin değeri nedir?
Cevap: e
Aşağıdaki f(x) fonksiyonun apsisi a, b, c, d ve e olan
noktalarındaki sürekliliğini inceleyin bakalım.
6
y
a
c
b
0
d
x
e
f(x)
51
LİMİT VE SÜREKLİLİK
12. BÖLÜM
x = a da,
Süreklilik soruları daha çok şimdi vereceğim şekilde
(parçalı fonksiyonda) sorulur.
Örnek 83
x = b de,
⎧ 3x + a
⎪⎪
f (x) = ⎨ 4
⎪ 3
⎪⎩ x + b
,x > 2 ise
,x = 2 ise
,x < 2 ise
fonksiyonu x = 2 de sürekli olduğuna göre,
a + b toplamı kaçtır?
Cevap: - 6
x = c de,
x = d de,
x = e de,
Örnek 84
⎧⎪ ax + 2 ,x < 1 ise
f(x) = ⎨
⎪⎩ − x + 5 ,x ≥ 1 ise
Örnek 82
fonksiyonu x = 1 noktasında sürekli olduğuna
göre, a kaçtır?
y
Cevap: 2
f(x)
1 2 3
-5
-6
-4 -3 -2 -1 0
4 5
6
7
x
Şekilde f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, ( − 6, 7) aralığındaki kaç noktada f(x)
fonksiyonu süreksizdir?
Cevap: Beş noktada
52
LİMİT VE SÜREKLİLİK
12. BÖLÜM
Örnek 85
Örnek 87
⎧ mx + 3 , x < 2 ise
⎪
f ( x) = ⎨ 5
, x = 2 ise
⎪
⎩ − x + n , x > 2 ise
⎧ sin6x
⎪ mx
⎪⎪
f ( x) = ⎨ 2
⎪
⎪ n.cos ⎛⎜ x + π ⎞⎟
3⎠
⎝
⎩⎪
fonksiyonu x = 2 noktasında sürekli olduğuna
göre, m + n toplamı kaçtır?
Cevap: 8
, x < 0 ise
, x = 0 ise
, x > 0 ise
fonksiyonu x = 0 noktasında sürekli olduğuna
göre, m + n toplamı kaçtır?
Cevap: 7
Örnek 88
Örnek 86
⎧
⎪⎪
f (x) = ⎨
⎪
⎪⎩
mx + n
, x < − 1 ise
− 2x + 5
, x = − 1 ise
x2 + n
, x > − 1 ise
⎧
⎪
⎪
⎪
f(x) = ⎨
⎪
⎪
⎪⎩
fonksiyonu
de sürekli olduğuna göre, m.n
çarpımı kaçtır?
2x + 1
x2 − 9
− 2x + 5
2
x +2
x 2 − 4x
, x < −1
ise
, − 1 ≤ x ≤ 2 ise
, x≥2
ise
fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaların apsisleri toplamı kaçtır?
Cevap: - 6
Cevap: 2
53
LİMİT VE SÜREKLİLİK
12. BÖLÜM
Örnek 91
Örnek 89
f(x) ve g(x) fonksiyonları x = a noktasında sü-
f ( x) =
rekli olduğuna göre, aşağıdaki fonksiyonlardan
hangisi bu noktada sürekli olmayabilir?
A) f(x) + g(x)
fonksiyonunu süreksiz yapan x değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevap: 3
C) ( fog) (x)
B) f(x) . g(x)
D) f(x) − g(x)
5−x
2x − 3 − 9
E) 3f(x) − 2g(x)
Cevap: C
Aralıkta Süreklilik
y
f(x)
Örnek 92
f ( x) =
0
a
b
x
5−x
x 2 + (3m − 1)x − 2
fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaların toplamı 10 olduğuna göre, m kaçtır?
Bir f fonksiyonunun [a,b ] ında sürekli olması için
Cevap: - 3
f nin ( a, b ) ında sürekli olması ve fonksiyonun
x = a noktasındaki sağdan limiti f(a) ya ve x = b
deki soldan limiti de f(b) ye eşit olması gerekir.
(Zaten a noktasında soldan limit ve b de de sağdan
limit diye bir şey olmaz burada. Onun için aramanıza gerek yok.☺)
İşin özeti şu aslında; Tanım kümesinin her noktasında sürekli olan fonksiyona sürekli fonksiyon
denir.
