MAT 1009 Matematik I 0/ 1

Bir Fonksiyonun Dört Farklı Gösterimi
Bir nicelik bir diğerine bağlı olduğunda ortaya fonksiyonlar çıkar.
Şimdi dört farklı durumu düşüneceğiz:
1. Bir dairenin alanı A, yarıçağı r ye bağlıdır. Bu bağlılık A = πr2
eşitliği ile gösterilir. Her pozitif r değerine karşılık bir A değeri
vardır ve bu, A nın r nin bir fonksiyonu olması ile ifade edilir.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
1/ 112
Bir Fonksiyonun Dört Farklı Gösterimi
2. P ile gösterilen dünya nüfusu, t zamanına bağlıdır. Tablo,
Dünya nufusu P (t) yi t yıllarında yaklaşık olarak vermektedir.
Örneğin,
P (1950) ≈ 2.560.000.000
Zaman t nin her değerine
karşılık gelen bir P değeri
olduğundan, P nin zaman
t nin bir fonksiyonu
olduğunu söyleriz.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
Yıl
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
Nüfus(milyon)
1650
1750
1860
2070
2300
2560
3040
3710
4450
5280
6070
MAT 1009 Matematik I
2/ 112
Bir Fonksiyonun Dört Farklı Gösterimi
3. Bir mektubun posta ücreti C, ağırlığı w ye bağlıdır. w ile C
arasında kolayca ifade edilebilecek basit bir formüll olmamasına
karşın, posta idareleri w bilindiğinde C yi belirleyen kurallar
kullanırlar.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
3/ 112
Bir Fonksiyonun Dört Farklı Gösterimi
4. Bir depremde yer kabuğunun düşey ivmesi a, sismograflar
tarafından geçen t süresinin fonksiyonu olarak belleğe
kaydedilmektedir. Şekil 1 de, 1994 de Los Angles kentindeki sismik
hareketin grafiği verilmektedir. Verilen t değerine karşılık gelen a
değerini grafikten okuyabiliriz.
Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
Şekil 1: Öğr.Gör.
Northridge
depreminde
düşey yer ivmeleri
4/ 112
Bir Fonksiyonun Dört Farklı Gösterimi
Bu örneklerin tümü, verilen bir sayıya (r, t, w, veya t) karşılık diğer
bir sayıyı veren (A, P, C, veya a) bir kural belirler. Her bir
durumda ikinci sayı birincisinin fonksiyonudur.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
5/ 112
Tanım: Fonksiyon
Bir f fonksiyonu, bir A kümesinin her x öğesini, bir B kümesinin
tek bir f (x) öğesine taşıyan bir kuraldır.
Genellikle A ve B kümelerinin gerçel sayıların kümeleri olduğu
fonksiyonları düşüneceğiz.
A kümesine fonksiyonun tanım kümesi denir.
f (x) sayısına f fonksiyonunun x deki değeri denir.
x sayısı A kümesi içinde değişirken, f (x) in tüm olası değerlerinin
kümesine f nin görüntü kümesi denir.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
6/ 112
Tanım: Fonksiyon
f nin tanım kümesinin herhangi bir öğesini temsil eden sembole,
bağımsız değişken denir.
Görüntü kümesinin herhangi bir öğesini temsil eden sembole,
bağımlı değişken denir.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
7/ 112
Fonksiyon
Bir fonksiyonu en iyi anlamamın yolu grafiğidir. Tanım kümesi A
olan bir fonksiyonun grafiği
{(x, f (x))|x ∈ A}
ile betimlenen sıralı ikililer kümesidir.
Başka bir deyişle, f
nin grafiği, x tanım
kümesinde ve
y = f (x) olmak
koşulu ile
düzlemdeki (x, y)
noktalarının
kümesidir.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
Şekil 2:
MAT 1009 Matematik I
8/ 112
Fonksiyon
Grafik, f nin tanım ve görüntü kümelerini, sırası ile x− ve y−
ekseni üzerinde Şekil 3 deki gibi şekillendirmemize de yardımcı olur.
Şekil 3:
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
9/ 112
Örnek
Örnek Üstü açıkı dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kutunun
hacmi 10m3 tür. Tabanın uzun kenarı, kısa kenarının iki katıdır..
Tabanda kullanılacak malzemenin metrekaresi 10 YTL, yan
yüzlerde kullanılacak malzemenin metrekaresi 6 YTL ise, maliyet
fonksiyonunu kısa kenarın fonksiyonu olarak bulun.
Çözüm Şekil 4 da
kısa kenar w, uzun
kenar 2w ve
yükseklik h olarak
gösterilmiştir.
Şekil 4:
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
10/ 112
Örnek...
Taban alanı (2w) × w = 2w2
⇒
taban maliyeti 10(2w2 ) YTL.
İki yanyüzün alanı w × h, ikisinin alanı ise 2w × h dir. Buradan
yanyüzlerin alanı 2(wh) + 2(2wh) olur. Dolayısıyla yanyüzlerin
maliyeti 6 × [2(wh) + 2(2wh)] dir.
Toplam maliyet ise
C = 10(2w2 ) + 6[2(wh) + 2(2wh)] = 20w2 + 36wh
olur.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
11/ 112
Örnek...
C yi w nin bir fonksiyonu olarak ifade edebilmek için h yi yok
etmemiz gerekir. Hacim 10m3 olduğu için
w × (2w) × h = 10
ve dolayısıyla
10
5
=
2w2
w2
dir. Bunu C nin ifadesinde yerine koyarak
5
180
2
C = 20w2 + 36w
=
20w
+
w2
w
h=
elde ederiz.
180
,
w>0
w
denklemi, C yi w nin fonksiyonu olarak ifade eder.
