çarpanlara ayırma

YILLAR
ÖSS
ÖYS
2002
2
2003
2
2004
2
2005
3
ÇARPANLARA AYIRMA
2006
2
2007
3
2008
2
2009
2
2010
2
2011
3
11) Đki Terim Farkının Küpü:
(a−b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
BAZI ÖNEMLĐ ÖZDEŞLĐKLER:
12) Binom Açılımı:
1) Đki Kare farkı
2
2
: a -b = (a-b)(a+b)
2) Đki Kare Toplamı: a2+b2=(a+b)2-2ab
3) Đki Küp farkı
: a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
=(a-b)3+3ab(a-b)
4) Đki Küp Toplamı:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
=(a+b)3-3ab(a+b)
5) a4-b4 = (a2-b2)(a2+b2)
= (a-b)(a+b)(a2+b2)
6)
nε Z
+
olmak üzere;
an-bn = (a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+......+bn-1)
(a + b)n ifadesinin açılımında ilk terim an
,sonrakiler an-1b,an-2b2 .....bn bu terimlerin
katsayıları Hayyam(Pascal) üçgeninden yazılır.
n=0 için
=1
n=1 için
=1 1
n=2 için
=1 2 1
n=3 için
=1 3 3 1
n=4 için
=1 4 6 4 1
n=5 için
= 1 5 10 10 5 1
...................................................
(a + b)4=a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a + b)5=a5 +5a4b +10a3b2 +10a2b3+5ab4 +b5
(a − b)n ifadesinin açılımı (a + b)n açılımına
benzer şekilde yapılır. Sonrada ilk terimden
başlamak kaydıyla + ,−, +,− diye işaretlenir.
(a − b)4=a4 − 4a3b + 6a2b2 − 4ab3 + b4
7)
nεZ + ve n tek olmak üzere;
an+bn = (a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-......+bn-1)
8) Đki Terim Toplamının Karesi :
(a+b)2 = a2 +2ab + b2
= (a-b)2 + 4ab
(a − b)5=a5 −5a4b +10a3b2 −10a2b3+5ab4 −b5
13) Üç Terimlinin Toplamının Karesi:
(a + b + c)2=a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)
ÖZEL: x 4 + x 2 + 1 = ( x 2 − x + 1).( x 2 + x + 1)
NOT: Derecelendirme için aşağıdaki tablo
örnek alınabilir
9) Đki Terim Farkının Karesi :
(a-b)2 = a2 – 2ab + b2
= (a+b)2 – 4ab
10) Đki Terim Toplamının Küpü:
(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
1
ĐK KARE FARKI ĐÇĐN
ALIŞTIRMA
a²–(b–2)²
(a–2)²–(a+3)²
2
a 4 − (a − 2 )
x²–4
=
=
=
=
x²–9
=
x²–25
=
x −y
1
3
ĐKĐ TERĐM
TOPLAMININFARKININ KARESĐ
ĐÇĐN ALIŞTIRMA
=
ĐKĐ KARE TOPLAMI
ĐÇĐN ALIŞTIRMA
=
x²–1
1
3
x²+y²
=
x²+(x–1)² =
a²+4
=
(x+1)²
=
(x–2)²
=
(3x–5)²
=
(4x+3)²
=
((a+1)+b)² =
(x–y+1)²–(x+y–3)² =
ĐKĐ KÜP TOPLAMIFARKI ĐÇĐN
ALIŞTIRMA
ĐKĐ TERĐM
TOPLAMININFARKININ KÜPÜ ĐÇĐN
ALIŞTIRMA
x6 − y 4
=
x5 − y 5
=
x³–8
=
(x–2)³
=
x–(y+1)²
=
8x³–64
=
(3x+5)³
=
(x–2)²–9
=
27x³–125
=
(2x–3)³
=
25–(x+1)²
=
x³+1
=
(a+2b)³
=
x–y
=
x³+125
=
8x 6 -27
=
1
1
x2 − y2
=
2.
ÇARPANLARA AYIRMA YÖNTEMLERĐ
1. ORTAK ÇARPAN PARANTEZĐNE
ALMA:
15ab 2c − 25a 2bc =
ab + a + b + 1 =
x(a+b)–y(a+b)=
(a+b–1).(x–y)+(2a–b+5).(x–y)=
6a 4b 2 c 3 + 10a 3b3c 4 − 14a 3b 2 c 2 =
a(x–1)–x+1
(ÖYS-81)
2n
NOT: (a − b) =(b − a)
ve
(a − b)2n-1= (b − a)2n-1
ax–ay–x+y=
a³+2a²+a+2
2ax–by+2ay–bx=
x²+xy–yz–xz
ab+cb–mc–ma
ax²–3+x–3ax
3. Ax2 + Bx + C ÜÇ TERĐMLĐSĐNĐ
ÇARPANLARINA AYIRMA:
Örnek( 1 ) (a − b)2.(c − a) + (a − c)2.(a − b) =
2n
GRUPLANDIRARAK ÇARPANLARA
AYIRMA:
i) A=1 için x2 + Bx + C ifadesinde ;
C=m.n ve B= m + n ise;
x2 + Bx + C = (x + m).x + n) olur.
x
m
x
n
1
x²–x–6 =
x2 − 9x +20 =
x2 − (a–b)x − ab =
a 2 x − 2a x − 3 =
x²+2x–8=
x 4 –4x²–21=
x6 − 9 x3 + 8 =
ii) A≠1 , A=m.n , B=mq + np , C=pq
Ax2 + Bx + C = (mx + p)(nx + q)
mx
p
nx
q
6x2 + x –2 =
7 a 6 − 6a 3 − 16 =
6x + 7 x − 3 =
2x²–x–6 =
5a²–4ax–x² =
B
C

