v vektörü n ℜ uzayında tanımlı olsun c bir skaler olmak üzere, elde

v vektörü  uzayında tanımlı olsun c bir skaler olmak üzere,
n
cv  c v
elde edilir. Burada c , c skalerinin mutlak değeridir.
 uzayında tanımlı iki vektör u ve v arasındaki uzaklık
n
(mesafe),
d u, v   u  v

u
1
 v     u  v
2
1
n
n

2
Uzaklık Ölçünün Özellikleri
1. d u, v   0
2. d u, v   0 ancak ve ancak u  v
3. d u, v   d v, u 
Tanım: Bir V reel vektör uzayındaki iç çarpım u.v, bu
uzaydaki tüm vektörler için aşağıdaki aksiyomları sağlayan ve
V vektör uzayındaki her u ve v vektörleri ile u.v reel sayısını
bağdaştıran bir fonksiyondur.
1. u.v  v.u
2. u.v  w   u.v  u.w
3. cu.v  cu .v  u.cv 
4. v.v  v
2
5. v.v  0 ve v.v  0 ancak ve ancak v  0
İç Çarpım ve İki Vektör Arasındaki Açı
Sıfırdan farklı her hangi u ve v gibi iki vektörün arasındaki 
açısının belirlenebilmesi için üçgenler üzerinde tanımlanan
cosinüs kanunu kullanılır:
v  u  v  u 
. v  u
2
 v.v  u   u.v  u 
 v.v  2u.v  u.u
İç çarpım özellikleri uygulanarak, Cosinüs kanunu:
v  u  v  u  2 v u Cos
2
2
2
Cosinüs denklemi Cos  için çözüldüğünde,
v  u v  u  v v  u u  2 v u Cos
v
1
 u     v  u
2
1
n

2
n
 v  v  u  u
2
2
2
2
1
n
1
n
 2 v u Cos
Cos 
u v  u v
uv
Cos 
u.v
uv
1
1
n
n
Ortogonal Vektörler
Tanım: u ve v vektörleri  uzayında tanımlı olsun,
n
u.v  0
eşitliği sağlanıyor ise vektörler ortogonaldir.
Cauchy-Schwarz Eşitsizliği
Tanım: Eğer u ve v vektörleri  uzayında tanımlı ise,
n
u.v  u v
eşitsizliği geçerlidir. Burada u.v değeri iç çarpımın mutlak
değeridir.
İspat: Eğer u  0 ise. 0.v  0 ve 0 v  0 teorem sağlanır.
Eğer u  0 ise. t   olmak üzere tu  v vektörü ele alınsın.
Bu durumda,
tu  v . tu  v   0
tu  v . tu  v   t u.u  2t u.v  v.v  0
2
eşitsizliği sağlanır ve a  u.u , b  2u.v, c  v.v alınarak
at  bt  c  0
2
Bu karesel ifade asla negatif olmayacağı için kökler
karmaşıktır ya da katlı tek kök vardır. Diskriminant,
b  4ac  0
2
4u.v  4u.uv.v
2
Karekök alınarak,
u.v  u.u v.v  u v
Üçgen Eşitsizliği
Bir üçgenin iki kenar uzunlukları u ve v olsun. Üçüncü kenar
uzunluğu u  v olacaktır.
Tanım: Üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu, diğer iki
kenarın uzunluklarının toplamından büyük olamayacağı için
Üçgen Eşitsizliği:
uv  u  v
İspat:
u  v  u  v 
. u  v
2
 u.u  v   vu  v 
 u.u  2u.v   v.v
 u  v  2u.v 
2
2
2
2
 u  v  2 u.v
Burada Cauchy-Schwarz u.v  u . v eşitsizliği kullanılarak;
u  v  u  v  2 u v  u  v 
2
2
2
2
uv  u  v
elde edilir.
Pisagor Teoremi
Üçgen eşitsizliğinin ispatında,
2
2
u  v  u  2 u.v  v
2
elde edilmişti. Eğer u ve v vektörleri ortogonal ise Pisagor
Teoremi;
2
2
uv  u  v
2
elde edilir.
İç Çarpım ve Matris Çarpımı
 n uzayındaki bir u  u1 , u2 ,..., un  vektörü nx1 boyutlu sütun
vektörü (matris) olarak tanımlanabilir.
u
u

.
u
.
.

u
1
2
n









Bu durumda iki vektörün iç çarpımı, u vektörünün
transpozunun v vektörü ile matris çarpımı
v 
v 
 
.
. . . u    u v  ...  u v
.
.
 