C(w) = 20w2 +
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
12/ 112
Fonksiyon
Bir fonksiyonun grafiği xy− düzleminde bir eğridir. Bu durumda
akla bir soru geliyor: xy−düzlemindeki hangi eğriler bir
fonksiyonun grafiğidir?
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
13/ 112
Fonksiyon
Düşey doğru ölçütü xy− düzlemindeki bir eğrinin x in bir
fonksiyonunun grafiği olması için gerekli ve yeterli koşul, her düşey
doğrunun bu eğriyi en fazla bir noktada kesmesidir.
Şekil 5: Düşey Doğru Ölçütü
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
14/ 112
Fonksiyonlar - Parçalı tanımlı fonksiyon
Tanım kümesinin farklı parçalarında farklı biçimde tanımlanmış
fonksiyona parçalı fonksiyon denir.
1 − x, x ≤ 1
f (x) =
x2 ,
x>1
x ≤ 1 iken f (x) in değeri 1 − x, x > 1 iken f (x) in değeri x2 dir.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
15/ 112
Fonksiyonlar - Parçalı tanımlı fonksiyon
Parçalı tanımlı fonksiyonlara vereceğimiz bir sonraki örnek mutlak
değer fonksiyonudur.
x ,x ≥ 0
|x| =
−x , x < 0
Şekil 6:
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
16/ 112
Fonksiyonlar - Simetrik fonksiyon
Tanım kümesindeki her x için f (−x) = f (x) koşulunu sağlayan f
fonksiyonuna çift fonksiyon denir.
Örneğin f (x) = x2 fonksiyonu için
f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x)
sağlandığından f çifttir.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
17/ 112
Fonksiyonlar - Simetrik fonksiyon
Bu fonksiyonların önemi, grafiklerinin y− eksenine göre simetrik
olmasıdır(Şekil 7). Yalnızca x ≥ 0 için grafik çizildiğinde, tüm
grafik y− eksenine göre simetri alınarak bulunur.
Şekil 7:
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
18/ 112
Fonksiyonlar - Simetrik fonksiyon
Tanım kümesindeki her x için f (−x) = −f (x) koşulunu sağlayan f
fonksiyonuna tek fonksiyon denir.
Örneğin f (x) = x3 fonksiyonu tektir çünkü
f (−x) = (−x)3 = −x3 = −f (x)
dir.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
19/ 112
Fonksiyonlar - Simetrik fonksiyon
Tek fonksiyonların grafikleri başlangıç noktasına göre
simetriktir.(Şekil 8).
Şekil 8:
Eğer x ≥ 0 değerleri için grafik biliniyorsa, tüm grafik eldeki
grafiğin başlangıç noktaı etrafında 180◦ döndürülmesiyle elde edilir.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
20/ 112
Fonksiyonlar - Artan ve Azalan Fonksiyonlar
Şekil 9:
Şekil 9 daki grafik A dan B ye kadar yükselmekte, B den C ye
kadar düşmekte ve C den D ye kadar tekrar yükselmektedir. f
fonksiyonu [a, b] aralığında artan, [b, c] aralığında azalan, [c, d]
aralığında ise yine artandır.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
21/ 112
Fonksiyonlar - Artan ve Azalan Fonksiyonlar
x1 ve x2 noktaları a ve b arasında, x1 < x2 koşulunu sağlayan
herhangi iki nokta ise, f (x1 ) < f (x2 ) olduğuna dikkat ediniz. Bu
özelliği artan fonksiyonun tanımı için kullanacağız.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
22/ 112
Fonksiyonlar - Artan ve Azalan Fonksiyonlar
I aralığındaki her x1 < x2 için f (x1 ) < f (x2 ) ise, f fonksiyonu I
aralığında artandır denir.
I aralığındaki her x1 < x2 için f (x1 ) > f (x2 ) ise, f fonksiyonu I
aralığında azalandır denir.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
23/ 112
Fonksiyonlar - Periyodik Fonksiyonlar
Her bir x değeri için, p > 0 iken
f (x + p) = f (x)
eşitliğini sağlayan fonksiyonlara p periyoduna sahip periyodik
fonksiyon denir.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
24/ 112
Fonksiyonlar - Polinomlar
n bir tamsayı, a0 , a1 , a2 , . . . , an sabit gerçel sayılar olmak üzere
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0
şeklindeki fonksiyonlara polinom denir.
Her polinomun tanım kümesi R = (−∞, ∞) kümesidir.
a0 , a1 , a2 , . . . , an sayılarına polinomun katsayıları denir. Eğer ilk
katsayı an 6= 0 ise, n sayısına polinomun derecesi denir.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
25/ 112
Fonksiyonlar - Polinomlar
Örneğin,
√
2
P (x) = 2x6 − x4 + x3 + 2
5
derecesi 6 olan bir polinomdur.
Derecesi 1 olan polinom P (x) = mx + b biçiminde olacağından,
doğrusal bir fonksiyondur.
Derecesi 2 olan bir polinom P (x) = ax2 + bx + c biçimindedir ve
kuadratik fonksiyon (veya ikinci dereceden polinom) adını taşır.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
26/ 112
Fonksiyonlar - Polinomlar
İkinci dereceden polinomların grafiği parabol olur ve grafikleri, bir
sonraki bölümde göreceğimiz gibi y = ax2 parabolünün
kaydırılması ile elde edilir. a > 0 ise, parabolun ağzı yukarıya,
a < 0 ise aşağıya doğru açıktır (Şekil 10).