A≠1 ise A. x 2 + x +  şeklinde
A
A

 B 
paranteze alınıp parantez içine 

 2A 
eklenip çıkarılır.
x2 + 4x + 2
x2 +6x + 3
2x2 + 4x + 6
5x2 + 25x + 15
2
=
=
=
=
vi ) Sadeleştirme Ve Dört Đşlem:
(x + 1)2 − 25 + 4 = ?
x+6
x2 − 5x + 6 x2 − 4x + 4
=?
:
x 2 − 3x
x2 − 2x
iii ) Tam Kare:
2
x −2x + 1 =
x2 +4x + 4 =
x2 +6x + 9
x2 − 10x + 25 =
4x2 +12x + 9
9x2 –30x + 25 =
a 2 4a
−
+ 4=
9
3
(x–y)2+2(x–y)+1=
a2
− 5a + 25 =
4
x2 − x − 2 x2 + 2x + 4
=?
.
x3 − 8
x2 + x
GENEL ÖRNEKLER
Örnek( 1 )
x3 + 3x 2 + x + 3
1
= ? (C: x + )
2
x
x + 3x
Örnek( 2 ) (98)²+(2004)²–(97)²–(2003)²=?
(C: 4202)
iv ) Terim Ekleme-Çıkarma:
x4 + x 2 + 1 =
x4 –3x²+9 =
x12 − 15 x 6 + 25 =
Örnek( 3 )
v ) Tam Kareye Tamamlama:
Örnek( 4 )
4 xy − 2 x
=?
4 xy 2 − x
x 2 + 3x − 10
x 2 + 6x + 5
2
(C: 2 y + 1 )
=?
x−2
(C: x + 1 )
Ax2 + Bx + C ifadesinde ;
2
B
A=1 ise   ifadesi eklenip
2
çıkarılır.
Örnek( 5 )
3x 2 − 9 x
x2
−
=?
9 − x2
x+3
(C: –x)
2
Örnek( 6 ) x²+y²+2xy–9 ifadesini çarpanlara
ayırın
(C: (x+y+3).(x+y–3))
Örnek( 7 )
x+
1
1
= 5 ise x 2 + 2 = ?
2x
4x
(C: 24)
x2 − x − 6
kesri sadeleşebilen
x 2 + ax − 12
bir kesir ise a’nın alabileceği değerler toplamı
nedir?
(C: –3)
Örnek( 15 )
Örnek( 16 )
Örnek( 8 )
Örnek( 9 )
x+
1
1
= 2 ise 9 x 2 + 2 = ?
3x
x
(C: 30)
x3 + 1
x2 − 1
= ? (C: 1)
:
x 4 + x 2 + 1 x3 − 1
Örnek( 10 )
x2 − 5x + 6  x2 + 2 x − 8 x2 + 6 x + 8 
:
: 2
 =?
x2 − 4 x + 3  x2 − 1
x + 4x + 3
x+2
(C: x + 3 )
Örnek( 11 )
1
1
x−
x−
x+
x =?
1
1
1−
1+
x
x
Örnek( 17 ) 3x–2y=0 olmak üzere;
2 xy − y 2
=?
(C: 3/38)
5 x 2 + 3 xy
Örnek( 18 )
Örnek( 19 )
(C: 2x)
x 2 + mx − 30
kesri
( x 2 − 5 x + 6).( x − 5)
sadeleşebilen bir kesir ise m’nin alabileceği
(C: 21)
değerle toplamı nedir?
Örnek( 20 )
−1
=?
1
2
x + x + 2x + 2 = ?
1
x2 + x + 1
− x2
x
(C: 1)
(x − 2 y + 3)2 − (x + 3 y − 2)2
− 5(2 x + y + 1)
=?
(C: y–1)
(C: x–2)
Örnek( 14 )

