quasi konveks ve genelleştirilmiş quasi konveks fonksiyonlar için

T.C.
ORDU ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
QUASİ KONVEKS VE GENELLEŞTİRİLMİŞ QUASİ KONVEKS
FONKSİYONLAR İÇİN SIMPSON TİPLİ EŞİTSİZLİKLER
NAZLI UYGUN
YÜKSEK LİSANS TEZİ
ORDU 2016
ÖZET
QUASİ KONVEKS VE GENELLEŞTİRİLMİŞ QUASİ KONVEKS
FONKSİYONLAR İÇİN SIMPSON TİPLİ EŞİTSİZLİKLER
Nazlı UYGUN
Ordu Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı, 2016
Yüksek Lisans Tezi, 47s.
Danışman: Doç. Dr. Erhan SET
Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm eşitsizlikler, konveks fonksiyonlar ve
kesirli integraller ile ilgili günümüze kadar yapılan çalışmalar hakkında bazı bilgileri içeren
giriş bölümüdür. İkinci bölümde temel tanımlar, teoremler ile birlikte ilgili sonuçlar ve
örnekler verilmiştir. Üçüncü bölümde ilk olarak Riemann-Liouville kesirli integralleri
hakkında bilgiler ve ilgili Simpson tipli bazı eşitsizlikler verilmiştir. Daha sonra α tipli
kümeler hakkında temel bilgiler ile α tipli kümelerde limit, süreklilik, lokal kesirli türev,
lokal kesirli integral gibi kavramlar hakkında genel bilgiler verilmiştir. Dördüncü bölümde
lokal kesirli integraller yardımıyla elde edilen özdeşlikler ile bu özdeşliklerden
faydalanılarak genelleştirilmiş quasi-konveks fonksiyonlar için yeni Simpson tipli
eşitsizlikler elde edilmiştir. Son bölümde ise sonuçlar ve öneriler verilmiştir.
Anahtar Kelimeler: Genelleştirilmiş quasi konveks fonksiyon, Kesirli integraller, Quasi
konveks fonksiyon, Simpson tipli eşitsizlikler.
II
ABSTRACT
SIMPSON TYPE INEQUALITIES FOR QUASI CONVEX AND GENERALİZED
QUASI CONVEX FUNCTIONS
Nazlı UYGUN
Ordu University
Institute for Graduate Studies in Science and Technology
Department of Mathematics, 2016
MSc. Thesis, 47p.
Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Erhan SET
This thesis consist of four chapters. First chapter is the introduction part that includes
information about the studies that have been performed related to inequalities, convex
functions and fractional integrals until now. In the second chapter, fundamental definitions,
theorems, related results and examples are given. In the third chapter, firstly the informations
about Riemann-Liouville fractional integral and its associated some Simpson type
inequalities are given. Then, fundamental informations about α type sets and general
informations the concept as limit, continuity, local fractional derivative and local fractional
integral on α type sets(or fractional sets) are given.
In the fourth chapter, the identities obtained via local fractional integrals and by using these
identites, new Simpson type inequalities for generalized quasi-convex functions is
established. It is given the result and propositions in the last chapter.
Key Words: Generalized quasi convex function, Fractional integrals, Quasi convex
function, Simpson type inequalities.
III
TEŞEKKÜR
Tüm çalışmalarım boyunca her zaman bilgi ve deneyimleriyle yolumu açan değerli
hocam Sayın Doç. Dr. Erhan SET' e en samimi duygularımla teşekkürlerimi sunarım.
Çalışmalarım boyunca desteklerini esirgemeyen Ordu Üniversitesi Fen Edebiyat
Fakültesi Matematik Bölümü öğretim üyelerine teşekkür ederim.
Anabilim dalımızın yüksek lisans öğrencilerinden Sayın Necla KORKUT ve Sayın
Barış ÇELİK’e düzenleme, yardım ve desteklerinden dolayı teşekkür ederim.
Ayrıca çalışmam boyunca benden maddi ve manevi desteklerini esirgemeyen
babama, anneme müteşekkirim.
Bu çalışma Ordu Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Koordinasyon Birimi
tarafından desteklenmiştir (Proje No:TF-1605).
IV
İÇİNDEKİLER
Sayfa
TEZ BİLDİRİMİ…….……………………………………………..............................
I
ÖZET…………………………………………………………………………………...
II
ABSTRACT…………………………………………………………………................
III
TEŞEKKÜR……………………………………………………………………………
IV
İÇİNDEKİLER……………………………………………………………...................
V
SİMGELER ve KISALTMALAR…...……………………………………..................
VII
1.
GİRİŞ………………………………………………………….........................
1
2.
TEMEL KAVRAMLAR…………………..….……………………………..
3
2.1.
Genel Kavramlar……………………………………….....................................
3
3.
MATERYAL ve YÖNTEM…………………….............................................
11
3.1.
Kesirli İntegraller Yardımıyla Simpson Tipli Eşitsizlikler…………………….
11
3.1.1
Riemann-Liouville Kesirli İntegralleri...............................................................
11
3.1.2
Riemann-Liouville Kesirli İntegralleri Yardımıyla Simpson Tipli
Eşitsizlikler………………………………………………………………….....
13
3.2.
α-tipli Kümeler…………………………………………………………………
18
3.2.1.
Bazı Sonsuz Kümeler…………………………………………………………..
18
3.2.2.
α-Tipli Kümeler…………………………………………..................................
18
3.2.3.
α-tipli Sayı Kümeleri………………………………………………………......
19
3.2.4.
α-tipli Reel Sayılar Kümesinde İşlemler……………………………………….
19
3.2.5.
α-tipli Reel Sayıların Mutlak Değeri……………………………………..........
20
3.2.6.
α-tipli Reel Sayılarda Eşitsizlikler ve Özellikleri……………………………...
21
3.2.7.
α-tipli Kümelerde Sayılabilirlik………………………………………………..
21
3.2.8.
α-tipli Kümelerde Komşuluk…………………………………………………..
22
3.2.9.
α-tipli Kümenin Limit Noktası……………….....…………………………......
22
3.3.
α-tipli Kümeler Üzerinde Fonksiyonlar…………..............................................
22
3.3.1.
α-tipli Kümelerde Fonksiyonların Limiti………………………………………
22
3.3.2.
α-tipli Kümelerde Fonksiyonların Lokal Kesirli Sürekliliği…………………...
24
3.3.3.
α-tipli Kümeler Üzerinde Elementer Fonksiyonlar……………………………
25
V
3.3.4.
α-tipli Kümelerde Fonksiyonların Lokal Kesirli Türevi……………................
26
3.3.5.
α-tipli Kümelerde Fonksiyonların Lokal Kesirli Diferansiyeli………………..
27
3.3.6.
Yüksek Mertebeden Lokal Kesirli Türev……………………………………...
28
3.4.
α-tipli Kümelerde Fonksiyonların Lokal Kesirli İntegrali……………………..
28
3.4.1.
Lokal Kesirli İntegral………………………………………………………......
28
3.4.2.
Lokal Kesirli İntegralin Özellikleri……………………………………….……
2
29
3.4.3.
Lokal Kesirli İntegral için Teoremler………………………………….……....
29
3.4.4.
Trigonometrik Fonksiyonların Lokal Kesirli İntegrali……….……..................
30
3.4.5.
Lokal Kesirli Belirsiz İntegral…………………................................................
31
3.4.6.
Elementer Fonksiyonların Lokal Kesirli Belirsiz İntegrali………....................
32
4.
ARAŞTIRMA BULGULARI……...................................................................
33
4.1.
Lokal Kesirli İntegraller Yardımıyla Genelleştirilmiş Quasi-Konveks
Fonksiyonlar için Simpson Tipli Eşitsizlikler……............................................
33
5.
TARTIŞMA ve SONUÇ…………………………...........................................
43
6.
KAYNAKLAR ……………………….............................................................
44
ÖZGEÇMİŞ……………………………………………………………………………
47
VI
SİMGELER ve KISALTMALAR
β
: Beta fonksiyonu
:
Aralığında Hölder Kesirli Sürekli Fonksiyonlar
Kümesi
: α. Dereceden
Aralığında Diferansiyellenebilen
Fonksiyonlar Kümesi
:
:
Fonksiyonunun Birinci Mertebeden Türevi
Fonksiyonunun İkinci Mertebeden Türevi
: Fonksiyonunun α. Mertebeden Lokal Kesirli Türevi
: Gamma fonksiyonu
Sayılar Kümesinde Bir Aralık
:
: I’ nın İçi
:
’in Lokal Kesirli İntegrali
: α. Dereceden Sağ Riemann-Liouville Kesirli İntegral
: α. Dereceden Sol Riemann-Liouville Kesirli İntegral
:
Aralığında İntegrallenebilen Fonksiyonlar Kümesi
: α-Tipli Doğal Sayılar Kümesi
: α-Tipli Rasyonel Sayılar Kümesi
: Reel Sayılar Kümesi
: α-Tipli Reel Sayılar Kümesi
: α-Tipli Tam Sayılar Kümesi
VII
1. GİRİŞ
Eşitsizlikler ve konveks fonksiyonlar matematiğin tüm alanlarında önemli bir rol oynaması ve aktif bir araştırma alanı olmasından dolayı, özellikle son yıllarda araştırmacıların
ilgi odağı haline gelmiştir.
Eşitsizlikler matematiğin hemen hemen tüm alanlarında önemli bir rol oynar. Eşitsizlikler ile ilgili ilk temel çalışma 1934’te Hardy, Littlewood ve Polya[8] tarafından yazılan
“Inequalities” adlı kitaptır. E.F. Beckenbach and R. Bellman[4] tarafından 1934-1960
döneminde eşitsizlikler üzerine elde edilen bazı ilginç sonuçları içeren “Inequalities” adlı
ikinci kitap yazılmıştır. Mitrinovic’in[11] 1970’te yayınlanan “Analytic Inequalities ”
adlı kitabı yukarıda bahsedilen iki kitapta da yer almayan yeni konular içerir. Bu üç
temel kaynağın yanı sıra Mitrinovic ve arkadaşları[12] tarafından “Classical and New
Inequalities in Analysis”, Pachpatte[14] tarafından “Mathematical Inequalities” adlı kitaplar ve son yıllarda da Sever S.S. Dragomir, V. Lakshmikantham, R.P. Agarwal gibi
araştırmacılar tarafından eşitsizlikler konusunda pek çok kitap, makale ve monografi
yazılmıştır. Eşitsizlikler yaygın olarak matematik ve uygulamalı matematiğin çeşitli dallarının gelişiminin arkasındaki temel itici güçlerinden biri olarak kabul edilmektedir. Son
on yıldan fazladır matematiğin birçok farklı alanlardaki uygulamalarda literatürde yerini
almış temel eşitsizlikler büyük bir katkı sağlamaktadır. Bu eşitsizliklerden biri de Simpson
eşitsizliğidir.
Konveks fonksiyonların tarihi M.Ö. 250 yılında Archimedes’in ünlü pi değerini hesaplamasına kadar dayanmakla birlikte başlangıcı 19. yüzyılın sonları olarak gösterilebilir.
Konveks fonksiyonların ilk kez sistemli olarak 1905 ve 1906 yıllarında J.L.W.V. Jensen
tarafından çalışıldığı ve Jensen’in bu öncü çalışmalarından itibaren konveks fonksiyonlar
teorisinin hızlı bir gelişme gösterdiği kabul edilmektedir. Beckenbech ve Bellman[4] ve
Mitrinovic[11] gibi pek çok araştırmacı konveks fonksiyonlar için eşitsizlikler konusunu kitaplarında ele almışlardır. Sadece konveks fonksiyonlar için eşitsizlikleri içeren ilk kaynak
(Convex functions: Inequalities) 1987 yılında Pecaric[15] tarafından yazılmıştır. Ayrıca
Roberts ve Varberg[17], Pečarić ve arkadaşları[16], Niculescu ve Persson[13] gibi pek çok
kişi konveks fonksiyonlar üzerinde eşitsizliklerle ilgili çok sayıda çalışma yapmışlardır.
Matematiksel analiz, uygulamalı matematik, olasılık teorisi ve matematiğin diğer çeşitli
alanlarında doğrudan veya dolaylı olarak konveks fonksiyonların birçok uygulaması vardır.
Ayrıca farklı araştırmacılar tarafından konveks fonksiyonların birçok farklı türü tanımlanmış
ve bu yeni konvekslikler yardımıyla eşitsizlikler elde edilmiştir. Bu konveksliklerden biri
1
de quasi konveks fonksiyonlardır. 1953’te, quasi konveks fonksiyonlar sınıfını oluşturan,
isimlendiren ve geliştiren kişilerin başında W. Fenchel gelmektedir. Fenchel’in “Convexs
Cones Sets and Functions” adlı ders notları bu sınıfın ilk kaynaklarındandır.
Kesirli türev ve kesirli integral kavramları ilk olarak Liouville tarafından duyruldu.
Kesirli türev ve kesirli integral kavramı türev ve integrallerin sadece tam sayılar için
var mıdır sorusundan yola çıkılarak ortaya çıkmış 17. yüzyıldan itibaren Leibniz, Euler,
Lagrange, Abel, Liouville ve diğer birçok matematikçinin kesirli mertebe için diferensiyel
ve integrasyonun genelleştirilmesine dayanan öncü çalışmalarıyla gelişmeye başlanmıştır.
Uygulamalı alanlarda kesirli türev ve kesirli integral kavramları hakkında ilk kaynak kitap
S.G. Samko ile A.A. Kilbas ve O.I. Marichev[18] tarafından yazılmış olup bu kavramlar
üzerinde birçok çalışma yapılmıştır. Bu çalışmalardan bir tanesi de 2011 yılında Xiao-Jun
Yang[27] tarafından yazılan, kesirli küme, lokal kesirli türev ve lokal kesirli integral gibi
kavramların tanıtıldığı “Lokal Kesirli Fonksiyonel Analiz ve Uygulamaları” adlı eserdir.
Yang’ın bu eserinden faydalanarak son bir kaç yılda genelleştirilmiş konveks fonksiyonlar
ve bazı türleri tanıtılmış ve bu fonksiyonlar yardımıyla da yeni eşitsizlikler elde edilmiştir.