Şekil 10: y = x2 + x + 1
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
y = −2x2 + 3x + 1
MAT 1009 Matematik I
27/ 112
Fonksiyonlar - Polinomlar
Derecesi 3 olan bir polinom
ax3 + bx2 + cx + d
biçimindedir ve kübik fonksiyon adını taşır.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
28/ 112
Fonksiyonlar - Kuvvet Fonksiyonları
a sabit bir sayı olmak üzere,
f (x) = xa
biçimindeki fonksiyonlara kuvvet fonksiyonları denir.
Bazı özel durumları düşünelim:
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
29/ 112
Fonksiyonlar - Kuvvet Fonksiyonları
n pozitif bir tamsayı olmak üzere, a = n ise
n = 1, 2, 3, 4 ve 5 olduğu f (x) = xn fonksiyonlarının grafikleri
aşağıdaki grafiklerde görülmektedir. (Bunlar yalnızca bir terimi
olan polinomlardır.)
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
30/ 112
Fonksiyonlar - Kuvvet Fonksiyonları
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
31/ 112
Fonksiyonlar - Kuvvet Fonksiyonları
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
32/ 112
Fonksiyonlar - Kuvvet Fonksiyonları
Aşağıdaki şekilden görüleceği gibi n artarken f (x) = xn , 0
yakınında düzleşmekte, |x| ≥ 1 için dikleşmektedir.
(x küçükse, x2 daha küçük, x3 daha da küçük, x4 ondan da küçük,
v.b. olacaktır.)
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
33/ 112
Fonksiyonlar - Kuvvet Fonksiyonları
n pozitif bir tamsayı olmak üzere, a =
f (x) = x1/n =
√
n
1
n
ise
x fonksiyonuna kök fonksiyonu denir.
√
n = 2 ise, f (x) = x, tanım kümesi [0, ∞), grafiği ise x = y 2
parabolünün üst kolu olan kare-kök fonksiyonudur.
n tamsayısının çift olması
durumunda, y = x1/n
fonksiyonunun grafiği
√
y = x fonksiyonunun
grafiğine benzer.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
34/ 112
Fonksiyonlar - Kuvvet Fonksiyonları
√
n = 3 durumunda f (x) = 3 x, tanım kümesi R olan
(her gerçel sayının küp-kökü vardır) küp-kök fonksiyonudur ve
grafiği aşağıda verilmiştir.
n tek ise, (n > 3)
√
y = n x nin grafiği
√
y = 3 x fonksiyonunkine
benzer.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
35/ 112
Fonksiyonlar - Kuvvet Fonksiyonları
a = −1 ise
Şekil de, f (x) = x−1 = 1/x in grafiği verilmiştir.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
36/ 112
Fonksiyonlar - Rasyonel Fonksiyonlar
P ve Q gibi iki polinomun oranı olarak ifade edilebilen
f (x) =
P (x)
Q(x)
f fonksiyonuna rasyonel (kesirli) fonksiyon denir.
Tanım kümesi: Q(x) 6= 0 olan tüm x sayılarıdır.
Tanım kümesi {x|x 6= 0} olan f (x) = 1/x fonksiyonu da rasyonel
bir fonksiyondur.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
37/ 112
Fonksiyonlar - Rasyonel Fonksiyonlar
f (x) =
2x4 − x2 + 1
x2 − 4
fonksiyonu da tanım kümesi {x|x 6= ±2} olan olan bir rasyonel
fonksiyondur.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
38/ 112
Fonksiyonlar - Cebirsel Fonksiyonlar
Polinomlardan(toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve kök alma gibi)
cebirsel işlemler ile elde edilebilen f fonksiyonuna cebirsel fonksiyon
denir. Rasyonel fonksiyonlar cebirsel fonksiyonlardır.
f (x) =
p
x2 + 1
g(x) =
√
x4 − 16x2
√ + (x − 2) 3 x + 1
x+ x
fonksiyonları da cebirsel fonksiyonlardır.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
39/ 112
Fonksiyonlar - Trigonometrik Fonksiyonlar
Kalkülüste açı birimi olarak (aksi belirtilmediği sürece) radyan
kullanılır. Örneğin, f (x) = sin x ile radyan ölçümü x olan açının
sinüsünü anlarız. Dolayısı ile, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının
grafikleri, şekil de gösterildiği gibidir.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
40/ 112
Fonksiyonlar - Trigonometrik Fonksiyonlar
Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının tanım kümesi (−∞, ∞), görüntü
kümesi [−1, 1] kapalı aralığıdır. Bu nedenle her x için
−1 ≤ sin x ≤ 1
− 1 ≤ cos x ≤ 1
ya da mutlak değer gösterimi ile
| sin x| ≤ 1
| cos x| ≤ 1
olur.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
41/ 112
Fonksiyonlar - Trigonometrik Fonksiyonlar
Sinüs fonksiyonunu sıfırları π nin tamsayı katlarıdır; başka bir
değişle n tamsayı olmak üzere,
x = nπ için sin x = 0 dır.
Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının en önemli özelliği periyodik
olmaları ve periyodlarının 2π olmasıdır. Bu, x in tüm değerleri için
sin(x + 2π) = sin x cos(x + 2π) = cos x
olması demektir.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
42/ 112
Fonksiyonlar - Trigonometrik Fonksiyonlar
Tanjant fonksiyonunun sinüs ve kosinüs fonksiyonalrı ile ilişkisi,
sin x
cos x
denklemleriyle verilir. Grafiği aşağıda da verilmiştir.
tan x =
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
43/ 112
Fonksiyonlar - Trigonometrik Fonksiyonlar
x = ±π/2, ±3π/2, . . . değerleri için cos x = 0 olduğundan, bu
değerlerde tanımlı değildir.
Görüntü kümesi (−∞, ∞) aralığıdır.
