Bilinen Türevlerden Yeni Türevler Elde Etmek Bilinen Türevlerden

Bilinen Türevlerden Yeni Türevler Elde Etmek
Bilinen Türevlerden Yeni Türevler Elde Etmek
Çarpım Kuralı f ve g türevlenebilir ise,
Sabitle Çarpım Kuralı c bir sabit ve f türevlenebilir bir
fonksiyonsa,
d
d
[cf (x)] = c f (x)
dx
dx
dir.
dir.
Toplam-Fark Kuralı f ve g türevlenebilir ise,
Bölüm Kuralı f ve g türevlenebilir fonksiyonlarsa,
d
d
d
[f (x)g(x)] = f (x) [g(x)] + g(x) [f (x)]
dx
dx
dx
g(x) d [f (x)] − f (x) d [g(x)]
d f (x)
dx
dx
=
dx g(x)
[g(x)]2
d
d
d
[f (x) ± g(x)] =
f (x) ±
g(x)
dx
dx
dx
dir.
dir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
d
(c) = 0
dx
d
d
d
d
(10x3 − 6x + 5) = 10 (x3 ) − 6 (x) +
(5)
dx
dx
dx
dx
= 10(3x2 ) − 6(1) + 0
d n
(x ) = nxn−1
dx
= 30x2 − 6
dir.
MAT 1009 Matematik I
2/ 99
Örnek :
Kuvvet Kuralı Her n gerçel sayısı için,
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Örnek
Polinomların ve Üstel Fonksiyonların Türevleri
Sabit Fonksiyon Türevi :
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
1/ 99
3/ 99
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
4/ 99
Örnek
Örnek
Örnek : Aşağıdaki türevleri alınız.
√
1
3
(a) f (x) = 2
(b) y = x2
x
Örnek : y = x4 − 6x2 + 4 eğrisi üzerindeki, teğet doğrusunun
yatay olduğu noktaları bulunuz.
Çözüm : İki durumda da, fonksiyonu x in üssü olarak yeniden
yazarız.
(a) f (x) = x−2 olduğundan, n = −2 için Kuvvet Kuralını
uygularız:
Çözüm : Yatay teğetler, türevin 0 olduğu noktalardaki teğetlerdir.
Öncelikle,
dy
d 4
d
d
=
(x ) − 6 (x2 ) +
(4)
dx
dx
dx
dx
= 4x3 − 12x + 0
d −2
2
f (x) =
(x ) = −2x−2−1 = −2x−3 = − 3
dx
x
′
(b)
= 4x(x2 − 3)
d √
2
2
dy
d 2/3
3
=
( x2 ) =
(x ) = x(2/3)−1 = x−1/3
dx
dx
dx
3
3
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
elde ederiz.
5/ 99
Örnek...
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
6/ 99
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
8/ 99
Örnek...
dy
= 4x(x2 − 3)
dx
√
Dolayısıyla, x = 0 ve x2 − 3 denkleminin kökleri olan x = ± 3 için
dy/dx = 0 olur.
Bu nedenle, verilen eğri x = 0, x =
teğetlere sahiptir.
√
√
3 ve x = − 3 için yatay
√
√
Bu değerlere karşılık gelen noktalar (0, 4), (− 3, −5) ve ( 3, −5)
dir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
7/ 99
Örnek
Örnek...
Örnek : f (t) =
√
t(1 − t) fonksiyonunun türevini alınız.
Çözüm 2 : Üs kuralını kullanarak, f (t) fonksiyonunu yeniden
yazarsak, türevini çarpım kuralını kullanmadan da alabiliriz.
Böylece,
√
√
f (t) = t − t t = t1/2 − t3/2
Çözüm 1 : Çarpım kuralını kullanarak,
f ′ (t) =
=
√ d
d √
t (1 − t) + (1 − t) ( t)
dx
dx
√
3
1
f ′ (t) = t−1/2 − t1/2
2
2
elde edilir ve bu sonuç Çözüm 1 dekiyle aynıdır.
1
t(−1) + (1 − t) t−1/2
2
√
1 − 3t
1−t
=− t+ √ = √
2 t
2 t
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
Yukarıdaki örnek, bazen fonksiyonların çarpımını sadeleştirmenin,
çarpım kuralını kullanmaktan daha kolay olduğunu gösterir.
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
9/ 99
Örnek
10/ 99
Örnek
Örnek : g(4) = 2 ve g ′ (4) = 3 olmak üzere, f (x) =
f ′ (4) değerini bulunuz.
√
x . g(x) ise,
Örnek : y =
Bu durumda,
Çözüm : Çarpım kuralını uygulayarak,
f ′ (x)
MAT 1009 Matematik I
x2 + x − 2
olsun.
x3 + 6
(x3 + 6)
√
d
d !√
d !√ x . g(x) = x .
x
=
(g(x)) + g(x) .
dx
dx
dx
y′
=
d 2
d
(x + x − 2) − (x2 + x − 2) (x3 + 6)
dx
dx
(x3 + 6)2
=
√
1
x . g ′ (x) + g(x) . . x−1/2
2
=
(x3 + 6)(2x + 1) − (x2 + x − 2)(3x2 )
(x3 + 6)2
=
√
g(x)
x . g (x) + √
2 x
=
(2x4 + x3 + 12x + 6) − (3x4 + 3x3 − 6x2 )
(x3 + 6)2
′
elde ederiz. Dolayısıyla,
√
2
g(4)
f ′ (4) = 4 . g ′ (4) + √ = 2 . 3 +
= 6.5 olur.
