ISTATISTIK I: Olasılık ve Dagılım Teorisi

İSTATİSTİK I:
Olasılık ve Dağılım Teorisi Kavramlarının Gözden
Geçirilmesi
Hüseyin Taştan1
1 Yıldız
Teknik Üniversitesi
İktisat Bölümü
22 Eylül 2012
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
1
İstatistik Biliminin Uğraşı Alanları
Veriden anlam çıkarılması, özetlenmesi
Belirsizlik: neyin olduğu değil, neyin olası olduğu
Örnekleme (sampling): anakütlenin (population) tümüne ait
bilgi toplamak çoğu zaman imkansızdır. Bunun yerine
anakütleye ilişkin analiz bu anakütleyi en iyi temsil eden bir
örnekleme dayandırılabilir.
İktisadi ilişkilerin analizi: Ekonometrinin alanı
Kestirim (Prediction)
Belirsizlik altında karar alma
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
2
İstatistik Biliminin Uğraşı Alanları
Veriden anlam çıkarılması, özetlenmesi
Belirsizlik: neyin olduğu değil, neyin olası olduğu
Örnekleme (sampling): anakütlenin (population) tümüne ait
bilgi toplamak çoğu zaman imkansızdır. Bunun yerine
anakütleye ilişkin analiz bu anakütleyi en iyi temsil eden bir
örnekleme dayandırılabilir.
İktisadi ilişkilerin analizi: Ekonometrinin alanı
Kestirim (Prediction)
Belirsizlik altında karar alma
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
2
İstatistik Biliminin Uğraşı Alanları
Veriden anlam çıkarılması, özetlenmesi
Belirsizlik: neyin olduğu değil, neyin olası olduğu
Örnekleme (sampling): anakütlenin (population) tümüne ait
bilgi toplamak çoğu zaman imkansızdır. Bunun yerine
anakütleye ilişkin analiz bu anakütleyi en iyi temsil eden bir
örnekleme dayandırılabilir.
İktisadi ilişkilerin analizi: Ekonometrinin alanı
Kestirim (Prediction)
Belirsizlik altında karar alma
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
2
İstatistik Biliminin Uğraşı Alanları
Veriden anlam çıkarılması, özetlenmesi
Belirsizlik: neyin olduğu değil, neyin olası olduğu
Örnekleme (sampling): anakütlenin (population) tümüne ait
bilgi toplamak çoğu zaman imkansızdır. Bunun yerine
anakütleye ilişkin analiz bu anakütleyi en iyi temsil eden bir
örnekleme dayandırılabilir.
İktisadi ilişkilerin analizi: Ekonometrinin alanı
Kestirim (Prediction)
Belirsizlik altında karar alma
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
2
İstatistik Biliminin Uğraşı Alanları
Veriden anlam çıkarılması, özetlenmesi
Belirsizlik: neyin olduğu değil, neyin olası olduğu
Örnekleme (sampling): anakütlenin (population) tümüne ait
bilgi toplamak çoğu zaman imkansızdır. Bunun yerine
anakütleye ilişkin analiz bu anakütleyi en iyi temsil eden bir
örnekleme dayandırılabilir.
İktisadi ilişkilerin analizi: Ekonometrinin alanı
Kestirim (Prediction)
Belirsizlik altında karar alma
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
2
İstatistik Biliminin Uğraşı Alanları
Veriden anlam çıkarılması, özetlenmesi
Belirsizlik: neyin olduğu değil, neyin olası olduğu
Örnekleme (sampling): anakütlenin (population) tümüne ait
bilgi toplamak çoğu zaman imkansızdır. Bunun yerine
anakütleye ilişkin analiz bu anakütleyi en iyi temsil eden bir
örnekleme dayandırılabilir.
İktisadi ilişkilerin analizi: Ekonometrinin alanı
Kestirim (Prediction)
Belirsizlik altında karar alma
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
2
İSTATİSTİK
İSTATİSTİK I
Olasılık Teorisi
Rassal Değişkenler
Kesikli ve Sürekli R.D.
Olasılık Fonksiyonu
Beklenen Değer, Moment
Normal Dağılım
Merkezi Limit Teoremi
İSTATİSTİK II
Örnekleme ve Örneklem Dağılımları
Nokta ve Aralık Tahmini
Hipotez Testi
Regresyon ve Korelasyon
Parametrik Olmayan Testler
Varyans Analizi
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
3
RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI
Rassal (Stokastik) Değişken (r.d.) : Alacağı değer belli bir
rassal denemenin sonucuna bağlı olan, bu değere ilişkin
kesinlik bulunmayan değişken. Büyük harflerle göstereceğiz.
x: rassal değişken X’in aldığı belli bir değer.
Kesikli r.d. : Alacağı değerler sayılabilir (sonlu ya da sonsuz)
olan rassal değişkenler. Örneğin, iki zar atımında üste gelen
sayıların toplamı, belli bir üretim bandında bir çalışanın yaptığı
hata sayısı, bir bankaya 15 dk içinde gelen müşteri sayısı, vb.
Sürekli r.d.: Belli bir aralıkta her hangi bir değeri alabilen
rassal değişken. Bir çok iktisadi değişken bu gruba girer,
örneğin, bir şehirdeki ortalama harcanabilir gelir, belli bir
dönemdeki enflasyon oranı, İMKB100 endeksinin kapanış
değeri, bir yılda yapılan toplam ihracat tutarı, vb.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
4
RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI
Rassal (Stokastik) Değişken (r.d.) : Alacağı değer belli bir
rassal denemenin sonucuna bağlı olan, bu değere ilişkin
kesinlik bulunmayan değişken. Büyük harflerle göstereceğiz.
x: rassal değişken X’in aldığı belli bir değer.
Kesikli r.d. : Alacağı değerler sayılabilir (sonlu ya da sonsuz)
olan rassal değişkenler. Örneğin, iki zar atımında üste gelen
sayıların toplamı, belli bir üretim bandında bir çalışanın yaptığı
hata sayısı, bir bankaya 15 dk içinde gelen müşteri sayısı, vb.
Sürekli r.d.: Belli bir aralıkta her hangi bir değeri alabilen
rassal değişken. Bir çok iktisadi değişken bu gruba girer,
örneğin, bir şehirdeki ortalama harcanabilir gelir, belli bir
dönemdeki enflasyon oranı, İMKB100 endeksinin kapanış
değeri, bir yılda yapılan toplam ihracat tutarı, vb.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
4
RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI
Rassal (Stokastik) Değişken (r.d.) : Alacağı değer belli bir
rassal denemenin sonucuna bağlı olan, bu değere ilişkin
kesinlik bulunmayan değişken. Büyük harflerle göstereceğiz.
x: rassal değişken X’in aldığı belli bir değer.
Kesikli r.d. : Alacağı değerler sayılabilir (sonlu ya da sonsuz)
olan rassal değişkenler. Örneğin, iki zar atımında üste gelen
sayıların toplamı, belli bir üretim bandında bir çalışanın yaptığı
hata sayısı, bir bankaya 15 dk içinde gelen müşteri sayısı, vb.
Sürekli r.d.: Belli bir aralıkta her hangi bir değeri alabilen
rassal değişken. Bir çok iktisadi değişken bu gruba girer,
örneğin, bir şehirdeki ortalama harcanabilir gelir, belli bir
dönemdeki enflasyon oranı, İMKB100 endeksinin kapanış
değeri, bir yılda yapılan toplam ihracat tutarı, vb.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
4
RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI
Rassal (Stokastik) Değişken (r.d.) : Alacağı değer belli bir
rassal denemenin sonucuna bağlı olan, bu değere ilişkin
kesinlik bulunmayan değişken. Büyük harflerle göstereceğiz.
x: rassal değişken X’in aldığı belli bir değer.
Kesikli r.d. : Alacağı değerler sayılabilir (sonlu ya da sonsuz)
olan rassal değişkenler. Örneğin, iki zar atımında üste gelen
sayıların toplamı, belli bir üretim bandında bir çalışanın yaptığı
hata sayısı, bir bankaya 15 dk içinde gelen müşteri sayısı, vb.
Sürekli r.d.: Belli bir aralıkta her hangi bir değeri alabilen
rassal değişken. Bir çok iktisadi değişken bu gruba girer,
örneğin, bir şehirdeki ortalama harcanabilir gelir, belli bir
dönemdeki enflasyon oranı, İMKB100 endeksinin kapanış
değeri, bir yılda yapılan toplam ihracat tutarı, vb.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
4
OLASILIK DAĞILIMLARI - KESİKLİ
f (x) ile göstereceğiz,
f (x) ≥ 0,
f (x) = P (X = x),
P
x f (x) = 1, Bu toplam x’in alabileceği tüm değerler
üzerinedir,
Birikimli dağılım fonksiyonu:
P
P (X ≤ x0 ) = F (x0 ) = x≤x0 f (x)
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
5
KESİKLİ OLASILIK DAĞILIMLARI
Örnek: 3 para atılıyor ve tura (T) gelme sayısı X ile
gösteriliyor.