Bu tezin amacı ilk olarak Riemann-Liouville kesirli integralleri yardımıyla quasikonveks fonksiyonlar için bazı Simpson tipli eşitsizliklerin genelleştirmelerini vermektir. Daha sonra ise α− tipli kümeler hakkında bilgi verilerek bu kümeler yardımıyla
genelleştirilmiş quasi-konvekslik kavramı verilip, bu fonksiyon yardımıyla yeni genelleştirilmiş
Simpson tipli eşitsizlikler elde etmektir.
2
2. TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde, çalışmamızda kullanılacak olan tanımlar, teoremler, bazı iyi bilinen
eşitsizlikler ve temel özellikler ile gerekli olan ispatlar verilecektir.
2.1
Genel Kavramlar
Tanım 2.1.1 “(Lineer Uzay): L boş olmayan bir küme ve F bir cisim olsun.
+ : L × L → L ve · : F × L → L işlemleri tanımlansın. Aşağıdaki şartlar sağlanıyorsa
L ye F cismi üzerinde lineer uzay(vektör uzayı ) denir.
A) L, + işlemine göre değişmeli bir gruptur. Yani,
G1. Her x, y ∈ L için x + y ∈ L dir,
G2. Her x, y, z ∈ L için x + (y + z) = (x + y) + z dir,
G3. Her x ∈ L için x + Θ = Θ + x = x olacak şekilde Θ ∈ L vardır,
G4. Her x ∈ L için x + (−x) = (−x) + x = Θ olacak şekilde −x ∈ L vardır,
G5. Her x, y ∈ L için x + y = y + x dir.
B) x, y ∈ L ve α, β ∈ F olmak üzere aşağıdaki şartlar sağlanır.
L1. α.x ∈ L dir,
L2. α.(x + y) = α.x + α.y dir,
L3. (α + β).x = α.x + β.x dir,
L4. (αβ).x = α(β.x) dir,
L5. 1.x = x dir(Burada 1, F nin birim elemanıdır).
F = R ise L ye reel lineer uzay, F = C ise L ye kompleks uzay adı verilir [1].
Tanım 2.1.2 F bir cisim ve V ve W, F cismi üzerinde iki lineer uzay olsun. u, v ∈ V ve
c ∈ F olmak üzere T : V → W dönüşümü,
(a) T (u + v) = T (u) + T (v)
(b) T (cu) = cT (u)
şartlarını sağlıyorsa T ye V üzerinde lineer dönüşüm denir [1].
Tanım 2.1.3 (Konveks Küme): L bir lineer uzay A ⊆ L ve x, y ∈ A keyfi olmak üzere
B = {z ∈ L : z = αx + (1 − α)y,
0 ≤ α ≤ 1} ⊆ A
ise A kümesine konveks küme denir. Eğer z ∈ B ise z = αx + (1 − α)y eşitliğindeki
x ve y’nin katsayıları icin α + (1 − α) = 1 bağıntısı her zaman doğrudur. Bu sebeple
3
konveks küme tanımındaki α, 1 − α yerine α + β = 1 şartını sağlayan ve negatif olmayan
reel α, β sayılarını alabiliriz. Geometrik olarak B kümesi uç noktaları x ve y olan bir
doğru parçasıdır. Bu durumda sezgisel olarak konveks küme, boş olmayan ve herhangi iki
noktasını birleştiren doğru parçasını ihtiva eden kümedir [3].
Tanım 2.1.4 (Konveks Fonksiyon): I, R de bir aralık ve f : I → R bir fonksiyon
olmak üzere her x, y ∈ I ve t ∈ [0, 1] için,
f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y)
şartını sağlayan f fonksiyonuna konveks fonksiyon denir. Eşitsizlikte
(2.1.1)
00
≥00 olması duru-
munda ise f fonksiyonuna konkav fonksiyon denir. Eğer (2.1.1) eşitsizliği t ∈ (0, 1) için
kesin ise bu durumda f fonksiyonuna kesin konvekstir denir [13].
Tanım 2.1.5 Eğer f fonksiyonu hem konveks hem de konkav ise f ’ye afin(lineer)dir
denir[7].
Tanım 2.1.6 (J-Konveks Fonksiyon): I, R’de bir aralık olmak üzere her x, y ∈ I için
f (x) + f (y)
x+y
≤
f
2
2
şartını sağlayan f fonksiyonuna I üzerinde Jensen konveks veya J-konveks fonksiyon denir
[11].
Tanım 2.1.7 (Kesin J-Konveks Fonksiyon): Her x, y ∈ I ve x 6= y için
x+y
f (x) + f (y)
f
<
2
2
oluyorsa f fonksiyonuna I üzerinde J-konveks fonksiyon denir [11].
Sonuç 2.1.1 Her konveks fonksiyon J konveks fonksiyondur.
Sonuç 2.1.2 I ⊂ R olmak üzere, bir f fonksiyonunun I’da konveks olması için gerek ve
yeter sart, her x, y ∈ I ve her p, q > 0 reel sayıları için
px + qy
pf (x) + qf (y)
f
≤
p+q
p+q
olmasıdır. Bu eşitsizlik (2.1.1) eşitsizliğine denktir [12].
Teorem 2.1.1 f fonksiyonu [a, b] aralığında konveks ise
a. f, (a, b) aralığında süreklidir
b. f, [a, b] aralığında sınırlıdır [2].
4
Teorem 2.1.2 f fonksiyonunun I aralığında ikinci türevi varsa, f fonksiyonunun bu
aralık üzerinde konveks olması için gerek ve yeter sart x ∈ I için
f 00 (x) ≥ 0
olmasıdır [11].
Tanım 2.1.8 (Quasi Konveks Fonksiyon): f : I → R bir fonksiyon ve I ⊂ R boştan
farklı konveks küme olsun. Her x, y ∈ I ve λ ∈ [0, 1] için
f (λx + (1 − λ)y) ≤ max f (x), f (y)
ise f ’ye quasi konveks fonksiyon denir[5].
Eğer
f (λx + (1 − λ)y) < max f (x), f (y)
ise f ’ye kesin quasi konveks fonksiyon denir. Aynı şartlar altında
f (λx + (1 − λ)y) ≥ max f (x), f (y)
ise f ’ye quasi konkav fonksiyon ve
f (λx + (1 − λ)y) > max f (x), f (y)
ise f ’ye kesin quasi konkav fonksiyon denir [5].
Tanım 2.1.9 f hem quasi konveks hem de quasi konkav ise f ’ ye quasi monotonik denir
[7].
Not 2.1.1 Her konveks fonksiyon aynı zamanda bir quasi konveks fonksiyondur. Fakat
bunun tersi doğru değildir. Yani konveks fonksiyon olmadığı halde quasi-konveks olan
fonksiyonlar vardır.
Örnek 2.1.1 g : [−2, 2] → R fonksiyonu
1, t ∈ [−2, −1],
g(t) =
t, t ∈ (−1, 2].
şeklinde tanımlansın. Bu g(t) fonksiyonu [−2, 2]’de quasi konveks fonksiyondur; fakat
konveks fonksiyon değildir [10].
Teorem 2.1.3 (Hermite-Hadamard Eşitsizliği): I, R’de bir aralık, a, b ∈ I ve a < b
olmak üzere f : I ⊆ R → R konveks bir fonksiyon olsun. Bu durumda
Z b
f (a) + f (b)
a+b
1
f
≤
f (x)dx ≤
2
b−a a
2
eşitsizliği literatürde konveks fonksiyonlar için Hermite-Hadamard eşitsizliği olarak bilinir
[16].
5
Teorem 2.1.4 (Simpson Eşitsizliği): f : [a, b] → R, (a, b) üzerinde dördüncü mertebeden türevi sürekli olan bir fonksiyon ve kf (4) k∞ = sup |f (4) (x)| < ∞ olsun. Bu
x∈(a,b)
durumda
Z b
1 f (a) + f (b)
a
+
b
1
≤ 1 f (4) (b − a)4
+
2f
−
f
(x)dx
3
2880
∞
2
2
b−a a
eşitsizliği geçerlidir. Bu eşitsizlik literatürde Simpson Eşitsizliği olarak bilinmektedir [6].
İspat.
Bu teoremi ispatlamak için aşağıdaki eşitlik kullanılacaktır. f : [a, b] → R,
(a, b) üzerinde dördüncü mertebeden türevi sürekli olan bir fonksiyon ve ||f (4) ||∞ =
sup |f (4) | < ∞ ve
x∈(a,b)


 1 (x − a)3 x − a + 2b , x ∈ [a, a+b ),
2
24
3
S(x) =
1
2a
+
b


(x − b)3 x −
, x ∈ [ a+b
, b].
2
24
3
olmak üzere
Z
b
S(x)f
a
(4)
a+b
2
1
a + 2b (4)
3
(x − a) x −
f (x)dx
(x)dx =
24
3
a
Z b
1
2a + b (4)
3
(x − b) x −
+
f (x)dx
a+b 24
3
2
Z
(2.1.2)
yazılır.
Yukarıdaki eşitliğin her iki tarafının mutlak değeri alınıp üçgen eşitsizliği uygulanırsa;
Z b
(4)
S(x)f (x)dx
Za a+b
Z b
2
1
a
+
2b
1
2a
+
b
= (x − a)3 x −
f (4) (x)dx +
(x − b)3 x −
f (4) dx
a+b 24
a
24
3
3
2
Z a+b
Z b
2
1
a + 2b (4) 1
2a + b (4) 3
3
≤
|x − a| x −
f (x) dx +
|x − b| x −
f (x) dx
a+b 24
24
3 3
a
2
( Z a+b
)
Z b
4
2
||f ||∞
a
+
2b
2a
+
b
≤
(x − a)3 − x +
dx +
(b − x)3 x −
dx
a+b
24
3
3
a
2
=
||f 4 ||∞
(b − a)5
2880
olur. İlk ve son terimlerden
Z a+b
Z b
2
1
a
+
2b
1
2a
+
b
3
(4)
3
(4)
(x
−
a)
x
−
f
(x)dx
+
(x
−
b)
x
−
f
(x)dx
a+b
a
24
3
24
3
2
≤
||f 4 ||∞
(b − a)5
2880
(2.1.3)
6
yazılır. Şimdi (2.1.2) eşitliğine adım adım kısmi integrasyon metodu uygulanırsa
Z b
(4)
S(x)f
(x)dx
(2.1.4)
a
Z a+b
Z b
2
a + 2b (4)
2a + b (4)
1
1
3
3
= (x − a) x −
f (x)dx +
(x − b) x −
f (x)dx
a+b
a
24
3
24
3
2
Z b
2
a + b 1
f (x)dx
= − (b − a)f
− (b − a)[f (a) + f (b)] +
3
2
6
a
elde edilir. (2.1.3) ve (2.1.4) den
Z b
2
a
+
b
1
− (b − a)f
f
(x)dx
−
(b
−
a)[f
(a)
+
f
(b)]
+
3
2
6
a
Z a+b
Z b
2
1
a
+
2b
1
2a
+
b
3
(4)
3
(4)
= (x − a) x −
f (x)dx +
(x − b) x −
f (x)dx
a+b 24
a
24
3
3
2
≤
||f 4 ||∞
(b − a)5
2880
yazılır. Yani
Z b
||f 4 ||∞
2
a
+
b
1
− (b − a)f
f (x)dx ≤
− (b − a)[f (a) + f (b)] +
(b − a)5
3
2
6
2880
a
olur. Her iki taraf (b − a)’ ya bölünürse
Z b
1 f (a) + f (b)
||f 4 ||∞
a
+
b
1
≤
f
(x)dx
+
2f
−
(b − a)4
3
2
2
b−a a
2880
eşitsizliği elde edilir. Böylece ispat tamamlanır.
Quasi-konveks fonksiyonlar, Hermite-Hadamard eşitsizliği ve Simpson eşitsizliği üzerine
yazılan birçok makalenin dışında literatürde yapılan tez çalışmalarına da rastlanmaktadır
[24, 32].
Hua ve arkadaşları iki kez diferansiyellenebilen fonksiyonlar için aşağıdaki eşitliği elde
etmişlerdir [9].
Lemma 2.1.1 f : [a, b] ⊂ R → R bir fonksiyon olsun. f 0 , mutlak sürekli ve f 00 ∈ L1 [a, b]
olmak üzere
Z b
Z
2a + b a + 2b 1
(b − a)2 1
1
f (a) + 2f
+ 2f
+ f (b) −
f (x)dx =
t(1 − t)
6
3
3
b−a a
54
0
1−t 2−t 3−t 00 2 + t
00 1 + t
00 t
× f
a+
b +f
a+
b +f
a+
b dt
(2.1.5)
3
3
3
3
3
3
eşitliği geçerlidir.
7
Set ve arkadaşları quasi-konveks fonksiyonlar için Simpson tipli aşağıda verilen eşitsizlikleri
elde etmişlerdir.
Teorem 2.1.5 f : I ⊂ R → R, I ◦ ’de diferansiyellenebilen bir dönüşüm, a, b ∈ I, a < b
ve f 0 ∈ L[a, b] olsun. |f 0 |, [a, b] üzerinde quasi-konveks ise
Z b
1
a
+
b
1
+ f (b) −
f (x)dx
6 f (a) + 4f 2
b−a a
5(b − a)
≤
max{|f 0 (a)|, |f 0 (b)|}
36
(2.1.6)
eşitsizliği geçerlidir [19].
Teorem 2.1.6 f : I ⊂ R → R, I ◦ ’de diferansiyellenebilen bir dönüşüm, a, b ∈ I, a < b
1 1
ve f 0 ∈ L[a, b] olsun. |f 0 |q , [a, b] üzerinde quasi-konveks ve q > 1, + = 1 olmak üzere
p q
Z b
1
a + b
1
+ f (b) −
f (x)dx
6 f (a) + 4f 2
b−a a
1
1
1
1 + 2p+1 p
max |f 0 (a)|q , |f 0 (b)|q q
≤ (b − a)
6
3(p + 1)
(2.1.7)
eşitsizliği geçerlidir [19].
