CALCULUS

T I M U R K A R A Ç A Y - H A Y D A R E Ş
CALCULUS
S E Ç K I N YAY I N C I L I K
ANKARA
Contents
Bibliography
11
CONTENTS
0.1
Kartezyen Çarpım
0.2
Sıralı İkililer
Şimdiye kadar sıra ya da sıralama kavramından sözetmedik. Birinci, ikinci ya da önce, sonra gibi terimlere bir anlam yüklemedik. O
nedenle, iki nesnenin (öğe ya da küme) sıralanmasını, bildiğimiz
kavramlar cinsinden ifade etmeliyiz.
Tanım 0.1. x ile y iki nesne ise ( x, y) nesnesi {{ x }, { x, y}} kümesidir.
( x, y) nesnesi, yeni bir varlıktır. ( x, y) nesnesine sıralı çift ya da
sıralı ikili, x öğesine, ( x, y) sıralı çiftin birinci bileşeni, y öğesine sıralı
çiftin ikinci bileşeni, denilir. Tanım 0.1 ’den hemen görüleceği gibi,
( x, y) 6= (y, x )
(1)
olur. Bu demektir ki, bir sıralı ikilide yazılış sırası belirleyici özelik
taşır; bileşenlerin sırası değiştirilirse başka bir ikili elde edilir.
Sıralı çiftleri tanımlamak için, Tanım 0.1 ’e denk olan Teorem 0.2 ’i
kullanabiliriz. Bazen, işlemlerde, tanım yerine bu teoremi kullanmak
daha kolaydır.
Theorem 0.2. [( x, y) = (c, d)] ⇒ [( x = c) ∧ (y = d)]
Kanit: Tanım 0.1 ve iki kümenin eşitliği tanımından,
( x, y) = (c, d)
⇒
{{ x }, { x, y}} = {{c}, {c, d}}
⇒
({ x } = {c}) ∧ ({ x, y} = {c, d})
⇒
({ x } = {c}) ∧ ({y} = {d})
⇒
( x = c) ∧ (y = d)
çıkar.
Artık sıralı çiftler için yeni terimler tanımlayabiliriz.
( x, y) sıralı çiftinde x öğesine birinci ya da ilk öğe diyeceğiz.
( x, y) sıralı çiftinde y öğesine ikinci öğe diyeceğiz.
0.3
n-sıralılar
Sıralı çiftleri tanımladıktan sonra üç sıralı, dört sıralı, . . . , n-sıralı
nesneleri tanımlamak kolaydır:
( a1 , a2 , a3 ) sıralı üçlüsü ( a1 , ( a2 , a3 )) biçiminde tanımlanır
( a1 , a2 , a3 , a4 ) sıralı dörtlüsü ( a1 , ( a2 , a3 , a4 )) biçiminde tanımlanır.
..
.
( a1 , a2 , a3 , . . . , an ) n-sıralısı ( a1 , ( a2 , a3 , . . . , an )) biçiminde tanımlanır.
5
6
calculus
Burada
( a1 , ( a2 , a3 )) = (( a1 , a2 ), a3 )
(2)
olduğu gösterilebilir. Ama işin kolayına kaçarak,
( a1 , a2 , a3 ) = ( a1 , ( a2 , a3 )) = (( a1 , a2 ), a3 )
(3)
olduğunu bir belit olarak kabul edelim.
0.4
Analitik Geometri
Sentetik gemetride (öklit geometrisi) uzunluk ve açı ölçüleri kavramları var olmasına karşın, sayısal ölçme eylemine hiç yer verilmez; yani
ölçüler sayısallaşmaz. Bu yönüyle, ölçme kusurları girmediği için,
sentetik geometrinin verdiği sonuçlar çok sağlamdır. Öte yandan,
problem çözmede cebirsel yöntemlerin kolaylığı tartışmasız kabul
edilir.
Fransız matematikçi René Descartes (1596-1650), geometride uzunlukların sayısallaştırılmasını sağlayan yeni bir yöntem geliştirdi. Düzlemsel noktaların konumlarını belirtmek için, birbirlerini başlangıç
noktalarında dik kesen iki sayı doğrusu aldı. Adına koordinat eksenleri dediği sayı doğrularından birisini yatay , ötekisini düşey konuma
yerleştirdi. Buna dikey koordinat sistemi denilir1 . Koordinat eksenlerinin birbirlerini dik kesip kesmemesi, düzlemsel noktaların
konumunu belirlemekte önem taşımaz.
