Aynı özellikteki noktaların meydana getirdiği şekle

12. BÖLÜM
GEOMETRÝK YER
* Ayný özellikteki noktalarýn meydana getirdiði
2.
þekle, bu noktalarýn geometrik yeri denir.
* Bir þeklin geometrik yer olabilmesi için,
Düzlemde Bir Doðruya Eþit Uzaklýkta Olan
Noktalarýn Geometrik Yeri :
* Düzlemde bir doðrudan eþit uzaklýktaki noktalarýn geometrik yeri; bu doðruya verilen uzaklýkta
çizilen paralel iki doðrudur.
1) Verilen þartý saðlayan tüm noktalar, geometrik
yere ait olmalýdýr.
2) Geometrik yere ait olan her nokta verilen þartý
saðlamalýdýr.
1.
ALIÞTIRMA: 44
K
L
h
A
Bir Noktadan Eþit Uzaklýkta Olan Noktalarýn
Geometrik Yeri :
h
M
tasýndan r birim uzaklýktaki noktalarýn geometrik
yeri, O merkezli r birim yarýçaplý çemberdir.
d
B
h
* r ∈ R+ olmak üzere, düzlemde sabit bir O nok-
k
h
N
l
Yani; d // k ve d // l dir. d doðrusuna uzaklýklarý h
birim olan noktalarýn geometrik yeri, d doðrusuna
paralel ve h birim uzaklýktaki k ve l doðrularýdýr.
A
r
O
r
C
|AO| = |BO| = |CO| = r
r
4.
Düzlemde bir d doðrusundan 3 cm uzaklýktaki
noktalarýn geometrik yerini çizerek gösteriniz.
5.
Düzlemde bir d doðrusuna teðet ve yarýçaplarýnýn uzunluðu 5 cm olan çemberlerin merkezlerinin geometrik yerini çizerek gösteriniz.
6.
Bir d doðrusu ile ayný düzlemde d doðrusuna 5
cm uzaklýkta olan bir O noktasý veriliyor. O noktasýndan 10 cm ve d doðrusundan 3 cm uzakta
bulunan noktalarýn geometrik yerini çizerek gösteriniz.
7.
Bir d doðrusu ile ayný düzlemde d doðrusuna 5
cm uzaklýkta olan bir M noktasý veriliyor. M noktasýndan 9 cm ve d doðrusundan 4 cm uzakta
bulunan noktalarýn geometirk yerini çizerek gösteriniz.
1.
2.
3.
Düzlemde sabit bir O noktasýndan 5 cm uzaklýkta bulunan noktalarýn geometrik yerini çizerek
gösteriniz.
E g e Ya y ý n c ý l ý k
B
Yarýçapý 8 cm olan O merkezli bir çembere dýþtan teðet ve yarýçapý 3 cm olan çemberlerin
merkezlerinin geometrik yerini çizerek gösteriniz.
Yarýçapý 10 cm olan çemberin, 12 cm uzunluðundaki kiriþlerinin orta noktalarýnýn geometrik
yerini çizerek gösteriniz.
277
3.
4.
Düzlemde Paralel Ýki Doðrudan Eþit Uzaklýkta
Bulunan Noktalarýn Geometrik Yeri :
Düzlemde Bir Açýnýn Kenarlarýndan Eþit
Uzaklýktaki Noktalarýn Geometrik Yeri :
* Bir düzlemdeki paralel iki doðrudan eþit uzaklýk-
* Bir düzlemde, açýnýn kenarlarýndan eþit uzaklýk-
taki noktalarýn geometrik yeri, bu doðrulara eþit
uzaklýkta ve paralel olan bir doðrudur.
taki noktalarýn geometrik yeri, bu açýnýn açýortayýdýr.
A
B
h
K
A
K
h
k
L
h
M
d1
N
d2
N
L
C
d1 // d2 ve d1, d2 doðrularýna paralel uzaklýklarý h
birim olan noktalarýn tamamý k doðrusu üzerindedir. Ayný zamanda;
ABC açýsýnýn kenarlarýndan eþit uzaklýktaki noktalarýn geometrik yeri [BN ýþýný olup ayný zamanda açýnýn açýortayýdýr.
k // d1 // d2
d1 ve d2 paralel iki doðrudur. Bu iki doðrudan
3 cm uzaklýktaki noktalarýn geometrik yerini çizerek gösteriniz.
11. Ölçüsü 60° olan ABC açýsýnýn kenarlarýndan eþit
uzaklýkta bulunan noktalarýn geometrik yerini çizerek gösteriniz.
E g e Ya y ý n c ý l ý k
8.
M
B
h
9.
d1 // d2 olmak üzere iki doðru veriliyor. Bu iki
doðruya teðet ve çapý 12 cm olan çemberlerin
merkezlerinin geometrik yerini çizerek gösteriniz.
12. Düzlemde kesiþen iki doðruya eþit uzaklýkta
bulunan noktalarýn geometrik yerinin, bu iki
doðrunun oluþturduðu açýlarýn açýortayý olduðunu çizerek gösteriniz.
10. Düzlemde birbirine paralel d1 ve d2 doðrularý ile
bu doðrular arasýnda bir O noktasý veriliyor. d1 ile
d2 doðrularýndan eþit uzaklýkta ve O noktasýna
uzaklýðý 8 cm olan noktalarýn geometrik yerini
çizerek gösteriniz.
13. Düzlemde kesiþen iki doðruya teðet olan çemberlerin merkezlerinin geometrik yeri, bu doðrularýn oluþturduðu açýlarýn açýortaylarý olduðunu
çizerek gösteriniz.
278
12. BÖLÜM
GEOMETRÝK YER - TEMEL ÇÝZÝMLER
ALIÞTIRMA: 45
5.
Bir Doðru Parçasýný Dik Açý Altýnda Gören
Noktalarýn Geometrik Yeri :
6.
