Mat103 Konu: Türev Uygulamaları 1. Asa˘gıdaki fonksiyonların

ÇALIŞMA SORULARI 4
Ders: Mat103
Konu: Türev Uygulamaları
1. Aşağıdaki fonksiyonların verilen aralıkta mutlak ekstremum değerlerini bulunuz. Fonksiyonların grafiklerini çiziniz. Grafik üzerinde, koordinatları ile birlikte mutlak ekstremum
noktalarını işaretleyiniz.
(a) f (x) = sec x,
−π/2 < x < π/2
(b) g(x) = x2 − 2|x| + 2
− 1/2 ≤ x ≤ 3/2.
2. Aşağıdaki fonksiyonların verilen aralıkta, mutlak ve yerel ekstremumlarını ve büküm noktalarını bulunuz.
(a) f (x) =
q
(1 − x2 )(1 + 2x2 ), [−1, 1]
(b) f (x) = 2 sin x + sin 2x,
(c) f (x) = 2 cos3 x + 3 cos x,
[0, 3π
]
2
[0, π]
3. f (x) = 2 cos2 x − x2 fonksiyonunun [0, π] aralığındaki konkavlıklarını inceleyiniz.
4. Aşağıdaki fonksiyonların ekstremum değerlerini nerede aldıklarını bulunuz.
(c) y = x2/3 (x2 − 4)
(a) y = x3 − 3x2 + 3x − 2
(
x+1
.
(b) y = 2
x + 2x + 2
(d) f (x) =
3−x
, x<0
3 + 2x − x2 , x ≥ 0
5. Kritik noktaları bulun ve ekstermum değerlerini sıralayın .
(a) f (x) = (x + 7)(11 − 3x)1/3 (b) f (x) = 2 cos3 x + 3 cos x, [0, π]
√
1 − x2
6. f (x) = 2
, [−1, 1] fonksiyonu verilen aralıkta, Rolle Teoreminin şartlarını sağlıyor
x +3
mu? Sağlıyorsa uygun c değerini bulunuz.
7. Aşağıdaki fonksiyonlar Ortalama Değer Teoreminin şartlarını sağlıyor mu? Sağlıyorsa
uygun c değerini bulunuz.
√
√
3
3
(a) f (x) = x − x2 , [0, 1].
(c) y = tan 3 x, [− π43 , π43 ]
(
sin x , −π ≤ x < 0
x
(b) f (x) =
0
, x=0
1
8. Hangi a, m, ve b değerleri için



3
, x=0
2
f (x) = −x + 3x + a, 0 < x < 1


mx + b
, 1≤x≤2
fonksiyonu, [0, 2] aralığında Ortalama Değer Teoreminin hipotezlerini sağlar?
9. Her reel x sayısı için, |f 0 (x)| < 1
sağlansın, her reel x1 ve x2 sayıları için
|f (x1 ) − f (x2 )| < |x1 − x2 |
ifadesinin sağlandığını gösteriniz.
10. Ortalama Değer Teoremini kullanarak, her a ve b sayısı için
| sin b − sin a| < |b − a|
olduğunu gösteriniz.
11. f (x) = (x − 2)2/3 [0, 4] olsun. f (x) fonksiyonu verilen aralikta Rolle teoreminin hipotezlerini sağlıyor mu?
x2 koşullarinı sağlayan bir fonksiyon olsun.
1 + x2
x > 0 için 0 < f (x) < x olduğunu gösteriniz.
12. f (x), her x için f (0) = 0 , f 0 (x) =
13. f (x), [0, 1] aralığında türevlenebilir olsun ve türevi sıfırdan farklı olsun. f (0) 6= f (1)
olduğunu gösteriniz.
14. f (x) = x4 + 3x + 1 fonksiyonunun [−2, −1] aralığında sadece bir sıfırı olduğunu gösteriniz.
15. f (x) = x3 + 2x + 2 fonksiyonunun [−2, 0] aralığında sadece bir sıfırı olduğunu gösteriniz.
√
16. f (x) = x 8 − x2 + 1 olsun.
(a) Fonksiyonun tanım kümesini bulunuz.
(b) Fonksiyonun artan va azalan olduğu aralıkları bulunuz.
(c) Fonksiyonun yerel ekstremum değerlerini belirleyiniz, mevcut ise nerede olduklarını
belirtiniz.
(d) Ekstremum değerler arasında varsa mutlak olanını belirtiniz.
(e) y = f (x) eğrisinin grafiğini çiziniz.
17. Aşağıdaki fonksiyonların detaylı grafiğini çiziniz.
(x − 1)2
(c) y = x + 2
(d) y = 1 2
4−x
(a) y = x − 3x2/3
(b) y =
x2 − x + 1
x−1
18. Toplamları 10 ve birinin karesi ile diğerinin kübünün çarpımı olabildiğince büyük olan iki
sayı bulunuz.
2
19.
tan 61◦ ’in tahmini değerini bulunuz.
20. f (x), [0, 1] aralığında türevlenebilir olsun ve türevi her yerde sıfırdan farklı olsun. f (0) 6=
f (1) olduğunu gösteriniz.
21. f (x) fonksiyonu, her her x değeri için türevlenebilir ise ve
• f (1) = 1,
• (1, ∞) aralığı üzerinde f 0 > 0,
• (−∞, 1) aralığı üzerinde f 0 < 0
şartlarını sağlıyorsa;
(a) Her x değeri için f (x) ≥ 1 olduğunu gösteriniz.
(b) f 0 (1) = 0 olmalı mı? Yanıtınızın sebeplerini belirtiniz.
3