Pratik Kuantum Tarifleri

Pratik Kuantum Tarifleri
Adil Usta
[email protected]
İçindekiler
1 Açılış
2
1.1
Olası momentum değerleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Klasik limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1
1
Açılış
Bu elektronik kitap Adil Usta’nın ders notlarının ve kişisel çalışmalarının bir araya
getirilmesinden oluşturuldu. Her ne kadar ders kitabı olma iddiası taşımasa da, standart bir
kuantum kitabında bulunabilecek hemen hemen tüm konulara ve belki daha fazlasına bu
naçizane metinde de değinildi. Kendi çabalarıyla kuantum mekaniği öğrenmeye çalışanlara
ve giriş seviyesinde kuantum dersi alanlara yarararı olabileceğine inanıyoruz. “Ben zaten
kuantumun ustasıyım!” diyenlerin bile, ustaların ustası Adil Usta’dan kapabileceği birkaç
taktik olabilir.
Kitabın belli kısımlarında temel konular ve problemler kuantum alan teorisiyle
ilişkilendirilerek ele alındı. Bu kısımlarda ve de özelliklle son bölümde amaç kuantum
alanlarından dem vurmak ve kuantum alan teorisine dair merak uyandırmaktı. Belki de
olasi, ikinci bir Adil Usta kitabının gizli reklamını yapmak...
Metnin dili yer yer ciddiyetten uzak görünse de, içeriğinin fiziksel ve matematiksel
tutarlılığına büyük özen gösterildiğini bilmenizi isteriz.
Bu metin, ticari amaçlar dışında ücretsiz çoğaltılabilir veya dağıtılabilir. Adil Usta’nın
maddi veya akademik bir beklentisi yoktur. Zaten kendisi akademisyen değildir, fizikçi hiç
değildir. Atom fiziğine lanet ettikten sonra kendisini aşçılığa adamıştır ve hobi olarak
kuantum üzerine aforizmalar üretmektedir.
Yorumlarınız, eleştirileriniz veya önerileriniz için:
[email protected]
Afiyet olsun.
2
1.1
Olası momentum değerleri
Kutu içindeki parçacık için bulduğumuz çözümü hatırlayalım:
{ √
2
sin nπx
, 0 < x < L için,
L
L
ψn (x) =
0,
diğer bölgeler için.
(1)
Burada n = 1, 2, · · · . Bu çözümün momentum içeriğini Fourier dönüşmü yaparak
bulabiliriz.
∫ ∞
∫ L
1
nπx −ipx/~
1
−ipx/~
ψ̃n (p) ≡ √
dx e
ψn (x) = √
dx sin
e
L
2π~ −∞
πL~ 0
(
) n(~/L)3/2
= e−iLp/~−iπn − 1 2
p − ( n~π
)2
L
= −2i e−ipL/2~−iπn/2 sin(pL/2~ + πn/2)
√
= −2i
n(~/L)3/2
p2 − ( n~π
)2
L
L −inp̃−iπn/2 sin(nπ(p̃ + 1)/2)
e
,
~π 3
n(p̃2 − 1)
(2)
p
olarak yazılabilir. Bu ifadede p̃ = n~π/L
tanımını kullandık. ψ̃n (p) dediğimiz ettiğimiz
zımbırtının ne olduğu nu yineleyelim. Kutudaki parçacığın kuantum çözümlerini bulduk ve
bunları n tamsayısı ile etiketledik. Diyelim ki parçacığın momentumunu ölçeceğiz. Ölçüm
sonucunu, yani momentumu, p olarak bulma genliğimiz ψ̃n (p)’ten başka bir şey değil!
Henüz olasılığı hesaplamadık ama genliği bulduktan sonra gerisi çok basit! Yapmamız
gereken tek şey genliğin mod karesini hesaplamak:
2L
fn (p̃),
~π 3
(
)2
sin(nπ(p̃ + 1)/2)
fn (p̃) ≡
,
n(p̃2 − 1)
Olasılık(n) (p) ≡ ψ̃n∗ (p)ψ̃n (p) =
ve
(3)
(4)
olarak tanımladık. Eş. (4) denklemine ve özellikle denklemin paydasına dikkatlice
bakarsanız, denklemin p̃ = ±1 değerleri için elinizde patladığını düşünebilirsiniz. Ama
sakin olun, her şey kontrol altında. Kuantum mekaniğinde elinizde patlayan bir çok sey
olacak ve bu patlayan değerlerle nasıl başedeceğinize daha sonra bakacağız. Şimdi de Eş.
3
(4) denkleminin payına dikkatlice bakınız, o da aynı noktada sıfıra gidiyor: tipik bir 0/0
durumu. Eğer pay paydadan daha çabuk, ya da onunla aynı hızda sıfırlanıyorsa, sorun yok.
Bu tür durumlarda paydanın kökü etrafında neler döndüğüne bakmak gerekiyor. p̃ = 1
civarında neler olduğna bakmak için p̃’yi 1 etrafında açalım: p̃ = 1 + ϵ, ki ϵ çok küçük bir
sayıolsun. Aşağıdaki trigonemetrik eşitliği birkaç kez kullanacağız:
sin(A + B) = 1/2 sin(A) cos(B) + 1/2 sin(B) cos(B)
(5)
{
eşitliğini A = nπ ve B = nπϵ/2 için kullanarak ϵ sıfıra giderken fn (p̃)’nin
sin(nπϵ/2)
2nϵ
}2
şeklinde yazılabileceğini görürüz, ki bu da (π/4)2 limitine yaklaşır. (Burada isteyen benim
sözüme inanır, isteyen L’Hôspital kuralı nıkullanır. Hatta kimileri “Tabii ulan ϵ gibi küçük
bir sayı için sin(nπϵ/2) ≃ nπϵ/2 yazarım hehe!” deyip ukalalık yapar.)
p̃ = −1 etrafındaki hesap hemen hemen aynı...