Tanjant fonksiyonu periyodiktir ve periyodu π dir:
tan(x + π) = tan x.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
44/ 112
Fonksiyonlar - Üstel Fonksiyonlar
Bu tür fonksiyonlar, taban a nın pozitif bir sabit olduğu
f (x) = ax
biçimindeki fonksiyonlardır. Her iki durumda da tanım kümesi
(−∞, ∞) ve görüntü kümesi (0, ∞) dur.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
45/ 112
Fonksiyonlar - Üstel Fonksiyonlar
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
46/ 112
Fonksiyonlar - Üstel Fonksiyonlar
Üstel fonksiyonların en çok kullanılanı ex (doğal üstel fonksiyon)
fonksiyonudur. Buradaki e sayısı üstel fonksiyonun y− eksenini
eğimi 1 olacak şekilde kesmesini saylayan sayıdır.
e sayısı irrasyonel bir sayıdır ve e sayısının ilk 5 basamağı
e ≈ 2.71828 dir.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
47/ 112
Fonksiyonlar - Cebirsel Olmayan Fonksiyonlar
Transandantal (aşkın) fonksiyonlar olarak da bilinen bu tür
fonksiyonlar trigonometrik, üstel ve logaritma fonksiyonlarını
içerdikleri gibi, hiç bir ad verilmemiş diğer pek çok fonksiyonu da
içerirler.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
48/ 112
Örnek
ÖRNEK: Aşağıdaki fonksiyonların türlerini belirleyiniz.
(a) f (x) = 5x
(c)
h(x) =
1+x
√
1− x
(b) g(x) = x5
(d)
u(t) = 1 − t + 5t4
ÇÖZÜM:
(a) f (x) = 5x fonksiyonu üstel bir fonksiyondur. (Kuvveti x dir.)
(b) g(x) = x5 fonksiyonu bir kuvvet fonksiyonudur. (Taban x
dir.) aynı zamanda derecesi 5 olan bir polinomdur.
1+x
√ cebirsel bir fonksiyondur.
(c) h(x) =
1− x
(d) u(t) = 1 − t + 5t4 derecesi 4 olan bir polinomdur.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
49/ 112
Eski Fonksiyonlardan Yenilerini Elde Etmek
Bu bölümde, önceki bölümde öğrendiğimiz temel fonksiyonlardan
başlayacağız ve grafiklerini kaydırarak, gererek ve yansıtarak yeni
fonksiyonlar elde edeceğiz. Ayrıca, bir fonksiyon çiftinin standart
aritmetik işlemler ve bileşkeyle nasıl birleştirildiğini göstereceğiz.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
50/ 112
Fonksiyonların Dönüşümleri
Bir fonksiyonun grafiğine dönüşümler uygulayarak yeni fonksiyonlar
elde edebiliriz.
Bu fikirler bize bir çok fonksiyonun grafiğini hızlıca çizebilme
yeteneğini kazandıracaktır.
Aynı zamanda, verilen grafiklerin denklemlerini bulabileceğiz.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
51/ 112
Fonksiyonların Dönüşümleri
Önce ötelemeleri düşünelim.
Eğer c pozitif bir sayı ise, y = f (x) + c fonksiyonunun grafiği
y = f (x) fonksiyonunun grafiğinin yukarı doğru c birim
kaydırılması ile elde edilir (bunun nedeni tüm y-koordinatlarının c
kadar arttırılmasıdır).
g(x) = f (x − c) ile tanımlanan g fonksiyonunun x sayısındaki
değeri, f nin x − c sayısındaki değeridir (başka bir deyişle, x in c
birim solundaki değer). Bu nedenle, y = f (x − c) fonksiyonunun
grafiği, y = f (x) grafiğinin c birim sağa kaydırılmış halidir
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
52/ 112
Fonksiyonların Dönüşümleri
c > 0 olmak üzere
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
53/ 112
Fonksiyonların Dönüşümleri
Yatay ve düşey kaydırmalar c > 0 olsun.
y = f (x) + c nin grafiğini elde etmek için,
y = f (x) grafiğini yukarı doğru c birim kaydırınız.
y = f (x) − c nin grafiğini elde etmek için,
y = f (x) grafiğini aşağıya doğru c birim kaydırınız.
y = f (x − c) nin grafiğini elde etmek için,
y = f (x) grafiğini sağa doğru c birim kaydırınız.
y = f (x + c) nin grafiğini elde etmek için,
y = f (x) grafiğini sola doğru c birim kaydırınız.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
54/ 112
Fonksiyonların Dönüşümleri
Şimdi germe ve yansıma dönüşümlerini ele alalım.
c > 1 ise, y = cf (x) fonksiyonunun grafiği, y = f (x)
fonksiyonunun grafiğinin düşey doğrultuda c kadar gerilmesi ile elde
edilir (çünkü her y-koordinatı aynı c sayısı ile çarpılmıştır).
y = −f (x) fonksiyonun grafiği, y = f (x) grafiğinin x− eksenine
göre yansımasıdır, çünkü (x, y) noktası (x, −y) noktası ile yer
değiştirmektedir.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
55/ 112
MAT 1009 Matematik I
56/ 112
Fonksiyonların Dönüşümleri
c > 1 ve c 6= 0 olmak üzere
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
Fonksiyonların Dönüşümleri
Yatay ve düşey germe ve yansıma
c > 1 olsun.
y = cf (x) in grafiğini elde etmek için,
y = f (x) in grafiğini düşey olarak c kadar geriniz.
y = (1/c)f (x) in grafiğini elde etmek için,
y = f (x) in grafiğini düşey olarak c kadar büzünüz.
y = f (cx) in grafiğini elde etmek için,
y = f (x) in grafiğini yatay olarak c kadar büzünüz.
y = f (x/c) in grafiğini elde etmek için,
y = f (x) in grafiğini yatay olarak c kadar geriniz.
y = −f (x) in grafiğini elde etmek için,
y = f (x) in grafiğinin x− ekseninde yansımasını alınız.
y = f (−x) in grafiğini elde etmek için,
y = f (x) in grafiğinin y− ekseninde yansımasını alınız.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
57/ 112
Örnek
√
Örnek : Verilen y√= x in grafiğine dönüşümler uygulayarak
√
√
√
√
y = x − 2, y = x − 2, y = − x, y = 2 x ve y = −x
fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz.
