II ARASINAV CEVAP ANAHTARI

09.04.2014
No:
Ad-Soyad:
Soru
Puanlama
mza:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Toplam
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
105
Alnan Puan
1104023082006 GENEL TOPOLOJ-II ARASINAV CEVAP ANAHTARI
(.Ö.)
Not: Süre
1.
R
90
Dakika. stedi§iniz
üzerinde alt limit topolo ji tanml olsun.
R
x ∼ y ⇐⇒ x = y
denklik ba§nts ile elde edilen
R/∼
{[4]} ⊂ R/∼
alt kümesi açk mdr?
b)
{[8]} ⊂ R/∼
alt kümesi açk mdr?
q : R → R/∼
soruyu cevaplaynz.
üzerinde
ya da
x, y ∈ [0, 6)
bölüm uzay için
a)
Cevap :
7
bölüm dönü³ümünü ele alalm. Bu durumda
A ⊂ R/∼
açk
⇐⇒ q −1 (A) ⊂ X
açk
oldu§unu biliyoruz.
a)
q −1 ({[4]}) = [0, 6)
{[4]} ⊂ R/∼
b)
2.
Z⊂R
R
üzerindeki
alt
limit
topolo jisine
göre
açk
oldu§undan
açktr.
q −1 ({[8]}) = {8}
{[8]} ⊂ R/∼
kümesi
kümesi
R
üzerindeki
alt
limit
açk de§ildir.
alt uzay ve
N
do§al saylar kümesi olmak üzere
f (x) = |x| + 1
topolojisine
göre
açk
olmad§ndan
³eklinde tanml
f : Z → N
dönü³ümünü sürekli klan
üzerindeki identikasyon topolojisini
N
bulunuz.
Cevap :
üzerindeki identikasyon topolo jisi ise
N
τ = {G ⊆ N : f −1 (G) ⊆ Z
³eklinde tanmlanr.
için
f −1 (G)
}
açk
Z üzerindeki R den indirgenen alt uzay topolojisi diskret oldu§undan ∀G ⊆ N
ters görüntüleri
Z
de açktr. Bu nedenle
N
üzerindeki identikasyon topolojisi
diskrettir.
3.
τ = {∅, R} ∪ {(a, ∞) : a ∈ R} topolojisine göre R nin regüler uzay olup olmad§n belirleyiniz.
T3 -uzay
Bu uzayn
Cevap :
R
olup olmad§ hakknda ne söylenebilir? Açklaynz.
üzerindeki kapallar snf
K = {∅, R} ∪ {(−∞, a] : a ∈ R}
³eklindedir. Bu uzayn regüler olmad§n gösterelim. Buna göre
noktas için,
K
kapalsn içeren tek açk küme
ayramayz. Bu da
R
τ = {U ⊆ R : 0 ∈ U
Cevap :R üzerinde,
T3 -uzay
U2
aç§
0
ya da
x 6= y
olacak ³ekilde bir
R,
x 6= y
olmak üzere
• x 6= 0
ve
y 6= 0
• x=0
ise,
x
x, y
noktasn birbirinden
çifti için bu iki noktay birbirinden ayracak
x=0
verilen topolojiye göre
τ = {∅} ∪ {A ⊆ Z : 0 ∈ A}
Cevap :
x
2∈
/ U } topolojisine göre R nin T2 -uzay olup olmad§n belirleyiniz.
ve
y =2
noktasn da içermesi gerekece§inden,
kesi³ecektir. Bu nedenle
5.
ile
2∈
/K
da olamaz.
ayrk açklarn mevcut olmad§n gösterelim.
içeren her
K
kapals ve
nin, verilen topolo jiye göre regüler olmad§n gösterir.
Uzay regüler olmad§ndan
4.
olaca§ndan
R
K = (−∞, 1]
ise,
x
topolosine göre
x, y ∈ Z
O halde verilen topolojiye göre
Z
nin
noktasn içeren her
V0
noktasn
aç§ ile
U2
de§ildir.
T0 -uzay
olup olmad§n belirleyiniz.
nokta çiftini alalm.
noktasn içeren ve
noktasn içeren ve
Z
T2 -uzay
0
2
alalm. Bu durumda
y∈
/ Ux
uzay
y∈
/ Ux
olacak ³ekilde bir
olacak ³ekilde
T0 -uzaydr.