Bir Doðru Parçasýnýn Uç Noktalarýndan Eþit
Uzaklýkta Bulunan Noktalarýn Geometrik Yeri :
*
Düzlemde, bir [AB] ný dik açý altýnda gören noktalarýn geometrik yeri, [AB] çaplý çemberdir.
*
Düzlemde, bir doðru parçasýnýn uç noktalarýndan
eþit uzaklýkta bulunan noktalarýn geometrik yeri,
bu doðru parçasýnýn orta dikmesidir.
K
M
d
A
D
*
A
E
Çember üzerindeki D, E, K ve M açýlarý çevre açý
olup çapý gördüklerinden 90° olur. Bu tür noktalar
O merkezli [AB] çaplý çemberin üzerindedir.
2.
B
H
d doðrusu, [AB] ný uç noktalarýna eþit uzaklýkta
bulunan noktalardan oluþmuþtur.
Çapý 14 cm olan çemberi, 90° lik açý altýnda
gören P noktalarýnýn geometrik yerini çizerek
gösteriniz.
4.
E g e Ya y ý n c ý l ý k
1.
B
O
Uzunluðu 12 cm olan AB doðru parçasýnýn uç
noktalarýndan eþit uzaklýkta bulunan noktalarýn
geometrik yerini çizerek gösteriniz.
5.
|AC| = |BC| = 15 cm
d
|CH| = 9 cm
C
|KM| = 10 cm ve KM doðru parçasýný 90° lik açý
ile gören noktalarýn geometrik yerini çizerek gösteriniz.
15
A
9
H
15
B
Yukarýda verilenlere göre, d doðrusunun [AB]
doðru parçasý için geometrik yorumunu yapýnýz.
3.
Düzlemde bir [AB] ný α açýsý altýnda gören noktalarýn geometrik yeri, [AB] ný kiriþ kabul eden iki
çember yayý olduðunu çizerek gösteriniz.
6.
279
Düzlemde verilen paralel iki doðruyu dik kesen
doðru parçalarýnýn orta noktalarýnýn geometrik
yerinin bu doðru parçalarýnýn orta dikmesi
olduðunu çizerek gösteriniz.
Temel Çizimler :
C. Verilen Bir Açýya Eþ Bir Açý Çizmek :
Bu bölümde daha önce yapmadýðýnýz bir etkinlik
yapacaðýz. Bunun için size cetvel ve pergel
gerekmektedir. Aþaðýda belirtilen adýmlarý izleyerek bunu kolaylýkla yapabilirsiniz
A. Verilen Bir Doðru Parçasýnýn Orta Dikmesini
Çizmek :
Cetvel ile bir AB doðrusu çizilir.
2)
Pergel AB uzunluðunun yarýsýndan fazla
açýlýr.
3)
Pergel önce A noktasýna, sonra B noktasýna
koyarak yaylar çizilir.
4)
Yaylarýn [AB] nýn altýnda ve üstünde kesiþerek oluþturduðu noktalar cetvelle birleþtirilir.
5)
Böylelikle [AB] nýn orta dikmesi çizilmiþ olur.
Herhangi bir BAC açýsý cetvelle çizilir.
2)
BAC açýsýna eþ olarak çizilecek olan DEF
açýsýnýn [EF cetvelle çizilir.
3)
Pergeli bir miktar açýp A ve E merkezli eþ
yarýçaplý yaylar çizilir.
4)
Yaylarýn BAC açýsýný kestiði noktalar K ve N
[EF ýþýnýný kestiði nokta T olsun.
5)
Pergeli |KN| kadar açarak, T merkezli yay E
merkezli yayý D noktasýnda kestirilir.
6)
E ile D cetvelle birleþtirilir.
7)
Böylelikle BAC açýsýna eþ olan DEF açýsý
çizilmiþ olur.
E g e Ya y ý n c ý l ý k
1)
1)
B. Verilen Bir Doðruya Üzerindeki Bir Noktadan
D. Verilen Bir Açýnýn Açýortayýný Çizmek :
Dikme Çizmek :
1)
ABC açýsý cetvel yardýmýyla çizilir.
1)
Cetvel ile bir d doðrusu ve üzerinde bir A
noktasý iþaretlenir.
2)
Pergelin ucu B noktasýna konarak bir yay
çizilir.
2)
A noktasýnýn iki tarafýna pergelle |AK| = |AN|
olacak þekilde iki yay çizilir.
3)
[BA ýþýnýný kestiði noktaya K, [BC ýþýnýný
kestiði nokta N olsun.
3)
Ayný yarýçaplý K ve N merkezli çember yaylarý T noktasýnda kesiþtirilir.
4)
Pergel yardýmýyla K ve N merkezli eþ
yarýçaplý yaylar T noktasýnda kesiþtirilir.
4)
A ve T noktalarý cetvelle çizilerek birleþtirilir.
5)
B ve T noktalarý cetvel yardýmýyla birleþtirilir.
5)
Bu þekilde oluþan AT doðrusu, d doðrusuna
dik olur.
6)
Böylelikle oluþan [BT ýþýný ABC açýsýnýn
açýortayý olur.
280
12. BÖLÜM
1.
GEOMETRÝK YER
TEST : 82
4.
Düzlemde sabit bir noktaya eþit uzaklýktaki
noktalarýn geometrik yeri aþaðýdakilerden
hangisidir?
A
B
Düzlemde AB doðru parçasý veriliyor.
|AB| = 20 cm
A) Elips
A ve B noktalarýna 21 cm uzaklýkta kaç farklý
nokta bulunur?
B) Çember
C) Daire
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) Sonsuz
D) Doðru
E) Parabol
2.
Sabit A ve B noktalarý veriliyor.
5.
|AB| = 7 cm,
A) Bir nokta
B) Ýki nokta
C) Çember yayý
A ve B noktalarýna eþit uzaklýktaki noktalarýn
geometrik yeri aþaðýdakilerden hangisidir?
A) Ýki nokta
E g e Ya y ý n c ý l ý k
A dan 5 cm, B den 2 cm uzaklýktaki noktalarýn
geometrik yeri nedir?