Bu deneyde ortaya çıkabilecek sonuçlar şunlardır: (TTT),
(TTY), (TYT), (YTT), (TYY), (YTY), (YYT), ve (YYY).
Bu 8 sonuç karşılıklı olarak bağdaşmazdır ve herbirinin gelme
olasılığı aynıdır. Olasılık: 1/8.
X’in alabileceği değerler: 0, 1, 2, and 3.
X rassal değişkeninin dağılımını bulalım.
Sonuçlar
YYY
YYT
YTY
TYY
YTT
TYT
TTY
TTT
x
0
1
1
1
2
2
2
3
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
f (x)
1/8
3/8
3/8
1/8
6
X’in olasılık dağılımı:
x
f (x) = P (X = x)
P
x f (x)
=1
P (X ≤ 1) =?
P (1 ≤ X ≤ 3) =?
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
7
0
1
2
3
1
8
3
8
3
8
1
8
X’in birikimli olasılık dağılımı

0,




 18 ,
1
F (x) = P (X ≤ x) =
2,

7

,


 8
1,
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
8
x < 0;
0 ≤ x < 1;
1 ≤ x < 2;
2 ≤ x < 3;
x ≥ 3.
Kesikli Olasılık Dağılımı
OLASILIK FONKSIYONU
0.4
0.35
0.3
f(x)
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
x
2
2.5
3
3.5
4
2.5
3
3.5
4
BIRIKIMLI OLASILIK FONKSIYONU
1
0.8
F(x)
0.6
0.4
0.2
0
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
x
2
Kesikli r.d.’lerin BEKLENEN DEĞERLERİ
Kesikli r. d. X’in beklenen değeri
X
E(X) =
xf (x)
x
g(x), X’in bir fonksiyonu olsun, g(x)’in beklenen değeri
X
E(g(X)) =
g(x)f (x)
x
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
10
Kesikli r.d.’lerin BEKLENEN DEĞERLERİ
Kesikli r. d. X’in beklenen değeri
X
E(X) =
xf (x)
x
g(x), X’in bir fonksiyonu olsun, g(x)’in beklenen değeri
X
E(g(X)) =
g(x)f (x)
x
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
10
ÖRNEK
Önceki örnekte X’in beklenen değerini bulun.
(i) g(x) = x2 ’nin beklenen değerini bulun.
1
3
3
1
E(X 2 ) = 0 + 1 + 4 + 9 = 3
8
8
8
8
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
11
ÖRNEK
Önceki örnekte X’in beklenen değerini bulun.
(i) g(x) = x2 ’nin beklenen değerini bulun.
1
3
3
1
E(X 2 ) = 0 + 1 + 4 + 9 = 3
8
8
8
8
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
11
Kesikli r.d.’lerin VARYANSları
Tanım:
i
h
Var(X) = E (X − E(X))2
= E (X 2 − 2XE(X) + (E(X))2 )
= E X 2 − 2E (XE(X)) + E (E(X))2 )
= E X 2 − 2E(X)2 + (E(X))2
= E X 2 − E(X)2
µx = E(X) dersek varyans
olarak yazılabilir.
Var(X) = E X 2 − µ2x
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
12
Kesikli r.d.’lerin VARYANSları
Tanım:
i
h
Var(X) = E (X − E(X))2
= E (X 2 − 2XE(X) + (E(X))2 )
= E X 2 − 2E (XE(X)) + E (E(X))2 )
= E X 2 − 2E(X)2 + (E(X))2
= E X 2 − E(X)2
µx = E(X) dersek varyans
olarak yazılabilir.
Var(X) = E X 2 − µ2x
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
12
Kesikli r.d.’lerin MOMENTLERİ
Tanım: Kesikli r.d. X’in knci momenti
X
µk = E(X k ) =
xk f (x) k = 0, 1, 2, ...
x
1.
2.
3.
4.
moment
moment
moment
moment
µ1
µ2
µ3
µ4
=
=
=
=
E(X)
E(X 2 )
E(X 3 )
E(X 4 )
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
13
=⇒ populasyon ortalaması
= Var(X) + µ21
Kesikli r.d.’lerin MERKEZİ MOMENTLERİ
Tanım: Kesikli r.d. X’in knci merkezi momenti
X
mk = E((X − µ1 )k ) =
(x − µ1 )k f (x) k = 0, 1, 2, ...
x
1.
2.
3.
4.
merkezi
merkezi
merkezi
merkezi
moment
moment
moment
moment
m1
m2
m3
m4
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
=
=
=
=
14
0
E((X − µ1 )2 )
E((X − µ1 )3 )
E((X − µ1 )4 )
= Var(X)
Kesikli r.d.’lerin STANDART MOMENTLERİ
Tanım: Kesikli r.d. X’in knci standart momenti
γk =
mk
σk
k = 0, 1, 2, ...
Burada σ populasyon standart sapmasıdır:
r h
i
p
σ = Var(X) = E (X − µ1 )2
1.
2.
3.
4.
standart
standart
standart
standart
moment
moment
moment
moment
γ1
γ2
γ3
γ4
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
=
=
=
=
0
1
m3
σ3
m4
σ4
15
neden?
çarpıklık (skewness)
basıklık (kurtosis)
Bazı Kesikli Dağılımlar
Bernoulli
Binom
Hipergeometrik
Poisson
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
16
Bernoulli(p) Dağılımı
f (x) =
p,
if X = 1
1 − p, if X = 0
Beklenen Değer:
E(X) =
X
xf (x) = p · 1 + (1 − p) · 0 = p
X
x2 f (x) = p · 1 + (1 − p) · 0 = p
x
İkinci Moment:
E(X 2 ) =
x
Varyans (ikinci merkezi moment):
Var(X) = E(X 2 ) − (E(X))2 = p − p2 = p(1 − p)
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
17
BİNOM DAĞILIMI
X, n bağımsız Bernoulli denemesinde 1 değerini
Palma (başarı)
sayısı olsun. Yani eğer Y Bernoulli(p) ise X = (Y ), Binom(n, p)
dağılımına uyar. X toplam başarı sayısı.
n!
n
f (x) =
px (1−p)n−x =
px (1−p)n−x , x = 0, 1, 2, . . . , n
x
x!(n − x)!
E(X) = np
Var(X) = np(1 − p)
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
18
HİPERGEOMETRİK DAĞILIM
Eğer Bernoulli denemeleri birbirinden bağımsız değilse, toplam
başarı sayısı Binom dağılımına uymaz. İçinde B tane başarı
bulunan N nesneli rassal bir örneklemde, toplam başarı sayısı X’in
olasılık dağılımı
B
N −B
x
n−x
f (x) =
N
n
Burada x max(0, n − (N − B)) ve min(n, B) arasında tamsayı
değerler alabilir
E(X) = np,
V ar(X) =
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
N −n
np(1 − p),
N −1
19
p=
B
N
POISSON DAĞILIMI
Bir olayın belli bir zaman diliminde gerçekleşme sayısı
Notasyon: X ∼ P oisson(λ), pmf:
f (x, λ) =
λx e−λ
,
x!
x = 0, 1, 2, . . .
E(X) = λ
Var(X) = λ
1
skewness = √
λ
excess kurtosis =
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
20
1
λ
Kesikli r.d. için ORTAK DAĞILIMLAR
ORTAK OLASILIK FONKSİYONU: Birden fazla r.d.’in ortak
davranışını betimlemek istiyoruz. Önce iki değişkenli durumu
inceleyelim. X ve Y iki r.d. olsun. Bunların ortak olasılık fonksiyonu
f (x, y) = P (X = x ∩ Y = y)
Daha genel olarak X1 , X2 , . . . , Xk k tane kesikli r.d. ise bunların
ortak olasılık fonksiyonu şöyle olur:
f (x1 , x2 , . . . , xk ) = P (X1 = x1 ∩ X2 = x2 , ∩, . . . , ∩Xk = xk )
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
21
Örnek
X: Bir bankada 1 nolu gişede sırada bekleyen müşteri sayısı, Y : Bir
bankada 2 nolu gişede sırada bekleyen müşteri sayısı. Bu iki r.d.
için ortak olasılık fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir.
y\x
0
1
2
3
Toplam
0
0.05
0.20
0
0
0.25
1
0.21
0.26
0.06
0
0.53
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
2
0
0.08
0.07
0.03
0.18
22
3
0
0
0.02
0.02
0.04
Toplam
0.26
0.54
0.15
0.05
1.00
MARJİNAL OLASILIK FONKSİYONU
Ortak olasılık fonksiyonu biliniyorsa, bundan hareketle marjinal ya
da tekil olasılık fonksiyonları elde edilebilir.