Teorem 2.1.7 f : I ⊂ R → R, I ◦ ’de diferansiyellenebilen bir dönüşüm, a, b ∈ I, a < b
ve f 0 ∈ L[a, b] olsun. |f 0 |q , [a, b] üzerinde quasi-konveks ve q ≥ 1 olmak üzere
Z b
1
a + b
1
f (x)dx
+ f (b) −
6 f (a) + 4f 2
b−a a
1
5(b − a)
≤
max{|f 0 (a)|q , |f 0 (b)|q } q
36
eşitsizliği geçerlidir [19].
Teorem 2.1.8 (Üçgen Eşitsizliği): Herhangi x, y reel sayıları için
|x + y| ≤ |x| + |y|,
|x| − |y| ≤ |x − y|,
|x| − |y| ≤ |x + y|,
ve tümevarım metoduyla
|x1 + ... + xn | ≤ |x1 | + ... + |xn |
eşitsizlikleri geçerlidir [12].
8
(2.1.8)
Teorem 2.1.9 (Üçgen Eşitsizliğinin İntegral Versiyonu): f, [a, b] aralığında sürekli
reel değerli bir fonksiyon olsun. Bu takdirde
Z b
Z b
≤
f
(x)dx
|f (x)|dx (a < b)
a
a
eşitsizliği geçerlidir [12].
Teorem 2.1.10 (Hölder Eşitsizliği): a = (a1 , a2 , . . . , an ) ve b = (b1 , b2 , . . . , bn ) reel
veya kompleks sayıların iki n−lisi olsun. Bu takdirde
1 1
+ =1
p q
olmak üzere
a. p > 1 ise,
n
X
ak b k ≤
X
n
k=1
p
|ak |
p1 X
n
k=1
q
1q
|bk |
,
k=1
b. p < 0 veya q < 0 ise,
n
X
ak b k ≥
X
n
p
|ak |
p1 X
n
k=1
k=1
q
1q
|bk |
k=1
eşitsizlikleri geçerlidir [11].
1
p
Teorem 2.1.11 ( İntegraller için Hölder Eşitsizliği): p > 1 ve
+
1
q
p
= 1 olsun. f
ve g, [a, b] aralığında tanımlı ve integrallenebilen iki fonksiyon olsun. |f | ve |g|q , [a, b]
aralığında tanımlı ve integrallenebilen fonksiyonlar ise
p1 Z b
1q
Z b
Z b
|f (x)g(x)|dx ≤
|f (x)|p dx
|g(x)|q dx
a
a
a
eşitsizliği geçerlidir [12].
Ayrıca Hölder eşitsizliğinin bir sonucu olan power-mean eşitsizliği de aşağıdaki şekilde
ifade edilmiştir. Power-mean eşitsizliği kullanılarak daha iyi üst sınırlar elde edilir.
Sonuç 2.1.3 ( Power-Mean Eşitsizliği): q ≥ 1 olsun. f ve g, [a, b] aralığında tanımlı
ve integrallenebilen iki fonksiyon olsun. |f | ve |g|q , [a, b] aralığında integrallenebilen
fonksiyonlar ise ,
Z b
Z
|f (x)g(x)|dx ≤
a
1− 1q Z
b
a
eşitsizliği geçerlidir.
9
q
|f (x)||g(x)| dx
|f (x)|dx
a
b
1q
Tanım 2.1.10 (Gamma Fonksiyonu): n > 0 için
Z ∞
e−u un−1 du
Γ(n) =
0
ile tanımlanır. Bu integral n > 0 için yakınsaktır. Gamma fonksiyonunun bazı önemli
özellikleri aşağıda verilmiştir.
1. Γ(n + 1) = nΓ(n) = n!
2. Γ( 12 ) =
3.
R∞
0
√
Π
xp
dx
1+x
= Γ(p)Γ(1 − p) =
4. 22n−1 Γ(n)Γ(n + 12 ) =
√
Π
,
sin pΠ
0<p<1
ΠΓ(2n).
Tanım 2.1.11 (Beta Fonksiyonu): x > 0 ve y > 0 için
Z 1
β(x, y) =
tx−1 (1 − t)y−1 dx
0
şeklinde ifade edilen β(x, y) gösterimine β fonksiyonu denir. Gamma ve Beta fonksiyonları
arasında
β(m, n) =
Γ(m)Γ(n)
m, n > 0
Γ(m + n)
şeklindeki ilişki literatürde sıkça kullanılmaktadır.
10
3. MATERYAL ve YÖNTEM
Bu bölümde Riemann-Liouville kesirli integralleri ve bu integraller yardımıyla elde
edilen Simpson tipli bazı eşitsizlikler verilecektir.
3.1
3.1.1
Kesirli İntegraller Yardımıyla Simpson Tipli Eşitsizlikler
Riemann-Liouville Kesirli İntegralleri
Kesirli Riemann-Liouville integral operatörünü elde etmek için ilk olarak n-katlı
Z x Z σ1 Z σ2 Z σn−1
f (σn )dσn dσn−1 ...dσ2 dσ1
(3.1.1)
...
a
a
a
a
integralini ele alalım. Bu integrallerde integrasyon sırasını ve buna bağlı sınırları değiştirelim.
Bunun için;
a < σ1 < x
σ2 < σ1 < x
a < σ2 < σ1
σ3 < σ2 < x
,...,
,...,
a < σn−1 < σn−2
σn < σn−1 < x
a < σn < σn−1
a < σn < x
sınır değişimleri altında (3.1.1) ifadesi,
Z x Z σ1 Z σ2 Z σn−1
...
f (σn )dσn dσn−1 ...dσ2 dσ1
a
a
a
a
Z xZ x
Z x
Z xZ x
=
f (σn )
...
dσ1 dσ2 ... dσn−1 dσn
a
σn
σn−1
(3.1.2)
σ3
(3.1.3)
σ2
şeklinde yazılır. (3.1.3) ifadesinin sağ tarafı terim terim hesaplanırsa
Z x Z σ1 Z σ2 Z σn−1
...
f (σn )dσn dσn−1 ...dσ2 dσ1
a
a
a
a
Z x
1
=
f (σn )(x − σn )n−1 dσn
(n − 1)! a
eşitliği elde edilir. Burada Γ(n) = (n − 1)! eşitliği kullanılırsa,
Z x Z σ1 Z σ2 Z σn−1
...
f (σn )dσn dσn−1 ...dσ2 dσ1
a
a
a
a
Z x
1
=
f (σn )(x − σn )n−1 dσn
Γ(n) a
11
(3.1.4)
yazılır. Bu eşitliğin sağ tarafındaki n-sayısı pozitif bir tamsayıdır. Gamma fonksiyonu
tamsayılar dışında da ifade edilebildiğinden, n’nin tamsayı olmaması durumunda (3.1.4)
eşitliğinin sağ tarafı için aşağıdaki kesirli Riemann-Liouville integral operatörünün tanımı
verilebilir.
Tanım 3.1.1 f (x) ∈ L1 (a, b) olsun. Bu durumda,
Z x
1
α
(Ja+ f )(x) =
f (t)(x − t)α−1 dt,
Γ(α) a
Z b
1
α
(Jb− f )(x) =
f (t)(t − x)α−1 dt,
Γ(α) x
x>a
(3.1.5)
x<b
integrallerine α > 0 için α. mertebeden kesirli integral denir. Bu integral literatürde
Riemann-Liouville kesirli integrali olarak bilinir. Burada (Ja0+ f ) = f (x) ve (Jb0− f ) = f (x)
şeklindedir.
Şimdi f (x) = 2x fonksiyonunun α =
1
2
mertebeden kesirli integralinin
3
8
√
x2
3 π
olduğunu
gösterelim. a = 0 olmak üzere Riemann-Liouville kesirli integrali
Z x
1
α
J f (x) =
f (t)(x − t)α−1 dt, x > 0
Γ(α) 0
olarak yazılır. Kabuller altında f (x) = 2x fonksiyonunun α =
1
2
inci mertebeden kesirli
integralinin,
1
2
J f (x)
=
=
=
=
=
=
=
Z x
1
1
2t(x − t)− 2 dt, x > 0
1
Γ( 2 ) 0
Z x
1
2
√
t(x − t)− 2 dt
π 0
Z x
2
t
√
dt,
π 0 (x − t) 12
Z 1
1
1
2
√
(ux)(1 − u)− 2 x 2 du, t = ux
π 0
Z
1
2 3 1
√ x2
u(1 − u)− 2 du
π
0
2 3
1
√ x 2 B(2, )
2
π
√
2 3 Γ(2)Γ( 12 )
2 3 π
2
2
√ x
= √ x 3√π
π
π
Γ( 52 )
4
8 3
= √ x2
3 π
12
olduğu görülür. Şimdi de elde edilen sonucun tekrar 12 inci mertebeden integrali alınırsa,
Z x
1
1 8 3
1
√ t 2 (x − t)− 2 dt, x > 0
J 2 f (x)
= 1
Γ( 2 ) 0 3 π
Z 1
1
3
8
=
(ux) 2 (x − ux)− 2 xdu, t = ux
3π 0
Z
1
8 2 1 3
(u) 2 (1 − u)− 2 du
=
x
3π
0
8 2 5 1
=
x B( , )
3π
2 2
31
8 2 2 2 Γ( 12 )Γ( 12 )
=
x
3π
Γ( 52 + 12 )
8 2 32 12 Γ( 12 )Γ( 12 )
=
x
3π
Γ(3)
2
=x
olduğu görülür.
3.1.2
Riemann-Liouville Kesirli İntegralleri yardımıyla Simpson Tipli Eşitsizlikler
Lemma 3.1.1 f : [a, b] → R, (a, b) üzerinde diferansiyellenebilen bir fonksiyon ve f 0 ∈
R∞
L[a, b], a < b, n ≥ 0 ve α > 0 olsun. ∀ x ∈ [a, b] için Γ(α) = 0 e−u uα−1 du olmak üzere
a + nb
na + b
1
f (a) + f (b) + 2f
+ 2f
I(a, b; n.α) =
6
n+1
n+1
α
Γ(α + 1)(n + 1)
na + b
a + nb
α
α
−
Ja+ f
+ Jb− f
6(b − a)α
n+1
n+1
α
Γ(α + 1)(n + 1)
J αa+nb + f (b) + J αna+b − f (a)
−
3(b − a)α
n+1
n+1
Z 1
α
α
2(1 − t) − t
1−t
b−a
0 n+t
f
a+
b dt
=
2(n + 1) 0
3
n+1
n+1
Z 1 α
t − 2(1 − t)α 0 1 − t
n+t
+
f
a+
b dt
3
n+1
n+1
0
eşitliği geçerlidir [21].
İspat. Kısmi integral alınarak,
Z 1
2(1 − t)α − tα 0 n + t
1−t
f
a+
b dt
3
n+1
n+1
0
α−1
Z na+b
n+1
na + b
α(n + 1)α+1
na + b
n+1
=
f (a) + 2f
−
f (x)
−x
dx
3(b − a)
n+1
3(b − a)α+1 a
n+1
Z na+b
n+1
2α(n + 1)α+1
−
f (x)(x − a)α−1 dx
3(b − a)α+1 a
13
ve
1
tα − 2(1 − t)α 0 1 − t
n+t
f
a+
b dt
3
n+1
n+1
0
α−1
Z
n+1
a + nb
α(n + 1)α+1 b
a + nb
=
f (b) + 2f
−
f (x) x −
dx
3(b − a)
n+1
3(b − a)α+1 a+nb
n
+
1
n+1
α+1 Z b
2α(n + 1)
−
f (x) (b − x)α−1 dx
α+1
a+nb
3(b − a)
n+1
Z
elde edilir. Buradan yukarıdaki eşitlikler taraf tarafa toplanıp, elde edilen ifadede her iki
taraf
b−a
2(n+1)
ile çarpılırsa,
Z 1 b−a
2(1 − t)α − tα 0 n + t
1−t
f
a+
b dt
2(n + 1)
3
n+1
n+1
0
Z 1 α
t − 2(1 − t)α 0 1 − t
n+t
+
f
a+
b dt
3
n+1
n+1
0
1
a + nb
na + b
=
f (a) + f (b) + 2f
+ 2f
6
n+1
n+1
na+b
Z
α−1
n+1
na + b
α(n + 1)α
f (x)
−x
dx
−
6(b − a)α a
n+1
Z na+b
n+1
α(n + 1)α
−
f (x) (x − a)α−1 dx
3(b − a)α a
α−1
Z
α(n + 1)α b
a + nb
−
dx
f (x) x −
6(b − a)α a+nb
n
+
1
n+1
α Z b
α(n + 1)
−
f (x) (b − x)α−1 dx
α
a+nb
3(b − a)
n+1
eşitliği elde edilir. Burada
Z na+b
n+1
1
f (x) (x − a)α−1 dx
Γ(α) a
Z b
1
f (x) (b − x)α−1 dx
Γ(α) a+nb
n+1
α−1
Z na+b
n+1
na + b
1
f (x)
−x
dx
Γ(α) a
n+1
α−1
Z b
1
a + nb
f (x) x −
dx
Γ(α) a+nb
n+1
n+1
= J αna+b − f (a),
n+1
= J αa+nb + f (b),
n+1
na + b
=
,
n+1
a + nb
α
= Jb− f
n+1
Jaα+ f
kesirli integralleri kullanılarak istenilen sonuç elde edilir.
Teorem 3.1.1 f : I ⊂ R → R, I ◦ ’ de diferansiyellenebilen bir fonksiyon, a, b ∈ I, a < b
ve f 0 ∈ L[a, b] olsun. |f 0 |, [a, b] aralığında quasi-konveks ise
α+1
α+1
1
1
2α
"3 − 2 2α
#
−4 1− 1
1
2 α +1
2 α +1
b−a
|I(a, b; n.α)| ≤
max{f 0 |(a)|, f 0 |(b)|}
n+1
3(α + 1)
14
eşitsizliği geçerlidir [20].