v 
1
2
u.v  u v  u
T
1
u
2
1
n
1
n
n
n
ile gösterilebilir.
İç Çarpım Uzayında Ortogonal İzdüşüm
Tanım: u ve v vektörleri  uzayında tanımlı olsun. Eğer v
n
vektörü sıfırdan farklı ise u vektörünün v üzerindeki ortogonal
izdüşümü, v vektörü yönünde olup uzunluğu v vektöründen
farklıdır,
iz vu  a v
Eğer a  0 ise cos   0 .
a v  a v  u cos  
v u cos  u.v

v
v
sonuç olarak a skaleri
a
u.v
v

u.v
v.v
2
ve ortogonal izdüşüm vektörü,
iz u 
v
u.v
v
v.v
Şekil 5.11
Ortogonal İzdüşüm ve Uzaklık
Tanım: V iç çarpım uzayındaki iki vektör u ve v olsun. v  0
olmak üzere,
d u, iz vu   d u, cv  ,
c
u.v
v.v
İspat: İzdüşüm vektörünün skaleri
u.v
v.v
olsun. Herhangi bir izdüşüm vektörü ile u vektörü arasındaki
b
uzaklığın karesi,
u  cv  u  bv   b  c v
2
2
olup u  bv  ve b  c v ortogonal vektörlerdir.
u  bv.b  cv  0
Pisagor Teoremi uygulanarak
u  bv   b  c v
2
 u  bv  b  c v
2
u  cv  u  bv  b  c  v
2
2
2
2
2
2
Bu eşitlikte b  c ve v  0 olduğundan b  c 2 v  0 ve sonuç
olarak;
u  bv  u  cv
2
2
d u, bv   d u, cv 
Şekil 5.14
Ortogonal ve Ortonormal Kümeler
Bir vektör uzayının farklı bazlara sahip olabileceği daha önce
belirtildi. Bununla birlikte bazı özelliklere sahip bazlarla
çalışmak daha uygundur.
Tanım: V iç çarpım uzayında tanımlı bir S vektör kümesi
olsun. Kümedeki her vektör çifti ortogonal ise ortogonal, ek
olarak kümedeki her bir vektör, birim vektör ise ortonormal
olarak adlandırılır.
S  v , v ,...,v
1
Ortogonal;
2
n
 için
vi . v j  0
i j
Ortonormal;
vi . v j  0
i j
vi  1
i  1,2,..., n
Ortogonal Kümeler Doğrusal Bağımsızdır.
Tanım: Eğer bir S  v1 , v 2 ,..., v n  vektör kümesi V iç çarpım
uzayında tanımlı sıfırdan farklı ortogonal vektörlerin bir
kümesi ise S kümesi doğrusal bağımsızdır.
İspat: Doğrusal bağımsızlık için
c1 v1  ....  cn v n  0
Denkleminin tek çözümü
c  c  ...  c  0
1
2
n
olmalı.
S kümesindeki her bir vektör ile bu denklemin her iki tarafının
iç çarpımı;
(c1 v1  ..  ci v i  ..  cn v n ).v i  0.v i
c1 v1 .v i   ...  ci v i .v i   ...cn v n .v i   0
S kümesi ortogonal olduğundan v i . v j  0
ve denklem
ci vi .vi   0
i  j için
eşitliğine indirgenir. S kümesindeki vektörler sıfırdan farklı
olduğundan,
v i . v i   v i 2  0
Sonuç olarak ci  0 olmalıdır. Sonuç olarak küme doğrusal
bağımsız olmalıdır.
Tanım: V boyutu n olan bir iç çarpım uzayı ise, sıfırdan farklı
herhangi n adet ortogonal vektörün oluşturduğu küme, V için
bir baz oluşturur.
Ortonormal Baza Göre Koordinatlar
Tanım: Eğer S  v1 , v 2 ,..., v n  kümesi bir V iç çarpım uzayının
ortonormal bazı ise, herhangi bir w vektörünün S ortonormal
bazına göre koordinatı:
w.v 1 v1  ...  w.v n v n  w
İspat: S kümesi V için bir baz tanımladığından türetendir.
c1v1  ...  cn v n  w
denklemin her iki tarafının v i ile çarpımı
c1 v1 .vi   ...  ci vi .vi   ...  cn v n .vi   w.v i
S kümesi ortogonal olduğundan,
ci v i .vi   w.v i
S kümesi ortonormal olduğundan,
w.v i  ci
Standart (ortonormal) Baza Göre Koordinatlar
Örnek olarak 2 uzayı ve onun standart(ortonormal) bazı
i  (1,0)
j  (0,1) ele alınsın. 2 uzayındaki herhangi bir vektör
w olsun. Bu vektör
w  iz w
1
i
w  iz w
2
j
olmak üzere
ww w
1
2
yazılabilir. i, j vektörleri birim vektör olduğundan
w .i
iz w 
i  w . i i  c i
i .i
i
iz w 
j
1
w.j
j  w . jj  c j
j. j
2
w c ic j
1
2
burada c1 ve c2 katsayıları koordinatlardır. Şekil 5.17
Ortogonal Bütünleyen
 uzayının bir S alt uzayı verilmiş olsun. S kümesindeki her
n
bir vektöre ortogonal olan tüm vektörlerin kümesi, S
kümesinin ortogonal bütünleyeni olarak adlandırılır.
Tanım: Eğer S kümesi  uzayının bir alt uzayı ise, S
n
kümesinin ortogonal bütünleyeni,
S  u   , u.v  0 tüm v  S için 

