DAL GERİLİMLERİ YÖNTEMİ

DAL GERİLİMLERİ YÖNTEMİ
Qt i = 0
(Temel kesitleme denklemleri)
Öte yandan, eleman gerilimleri v, dal gerilimleri v1 cinsinden
v
v
U
[B1 U ] ⎡⎢ 1 ⎤⎥ = 0 → v 2 = − B1v1 → ⎡⎢ 1 ⎤⎥ = ⎡⎢ ⎤⎥ v1 → v = Qt T v1
⎣ v2 ⎦ ⎣− B1 ⎦
⎣ v2 ⎦
nd − 1 ⎡Qt
ne ⎢ 0
⎢
nd − 1 ⎢⎣ N
0
U
M
0 ⎤⎡ i ⎤ ⎡0 ⎤
− Qt T ⎥ ⎢ v ⎥ = ⎢ 0 ⎥
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
0 ⎥⎦ ⎢⎣ v1 ⎥⎦ ⎢⎣w ⎥⎦
Mv+Ni=w ne tane eleman tanım bağıntısı
2nd-2+ne denklem ve 2nd-2+ne bilinmeyen
Bu denklemleri yerine koyma yöntemiyle çözmeye Dal Gerilimleri Yöntemi denir.
Örnekle açıklama:
e2
+
R4
e1
+
2
R9
R7
j10
4
R5
e3
R6
9
+
R8
1
7
5
3
6
10
Adım 1: Devre grafı çizilerek, uygun bir ağaç seçilir.
Adım 2: Temel kesitleme denklemleri yazılır.
i4 = -i7 - i9 - i10
i5 = -i8 - i9
i6 = i8 - i10
Not: Bağımsız gerilim kaynağına ilişkin denklemi yazmaya gerek yok.
8
Adım 3: Dirençlere ilişkin uç denklemlerini 2. adımdaki denklemlerde yerine koy.
G4v4 = - G9v9 – G7v7 - j10
G5v5 = - G8v8 - G9v9
G6v6 = G8v8 - j10
Adım 4: Temel çevre denklemleri ile kiriş gerilimlerini dal gerilimleri cinsinden yaz.
G4v4 = - G9(v4 + v5 - e2) – G7 (v4 - e1) - j10
G5v5 = - G8(v5 + e3 - v6) - G9(v4 + v5 - e2)
G6v6 = G8(v5 + e3 - v6) - j10
Ara adım: v7 = v4 - v1 = v4 - e1
v8 = v5 + v3 - v6 = v5 + e3 - v6
v9 = v4 + v5 - v2 = v4 + v5 - e2
v10 = v4 + v6 - v1 = v4 + v6 - e1
Bilinmeyenler bir tarafa, bilinenler diğer tarafa toplanırsa
(G4+G7+G9)v4 + G9v5 = G7 e1 - G9e2 - j10
G9v4 + (G5+G8+G9)v5 – G8v6 = G9e2 –G8e3
-G8v5 + (G6+G8)v6 = G8e3 – j10
⎡G4 + G7 + G9
⎢
G9
⎢
⎢⎣
0
G9
G5 + G6 + G8
− G5
0 ⎤ ⎡v4 ⎤ ⎡G7
− G8 ⎥ ⎢v5 ⎥ = ⎢ 0
⎥⎢ ⎥ ⎢
G6 + G8 ⎥⎦ ⎢⎣v6 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
Buradan dal gerilimleri elde edilebilir.
− G9
G9
0
0
− G8
G8
⎡e ⎤
− 1⎤ ⎢ 1 ⎥
e
0 ⎥⎢ 2 ⎥
⎥ ⎢ e3 ⎥
− 1⎥⎦ ⎢ ⎥
⎣ j10 ⎦
DÜĞÜM GERİLİMLERİ YÖNTEMİ
Devrede sadece 2-uçlu direnç ve bağımsız akım kaynakları olsun.