X’in marjinal olasılık fonksiyonu:
X
f (x) =
f (x, y)
y
Y ’nin marjinal olasılık fonksiyonu:
X
f (y) =
f (x, y)
x
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
23
KOŞULLU OLASILIK FONKSİYONU
Ortak olasılık fonksiyonu biliniyorsa, bundan hareketle koşullu
olasılık fonksiyonları elde edilebilir.
Y = y verilmişken X’in koşullu olasılık fonksiyonu:
f (x|y) =
f (x, y)
f (y)
X = x verilmişken Y ’nin koşullu olasılık fonksiyonu:
f (y|x) =
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
f (x, y)
f (x)
24
BAĞIMSIZLIK
X ve Y r.d.’lerinin istatistik bakımından bağımsız olduğunu
söyleyebilmemiz için aşağıdaki koşulun sağlanması gerekir:
f (x, y) = f (x)f (y)
Başka bir deyişle
f (x|y) = f (x),
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
vef (y|x) = f (y)
25
KOVARYANS
g(X, Y ), X ve Y r.d.’lerinin herhangi bir fonksiyonunu ifade etsin.
Bu fonksiyonun beklenen değeri:
XX
E [g(X, Y )] =
g(x, y)f (x, y)
x
y
g(X, Y ) = (X − µx )(Y − µy ) olsun. Bu fonksiyonun beklenen
değerine KOVARYANS denir:
XX
Cov (X, Y ) =
(x − µx )(y − µy )f (x, y)
x
y
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
26
SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK
DAĞILIMLARI
X sürekli bir r.d. ise verilmiş bir aralıkta herhangi bir değeri
alabilir. Bir sürekli rassal değişkenin belli bir değere eşit olma
olasılığından (kesikli r.d. gibi) bahsedemeyiz. Ancak verilmiş bir
aralık içine düşme olasılıklarını bulabiliriz.
f (x): olasılık yoğunluk fonksiyonu. Özellikleri:
f (x) ≥ 0
R∞
−∞ f (x)dx = 1
P r(a < X < b) =
Rb
a
f (x)dx
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
27
SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK
DAĞILIMLARI
X sürekli bir r.d. ise verilmiş bir aralıkta herhangi bir değeri
alabilir. Bir sürekli rassal değişkenin belli bir değere eşit olma
olasılığından (kesikli r.d. gibi) bahsedemeyiz. Ancak verilmiş bir
aralık içine düşme olasılıklarını bulabiliriz.
f (x): olasılık yoğunluk fonksiyonu. Özellikleri:
f (x) ≥ 0
R∞
−∞ f (x)dx = 1
P r(a < X < b) =
Rb
a
f (x)dx
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
27
SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK
DAĞILIMLARI
X sürekli bir r.d. ise verilmiş bir aralıkta herhangi bir değeri
alabilir. Bir sürekli rassal değişkenin belli bir değere eşit olma
olasılığından (kesikli r.d. gibi) bahsedemeyiz. Ancak verilmiş bir
aralık içine düşme olasılıklarını bulabiliriz.
f (x): olasılık yoğunluk fonksiyonu. Özellikleri:
f (x) ≥ 0
R∞
−∞ f (x)dx = 1
P r(a < X < b) =
Rb
a
f (x)dx
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
27
Örnek Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
f(x)
P(a <X <b) =
0
a
Rb
a
b
f(x)dx
x
BİRİKİMLİ OLASILIK FONKSİYONU
X sürekli r.d. için birikimli olasılık fonksiyonu, ya da dağılım
fonksiyonu, X’in belli bir x değerini aşmama olasılığı olarak
tanımlanır ve F (x) ile gösterilir.
Z x
f (t)dt
F (x) = P (X ≤ x) =
−∞
oyf ile dağılım fonksiyonu arasındaki ilişki:
f (x) =
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
dF (x)
dx
29
BİRİKİMLİ OLASILIK FONKSİYONU
F (x)’in özellikleri:
F (−∞) = 0,
F (+∞) = 1
Buna göre F (x), x’in azalmayan bir fonksiyonudur. x1 ≤ x2 olmak
üzere F (x1 ) ≤ F (x2 ).
Z b
f (x)dx
P (a < X < b) = F (b) − F (a) =
a
P (−∞ < X < +∞) = P (−∞ < X < a)+P (a < X < b)+P (b < X < +
Z +∞
Z b
Z a
Z ∞
f (x)dx
f (x)dx +
f (x)dx +
f (x)dx =
−∞
−∞
a
b
F (+∞)−F (−∞) = [F (a)−F (−∞)]+P (a < X < b)+[F (+∞)−F (b)]
1 = F (a) − 0 + P (a < X < b) + 1 − F (b)
P (a < X < b) = F (b) − F (a)
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
30
Örnek oyf ve Birikimli oyf
f(x)
F (+∞
) −F (b ) = 1 −F (b )
F (a) −F (−∞
) = F (a)
Rb
a
0
a
f(x)dx = F (b ) −F (a)
b
x
SÜREKLİ r.d.’lerin BEKLENEN DEĞERLERİ
E(X) ≡ µx =
Z
∞
xf (x)dx
−∞
g(x), X’in bir fonksiyonu ise,
E(g(X)) =
Var(X) =
Z
Z
∞
g(x)f (x)dx
−∞
∞
−∞
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
(x − µx )2 f (x)dx
32
Varyans
İntegral özellikleri kullanılarak V ar(X) aşağıdaki gibi yazılabilir:
Z ∞
2
(x − µx )2 f (x)dx
Var(X) = E (X − E(X)) ≡
−∞
Z ∞
Z ∞
Z ∞
x2 f (x)dx + µ2x
f (x)dx − 2µx
=
xf (x)dx
=
Z
−∞
∞
x2 f (x)dx −
−∞
2
= E(X ) − µ2x
Z
−∞
∞
xf (x)dx
−∞
−∞
2
R∞
R∞
Burada −∞ f (x)dx = 1 ve −∞ xf (x)dx = E(X) ≡ µx
özelliklerini kullandık. Bunu kesikli r.d.ler için de göstermiştik.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
33
Sürekli r.d.’lerin MOMENTLERİ
Tanım: Sürekli r.d. X’in knci momenti
Z
k
xk f (x)dx
µk = E(X ) =
k = 0, 1, 2, ...
x∈X
1.
2.
3.
4.
moment
moment
moment
moment
µ1
µ2
µ3
µ4
=
=
=
=
E(X)
E(X 2 )
E(X 3 )
E(X 4 )
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
34
=⇒ populasyon ortalaması
= V ar(X) + µ21
Sürekli r.d.’lerin MERKEZİ MOMENTLERİ
Tanım: Sürekli r.d. X’in knci merkezi momenti
Z
k
(x − µ1 )k f (x)dx k = 0, 1, 2, ...
mk = E((X − µ1 ) ) =
x∈X
1.
2.
3.
4.
merkezi
merkezi
merkezi
merkezi
moment
moment
moment
moment
m1
m2
m3
m4
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
=
=
=
=
35
0
E((X − µ1 )2 )
E((X − µ1 )3 )
E((X − µ1 )4 )
= V ar(X)
BEKLENTİ İŞLEMCİSİNİN ÖZELLİKLERİ
Doğrusallık: X rassal değişkeninin doğrusal bir fonksiyonu
Y = a + bX olsun. Y ’nin beklenen değeri:
E[Y ] = E[a + bX] = a + bE(X)
X1 , X2 , . . . , Xn rassal değişkenlerinin aşağıdaki gibi bir
fonksiyonu tanımlanıyor:
Y = b1 X1 + bn X2 + . . . + bn Xn
Y ’nin beklenen değeri:
E[Y ] = b1 E[X1 ] + b2 E[X2 ] + . . . + bn E[Xn ]
ya da kısaca
E(Y ) = E
n
X
bi Xi
i=1
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
36
!
