∫ ∫ ∫ ∫

= ∫ cos 27 x (sin 2 x) 6 x sin x sin x dx
Trigonometrik Integraller
1
∫ cos axdx = a sin ax
1
∫ sin axdx = − a cos ax
cosx cosy= 1 [cos(x+y) +cos(x-y)]
2
sinx siny = 1 [ cos(x-y)- cos(x+y)]
2
sinx cosy = 1 [ sin(x+y)+ sin(x-y)]
2
1
∫ sin ax cos bxdx = 2 ∫ [sin(a + b) x + sin(a − b) x]dx
1
1
sin(a + b) xdx + ∫ sin(a − b) xdx
∫
2
2
−1
−1
=
cos( a + b) x +
cos( a − b) x
2(a + b)
2( a − b )
=
1
∫ sin 5 x cos 3xdx = 2 ∫ [sin(5 + 3) x + sin(5 − 3) x]dx
1
1
sin(5 + 3) xdx + ∫ sin(5 − 3) xdx
∫
2
2
−1
−1
=
cos 8 x +
cos 2 x
16
4
=
----------------- --------------- --------------------
∫ cos
x sin n xdx seklindeki integralleri
cozerken
m
cos x=t, -sinx dx=dt
veya
sin x=t, cos x dx=dt
degisken donusumu yapilir.
----------------- -------------- -----------Pr433) ∫ cos 27 x sin 13 xdx integralini cozun
cos x=t,
= ∫ cos 27 x (sin 2 x) 6 x sin x dx
= ∫ cos x (1 - cos x) x sin x dx
27
2
6
= − ∫ t 27 (1 - t 2 ) 6 x dt
Bu integral cozulebilecek bir haldedir.
-------------- ------------------------Pr435) ∫ cos 27 x sin14 xdx integralini cozun
cos x=t,
27
-sinx dx=dt , sin x = 1 − t 2
x sin 14 x dx = ∫ cos 27 x sin12 x sin x sin x dx
= ∫ cos 27 x (sin 2 x) 6 x sin x sin x dx
1 − t 2 dt
-------------------------- ------------------------Pr436) ∫ cos 27 x sin14 xdx integralini
sin x=t,
∫ cos
27
cos x dx=dt diyerek cozelim
x sin x dx = ∫ cos 26 x sin14 x cos x dx
14
= ∫ (cos 2 x)13 sin 14 x cos x dx
= ∫ (1 − sin 2 x)13 sin 14 x cos x dx
= ∫ (1 - t 2 )13 t 14 dt
goruldugu gibi ayni integrali kolay cozulebilir hale
getirdik. Burada temel konu cos x ve sin x den kimin
kuvveti tek ise onu atama yapmaktir.
A) cos7x, cos23x seklinde cos x in tek kuvveti varsa
cos x=t deriz
B) sin9x, cos13x seklinde sin x in tek kuvveti varsa
sin x=t deriz
C) Hem cos x in hem sin x in tek kuvveti varsa
herhangibirine t desek olur.
D) Hem cos x in, hem s in x in kuvveti cift ise.
24
14
∫ cos x sin x dx bu durumda ister t=cos x, diyelim
ister t=sin x diyelim. Karekoklu ifade gelir.
---------------------- ---------------------
∫ cos
Pr441)
∫ cos
24
24
x sin14 xdx integralini cozun
-sinx dx=dt , sin x = 1 − t 2
cos x=t,
x sin14 x dx = ∫ cos 24 x sin12 x sin x sin x dx
= ∫ cos 24 x (sin 2 x) 6 x sin x sin x dx
= ∫ cos 24 x (sin 2 x) 6 x sin x sin x dx
= ∫ cos 24 x (1 - cos 2 x) 6 x sin x sin x dx
= − ∫ t 24 (1 - t 2 ) 6
13
= ∫ cos 27 x (sin 2 ) 6 x sin x dx
∫ cos
= − ∫ t 27 (1 - t 2 ) 6
sinx dx=dt diyelim
27
12
∫ cos x sin x dx = ∫ cos x sin x sin x dx
27
= ∫ cos 27 x (1 - cos 2 x) 6 x sin x sin x dx
1 − t 2 dt
Bu da kolay cozulebilen bir integral degildir.
sin x ve cos x in kuvvetleri kucukse
cos2x= 1 (1+cos2x), sin2x= 1 (1-cos2x)
2
2
yazarak cozm eye calisiriz.
------------- ------------------- m
n
∫ tan x sec x dx Seklindeki integraller.
(tan x) '=1/cos2x = sec2 x =(1+tan2x) bagintisindan
faydalanarak problemi cozmeye calisiriz.
t= tan x, dersek dt=sec2 x dx olur.