Düzlemde farklý sabit A ve B noktalarý veriliyor.
B) [AB] ye paralel iki doðru
C) [AB] nin orta dikme doðrusu
D) [AB] ye paralel bir doðru
D) Ýki çember
E) Bir nokta
E) Doðru parçasý
3.
Düzlemde sabit A ve B noktalarý veriliyor.
6.
|AB| = 5 cm, |AP| = 7 cm, |BP| = 3 cm
Düzlemde doðrusal olmayan farklý A, B ve C
farklý noktalarý verilsin.
olacak þekilde alýnan P noktalarýnýn geometrik yeri nedir?
Bu üç noktaya eþit uzaklýkta bulunan noktalarýn geometrik yeri nedir?
A) Bir nokta
A) Bir doðru parçasý
B) Ýki nokta
B) Üç nokta
C) Çember yayý
C) Ýki nokta
D) Ýki çember
D) Bir nokta
E) Doðru parçasý
E) Çember yayý
281
7.
10. Düzlemde sabit bir noktadan geçen doðru-
Düzlemde kesiþen iki doðruya teðet olan
çemberlerin merkezlerinin geometrik yeri
aþaðýdakilerden hangisidir?
larýn geometrik yeri nedir?
A) Çember
A) Çember
B) Kesiþen iki doðru
B) Elips
C) Doðru parçasý
C) Dört nokta
D) Daire
D) 1. açýortay doðrusu
E) Düzlem
E) Birbirine dik iki tane açýortay doðrusu
Parelel iki doðruya teðet çemberlerin merkezlerinin geometrik yeri nedir?
11. Düzlemde sabit bir P noktasýna en fazla 3 cm
A) 3 paralel doðru
uzaklýktaki noktalarýn geometrik yeri aþaðýdakilerden hangisidir?
B) Bu doðrulara paralel doðru
A) 3 cm yarýçaplý daire
E g e Ya y ý n c ý l ý k
8.
C) Doðru parçasý
D) Iþýn
E) Çember
B) 3 cm yarýçaplý küre
C) 3 cm yarýçaplý çember
D) Doðru
E) Paralel iki doðru
9.
12. Düzlemde sabit bir A noktasý verilsin.
Düzlemde bir doðruya, üzerindeki sabit bir
noktada teðet olan çemberlerin merkezlerinin
geometrik yeri aþaðýdakilerden hangisidir?
1 ≤ |AB| ≤ 2 olacak þekilde alýnan B noktalarýnýn geometrik yeri nedir?
A) O noktada doðruya dik doðru parçasý
A) Ýki paralel doðru
B) O noktada doðruya dik ýþýn
B) Ýki nokta
C) O noktada doðruya dik doðru
C) Ýki çember
D) Çember yayý
D) Daire
E) Farklý iki nokta
E) Daire halkasý
282
1.B
2.A
3.B
4.B
5.C
6.D
7.E
8.B
9.C
10.E
11.A
12.E
12. BÖLÜM
ÜÇGEN ÇÝZÝMLERÝ
*
Bir üçgenin 3 kenarý ve 3 açýsý olmak üzere 6
temel elemaný vardýr.
*
Bir üçgenin belli olabilmesi için en az biri kenar
olmak þartýyla 3 elemaný bilinmelidir.
ALIÞTIRMA: 46
SONUÇ 2:
Bir kenarý ve bu kenarýn iki ucundaki açýlarý verilen üçgen, verilen açýlarýn ölçüleri toplamý180°
den küçük olmasý durumunda çizilir.
UYARI 1:
2)
3 açýsý verilen bir üçgen belli deðildir. Çünkü
verilen þartý gerçekleyen sonsuz sayýda üçgen
vardýr.
m(ëB) = 40°, a = 8 cm, m(ëC) = 50°
olan ABC üçgeni aþaðýdaki adýmlarý izleyerek
aþaðýdaki boþluða çiziniz.
UYARI 2:
Her hangi iki elemanýn verilmesi halinde üçüncü
eleman keyfi alýnabileceðinden sonsuz sayýda
üçgen çizilebilir.
•
Önce taslak çizim yapýlýr.
•
|BC| = a = 8 cm olarak þekilde [BC] çizilir.
•
m(CëBX) = 40°olarak þekilde [BX ýþýný çizilir.
•
m(BëCY) = 50° olarak þekilde [CY ýþýný çizilir.
•
[BX ve [CY ýþýnlarýný kesim noktasý üçgenin
A köþesi olur.
•
A ile B ve A ile C noktalarý birleþtirilerek
ABC üçgeni çizilmiþ olur.
1)
Verilen elemanlar taslak bir þekil üzerinde gösterilir.
2)
Yardýmcý üçgenler aranýr; pergel ve cetvel
yardýmýyla yardýmcý üçgenler çizilir.
3)
Verilen elemanlara göre, çizimin mümkün olup
olmadýðý, kaç çizim yapýlabileceði irdelenir.
SONUÇ 1:
E g e Ya y ý n c ý l ý k
Bir üçgeni çizebilmek için;
Üç kenarý bilinen üçgenler üçgen eþitsizliði kuralýna uymak þartýyla çizilebilir.
1)
3)
Aþaðýda üç kenarý verilen üçgenlerin üçgen oluþturup, oluþturmadýðýný belirtiniz.
a)
Aþaðýda bir kenarý ve ucundaki iki açýsý verilen
üçgenlerin üçgen oluþturup, oluþturmadýðýný belirtiniz.
a = 3,
b = 4,
c=5
(belirtir)
a)
m(ëB) = 70°,
a = 8,
m(ëC) = 30° (belirtir)
b) a = 5,
b = 6,
c=7
(..........)
b) m(ëB) = 50°,
a = 4,
m(ëC) = 70° (..........)
c)
a = 4,
b = 2,
c=4
(..........)
c)
d) a = 6,
b = 6,
c=6
(..........)
d) m(ëB) = 90°,
e)
a = 8,
b = 2,
c=4
(..........)
f)
a = 24,
b = 24,
c=1
g) a = 12,
b = 8,
h) a = 12,
k)
m(ëB) = 120°, a = 10,
m(ëC) = 30° (..........)
a = 7,
m(ëC) = 100° (..........)
e)
m(ëB) = 104°, a = 1,
m(ëC) = 76° (..........)