=
n
X
i=1
bi E(Xi )
BEKLENTİ İŞLEMCİSİNİN ÖZELLİKLERİ
Doğrusallık: X rassal değişkeninin doğrusal bir fonksiyonu
Y = a + bX olsun. Y ’nin beklenen değeri:
E[Y ] = E[a + bX] = a + bE(X)
X1 , X2 , . . . , Xn rassal değişkenlerinin aşağıdaki gibi bir
fonksiyonu tanımlanıyor:
Y = b1 X1 + bn X2 + . . . + bn Xn
Y ’nin beklenen değeri:
E[Y ] = b1 E[X1 ] + b2 E[X2 ] + . . . + bn E[Xn ]
ya da kısaca
E(Y ) = E
n
X
bi Xi
i=1
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
36
!
=
n
X
i=1
bi E(Xi )
BEKLENTİ İŞLEMCİSİNİN ÖZELLİKLERİ
X’in doğrusal olmayan bir fonksiyonu için genellikle
E[h(X)] 6= h(E(X))
Örneğin, E(X 2 ) 6= (E(X))2 , E(ln(X)) 6= ln(E(X))
X ve Y gibi iki r.d. için
E
X
Y
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
6=
37
E(X)
E(Y )
BEKLENTİ İŞLEMCİSİNİN ÖZELLİKLERİ
X’in doğrusal olmayan bir fonksiyonu için genellikle
E[h(X)] 6= h(E(X))
Örneğin, E(X 2 ) 6= (E(X))2 , E(ln(X)) 6= ln(E(X))
X ve Y gibi iki r.d. için
E
X
Y
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
6=
37
E(X)
E(Y )
BEKLENTİ İŞLEMCİSİNİN ÖZELLİKLERİ
X’in doğrusal olmayan bir fonksiyonu için genellikle
E[h(X)] 6= h(E(X))
Örneğin, E(X 2 ) 6= (E(X))2 , E(ln(X)) 6= ln(E(X))
X ve Y gibi iki r.d. için
E
X
Y
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
6=
37
E(X)
E(Y )
VARYANSIN ÖZELLİKLERİ
Herhangi bir c sabit sayısı için
Var(c) = 0
Y = bX’in varyansı, b sabit
Var(Y ) = Var(bX) = b2 Var(X)
Y = a + bX’in varyansı
Var(Y ) = Var(a + bX) = b2 Var(X)
X ve Y iki bağımsız r.d. ise
Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y )
Var(X − Y ) = Var(X) + Var(Y )
Bu kural n r.d. için genelleştirilebilir.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
38
VARYANSIN ÖZELLİKLERİ
Herhangi bir c sabit sayısı için
Var(c) = 0
Y = bX’in varyansı, b sabit
Var(Y ) = Var(bX) = b2 Var(X)
Y = a + bX’in varyansı
Var(Y ) = Var(a + bX) = b2 Var(X)
X ve Y iki bağımsız r.d. ise
Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y )
Var(X − Y ) = Var(X) + Var(Y )
Bu kural n r.d. için genelleştirilebilir.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
38
VARYANSIN ÖZELLİKLERİ
Herhangi bir c sabit sayısı için
Var(c) = 0
Y = bX’in varyansı, b sabit
Var(Y ) = Var(bX) = b2 Var(X)
Y = a + bX’in varyansı
Var(Y ) = Var(a + bX) = b2 Var(X)
X ve Y iki bağımsız r.d. ise
Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y )
Var(X − Y ) = Var(X) + Var(Y )
Bu kural n r.d. için genelleştirilebilir.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
38
VARYANSIN ÖZELLİKLERİ
Herhangi bir c sabit sayısı için
Var(c) = 0
Y = bX’in varyansı, b sabit
Var(Y ) = Var(bX) = b2 Var(X)
Y = a + bX’in varyansı
Var(Y ) = Var(a + bX) = b2 Var(X)
X ve Y iki bağımsız r.d. ise
Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y )
Var(X − Y ) = Var(X) + Var(Y )
Bu kural n r.d. için genelleştirilebilir.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
38
Sürekli Standart Uniform (Tekdüze) Dağılım
Notasyon: X ∼ U (0, 1), oyf:
1, if 0 < x < 1,
f (x) =
0, otherwise.
1
2
1
Var(X) =
12
E(X) =
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
39
(1)
(Genel) Uniform (Tekdüze) Dağılım
Notasyon: X ∼ U (a, b), oyf:
f (x; a, b) =
1
b−a
if a < x < b,
otherwise.
0,
b−a
2
b−a
M edian =
2
E(X) =
(b − a)2
12
Skewness = 0
Var(X) =
Excess kurtosis = −
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
40
6
5
X ∼ U (a, b) için beklenen değer ve varyans
E(X) =
=
=
=
b
x
dx
a b−a
2
b − a2
1
b−a
2
(b − a)(b + a)
2(b − a)
a+b
2
Z
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
41
X ∼ U (a, b) için g(x) = x2 fonksiyonunun beklenen değerini
bulalım.
Z b
1
E[g(x)] =
x2
b−a
a
3
b − a3
=
3(b − a)
(b − a)(b2 + ab + a2 )
=
3(b − a)
2
a + ab + b2
= E[X 2 ].
=
3
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
42
X ∼ U (a, b) için varyans
Var(X) = E[(X − E(X))2 ] = E(X 2 ) − [E(X)]2
(a2 + ab + b2 ) (a + b)2
=
−
3
4
2
(b − a)
=
12
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
43
U ∼ (a, b) için dağılım fonksiyonu
F (x) = P (X ≤ x)
Z x
1
=
dt
b
−
a
a
t x
=
b − a
a
=
x−a
,
b−a
a ≤ x ≤ b aralığı için
yazılabilir. Öyleyse X ∼ U (a, b)’nin bof’nu şöyle olur:

x < a için;
 0,
x−a
,
a ≤ x ≤ b için;
F (x) =
 b−a
1,
x > b için.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
44
Uniform Dağılım
f(x)
F (x)
1
b −a
0
1
a
b
x
0
a
b
x
ÖRNEK
Aşağıda verilen fonksiyonu düşünelim.
−x
e , 0 < x < ∞ ise;
f (x) =
0,
değilse.
1
Bunun bir oyf olduğunu gösterin.
2
Bu fonksiyunun grafiğini çizin ve X > 1 olasılığı ile ilgili alanı
işaretleyin.
3
P (X > 1) olasılığını hesaplayın.
4
Birikimli olasılık fonksiyonunu bulun.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
46
ÖRNEK
Aşağıda verilen fonksiyonu düşünelim.
−x
e , 0 < x < ∞ ise;
f (x) =
0,
değilse.
1
Bunun bir oyf olduğunu gösterin.
2
Bu fonksiyunun grafiğini çizin ve X > 1 olasılığı ile ilgili alanı
işaretleyin.
3
P (X > 1) olasılığını hesaplayın.
4
Birikimli olasılık fonksiyonunu bulun.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
46
ÖRNEK
Aşağıda verilen fonksiyonu düşünelim.
−x
e , 0 < x < ∞ ise;
f (x) =
0,
değilse.
1
Bunun bir oyf olduğunu gösterin.
2
Bu fonksiyunun grafiğini çizin ve X > 1 olasılığı ile ilgili alanı
işaretleyin.
3
P (X > 1) olasılığını hesaplayın.
4
Birikimli olasılık fonksiyonunu bulun.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
46
ÖRNEK
Aşağıda verilen fonksiyonu düşünelim.
−x
e , 0 < x < ∞ ise;
f (x) =
0,
değilse.
1
Bunun bir oyf olduğunu gösterin.
2
Bu fonksiyunun grafiğini çizin ve X > 1 olasılığı ile ilgili alanı
işaretleyin.
3
P (X > 1) olasılığını hesaplayın.
4
Birikimli olasılık fonksiyonunu bulun.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
46
CEVAP
1
Olasılık yoğunluk fonksiyonları özelliklerini sağlayıp
sağlamadığına bakalım:
1
2
(i) İlk olarak, f (x) ≥ 0 koşulunun 0 < x < ∞ aralığındaki her
x değeri için sağlandığı açıktır.
(ii) Ayrıca, x’in değerler aralığında oyf’nin integralinin 1 olması
gerekir.
Z ∞
e−x dx = 1
0
∞
−e−x 0 = 1
−e−∞ − (−e0 )
0+1
= 1
= 1
−e−∞ = limx→∞ −e−x = 0 olarak düşünülmelidir. Bu koşul
da sağlandığına göre fonksiyon bir oyf’dir.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
47
CEVAP
1
Olasılık yoğunluk fonksiyonları özelliklerini sağlayıp
sağlamadığına bakalım:
1
2
(i) İlk olarak, f (x) ≥ 0 koşulunun 0 < x < ∞ aralığındaki her
x değeri için sağlandığı açıktır.
(ii) Ayrıca, x’in değerler aralığında oyf’nin integralinin 1 olması
gerekir.