√
Çözüm : y = x in grafiği:
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
58/ 112
Örnek...
2 birim aşağı kaydırarak y =
√
x − 2 fonksiyonunun grafiği:
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
59/ 112
Örnek...
2 birim sağa kaydırarak y =
√
x − 2 fonksiyonun grafiği:
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
60/ 112
Örnek...
√
x− ekseninde yansımasını alarak y = − x in grafiği:
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
61/ 112
Örnek...
√
düşey yönde 2 birim gererek y = 2 x in grafiği:
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
62/ 112
Örnek...
y− ekseninde yansıma alarak y =
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
√
−x in grafiği:
MAT 1009 Matematik I
63/ 112
Örnek
Örnek : f (x) = x2 + 6x + 10 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm: Tam kareye tamamlayarak, grafiğin denklemini
y = x2 + 6x + 10 = (x + 3)2 + 1
olarak yazarız. İstenilen grafiği, y = x2 parabolünü önce 3 birim
sola, sonra 1 birim yukarıya kaydırarak buluruz.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
64/ 112
Örnek
Örnek : y = |x2 − 1| fonksiyonunun garfiğini çiziniz.
Çözüm: Önce y = x2 − 1 parabolünü çizeriz. Bu, y = x2
parabolünün 1 birim aşağıya kaydırılmasıyla elde edilir.
−1 < x < 1 iken x2 − 1 parabolü x-ekseninin altında kaldığından,
y = |x2 − 1| in grafiğini, bu kısmın grafiğini x− eksenine göre
yansıtarak buluruz.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
65/ 112
Fonksiyonların Birleşimleri
f ve g gibi iki fonksiyon, sayıların toplanması, çıkarılması,
çarpılması ve bölünmesine benzer şekilde birleştirilerek, f + g,
f − g, f g ve f /g gibi yeni fonksiyonlar elde edilebilir.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
66/ 112
Fonksiyonların Birleşimleri
f + g toplamını,
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
(1)
ile tanımlarsak, denklem 1 in sağ tarafı ancak f (x) ve g(x) in her
ikisininde tanımlı olduğu, diğer bir deyişle, x in hem f nin hem de
g nin tanım kümesinde olduğu zaman anlamlıdır. f nin tanım
kümesi A, g nin tanım kümesi B ise, f + g fonksiyonunun tanım
kümesi, bu iki tanım kümesinin kesişimi A ∩ B dir.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
67/ 112
Fonksiyonların cebiri
f ve g, tanım kümeleri A ve B olan fonksiyonlar olsun.
f + g, f − g, f g, ve f /g fonksiyonları aşağıdaki gibi tanımlanır.
(f + g)(x)
= f (x) + g(x)
tanım kümesi = A ∩ B
(f − g)(x)
= f (x) − g(x)
tanım kümesi = A ∩ B
(f g)(x)
= f (x)g(x)
tanım kümesi = A ∩ B
(f /g)(x)
= f (x)/g(x)
tanım kümesi = {x ∈ A ∩ B : g(x) 6= 0}
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
68/ 112
Örnek
√
√
Örnek : f (x) = x, g(x) = 4 − x2 ise, f + g, f − g, f g, ve
f /g fonksiyonlarını bulunuz.
√
Çözüm : f (x) = x fonksiyonunun tanım kümesi [0, ∞) dur.
√
g(x) = 4 − x2 fonksiyonunun tanım kümesi, 4 − x2 ≥ 0, yani
x2 ≤ 4 eşitsizliğini sağlayan x değerlerinden oluşur.
Her iki tarafın kare kökünü alırsak, |x| ≤ 2, veya −2 ≤ x ≤ 2 elde
ederiz.
Dolayısıyla, g fonksiyonunun tanım kümesi [−2, 2] aralığıdır.
f ve g nin tanım kümelerinin kesişimi
[0, ∞) ∩ [−2, 2] = [0, 2]
kümesidir.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
69/ 112
Örnek...
Böylece tanımlardan,
(f + g)(x)
(f − g)(x)
(f
g)(x)
f
(x)
g
√
√
= x + √4 − x2
√
= x√
− 4 − x2 √
√
= x√ 4 − x2 r
= 4x − x3
x
x
=√
=
4 − x2
4 − x2
0≤x≤2
0≤x≤2
0≤x≤2
0≤x<2
buluruz. f /g nin tanım kümesinde g(x) = 0 veren x = ±2
noktalarının olmaması gerektiğinden, f /g nin tanım kümesi [2,0)
aralığıdır.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
70/ 112
Fonksiyonların Bileşkesi
Verilen f ve g fonksiyonları için f ◦ g bileşke fonksiyonu (ya da f
ve g nin bileşkesi),
(f ◦ g)(x) = f (g(x))
olarak tanımlanır.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
71/ 112
Fonksiyonların Bileşkesi
f ◦ g fonksiyonunun tanım kümesi, g nin tanım kümesindeki, g nin
görüntüsü f nin tanım kümesinde olan x lerden oluşur.