İspat. Lemma 3.1.1 özdeşliğinde her iki tarafın mutlak değeri alınırsa,
Z 1
2(1 − t)α − tα 0 n + t
b−a
1 − t |I(a, b; n.α)| ≤
f n + 1 a + n + 1 b dt
2(n + 1)
3
0
Z 1 α
t − 2(1 − t)α 0 1 − t
n
+
t
f
a+
b dt
+
3
n+1
n+1
0
elde edilir. |f 0 | quasi-konveks fonksiyon olduğundan
Z 1
2(1 − t)α − tα b−a
max{|f 0 (a)|, |f 0 (b)|}dt
|I(a, b; n.α)| ≤
2(n + 1)
3
0
Z 1 α
t − 2(1 − t)α 0
0
+
max{|f (a)|, |f (b)|}dt
3
0
" Z 2 α1 1 +1
2α
b−a
2(1 − t)α − tα
dt
=
2(n + 1)
3
0
!
Z 1 α
t − 2(1 − t)α
+ 21
dt max{|f 0 (a)|, |f 0 (b)|}dt
3
α
1
2 α +1
1
2α
1 +1
2α
Z
+
2(1 − t)α − tα
dt
3
#
α
!
t − 2(1 − t)α
dt max{|f 0 (a)|, |f 0 (b)|}
3
0
Z
+
1
1
2α
1 +1
2α
eşitsizliği elde edilir. Buradan da
b−a
|I(a, b; n.α))| ≤
n+1
"3 − 2
1
2α
α+1
1
2 α +1
−4 1−
1
2α
1
2 α +1
α+1
#
3(α + 1)
max{f 0 |(a)|, f 0 |(b)|}
olduğu görülür. Böylece ispat tamamlanmış olur.
Sonuç 3.1.1 Teorem 3.1.1’de α = 1 seçilirse
|I(a, b; n)| ≤
5(b − a)
max |f 0 (a)|, |f 0 (b)|
18(n + 1)
eşitsizliği elde edilir [20].
Teorem 3.1.2 f : I ⊂ R → R, I ◦ ’ de diferansiyellenebilen bir fonksiyon, a, b ∈ I, a < b
1
1
ve f 0 ∈ L[a, b] olsun. α > 0, q > 1 ve + = 1 olmak üzere |f 0 |q , [a, b] aralığında
p
q
quasi-konveks fonksiyon ise
b−a
|I(a, b; n.α)| ≤
n+1
Z
0
1
1 1q
p
2(1 − t)α − tα p
0
q
0
q
dt
max{|f (a)| , |f (b)| }
3
15
eşitsizliği geçerlidir [20].
İspat. Lemma 3.1.1’de her iki tarafın mutlak değeri alınıp, Hölder eşitsizliği kullanılırsa;
"Z 1
α
α b−a
2(1
−
t)
−
t
n
+
t
1
−
t
0
f
|I(a, b; n.α)| ≤
a+
b dt
2(n + 1) 0
3
n+1
n+1
#
Z 1 α
t − 2(1 − t)α 0 1 − t
n
+
t
f
a+
b dt
+
3
n+1
n+1
0
" Z 1 Z 1 q 1q
1
α
α p
p
0 n + t
b−a
2(1
−
t)
−
t
1
−
t
f dt
dt
≤
a
+
b
n + 1
2(n + 1)
3
n+1 0
0
1 Z 1 Z 1 α
q 1q
p
t − 2(1 − t)α p
0 1−t
n
+
t
f
dt
dt
+
a
+
b
3
n+1
n+1 0
0
elde edilir. |f 0 |q quasi-konveks fonksiyon olduğundan ve
1 Z 1 α
1
Z 1
p
p
2(1 − t)α − tα p
t − 2(1 − t)α p
dt
dt
=
3
3
0
0
eşitliği kullanılarak
Z 1
2(1 − t)α − tα 0 n + t
b−a
1 − t |I(a, b; n.α)| ≤
f n + 1 a + n + 1 b dt
2(n + 1)
3
0
!
Z 1 α
t − 2(1 − t)α 0 1 − t
n
+
t
dt
f
+
a
+
b
3
n+1
n+1 0
" Z 1 Z 1
1q
1
α
α p
p
b−a
2(1
−
t)
−
t
dt
≤
max{|f 0 (a)|q , |f 0 (b)|q }dt
2(n + 1)
3
0
0
1Z
1q #
Z 1 α
p
1
p
t − 2(1 − t)α dt
+
max{|f 0 (a)|q , |f 0 (b)|q }dt
3
0
0
1
Z 1
1q
p
p
2(1 − t)α − tα b−a
0
q
0
q
≤
max{|f (a)| , |f (b)| }
dt
n+1
3
0
eşitsizliği elde edilir. Böylece ispat tamamlanır.
Sonuç 3.1.2 Teorem 3.1.2’ de α = 1 seçilirse
1 Z 1
1q
p
2 − 3t p
0
b−a
max |f (a)|q , |f 0 (b)|q
|I(a, b; n)| ≤
3 dt
n+1
0
eşitsizliği elde edilir [20].
Sonuç 3.1.3 Teorem 3.1.2’ de α = 1 ve n = 1 seçilirse
1 Z 1
1
p
2 − 3t p
0
q
b−a
q
0
q
|I(a, b; 1)| ≤
max |f (a)| , |f (b)|
3 dt
2
0
eşitsizliği elde edilir [20].
16
Teorem 3.1.3 f : I ⊂ R → R, I ◦ ’ de diferansiyellenebilen bir fonksiyon, a, b ∈ I, a < b
ve f 0 ∈ L[a, b] olsun. α > 0, q ≥ 1 olmak üzere |f 0 |q , [a, b] aralığında quasi-konveks
fonksiyon ise
b−a
|I(a, b; n.α)| ≤
n+1
"3 − 2
1
2α
1
2 α +1
α+1
−4 1−
3(α + 1)
1
2α
1
2 α +1
α+1
#
0
q
0
q
1q
max{f |(a)| , f |(b)| }
eşitsizliği elde edilir [20].
İspat.
Lemma 3.1.1’de her iki tarafın mutlak değeri alınıp, power-mean eşitsizliği
uygulanılırsa;
"Z 1
α
α b−a
n
+
t
2(1
−
t)
−
t
1
−
t
0
f
dt
|I(a, b; n.α)| ≤
a
+
b
2(n + 1) 0 3
n+1
n+1 #
Z 1 α
t − 2(1 − t)α 0 1 − t
n
+
t
f
dt
a
+
b
+
3
n+1
n+1 0
" Z 1− 1
1
α
α
q
2(1
−
t)
−
t
b−a
dt
≤
2(n + 1)
3
0
Z 1
q 1q
2(1 − t)α − tα 0 n + t
1
−
t
f
dt
×
a
+
b
3
n+1
n+1 0
1− 1
Z 1 α
q
t − 2(1 − t)α dt
+
3
0
q 1q
Z 1 α
t − 2(1 − t)α 0 1 − t
n + t ×
f n + 1 a + n + 1 b dt
3
0
yazılır. Buradan |f 0 |q ’ nin quasi-konveksliği kullanılarak
1− 1
Z 1
q
2(1 − t)α − tα b−a
dt
|I(a, b; n.α)| ≤
2(n + 1)
3
" Z 0
1q
1
α
α
2(1
−
t)
−
t
0
q
0
q
max{|f (a)| , |f (b)| }dt
×
3
0
1q #
Z 1 α
t − 2(1 − t)α max{|f 0 (a)|q , |f 0 (b)|q }dt
+
3
0
elde edilir. Son olarak yukarıdaki integraller hesaplanırsa istenilen sonuçlar elde edilir.
Sonuç 3.1.4 Teorem 3.1.3’ de α = 1 seçilirse
1
q
0
5(b − a)
q
0
q
|I(a, b; n)| ≤
max |f (a)| , |f (b)|
18(n + 1)
eşitsizliği elde edilir [20].
Sonuç 3.1.5 Teorem 3.1.1 ve Teorem 3.1.3’ de, α = 1 ve n = 1 seçilirse, sırasıyla
Teorem (2.1.5) ve Teorem (2.1.7) elde edilir [19].
17
3.2
α− TİPLİ KÜMELER
Bu bölümde α tipli kümeler hakkında temel bilgiler ile α tipli kümelerde limit, süreklilik,
lokal kesirli türev, lokal kesirli integral gibi kavramlar hakkında genel bilgiler verilmiştir.
[26, 27]. Lokal kesirli analiz ile ilgili daha detaylı bilgiler için [25],[28],[29],[30],[31] refaranslarına bakılabilir.
3.2.1
Bazı Sonsuz Kümeler
Bazı sonsuz kümeler aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.
N0 = {0, 1, 2, ..., n, ...}.
Doğal Sayılar Kümesi;
N = {1, 2, ..., n, ...}.
Pozitif Doğal Sayılar Kümesi;
Tamsayılar Kümesi;
Z = {0, ±1, ±2, ..., ±n, ...}.
Negatif Tamsayılar Kümesi;
Rasyonel Sayılar Kümesi;
İrrasyonel Sayılar Kümesi;
Reel Sayılar Kümesi;
Z− = {−1, −2, ..., −n, ...}.
Q = {m =
p
q
= = {m 6=
p
q
: p, q ∈ Z, q 6= 0}.
: p, q ∈ Z, q 6= 0}.
R = = ∪ Q.
Not 3.2.1 Bu sonsuz kümeler arasında N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R şeklinde bir ilişki vardır.
3.2.2
α− tipli Kümeler
Tanım 3.2.1 0 < α ≤ 1 olmak üzere Ω kümesinin α-tipli kümesi Ωα olarak tanımlanır
ve bu küme bir kümenin kesirli kümesi olarak adlandırılır.
Örnek 3.2.1 R kümesi üzerinde Ω =
α- tipli kümesi Ωα =
∞
[
∞
[
(ai , bi ) kümesi verilsin. Buna göre Ω kümesinin
i=1
(aαi , bαi ) şeklindedir.
i=1
18
3.2.3
α− tipli Sayı Kümeleri
0 < α ≤ 1 olmak üzere bazı α-tipli kümeleri;
Nα0 = {0α , 1α , 2α , ..., nα , ...}.
α-tipli doğal sayılar kümesi;
α-tipli pozitif doğal sayılar kümesi;
Nα = {1α , 2α , ..., nα , ...}.
Zα = {0α , ±1α , ±2α ..., ±nα , ...}.
α-tipli tamsayılar kümesi;
α-tipli rasyonel sayılar kümesi;
α-tipli irrasyonel Sayılar Kümesi;
Qα = {mα = ( pq )α : p, q ∈ Z, q 6= 0}.
=α = {mα 6= ( pq )α : p, q ∈ Z, q 6= 0}.
Rα = =α ∪ Qα
α-tipli reel sayılar kümesi;
şeklinde tanımlanmıştır.
Not 3.2.2 α-tipli kümeler arasında Nα ⊂ Zα ⊂ Qα ⊂ Rα şeklinde bir ilişki vardır.
α
Teorem 3.2.1 Ω kümesi; Ω =
∞
[
(ai , bi ) ⊂ R ile bire-bir eşleşen bir küme ve A ⊂ Ω
i=1
olsun. O halde A ⊂ R ile bire-bir eşleşen bir Aα kümesi vardır ve Aα ⊆ Ωα dır.
İspat.
A ⊆ Ω olsun. Bu durumda her x ∈ A iken x ∈ Ω yazılır. Dolayısıyla kümelerin
kesirli kümelerinin tanımından xα ∈ Aα ve xα ∈ Ωα elde edilir. Böylece ispat tamamlanır.
3.2.4
α- tipli Reel Sayılar Kümesinde İşlemler
aα , bα , cα ∈ Rα olmak üzere aşağıdaki özellikler vardır:
1. aα + bα ∈ Rα ve aα bα ∈ Rα ,
2. aα + bα = bα + aα = (a + b)α = (b + a)α ,
3. aα + (bα + cα ) = (aα + bα ) + cα ,
4. aα bα = bα aα = (ab)α = (ba)α ,
5. aα (bα cα ) = (aα bα )cα ,
19
6. aα (bα + cα ) = aα bα + aα cα ,
7. aα + 0α = 0α + aα = aα ve aα 1α = 1α aα = aα .
Yukarıda tanımlanan 00 +00 (aα +bα := (a+b)α ) ve
00 00
· (aα ·bα = aα bα := (ab)α ) işlemlerine
göre (Rα , +, ·) bir cisimdir. Çünkü
• (Rα , +) değişmeli bir gruptur: aα , bα , cα ∈ Rα için,
(A1 )
aα + bα ∈ Rα ;
(A2 )
aα + b α = b α + aα ;
(A3 )
aα + (bα + cα ) = (aα + bα ) + cα ;
(A4 ) (Rα , +)’nın birim elemanı 0α dır ve her aα ∈ Rα için aα + 0α = 0α + aα = aα ;
(A5 ) (Rα , +) işlemine göre her aα ’nın ters elemanı (−a)α dır ve
aα + (−a)α = (a + (−a))α = 0α dır.
• (Rα \ {0α } , ·) değişmeli bir gruptur: aα , bα , cα ∈ Rα için,
(M1 )
aα bα ∈ Rα ;
(M2 )
aα b α = b α aα ;
(M3 )
aα (bα cα ) = (aα bα ) cα ;
(M4 ) (Rα , ·) ’nın birim elemanı 1α dır ve her aα ∈ Rα için aα 1α = 1α aα = aα ;
(M5 ) (Rα , ·) işlemine göre her aα ∈ Rα \ {0α } ’nın ters elemanı (1/a)α dır ve
aα (1/a)α = (a(1/a))α = 1α ;
dır.
• Toplama işleminin çarpma işlemi üzerine dağılma özelliği:
aα (bα + cα ) = aα bα + aα cα
şeklindedir.
3.2.5
α-tipli Reel Sayıların Mutlak Değeri
1. aα bα = aα · bα 2. aα − bα ≤ aα + bα ≤ aα + bα .
20
3.2.6
α- tipli Reel Sayılarda Eşitsizlikler ve Özellikleri
aα − bα negatif olmayan bir sayı ise aα , bα ’ya büyük veya eşittir ya da bα , aα ’dan
küçük veya eşittir denir ve sırasıyla aα ≥ bα , bα ≤ aα şeklinde gösterilir.