2.2
2 4
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
=−
−x4 − 2x3 + 6x2 + 12x + 6
(x3 + 6)2
elde edilir.
11/ 99
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
12/ 99
Üstel Fonksiyonun Türevi
Not :
3x2
√
Doğal Üstel Fonksiyonun Türevi :
+2 x
x
fonksiyonunun türevini bölüm kuralını kullanarak almak
mümkündür. Ancak, önce bölmeyi yapmak ve fonksiyonu
F (x) =
Üstel Fonksiyonun Türevi :
biçiminde yazdıktan sonra türevi almak çok daha kolaydır.
MAT 1009 Matematik I
a > 0, a 6= 1 gerçel sayısı için
d x
(a ) = ax ln a
dx
F (x) = 3x + 2x−1/2
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
d x
(e ) = ex
dx
dır.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
13/ 99
Örnek
MAT 1009 Matematik I
14/ 99
Örnek
Örnek : f (x) = ex − x, ise f ′ ve f ′′ fonksiyonlarını bulunuz.
Örnek : y = ex eğrisinin hangi noktasındaki teğet doğrusu y = 2x
doğrusuna paraleldir?
Çözüm : Fark kuralını kullanarak,
Çözüm : y = ex olduğundan, y ′ = ex dir.
d x
d x
d
f ′ (x) =
(e − x) =
(e ) −
(x) = ex − 1
dx
dx
dx
elde ederiz. İkinci türevi,
nedenle,
f ′′ (x) =
f′
Sorudaki noktanın x koordinatı a olsun.
nün türevi olarak tanımladık. Bu
Bu noktadaki teğet doğrusunun eğimi ea olur.
d x
d x
d
(e − 1) =
(e ) −
(1) = ex
dx
dx
dx
Teğet doğrusu, eğimi, y = 2x doğrusunun eğimiyle aynı, başka bir
deyişle 2 olduğunda, bu doğruya paralel olacaktır.
elde ederiz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
15/ 99
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
16/ 99
Örnek...
Örnek
Eğimleri eşitlersek,
ea = 2
a = ln 2
Örnek :
(a) f (x) = xex ise, f ′ (x) i bulunuz.
(b) f nin n-inci türevi, f (n) (x) i bulunuz.
elde ederiz. Dolayısıyla, aranılan nokta (a, ea ) = (ln 2, 2) dir.
Çözüm :
(a) Çarpım kuralından,
f ′ (x) =
d
d
d
(xex ) = x (ex ) + ex (x)
dx
dx
dx
= xex + ex . 1 = (x + 1)ex
elde ederiz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Örnek...
(b)
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
17/ 99
MAT 1009 Matematik I
18/ 99
Örnek
Çarpım kuralını ikici kez kullanarak,
f ′′ (x) =
d
d
d
[(x + 1)ex ] = (x + 1) (ex ) + ex (x + 1)
dx
dx
dx
Örnek : y = ex /(1 + x2 ) eğrisinin (1, e/2) noktasındaki teğet
doğrusunun denklemini bulunuz.
Çözüm : Bölüm kuralından,
= (x + 1)ex + ex . 1 = (x + 2)ex
dy
dx
elde ederiz. Çarpım kuralının art arda uygulanmasıyla,
f ′′′ (x) = (x + 3)ex
f
=
f (4) (x) = (x + 4)ex
elde edilir. Aslında, art arda gelen her türev alma ile başka bir ex
terimi eklenir, bu nedenle
(n)
(1 + x2 )
(x) = (x + n)e
x
d x
d
(e ) − ex (1 + x2 )
dx
dx
(1 + x2 )2
=
(1 + x2 )ex − ex (2x)
(1 + x2 )2
=
ex (1 − x)2
(1 + x2 )2
elde ederiz.
olur.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
19/ 99
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
20/ 99
Örnek...
Örnek...
Bu, (1, e/2) noktasındaki teğet doğrusunun yatay ve denkleminin
y = e/2 olduğunu ifade etmektedir. [Foksiyonun artan olduğuna ve
(1, e/2) deki teğet doğrusunu keserek geçtiğine dikkat ediniz.]
dy
ex (1 − x)2
=
dx
(1 + x2 )2
Dolayısıyla, (1, e/2) deki teğet doğrusunun eğimi,
dy =0
dx x=1
dır.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
21/ 99
MAT 1009 Matematik I
22/ 99
Örnek
Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri
sec x
fonksiyonunun türevini alınız. Hangi x
1 + tan x
değerleri için f nin grafiğinin yatay teğeti vardır?
Örnek : f (x) =
d
(sin x) = cos x
dx
d
(csc x) = − csc x cot x
dx
d
(cos x) = − sin x
dx
d
(sec x) = sec x tan x
dx
d
(tan x) = sec2 x
dx
d
(cot x) = − csc2 x
dx
Çözüm : Bölüm kuralı
(1 + tan x)
f ′ (x) =
=
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
23/ 99
d
d
(sec x) − sec x (1 + tan x)
dx
dx
(1 + tan x)2
(1 + tan x) sec x tan x − sec x sec2 x
(1 + tan x)2
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
24/ 99
Örnek...