n
 Sıfır alt uzayının 0 ortogonal bütünleyeni,  uzayının
n
kendisidir. Bu ifadenin tersi de geçerlidir.
  uzayının bir alt uzayının bütünleyeni aynı zamanda
n
 uzayının bir alt uzayıdır.
n
 uzayının bir alt uzayının ortogonal bütünleyeni, matrisin
n
boş uzayının
Ax  0
çözülmesi ile bulunur.
Ortogonal Alt Uzaylar
 uzayının iki alt uzayı, her bir alt uzaydaki vektörler diğer
n
alt uzaydaki vektörlere ortogonal ise ortogonal alt uzaylardır.
Tanım: S1 ve S2 kümeleri  uzayının alt uzayları olsun. S1
n
kümesindeki tüm v1 vektörleri ve S2 kümesindeki tüm v2
vektörleri için
v .v  0
1
2
koşulu sağlanıyor ise ortogonal alt uzaylardır.
Eğer S1 ve S2,  uzayının ortogonal alt uzayları ise, kesişim
n
kümesi sadece sıfır vektörünü içerir.
Örnek: A matrisi
1 2 1 0
A

0 0 0 1 
Satırları  uzayındadır. Satır uzayı Ax  b ,
4
 1  0  
   
 2 0 
R A    ,    R A  r ,r 
1  0 
   
 0 1 
   
1
Boş uzayı Ax  0 ,
2
  2  1 
   
 1   0 
N  A  
,
 0   1 
   

 0
   0 
N  A  n ,n 
1
2
r .n  0
i
i
N  A  R A
Doğrudan Toplam
 uzayının iki ortgonal alt uzayı S1 ve S2 olsun. Bu uzaydaki
n
her bir vektör x   , S1 kümesinden bir s1 vektörü ve S2
n
kümesinden bir s2 vektörünün toplanmasıyla eşsiz bir şekilde
s s  x
1
2
elde edilebilir. Diğer bir ifade ile  uzayı, S1 ve S2 alt
n
uzaylarının toplamı
 S S
n
1
2
şeklinde elde edilebilir.
Ortogonal Alt Uzayın Özellikleri
 uzayının bir alt uzayı S olsun.
n
1. dim S   dim S
2. S  S  
1
3. S

 n
n
2



S
Alt Uzay Üzerine İzdüşüm
Bir vektörün bir diğer vektör üzerine izdüşümü
iz u
v
daha önce açıklanmıştı. Konu bir v vektörünün bir S alt
uzayına izdüşümü açıklanarak genellenecektir.
 S S
n

olması nedeniyle  uzayında tanımlı bir v vektörü, S alt
n
uzayından bir vektör ve S alt uzayından bir vektörün toplamı

olarak
vv v
1
v S , v S
2
1

2
yazılabilir. v1 vektörü S alt uzayı üzerine v vektörünün
izdüşümüdür ve
v  iz v
1
S
ile gösterilir. Benzer şekilde v2 vektörü S alt uzayı üzerine v