Eğer aα = bα olma ihtimali yoksa, aα > bα veya bα < aα yazılır.
aα , bα , cα ∈ Rα olsun. O halde α-tipli reel sayıların özellikleri;
1. aα > bα , aα = bα veya aα < bα
durumlarından biri geçerlidir.
2. aα > bα ve bα > cα ise aα > cα .
3. aα > bα ise aα + cα > bα + cα .
4. aα > bα ve cα > 0α ise aα cα > bα cα .
5. aα > bα ve cα < 0α ise aα · cα < bα · cα .
6. aα , bα ≥ 0α ise aα bα ≤
a2α + b2α
.
2
7. aα , bα ≥ 0α , p, q ≥ 1 ve
α
α
1 1
aα b α
+ = 1 ise a p b q ≤
+
p q
p
q
şeklindedir.
Sonuç 3.2.1 Burada α = 1 şeçilirse R’ deki özelliklere indirgeme yapılmış olur. Ayrıca;
1. aα > bα ise a > b
2. aα = bα ise a = b
3. aα < bα ise a < b
dır.
3.2.7
α− tipli Kümelerde Sayılabilirlik
Bir kümenin tüm elemanları doğal sayılarla bire-bir eşleşebiliyorsa bu kümeye sayılabilir
küme, bir küme kendisinin alt kümesi ile bire-bir eşleşebiliyorsa bu kümeye sonsuz küme
denir. Hem sayılabilir hemde sonsuz olan kümeye sayılabilir sonsuz küme denir. Q ve Qα
kümeleri sayılabilir sonsuz kümelerdir.
21
3.2.8
α− tipli Kümelerde Komşuluk
δ α , aα ∈ Rα ve δ α > 0 olmak üzere
A = xα ∈ Rα : |xα − aα | < δ α
kümesine aα ’nın δ α -komşuluğu denir.
Burada A − {aα } kümesine de aα ’nın δ α -delinmiş komşuluğu denir.
3.2.9
α− tipli Kümenin Limit Noktası
lα sayısının her δ α komşuluğu xα elemanlarının kümesinin en az bir elemanını içeriyorsa
lα sayısına xα elemanlarının kümesinin bir limit noktası denir. Diğer bir ifadeyle, ne kadar
küçük olursa olsun herhangi bir δ α > 0 için |xα −lα | < δ α olacak şekilde her zaman xα ∈ Rα
sayısı vardır.
Diğer taraftan |xα − lα | < δ α olmak üzere α, 1’e yaklaşıyorken limit alırsak herhangi
bir δ > 0 için |x − l| < δ elde edilir.
3.3
α− tipli Kümeler Üzerinde Fonksiyonlar
f (x) fonksiyonunun tanım kümesinin ve değer kümesinin elemanları sırasıyla xα ve
y α olsun. Bu durumda y α = f (x) yazılır.
3.3.1
α− tipli Kümelerde Fonksiyonların Limiti
F ⊂ Rα , f : F → Rα bir fonksiyon ve 0 < α ≤ 1 olsun. ∀ ε > 0 için 0 < |x − a| < δ
iken |f (x) − lα | < εα olacak şekilde δ > 0 sayısı varsa lα ’ya x, a ya yaklaşırken f (x)
fonksiyonunun limiti denir ve lim f (x) = lα şeklinde gösterilir.
x→a
Teorem 3.3.1 lim f (x) = l1α ve lim g(x) = l2α olsun. Bu durumda
x→a
x→a
1. lim f (x) + g(x) = l1α + l2α ,
x→a
2. lim |f (x)| = |l1α |,
x→a
22
3. lim f (x)g(x) = l1α l2α ,
x→a
f (x)
lα
= 1α , (l2 6= 0)
x→a g(x)
l2
4. lim
şeklindedir.
İspat.
1. lim f (x) = l1α verildiğinden, limitin tanımından her ε > 0 için 0 < |x − a| < δ1
x→a
olduğunda |f (x) − l1α | < εα olacak şekilde δ1 > 0 sayısı vardır. lim g(x) = l2α
x→a
olduğundan, her ε > 0 için 0 < |x−a| < δ2 olduğunda |g(x)−l2α | < εα olacak şekilde
δ2 > 0 sayısı vardır. δ = min{δ1 , δ2 } olsun. O halde, her ε > 0 için 0 < |x − a| < δ
olduğunda
f (x) + g(x) − l1α − l2α ≤ f (x) − l1α + g(x) − l2α ≤ 2 εα
olacak şekilde δ > 0 sayısı bulunur. Dolayısıyla;
lim f (x) + g(x) = l1α + l2α = lim f (x) + lim g(x)
x→a
x→a
x→a
dır.
2. lim f (x) = l1α verildiğinden, ε > 0 için 0 < |x − a| < δ seçildiğinde |f (x) − l1α | < εα
x→a
olacak şekilde δ > 0 sayısı vardır. O halde
f (x) − lα ≤ f (x) − l1α < εα
dır.
3. lim f (x) = l1α verildiğinden, limitin tanımından her ε > 0 için 0 < |x − a| < δ1
x→a
olduğunda |f (x) − l1α | < εα olacak şekilde δ1 > 0 sayısı vardır. lim g(x) = l2α
x→a
olduğundan, her ε > 0 için 0 < |x−a| < δ2 olduğunda |g(x)−l2α | < εα olacak şekilde
δ2 > 0 sayısı vardır. δ = min{δ1 , δ2 } olsun. O halde, her ε > 0 için 0 < |x − a| < δ
olduğunda
f (x)g(x) − l1α l2α = f (x) − l1α g(x) − l1α l2α − g(x) ≤ εα g(x) + εα l1α < εα g(x) + l1α olacak şekilde δ > 0 sayısı bulunur. Dolayısıyla;
f (x)
lα
lim
= 1α , (l2 6= 0) dır.
x→a g(x)
l2
23
4. Varsayalım ki m 6= 0 olsun. |g(x)| > 21 |mα | olacak şekilde 0 < |x − a| < δ vardır
f (x)
ve her 0 < |x − a| < δ için
tanımlıdır. ε > 0 için 0 < |x − a| < δ olduğunda
g(x)
|f (x) − lα | < εα ve |f (x) − mα | < εα olur ve her 0 < |x − a| < δ için
f (x) lα f (x)mα − lα g(x) mα (f (x) − lα ) − lα (g(x) − mα ) |mα | + |lα | α
≤
≤ 1 α2 ε
1
g(x) − mα = g(x)mα
|mα |
|m |
2
4
elde edilir.
3.3.2
α− tipli Kümelerde Fonksiyonların Lokal Kesirli Sürekliliği
Sağdan Lokal Kesirli Süreklilik
F ⊂ Rα , x0 ∈ F , f : F → Rα bir fonksiyon ve 0 < α ≤ 1 olsun. Eğer f fonksiyonu x0
noktasında tanımlı ve lim+ f (x) = f (x+
0 ) ise f fonksiyonuna x0 noktasında sağdan lokal
x→x0
kesirli süreklidir denir.
Soldan Lokal Kesirli Süreklilik
F ⊂ Rα , x0 ∈ F , f : F → Rα bir fonksiyon ve 0 < α ≤ 1 olsun. Eğer f fonksiyonu x0
noktasında tanımlı ve lim− f (x) = f (x−
0 ) ise f fonksiyonuna x0 noktasında soldan lokal
x→x0
kesirli süreklidir denir.
Lokal Kesirli Süreklilik
F ⊂ Rα , x0 ∈ F , f : F → Rα bir fonksiyon ve 0 < α ≤ 1 olsun. Eğer f fonksiyonu
x0 noktasında tanımlı ve lim f (x) = f (x0 ) ise f fonksiyonuna x0 noktasında lokal kesirli
x→x0
süreklidir denir.
Eğer f fonksiyonu F kümesinin her noktasında lokal kesirli sürekli ise f fonksiyonu
F üzerinde lokal kesirli süreklidir denir.
Teorem 3.3.2 F ⊂ Rα , x0 ∈ F , f : F → Rα bir fonksiyon ve 0 < α ≤ 1 olsun. Eğer x0
noktasında f fonksiyonunun sağdan ve soldan limit var ve birbirine eşit ise fonksiyonun
bu noktada limiti vardır ve
lim f (x) = lim− f (x) = lim f (x)
x→x+
0
x→x0
şeklindedir.
24
x→x0
Tanım 3.3.1 F ⊂ Rα , x0 ∈ F , f : F → Rα bir fonksiyon olsun. Her ε > 0 için
|x − x0 | < δ olduğunda |f (x) − f (x0 )| < εα olacak şekilde δ > 0 sayısı varsa bu f (x)
fonksiyonuna x0 ’da lokal kesirli süreklidir denir ve f (x), (a, b) aralığında lokal kesirli sürekli
ise f (x) ∈ Cα (a, b) dir.
Tanım 3.3.2 [a, b] ⊂ Rα , f : [a, b] → Rα bir fonksiyon olsun. x, y ∈ [a, b], 0 < α ≤ 1 ve
c pozitif sabit bir sayı olmak üzere
|f (x) − f (y)| < c|x − y|α
oluyorsa bu fonksiyona Hölder süreklidir denir. [a, b] üzerinde Hölder sürekli fonksiyonların kümesi Cα [a, b] ile gösterilir.
Teorem 3.3.3 f : [a, b] → Rα Hölder sürekli bir fonksiyon ise f (x), [a, b] üzerinde lokal
kesirli süreklidir.
İspat.
f (x) Hölder sürekli bir fonksiyon, 0 < α ≤ 1 ve xα , xα0 ∈ [aα , bα ] için |f (x) −
f (y)| < c|x − y|α ’dır.
|x − x0 | = ε = δ olsun. Her δ > 0 için 0 < |x − x0 |α < δ α olduğunda |f (x) − f (x0 )| <
cεα ’dır. Bundan dolayı lim f (x) = f (x0 ) elde edilir. Dolayısıyla f , [a, b] üzerinde lokal
x→x0
süreklidir.
Teorem 3.3.4 F ⊂ Rα , x0 ∈ F , f, g : F → Rα iki fonksiyon ve 0 < α ≤ 1 olsun.
lim f (x) = f (x0 ) ve lim g(x) = g(x0 ) olmak üzere
x→x0
x→x0
1. lim f (x) ± g(x) = f (x0 ) ± g(x0 );
x→x0
2. lim f (x)g(x) = f (x0 )g(x0 );
x→x0
3. lim
x→x0
f (x0 )
f (x)
=
, (g(x0 ) 6= 0)
g(x)
g(x0 )
dir.
3.3.3
α− tipli Kümeler Üzerinde Elementer Fonksiyonlar
1. α-tipli kümeler üzerinde tanımlanan bir fonksiyon x ∈ R ve 0 < α ≤ 1 olmak üzere
f (x) = xα şeklindedir.
25
2. α-tipli kümeler üzerinde Mittag- Leffler fonksiyonu x ∈ R ve 0 < α ≤ 1 iken
∞
X
xαk
α
şeklinde tanımlanır.
Eα x =
(1 + kα)
k=0
Ayrıca aşağıdaki kurallar geçerlidir.
α
α
1. Eα x Eα y
α
2. Eα x Eα − y
= Eα
α
x+y
;
α
x−y
= Eα
α
;
α
α
α α
.
3. Eα i x Eα i y = Eα x x + y
α α
α-tipli kümeler üzerinde sinüs ve kosinüs fonksiyonları x ∈ R ve 0 < α ≤ 1 olmak üzere
sinα x
α
cosα x
α
=
∞
X
xα(2k+1)
(−1)k Γ 1 + α(2k + 1)
k=0
∞
X
x2αk
(−1)
=
Γ
1
+
2αk
k=0
k
(3.3.1)
(3.3.2)
şeklinde tanımlanır. Daha fazla bilgi için [25, ?] kaynaklarına bakılabilir.
Benzer şekilde ; (3.3.1) ve (3.3.2) formüllerini dikkate alınırsa; α-tipli kümeler üzerinde
tanjant fonksiyonu x ∈ R ve 0 < α ≤ 1 için
tanα xα =
sinα xα
cosα xα
şeklinde tanımlanır.
3.3.4
α− tipli Kümelerde Fonksiyonların Lokal Kesirli Türevi
Lokal Kesirli Türev
f (x) ∈ Cα [a, b] olsun. 0 < α ≤ 1, δ > 0 ve x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) için
Γ(1
+
α)
f
(x)
−
f
(x
)
0
α
x0 Dx f (x) = lim
x→x0
(x − x0 )α
limiti var ve sonlu ise bu limite f (x) fonksiyonunun x = x0 noktasındaki α. dereceden
lokal kesirli türevi denir ve
dα f (x) veya f (α) (x0 )
dxα x=x0
26
ile gösterilir.
Sol ve Sağ Lokal Kesirli Türev
f (x) ∈ Cα [a, b] olsun. 0 < α ≤ 1, δ > 0 ve x ∈ (x0 − δ, x0 ) için
−
Γ(1
+
α)
f
(x)
−
f
(x
)
0
Dxα f (x) = lim
x−
α
0
x→x0
(x − x−
)
0
limiti var ve sonlu ise bu limite f (x) fonksiyonunun x = x0 ’da α. dereceden soldan lokal
kesirli türevi denir ve f (x)’ in x = x0 noktasındaki soldan lokal kesirli türevi
dα f (x) veya f (α) (x−
0)
α
dx
x=x−
0
ile gösterilir.
f (x) ∈ Cα [a, b] olsun. 0 < α ≤ 1, δ > 0 ve x ∈ (x0 , x0 + δ) için
Γ(1 + α) f (x) − f (x+
0)
= lim
α
x→x0
(x − x+
0)
limiti var ve sonlu ise bu limite f (x) fonksiyonunun x = x0 ’ da α. dereceden sağdan lokal
Dxα f (x)
x+
0
kesirli türevi denir ve f (x)’ in x = x0 noktasındaki sağdan lokal kesirli türevi
dα f (x) veya f (α) (x+
0)
dxα x=x+
0
ile gösterilir. Ayrıca bir fonksiyonun bir noktada α. dereceden lokal kesirli türevinin var
olması için gerek ve yeter şart α. dereceden sağ ve sol lokal kesirli türevlerinin mevcut ve
birbirine eşit olmasıdır.