Örnek
Örnek : cos x fonksiyonunun 27 inci türevini bulunuz.
f ′ (x) =
=
tan2 x
sec x [tan x +
−
(1 + tan x)2
Çözüm : f (x) = cos x fonksiyonunun ilk bir kaç türevi aşağıdaki
gibidir:
sec2 x]
f ′ (x) = − sin x
sec x (tan x − 1)
(1 + tan x)2
f ′′ (x) = − cos x
verir.
f ′′′ (x) = sin x
Yanıtı sadeleştirmek için, tan2 x + 1 = sec2 x özdeşliğini kullandık.
sec x hiç sıfır olmadığından, yalnız tan x = 1 için f ′ (x) = 0
olduğunu görürüz ve bu n tamsayı olmak üzere x = nπ + π/4
değerinde gerçekleşir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
f (4) (x) = cos x
f (5) (x) = − sin x
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
25/ 99
Örnek...
MAT 1009 Matematik I
26/ 99
Zincir Kuralı
F (x) =
Ardışık türevlerin, dört adımda bir yinelendiğini ve n, 4 ün bir katı
olmak üzere, f (n) (x) = cos x olduğunu görürüz. Bu nedenle,
f (24) (x) = cos x
f
x2 + 1
fonksiyonunun türevini almanızın istendiğini varsayalım. Daha önce
öğrendiğimiz türev alma kuralları ile F ′ (x) i hesaplamanız olanaklı
değildir.
F nin bir bileşke fonksiyonu olduğunu gözlemleyiniz. Gerçekten de
olur ve üç kez daha türev alırsak
(27)
p
y = f (u) =
(x) = sin x
√
u ve u = g(x) = x2 + 1 ise y = F (x) = f (g(x)),
bir başka deyişle F = f ◦ g yazabiliriz.
elde ederiz.
f ve g’nin her ikisinin de türevlerinin nasıl alınacağını biliyoruz,
dolayısıyla F = f ◦ g fonksiyonunun türevinin, f ve g nin türevleri
cinsinden nasıl bulunduğunu söyleyen bir kural yararlı olacaktır.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
27/ 99
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
28/ 99
Zincir Kuralı
Zincir Kuralı
Bu, türevleri değişim hızları olarak ele aldığımızda, akla yatkın
görünmektedir.
du/dx i, u nun x e göre değişim hızı,
f ◦ g bileşke fonksiyonunun türevi, f ve g nin türevlerinin
çarpımıdır.
dy/du yu, y nin u ya göre değişim hızı ve
dy/dx i, y nin x e göre değişim hızı olarak düşününüz.
Bu, türev alma kurallarının en önemlilerinden biridir ve Zincir
Kuralı olarak adlandırılır.
u, x in iki katı bir hızla değişiyorsa ve y, u nun üç katı hızla
değişiyorsa, y nin x in altı katı bir hızla değişmesi mantıklı
görünmektedir ve bu nedenle
dy
dy du
=
dx
du dx
olmasını bekleriz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
29/ 99
MAT 1009 Matematik I
30/ 99
Örnek
Zincir Kuralı
Örnek : F (x) =
Zincir Kuralı f ve g türevlenebilir fonksiyonlar ve F = f ◦ g
fonksiyonu, F (x) = f (g(x)) biçiminde tanımlanan bileşke
fonksiyonu ise, F türevlenebilir bir fonksiyondur ve F ′ ,
F ′ (x) = f ′ (g(x))g ′ (x)
(1)
çarpımı ile verilir. Leibniz gösteriminde, y = f (u) ve u = g(x)
türevlenebilir fonksiyonlarsa,
dy
dy du
=
dx
du dx
dir.
√
x2 + 1 ise F ′ (x) i bulunuz.
Çözüm : (Denklem (1)’yi kullanarak): Bu bölümün başında F
√
fonksiyonunu f (u) = u ve g(x) = x2 + 1 olmak üzere
F (x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x)) biçiminde ifade etmiştik.
1
1
f ′ (u) = u−1/2 = √
2
2 u
ve
g ′ (x) = 2x
olduğundan,
F ′ (x) = f ′ (g(x)) g ′ (x)
x
1
√
2x = √
=
2 x2 + 1
x2 + 1
(2)
elde ederiz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
31/ 99
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
32/ 99
Örnek...
Zincir Kuralı
(Denklem (2)’ü kullanarak): u = x2 + 1 ve y =
F ′ (x) =
=
√
u ise
NOT Zincir Kuralı’nı kullanırken, dışarıdan içeriye doğru hesap
yaparız. Formül (1), önce dıştaki f fonksiyonunun (içteki g(x)
fonksiyonunda) türevini aldığımızı ve daha sonra bunu, içteki
fonksiyonun türeviyle çarptığımızı söyler.
1
dy du
= √ 2x
du dx
2 u
x
1
√
2x = √
dir.
2
2
2 x +1
x +1
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
33/ 99
Örnek
MAT 1009 Matematik I
34/ 99
Örnek...
Örnek : (a) y = sin(x2 ) ve (b) y = sin2 x fonksiyonlarının türevini
alınız.
Çözüm :
(a) y = sin(x2 ) ise, dıştaki fonksiyon sinüs ve içteki fonksiyon kare
alma fonksiyonudur, dolayısıyla Zincir Kuralı’ndan
dy
dx
=
d
d 2
sin(x2 ) = cos(x2 ) ·
x
dx
dx
(b) sin2 x = (sin x)2 olduğuna dikkat ediniz. Burada, dıştaki
fonksiyon kare alma ve içteki fonksiyon sinüs fonksiyonudur.
Dolayısıyla,
dy
d
=
(sin x)2 = 2 sin x · cos x
dx
dx
olur. Yanıt, 2 sin x cos x olarak bırakılabilir ya da (yarım açı
formülü olarak bilinen trigonometrik özdeşlik kullanılarak) sin 2x
olarak yazılabilir.