(..........)
f)
m(ëB) = 70°,
c = 4,
m(ëA) = 50° (..........)
c = 20
(..........)
g) m(ëA) = 60°,
b = 8,
m(ëC) = 90° (..........)
b = 4,
c=8
(..........)
h) m(ëB) = 92°,
c = 15,
m(ëA) = 108° (..........)
a = 1,
b = 1,
c = 5,
(..........)
k)
b = 14,
m(ëC) = 92° (..........)
m) a = 5,
b = 5,
c=1
(..........)
m) m(ëA) = 2°,
c = 1,
m(ëB) = 28° (..........)
283
m(ëA) = 78°,
SONUÇ 3:
SONUÇ 4:
Ýki kenar uzunluðu ve bu kenarlar arasýnda olmayan bir açýsý verilen üçgenin 4 durumu vardýr.
Ýki kenar uzunluðu ve bu kenarlar arasýnda kalan
açýnýn ölçüsü 180° den küçük olan üçgenler
çizilebilir.
4)
7)
b = 8 cm, m(ëA) = 50°, c = 12 cm
elemanlarý verilen üçgenin çizimini aþaðýdaki
adýmlarý izleyerek aþaðýdaki boþluða çiziniz.
olan ABC üçgenini aþaðýdaki adýmlarý izleyerek
aþaðýdaki boþluðu çiziniz.
•
Önce taslak çizim yapýlýr.
•
|AB| = c = 12 cm olarak þekilde [AB] kenarý
çizilir.
•
m(BëAX) = 50° olarak þekilde [AX ýþýný çizilir.
•
A merkezli 8 cm yarýçaplý çember yayýnýn
[AX ýþýnýný kestiði nokta iþaretlenir.
•
Bu nokta ABC üçgeninin C köþesidir. A ile C
ve B ile C birleþtirilerek ABC üçgeni çizilmiþ
olur.
a, m(ëB) , b
•
Önce taslak çizim yapýlýr.
•
|BC| = a olarak þekilde [BC] kenarý çizilir
•
m(ëB) = m(CëBX) olacak þekilde [BX ýþýný
çizilir.
•
C merkezi ve b yarýçaplý çemberin [BX ýþýnýný kestiði nokta A köþesidir.
•
A ile C birleþtirildiðinde ABC üçgeni çizilmiþ
olur.
UYARI : (Ýrdeleme)
X
Aþaðýda iki kenar uzunluðu ile bu kenarlar arasýnda kalan açýnýn ölçüsü verilen üçgenlerin
üçgen oluþturup, oluþturmadýðýný belirtiniz.
a)
a = 10,
m(ëC) = 70°,
b=8
b) a = 12,
m(ëC) = 190°,
b = 12
c)
a = 8,
m(ëB) = 60°,
c=6
d) b = 8,
m(ëA) = 90°,
c=8
E g e Ya y ý n c ý l ý k
5)
A4
A1
A2
A3
b
b
B
b b
a
b
C
Merkezi C noktasý ve yarýçapý b olan çember
[BX;
1.durum: Kesmiyorsa üçgen çizilmez.
2.durum: Teðet ise bir üçgen çizilir. (BÿA2C üçgeni)
3.durum: Farklý iki noktada kesiyorsa,iki üçgen
çizilir. (BÿA1C ve BÿA3C üçgenleri)
4.durum: Tek noktada kesiyorsa (b>a olmasý
durumunda oluþur) bir üçgen çizilir. (BÿA4C üçgeni)
6)
Aþaðýda bazý elemanlarý verilen guruplarýn
hangisinde elemanlar bir üçgen belirtmez.
l. a = 10,
c = 6,
m(ëB) = 45°
ll. a = 12,
b = 4,
m(ëC) = 70°
lll. a = 5,
b = 7,
c=2
lV. a = 12,
m(ëB) = 30°,
m(ëC) = 70°
V. b = 8,
m(ëA) = 65°,
m(ëC) = 75°
8)
Aþaðýda bazý elemanlarý verilen üçgenlerin
hangileri birden fazla üçgen belirtir?
l. m(ëA) = 60°,
C : yalnýz lll
m(ëB) = 70°,
m(ëC) = 50°
ll. m(ëB) = 60°,
a = 12,
b=7
lll. m(ëB) = 70°,
a = 10,
b = 12
lV. m(ëB) = 60°,
c = 8,
b = 10
V. m(ëA) = 80°,
a = 6,
b=8
C : l , ll ve V
284
12. BÖLÜM
1.
GEOMETRÝK YER
D
C
TEST : 83
4.
ABCD kare
P
|PD| = |PB|
P
A
A
B
ABP üçgeninin [AB] kenarý ve alaný sabit
kalmak þartýyla P noktalarýnýn geometrik yeri
aþaðýdakilerden hangisidir?
P karenin içinde bir nokta olduðuna göre, P
noktalarýnýn geometrik yeri aþaðýdakilerden
hangisidir?
A) [AB] çaplý çember
A) Ýki nokta
B) [AB] ye dik doðru
B) P noktasý
C) P noktasýndan geçen [AB] ye paralel doðru
C) Çember yayý
D) Çember yayý
D) [AC] köþegeni
E) Açýortay doðrusu
E) Dört nokta
2.
B
7
ABD sabit bir üçgen
D
A
C
B
C noktalarýnýn geometrik yeri aþaðýdakilerden
hangisidir?
E g e Ya y ý n c ý l ý k
ABCD deltoid
5.