Z ∞
e−x dx = 1
0
∞
−e−x 0 = 1
−e−∞ − (−e0 )
0+1
= 1
= 1
−e−∞ = limx→∞ −e−x = 0 olarak düşünülmelidir. Bu koşul
da sağlandığına göre fonksiyon bir oyf’dir.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
47
CEVAP
1
Olasılık yoğunluk fonksiyonları özelliklerini sağlayıp
sağlamadığına bakalım:
1
2
(i) İlk olarak, f (x) ≥ 0 koşulunun 0 < x < ∞ aralığındaki her
x değeri için sağlandığı açıktır.
(ii) Ayrıca, x’in değerler aralığında oyf’nin integralinin 1 olması
gerekir.
Z ∞
e−x dx = 1
0
∞
−e−x 0 = 1
−e−∞ − (−e0 )
0+1
= 1
= 1
−e−∞ = limx→∞ −e−x = 0 olarak düşünülmelidir. Bu koşul
da sağlandığına göre fonksiyon bir oyf’dir.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
47
1
P (X > 1) olasılığı grafikte gösterilmiştir.
2
Z
∞
e−x dx
∞
−e−x P (X > 1) =
1
=
1
= e−1
≈ 0.36787
3
F (x) =
Z
x
e−t dt
x
−e−t 0
0
=
= −e−x + e0
= 1 − e−x
Buradan birikimli olasılık fonksiyonu
0,
x < 0;
F (x) =
1 − e−x , 0 < x < ∞.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
48
1
P (X > 1) olasılığı grafikte gösterilmiştir.
2
Z
∞
e−x dx
∞
−e−x P (X > 1) =
1
=
1
= e−1
≈ 0.36787
3
F (x) =
Z
x
e−t dt
x
−e−t 0
0
=
= −e−x + e0
= 1 − e−x
Buradan birikimli olasılık fonksiyonu
0,
x < 0;
F (x) =
1 − e−x , 0 < x < ∞.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
48
1
P (X > 1) olasılığı grafikte gösterilmiştir.
2
Z
∞
e−x dx
∞
−e−x P (X > 1) =
1
=
1
= e−1
≈ 0.36787
3
F (x) =
Z
x
e−t dt
x
−e−t 0
0
=
= −e−x + e0
= 1 − e−x
Buradan birikimli olasılık fonksiyonu
0,
x < 0;
F (x) =
1 − e−x , 0 < x < ∞.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
48
Üstel (Exponential) Dağılım
oyf : f( x) =e−x
bof : f( x) =1 −e−x
f ( 1x )
F (
1x )
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
P ( X > 1) =
R∞
0.5
1
e
−x
0.6
dx
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
1
2
3
4
5
x
0
0
1
2
3
4
5
x
ORTAK OLASILIK YOĞUNLUK FONKSİYONU
X ve Y , sırasıyla, −∞ < X < +∞ ve −∞ < Y < +∞
aralıklarında tanımlı iki sürekli r.d. olsun. Bu iki r.d. için ortak
olasılık yoğunluk fonksiyonu, f (x, y) ile gösterilir ve aşağıdaki gibi
tanımlanır.
f (x, y) ≥ 0,
Z ∞Z ∞
f (x, y)dxdy = 1,
−∞
−∞
P r(a < X < b, c < Y < d) =
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
50
Z
c
dZ b
a
f (x, y)dxdy.
f (x, y) = xye−(x
fonksiyonu
2 +y 2 )
, x > 0, y > 0, için ortak olasılık yoğunluk
f(x,y)
0.2
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
3
2.5
3
2
2.5
1.5
y
2
1.5
1
1
0.5
0.5
0
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
0
51
x
Örnek
Aşağıda verilen iki değişkenli fonksiyonun bir ortak olasılık
yoğunluk fonksiyonu olmasını sağlayacak k sabit sayısını bulun.
Elde ettiğiniz ooyf’nu kullanarak
P 0 < X < 12 , 1 < Y < 2 olasılığını bulun.
k(x + y), 0 < x < 1, 0 < y < 2 ise;
f (x, y) =
0,
değilse.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
52
Örnek: devam
Öncelikle f (x, y) > 0 koşulunun sağlanabilmesi için k > 0 olmalı.
İkinci koşuldan hareketle
Z 2Z 1
k(x + y)dxdy = 1
0
0
= k
Z
0
2
= 3k = 1
k=
1
3
2
1
1
y 2 + y dy = k
y+
2
2
2 0
bulunur. Öyleyse ooyf
1
3 (x + y), 0 < x < 1, 0 < y < 2 ise;
f (x, y) =
0,
değilse.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
53
İstenen olasılık ooyf’nun altındaki hacim olarak bulunur:
P
Z 2Z 1
2 1
1
=
(x + y) dxdy
0<X < , 1<Y <2
2
1
0 3
Z 1 1
y2
1 2 1 1
+ y dy =
y+
=
3 1
8 2
3 8
4
7
=
24
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
54
MARJİNAL YOĞUNLUK FONKSİYONU
X’in myf:
f (x) =
Z
∞
f (x, y)dy
−∞
İntegralin sınırları y’nin tanım aralığıdır.
Y ’nin myf:
f (y) =
Z
∞
f (x, y)dx
−∞
İntegralin sınırları x’in tanım aralığıdır.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
55
Örnek
Önceki örnekteki ooyf’nu kullanarak X ve Y rassal değişkenlerinin
marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulalım.
f (x) =
=
=
2
1
(x + y)dy
3
0
2
1
y 2 xy +
3
2 0
2
(x + 1)
3
Z
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
56
Örnek: moyf
Böylelikle X için moyf’nu şöyle yazılır:
2
3 (x + 1), 0 < x < 1 ise;
f (x) =
0,
degilse.
Benzer şekilde Y ’nin moyf’nu
1
1
3 (y + 2 ), 0 < y < 2 ise;
g(y) =
0,
degilse.
olur.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
57
KOŞULLU OLASILIK YOĞUNLUK FONKSİYONU
Y = y değeri verilmişken X’in koşullu yoğunluk fonksiyonu:
f (x|y) =
f (x, y)
f (y)
Benzer şekilde X = x verilmişken Y ’nin koşullu yoğunluk
fonksiyonu
f (x, y)
f (y|x) =
f (x)
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
58
BAĞIMSIZLIK
Hatırlarsak aşağıdaki koşul sağlanıyorsa A ve B bağımsız olaylardır
denir:
P (A ∩ B) = P (A)P (B)
Benzer şekilde X ve Y iki bağımsız sürekli r.d. ise
f (x, y) = f (x)f (y)
koşulu sağlanmalıdır.
i.e., ortak yoğunluk fonksiyonu, marjinal yoğunlukların çarpımı
olarak yazılabiliyorsa bu iki r.d. birbirinden bağımsızdır.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
59
BAĞIMSIZLIK
Önceki koşul genelleştirilebilir.
X1 , X2 , . . . , Xn rassal değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk
fonksiyonu marjinal yoğunluk fonksiyonlarının çarpımı olarak
yazılabiliyorsa
f (x1 , x2 , . . . , xn ) = f1 (x1 ) · f2 (x2 )·, . . . , ·fn (xn )
n
Y
fj (xj )
=
j=1
bu rassal değişkenler birbirinden bağımsızdır denir. Bu özellik
kullanılarak Maksimum Olabilirlik (Maximum Likelihood) tahmin
edicileri türetilebilmektedir. Bu konuya Tahmin Yöntemleri başlığı
altında değineceğiz.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
60
BAĞIMSIZLIK ÖRNEK
Önceki örnekteki ortak oyf ve marjinal oyf’nı kullanarak X ve
Y ’nin bağımsız olup olmadığını bulalım.
1
1
2
(x + 1) (y + )
3
3
2
6= f (x, y)
f (x)g(x) =
olduğundan X ve Y rassal değişkenleri bağımsız değildir.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
61
BAĞIMSIZLIK ÖRNEK
Aşağıda verilen ooyf’nu kullanarak moyf’nı bularak bağımsız olup
olmadıklarına karar verelim.
1
9 , 1 < x < 4, 1 < y < 4 ise;
f (x, y) =
0, degilse.
Marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonları
Z 4
1
1
dy =
f (x) =
3
1 9
g(y) =
Z
1
Buradan
4
1
1
dx =
9
3
1
f (x, y) = = f (x)g(y) =
9
1
1
3
3
koşulu sağlandığı için X ve Y rassal değişkenleri bağımsızdır.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
62
NORMAL DAĞILIM
Notasyon: X ∼ N (µ, σ 2 )
1
1
2
f (x; µ, σ ) = √ exp − 2 (x − µ) ,
2σ
σ 2π
2
E(X) = µ
Var(X) = σ 2
skewness = 0
kurtosis = 3
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
63
−∞ < x < ∞
Normal Dağılım oyf, σ 2 = 1, farklı lokasyon parametreleri
(µ)
2
Normal Dagilim, σ =1
0.4
µ=2
µ=0
µ=5
0.35
µ = −2
0.3
µ = −5
φ(x)
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−10
−8
−6
−4
−2
0
x
2
4
6
8
10
Normal Dağılım oyf, µ = 0, farklı varyans (scale)
parametreleri
Normal Dagilim, µ=0
0.4
0.35
2
σ = 1, µ = 0
0.3
φ(x)
0.25
0.2
2
σ = 2, µ = 0
0.15
0.1
2
σ = 3, µ = 0
0.05
0
−10
−8
−6
−4
−2
0
x
2
4
6
8
10
STANDART NORMAL DAĞILIM
Z=
X−µ
σ ,
1 2
1
φ(z) = √ exp − z ,
2
2π
−∞ < z < ∞
E(Z) = 0
Var(Z) = 1
Birikimli dağılım fonksiyonu:
Φ(z) = P (Z ≤ z) =
Z
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
z
−∞
1
1 2
√ exp − t dt
2
2π
66
STANDART NORMAL DAGILIM φ(z)
STANDART NORMAL DAGILIM Φ(z)
0.4
1
0.9
0.35
0.8
0.3
0.7
0.25
0.6
0.2
0.5
0.4
0.15
0.3
0.1
0.2
0.05
0.1
0
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
0
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
NORMAL DAĞILIM OLASILIKLARININ HESAPLANMASI
X ∼ N (µ, σ 2 ) olsun. Aşağıdaki olasılığı hesaplamak istiyoruz:
P (a < X < b) =
Z
b
a
1
1
2
√ exp − 2 (x − µ) dx
2σ
σ 2π
Bu integralin açık bir çözümü yoktur. Ancak nümerik yöntemlerle
istenen kesinlik düzeyinde hesaplanabilir. Bunun için her seferinde
bilgisayarda hesap yapmak yerine, standart normal dağılım
tablolarını kullanabiliriz. İstenen olasılığı aşağıdaki gibi yazalım:
X −µ
b−µ
b−µ
a−µ
a−µ
<
<
<Z<
=P
P
σ
σ
σ
σ
σ
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
68
NORMAL DAĞILIM OLASILIKLARININ HESAPLANMASI
P
a−µ
b−µ
<Z<
σ
σ
=Φ
b−µ
σ
−Φ
a−µ
σ
Burada Φ(z) = P (Z ≤ z) standart normal dağılımın z’deki
değeridir.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
69
NORMAL DAĞILIM OLASILIKLARININ HESAPLANMASI
Bu tabloda sadece pozitif değerler için dağılım fonksiyonu değerleri
verilmiştir. Negatif değerler için Φ(z) = P (Z ≤ z)’nin simetri
özelliği kullanılabilir:
Φ(−z) = P (Z ≤ −z)
= P (Z ≥ z)
= 1 − P (Z ≤ z)
= 1 − Φ(z)
e.g.:
P (Z ≤ −1.25) = Φ(−1.25)
= 1 − Φ(1.25)
= 1 − 0.8944 = 0.1056
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
70
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
0.4
0.35
P(−1.25<Z<1.25) = Φ(1.25) −
Φ(−1.25)
= Φ(1.25) − (1−Φ(1.25))
= 0.8944 − 0.1056 = 0.7888
0.3
0.25
0.2
0.15
1 − Φ(1.25) = 0.1056
0.1
Φ(−1.25) = 0.1056
0.05
0
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
MERKEZİ LİMİT TEOREMİ (CENTRAL LIMIT
THEOREM)
X1 , X2 , . . . , Xn herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı
dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun. Başka bir şekilde ifade
etmek istersek:
Xi ∼ i.i.d (µ, σ 2 ),
i = 1, 2, . . . , n
iid: türdeş (identical), ve bağımsız (independent) dağılımlı
Burada dağılımın ne olduğunu belirtmediğimize dikkat edin. Bu
r.d.’lerin toplamlarının beklenen değeri ve varyansı:
E[X1 + X2 + . . . + Xn ] = E[X1 ] + E[X2 ] + . . . + E[Xn ] = nµ
Var[X1 +X2 +. . .+Xn ] = Var[X1 ]+Var[X2 ]+. . .+Var[Xn ] = nσ 2
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
73
MERKEZİ LİMİT TEOREMİ (CENTRAL LIMIT
THEOREM)
Bu r.d.’lerin toplamına X diyelim. Yani, X = X1 + X2 + . . . + Xn
Z =
=
=
X − E(X)
X − nµ
p
= √
Var(X)
nσ 2
X
n −µ
n1/2
n σ
X −µ
√ ∼ N (0, 1)
σ/ n
MLT’ye göre gözlem sayısı arttıkça, yani, n → ∞, yukarıdaki ifade
standart normal dağılıma yakınsar, yani, Z → N (0, 1)
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
74
MERKEZİ LİMİT TEOREMİ
n= 1
n= 2
n= 3
2000
4000
4000
1500
3000
3000
1000
2000
2000
500
1000
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
1000
0
0.2
0.4
n= 10
0.6
0.8
1
0
0
0.2
0.4
n= 30
6000
0.6
0.8
1
n= 50
5000
6000
4000
4000
4000
3000
2000
2000
2000
1000
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
n= 75
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0
n= 1000
6000
6000
6000
4000
4000
4000
2000
2000
2000
0
0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65
0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65
n= 100
0
0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65
0
0.44
0.46
0.48
0.5
0.52
0.54
0.56
BÜYÜK SAYILAR KANUNU (LAW of LARGE NUMBERS)
Merkezi Limit Teoremi, Büyük Sayılar Kanunu ile yakından
ilişkilidir. Büyük Sayılar Kanununa göre, türdeş dağılımlı (aynı
anakütle beklenen değeri µ ve varyansına σ 2 sahip), birbirinden
bağımsız ve sonlu varyanslı n r.d.’in aritmetik ortalaması (örneklem
ortalaması) n büyüdükçe anakütle ortalamasına yakınsar.
X n = n1 (X1 + X2 + . . . + Xn ) örneklem ortalaması olsun. Büyük
sayılar yasasına göre
n −→ ∞,
X n −→ µ
Başka bir deyişle, istediğimiz kadar küçük seçebileceğimiz gibi
pozitif herhangi bir sayı için:
lim P |X n − µ| < = 1
n→∞
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
76
MERKEZİ LİMİT TEOREMİ ÖRNEK
X1 , X2 , . . . , X12 birbirinden bağımsız ve herbiri U ∼ (0, b), b > 0
dağılımına sahip rassal değişkenler olsun. Merkezi Limit Teoremini
kullanarak P ( 4b < X < 3b
4 ) olasılığının yaklaşık 0.9973 olduğunu
gösterelim.
CEVAP: Bu 12 bağımsız r.d. uniform anakütleden geldiğine göre
önce anakütledeki ortalama ve varyansı bulmamız gerekir.
Uniform(a, b) dağılım için beklenen değer ve varyans
µx =
b+a
,
2
σx2 =
(b − a)2
12
olduğuna göre, örneğimizde
b
µx = ,
2
σx2 =
olur.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
77
b2
12
MERKEZİ LİMİT TEOREMİ: Örnek
σx2
b2
=
n
144
CEVAP (devam): MLT’yi kullanarak:
Var(X) =
P
3b
b
<X<
4
4
= P
b
4
−
b
2
b
12
X − µx
<
< p
σx2 /n
3b
4
−
b
12
b
2
!
= P (−3 < Z < 3) = Φ(3) − (1 − Φ(3))
= 0.99865 − (1 − 0.99865) = 0.9973
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
78
Student t Dağılımı
TANIM: Z ve Y şu şekilde dağılan birbirinden bağımsız iki r.d.
olsun: Z ∼ N (0, 1), ve Y ∼ χ2ν . Aşağıda tanımlanan r.d. ν
serbestlik derecesi ile Student t Dağılımına uyar.
tν = p
Z
∼ tν
Y /ν
tν rassal değişkeni ν s.d. ile Student t dağılımına uyar. Buradaki ν
s.d. paydada yer alan ki-kare r.d.’nin serbestlik derecesidir.