= 2x cos(x2 )
elde ederiz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
35/ 99
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
36/ 99
Örnek
Örnek
Örnek : g(t) =
Örnek : y = (x3 − 1)100 fonksiyonunun türevini alınız.
=
t−2
2t + 1
9
fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm : Zincir Kuralı ve Bölüm Kuralı’nı birleştirerek
Çözüm : Zincir Kuralı kullanılarak
dy
dx
d 3
d
(x − 1)100 = 100(x3 − 1)99 (x3 − 1)
dx
dx
g ′ (t) = 9
t−2
2t + 1
8
d
dt
= 9
t−2
2t + 1
8
(2t + 1) · 1 − 2(t − 2)
45(t − 2)8
=
(2t + 1)2
(2t + 1)10
= 100(x3 − 1)99 · 3x2 = 300x2 (x3 − 1)99
elde edilir.
t−2
2t + 1
elde ederiz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
37/ 99
Örnek
MAT 1009 Matematik I
38/ 99
Örnek
Örnek : y = esec 3θ fonksiyonunun türevini alınız.
Örnek : y = esin x fonksiyonunun türevini alınız.
Çözüm : Burada içteki fonksiyon g(x) = sin x ve dıştaki fonksiyon
f (x) = ex üstel fonksiyonudur. Dolayısıyla, Zincir Kuralı’ndan,
Çözüm : Dıştaki fonksiyon üstel fonksiyon, ortadaki fonksiyon
sekant fonksiyonu ve en içteki fonksiyon üç katını alma
fonksiyonudur. Dolayısıyla,
dy
dθ
dy
d
d sin x
=
(e
) = esin x (sin x) = esin x cos x
dx
dx
dx
= esec 3θ
d
(sec 3θ)
dθ
d
(3θ)
dθ
= 3esec 3θ sec 3θ tan 3θ
= esec 3θ sec 3θ tan 3θ
olur.
elde ederiz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
39/ 99
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
40/ 99
Parametrik Eğrilerin Teğetleri
x = f (t)
Parametrik Eğrilerin Teğetleri
y = g(t)
dy dx
dy
=
·
dt
dx dt
parametrik denklemleriyle verilen eğriyi ele alalım:
dx
6= 0 ise, eşitlikten dy/dx’i çekebiliriz.
dt
f ve g türevlenebilir fonksiyonlar ve y, x in türevlenebilir bir
fonksiyonu olmak üzere, eğri üzerindeki bir noktadaki teğet
doğrusunu bulmak istediğimizi varsayalım.
dx
6= 0
dt
dy
i bulmamız gerek. Zincir Kuralından
Eğimi yani
dx
ise
dy
dy
= dt
dx
dx
dt
dir.
(3)
Eğriyi bir parçacığın izlediği yol olarak düşünürsek, dy/dt ve dx/dt
parçacığın düşey ve yatay hızları olur.
dy dx
dy
=
·
dt
dx dt
elde ederiz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
41/ 99
Örnek
MAT 1009 Matematik I
42/ 99
Örnek...
√
Örnek : x = 2 sin 2t y = 2 sin t parametrik eğrisinin ( 3, 1)
noktasındaki teğet doğrusunun denklemini bulunuz.
Çözüm : t parametre değerine karşılık gelen noktada, eğim
dy
d
(2 sin t)
dy
cos t
2 cos t
dt
dt
=
=
=
=
dx
d
dx
2(cos 2t)(2)
2 cos 2t
(2 sin 2t)
dt
dt
olur. Dolayısıyla, teğet doğrusunun denklemi
√
√
√
1
3
3
y−1=
(x − 3) ya da y =
x−
2
2
2
dir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
√
( 3, 1) noktası t = π/6 parametre değerine karşılık gelir, bu
yüzden bu noktadaki teğetin eğimi
√
√
cos(π/6)
dy 3/2
3
=
=
=
dx t=π/6 2 cos(π/3)
2(1/2)
2
43/ 99
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
dir.
44/ 99
Kapalı Türev Alma
Kapalı Türev Alma
Buna karşılık, bazı fonksiyonlar
Şimdiye kadar karşılaştığımız fonksiyonlar, bir değişkenin bir başka
değişken cinsinden açık olarak ifade edilmesiyle tanımlanabiliyordu.
Örneğin,
p
y = x3 + 1 ya da y = x sin x
veya genel olarak, y = f (x) gibi.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
x2 + y 2 = 25
(4)
x3 + y 3 = 6xy
(5)
veya
gibi x ve y arasındaki bir bağıntı aracılığıyla kapalı olarak
tanımlanır.
MAT 1009 Matematik I
45/ 99
Kapalı Türev Alma
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
46/ 99
Kapalı Türev Alma
Bazı durumlarda, böyle bir denklemden y yi x e bağlı bir fonksiyon
(veya fonksiyonlar) olarak elde etmek olanaklıdır.
√
Örneğin, Denklem (4)’den y yi çekersek, y = ± 25 − x2 elde
ederiz, ve böylece kapalı Denklem (4)’in belirlediği iki fonksiyon
p
p
f (x) = 25 − x2 ve g(x) = − 25 − x2
dir.
f ve g nin grafikleri x2 + y 2 = 25 çemberinin alt ve üst
yarı-çemberleridir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
47/ 99
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
48/ 99
Kapalı Türev Alma
Kapalı Türev Alma
Denklem (5)’dan elle hesap yaparak y yi, x e bağlı bir fonksiyon
olarak elde etmek kolay değildir.
ve kapalı olarak y yi x e bağlı çeşitli fonksiyonlar olarak tanımlar.