Başka bir deyişle, (f ◦ g)(x), hem g(x) hem de f (g(x)) tanımlı
olduğu zaman tanımlıdır.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
72/ 112
Fonksiyonların Bileşkesi
f ◦ g fonksiyonunu anlamanın en iyi yolu Şekil 11 deki gibi ok
gösterimidir.
Şekil 11:
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
73/ 112
Örnek
Örnek : f (x) = x2 ve g(x) = x − 3 ise, f ◦ g ve g ◦ f bileşke
fonksiyonlarını bulunuz.
Çözüm:
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x − 3) = (x − 3)2
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 ) = x2 − 3
Not : Örnekte görüldüğü gibi, genelde f ◦ g 6= g ◦ f dir. f ◦ g,
önce g sonra f nin uygulanması ile bulunur. Örnekteki f ◦ g
fonksiyonu, önce 3 çıkartan sonra da kare alan fonksiyon iken, g ◦ f
önce kare alan sonra 3 çıkartan fonksiyondur.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
74/ 112
Örnek
√
√
Örnek : f (x) = x ve g(x) = 2 − x ise aşağıdaki fonksiyonları
ve tanım kümelerini bulunuz.
(a) f ◦ g (b) g ◦ f (c) f ◦ f (d) g ◦ g
Çözüm:
(a)
p√
√
√
2−x= 42−x
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ( 2 − x) =
f ◦ g fonksiyonunun tanım kümesi
{x|2 − x ≥ 0} = {x|x ≤ 2} = (−∞, 2]
dir.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
75/ 112
Örnek...
p
√
√
(b)
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g( x) = 2 − x
√
x fonksiyonun tanımlı olması için x ≥ 0 olmalıdır.
p
√
√
2 − x fonksiyonunun tanımlı olması için 2 − x ≥ 0 olmalıdır.
√
Bu, x ≤ 2 veya x ≤ 4 olmasını gerektirdiğinden, 0 ≤ x ≤ 4 olur.
Buradan g ◦ f fonksiyonunun tanım kümesi olarak [0, 4] bulunur.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
76/ 112
Örnek...
(c)
p√
√
√
(f ◦ f )(x) = f (f (x)) = f ( x) =
x= 4x
f ◦ f fonksiyonunun tanım kümesi [0, ∞) aralığıdır.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
77/ 112
Örnek...
(d)
p
√
√
(g ◦ g)(x) = g(g(x)) = g( 2 − x) = 2 − 2 − x
Bu ifadenin
tanımlı olması için 2 − x ≥ 0 ya da x ≤ 2 ve
√
2 − 2 − x ≥ 0 olmalıdır.
√
Son eşitsizlik 2 − x ≤ 2 ya da 2 − x ≤ 4 olmasına denktir.
Bu da −2 ≤ x ≤ 2 demek olduğundan, g ◦ g nin tanım kümesi
[−2, 2] kapalı aralığıdır.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
78/ 112
Örnek
Örnek : Verilen F (x) = cos2 (x + 9) için, F = f ◦ g ◦ h olacak
biçimde f , g ve h fonksiyonlarını bulunuz.
Çözüm: F (x) = [cos(x + 9)]2 olduğundan F fonksiyonu önce 9 ile
toplama, sonra toplamın kosinüsünü alma ve en sonunda da kare
alma demektir.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
79/ 112
Örnek...
Böylece
h(x) = x + 9
g(x) = cos x
f (x) = x2
olarak alırsak,
(f ◦ g ◦ h)(x) = f (g(h(x))) = f (g(x + 9)) =
f (cos(x + 9)) = [cos(x + 9)]2 = F (x)
elde ederiz.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
80/ 112
Ters Fonksiyonlar ve Logaritmalar
Aynı değeri iki kez almayan bir f fonksiyonuna, başka bir deyişle
x1 6= x2 için f (x1 ) 6= f (x2 )
koşuluna sağlayan bir fonksiyona, bire-bir fonksiyon denir.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
81/ 112
Ters Fonksiyonlar ve Logaritmalar
Şekil 12 de görüldüğü gibi yatay bir doğru f nin grafiğini birden
fazla noktada kesiyorsa, f (x1 ) = f (x2 ) olan farklı x1 ve x2
olacağından f fonksiyonu bire-bir değildir.
Şekil 12:
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
82/ 112
Ters Fonksiyonlar ve Logaritmalar
Bu nedenle, bir fonksiyonun bire-bir olması için aşağıdaki
geometrik ölçütü verebiliriz.
Yatay Doğru Ölçütü Bir fonksiyonun bire-bir olması için gerek ve
yeter koşul, hiç bir yatay doğrunun grafiği bir kezden fazla
kesmemesidir.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
83/ 112
Ters Fonksiyonlar ve Logaritmalar
f , tanım kümesi A, görüntü kümesi B olan bire-bir bir fonksiyon
olsun.
f fonksiyonunun tersi, f −1 , tanım kümesi B, görüntü kümesi A
olan ve B kümesindeki her y için
f −1 (y) = x ⇔ f (x) = y
ile tanımlanan fonksiyondur.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
84/ 112
Ters Fonksiyonlar ve Logaritmalar
f −1 in tanım kümesi = f nin görüntü kümesi
f −1 in görüntü kümesi = f nin tanım kümesi.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
85/ 112
Ters Fonksiyonlar ve Logaritmalar
Örneğin, f (x) = x3 fonksiyonun tersi f −1 (x) = x1/3
fonksiyonudur.
Eğer y = x3 ise,
f −1 (y) = f −1 (x3 ) = (x3 )1/3 = x
dir.