Ux = 0
Ux = {x, 0}
aç§ vardr.
aç§ vardr.
6.
X = Z+
üzerinde
b∈X
için
Up (b) = {b + np ∈ X : p
, n ∈ Z}
asal say
alt kümelerinin olu³turdu§u
S = {Up (b) : b ∈ X, p
}
asal say
koleksiyonunu alt baz kabul eden topolojiye göre herhangi bir
ve
b
nokta ikilisi için
a
nin ayrk açklarnn mevcut oldu§unu ispatlaynz.
Cevap :
a
a, b ∈ X(a 6= b)
ve
b
a ve b nokta ikilileri için p > a + b olacak ³ekilde bir p asal saysn seçelim. Bu durumda
noktalarn içeren açk kümeleri srasyla
Up (a)
ve
Up (b)
seçelim.
Up (a) ∩ Up (b) = ∅
oldu§unu iddia ediyoruz. E§er bu iddia do§ru olmasayd öyle
n ve n0
tamsaylar mevcut olacakt
ki
a + np = b + n0 p.
Bu da
a ≡ b mod p
olmasn gerektirirdi ki
p > a+b
olarak seçildi§inden bu durum mümkün
de§ildir.
7. Sonlu tümleyenler topolojisine göre
Cevap :
R
R
nin normal uzay olup olmad§n belirleyiniz.
nin kapallar snf
K = {R} ∪ {K ⊂ R : K
sonlu
³eklindedir. Buna göre arakesitleri bo³ olacak ³ekilde iki
kapalsn içeren
UK1
ve
K2
kapalsn içeren
VK2
}
K1
ve
K2
kapal kümeleri için
K1
açklarnn arakesiti bo³ küme de§ildir.
UK1 ∩ VK2 = ∅
olsayd
UK1 ⊂ VKc 2
olacakt ki bu da sonsuz bir kümenin sonlu bir küme ile kapsanamayaca§ ile
çeli³ir. Bu nedenle sonlu tümleyenler topolojisine göre
8.
X
topolojik uzay
ispatlaynz.
T2 -uzay
olsun. E§er
A⊂X
R
normal uzay de§ildir.
sonlu ise
A
kümesinin kapal küme oldu§unu
Cevap :
X
uzaynn
noktal kümeler
X
T2 -uzay olmas T1 -uzay da olmasn gerektirece§inden ∀x ∈ X
de kapaldr.
A = {a1 , ..., an } ⊂ X
için
{x} tek
sonlu alt kümesi
A = ∪ni=1 {ai }
³eklinde yazlabildi§inden
9.
X
A
kümesi kapaldr.
birinci saylabilir uzay olsun.
p∈
/X
olmak üzere
X ∗ = X ∪ {p} kümesi üzerinde tanmlanan
τ ∗ = {X ∗ } ∪ {U ⊂ X ∗ : U ⊆ X
topolojisine göre
Cevap :
x∗ ∈ X ∗
• x∗ ∈ X
ise,
X∗
}
açk
uzaynn da birinci saylabilir uzay oldu§unu gösteriniz.
noktas için
X
uzay birinci saylabilir uzay oldu§undan saylabilir
ε(x∗ )
kom³uluk taban
vardr.
• x∗ = p
10.
X
ise
ε(x∗ ) = {X}
kom³uluk taban sonlu oldu§undan saylabilirdir.
kümesi üzerinde srasyla a³ikar ve ayrk topoloji tanml iken birinci saylabilir uzay olup
olmad§n belirleyiniz.
Cevap :
X
üzerinde
τ = {∅, X}
a³ikar topoloji tanml iken
∀x ∈ X
için
ε(x) = {X}
saylabilir
oldu§undan uzay birinci saylabilir uzaydr.
X
üzerinde
τ = P(X)
alnd§nda
∀x ∈ X
için
ε(x) = {{x}}
sonlu oldu§undan uzay yine birinci
saylabilir uzay olacaktr.
Ba³arlar Dilerim.
Prof. Dr. smet KARACA