Yine de (5), Descartes folyumu olarak adlandırılan, şekilde
gösterilen eğrinin denklemidir,
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
49/ 99
Kapalı Türev Alma
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
50/ 99
Kapalı Türev Alma
Neyse ki y nin türevini bulmak için verilen denklemde y yi x
cinsinden çözme gereksinimi duymayız.
f nin Denklem (5) ile kapalı olarak tanımlanan bir fonksiyon
olduğunu söylediğimizde,
Onun yerine kapalı türev alma yöntemini kullanabiliriz. Bu,
denklemin iki tarafının x e göre türevini almayı ve sonuçtaki
denklemlerden y ′ nü çekmeyi içerir.
x3 + [f (x)]3 = 6xf (x)
eşitliğinin, f nin tanım kümesindeki her x değeri için doğru
olduğunu kastederiz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Bu bölümdeki örnekler ve alıştırmalarda her zaman, verilen
denklemin kapalı bir biçimde y yi x e bağlı türevlenebilir bir
fonksiyon olarak tanımladığı ve dolayısıyla, kapalı türev alma
yönteminin uygulanabildiği varsayılmıştır.
51/ 99
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
52/ 99
Örnek
Örnek...
dy
i bulunuz.
dx
(b) x2 + y 2 = 25 çemberinin (3, 4) noktasındaki teğetinin
denklemini yazınız.
y nin x e bağlı bir fonksiyon olduğunu anımsayarak ve Zincir
Kuralı’nı kullanarak,
Çözüm : Birinci Çözüm: (a) x2 + y 2 = 25 denkleminin iki
tarafının türevini alalım:
elde ederiz. Dolayısıyla
Örnek : (a) x2 + y 2 = 25 ise
d 2 dy
dy
d 2
(y ) =
(y )
= 2y
dx
dy
dx
dx
2x + 2y
d 2
d
(x + y 2 ) =
(25)
dx
dx
dır. Şimdi bu denklemi dy/dx için çözeriz:
d 2
d 2
(x ) +
(y ) = 0
dx
dx
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
dy
=0
dx
x
dy
=−
dx
y
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
53/ 99
Örnek...
MAT 1009 Matematik I
54/ 99
Örnek...
(b) (3, 4) noktasında x = 3, y = 4 dür. Buradan
İkinci Çözüm:
3
dy
=−
dx
4
√
x2 + y 2 = 25 denkleminden, y = ± 25 − x2 elde ederiz.
elde ederiz. Dolayısıyla çemberin (3, 4) noktasndaki teğetinin
denklemi
3
y − 4 = − (x − 3)
4
√
(3, 4) noktası y = 25 −√
x2 üst yarı-çemberinin üzerinde
olduğundan, f (x) = y = 25 − x2 fonksiyonunu ele alırız.
ya da 3x + 4y = 25 dir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
55/ 99
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
56/ 99
Örnek...
NOT
Zincir Kuralı’nı kullanarak türev alırsak
f ′ (x) =
=
NOT 1 Az önceki örnek, denklemden y yi x cinsinden çekmek
olanaklı olsa bile kapalı türev almanın daha kolay olabildiğini
göstermektedir.
1
d
(25 − x2 )−1/2 (25 − x2 )
2
dx
x
1
(25 − x2 )−1/2 (−2x) = − √
2
25 − x2
elde ederiz. Böylece f ′ (3) = − √
3
3
= − olur ve birinci
2
4
25 − 3
NOT 2 dy/dx = −x/y ifadesi türevi, x ve y nin her ikisi
cinsinden vermektedir. Bu ifade denklem tarafından hangi
fonksiyonunun belirlendiğinden bağımsız olarak doğrudur.
çözümde olduğu gibi teğetin denklemi 3x + 4y = 25 dir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
57/ 99
MAT 1009 Matematik I
58/ 99
Örnek
NOT
Örnek :
Örneğin, y = f (x) =
√
√
(a) x3 + y 3 = 6xy ise, y ′ nü bulunuz.
25 − x2 için
(b) x3 + y 3 = 6xy denklemiyle verilen Descartes folyumu eğrisinin
(3, 3) noktasındaki teğetini bulunuz.
dy
x
x
= − = −√
dx
y
25 − x2
ve y = g(x) = − 25 −
x2
Çözüm : (a) y yi x e bağlı bir fonksiyon olarak düşünerek, y 3
terimi için zincir ve 6xy terimi için çarpım kuralını kullanarak,
x3 + y 3 = 6xy denkleminin iki tarafının x e göre türevini alırsak,
için
x
dy
x
x
=√
=− = √
2
dx
y
− 25 − x
25 − x2
3x2 + 3y 2 y ′ = 6y + 6xy ′
elde ederiz.
ya da
x2 + y 2 y ′ = 2y + 2xy ′
elde ederiz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
59/ 99
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
60/ 99
Örnek...