Ai=0
nd-1 tane düğüm denklemleri
nd-1 tane KGY
v=ATe
ne tane eleman tanım bağıntıları Mv+Ni=w (w=kaynaklar)
⎡A
⎢0
⎢
⎢⎣ N
0
U
M
0 ⎤⎡ i ⎤ ⎡ 0 ⎤
− AT ⎥ ⎢ v ⎥ = ⎢ 0 ⎥
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
0 ⎥⎦ ⎢⎣ e ⎥⎦ ⎢⎣w ⎥⎦
R6
1
2
3
R4
R2
j1
R1
R3
R5
j2
4
Adım 1: Düğümler için KAY Ai=0
-i1 + i2 + i6 + j1 = 0
-i2 + i3 + i6 = 0
-i4 - i5 - j2 - i6 = 0
Adım 3: KGY v=ATe
v1=-e1, v2=e1-e2, v3=e2, v4=e2-e3,
v5=-e3, v6=e1-e3
Adım 2: Tanım bağ. gerilim kontrollü yaz. i=Gv
-G1v1 + G2v2 + G6v6 + j1 = 0
-G2v2 + G3v3 + G6v6 = 0
-G4v4 - G5v5 - G6v6 - j2 = 0
Adım 4: Bunları 2' deki denklemlerde yerine koy.
-G1(-e1) + G2(e1-e2) + G6(e1-e3) + j1 = 0
-G2(e1-e2) + G3(e2) + G6(e1-e3) = 0
-G4(e2-e3) - G5(-e3) - G6(e1-e3) - j2 = 0
(G1+G2+G6)e1 - G2e2 - G6e3 + j1 = 0
-G2e1 + (G2+G3+G6)e2 - G4e3 = 0
-G6e1 - G4e2 + (G4+G5+G6)e3 - j2 = 0
Not: Düğüm Gerilimleri Yöntemi aynı şekilde, devrede tanım bağıntıları i=Gtbv olarak yazılabilen elemanlar
varsa da, uygulanabilir.
Genel olarak, bu yöntem sonucunda elde edilen denklemleri
Ge + Tj=0
şeklinde yazabiliriz.
G:
Gii: i. düğüme bağlı dirençlerin iletkenliklerinin toplamı
Gij: i. ve j. düğüme ortak olan dirençlerin iletkenliklerin toplamının ters işaretlisi
T:
Tip: i. düğüme bağlı olann p. akım kaynağının yönü düğümden dışarı doğru ise (+1), aksi halde (-1) olur. Bu
düğüme akım kaynağı bağlı değil ise, değeri 0 olur.
GENELLEŞTİRİLMİŞ DÜĞÜM GERİLİMLERİ YÖNTEMİ
Devrede direnç, gerilim ve akım kaynakları ile diğer cebirsel lineer çok-uçlular olsun.
Bu elemanları iki grupta toplayalım.
1) Bağımsız akım kaynakları, lineer dirençler
2) Diğer elemanlar (bağımsız gerilim kaynakları, cebirsel çok-uçlular, …)
(nd − 1) Ai = 0
[A1
A2
⎡ iR ⎤
⎢
⎥
A3 ]⎢ j ⎥ = 0
⎢i diğer ⎥
⎣
⎦
A1iR + A2j + A3idiğer = 0
iR=GvR
A1GvR + A2j + A3idiğer = 0
⎡ v R ⎤ ⎡ A1T ⎤
⎢
⎥ ⎢ T⎥
v
⎢ j ⎥ = ⎢ A2 ⎥e
⎢ v diğiğ ⎥ ⎢ A3T ⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦
⇒
A1GA1Te + A3 idiğer = -A2j
(nd-1 denklem)
M vdiğer + N idiğer = w
M A3T e + N idiğer = w