Düzlemdeki bir P noktasından koordinat eksenlerine çizilen paraleler Ox eksenini x noktasında, Oy eksenini y noktasında kesiyor
olsun.
{ x, y} sayı kümesinin P noktasının düzlemdeki konumunu kesinkes
belirtebileceği hemen seziliyor. Ancak, bu sayıların yazılış sırası
değiştiğinde, farklı bir noktanın konumunu belirteceği de açıktır.
Doğabilecek karışıklığı gidermek için, hangisinin Ox ekseni üzerinde,
hangisinin Oy ekseni üzerinde olduğunu belirtecek bir sıralama
kavramı ortaya çıktı. Böylece { x, y} kümesi yerine ( x, y) sıralı çifti
kullanıldı. (Tabii, ( x, y) yerine < x, y > gibi başka simgeler de kullanılabilir.) x ile y sayılarına P noktasının bileşenleri (koordinatları)
adı verilir. ( x, y) gösteriminde birinci öğe olan x sayısı, Ox ekseni
üzerindeki bileşen (dikey koordinat sisteminde apsis adını alır); ikinci öğe olan y sayısı, Oy ekseni üzerindeki bileşen (dikey koordinat
sisteminde ordinat adını alır) olarak kabul edildi.
Böylece, { x, y} yerine ( x, y) simgesi kullanılmakla, iki sayıdan
oluşan {x,y} kümesine bir sıralama eylemi eklenmiş oldu.
Dikey Koordinat Sistemini oluşturan R × R kartezyen çarpımında
yatay sayı exseni Ox ya da kısaca x , düşey sayı ekseni Oy ya da
kısaca x ile ve R × R kartezyen çarpımı ise xOy ile gösterilir.
Analitik Geometri derslerinde göreceğiniz gibi, koordinat sistemleri
dikey olmak zorunda değildir. Zaten kartezyen çarpımda dikeylik söz
konusu değildir.
1
Figure 1: Dikey Koordinat Sistemi
Figure 2: Eğik Koordinat Sistemi
CONTENTS
Düzlemsel koordinat sistemi kurulduktan sonra sentetik geometride bilinen özelikler sayılarla ifade edilmeye başlandı. Sentetik
geometri, sayısal ölçülere dayanılarak yeniden kuruldu. Kurulan bu
yeni geometriye, sentetik geometri’nin karşıtı olarak analitik geometri
denildi.
Benzer kavramlar 3-boyutlu ve n-boyutlu uzaylar için kolayca
genelleştirildi.
Analitik geometri, düzlemsel geometrinin temel kavramlarını cebirsel yöntemlerle ifade etmektedir. Doğal olarak, bu yöntem, ( x, y, z)
gibi sıralı üçlüler yardımıyla uzay geometriye kolayca uygulanmıştır.
Bu iş yapılırken, birbirlerini başlangıç noktalarında dik kesen üç sayı
doğrusu alınır. Bunlara üç boyutlu uzayın koordinat eksenleri, eksenlerin ikişer ikişer oluşturduğu düzlemlere de koordinat düzlemleri
denilir. Üç boyutlu uzaydaki bir P noktasından üç koordinat düzlemine inilen dikmelerin uzunlukları, sırasıyla, x, y, z ise ( x, y, z) sıralı
üçlüsü P noktasının uzaydaki konumunu kesinkes belirler. Onlara, P
noktasının koordinatları denilir.
2 ve 3 boyutlu uzay kavramı, n bir doğal sayı olmak üzere, n
boyutlu uzay kavramına kolayca taşındı. Bu uzaydaki bir P noktasının koordinatları ( a1 , a2 , a3 , . . . , an ) sıralı n-lisi ile tanımlandı.
Sonra n boyutlu vektör uzayları ortaya kondu.
Bu gün, adına Doğrusal cebir (lineer cebir) denilen bu konu, matematiğin önemli bir dalı olmakla kalmamış, teknolojide ve sosyal bilimlerde geniş uygulama alanları bulmuştur. 2
0.5
Figure 3: 3-boyutlu uzayda dikey
koordinat sistemi
Cemal Koç. Basic Linear Algebra.