3.3.5
α− tipli Kümelerde Fonksiyonların Lokal Kesirli Diferansiyeli
0 < α ≤ 1 için f (x) fonksiyonunun lokal kesirli diferansiyeli
dα f = f (α) (x)(dx)α
şeklindedir ve her x0 ∈ (a, b) için
dα f (x) = f α (x0 )
dxα x=x0
(3.3.3)
mevcuttur. α. dereceden lokal kesirli diferansiyellenebilen fonksiyonların kümesi Dα (a, b)
ile gösterilir.
Elemanter fonksiyonun lokal kesirli türev kuralları;
27
1.
dα xkα
Γ(1 + kα)
x(k−1)α ;
=
α
dx
Γ(1 + (k − 1)α)
2.
dα Eα (xα )
= Eα (xα );
α
dx
dα Eα (kxα )
= kEα (kxα ), k sabit;
3.
α
dx
4.
dα sinα xα
= cosα xα ;
dxα
5.
dα cosα xα
= − sinα xα ;
dxα
şeklindedir.
3.3.6
Yüksek Mertebeden Lokal Kesirli Türev
0 < α ≤ 1 için f (x) fonksiyonunun x = x0 noktasındaki 2α-lokal kesirli türevi
dα dα
2α
f (x) = f (2α) (x)
Dx f (x) = Dx · Dx f (x) = α
dx dxα
şeklinde tanımlanır. Bu işlemi n kez tekrarlarsak; nα-lokal kesirli türev ise
n kez
z
}|
{
Dxα · ... · Dxα f (x)x=x0 = Dxnα f (x)x=x0 = f (nα)(x) x=x0 = f nα (x0 )
şeklinde tanımlanır.
3.4
3.4.1
α− tipli Kümelerde Fonksiyonların Lokal Kesirli İntegrali
Lokal Kesirli İntegral
Tanım 3.4.1 f (x) ∈ Cα [a, b], 0 < α ≤ 1 ve tj , tj+1 (j = 0, . . . , N − 1), [a, b] aralığının
bir bölüntüsü, ∆tj = tj+1 − tj ve ∆t = max {∆t1 , ∆t2 , . . . , ∆tN −1 } olsun. Ayrıca a = t0 <
t1 < · · · < tN −1 < tN = b olmak üzere f (x) fonksiyonunun lokal kesirli integrali;
α
a Ib f (x)
1
=
Γ(1 + α)
Z
a
b
N −1
X
1
f (t)(dt) =
lim
f (tj )(∆tj )α
Γ(1 + α) ∆t→0 j=0
α
şeklinde ifade edilir. Burada
a = b için
α
a Ib f (x)
=0,
28
a < b için
α
a Ib f (x)
= −b Iaα f (x),
şeklindedir.
Önerme 3.4.1 α-tipli bir küme üzerinde tanımlı f (x) fonksiyonu [a, b] üzerinde sınırlı
Z b
1
(veya f ∈ Cα [a, b] ) olsun. Bu takdirde
f (t)(dt)α integralinin var olması
Γ(1 + α) a
için gerek ve yeter şart f (t) ’nin süreksiz kesirli kümesinin genelleştirilmiş Lebesgue sıfır
ölçümüne sahip olmasıdır.
3.4.2
Lokal Kesirli İntegralin Özellikleri
1. f (x), g(x) ∈ Cα [a, b] olmak üzere a Ibα f (x) ± g(x) =a Ibα f (x) ±a Ibα g(x) dır.
2. f (x) ∈ Cα [a, b] ve C sabit olmak üzere a Ibα Cf (x) = Ca Ibα f (x) dır.
3. f (x) = 1 olmak üzere
α
a Ib 1
(b − a)α
dır.
=
Γ(1 + α)
4. f (x) ∈ Cα [a, b] ve f (x) ≥ 0 olmak üzere a Ibα f (x) ≥ 0 dır
5. f (x), g(x) ∈ Cα [a, b] ve f (x) ≥ g(x) olmak üzere b − a ≥ 0 iken
α
a Ib f (x)
≥a Ibα g(x) dir.
6. f (x) ∈ Cα [a, b] ve [a, b] üzerinde f (x) in sırasıyla maksimum ve minumum değerleri
M ve m olmak üzere b − a > 0 için
M
(b − a)α
(b − a)α
≥a Ibα f (x) ≥ m
Γ(α + 1)
Γ(α + 1)
dır.
7. f (x) ∈ Cα [a, b] olmak üzere b − a > 0 için a Ibα f (x) ≤ a Ibα |f (x)| dır.
8. f (x) ∈ Cα [a, b] ve a < c < b olmak üzere a Ibα f (x) =a Icα f (x) +c Ibα f (x) dır.
3.4.3
Lokal Kesirli İntegraller için Teoremler
Teorem 3.4.1 (Lokal Kesirli İntegraller için Ortalama Değer Teoremi)
f (x) ∈ Cα [a, b] ve ξ, (a, b) üzerinde bir nokta olmak üzere
α
a Ib f (x)
= f (ξ)
29
(b − a)α
Γ(1 + α)
şeklindedir.
Teorem 3.4.2 f (x) ∈ Cα [a, b] olsun. Bu durumda Π(x) =a Ixα f (x) fonksiyonu vardır ve
bu fonksiyonun (dx)α ya göre türevi a < x < c olmak üzere
dα Π(x)
= f (x)
dxα
dır.
Teorem 3.4.3 f (x) ∈ Cα [a, b] olsun. Bu durumda Π(x) =a Ixα f (x) olacak şekilde Π ∈
Cα [a, b] vardır.
Teorem 3.4.4 f (x) = g (α) (x) ∈ Cα [a, b] olsun. Bu durumda
α
a Ib f (x)
= g(b) − g(a)
dır.
Teorem 3.4.5 g(x) ∈ C1 [a, b] ve (f ◦ g)(s) ∈ Cα g(a), g(b) olsun. Bu durumda
α
g(a) Ig(b) f (x)
α
=a Ibα f ◦ g (s) g 0 (s)
şeklindedir.
Teorem 3.4.6 ( Kısmi Lokal Kesirli İntegrasyon)
f (x), g(x) ∈ Dα (a, b) ve f (α) (x), g (α) (x) ∈ Cα [a, b] olsun. Bu durumda lokal kesirli
integral için kısmi integrasyon
α
(α)
(t)
a Ib f (t)g
b
= f (t)g(t) a −a Ibα f (α) (t)g(t)
şeklindedir.
3.4.4
Trigonometrik Fonksiyonların Lokal Kesirli İntegrali
m, n ∈ Z+ olmak üzere trigonometrik fonksiyonların lokal kesirli integralleri aşağıda
verilmiştir.
1
1.
Γ(1 + α)
Z
1
2.
Γ(1 + α)
Z
π
sinα (nx)α (dt)α = 0 ;
−π
π
cosα (nx)α (dt)α = 0 ;
−π
30
1
3.
Γ(1 + α)
Z
π
sinα (mx)α cosα (nx)α (dt)α = 0 ;
−π

0,
m 6= n,
πα
;

, m=n
−π
Γ(1 + α)

Z π
0,
m=
6 n,
1
α
α
α
α
π
5.
;
sinα (mx) sinα (nx) (dt) =

, m=n
Γ(1 + α) −π
Γ(1 + α)
α
(2n + 1)x
Z π sinα
1
πα
2
α (dt)α =
6.
;
Γ(1 + α) −π
Γ(1 + α)
x
α
2 sinα
2
r
Z ∞
1−α
1
πα
α
2α
2
7.
Eα − x (dx) = 2
Γ(1 + α) −∞
Γ(1 + α)
4.
3.4.5
1
Γ(1 + α)
Z
π
cosα (mx)α cosα (nx)α (dt)α =
Lokal Kesirli Belirsiz İntegral
Lokal Kesirli Anti-Türev
f (x) ve g(x), (a, b) aralığı üzerinde tanımlanan lokal kesirli sürekli iki fonksiyon olsun.
Her x ∈ (a, b) için g α (x) = f (x) ise g(x) fonksiyonuna, (a, b) üzerinde f (x) fonksiyonunun
lokal kesirli ilkel fonksiyonu veya lokal kesirli anti-türevi denir.
Lokal Kesirli Belirsiz İntegral
Eger g(x), (a, b) üzerinde f (x)’in lokal kesirli anti-türevi ise bu takdirde g(x) + C :
Csabit kümesi f (x)’in lokal kesirli anti-türevlerinin bir ailesi olarak adlandırılır. Bu
aileye f (x)’in (a, b) üzerinde lokal kesirli belirsiz integrali denir ve
Z
1
f (x)dx = g(x) + C
Γ(1 + α)
şeklinde ifade edilir.
31
3.4.6
Elementer Fonksiyonların Lokal Kesirli Belirsiz İntegrali
C sabit olmak üzere lokal kesirli belirsiz integral için aşağıdaki kurallar geçerlidir.
Z
1
1.
Eα xα (dx)α = Eα xα + C;
Γ(1 + α)
Z
1
Γ(1 + kα)x(k+1)α
+ C;
(3.4.1)
2.
xkα (dx)α =
Γ(1 + α)
Γ(1 + (k + 1)α)
Z
1
3.
sinα xα (dx)α = − cosα xα + C;
Γ(1 + α)
Z
1
4.
cosα xα (dx)α = sinα xα + C.
Γ(1 + α)
Teorem 3.4.7 (Genelleştirilmiş Hölder Eşitsizliǧi ) p, q > 1 ve
1
p
+
1
q
= 1 olsun.
f, g ∈ Cα [a, b] olmak üzere genelleştirilmiş Hölder eşitsizliği
Z b
1
|f (x)g(x)| (dx)α
Γ(1 + α) a
p1 1q
Z b
Z b
1
1
|f (x)|p (dx)α
|g(x)|q (dx)α .
≤
Γ(1 + α) a
Γ(1 + α) a
şeklindedir. [27]
32
(3.4.2)
4. ARAŞTIRMA BULGULARI
4.1
Lokal Kesirli İntegraller Yardımıyla Genelleştirilmiş QuasiKonveks Fonksiyonlar İçin Simpson Tipli Eşitsizlikler
Bu bölümde genelleştirilmiş quasi-konveks fonksiyonlar ile ilgili elde edilen bazı yeni
Simpson tipli eşitsizlikler verilecektir.
Lemma 4.1.1 I, R’ de bir aralık olmak üzere f : I → Rα bir fonksiyon (I ◦ , I’nın içi),
a, b ∈ I ◦ , a < b için f ∈ Dα (I ◦ ) ve f (α) ∈ Cα [a, b] olsun. Bu takdirde
1
a+b
Γ(1 + α) α
α
f (a) + 4 f
+ f (b) −
a I f (x)
α
6
2
(b − a)α b
α Z 1 α
b−a
t 1
1−t
1
(α) 1 + t
−
f
b+
a
=
Γ(1 + α)
2
2 3
2
2
0
α
1 t
1−t
(α) 1 + t
+
f
−
a+
b (dt)α
3 2
2
2
(4.1.1)
eşitliği geçerlidir.
İspat. Kısmi lokal kesirli intgrasyon uygulanırsa;
α
Z 1
1
t 1
1−t
(α) 1 + t
I1 =
−
b+
a (dt)α
f
Γ(1 + α) 0 2 3
2
2
α α 1
1+t
2
1 − t t 1
=
f
−
b+
a 2 3
b−a
2
2
α
0
Z 1 α
2
1−t
1
1
1+t
−
b+
a (dt)α
Γ(1 + α)f
b − a Γ(1 + α) 0 2
2
2
elde edilir. Daha sonra x =
1+t
b + 1−t
a
2
2
dönüşümü yapılır ve (dx)α = ( b−a
)α (dt)α diferan2
siyeli gözönünde bulundurulursa;
α α
α 2
1
2
a+b
I1 =
f (b) +
f
b−a
6
6
2
2α
Z b
2
1
−
f (x)(dx)α
Γ(1 + α)
α
a+b
b−a
2
2
yazılır. Benzer şekilde
I2
α
Z 1
1
1 t
1−t
(α) 1 + t
−
f
a+
b (dt)α
=
Γ(1 + α) 0 3 2
2
2
α α 1
1 t
2
1+t
1 − t =
−
f
a+
b 3 2
a−b
2
2
0
α
α
Z 1
2
1
1
1+t
1−t
−
−
Γ(1 + α)f
a+
b (dt)α
a − b Γ(1 + α) 0
2
2
2
33
(4.1.2)
elde edilir. Burada x =
1+t
a
2
+
1−t
b
2
dönüşümü uygulanıp (dx)α = ( a−b
)α (dt)α diferan2
siyeli gözönünde bulundurulursa;
α α
α 2
1
2
a+b
I2 =
−
f (a) +
f
a−b
6
6
2
2α
Z a
1
2
−
Γ(1 + α)
f (x)(dx)α
a+b
a−b
2α
2
(4.1.3)
yazılır. (4.1.2) ve (4.1.3) taraf tarafa toplanırsa,
α 1
a+b
2
α
f (a) + 4 f
+ f (b)
I1 + I2 =
b − a 6α
2
2α
Z b
2
1
−
Γ(1 + α)
f (x)(dx)α
b−a
2α
a
elde edilir. Bu eşitliğin her iki tarafı ( b−a
)α ile çarpılırsa ispat tamamlanmış olur.
2
Teorem 4.1.1 I, R’ de bir aralık olmak üzere f : I →
Rα bir fonksiyon (I ◦ , I’nın
için), f ∈ Dα (I ◦ ) ve a, b ∈ I ◦ , a < b için f (α) ∈ Cα [a, b] olsun. |f (α) |, [a, b] üzerinde
genelleştirilmiş quasi-konveks fonksiyon ise
1
a
+
b
Γ(1
+
α)
α
α
I
f
(x)
f
(a)
+
4
f
+
f
(b)
−
a
b
6α
2
(b − a)α
α
5
Γ(1 + α)
≤ (b − a)α
sup |f (α) (a)|, |f (α) (b)|
18 Γ(1 + 2α)
(4.1.4)
eşitsizliği sağlanır.