ν serbestlik derecesine sahip Student t Dağılımının o.y.f.:
Γ ν+1
1
2√
, −∞ < t < ∞
f (t) =
Γ(ν/2) πν (1 + (t2 /ν))(ν+1)/2
Tek parametreli (ν) ve simetrik bir dağılımdır. E(tν ) = 0 ve
ν ≥ 3 için Var(tν ) = ν/(ν − 2)
ν → ∞, tν → N (0, 1)
İzleyen grafikler çeşitli s.d.ne sahip t yoğunluklarını std normal
ile karşılaştırmalı olarak göstermektedir.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
79
Student t Dağılımı
TANIM: Z ve Y şu şekilde dağılan birbirinden bağımsız iki r.d.
olsun: Z ∼ N (0, 1), ve Y ∼ χ2ν . Aşağıda tanımlanan r.d. ν
serbestlik derecesi ile Student t Dağılımına uyar.
tν = p
Z
∼ tν
Y /ν
tν rassal değişkeni ν s.d. ile Student t dağılımına uyar. Buradaki ν
s.d. paydada yer alan ki-kare r.d.’nin serbestlik derecesidir.
ν serbestlik derecesine sahip Student t Dağılımının o.y.f.:
Γ ν+1
1
2√
, −∞ < t < ∞
f (t) =
Γ(ν/2) πν (1 + (t2 /ν))(ν+1)/2
Tek parametreli (ν) ve simetrik bir dağılımdır. E(tν ) = 0 ve
ν ≥ 3 için Var(tν ) = ν/(ν − 2)
ν → ∞, tν → N (0, 1)
İzleyen grafikler çeşitli s.d.ne sahip t yoğunluklarını std normal
ile karşılaştırmalı olarak göstermektedir.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
79
Student t Dağılımı
TANIM: Z ve Y şu şekilde dağılan birbirinden bağımsız iki r.d.
olsun: Z ∼ N (0, 1), ve Y ∼ χ2ν . Aşağıda tanımlanan r.d. ν
serbestlik derecesi ile Student t Dağılımına uyar.
tν = p
Z
∼ tν
Y /ν
tν rassal değişkeni ν s.d. ile Student t dağılımına uyar. Buradaki ν
s.d. paydada yer alan ki-kare r.d.’nin serbestlik derecesidir.
ν serbestlik derecesine sahip Student t Dağılımının o.y.f.:
Γ ν+1
1
2√
, −∞ < t < ∞
f (t) =
Γ(ν/2) πν (1 + (t2 /ν))(ν+1)/2
Tek parametreli (ν) ve simetrik bir dağılımdır. E(tν ) = 0 ve
ν ≥ 3 için Var(tν ) = ν/(ν − 2)
ν → ∞, tν → N (0, 1)
İzleyen grafikler çeşitli s.d.ne sahip t yoğunluklarını std normal
ile karşılaştırmalı olarak göstermektedir.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
79
Student t Dağılımı
TANIM: Z ve Y şu şekilde dağılan birbirinden bağımsız iki r.d.
olsun: Z ∼ N (0, 1), ve Y ∼ χ2ν . Aşağıda tanımlanan r.d. ν
serbestlik derecesi ile Student t Dağılımına uyar.
tν = p
Z
∼ tν
Y /ν
tν rassal değişkeni ν s.d. ile Student t dağılımına uyar. Buradaki ν
s.d. paydada yer alan ki-kare r.d.’nin serbestlik derecesidir.
ν serbestlik derecesine sahip Student t Dağılımının o.y.f.:
Γ ν+1
1
2√
, −∞ < t < ∞
f (t) =
Γ(ν/2) πν (1 + (t2 /ν))(ν+1)/2
Tek parametreli (ν) ve simetrik bir dağılımdır. E(tν ) = 0 ve
ν ≥ 3 için Var(tν ) = ν/(ν − 2)
ν → ∞, tν → N (0, 1)
İzleyen grafikler çeşitli s.d.ne sahip t yoğunluklarını std normal
ile karşılaştırmalı olarak göstermektedir.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
79
t Dağılımı
0.4
Standart Normal
tν ν=1
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
t Dağılımı
0.4
Standart Normal
tν ν=1
tν ν=2
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
t Dağılımı
0.4
Standart Normal
t ν=1
ν
t ν=2
ν
0.35
tν ν=3
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
t Dağılımı
0.4
Standart Normal
t ν=1
ν
t ν=2
ν
0.35
t ν=3
ν
t ν=4
ν
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
t Dağılımı
0.4
Standart Normal
t ν=1
ν
tν ν=2
0.35
t ν=3
ν
t ν=4
ν
t ν=5
0.3
ν
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
t Dağılımı
0.4
Standart Normal
t ν=1
ν
t ν=2
ν
0.35
t ν=3
ν
t ν=4
ν
t ν=5
0.3
ν
t ν=10
ν
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
t Dağılımı
0.4
Standart Normal
t ν=1
ν
t ν=2
ν
0.35
t ν=3
ν
tν ν=4
t ν=5
0.3
ν
t ν=10
ν
tν ν=20
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
t Dağılımı
0.4
Standart Normal
t ν=1
ν
tν ν=2
0.35
t ν=3
ν
t ν=4
ν
t ν=5
0.3
ν
t ν=10
ν
tν ν=20
t ν=30
0.25
ν
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
Student t Dağılımı
Olasılıkların hesaplanması:
tν , ν s.d. ile Student t dağılımına uyan bir rassal değikeni ifade
etsin. tν,α aşağıdaki eşitliği sağlayan sayı olarak tanımlanır:
P (tν > tν,α ) = α
Örneğin ν = 5 ve α = 0.05 için yukarıdaki eşitliği sağlayan sayı
tν,α = 2.015’dir:
P (t5 > 2.015) = 0.05
Standart Normal dağılımla karşılaştırırsak:
P (Z > 2.015) ≈ 1 − 0.9781 = 0.0219
Ya da eşik değerlerini karşılaştırırsak:
P (Z > 1.645) = 0.05
Burada 2.015 > 1.645 olduğuna dikkat edin. Genel olarak
tν,α ≥ zα yazılabilir. P (Z > zα ) = α olduğunu hatırlayın.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
88
t Dağılımı
5 s.d. Student t dagilimi
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
P(t5>2.015)=α=0.05
1−α
0.05
α
0
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
t
5 5
STUDENT t DAĞILIMI
Olasılıkların hesaplanması:
Küçük örneklemlerde Student t dağılımı Normal Dağılıma göre
daha yayvandır. Bu nedenle kuyruk olasılıkları daha büyüktür. ν
büyüdükçe bu olasılıklar birbirine yaklaşır. Örneğin ν = 60 için
P (t60 > 1.671) = 0.05,
ve P (Z > 1.671) =≈ 1−0.9525 = 0.0475
Yani, ν → ∞, tν,α → zα
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
90
t Dağılımı
5 s.d. t dagilimi ve standard normal dagilim
0.4
0.35
Std Normal
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
t5
0.05
0
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
STUDENT t DAĞILIMI
Olasılıkların hesaplanması (Ek Çizelge 6, s.941):
ν serbestlik derecesine sahip bir t rassal değişkeninin %100(1 − α)
olasılıkla içinde yer alacağı iki değer bulmak istiyoruz. t eşik
değerleri tablosundan ve simetri özelliğinden hareketle
α
α
P tν > tν,α/2 = , ve P tν < −tν,α/2 =
2
2
Olasılık parantezi içinde yer alan olaylar birbiriyle bağdaşmaz ve
bütünü kapsayıcı olduğuna göre:
P (−tν,α/2 < tν < tν,α/2 ) = 1 − P (tν > tν,α/2 ) − P (tν < −tν,α/2 )
α α
= 1− −
2
2
= 1−α
Örneğin ν = 10 ve 1 − α = 0.95 için t10,0.025 = 2.228,
P (t10 > 2.228) = 0.025 ve P (t10 < −2.228) = 0.025, buradan
P (−2.228 < t10 < 2.228) = 1 − 0.025 − 0.025 = 0.95
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
92
t Dağılımı
10 s.d. Student t dagilimi
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
P(−2.228<t <2.228) = 1−α
10
0.05
0
−5
α = 0.025
−4
α = 0.025
1−α = 0.95
−3
−2
−2.228
−1
0
1
2
2.228
3
4
5
Ki-kare Dağılımı
Standart normal dağılan bir rassal değişkenin karesi 1
serbestlik derecesi ile ki-kare dağılımına uyar:
If Z ∼ N (0, 1) then Z 2 ∼ χ21
Birbirinden bağımsız n standart normal rassal değişken n
serbestlik derecesi ile ki-kare dağılımına uyar:
n
X
Zi2 ∼ χ2n
If Zi ∼ i.i.d. N (0, 1) i = 1, 2, . . . , n then