ODTÜ Matematik Vakfý, Ankara, 1999
2
Kartezyen Çarpım
Analitik Geometride, sayı eksenleri için yapılan işi, soyut kümelere
taşımak mümkündür.
Tanım 0.3. A, B boş olmayan iki küme olsun. A ile B kümelerinin kartezyen
çarpımı, a ∈ A ve b ∈ B olmak üzere bütün ( a, b) sıralı çiftlerinden oluşan
kümedir. Bu kümeyi
A × B = {( a, b)| a ∈ A
b ∈ B}
(4)
simgesel biçiminde yazabiliriz.
Genel olarak ( a, b) 6= (b, a) olduğuna göre,
A × B 6= B × A
(5)
olacağı açıktır. Burada, A × B kartezyen çarpımında A ile B kümeleri
arasında da bir öncelik sırası olduğu anlamı çıkar. (5) ifadesinde
eşitlik ancak ve ancak A = B ise olur.
Figure 4: Kartezyen çarpım
7
8
calculus
Örnek 0.4. 1. A = {1, 2, 3} ve B = { a, b, c} ise
A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c), (3, a), (3, b), (3, c)}
olur.
2. A = {kitap, kalem, silgi } ve B = {1, 2} ise
A × B = {(kitap, 1), (kitap, 2), (kalem, 1), (kalem, 2), (silgi, 1), (silgi, 2)}
olur.
3. A = { x, y, z} ve B = {2, 1} ise
A × B = {( x, 2), ( x, 1), (y, 2), (y, 1), (z, 2), (z, 1)}
olur.
Tanım 0.5. Boş olmayan bir A kümesi için A × A kartezyen çarpımının
köşegeni
∆ = {( a, a) | a ∈ A}
kümesidir.
R × R düzlemsel koordinat sisteminde ∆ köşegeni xOy bölgesinin
açıortayıdır.
İki kümenin kartezten çarpımını, n bir doğal sayı olmak üzere,
A1 , A2 , . . . , An kümelerinin kartezyen çarpımına genelleştirmek
doğaldır:
A1 × A2 × . . . × An = {( a1 , a2 , . . . , an ) | ai ∈ Ai (i = 1, 2, . . . , n)} (6)
Yalınlığı sağlamak için, A kümesinin kendisiyle n kez kartezyen
çarpımını
An = A × A × A × . . . × A
simgesiyle göstereceğiz.
0.6
Alıştırmalar
1. X, Y ve Z kümeleri için aşağıdaki bağıntıların sağlandığını gösteriniz. olduğuna göre;
X × (Y ∪ Z ) = ( X × Y ) ∪ ( X × Z )
X × (Y ∩ Z ) = ( X × Y ) ∩ ( X × Z )
X × (Y \ Z ) = ( X × Y ) \ ( X × Z )
( X × Y ) ∪ ( Z × W ) = ( X ∪ Z ) × (Y ∪ W )
( X × Y ) ∩ ( Z × W ) = ( X ∩ Z ) × (Y ∩ W )
( X × Y ) \ ( Z × Z ) = [( X \ Z ) × Y ] ∪ [ X × (Y \ Z )]
eşitliklerinin varlığını gösteriniz.
(7)
CONTENTS
2. X, Y, Z ve W kümeleri için aşağıdaki bağıntıların sağlandığını
gösteriniz. olduğuna göre;
X×X = Y×Y ⇒ X = Y
Y ⊂ Z ⇒ (X × Y) ⊂ (X × Z)
( X ⊂ Z ) ∧ (Y ⊂ W ) ⇒ ( X × Y ) ⊂ ( Z × W )
( X × Y ) ⊂ ( X × Z ) ∧ X 6= ∅) ⇒ Y ⊂ Z
( X × Y ) = ( Z × W ) ⇒ ( X = Z ) ∨ (Y = W )
( X × Y ) = ∅ ⇒ [( X = ∅) ∨ (Y = ∅]
bağıntılarının varlığını gösteriniz.
9
Bibliography
[1] Cemal KoBasic Linear Algebra. ODTatematik Vakf, Ankara, 1999.