İspat. (4.1.1)’de her iki tarafın mutlak değeri alınırsa;
1
Γ(1 + α) α
a+b
α
+
f
(b)
−
I
f
(a)
+
4
f
f
(x)
a
6α
2
(b − a)α b
α α Z 1 t 1 (α) 1 + t
b−a
1
−
t
1
− f
b+
a ≤
Γ(1 + α)
2
2 3
2
2
α 0
1 t 1 − t 1+t
+ − f (α)
a+
b (dt)α
3 2
2
2
elde edilir. Daha sonra |f (α) | ’nın genelleştirilmiş qausi-konveksliği kullanılırsa
1
a
+
b
Γ(1
+
α)
α
α
f
(a)
+
4
f
+
f
(b)
−
I
f
(x)
a
b
6α
2
(b − a)α
α
α Z 1 t 1
1
b−a
− ≤
2 3
Γ(1 + α)
2
0
(α)
(α)
(α)
(α)
× sup |f (b)|, |f (a)| + sup |f (a)|, |f (b)|
(4.1.5)
(4.1.6)
yazılır. Ayrıca (3.4.1) kullanılarak;
α
α
Z 1
Z 1
t 1 α
1
t
Γ(1 + α)
1
1
− (dt)α =
− (dt)α = 5
(4.1.7)
Γ(1 + α) 0 2 3
Γ(1 + α) 0 3 2
18 Γ(1 + 2α)
34
elde edilir. Böylece (4.1.6) ve (4.1.7)’den
1
a+b
Γ(1 + α) α
α
f
(a)
+
4
f
+
f
(b)
−
I
f
(x)
a
6α
2
(b − a)α b
α
5
Γ(1 + α)
sup |f (α) (a)|, |f (α) (b)|
≤ (b − a)α
18 Γ(1 + 2α)
yazılır. Böylece ispat tamamlanmış olur.
Teorem 4.1.2 I, R’ de bir aralık olmak üzere f : I →
Rα bir fonksiyon (I ◦ , I’nın
içi), f ∈ Dα (I ◦ ) ve a, b ∈ I ◦ , a < b için f (α) ∈ Cα [a, b] olsun. [a, b] üzerinde |f (α) |
1 1
genelleştirilmiş quasi-konveks ve q ≥ 1, + = 1 ise
p q
1
a+b
Γ(1 + α) α
α
f
(a)
+
4
f
+
f
(b)
−
I
f
(x)
a
6α
2
(b − a)α b
(p+1)α p1
α α 1 (p+1)α
1
Γ(1 + pα)
≤ b−a
2
(4.1.8)
+
3
6
Γ(1 + (p + 1))α
1q
(α)
q
(α)
q
× sup |f (a)| , |f (b)|
eşitsizliği elde edilir.
İspat. Lemma 4.1.1 ve genelleştirilmiş Hölder eşitsizliği kullanılarak
1
Γ(1
+
α)
a
+
b
α
α
+ f (b) −
I
f
(x)
a
b
6α f (a) + 4 f
2
(b − a)α
α Z 1 t 1 α (α) 1 + t
1
1 − t b−a
≤
b+
a 2 − 3 f
Γ(1 + α)
2
2
2
0
1 t α (α) 1 + t
1 − t + − f
a+
b (dt)α
3 2
2
2
α p1
Z 1
t 1 pα
b−a
1
α
≤
−
(dt)
2
Γ(1 + α) 0 2 3 q
1q
Z 1
(α) 1 + t
1
1
−
t
α
f
×
b+
a (dt)
Γ(1 + α) 0 2
2
p1
Z 1
1 t pα
1
α
− (dt)
+
Γ(1 + α) 0 3 2 q
1q Z 1
(α) 1 + t
1
1
−
t
α
f
×
a+
b (dt)
Γ(1 + α) 0 2
2
35
elde edilir. |f (α) |q , [a, b] üzerinde genelleştirilmiş quasi-konveks olduğundan
1
a+b
Γ(1 + α) α
α
+ f (b) −
(4.1.9)
a Ib f (x)
6α f (a) + 4 f
α
2
(b − a)
p1
α Z 1
t 1 pα
b−a
1
α
≤
−
(dt)
2
Γ(1 + α) 0 2 3 1q 1q (α)
q
(α)
q
(α)
q
(α)
q
+ sup |f (a)| , |f (b)|
(4.1.10)
× sup |f (b)| , |f (a)|
yazılır. (3.4.1) kullanılarak;
Z 1
Z 1
t 1 pα
1 t pα
− (dt)α =
− (dt)α
2 3
3 2
0
0
(p+1)α (p+1)α 1
1
Γ(1 + pα)
α
+
= 2
3
6
Γ(1 + (p + 1)α)
(4.1.11)
elde edilir. Buradan da (4.1.9) ve (4.1.11) den (4.1.2) elde edilir. Böylece ispat tamamlanmış olur.
Teorem 4.1.3 I, R’ de bir aralık olmak üzere f : I →
Rα bir fonksiyon (I ◦ , I’nın
içi), f ∈ Dα (I ◦ ) ve a, b ∈ I ◦ , a < b için f (α) ∈ Cα [a, b] olsun. [a, b] üzerinde |f (α) |
genelleştirilmiş quasi-konveks ve q ≥ 1 ise
1
a
+
b
Γ(1
+
α)
α
α
+ f (b) −
a Ib f (x)
6α f (a) + 4 f
α
2
(b − a)
α
1q
5
Γ(1 + α)
α
(α)
q
(α)
q
≤ (b − a)
sup |f (a)| , |f (b)|
18 Γ(1 + 2α)
dır.
İspat. Lemma 4.1.1 ve genelleştirilmiş power-mean eşitsizliği kullanılarak
1
a
+
b
Γ(1
+
α)
α
α
f
(a)
+
4
f
+
f
(b)
−
I
f
(x)
a
b
6α
2
(b − a)α
α α Z 1 t 1 (α) 1 + t
b−a
1 − t 1
b+
a ≤
2 − 3 f
Γ(1 + α)
2
2
2
0
1 t α (α) 1 + t
1 − t + − f
a+
b (dt)α
3 2
2
2
α 1− 1q
Z 1
t 1 α
b−a
1
α
− (dt)
≤
2
Γ(1 + α) 0 2 3 q
1q
Z 1
t 1 α (α) 1 + t
1
1
−
t
α
− f
×
b+
a (dt)
Γ(1 + α) 0 2 3 2
2
1− 1q
Z 1
1 t α
1
α
− (dt)
+
Γ(1 + α) 0 3 2 q
1q
Z 1
1 t α (α) 1 + t
1
1
−
t
− f
×
a+
b (dt)α
Γ(1 + α) 0 3 2 2
2
36
(4.1.12)
elde edilir. |f (α) |q , [a, b] üzerinde genelleştirilmiş quasi-konveks olduğundan
1
a+b
Γ(1 + α) α
α
f
(a)
+
4
f
+
f
(b)
−
I
f
(x)
a
6α
2
(b − a)α b
1− 1q
α Z 1
t 1 α
1
b−a
α
(dt)
−
≤
2
Γ(1 + α) 0 2 3 1q
Z 1
t 1 α
1
(α)
q
(α)
q
− sup |f (b)| , |f (a)|
×
(dt)α
Γ(1 + α) 0 2 3 1− 1q
Z 1
1 t α
1
α
− (dt)
+
Γ(1 + α) 0 3 2 1q
Z 1
1 t α
1
(α)
q
(α)
q
α
− sup |f (a)| , |f (b)|
×
(dt)
Γ(1 + α) 0 3 2 (4.1.13)
(4.1.14)
elde edilir. Burada (3.4.1) kullanılarak
α
Z 1
Z 1
t 1 α
1 t α
1
Γ(1 + α)
1
− =
− = 5
Γ(1 + α) 0 2 3
Γ(1 + α) 0 3 2
18 Γ(1 + 2α)
(4.1.15)
elde edilmiştir. Böylece (4.1.13) ve (4.1.15) den (4.1.3) elde edilir ve ispat tamamlanmış
olur.
Sonuç 4.1.1 Teorem 4.1.3’ de q = 1 alınırsa Teorem 4.1.1 elde edilir.
Sonuç 4.1.2 Teorem 4.1.1’ de α = 1 alınırsa Teorem 2.1.5 elde edilir.
Sonuç 4.1.3 Teorem 4.1.2’ de α = 1 alınırsa Teorem 2.1.6 elde edilir.
Sonuç 4.1.4 Teorem 4.1.3’ de α = 1 alınırsa Teorem 2.1.7 elde edilir.
Lemma 4.1.2 I, R’ de bir aralık olmak üzere f : I → Rα bir fonksiyon, f ∈ Dα (I ◦ ) ve
a, b ∈ I ◦ , a < b için f (α) ∈ Cα [a, b] olsun. Bu takdirde
1 Γ(1 + α)
f (b) − f (a)
3α Γ(1 + 2α)
1
2a + b a + 2b 1
α
+ 2
f (a) + f
+f
−
a I f (x)
Γ (1 + α)
3
3
(b − a)α b
Z 1
(b − a)2α
1−t
α
α
(2α) 2 + t
= 3α
t (1 − t) f
a+
b
3 Γ(1 + 2α)Γ(1 + α) 0
3
3
2−t
3−t
(2α) 1 + t
(2α) t
+f
a+
b +f
a+
b (dt)α
(4.1.16)
3
3
3
3
eşitliği sağlanır.
37
İspat. I1 , I2 , I3 ifadelerinde kısmi lokal kesirli integrasyon uygulanırsa
Z 1
1
1−t
α
α (2α) 2 + t
I1 =
t (1 − t) f
a+
b (dt)α
Γ(1 + α) 0
3
3
α
1
3
1 − t α
2α
(α) 2 + t
= (t − t )
f
a+
b a−b
3
3
0
α
Z 1
1
−
t
Γ(1 + 2α) α
3
2
+
t
1
(α)
a+
b Γ(1 + α) −
t (dt)α
f
−
Γ(1 + α) 0 a − b
3
3
Γ(1 + α)
α
Z 1
3
1
2+t
1−t
= −
Γ(1 + α)
a+
b (dt)α
f (α)
a−b
Γ(1 + α) 0
3
3
α
Z 1
3
Γ(1 + 2α)
1
1−t
α (α) 2 + t
+
a+
b (dt)α
t f
a−b
Γ(1 + α) Γ(1 + α) 0
3
3
2α
1
3
1 − t 2+t
= −
a+
b Γ(1 + α) f
a−b
3
3
0
α
α 1
3
Γ(1 + 2α) α
2+t
1 − t 3
t
f
a+
b +
a−b
Γ(1 + α)
a−b
3
3
0
α Z 1
1
3
1−t
2+t
α
−
a+
b Γ(1 + α)(dt)
f
Γ(1 + α) 0 a − b
3
3
2α
3
2a + b
= −
Γ(1 + α) f (a) − f
a−b
3
2α Z 1 1
2+t
1−t
3
Γ(1 + 2α)
α
f (a) − Γ(1 + 2α)
f
a+
b (dt)
+
a−b
Γ(1 + α)
Γ(1 + α) 0
3
3
2α
2a + b
3
Γ(1 + α) f (a) − f
= −
a−b
3
2α α
Z a 3
Γ(1 + 2α)
1
3
α
+
f (x)(dx)
f (a) − Γ(1 + 2α)
a−b
Γ(1 + α)
Γ(1 + α) 2a+b
a−b
3
2α
2α
3
2a + b
3
Γ(1 + 2α)
= −
Γ(1 + α) f (a) − f
+
f (a)
b−a
3
b−a
Γ(1 + α)
3α
Z 2a+b
3
3
f (x)(dx)α
(4.1.17)
−
Γ(1 + 2α)
b−a
a
elde edilir. Benzer şekilde
Z 1
1
2−t
α
α (2α) 1 + t
I2 =
t (1 − t) f
a+
b (dt)α
(4.1.18)
Γ(1 + α) 0
3
3
2α
3
2a + b
a + 2b
= −
Γ(1 + α) f
−f
b−a
3
3
2α
3α
Z a+2b
3
3
2a + b
3
Γ(1 + 2α)
+
f
−
Γ(1 + 2α)
f (x)(dx)α
2a+b
b−a
Γ(1 + α)
3
b−a
3
38
ve
I3
Z 1
1
3−t
α
α (2α) t
=
a+
b (dt)α
(4.1.19)
t (1 − t) f
Γ(1 + α) 0
3
3
2α
3
a + 2b
= −
Γ(1 + α) f
− f (b)
b−a
3
2α
3α
Z b
3
Γ(1 + 2α)
a + 2b
3
+
f
−
Γ(1 + 2α)
f (x)(dx)α
a+2b
b−a
Γ(1 + α)
3
b−a
3
elde edilir. (4.1.17), (4.1.18) ve (4.1.19) eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa;
2α
3
I1 + I2 + I3 = −
Γ(1 + α) f (a) − f (b)
b−a
"
2α
#
Γ(1 + 2α)
2a + b
a + 2b
3
f (a) + f
+f
+
b−a
Γ(1 + α)
3
3
3α
Z b
3
f (x)(dx)α
−
Γ(1 + 2α)
b−a
a
olur. Bu eşitliğin her iki tarafı
(b − a)2α
ile çarpılırsa (4.1.16) elde edilir.
33α Γ(1 + 2α)Γ(1 + α)
Böylece ispat tamamlanmış olur.
Sonuç 4.1.5 Lemma 4.1.2’ de α = 1 alınırsa Lemma 2.1.1 elde edilir.
Burada Lemma 4.1.2 kullanılarak genelleştirilmiş quasi-konveks dönüşümler içeren Simpson tipli bazı yeni integral eşitsizlikler elde edilmiştir.