(diğer elemanların tanım bağıntıları)
⎡ A1GA1T
⎢
T
⎣⎢ MA3
A3 ⎤ ⎡ e ⎤ ⎡− A2 j⎤
⎥⎢
⎥=⎢
⎥
N ⎦⎥ ⎣i diğer ⎦ ⎣ w ⎦
G1
Örnek 1:
1
G2
+
vb
2
G3
−
+ −
j4
v5
G7
j6
4
[e; idiğer] = [e1, e2, e3; i5, i8]
1.düğüm
i1 + i2 + i5 –i4 = 0
G1v2 + G2v2 + i5 – i4 = 0
G1(e1-e3) + G2(e1-e2) + i5 = j4
3
v8
+
−
G9
i4 = j4 A
v5 = cos t V
i6 = j6 A
v8 = 7vb
2.düğüm
-i2 + i3 + i7 - i5 - i6 = 0
-G2v2 + G3v3 + G7v2 - i5 - i6 = 0
-G2(e1-e2) + G3(e2-e3) + G7e2 - i5 - i6 = 0
3.düğüm
-i1 - i3 + i9 + i8 = 0
-G1v1 - G3v3 + G9v9 + i8 = 0
-G1(e1-e3) - G3(e2-e3) + G9e3 + i8 = 0
Eleman tanım bağıntıları (Ek denklemler)
ED1 v5 = e1 - e2
ED2 v8 = 7vb e3 = 7(e1 - e3)
Örnek 2:
i1
1 i3
+
10 sin t
2v6
+ −
i2
i4
2
1:2
+
2i8
4
i6
i5
+
v5
v6
−
−
3
i8
1Ω
i7
5Ω
[e; idiğer] = [e1, e2, e3, e4; i1, i2, i3, i5, i6]
düğüm
1
2
3
4
i1 + i2 + i3 = 0
-i3 + i5 + i4 = 0
-i4 + i6 + i8 = 0
-i2 – i1 – i5 + i7 = 0
4 denklem, 9 bilinmeyen
i1 +i2 +i3 = 0
-i3 + i5 = -i4
i6 + e3 = i4
-i2 - i1 - i5 + e4/5 = 0
Transformatör T.B.
⎡v6 ⎤ ⎡ 0 2⎤ ⎡ i6 ⎤
⎢ i ⎥ = ⎢ − 2 0 ⎥ ⎢v ⎥
⎦⎣ 5 ⎦
⎣ 5⎦ ⎣
Tanım bağıntıları (Ek Denklemler)
e1 - e4 = 10 sint
ED1
ED2
i2 = 2i8 = 2e3
ED3
e1 - e2 = 2e3
e3 = 2(e2-e4)
ED4
ED5
i5 = -i6
0
0
1 1 1 0
⎡0 0
⎢0 0
0
0
0 0 −1 1
⎢
1
0
0 0 0 0
⎢0 0
⎢
0 1/ 5 −1 −1 0 −1
⎢0 0
⎢1 0
0 −1 0 0 0 0
⎢
2
0
0 −1 0 0
⎢0 0
⎢1 − 1 − 2 0
0 0 0 0
⎢
0
0
0 0 0 1
⎢0 0
⎢⎣0 − 2 − 1 − 2 0 0 0 0
0⎤ ⎡ e1 ⎤ ⎡ 0 ⎤
0⎥ ⎢e2 ⎥ ⎢ − 2 ⎥
⎥
⎥⎢ ⎥ ⎢
1 ⎥ ⎢e3 ⎥ ⎢ 2 ⎥
⎥
⎥⎢ ⎥ ⎢
0⎥ ⎢e4 ⎥ ⎢ 0 ⎥
0⎥ ⎢ i1 ⎥ = ⎢10 sin t ⎥
⎥
⎥⎢ ⎥ ⎢
0⎥ ⎢ i2 ⎥ ⎢ 0 ⎥
0⎥ ⎢ i3 ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎥
⎥⎢ ⎥ ⎢
2⎥ ⎢ i5 ⎥ ⎢ 0 ⎥
0⎥⎦ ⎢⎣ i6 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
ÇEVRE AKIMLARI YÖNTEMİ
Göz: Bir devrenin bir çevresini, çevreye girmeyen elemanlar bölmüyorsa, o çevreye göz denir.
Çevre akımı: Bir devrenin herhangi bir çevresi boyunca, çevre yönü çizgisi doğrultusunda dolaştığı
düşünülen akıma denir.
e2
R7
iÇ3
+
R4
e1
+
iÇ1
R5
R6
j10
iÇ2
e3
+
R8
Yukarıdaki şekilde gözler ve gözlere ilişkin çevre akımları belirlenmiştir.