ABC üçgeninde
C
|AC| = 7 cm
7
A
|AB| = 10 cm
a
10
B
ABC üçgeninin alaný sabit kalmak þartýyla
[BC] uzunluðu kaç farklý deðer alýr? (α ≠ 90°)
A) [AC] köþegeni
B) Yarý doðru
A) 1
C) Çember yayý
B) 2
C) 3
D) 4
E) Sonsuz
D) [BD] köþegeni
E) [BD] ye paralel doðru
3.
Düzlemde bir üçgenin köþelerine eþit uzaklýktaki noktanýn geometrik yeri aþaðýdakilerden
hangisidir?
6.
A) Üçgenin aðýrlýk merkezi
Düzlemde bir AB doðrusuna teðet, yarýçapý
5 cm olan çemberlerin merkezlerinin geometrik yeri aþaðýdakilerden hangisidir?
A) AB ye paralel bir doðru
B) Çevrel çemberin merkezi
B) Elips
C) Ýç teðet çemberin merkezi
C) AB ye paralel iki doðru
D) Yüksekliklerin kesim noktasý
D) Çember
E) Kenarortaylarýn kesim noktasý
E) Çember yayý
285
7.
10.
Aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr?
Düzlemde ABC üçgeni
veriliyor.
A
A) Uzayda sabit iki noktaya eþit uzaklýktaki noktalarýn geometrik yeri düzlemdir.
m(ëB) = 40° ve
B) Uzayda farklý iki düzlemin ara kesiti bir
doðrudur.
B
C) Uzayda bir noktaya uzaklýðý 5 cm ve 5 cm
den küçük olan noktalarýn geometrik yeri içi
dolu küredir.
[AC] uzunluðu sabit
kalmak þartýyla,
40°
C
B noktalarýnýn geometrik yeri aþaðýdakilerden
hangisidir?
D) Uzayda bir düzleme teðet, r yarýçaplý
kürelerin merkezlerinin geometrik yeri bir
doðrudur.
A) Çember
B) Ýki çember yayý
C) Ýki nokta
E) Uzayda paralel iki düzleme eþit uzaklýktaki
noktalarýn geometrik yeri yine bir düzlemdir.
D) Parabol
E) Bir nokta
8.
Þekildeki O merkezli,
O
P
60°
r = 5 cm
B
r = 5 cm yarýçaplý çembere m(AëPB) = 60° olacak þekilde teðetler
çiziliyor.
P noktalarýnýn geometrik yeri aþaðýdakilerden
hangisidir?
A) AëPB açýsýnýn açýortayý
B) r = 10 cm yarýçaplý çember
C) r = 5 cm yarýçaplý çember
11.
|PA| = 3 birim
P
3
d
A
E g e Ya y ý n c ý l ý k
A
Düzlemde d doðrusu ve dýþýnda bir P noktasý
veriliyor.
P noktasýna 5 birim, d doðrusuna 1 birim
uzaklýktaki noktalarýn geometik yeri aþaðýdakilerden hangisidir?
D) r = 5ñ3 cm yarýçaplý çember
A) d doðrusunun iki noktada kesen çember yayý
E) r = 10ñ3 cm yarýçaplý çember
B) Ýki nokta
C) Dört nokta
9.
D) Yarým çember
Düzlemde ABP üçgeninde
P
E) Bir doðru
[AB] uzunluðu ve
A
B
m(AëPB) = 90° sabit
olmak þartýyla,
12. Yarýçapý 13 cm olan bir çemberin 10 cm uzunluðundaki kiriþlerinin orta noktalarýnýn geometrik yeri aþaðýdakilerden hangisidir?
P noktalarýnýn geometrik yeri aþaðýdakilerden
hangisidir?
A) Yarýçapý 5 cm uzunluðunda çember
A) [AB] nin orta dikme doðrusu
B) Yarýçapý 12 cm uzunluðunda çember
B) [AB] ye paralel, P noktasýndan geçen doðru
C) 4 nokta
C) [AB] çaplý çember
D) 6 nokta
D) Ýki nokta
E) Kesen
E) [AB] ye paralel iki doðru
286
1.D
2.B
3.B
4.C
5.B
6.C
7.D
8.B
9.C
10.B
11.C
12.B
12. BÖLÜM
1.
ÜÇGEN ÇÝZÝMLERÝ
4.
Kenar uzunluklarý verilen aþaðýdaki üçgenlerden hangisi çizilemez?
A) a = 7 cm
b = 7 cm
c = 1 cm
B) a = 12 cm
b = 5 cm
c = 6 cm
C) a = 8 cm
b = 8 cm
c = 8 cm
D) a = 13 cm
b = 20 cm
c = 15 cm
E) a = 80 cm
b = 79 cm
c = 2 cm
A) 1
3.
m(ëB) = 70°
m(ëC) = 50°
B) a = 12 cm
b = 8 cm
m(ëC) = 30°
C) m(ëA) = 40°
b = 4 cm
a = 3 cm
D) a = 8 cm
b = 9 cm
c = 10 cm
E) a = 10 cm
b = 10 cm
c = 2 cm
E g e Ya y ý n c ý l ý k
Aþaðýdaki üçgenlerden hangisi tek olarak
çizilemez?
A) a = 7 cm
|AC| = 17 cm, hb = 9 cm ve |BC| = 15 cm
olacak þekilde kaç farklý üçgen çizilebilir?
5.
2.
TEST : 84
C) 3
D) 4
E) Sonsuz
Aþaðýdaki üçgenlerden hangisi çizilemez?
A) b + c = 9 cm
a = 5 cm
m(ëB) = 60°
B) a = 10 cm
Va = 5 cm
ha = 5 cm
C) a = 10 cm
Va = 8 cm
ha = 10 cm
D) ha = hb = hc = 6 cm
E) a = 13 cm
6.
Aþaðýdaki üçgenlerden hangisi tek olarak
çizilebilir?
B) 2
b = 9 cm
m(ëC) = 50°
Aþaðýdakilerden hangisi bir ikizkenar üçgen
deðildir?