Teorem 4.1.4 I, R’ de bir aralık olmak üzere f : I → Rα bir fonksiyon (I ◦ , I’da bir
aralık), f ∈ Dα (I ◦ ) ve a, b ∈ I ◦ , a < b için f (α) ∈ Cα [a, b] olsun. [a, b] üzerinde |f (2α) |
genelleştirilmiş quasi-konveks fonksiyon ise
"
1 Γ(1 + α)
f (b) − f (a)
α
3 Γ(1 + 2α)
#
1
a + 2b
1
2a + b
α
+ 2
+f
−
f (a) + f
a Ib f (x)
α
Γ (1 + α)
3
3
(b − a)
1
(b − a)2α Γ(1 + α)
−
sup |f (2α) (a)|, |f (2α) (b)|
≤
α
2
3
Γ (1 + 2α) Γ(1 + 3α)
eşitsizliği gerçeklenir.
İspat. Lemma 4.1.2’ de her iki tarafın mutlak değeri alınırsa,
"
1 Γ(1 + α) f (b) − f (a)
α
3 Γ(1 + 2α)
!#
1
2a + b a + 2b 1
α
+ 2
f (a) + f
+f
−
a Ib f (x)
α
Γ (1 + α)
3
3
(b − a)
39
(
Z 1
α
(b − a)2α
1
1 − t 2α (2α) 2 + t
≤ 2α
t − t f
a+
b (dt)α
3 Γ(1 + 2α) Γ(1 + α) 0
3
3
Z 1
α
1
2 − t 2α (2α) 1 + t
t − t f
+
a+
b (dt)α
Γ(1 + α) 0
3
3
)
Z 1
α
t
3
−
t
1
t − t2α f (2α) a +
b (dt)α
(4.1.20)
+
Γ(1 + α)
3
3
0
elde edilir. f (2α) genelleştirilmiş quasi konveks fonksiyon olduğundan
"
1 Γ(1 + α) 1
2a + b f (b) − f (a) + 2
f (a) + f
α
3 Γ(1 + 2α)
Γ (1 + α)
3
!#
1
a + 2b α
−
+f
a Ib f (x)
α
3
(b − a)
(
Z 1
(2α) (2α) 1
(b − a)2α
α
2α
t − t sup f
(a) , f
(b)
≤ 2α
3 Γ(1 + 2α) Γ(1 + α) 0
Z 1
(2α) (2α) α
2α
+
t − t sup f
(a) , f
(b)
0
)
Z 1
+
tα − t2α sup f (2α) (a), f (2α) (b)
0
Z 1
(2α) (2α) (b − a)2α
1
α
α
2α
≤ 2α
(a), f
(b)
3
t − t sup f
3 Γ(1 + 2α)
Γ(1 + α) 0
#
"
(2α) (2α) (b − a)2α
Γ(1
+
2α)
Γ(1
+
α)
α
≤ 2α
(a), f
(b)
3
−
sup f
3 Γ(1 + 2α)
Γ(1 + 2α) Γ(1 + 3α)
"
#
(2α) (2α) (b − a)2α Γ(1 + α)
1
≤
(a), f
(b)
−
sup f
3α
Γ2 (1 + 2α) Γ(1 + 3α)
yazılır. Buradan (3.4.1) kullanılarak
Z 1
Γ(1 + α)
Γ(1 + 2α)
1
tα − t2α (dt)α =
−
Γ(1 + α) 0
Γ(1 + 2α) Γ(1 + 3α)
olduğu görülür. Böylece ispat tamamlanır.
Sonuç 4.1.6 Teorem 4.1.4’de α = 1 alınırsa
1
2a
+
b
a
+
2b
+ 2f
+ f (b) − a Ibα f (x)
f (a) + 2f
6
3
3
(b − a)2
≤
sup |f 00 (a)|, |f 00 (b)|
36
eşitsizliği elde edilir.
Teorem 4.1.5 I, R’ de bir aralık olmak üzere f : I → Rα bir fonksiyon (I ◦ , I’da bir
aralık), f ∈ Dα (I ◦ ) ve a, b ∈ I ◦ , a < b için f (α) ∈ Cα [a, b] olsun. |f (2α) |, [a, b] üzerinde
40
genelleştirilmiş quasi konveks fonksiyon ve q ≥ 1 ise
"
1 Γ(1 + α)
f (b) − f (a)
α
3 Γ(1 + 2α)
#
2a + b a + 2b 1
1
α
f (a) + f
+f
−
+ 2
a Ib f (x)
α
Γ (1 + α)
3
3
(b − a)
"
#1− 1q 1q
(2α) q (2α) q
1
(b − a)2α Γ(1 + α)
−
sup f
(b)
≤
(a) , f
3α
Γ2 (1 + 2α) Γ(1 + 3α)
eşitsizliği gerçeklenir.
İspat.
Lemma 4.1.2, genelleştirilmiş power-mean eşitsizliği ve |f (2α) |’in genelleştirilmiş
quasi konveksliği kullanılarak
"
1 Γ(1 + α)
1
2a + b 3α Γ(1 + 2α) f (b) − f (a) + Γ2 (1 + α) f (a) + f
3
a + 2b 1
α
+f
−
a Ib f (x)
α
3
(b − a)
(
Z 1
α
(2α) 2 + t
(b − a)2α
1
1
−
t
2α
t − t f
≤ 2α
a+
b (dt)α
3 Γ(1 + 2α) Γ(1 + α) 0
3
3
Z 1
α
1
t − t2α f (2α) 1 + t a + 2 − t b (dt)α
+
Γ(1 + α) 0
3
3
)
Z 1
α
(2α) t
1
3
−
t
α
2α
t − t f
+
a+
b (dt)
Γ(1 + α) 0
3
3
(
1− 1q
Z 1
α
(b − a)2α
1
2α
α
t − t (dt)
≤ 2α
3 Γ(1 + 2α)
Γ(1 + α) 0
q
1q
Z 1
(2α) 2 + t
1
1
−
t
f
a+
b (dt)α
×
Γ(1 + α) 0 3
3
Z 1
1− 1q q
1q
Z 1
α
(2α) 1 + t
1
2 − t 2α α
α
+
t − t (dt)
f
a+
b (dt)
Γ(1 + α) 0 3
3
0
Z 1
1− 1q q
1q )
Z 1
α
1
t
3
−
t
t − t2α (dt)α
f (2α) a +
+
b (dt)α
Γ(1
+
α)
3
3
0
0
"
#1− 1q 1q
(2α) q (2α) q
(b − a)2α
Γ(1
+
α)
Γ(1
+
2α)
α
≤ 2α
3
−
sup f
(a) , f
(b)
3 Γ(1 + 2α)
Γ(1 + 2α) Γ(1 + 3α)
"
#1− 1q 1q
(2α) q (2α) q
(b − a)2α
Γ(1 + α)
Γ(1 + 2α)
≤ α
−
sup f
(a) , f
(b)
3 Γ(1 + 2α) Γ(1 + 2α) Γ(1 + 3α)
41
elde edilir. (3.4.1) kullanılarak
Z 1
Γ(1 + α)
1
Γ(1 + 2α)
tα − t2α (dt)α =
−
Γ(1 + α) 0
Γ(1 + 2α) Γ(1 + 3α)
olduğu görülür. Böylece ispat tamamlanır.
Sonuç 4.1.7 Teorem 4.1.5’ in şartları altında α = 1 alınırsa
1
2a + b
a + 2b
α
+ 2f
+ f (b) − a Ib f (x)
f (a) + 2f
6
3
3
1
q
(b − a)2 √
q
≤
12 sup |f 00 (a)|q , |f 00 (b)|q
36
elde edilir.
42
(4.1.21)
5. TARTIŞMA ve SONUÇ
Araştırmanın temelini oluşturan beşinci bölümde, lokal kesirli integralleri içeren yeni
özdeşlikler verilip bu özdeşlikler yardımıyla genelleştirilmiş quasi-konveks fonksiyonlar için
yeni Simpson tipli eşitsizlikler elde edilmiştir. Elde edilen sonuçların daha önce literatürde
elde edilmiş olan sonuçların bir genelleştirmesi olduğu görülmüştür. Elde edilen bu yeni
sonuçlar “E. Set, M.Z. Sarıkaya, N. Uygun, On New Inequalities of Simpson’s type for
generalized quasi convex functions, Advences in Inequalities and Applications, In Press”
[22] ve “E. Set, A.O. Akdemir, N. Uygun, On New Simpson type Inequalities for Generalized Quasi-convex Mappings, Abstract and Proceedings Book, Xth International Statics
Days Conference, 2016, Giresun, Turkey” [23] şeklinde yayınlanmıştır. Konuyla ilgilenen
araştırmacılar Lemma 1 ve Lemma 2’ deki özdeşliklerden faydalanarak genelleştirilmiş
konveksliğin farklı sınıfları için yeni Simpson tipli eşitsizlikler elde edebilirler.
43
KAYNAKLAR
[1] Anton, H., Rorres, C. 2006. Elementary Linear Algebra. Jhon Wiley and Sonsi Inc.
[2] Azpeitia, A.G. 1994. Convex functions and the Hadamard inequality. Rev. Colombiana Mat., (28): 7-12.
[3] Bayraktar, M. 2000. Fonksiyonel Analiz, ISBN 975-442-035-1.
[4] Beckenback, E.F., Bellman, R. 1961. Inequalities, Springer-Verlag, Berlin.
[5] Dragomir, S.S., Pearce, C.E.M. 1998. Quasi-convex functions and Hadamard’s inequality, Bull. Austral. Math. Soc., 57: 337-385.
[6] Dragomir, S.S., Agarwal, R.P., Cerone, P. 2000. On Simpson’s inequality and applications., J. Ineq. Appl., 5, 533-579.
[7] Greenberg, H.J., Pierskalla, W.P. 1970. A review of quasi convex functions, Reprinted
from Operations Research, 19,7.
[8] Hardy, G., Litllewood, J.E., Polya, G. 1952. Inequalities, 2nd Ed., Cambridge University Press.
[9] Hua, J., Xi, B.Y., Qi, F. 2015. Some new inequalities of Simpson type for strongly
s-convex functions, Africa Mathematika, 26 (5-6): 741-752.
[10] Ion, D.A. 2007. Some estimates on the Hermite-Hadamard inequality through quasiconvex functions, Annals of Universty of Craiova, Math. Comp. Sci. Ser., 34, 82-87.
[11] Mitrinović, D.S. 1970. Analytic Inequalities, Springer-Verlag.
[12] Mitrinović, D.S., Pečarić, J.E., Fink, A.M. 1993. Classical and New Inequalities in
Analysis, Kluwer Academic Publishers.
[13] Niculescu, C.P., Persson, L.E. 2006. Convex Functions and Their Appl., A Contemporary Approach, Springer Science+ Business Media, Inc., 255 pp.
[14] Pachpatte, B.G. 2005. Mathematical Inequalities, Elsevier B. V., Amsterdam, Netherlands.
[15] Pečarić, J. 1987. Konveksne funkcije: nejednakosti, Naučna knjiga, Beograd, 243 pp.
44
[16] Pečarić, J.E., Proschan, F., Tong, Y.L. 1992. Convex Functions, Partial Orderings
and Statistical Appl., Academic, Inc, San Diego.
[17] Roberts, A.W., Varberg, D.E. 1973. Convex Functions, AcademicPress.
[18] Samko, S.G., Kilbaş, A.A., Marichev, O.I. 1993. Fractional Integrals and Derivatives
Theory and Appl., Gordon and Breach, Longhorne, PA.
[19] Set, E., Özdemir, M.E., Sarıkaya, M.Z. 2012. On new inequalities of Simpson’s type
for quasi-convex functions with applications, Tamkang J. Math., 43(3): 357-364.
[20] Set, E., Özdemir, M.E., Uygun, N. 2016. On new Simpson type inequalities for quasiconvex functions via Riemann-Liouville integrals, AIP Conf. Proc., 1726, 020068,
1-5.
[21] Set, E., Akdemir, A.O., Özdemir, M.E. 2016. Simpson type integral inequalities for
convex functions via Riemann-Liouville integrals. Filomat, accepted 2016.
[22] Set, E., Sarıkaya, M.Z., Uygun, N. 2017. On new inequalities of Simpson’s type generalized quasi-convex functions, Advences in Inequalities and Applications, accepted.
[23] Set, E., Özdemir, M. E., Uygun, N. 2016. On new Simpson type inequalities for
generalized quasi-convex mappings, International Statistics Days Conference, Giresun,Turkey.
[24] Set, E. 2010. Bazı Farklı Türden Fonksiyonlar için İntegral Eşitsizlikleri. Doktora
Tezi, Atatürk Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Erzurum.
[25] Yang, X. 2011. Local fractional Laplace’s transform based on the local fractional
calculus. 2011 International Conference on Computer Science and Information Engineering, Springer.
[26] Yang, X. 2011. Local fractional functional analysis and its applications, Asian academic publisher limited, July 25.
[27] Yang, X.J. 2012. Advanced Local Fractional Calculus and Its Applications, World
Science Publisher, New York.
[28] Yang, J., Baleanu, D., Yang, X.J. 2013. Analysis of fractal wave equations by local
fractional Fourier series method, Advan. Math. Phys., 2013, Article ID 632309.
45
[29] Yang, X.J. 2012. Local fractional integral equations and their applications, Advan.
Comput. Sci. Appl., 1(4).
[30] Yang, X.J. 2012. Generalized local fractional Taylor’s formula with local fractional
derivative, Journal of Expert Systems, 1(1): 26-30.
[31] Yang, X.J. 2012. Local fractional Fourier analysis, Advan, Mech. Engineer. Appl.,
1(1): 12-16.
[32] Yıldız, Ç. 2011. Quasi-Konveks Fonksiyonlar için Eşitsizlikler ve Uygulamaları.
Yüksek Lisans Tezi, Atatürk Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Erzurum.
46
ÖZGEÇMİŞ
Adı-Soyadı
: Nazlı UYGUN
Doğum Yeri
:
Fatsa
Doğum Tarihi
:
29.05.1978
Medeni Hali
: Bekar
Bildiği Yabancı Dil
: İngilizce
İletişim Bilgileri
:
Ordu Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik
Bölümü, [email protected]
Lise
:
Fatsa Lisesi, 1994
Lisans
: Karadeniz Teknik Üniversitesi Fen-Ed. Fak.
Matematik Böl.-2000
47