Tüm eleman akımlarını çevre akımları cinsinden yazmak mümkündür. Örneğin
iR6=iÇ1-iÇ2
iR5=iÇ2-iÇ3
Bir devrede göz sayısı: ne - nd + 1 dir. (ne: eleman sayısı,
nd: düğüm sayısı)
Bir devreye karşı gelen grafta temel çevreler için yazılan denklem sayısı ne - nd + 1 idi.
Aynı şekilde
ne - nd + 1 tane göze ilişkin KGY bağımsız denklem takımı oluşturur.
Bu denklemler
Bv = 0
şeklinde yazılabilir.
Öte yandan eleman akımları çevre akımları cinsinden yazıldığında elde edilen katsayı matrisinin BT olduğu
görülür. Yani
i = BTiÇ
eşitliği yazılabilir. Öte yandan eleman tanım bağıntıları da aşağıdaki gibi yazılsın.
Mv + Ni = 0
⎡B
⎢0
⎢
⎢⎣ N
0
U
M
0 ⎤⎡ v ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎢ ⎥
− BT ⎥ ⎢ i ⎥ = ⎢ 0 ⎥
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
0 ⎥⎦ ⎣iÇ ⎦ ⎢⎣w ⎥⎦
Sadece 2-uçlu direnç ve bağımsız gerilim kaynakları içeren devreleri karşı gelen yukarıdaki denklemleri
yerine koyma şeklinde çözmek için geliştirilen yönteme Çevre Akımları Yöntemi denir.
Çevre Akımları Yöntemi aşağıdaki adımlarla verilebilir:
1:
2:
3:
Bv = 0
B [ Z i + vk ] = 0
(Eleman tanım bağıntıları v = Z i + vk şeklinde olsun)
B Z i = -B vk
i = BT iÇ
B Z BT iÇ = -B vk
Her iki tarafta B Z BT tersiyle çarpılırsa, iÇ çözülebilir.
Örnekle açıklama:
e2
R7
iÇ3
+
R4
e1
+
iÇ1
R9
R5
R6
iÇ2
e3
+
R8
Şekildeki devreye ilişkin devre denklemlerini Çevre Akımları Yöntemiyle elde ediniz.
1:
Bv = 0
v4+v6-v9-v1=0
v5+v3-v8-v6=0
v2+v7-v5-v4=0
2:
B [ Z i + vk ] = 0
(Eleman tanım bağıntıları v = Z i + vk şeklinde olsun.
v1=e1, v2=e2, v3=e3, v4=R4i4, v5=R5i5, v6=R6i6, v7=R7i7, v8=R8i8, v9=R9i9)
R4i4+ R6i6-R9i9-e1=0
R5i5+e3- R8i8- R6i6=0
e2+ R7i7- R5i5- R4i4=0
B Z i = -B vk
3: i = BT iÇ
i1=-iÇ1, i2=iÇ3, i3=iÇ2, i4=iÇ1-iÇ3, i5=iÇ2-iÇ3, i6=iÇ1-iÇ2, i7=iÇ3,
i8=-iÇ2, i9=-iÇ1
B Z BT iÇ = -B vk
R4(iÇ1-iÇ3)+ R6(iÇ1-iÇ2)-R9iÇ1-e1=0
R5(iÇ2-iÇ3)+e3+ R8iÇ2- R6(iÇ1-iÇ2)=0
e2- R7iÇ3- R5(iÇ2-iÇ3)- R4(iÇ1-iÇ3)=0
Bu denklemler aşağıdaki gibi düzenlenebilir.
(R4+R6-R9)iÇ1-R4iÇ3- R6iÇ2 =e1
R6iÇ1 + (R6+R5+R8)iÇ2- R5iÇ3= -e3
-R4iÇ1- R5iÇ2- (R4+R5-R7) iÇ3=-e2
Bu üç lineer bağımsız denklemden iÇ1, iÇ2 ve iÇ3 çözülebilir.
Bir kere çevre akımları belirlendikten sonra, tüm eleman akımları ve tanım bağıntıları yardımıyla da
tüm eleman gerilimleri kolaylıkla bulunabilir.