Örnek...
x2 + y 2 y ′ = 2y + 2xy ′
x = y = 3 için
Bu denklemden y ′ nü çekersek:
y′ =
y 2 y ′ − 2xy ′ = 2y − x2
dir. Bu nedenle folyumun (3, 3) noktasındaki teğetinin denklemi
(y 2 − 2x)y ′ = 2y − x2
y′ =
2 · 3 − 32
= −1
32 − 2 · 3
y − 3 = −1(x − 3)
x2
2y −
y 2 − 2x
ya da
x+y =6
dır.
elde ederiz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
61/ 99
Örnek
MAT 1009 Matematik I
62/ 99
Örnek...
cos(x + y) · (1 + y ′ ) = 2yy ′ cos x + y 2 (− sin x)
Örnek : sin(x + y) = y 2 cos x ise y ′ nü bulunuz.
y ′ içeren terimleri bir araya toplarsak,
Çözüm : x e göre kapalı türev alarak ve y nin x e bağlı bir
fonksiyon olduğunu anımsayarak,
cos(x + y) + y 2 sin x = (2y cos x)y ′ − cos(x + y) · y ′
cos(x + y) · (1 + y ′ ) = 2yy ′ cos x + y 2 (− sin x)
elde ederiz. Bu nedenle,
elde ederiz. (Sol tarafta zincir kuralını ve sağ tarafta çarpım ve
zincir kurallarını kullandığımıza dikkat ediniz.)
y′ =
cos(x + y) + y 2 sin x
2y cos x − cos(x + y)
olur.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
63/ 99
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
64/ 99
Ortogonal Yörüngeler
Ortogonal Yörüngeler
Kesişim noktalarındaki teğet doğruları dik olan iki eğri, ortogonal
olarak adlandırılır.
Ortogonal yörüngeler fiziğin çeşitli alanlarında karşımıza çıkar.
Örneğin, bir elektrostatik alanın kuvvet çizgileri, sabit potansiyel
çizgilerine diktir.
Aşağıdaki örnekte, kapalı türev almayı kullanarak iki eğri ailesinin
birbirinin ortogonal yörüngeleri olduğunu, bir başka deyişle bir
ailedeki her eğrinin diğer ailedeki her eğriye dik olduğunu
göstereceğiz.
Termodinamikde, izotermler (eş sıcaklık eğrileri) ısı akış çizgilerine
diktir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Aerodinamikte, akış çizgileri (hava akımının yönünün eğrileri)
hız-eş-potansiyel eğrilerinin ortogonal yörüngeleridir.
65/ 99
Örnek
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
66/ 99
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
68/ 99
Örnek...
Örnek :
xy = c
c 6= 0
(6)
denklemi bir hiperbol ailesini verir. (c nin farklı değerleri farklı
hiperbolleri verir.
x2 − y 2 = k
k 6= 0
(7)
denklemi, asimptotları y = ±x olan bir diğer hiperbol ailesini verir.
(6) ailesindeki her eğrinin, (7) ailesindeki her eğriye ortogonal
olduğunu, bir başka deyişle bu iki ailenin birbirinin ortogonal
yörüngeleri olduğunu gösteriniz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
67/ 99
Örnek...
Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi
Çözüm : Denklem (6) ün kapalı türevini alınca,
y+x
dy
=0
dx
ve böylece
dy
y
=−
dx
x
(8)
elde ederiz. Denklem (7) ün kapalı türevini alınca,
2x − 2y
dy
=0
dx
bu nedenle
dy
x
=
dx
y
y = sin−1 x
(9)
elde ederiz. (8) ve (9) dan, iki aileden seçilen birer eğrinin kesişim
noktasında, teğetlerinin eğimlerinin çarpımının −1 olduğunu
görürüz. Dolayısıyla, eğriler dik açılarla kesişirler.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Ters trigonometrik fonksiyonların türevlenebilir olduklarını
varsayarak, bunların türevlerini almak için kapalı türev alma
yöntemini kullanabiliriz. arcsin fonksiyonunun tanımını
anımsayınız:
sin y = x
ve
−
π
π
6y6
2
2
anlamına gelir. sin y = x in x e göre kapalı türevini alırsak,
cos y ·
dy
= 1 veya
dx
dy
1
=
dx
cos y
elde ederiz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
69/ 99
(arcsin)′
⇔
MAT 1009 Matematik I
70/ 99
(arctan)′
1
dy
=
dx
cos y
−π/2 6 y 6 π/2 olduğundan, cos y > 0 dır, bu yüzden
q
p
cos y = 1 − sin2 y = 1 − x2
olur. Dolayısıyla,
arctan fonksiyonunun türevinin formülü de benzer bir yolla elde
edilir:
d
1
(tan(−1) (x)) =
.
dx
1 + x2
dy
1
1
dir.
=
=√
dx
cos y
1 − x2
d
1
(sin−1 x) = √
dx
1 − x2
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
71/ 99
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
72/ 99
Örnek
Logaritma Fonksiyonlarının Türevi
Örnek : f (x) = x arctan
√
x fonksiyonunun türevini alınız.
d
1
(loga x) =
dx
x ln a
Çözüm :
f ′ (x) = x ·
=
1
√ 2·
1 + ( x)
1 −1/2
x
2
+ arctan
√
(10)
x
özel olarak a = e alırsak
√
d
1
(ln x) = .
dx
x
√
x
+ arctan x
2(1 + x)
(11)
En sık karşılaşılan ters trigonometrik fonksiyonlar yukarıda
gördüklerimizdir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
73/ 99
Örnek
MAT 1009 Matematik I
74/ 99
Logaritma Fonksiyonlarının Türevi
Örnek : y = ln(x3 + 1) fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm : Zincir kuralını kullanmak için u = x3 + 1 diyelim. Bu
takdirde y = ln u ve
dy
dy du
1 du
1
3x2
=
·
= ·
= 2
· (3x2 ) = 3
dx
du dx
u dx
x +1
x +1
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Genel olarak örnekte verilen zincir kuralı ile formül 11 yi
birleştirirsek
1 du
d
(ln u) =
dx
u dx
veya
d
g ′ (x)
(ln g(x)) =
dx
g(x)
(12)
elde ederiz.