A) m(ëA) = 40°
m(ëB) = 70°
m(ëC) = 70°
|AC| = 10 cm hc = 12 cm
B) a = 10 cm
b = 7 cm
ha = 3 cm
C) |AB| = 8 cm
|AC| = 7 cm
hc = 7 cm
C) a = 10 cm
c = 13 cm
ha = 12 cm
D) m(ëB) = 50°
m(ëC) = 60°
m(ëA) = 70°
D) a = 7 cm
b = 10 cm
c = 10 cm
E) a = 7 cm
b = 10 cm
m(ëA) = 90°
E) Va = Vb = Vc = 8 cm
A) |AB| = 10 cm
|AC| = 7 cm
B) |AB| = 7 cm
hc = 5 cm
287
7.
10. Bir dokuzgenin tek olarak çizilebilmesi için
Aþaðýda elemanlarý verilen üçgenlerden
hangisi tek olarak çizilemez?
en az kaç elemanýnýn verilmesi gerekir?
A) m(ëA), m(ëB), m(ëC)
A) 7
B) 9
C) 11
D) 15
E) 16
B) a, b, c
C) a, b, m(ëC)
D) a, m(ëB), m(ëC)
E) m(ëB), m(ëC), nA
11. a = 13 cm, b = 7 cm
Bir ABC üçgeninde c = 12 cm, m(ëA) = 60° veriliyor.
olmak üzere bir ABC üçgeninin çizilebilmesi
için c kenarý kaç farklý tamsayý deðeri alýr?
ABC üçgeninin dar açýlý bir üçgen olmasý için
b kenarý kaç farklý tamsayý deðeri alýr?
A) 2
A) 14
9.
B) 15
C) 16
D) 17
E) 18
E g e Ya y ý n c ý l ý k
8.
B) 7
C) 13
D) 20
E) 21
12. Yalnýz pergel ve cetvel yardýmýyla aþaðýdaki-
R3 te bir doðruya eþit uzaklýktaki noktalarýn
geometrik yeri aþaðýdakilerden hangisidir?
lerden hangisi çizilemez?
A) Bir açýnýn açýortayý
A) Paralel bir doðru
B) Bir doðru parçasýnýn orta dikme doðrusu
B) Paralel iki doðru
C) Bir doðruya paralel bir doðru
C) Bu doðruya dik bir doðru
D) r = 5 cm yarýçaplý çember
D) Düzlem
E) 40° lik açý
E) Silindirik yüzey
288
1.B
2.C
3.C
4.B
5.C
6.B
7.A
8.D
9.E
10.D
11.C
12.E
12. BÖLÜM
GEOMETRÝK YER
1.
4.
A
2ñ5
4ñ5
TEST (KARMA): 85
Bir üçgenin iç teðet çemberinin merkezi ile
ilgili olarak aþaðýdakilerden hangisi daima
doðrudur?
A) Kenarortaylarýn kesim noktasýdýr.
B
B) Kenarlara olan uzaklýklarý eþittir.
C
C) Köþelere olan uzaklýklarý eþittir.
ABC üçgenini BC kenarý etrafýnda 360° döndürürsek, A noktalarýnýn geometrik yeri
aþaðýdakilerden hangisi olur?
D) Aðýrlýk merkezidir.
E) Kenar orta dikmelerin kesim noktasýdýr.
A) Daire
B) 2 cm yarýçaplý çember
C) 4 cm yarýçaplý çember
D) [BC] nin orta dikme doðrusu
E) a kenarýna ait yükseklik
2.
Düzlemde kesiþen iki doðruya eþit uzaklýktaki
noktalarýn geometrik yeri aþaðýdakilerden
hangisi olur?
5.
Bir deltoidin kenarlarýnýn orta noktalarýný birleþtirirsek hangi þekli elde ederiz?
A) Kare
A) Çember
C) Paralel iki doðru
D) Dik kesiþen iki doðru
E) I. açýortay doðrusu
3.
B) Dikdörtgen
E g e Ya y ý n c ý l ý k
B) Doðru
C) Eþkenar dörtgen
D) Yamuk
E) Paralelkenar
[OA ⊥ [OB
|AB| = 16 cm
A
m(ëO) = 90°
8 cm
P
P, [AB] nin orta noktasý
8 cm
O
B
6.
AB çubuðunun A ve B noktalarý [OA ve [OB
üzerinde hareketli olduðuna göre P noktalarýnýn geometrik yeri aþaðýdakilerden hangisi olur?
I.
Ýç açýortaylarýnýn kesiþim noktasý iç teðet
çemberin merkezidir.
II. Ýki dýþ açý ve bu açýlara komþu olmayan iç
açýnýn, açýortaylarýnýn kesim noktasý dýþ
teðet çemberin merkezidir.
III. Kenar orta dikmelerin kesiþim noktasý çevrel
A) [OP] doðru parçasý
çemberin merkezidir.
B) Doðru
Yukarýdaki ifadelerden hangileri doðrudur?
C) Çember yayý
A) Yalnýz I
D) [AB] ye paralel doðru
D) II ve III
E) [AB] nýn orta dikme doðrusu
289
B) I ve II
C) I ve III
E) I, II ve III
7.
10. A ve B noktalarý sabit.
Bir paralelkenarýn açýortaylarýnýn kesiþmesi
ile aþaðýdaki þekillerden hangisi meydana
gelir?
[PA] ⊥ [PB] þartýný saðlayan P noktalarýnýn
geometrik yeri nedir?
A) Yamuk
A) P merkezli bir çember
B) Eþkenar dörtgen
B) Ýki çember yayý
C) Deltoid
C) [AB] çaplý çember
D) Dikdörtgen
D) Ýki doðru
E) Paralelkenar
8.
E) Yarým çember
11.
y
Aþaðýdaki çokgenlerden hangisinin çevresinden, hiçbir zaman çember geçmez?