x− y
x2 − y 2 
:
 2
2
3 2
5
 x − xy + y x y + y 
1
Örnek( 21 )
x3 − 2 x 2 − 4 + 2 x
=?
x2 + 2
x−
1
 2 1 
x + −x + 
x 
x

=?
1
  2 1
 3
x + −x + 
x 
x

(C: 1/x)
2
(C: y )
Örnek( 12 )
Örnek( 13 )
x2 − y 2 + 6x + 9
=?
x+ y+3
(C: (x–y+3))
Örnek( 22 )
ax − 2bx − 3ay + 6by
=?
2ax − 6ay − bx + 3by
a − 2b
(C: 2a − b )
2
 4 4  4−x
=?
1 + + 2  :
x x 
x3

x.( x + 2)
(C: 2 − x )
3
2x
4
1
x−
x−2 :
x = ? (C: 5 − x )
x +1
2
2−
1−
x−2
x
1−
Örnek( 23 )
Örnek( 32 )
Örnek( 33 )
Örnek( 24 )
Örnek( 25 )
2  
4 

x −
 :x − 2 −
=?
x + 1 
x + 1

x −1
(C: x − 3 )
3x+1 –
Örnek( 27 )
Örnek( 28 )
x>y olmak üzere x²+y²=20 ,
(C: 2 7 )
x.y=–4 ise x–y=?
Örnek( 34 )
x2 − ( y − z)
.( x − y − z ) = ?
(x − y )2 − z 2
(C: x+y–z)
524 − 1
+1 = ?
516 + 58 + 1
8
(C: 5 )
xa + 2 − x3
=?
x a − 2 − x −1
4
(C: x )
Örnek( 35 ) x=2003 ve y=2000 olmak üzere
x 4 − 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 − 4 xy 3 + y 4 = ? (C:81)
Örnek( 36 ) x+y=5 ise x²-6x+9+2xy–6y+y²
ifadesi neye eşittir?
(C:4)
Örnek( 37 )
Örnek( 38 )
Örnek( 29 ) x 5 − 4 x 3 + x 2 − 4 ifadesinin
çarpanlarından biri A.H değildir?
C) (x–1)
A) (x–2)
B) (x+2)
D) (x+1)
E) (x²–x+1)
Örnek( 30 )