Örnek 93
f(x) =
Örnek 90
f ( x) =
4−x + 3
x 3 − 4x x + 1
x2 + 3
x + 4x + m − 1
2
fonksiyonu yalnız bir noktada süreksiz olduğuna
göre, m kaçtır?
fonksiyonu kaç noktada süreksizdir?
Cevap: 5
Cevap: 4
54
LİMİT VE SÜREKLİLİK
12. BÖLÜM
Örnek 97
Örnek 94
Her x reel sayı değeri için,
f(x) =
5−x
f(x) =
x 2 + (m − 1)x + 4
5− 2−x
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş aralık
nedir?
fonksiyonu sürekli olduğuna göre, m nin alabileceği değerlerin aralığı nedir?
Cevap:
[ − 3, 7 ]
Cevap: (-3, 5)
Örnek 98
(
f ( x) = log 2 − x 2 + 2x + 15
Örnek 95
f (x) =
5−x
3 − log 2 ( 5x − 2 )
)
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş aralık
nedir?
fonksiyonu x in hangi değeri için süreksizdir?
Cevap:
( − 3,5 )
Cevap: 2
Sınırlı Fonksiyonlar
∀ x ∈ A için, m ≤ f(x) ≤ M olacak biçimde m ve M reel
sayıları varsa f fonksiyonu sınırlı fonksiyondur.
Aksi halde fonksiyon sınırsız olur.
Örnek 96
f(x) = 2x + 6 − 6 − x + 3 2x − 5
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş aralık
nedir?
Cevap:
y
5
[ − 3, 6 ]
-3
4
x
-2
Şekildeki f(x) fonksiyonu sınırlı bir fonksiyondur. Ve
−2 ≤ f(x) ≤ 5 olduğundan f(x) in en büyük alt sınırı –
2 , en küçük üst sınırı ise 5 tir.
55
LİMİT VE SÜREKLİLİK
12. BÖLÜM
y
f(x)
Örnek 101
y
f : ⎣⎡ − 2, 4 ⎦⎤ → R
f(x)
0
x
0
f(x) = x 2 + 2x − 4
x
fonksiyonunun en büyük alt sınırı m, en küçük
üst sınırı M olduğuna göre, m + M toplamı kaçtır?
Cevap: - 15
Bu fonksiyonlar ise sınırsızdır. Zaten belli değil mi?
Hem alttan hem de üstten sınırı mınırı yok.
Tabii ki fonksiyonun grafiği verilirse sınırlı olup olmadığını söylemek kolay. Ama fonksiyonun grafiğini değil de denklemini verirseler fonksiyonun sınırlarını bulmak için sizde bolca var olan!☺ cebirsel yetenekleri döktürmeniz lazım. ☺
Ne demek istediğimi anlamak isterseniz bakın.
Örnek 99
f : [ −2, 3] →
f(x) = 3x − 1
fonksiyonunun en küçük üst sınırı ile en büyük
alt sınırının toplamı kaçtır?
Cevap: 1
Ayrıca,
Bir aralıkta en küçük ve en büyük değeri olan bir
fonksiyon bu iki değer (en büyük ve en küçük
değer)arasındaki her değeri en az bir kez alır.
Bunun ışığında şunu düşünebilirsiniz☺
y
Örnek 100
y
f(x)
f(x) = 4 − 2cosx
0 a
a
fonksiyonunun en büyük alt sınırı K, en küçük
b 0
üst sınırı M olduğuna göre, K.M çarpımı kaçtır?
b
x
x
f(x)
Cevap: 12
[a, b] ında sürekli f fonksiyonu için f ( a ).f (b ) < 0 ise
fonksiyonu ( a, b ) ında Ox eksenini en az bir yerde
keser.
56
LİMİT VE SÜREKLİLİK
12. BÖLÜM
Örnek 102
f : [ 1, 4 ] → R
f ( x ) = ax 2 + 2x − 3
olduğuna göre, a nın hangi aralıktaki değerleri
için (1, 4 ) aralığında f(x) = 0 denkleminin bir kökü
vardır?
⎛ −15 , 1 ⎞
⎟
⎝ 6
⎠
Cevap: ⎜
Örnek 103
Aşağıdaki denklemlerden hangisinin ( 0, 1) aralığında en az bir kökü vardır?
A) x 3 + x + 1 = 0
B) x 3 + 2x − 1 = 0
C) x 3 − x − 1 = 0
D) 2x 3 − x − 2 = 0
E) x 3 + 3x + 2 = 0
Cevap: B
57