vektörünün izdüşümüdür ve
v  iz v
2
S
ile gösterilir. Alt uzaylar ortogonal oldukları için,
v  v  v  v  iz v
2
1
S
yazılabilir. Diğer bir deyişle v2 vektörü S alt uzayına diktir,
v v.
2
1
 uzayının bir S alt uzayı verildiğinde S için bir ortanormal
n
baz, Gram-Schmidt yöntemi ile bulunabilir. Daha sonra da S
üzerine v vektörünün izdüşümü elde edilebilir.
Tanım:  uzayının bir alt uzayı S için ortanormal baz
n
u ,...,u  ve v   ise
iz v  v.u u    v.u u
n
1
t
S
1
1
t
t
elde edilir.
Bir Matrisin Temel Alt Uzayları
Boyutu m×n olan bir A matrisi için,
 R(A) satır uzayı,
 C(A) sütun uzayı,
 N(A) boş uzay,
 N A
T
 sol boş uzay
temel alt uzaylardır.
 R(A) ve N(A),  uzayının ortogonal alt uzaylarıdır.
n
 C(A) ve N A ,  uzayının ortogonal alt uzaylarıdır.
m
T
 RA   N A   
n
 C A   N A   
T
m
En Küçük Kareler Problemi
Bazı denklem sistemleri çözümsüzdür. Bununla birlikte bu tip
sistemler için mümkün olan en iyi çözümün nasıl elde
edilebileceği araştırılabilir. Çözümsüz sistemler için bir
çözümün elde edilebilmesi genellikle en küçük kareler
regresyon doğrusunun elde edilmesi probleminde ortaya çıkar.
En Küçük Kareler Regresyon Doğrusu
 uzayındaki üç nokta (1,0), (2,1), (3,3) olsun. Bu üç noktaya
3
en iyi uyumu sağlayan,
y c c x
0
1
doğrusu nasıl bulunabilir?
Eğer bu üç nokta bir doğru üzerinde olsaydı, aşağıdaki
denklem sistemi
c c 0
0
1
c  2c  1
0
1
c  3c  3
0
1
çözümlü olurdu. Bu sistem,
1 1 
A  1 2


1 3
0 
b  1 
 
3
c 
x 
c 
1
2
alınarak matris yapısında
Ax  b
tanımlanabilir.
Bunula birlikte noktalar bir doğru üzerinde olmadığı için,
sistem çözümsüzdür. Bu nedenle Ax  b şeklinde çözüm
veren bir x vektörü bulmak imkansızdır. Fakat Ax ve b
vektörleri arasındaki farkı
Ax  b
minimize eden bir x vektörü araştırılabilir. Vektörler
arasındaki fark, hata olarak adlandırılır. Bu minimizasyon
probleminin çözümü
x  c , c 
T
0
1
ile elde edilen doğru
y c cx
0
1
regresyon doğrusu olarak adlandırılır.
Bu problemin çözümünde, ortogonallik ve izdüşüm kavramları
kullanılır. Yukarıdaki problemin daha genel bir yapısı, m×n
boyutlu bir A matrisi ve  uzayında tanımlı bir b vektörü ile
m
verilebilir.
Tanım: Boyutu m×n olan bir A matrisi ve  uzayında
m
tanımlı bir b vektörü verilmiş olsun.
Ax  b
2
fonksiyonunu minimize eden,  uzayında tanımlı x
n
vektörünün elde edilmesi, en küçük kareler problemi olarak
adlandırılır.
Problem, Ax  b uzaklığını en küçükleyen bir x vektörünün
belirlenmesidir. Burada A, m×n boyutlu bir matris, b ise 
m
uzayında bir vektördür. A matrisinin sütun alt uzayı S = C(A)
olsun. b vektörünün S alt uzayında yer almadığı kabul edilsin.
Çünkü b vektörü, S alt uzayında ise Ax  b tutarlı (çözümlü)
bir denklem sistemidir. Problem, b vektörüne olabildiğince
yakın olan ve S alt uzayında yer alan bir Ax vektörünü
bulmaktır.
Daha önceki bilgiler ışığında, araştırılan vektör b vektörünün
S alt uzayı üzerine ortogonal izdüşümü tanımlayan vektördür.
Ax  iz b
s
Ayrıca
Ax  b  iz b  b
s
vektörünün S = C(A) uzayına ortogonal olduğu görülebilir.
Diğer bir ifadeyle
Ax  b
vektörü, C(A) alt uzayına diktir. Aynı zamanda N A
T
 alt
uzayındadır.
C  A   N A
T

olduğundan
A Ax  b   0
T
ortogonallik koşulu sağlanmalıdır.
A Ax  A b
T
T
denklem sistemi (normal denklemler) elde edilir. En küçük
kareler probleminin çözümü n×n boyutlu doğrusal denklem
sisteminin çözümüne indirgenmiştir.
Bilinmeyen vektörü
x  A A  A b
1
T
T
Alt uzaydaki izdüşüm vektörü
iz b  Ax  AA A  A b
T
1
T
S
Burada S alt uzayı için izdüşüm matrisi
H  AA A  A
T
1
T