i=1
Ki-kare dağılımının bir parametresi vardır: ν (nu) serbestlik
derecesi. χ2ν için olasılık yoğunluk fonksiyonu:
1
xν/2−1 e−x/2 , x > 0, ν > 0
f (x) = ν/2
2 Γ(ν/2)
where Γ: gamma fonksiyonu:
Z ∞
Γ(α) =
xα−1 e−x dx, α > 0
0
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
94
Ki-kare Dağılımı
Standart normal dağılan bir rassal değişkenin karesi 1
serbestlik derecesi ile ki-kare dağılımına uyar:
If Z ∼ N (0, 1) then Z 2 ∼ χ21
Birbirinden bağımsız n standart normal rassal değişken n
serbestlik derecesi ile ki-kare dağılımına uyar:
n
X
Zi2 ∼ χ2n
If Zi ∼ i.i.d. N (0, 1) i = 1, 2, . . . , n then
i=1
Ki-kare dağılımının bir parametresi vardır: ν (nu) serbestlik
derecesi. χ2ν için olasılık yoğunluk fonksiyonu:
1
xν/2−1 e−x/2 , x > 0, ν > 0
f (x) = ν/2
2 Γ(ν/2)
where Γ: gamma fonksiyonu:
Z ∞
Γ(α) =
xα−1 e−x dx, α > 0
0
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
94
Ki-kare Dağılımı
Standart normal dağılan bir rassal değişkenin karesi 1
serbestlik derecesi ile ki-kare dağılımına uyar:
If Z ∼ N (0, 1) then Z 2 ∼ χ21
Birbirinden bağımsız n standart normal rassal değişken n
serbestlik derecesi ile ki-kare dağılımına uyar:
n
X
Zi2 ∼ χ2n
If Zi ∼ i.i.d. N (0, 1) i = 1, 2, . . . , n then
i=1
Ki-kare dağılımının bir parametresi vardır: ν (nu) serbestlik
derecesi. χ2ν için olasılık yoğunluk fonksiyonu:
1
xν/2−1 e−x/2 , x > 0, ν > 0
f (x) = ν/2
2 Γ(ν/2)
where Γ: gamma fonksiyonu:
Z ∞
Γ(α) =
xα−1 e−x dx, α > 0
0
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
94
Ki-kare Dağılımı
χ2ν , ν serbestlik derecesi ile ki-kare dağılan bir rassal değişken
olsun. Bu rassal değişkenin beklenen değer ve varyansı:
E(χ2ν ) = ν ve Var(χ2ν ) = 2ν
Normal dağılan bir popülasyon için:
Pn
2
(n − 1)s2
i=1 (Xi − X)
=
∼ χ2n−1
σ2
σ2
Serbestlik derecesi: n ortalamadan sapma, (Xi − X), bilgisi
(n − 1) matematiksel bağımsız bileşene eşdeğerdir.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
95
Ki-kare Dağılımı
χ2ν , ν serbestlik derecesi ile ki-kare dağılan bir rassal değişken
olsun. Bu rassal değişkenin beklenen değer ve varyansı:
E(χ2ν ) = ν ve Var(χ2ν ) = 2ν
Normal dağılan bir popülasyon için:
Pn
2
(n − 1)s2
i=1 (Xi − X)
=
∼ χ2n−1
σ2
σ2
Serbestlik derecesi: n ortalamadan sapma, (Xi − X), bilgisi
(n − 1) matematiksel bağımsız bileşene eşdeğerdir.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
95
Ki-kare Dağılımı
χ2ν , ν serbestlik derecesi ile ki-kare dağılan bir rassal değişken
olsun. Bu rassal değişkenin beklenen değer ve varyansı:
E(χ2ν ) = ν ve Var(χ2ν ) = 2ν
Normal dağılan bir popülasyon için:
Pn
2
(n − 1)s2
i=1 (Xi − X)
=
∼ χ2n−1
σ2
σ2
Serbestlik derecesi: n ortalamadan sapma, (Xi − X), bilgisi
(n − 1) matematiksel bağımsız bileşene eşdeğerdir.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
95
Ki-kare Dağılımı
Sağa çarpık bir dağılımdır. Yani sağ kuyruğu sol kuyruğa göre
daha uzundur. Bu nedenle üçüncü momenti pozitiftir.
Serbestlik derecesi parametresi ν büyüdükçe daha simetrik
dağılır. Limitte normal dağılıma yakınsar.
Ki-kare olasılıkları uygun tablolar ya da bilgisayar aracılığıyla
kolayca hesaplanabilir.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
96
Ki-kare Dağılımı
Sağa çarpık bir dağılımdır. Yani sağ kuyruğu sol kuyruğa göre
daha uzundur. Bu nedenle üçüncü momenti pozitiftir.
Serbestlik derecesi parametresi ν büyüdükçe daha simetrik
dağılır. Limitte normal dağılıma yakınsar.
Ki-kare olasılıkları uygun tablolar ya da bilgisayar aracılığıyla
kolayca hesaplanabilir.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
96
Ki-kare Dağılımı
Sağa çarpık bir dağılımdır. Yani sağ kuyruğu sol kuyruğa göre
daha uzundur. Bu nedenle üçüncü momenti pozitiftir.
Serbestlik derecesi parametresi ν büyüdükçe daha simetrik
dağılır. Limitte normal dağılıma yakınsar.
Ki-kare olasılıkları uygun tablolar ya da bilgisayar aracılığıyla
kolayca hesaplanabilir.
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
96
Ki-kare dağılımı
ν serbestlik dereceli ki−kare dagilimi
0.5
0.45
0.4
ν=2
0.35
0.3
0.25
ν=4
0.2
ν=6
0.15
ν = 12
0.1
0.05
0
0
5
10
15
20
25
30
Ki-kare dağılımı
ν=10 serbestlik dereceli ki−kare dagiliminin olasilik yog.fonks.
0.1
0.09
0.08
0.07
2
f(χ10)
0.06
0.05
0.04
2
0.03
P(χ10>15.99) = 0.10
0.02
0.01
0
0
5
10
15
20
25
χ2(10)
30
F Dağılımı
X1 ∼ χ2k1 ve X2 ∼ χ2k2 birbirinden bağımsız ki-kare dağılımına
uyan iki rassal değişken olsun:
Aşağıda tanımlanan rassal değişken k1 ve k2 serbestlik
dereceleri ile F dağılımına uyar:
F =
X1 /k1
∼ F (k1 , k2 )
X2 /k2
F dağılımının iki parametresi vardır:
k1 payın serbestlik derecesi
k2 paydaın serbestlik derecesi
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
99
F Dağılımı
X1 ∼ χ2k1 ve X2 ∼ χ2k2 birbirinden bağımsız ki-kare dağılımına
uyan iki rassal değişken olsun:
Aşağıda tanımlanan rassal değişken k1 ve k2 serbestlik
dereceleri ile F dağılımına uyar:
F =
X1 /k1
∼ F (k1 , k2 )
X2 /k2
F dağılımının iki parametresi vardır:
k1 payın serbestlik derecesi
k2 paydaın serbestlik derecesi
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
99
F Dağılımı
X1 ∼ χ2k1 ve X2 ∼ χ2k2 birbirinden bağımsız ki-kare dağılımına
uyan iki rassal değişken olsun:
Aşağıda tanımlanan rassal değişken k1 ve k2 serbestlik
dereceleri ile F dağılımına uyar:
F =
X1 /k1
∼ F (k1 , k2 )
X2 /k2
F dağılımının iki parametresi vardır:
k1 payın serbestlik derecesi
k2 paydaın serbestlik derecesi
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
99
F Dağılımı
X1 ∼ χ2k1 ve X2 ∼ χ2k2 birbirinden bağımsız ki-kare dağılımına
uyan iki rassal değişken olsun:
Aşağıda tanımlanan rassal değişken k1 ve k2 serbestlik
dereceleri ile F dağılımına uyar:
F =
X1 /k1
∼ F (k1 , k2 )
X2 /k2
F dağılımının iki parametresi vardır:
k1 payın serbestlik derecesi
k2 paydaın serbestlik derecesi
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
99
F Dağılımı
X1 ∼ χ2k1 ve X2 ∼ χ2k2 birbirinden bağımsız ki-kare dağılımına
uyan iki rassal değişken olsun:
Aşağıda tanımlanan rassal değişken k1 ve k2 serbestlik
dereceleri ile F dağılımına uyar:
F =
X1 /k1
∼ F (k1 , k2 )
X2 /k2
F dağılımının iki parametresi vardır:
k1 payın serbestlik derecesi
k2 paydaın serbestlik derecesi
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
99
F Dağılımı
0.9
F(2,8)
F(6,8)
F(6,20)
F(10,30)
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan
2
3
100
4
5