446)
∫ tan
4
x sec6 x dx
t= tan x, → dt=sec2 x dx, sec2 x =(1+tan2x)
∫ tan x (sec x) (sec x)dx
= ∫ tan x (sec x) (sec x)dx
4
4
4
2
2
2
2
= ∫ tan 4 x (1 + tan 2 x) 2 (sec2 x)dx
= ∫ t 4 (1 + t 2 ) 2 dt
Cozulebilecek bir polinom haline geldi.
4
5
447) ∫ tan x sec x dx
t= tan x, → dt=sec2 x dx, sec2 x =(1+tan2x)
4
5
∫ tan x sec x
= ∫ tan 4 x (sec 2 x)(sec x) (sec 2 x)dx
= ∫ tan 4 x (1 + tan 2 x) 1 + tan 2 x (sec 2 x)dx
= ∫ t 4 (1 + t 2 ) 1 + t 2 dt
kolay cozulebilecek bir polinom degil.
------------------------- ------------------------- (tan x) in kuvveti cift (sec x)in tek kuveti gelirse
genel bir yontem yoktur.
Ancak tan2x=sec2x-1 koyarak integral sec x in
tekkuvvetleri haline indirgenir.
Indirgeme bagintisi ile
(sec7 x) →(sec5 x)
(sec5 x) →(sec3 x)
(sec3 x) → (sec x)
sekli nde indirgeyerek cozebiliriz.
--------------- -------------------------4
5
449) ∫ tan x sec x dx
sec2 x=1+ tan2x, → tan2x=sec2x-1
integralde yerine koyalim.
4
5
2
2
5
∫ tan x sec x dx = ∫ (tan x) sec x dx
= ∫ (sec2 x - 1) 2 sec5 x dx
= ∫ (sec4 x - 2sec2 x + 1) sec5 x dx
= ∫ (sec9 x - 2sec7 x + sec5 x) dx
------------------------- --------------------sin m x
cos m x
dx,
∫ cosn x
∫ sin n x dx, seklindeki integraller
paydaki terimin kuvveti tek ise paydadaki terime t
denir ve problem cozulur. Paydaki terimin kuvveticift
ise karekoklu ifade gelir.
--------------- --------------------------- --------sin 5 x
dx,
461) ∫
cos8 x
t=cos x, dt=-sin x dx, sin x = 1 − t 2
sin 4 x
(1 - cos 2 x) 2
∫ cos8 x sin x dx =∫ cos8 x sin x dx
(1 - t 2 ) 2
=∫
dt
t8
---------------------- ------------------------------cos7 x
dx,
462) ∫
sin 6 x
t=sin x, dt=cos x dx, cos x = 1 − t 2
cos6 x
(1 - sin 2 x)3
=
cos
x
dx
∫ sin 6 x
∫ sin 6 x cos x dx
(1 - t 2 )3
=∫
dt
t6
-------------------------- -------------------------------cos8 x
dx,
463) ∫
sin 6 x
t=sin x, dt=cos x dx, cos x = 1 − t 2
cos6 x cos x
∫ sin 6 x cos x dx
=∫
(1 - sin 2 x)3 1 - sin 2 x
cos x dx
sin 6 x
(1 - t 2 ) 3 1 - t 2
=∫
dt
t6
payin kuvveti cift ise koklu ifade gelir ve bu yontem
calismaz. Baska yontemler bulmamiz gerekir.
---------------- ------------- sin x cos x in rasyonel fonksiyonu kesirler icin genel
x
donusumu
yontem t=tan x veya t = tan
2
yapmaktir.
x
2,
cos x =
2 x
1 + tan
2
1 − tan 2
tan( x) =
2 tan
sin x =
2 tan
1 + tan 2
x
2
1 − tan 2
x
2
-------------- ------------------- x
2dt
t = tan → dx =
2
1+ t2
1− t2
2t
cos x =
, sin x =
,
2
1+ t
1+ t2
tan( x) =
2t
1− t 2
---------------- ------
x
2
x
2
cos8 x
cos 2 x
cos 2 x
dx = ∫
dx = ∫
dx
465) ∫
sin 6 x
sin 6 x
tan 6 x
cos 6 x
1- t2
2
2
∫ ⎛ 11-+t t2 ⎞6 1 + t 2 dt
⎜⎜
⎟
2 ⎟
1
−
t
⎝
⎠
Islemler yapilirsa t nin rasyonel kesirli bir fonksiyonu
elde edilir.
12
⎛1
⎞
cos24 x = (cos2 x)12 = ⎜ (1 + cos 2 x )⎟
⎝2
⎠
cos24x = (cos2x)12= ( 1 (1+cos2x), sin2x= 1 (1-cos2x)
2
2