Uyarı : f −1 gösterimindeki −1 bir kuvvet değildir. Başka bir
deyişle, f −1 ile 1/f (x) birbirine eşit değildir.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
86/ 112
Ters Fonksiyonlar ve Logaritmalar
Geleneksel olarak x ile bağımsız değişkeni gösterdiğimizden, eğer
f −1 ile çalışıyorsak tanımda x ve y nin yerlerini değiştirip
f −1 (x) = y ⇔ f (y) = x
(2)
yazarız.Tanımda y yi ve (2) de x i yerine koyarak, yok etme
kuralları olarak bilinen
f −1 (f (x)) = x
f (f −1 (x)) = x
x∈A
x∈B
formüllerini elde ederiz.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
87/ 112
Birebir fonksiyonun tersini bulmak
ADIM 1
y = f (x) yazınız.
ADIM 2
Bu denklemde x i y cinsinden çözünüz (olanaklıysa).
ADIM 3 f −1 fonksiyonunu x in fonksiyonu olarak yazabilmek
için x ve y nin yerlerini değiştiriniz. Bu da y = f −1 (x) biçiminde
bir ifade verir.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
88/ 112
Örnek
Örnek : f (x) = x3 + 2 fonksiyonunun tersini bulunuz.
Çözüm: Yukarıda verilen adımlara uyarak, önce
y = x3 + 2
yazarız. Sonra, bu denklemi x için çözeriz:
x3 = y − 2
x =
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
√
3
y−2
MAT 1009 Matematik I
89/ 112
Örnek...
x=
p
3
y−2
Son olarak, x ile y nin yerlerini değiştiririz:
√
y = 3x−2
Dolayısıyla, verilen fonksiyonun tersi f −1 (x) =
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
√
3
MAT 1009 Matematik I
x − 2 dir.
90/ 112
Ters Fonksiyonlar ve Logaritmalar
f fonksiyonunun tersini bulma adımlarında x ile y nin yerlerini
değiştirme adımı, bize f −1 fonksiyonunun grafiğini f nin
grafiğinden bulma yöntemini de verir.
f (a) = b için yeterli ve gerekli
koşul f −1 (b) = a olduğundan,
(a, b) noktasının f nin grafiği
üzerinde olması için yeterli ve
gerekli koşul (b, a) noktasının
f −1 in grafiği üzerinde olmasıdır.
Diğer yandan (b, a) noktasının
y = x doğrusuna göre
yansımasıdır.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
91/ 112
Ters Fonksiyonlar ve Logaritmalar
f nin grafiğinin y = x doğrusuna göre yansıması, f −1
fonksiyonunun grafiğini verir.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
92/ 112
Örnek
√
Örnek: Aynı düzlemde f (x) = −1 − x fonksiyonunun ve tersinin
grafiklerini çiziniz.
√
Çözüm: Önce, y = −1 − x eğrisini (y 2 = −1 − x, ya da
x = −y 2 − 1 parabolünün üst yarı kolu) çizeriz. Daha sonra bunu
y = x doğrusuna yansıtıp, f −1 in grafiğini buluruz.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
93/ 112
Örnek...
Grafiği doğrulama amacıyla, f −1 in ifadesinin, x > 0 için
f −1 (x) = −x2 − 1 olduğuna dikkat ediniz. Dolayısıyla, f −1
fonksiyonunun grafiği, y = −x2 − 1 parabolünün sağ yarı koludur,
ve bu sonuç grafik uyumludur.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
94/ 112
Logaritma Fonksiyonları
a > 0 ve a 6= 1 için, f (x) = ax fonksiyonu artan veya azalan
olduğundan, Yatay Doğru Ölçütü gereğince, bire-birdir. Bu
nedenle, tersi f −1 vardır.
Bu fonksiyona a tabanına göre logaritma fonksiyonu adı verilir
ve
loga
ile gösterilir.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
95/ 112
Logaritma Fonksiyonları
Ters fonksiyon için
f −1 (x) = y ⇐⇒ f (y) = x
koşulunu kullanırsak,
loga x = y ⇐⇒ ay = x
elde ederiz.
Bu nedenle, 0 < x için loga x, a tabanının x sayısını vermesi için
gerekli olan üssüdür.
Örneğin 10−3 = 0, 001 olduğundan, log10 0.001 = −3 dür.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
96/ 112
Logaritma Fonksiyonları
Yok etme kuralları f (x) = ax ve f −1 (x) = loga x özelinde
kullanılırsa
loga (ax ) = x ,
aloga x = x ,
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
x∈R
x > 0 elde edilir.
MAT 1009 Matematik I
97/ 112
Logaritma Fonksiyonları
loga x logaritma fonksiyonunun tanım kümesi (0, ∞), görüntü
kümesi ise R dir. Grafiği ise y = ax fonksiyonunun y = x
doğrusuna göre yansımasıdır.
Şekil 13:
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
98/ 112
Logaritma Fonksiyonları
Şekil 13, 1 < a için bir örnektir. ( En önemli logaritma
fonksiyonlarının tabanı a > 1 dir.)
0 < x için y = ax
fonksiyonu çok artan bir
fonksiyon olduğundan,
1 < x değerleri için
y = loga x fonksiyonu çok
yavaş artan bir
fonksiyondur.
Şekil 14:
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
99/ 112
Logaritma Fonksiyonları
Şekil 14, a sayısının farklı değerleri için loga x fonksiyonlarının
grfiklerini vermektedir.
loga 1 = 0 olduğundan, tüm logaritma fonksiyonlarının grafikleri
(1, 0) noktasından geçerler.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
100/ 112
Logaritma Kuralları
x ve y pozitif sayılar için
1
2
3
loga (xy) = loga x + loga y
x
loga
= loga x − loga y
y
loga (xr ) = r loga x (Burada r gerçel sayıdır.)