75/ 99
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
76/ 99
Örnek
Örnek
Örnek : f (x) = ln |x| ise f ′ (x) türevini bulunuz.
Örnek : f (x) =
√
Çözüm :
ln x fonksiyonunun türevini bulunuz.
f (x) =
Çözüm : Burada logaritma fonksiyonu iç fonksiyon olduğundan
Zincir kuralını kullanarak
ln x
,
ln(−x) ,
x>0
x<0
olduğundan
1
1
d
1
1
f (x) = (ln x)−1/2 ·
· = √
(ln x) = √
2
dx
2 ln x x
2x ln x
′
′
f (x) =
elde edilir.
olarak elde edilir.

1



 x


1
1


(−1) =
−x
x
,
x>0
,
x<0
Böylece her x 6= 0 için f ′ (x) = 1/x olur.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
77/ 99
Örnek
MAT 1009 Matematik I
78/ 99
Örnek...
√
x3/4 x2 + 1
Örnek : y =
fonksiyonunun türevini bulunuz.
(3x + 2)5
dy
dx
y
Çözüm : Denklemin her iki tarafının logaritmasını alıp,
basitleştirmek için logaritmanın özelliklerini kullanalım:
ln y =
3
1
ln x + ln(x2 + 1) − 5 ln(3x + 2)
4
2
y
=
3
x
15
+
−
4x x2 + 1 3x + 2
Buradan dy/dx i çözersek
x
15
3
dy
=y
+ 2
−
dx
4x x + 1 3x + 2
kapalı olarak tanımlanan bu fonksiyonun x e göre türevini alırsak
dy
dx
=
3 1 1
2x
3
· + · 2
−5·
4 x 2 x +1
3x + 2
√
x3/4 x2 + 1 3
x
15
=
+
−
(3x + 2)5
4x x2 + 1 3x + 2
elde ederiz.
olur.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
79/ 99
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
80/ 99
Örnek
Not: Taban değişken, üs sabit olduğunda, Kuvvet kuralı
[(xn )′ = nxn−1 ] ile; taban sabit, üs değişken olan [(ax )′ = ax ln a]
üstel fonksiyonların türev alma kurallarını, birbirinden dikkatlice
ayırt etmelisiniz. Genel olarak üs ve tabanlar için dört durum söz
konusudur.
d b
1
(a ) = 0
(a ve b sabittir.)
dx
d
2
[f (x)b ] = b[f (x)]b−1 f ′ (x)
dx
d g(x)
3
[a ] = ag(x) (ln a)g ′ (x)
dx
d
4
[f (x)]g(x) türevini bulmak için aşağıdaki örnekte olduğu
dx
gibi logaritmik türev kullanılabilir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Örnek : y = x
x
fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm 1 : Logaritmik türevi kullanırsak
ln y = ln x
y′
y
y′
=
√
=y
√
x·
x
=
√
x ln x
1
1
+ (ln x) √
x
2 x
1
ln x
√ + √
x 2 x
=x
√
x
2 + ln x
√
2 x
elde ederiz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
81/ 99
Örnek...
√
MAT 1009 Matematik I
82/ 99
Doğrusal Yaklaştırımlar ve Diferansiyeller
Çözüm 2: Diğer yöntem için x
√
x
= e
ln x
√ x
y = f (x) eğrisinin (a, f (a)) noktasındaki teğet doğrusunun
denklemi
y = f (a) + f ′ (a)(x − a)
yazalım.
√
d √x d √
d √x ln x =
= e x ln x ( x ln x)
x
e
dx
dx
dx
√
2 + ln x
√
.
=x x
2 x
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
dir.
f (x) ≈ f (a) + f ′ (a)(x − a)
(13)
yaklaştırımına f fonksiyonunun a noktasındaki doğrusal
yaklaştırımı ya da teğet doğrusu yaklaştırımı denir.
83/ 99
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
84/ 99
Örnek
Doğrusal Yaklaştırımlar
L(x) = f (a) + f ′ (a)(x − a)
(14)
fonksiyonuna f fonksiyonunun a noktasındaki doğrusallaştırılması
denir. x, a ya yakın olduğunda f (x) ≈ L(x) doğrusal yaklaştırımı
gerçek değere yakındır.
√
Örnek : f (x) = x + 3 fonksiyonunun a = 1 noktasındaki
√
√
doğrusallaştırılmasını bulunuz ve bunu kullanarak 3.98 ve 4.05
sayılarının yaklaşık değerlerini hesaplayınız.
Çözüm : f (x) = (x + 3)1/2 fonksiyonunun türevi
1
1
f ′ (x) = (x + 3)−1/2 = √
2
2 x+3
dür. Buradan f (1) = 2 ve f ′ (1) = 41 elde ederiz. Bu değeri
denklem 14 de yerine koyarsak doğrusallaştırmanın
7 x
1
L(x) = f (x) + f ′ (1)(x − 1) = 2 + (x − 1) = +
4
4 4
olduğunu görürüz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
85/ 99
Örnek...