 16   16
 5 − 1. 5 + 1
1







3
5 −1 = x ise
1
53 + 1
ifadesinin x cinsinden değeri nedir?
x
(C: x + 2 )
Örnek( 31 )
x–y=6 ve x.y=2 ise x³–y³=?
(C: 252)
2 x2 − 3x − 2
= ? (C: x)
x−2
2
Örnek( 26 )
x = 2345
2
 ⇒ ( x + y ) − 4 xy = ?
y = 2341
(C: 16)
Örnek( 39 )
3
2000.2002 − 1998.2004 = ?
(C:2)
x y
x4 + y4
+ = 8 ise
=?
y x
x2 y 2
(C:62)
x+
1
= 23 ise
x
(pozitif değeri?)
x+
1
=?
x
(C:5)
Örnek( 40 )
3x − 3− x = 11 ise 9 x + 9 − x = ?
(C:123)
Örnek( 41 )
x²–3x+1=0 ise
x4 + 1
=?
x2
(C: 7)
x = 3− 2
2
2
⇒ x + y =?
y = 3 + 2
(C: 22)
4
(
8
Örnek( 42 )
)(
)(
)
x −8 y .8 x +8 y .4 x +4 y
=?
x− y
1
x+ y
(C:
(C: 34 5 )
)
Örnek( 52 )
)=?
Örnek( 53 )
9x+4y=?
x+y=3 ve x²+y²=25 ise x.y=?
(C:–8)
3 x + 2 y = 3 ve x.y=16 ise
(C:–39)
1
(C: x − y )
Örnek( 54 )
x−2+
Örnek( 43 )
(x + y )(x
2
+y
(x
2
)(x
16
4
−y
+y
16
4
)
)(x
8
+y
8
(x + 2)2 +
x = 3 9 ve y = 7 ise
Örnek( 44 )
(x − 2).(x 2 + 2 x + 4) = ?
( y − 2)(. y + 2)
1
=?
(x + 2)2
(C: 1/3)
Örnek( 55 )
Örnek( 45 ) x = 3 5 + 2 olmak üzere
(x − 3)3 − 3(x − 3)2 + 3x − 37 = ?
(C: –22)
1
= 3 ise
x+2
x−
değeri nedir?
Örnek( 56 )
(C:7)
1
1
= 5 ise x + ‘in pozitif
x
x
(C: 29 )
4x2 +
1
1
= 5 ise 2x + = ?
2
x
x
(C:3)
Örnek( 46 )
x–y=5 ve x.y=7 ise x²+y²=?
(C: 39)
(pozitif değeri )
Örnek( 47 )
x+y=3 ve x.y=2 ise x³+y³=?
(C: 9)
Örnek( 57 )
4x2 +
Örnek( 48 ) x+y=5 , y+z=3 ise
(C: 10)
x²–xz+xy–zy=?
Örnek( 58 )
x²–5x+3=0 ise x 2 +
Örnek( 49 ) x=3 ve y=5 için
x²–y²+6x+4y+5=?
Örnek( 59 )
x>1 olmak üzere x +
(C: 27)
x3 −
Örnek( 50 )

1 
1
x.y=7 ise  x − . y −  = ?
y 
x

(C:36/7)
Örnek( 51 )
(pozitif değeri)
x−
1
1
= 4 ise x 3 + 3 = ?
x
x
1
= 3 ise 2x 2 + x = ?
x
(C: 1)
1
=?
x3
9
=?
x2
(C: 19)
1
= 3 ise
x
(C: 18)
Örnek( 60 )
2004 2 − 2000 2
=?
20032 − 20012
Örnek( 61 )
a.b=?
a–b=3 ve 2a²–ab+b²=12 ise
(C: 0)
(C: 2)
5
Örnek( 62 ) x²+ax–12 ifadesinin bir çarpanı
(x–3) ise a=?
(C: 1)
9 25 15
+
−
=?
16 16 8
Örnek( 73 )
(C: ½)
Örnek( 63 )
2003²–4000.2003+2000²=?
(C: 9)
Örnek( 74 ) x²+y²+z²–4x+6y–2z+14=0
eşitliğini sağlayan x,y,z için x³+y³+z³=?
(C: –18)
Örnek( 64 )
2000²–2.2002²+2004²=?
(C: 8)
Örnek( 75 )
Örnek( 65 )
y=x+4 ve y²=x²+12 ise x.y=?
(C: –7/4)
Örnek( 76 )
( 38 − 1 )’in pozitif bölen sayısı=?
(C: 24)
Örnek( 77 )
Örnek( 66 )
x + 3 x = 4 ise 3 x +
127.133 + 9 = ?
(x
8
)(
)(
=?
x
(C: 54)
(C: 130)
)
+ 1 . x 4 + 1 . x 2 + 1 .( x + 1)(
. x − 1)
ifadesi x = 2 için kaça eşittir?
4
Örnek( 67 )
12xy+9y²=?
51
(C: 15)
x,y∈R, (x+3)²+(y–2)²=0 ise 4x²–
(C: 144)
1 1
− = 2 ve x²+y²=12 ise
x y
(C: –2)
x.y’nin negatif değeri nedir?
x,y∈R + ,
Örnek( 79 )
3 = a ve 2 = b ise a − b = ?
(C: 5)
Örnek( 68 )
Örnek( 69 ) x.y çarpımında x’e ve y’ye 2
eklenirse çarpım nasıl değişir?
(C: (2x+2y+4) artar)
x 2 + xy = 88 
 ise x=?
y 2 + xy = 33
(C: 8)
Örnek( 78 )
x
x
2
x
2
x
Örnek( 80 ) x²–x+1=0 ise x 65 ’in x cinsinden
(C: 1–x)
değeri nedir?
Örnek( 70 ) x,y∈N ve x≠y olmak üzere
x.y–x+y=18 ise en küçük x.y=?
(C: 0)
Örnek( 81 )
x,y∈R + ve x.y=18 ise x+y’nin
en küçük değeri nedir?
(C: 6 2 )
Örnek( 71 )
(pozitif değeri)
x2 +
1
1
= 34 ise x 3 + 3 = ?
2
x
x
(C: 198)
Örnek( 82 ) (x²–4x+1).(x²–4x–3)–12
ifadesinin çarpanlarından biri A.H. değildir?
Örnek( 72 )
5 4 − 1 sayısı A.H. bölünmez?
A) (x+1) B) (x–1) C) (x–5) D) (x–3) E)( x+3)
A) 2 B) 3 C) 4 D) 13 E) 17
6
x 2 + 4 x + 10
ifadesinin
Örnek( 83 ) x∈R için
3
en küçük değeri nedir?
(C: 2)
(x
2
)(
)
− y 2 x 2 + xy + y 2
1 1
x3 − y 3  + 
x y
ifadesinin sadeleştirilmiş şekli aşağıdakilerden
hangisidir?
Örnek( 84 )
(
)
A) xy B) x+y C) x–y D)
x− y
x+ y
E)
x+ y
x− y
(ÖSS 2003)
x +2
 2 4 x
ise
=
 x − 2 .
x  3x + 2
x

(C: 4)
(ÖSS 2002)
2
Örnek( 85 )
x=?
A) 2a B) a+1
şekli nedir?
Örnek( 87 )
göre a.b=?
a 2 − 2bc − 2ac − b 2
en sade
a+b
(C: a–b–2c)
(ÖSS 2002)
a+b=1 ve a3+b3=
D) a2-1
E) a2 +1
(ÖSS-99)
Örnek( 90 )
A) 50
a−b=b−c=5 ise a2+c2−2b2=?
B) 45
C) 40
D) 35
E) 30
(ÖSS-98)
Örnek( 91 )
A) −1
a −1 + a 2
=?
a + a −2
B) −a
C) 1
D) a
E) a2
(ÖSS-98)
Örnek( 92 )
Örnek( 86 )
C) a-1
A) a2+b2
a 3 + b3
=?
(a − b) 2 + ab
B) a2−b2 C) a+b
D) a−b E) −a+b
(ÖSS-98)
7
olduğuna
16
(C: 3/16)
(ÖSS-2001)
Örnek( 88 ) x>0 ve a=2x olduğuna göre
4 x +1 − 4
ifadesinin a türünden eşiti nedir?
2 x +1 − 2
(C: 2(a+1))
(ÖSS-2001)
HAZIRLAYAN
ĐBRAHĐM HALĐL BABAOĞLU
Matematik Öğretmeni
www.globalders.com
a + a −2
ifadesinin
1 − a −1 + a − 2
sadeleşmiş şekli A.Hangisidir?
Örnek( 89 )
7