Yeri gelmişken birkaç büyük laf edelim: paydaların kökleri hemen her zaman büyük önem
taşır. Elimizdeki problemde kökler p̃ = ±1 değerlerinde, yani p = ±n~π/L. Daha sora
hesaplayacağız ki bu değerler klasik limitteki olası momentum değerlerine karşılık gelecek.
fn (p̃)’yi n’in bazı değerleri için çizelim: Şekil (1).
Ž
f1 H p L
Ž
f2 H p L
1.0
0.6
0.8
0.5
0.6
0.4
0.3
0.4
0.2
0.2
0.1
Ž
p
-3
-2
1
-1
2
3
Ž
p
-3
-2
-1
Ž
f3 H p L
1
2
3
1
2
3
Ž
f10 H pL
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
Ž
p
-3
-2
-1
1
2
3
Ž
p
-3
-2
-1
Şekil 1: n = 1, 2, 3 and 10 değerleri için fn (p̃). Hatırlatma: p̃ = ±1 değerleri p = ±n~π/L’ye
karşılık geliyor.
4
1.2
Klasik limit
Grafiklere bakar bakmaz, n’in büyük değerleri için olasılığın p̃ = ±1 ( p = ±n~π/L)
değerleri etrafında yoğunlaştığını farketmişsinizdir. Öyleyse mecburen şu soru geliyor akla:
“n sonsuza giderken bu olasılık dağılımı nasıl görünecek?” Bu soruya yanıt vermeden önce,
bir nebze daha kolay bir soru soralım: “n sonsuza giderken ψn (x) nasıl görünecek?” Kolay!
ψn (x) frekansın ile orantılı bir sinüs fonksiyonu. n arttıkça frekans da aynıoranda artacak
ve Eş. (1)’de hesapladığımız dalga fonksiyonu kutuyu homojen olarak dolduracak.
İlk sorduğumuz soruya yanıt vermek için fn (p̃)’yi farklı bir şekilde yazarak başlayalım:
sin2 (nπ(p̃ + 1)/2)
1
2
2
n
(p̃ − 1)2
(
)
sin2 (nπ(p̃ + 1)/2) 1
1
1
=
−
n2
4p̃ (p̃ − 1)2 (p̃ + 1)2
(
)
1 1 sin2 (nπ(p̃ − 1)/2) sin2 (nπ(p̃ + 1)/2)
=
−
,
n2 4p̃
(p̃ − 1)2
(p̃ + 1)2
fn (p̃) =
ki ikinci adımda Eş. (5) yardımıyla ulaşılabiliceğiniz şu eşitliği kullandık:
sin2 (nπ(p̃ + 1)/2) = sin2 (nπ(p̃ − 1)/2). Terimlerin yerlerini hafiften değiştirirsek
ulaşacağımız sonuç şu oluyor:
({
} {
})
(p̃ − 1))
(p̃ + 1))
π2
1 sin2 ( nπ
1 sin2 ( nπ
2
2
fn (p̃) =
−
.
nπ
2
2
8np̃
π nπ
(p̃
−
1)
π
(p̃
+
1)
2
2
(6)
(7)
Bu kadar ameleliği boşuna yapmadık elbette! Küme parantezleri içindeki nesnelerin herbiri
Dirac delta fonksiyonunun tanımalarından biri. Daha açık yazarsak:
{
}
(p̃ ± 1))
1 sin2 ( nπ
2
limn→∞
= δ(p̃ ± 1).
(8)
π nπ
(p̃ ± 1)2
2
Eğer Dirac delta fonkisyonunun ne menem bir şey olduğunu bilmiyorsanızıappendikse bir
göz atmanızı salık veririm. Dirac fonksiyonunun hepi topu iki özelliği var zaten:
1) Tek nokta dışında 0 olması– ki 1/n faktörü yardımıyla sağlanıyor bu,
2) integralinin 1 olması– p̃ üzerinden alınacak bu integral çok basit değil, çözümü
appendikste bulabilirsiniz.
Son bir uyarı: ”Dirac fonksiyonu” diye tanımladığımız bu nesneye “fonksiyon bile değil”
diyerek çamur atanlar olacaktır, ki bunlar genelde matematikçi arkadaşlar olur. Onlara “he
gülüm he, tamam fonksiyon değil dağılım o” deyip, kendi aramızda fonksiyon diyeceğiz bu
nesneye.
5
Dirac fonksiyonlarını yerleştirip δ(ax) =
δ(x)
|a|
özelliğini kullanacak olursak:
π2
π2
(δ(p̃ − 1) − δ(p̃ + 1)) =
(δ(p̃ − 1) + δ(p̃ + 1))
8np̃
8n
π3~
=
(δ(p − nπ~/L) + δ(p + nπ~/L)) .
8L
f∞ (p̃) =
(9)
Bu sonucu da Eş. (3)’de yerine koyalım:
Olasılık(n) (p) =
4L
1
~fn→∞ (p̃) = (δ(p − nπ~/L) + δ(p + nπ~/L)) .
3
π ~
2
(10)
Bu denklemden açık ça görüyoruz ki p, −nπ~/L veya nπ~/L olmak üzere iki farklı değer
alabilir, ki herbir değerin olasılığı1/2. Şimdi gelelim neden
√ buna klasik dediğimize gelelim:
n2 π 2 ~2
En = 2mL2 the corresponding momenta can be p = ± 2mE = ±nπ~/L.
6