A(–4, 2)
C
A) Deltoid
x
B
E g e Ya y ý n c ý l ý k
B) Kare
C) Dikdörtgen
D) Üçgen
E) Dik yamuk
Dik koordinat sisteminde m(ëA) = 90° olacak þekilde sabit dik açýnýn kollarý eksenleri B ve C de
kesmektedir.
|BC| uzunluðu en az kaç olur?
A) 2
9.
I.
B) 4
C) 4ñ5
D) 2ñ5
E) 8
Ýki doðruya eþit uzaklýktaki noktalar bir doðru
belirtir.
II. Ýki noktaya eþit uzaklýktaki noktalar bir doðru
belirtir.
12. Sadece pergel ve cetvel kullanarak aþaðýdaki
açýlardan hangisi çizilemez?
III. Bir doðruya teðet olan eþ çemberlerin merkezleri paralel iki doðru belirtir.
A) 90°
Düzlemde yukarýdaki ifadelerden hangileri
her zaman doðrudur?
A) Yalnýz I
B) Yalnýz II
D) I ve IIII
B) 45°
C) 112,5°
C) Yalnýz III
D) 22,5°
E) II ve III
E) 145°
290
1.C
2.D
3.C
4.B
5.B
6.E
7.D
8.E
9.E
10.C
11.D
12.E
12. BÖLÜM
1.
GEOMETRÝK YER
TEST (KARMA): 86
4.
Düzlemde bir d doðrusu ile dýþýnda bir P noktasý
veriliyor.
D
K
C
d doðrusu üzerindeki noktalarý P noktasýna
birleþtiren doðru parçalarýnýn orta noktalarýnýn geometrik yeri nedir?
A) Çember yayý
A
B) Doðru parçasý
B
ABCD paralelkenar
C) d ye dik bir doðru
|AB| = 2 |BC| = 2 cm, |DK| = |KC|
D) d ye paralel bir doðru
[AB] kenarý sabit kalmak koþuluyla K orta
noktalarýnýn geometrik yeri nedir?
E) Çember
A) 1 cm yarýçaplý çember
2.
D
L
C
ABCD kare
B) 1 cm yarýçaplý yarým çember
|AD| = 8 cm
K ∈ [AB],
E
C) 2 cm uzunluðunda doðru parçasý
L ∈ [CD]
D) 1 cm uzunluðunda doðru parçasý
E) [AD] ye paralel doðru
K
B
|KL| = 10 cm olacak þekilde tüm KL doðru
parçalarýnýn orta noktalarýnýn geometrik yeri
nedir?
A) 1 cm yarýçaplý çember
B) [AB] ye paralel doðru
C) 2 cm yarýçaplý çember yayý
E g e Ya y ý n c ý l ý k
A
5.
Bir doðru parçasýný 45° lik sabit açý altýnda
gören noktalar kümesinin geometrik yeri
nedir?
A) Çember
D) 2 cm uzunluðunda doðru parçasý
B) Doðru parçasý
E) [AD] ve [BC] nýn orta noktalarýný birleþtiren
doðru parçasý
C) Ýki paralel doðru parçasý
D) Ýki nokta
3.
E) Ýki çember yayý
[OK ⊥ [OL
y
|KL| = 4 cm
K
K noktasý y ekseni
üzerinde, L noktasý x
ekseni üzerinde hareketlidir.
M
6.
A ve B farklý iki nokta veriliyor.
x
O
L
[KL] nýn orta noktasýnýn geometrik yeri nedir?
A noktasýnýn B den geçen tüm doðrulara göre
simetriklerinin geometrik yeri nedir?
A) 4 cm çaplý çember
A) Orta dikme doðrusu
B) 2 cm yarýçaplý çeyrek çember yayý
B) [AB] çaplý çember
C) 2ñ2 cm uzunluðunda doðru parçasý
C) [AB] yarýçaplý çember
D) 4 cm uzunluðunda doðru parçasý
D) Ýki çember yayý
E) KOL açýsýnýn açýortayý
E) Ýki nokta
291
7.
10.
Bir veya daha fazla ABC üçgeninin çizilebilmesi için aþaðýdaki verilerden kaç tanesi
doðrudur?
l. ha > c
ll. ha = c
lll. ha > Va
lV. ha = Va
V.
Vl. ha < c
ha < Va
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
A
8 km
D
4 km
B
A) 8ñ5
5 km
C
B) 4ñ5
A dan D ye gitmek
isteyen bir yolcu
[BC] üzerinde bir N
noktasýna uðramak
þartýyla, en az kaç
km yol gider?
C) 13
D) 12
E) 20
E) 6
11. ABC üçgeni dar açýlý bir üçgendir.
ABC üçgeninin içinde, ha yüksekliðine ve a
kenarýna eþit uzaklýktaki noktalarýn geometrik
yeri aþaðýdakilerden hangisidir?
8.
A) Doðru
C ∈ [AB] ve |AC| = |CB| olacak þekilde sabit bir
C noktasý alýnýyor.
B) Kenarlara dik doðrular
A ve B noktalarýnýn geometrik yeri nedir?
C) Birbirine dik iki doðru parçasý
A) Ýki nokta
D) Çember yayý
E g e Ya y ý n c ý l ý k
B) [AB] çaplý çember
C) Doðru parçasý
D) Çember yayý
E) [AB] yarýçaplý çember
E) Iþýn
12.
[AB] çaplý çember
verilsin.
A
B
K
P
9. ABCD paralelkenarý veriliyor.
[AB] kenarý sabit kalmak koþuluyla A ve B
açýlarýnýn iç açýortaylarýnýn kesiþim noktasýnýn geometrik yeri nedir?
A noktasý sabit kalmak koþuluyla alýnan kiriþlerin kendisi kadar uzatýlmasýyla elde edilen P
noktalarýnýn geometrik yeri nedir?
A) [AB] çaplý çember
A) K merkezli bir çember
B) Ýki dik doðru
B) [AP] yarýçaplý çember
C) [AB] ye paralel doðru parçasý
C) [AB] yarýçaplý çember
D) Deltoid
D) Paralel doðru
E) Dikdörtgen
E) [AB] çaplý çember
292
1.D
2.D
3.B
4.A
5.E
6.C
7.C
8.B
9.C
10.C
11.C
12.C
12. BÖLÜM
1.
GEOMETRÝK YER VE ÜÇGEN ÇÝZÝMLERÝ ÝLE ÝLGÝLÝ ÖSS - ÖYS SORULARI
4.
Bir dikdörtgenin kenarlarýnýn orta noktalarýný
birleþtirerek elde edilen þekil aþaðýdakilerden
hangisidir?
A) Kare
TEST : 87
Herhangi bir dik üçgende, dik açý köþesi, yükseklik ayaðý ve dik kenarlarýn orta noktalarý
aþaðýdaki dörtgenlerden hangisinin köþeleri
olabilir?
A) Yamuk
B) Yamuk
B) Paralelkenar
C) Dikdörtgen
C) Dikdörtgen
D) Paralelkenar
D) Kare
E) Herhangi bir dörtgen
E) Deltoid
(1973)
(1978)
Bir ABC üçgeninde BC kenarýna çizilen paralel
bir doðru öteki iki kenarý D ve E noktalarýnda
kesiyor.
DE doðrusu BC ye paralel olarak hareket
ediyor. DE doðru parçasýnýn orta noktasýnýn
geometrik yeri, aþaðýdakilerden hangisidir?
A) A açýsýnýn iç açýortayý
B) a kenarýnýn orta dikmesi
C) a kenarýna ait yükseklik
E g e Ya y ý n c ý l ý k
2.
5.
Aþaðýdaki dörtgenlerden hangisini köþegenleri dört eþit üçgene ayýrýr?
A) Paralelkenar
B) Ýkizkenar yamuk
D) Çevrel çemberin A dan geçen çapý
C) Deltoid
E) a kenarýnýn kenarortayý
D) Dikdörtgen
E) Eþkenar dörtgen
(1974)
(1979)
3.
Bir doðruya üzerindeki K ve L gibi sabit iki
noktada teðet olan ve deðiþken iki çember
birbirine de teðet ise, çemberlerin birbirine
deðme noktalarýnýn geometrik yeri nedir?
A) KL çaplý çember
B) K ve L odaklý elips
6.
D) KL küçük eksenli elips
Yeni bir eþkenar üçgen elde edebilmek için en
az kaç tane özdeþ eþkenar üçgen kullanýlmalýdýr?
E) K ve L odaklý hiperbol
A) 2
C) KL yarýçaplý çember
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
(1979)
(1977)
293
7.
10.
Bir dairenin içine, köþelerinin tümü çember
üzerinde olacak ve bir köþegeni dairenin
merkezinden geçecek biçimde aþaðýdaki
þekillerden hangisi çizilebilir?
[AK] ⊥ y
A
B
[BL] ⊥ y
8
|AK| = 8 km
6
|BL| = 6 km
A) Paralelkenar
K
B) Kare
L
7 km
y (yol)
|KL| = 7 km
Þekildeki A ve B kentleri y yolunun ayný tarafýnda bulunmaktadýr.
C) Dikdörtgen
D) Ýkizkenar yamuk
A kentinden y yolu üzerindeki bir N noktasýna
uðrayarak B kentine giden en kýsa |AN| + |NB|
yolu kaç km dir?
E) Eþkenar üçgen
(1979)
A) 10
B) 12
C) 13
D) 5ñ5
E) 7ñ5
(1995 - ÖSS)
8.
11.
l. a = 6 cm, b = 7 cm, A açýsýnýn ölçüsü 95°
A, D, E doðrusal
A
ll. a = 4 cm, ha = 6 cm, C açýsýnýn ölçüsü 90°
|AD| = |DE|
lll. a = 5 cm, b = 3 cm, ha = 4 cm
Yukarýdaki gruplarýn hangilerinde verilen elemanlar bir üçgen belirtir?
B) Yalnýz ll
D) l ve ll
D
C) Yalnýz lll
E) ll ve lll
(1986 - ÖSS)
C
E g e Ya y ý n c ý l ý k
A) Yalnýz l
B
E
A) ACD
B) ABD
Yandaki þekle göre, |AC|
kenar uzunluðu, |AD|
kenarortay uzunluðu ve
A açýsýnýn ölçüsü verilen
ABC üçgenini çizmek için
aþaðýdaki
yardýmcý
üçgenlerden hangisini
çizmek gerekir?
C) ACE
D) BED
E) CDE
(1996 - ÖSS)
12.
9.
A
B
P
Þekildeki
ABC
üçgeninin dýþýnda
ve B açýsýnýn içinde bir P noktasý
alýnmýþtýr.
|BC| = 10 cm
x
m(AëBC) = 50°
|AC| = 7 cm olan
ABC üçgeni aþaðýdaki
þekil tamamlanarak çizilecektir.
50°
B
10
C
C
A(P¿AB) + A(P¿BC) sabit olduðuna göre,
Buna göre, üçgenin A köþesi [Bx ýþýný ile
aþaðýdakilerden hangisinin kesim noktasýdýr?
P nin geometrik yeri nedir?
A) [BC] nýn kenar orta dikmesi
A) Iþýn
B) [BC] kenarýna 7 cm uzaklýkta bir paralel doðru
B) Doðru parçasý
C) Çember yayý
C) Merkezi [BC] nýn orta noktasý, yarýçapý 7 cm
olan çember
D) Parabol yayý
D) Merkezi B, yarýçapý 7 cm olan çember
E) Hiperbol yayý
E) Merkezi C, yarýçapý 7 cm olan çember
(2000 - ÖSS)
(1993 - ÖYS)
294
1.D
2.E
3.A
4.E
5.E
6.C
7.D
8.B
9.B
10.E
11.C
12.ipt