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
101/ 112
Doğal Logaritma
e tabanına göre logaritmaya doğal logaritma denir ve özel bir
göseterime sahiptir:
loge x = ln x
doğal logaritma fonksiyonunu tanımlayan özellikler
ln x = y ⇐⇒ ey = x
ln(ex ) = x
eln x = x
x∈R
x>0
biçimini alır.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
102/ 112
Doğal Logaritma
Özel olarak x = 1 alırsak,
ln e = 1
elde ederiz. Herhangi tabana göre logaritmayı aşağıdaki gibi ifade
edebiliriz.
ln x
,
ln a
a > 0, a 6= 1
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
loga x =
103/ 112
Doğal Logaritma
Üstel fonksiyon y = ex in ve tersi doğal logaritma fonksiyonunun
grafikleri Şekil 15 de gösterilmiştir. y = ex eğrisi, y− eksenini 1
eğimle kestiğinden, y = ln x eğrisi, x− eksenini 1 eğimle keser.
Şekil 15:
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
104/ 112
Örnek
Örnek: y = ln(x − 2) − 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm: Şekil 15 te verilen y = ln x fonksiyonunun grafiğini sağ
tarafa iki birim kaydırarak y = ln(x − 2) grafiğini, sonra da aşağıya
bir birim kaydırarak y = ln(x − 2) − 1 fonksiyonunun grafiğini elde
ederiz.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
105/ 112
Doğal Logaritma
Artan bir fonksiyon olan ln x, 1 < x değerleri için çok yavaş artar.
ln x, x in tün pozitif kuvvet fonksiyonlarından daha yavaş büyür.
√
Bu gerçeği görmek için y = ln x ve y = x1/2 = x fonksiyonlarının
grafikleri Şekil 16 ve 17 da çizilmiştir. Başlangıçta iki fonksiyon da
benzer davranış gösterirken, daha sonra kök fonksiyonunun
logaritmadan daha hızlı büyüdüğü görülmektedir.
Şekil 16:
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
Şekil 17:
MAT 1009 Matematik I
106/ 112
Parametrik Eğriler
Bir parçacığın Şekil 18 deki C eğrisi üzrinde hareket ettiğini
varsayalım.
Şekil 18:
C eğrisi, Düşet Doğru Ölçütü nedeni ile y = f (x) gibi bir
denklemle betimlenemez. Ama parçacığın x− ve y− koordinatları
zamanın fonksiyonlarıdır, ve dolayısıyla x = f (t) ve y = f (t)
yazabiliriz.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
107/ 112
Parametrik Eğriler
Böyle bir denklem çifti, bir eğriyi betimlemek için çoğu zaman
uygun bir yoldur ve aşağıdaki gibi tanımlanır.
x ve y üçüncü bir değişken ( parametre olarak adlandırılan) t nin
fonksiyonları olarak
x = f (t)
y = g(t)
(parametrik denklemler olarak adlandırılan) denklemleriyle
verilmiş olsun.
t nin her değeri düzlemde bir (x, y) noktası belirler. t değiştikçe
(x, y) = (f (t), g(t)) noktalarıda değişir ve bir C eğrisi izler.
Böyle tanımlanan eğrilere parametrik eğri diyeceğiz.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
108/ 112
Parametrik Eğriler
t ile gösterilen parametrenin her zaman zamanı göstermesi şart
değildir ve aslında parametre için t den başka harfide
kullanabilirdik.
Yinede çoğu uygulamada t zamanı gösterir ve bu nedenle,
(x, y) = (f (t), g(t)) gösterimini bir parçacığın t zamanındaki
konumu olarak yorumlayabiliriz.
x = f (t)
y = g(t)
a6t6b
parametrik denklemleri ile betimlenen eğrinin başlangıç noktası
(f (a), g(a)), bitiş noktası ise (f (b), g(b)) dir.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
109/ 112
Örnek
Örnek: Parametrik denklemleri x = cos t, y = sin t, 0 6 t 6 2π
olan eğriyi bulunuz.
Çözüm: Üzerinde belirleyeceğimiz noktaları birleştirerek fikir sahibi
olabileceğimiz bir eğrinin bir daire olabileceği anlaşılıyor. Bu savı
doğrulamak için yine parametre t yi yok edelim.
x2 + y 2 = cos2 t + sin2 t = 1.
Buna göre, (x, y) noktası birim çember x2 + y 2 = 1 üzerinde
hareket eder.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
110/ 112
Örnek...
Bu örnekte parametre t, Şekil 19 de gösterildiği gibi, (radyan
olarak ölçülen) açı olarak yorumlanabilir.
Şekil 19:
t değerleri 0 dan 2π ye artarken, (x, y) = (cos t, sin t) noktası
çemberin üzerinde (1,0) noktasından başlayıp saat yönünün tersi
yönünde bir kere dolanır.
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
111/ 112
Örnek
Örnek:(Sikloid) Bir çember, düzgün bir doğru üzerinde
yuvarlanarak hareket ederken, çember üzerindeki P noktasının
izlediği eğriye sikloid denir (bkz. Şekil 20). Çemberin yarıçapı r
ise, ve çember x− ekseni üzerinde yuvarlanıyor ve P noktasının bir
konumu başlangıç noktasıysa, sikloidin parametrik denklemi
x = r(θ − sin θ)
y = r(1 − cos θ)
θ∈R
olarak elde edilir.
Şekil 20:
Öğr.Gör. Volkan ÖĞER
MAT 1009 Matematik I
112/ 112

MAT 1009 Matematik I 0/ 1

Products

Support

MAT 1009 Matematik I 0/ 1

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib