a.¨u. fen fak¨ultes˙ı matemat˙ık b¨ol¨um¨u mat302 f

A.Ü. FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ
MAT302 FİNAL SINAVI SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
1. (a) M2 (Z) halkasının S = {A ∈ M2 (Z) : det(A) = 1} altkümesi veriliyor. S kümesi M2 (Z)
halkasının bir althalkası mıdır? Araştırınız.
1 0
1 0
1 0
2 0
Çözüm:
∈ S için
+
=
∈
/ S olduğundan S kümesi
0 1
0 1
0 1
0 2
M2 (Z) nin althalkası değildir.
(b) f (x) ∈ Q[x] olmak üzere α : Q[x] → Q, α(f (x)) = f (2) homomorfizmasının çekirdeğini
bulunuz.
Çözüm:
Kerα = {f (x) ∈ Q[x] | α(f (x)) = 0}
= {f (x) ∈ Q[x] | f (2) = 0}
= {f (x) ∈ Q[x] | (x − 2) | f (x)}
= {(x − 2)g(x) | g(x) ∈ Q[x]}
=< x − 2 >
şeklindedir.
2. f (x) = x2 + 4x + 3, g(x) = x3 + 3x + 1 ∈ Z5 [x] polinomları veriliyor.
(a) f (x) ile g(x) polinomlarının en büyük ortak böleni d(x) i bulunuz.
Çözüm:
g(x) = f (x)(x + 1) + (x + 3)
f (x) = (x + 3)(x + 1) + 0
Böylece d(x) = x + 3 olarak elde edilir.
(b) d(x) = f (x)s(x) + g(x)t(x) şartını sağlayan s(x) ve t(x) polinomlarını belirleyiniz.
Çözüm: x + 3 = g(x)1 + f (x)(4x + 4) olduğundan s(x) = 4x + 4 ve t(x) = 1 şeklindedir.
3. (a) f (x) = 2x4 + 6x3 − 9x2 + 15 ∈ Z[x] polinomunun bütün rasyonel sıfırlarını bulunuz.
Çözüm: p = 3 asalı için 3 | 15, 3 | −9, 3 | 6, 3 - 2 ve 32 - 15 olduğundan Eisenstein
İndirgenmezlik Kriteri gereğince f (x) polinomu Q üzerinde indirgenmezdir. Bu nedenle verilen
polinom rasyonel sıfıra sahip değildir.
(b) C kompleks sayılar halkasında < 2, i > idealini belirleyiniz.
Çözüm: C bir cisim olduğundan {0} ve C dışında ideali yoktur. 0 6= 2 ∈< 2, i > olduğundan
< 2, i >6= {0} dır. Böylece < 2, i >= C olur.
4. (a) Z3 [x]/ < x2 + 1 > bölüm halkasının elemanlarını belirleyiniz.
Çözüm: < x2 + 1 >= P olmak üzere
Z3 [x]/ < x2 + 1 >= {ax + b | a, b ∈ Z3 }
= {0+P, 1+P, 2+P, x+P, x+1+P, x+2+P, 2x+P, 2x+1+P, 2x+2+P }
şeklindedir.
(b) Z3 [x]/ < x2 + 1 >∼
= Z/9Z midir? Araştırınız.
Çözüm: Z/9Z halkasında 0 + 9Z 6= 3 + 9Z için (3 + 9Z)(3 + 9Z) = 0 + 9Z dir. Böylece Z/9Z
halkası sıfır bölene sahiptir. Fakat p(x) = x2 + 1 polinomu için p(0) = 1, p(1) = 2, p(2) = 2
ve derp(x) = 2 olması sebebiyle p(x) polinomu Z3 üzerinde indirgenmezdir. Teorem gereğince
Z3 [x]/ < x2 + 1 > bölüm halkası bir cisimdir. Bundan dolayı Z3 [x]/ < x2 + 1 > ile Z/9Z
halkası izomorf değildir.