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
86/ 99
Doğrusal Yaklaştırımlar
7 x
+
4 4
Buna karşılık gelen (13) doğrusal yaklaştırımı
L(x) =
√
x+3≈
7 x
+
4 4
dür. Özel olarak,
√
3.98 ≈
7 0.98
+
= 1.995
4
4
ve
√
4.05 ≈
7 1.05
+
= 2.0125
4
4
olur.
√
3.98 = 1.99499 . . .
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
√
4.05 = 2.01246 . . .
MAT 1009 Matematik I
87/ 99
Örnekteki doğrusal yaklaştırım şekilde gösterilmiştir. Gerçekten x,
1 e yakın iken teğet doğru yaklaştırımının verilen fonksiyona iyi bir
yaklaştırım
√
√olduğunu görebilirsiniz. Elbette bir hesap makinesi
3.98 ve 4.05 in yaklaşık değerini bize verir, fakat doğrusal
yaklaştırımlar tüm bir aralık üzerinde kullanılabilecek bir yaklaştırım
verir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
88/ 99
Diferansiyeller
Diferansiyeller
Diferansiyellerin geometrik anlamı aşağıda gösterilmiştir.
Türevlenebilir bir f fonksiyonu için, y = f (x) ise, dx diferansiyeli
bağımsız bir değişkendir. Diğer bir deyişle, dx e herhangi bir gerçel
sayı değeri verilebilir. Buradan dy diferansiyeli
dy = f ′ (x)dx
(15)
denklemi ile dx cinsinden tanımlanır. Sonuç olarak dy bir bağımlı
değişkendir; dy değişkeni x ve dx değerlerine bağlıdır. Eğer dx e
özel bir değer verilir ve x, f nin tanım bölgesinden özel bir sayı
olarak alınırsa, dy nin sayısal değeri bulunur.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
89/ 99
Diferansiyeller
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
90/ 99
Diferansiyeller
P (x, f (x)) ve Q(x + ∆x, f (x + ∆x)), f nin grafiği üzerindeki
noktalar ve dx = ∆x olsun. y deki değişimin karşılığı
∆y = f (x + ∆x) − f (x)
P R teğet doğrusunun eğimi f ′ (x) türevidir. Dolayısıyla, S den R
ye olan yönlü uzaklık f ′ (x)dx = dy dir.
dir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
91/ 99
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
92/ 99
Diferansiyeller
Diferansiyeller
Sonuç olarak, x değeri dx miktarı kadar değiştiğinde,
∆y, y = f (x) eğrisinin artma yada azalma miktarını, dy ise teğet
doğrusunun artma yada azalma miktarını (doğrusallaştırmadaki
değişimi) göstermektedir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Şekilden ∆x küçüldükçe ∆y ≈ dy yakalaşımının daha iyi olduğunu
söyleyebiliriz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
93/ 99
MAT 1009 Matematik I
94/ 99
Örnek
Diferansiyeller
Örneğin f (x) =
Eğer dx = x − a yazarsak, x = a + dx olur ve (13) deki doğrusal
yaklaştırımları diferansiyel gösterimi ile yeniden yazarsak
√
x + 3 fonksiyonu için
dx
dy = f ′ (x)dx = √
2 x+3
elde edilir. Eğer a = 1 ve dx = ∆x = 0.05 alırsak,
f (a + dx) ≈ f (a) + dy
dy =
olur.
ve
√
0.05
√
= 0.0125
2+ 1+3
4.05 = f (1.05) ≈ f (1) + dy = 2.0125
değerini buluruz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
95/ 99
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
96/ 99
Örnek
Örnek...
Son örneğimiz, yaklaşık ölçümler sonucu meydana gelen hataları
hesaplamada diferansiyellerin kullanımını göstermektedir.
Örnek : Bir kürenin yarıçapı en fazla 0.05 cm lik ölçüm hatası ile
21 cm olarak ölçülmüştür. Yarıçap için bu değer kullanılırsa
kürenin hacim hesabında yapılan maksimum hata ne olur?
Çözüm: Kürenin yarıçapına r dersek, havim V = 43 πr3 dür. Eğer
r nin ölçüm hatası dr = ∆r ile gösterilirse, V nin hacim hesabında
buna karşı gelen hata ∆V dir ve
dV = 4πr2 dr
diferansiyeli ile yaklaştırılabilir. r = 21 ve dr = 0.05 alınırsa,
dV = 4π(21)2 (0.05) ≈ 277
olur. Hacim hesabındaki maksimum hata yaklaşık 277 cm3 tür.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
97/ 99
Not
Not: Örnekteki mümkün olabilecek hata oldukça büyük
gözükmesine rağmen, bu hatanın büyüklüğü, hatanın toplam
hacime bölünmesi ile elde edilen göreli hata ile daha iyi anlaşılır:
∆V
dr
dV
4πr2 dr
≈
= 4 3 =3 .
V
V
r
3 πr
Böylece, hacimdeki göreli hata, yarıçaptaki göreli hatanın yaklaşık
3 katı olur. Örnek te yarıçaptaki göreli hata yaklaşık olarak
dr/r = 0.05/21 ≈ 0.0024 hacimdeki göreli hata ise yaklaşık 0.007
dir. Hatalar yarıçapta %0.24 ve hacimde %0.7 olmak üzere
yüzdelik hata olarak da ifade edilebilir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
99/ 99
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
98/ 99

Download

Bilinen Türevlerden Yeni Türevler Elde Etmek Bilinen Türevlerden

Products

Support

Bilinen Türevlerden Yeni Türevler Elde Etmek Bilinen Türevlerden

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib