Fonksiyonun Limiti Fonksiyonun Limiti Fonksiyonun Limiti

Fonksiyonun Limiti
Fonksiyonun Limiti
x in 2 sayısına yakın değerleri için f (x) = x2 − x + 2 ile tanımlanan
f fonksiyonun davranışını inceleyelim. Aşağıdaki tablo, x in 2 ye
yakın fakat 2 den farklı değerleri için f (x) değerlerini vermektedir.
Tablodaki değerlerin ve f
nin Şekilde verilen
grafiğinden (bir parabol),
x değeri 2 ye yakın
olduğunda (her iki yönden
de), f (x) in değerini 4 e
istediğimiz kadar yakın
yapabilmişiz gibi
görünmektedir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
1/ 182
Fonksiyonun Limiti
MAT 1009 Matematik I
2/ 182
Fonksiyonun Limiti
Genelde aşağıdaki gösterimi kullanırız.
Tanım 1: x değerlerini a sayısına yeteri kadar yakın (her iki
yönden de) ancak a dan farklı alarak, f (x) değerini L sayısına
istediğimiz kadar yaklaştırabiliyorsak, “x değişkeni a sayısına
yaklaşırken, f (x) in limiti L dir” der ve
x2
Bunu ”x, 2 ye yaklaşırken, f (x) =
− x + 2 fonksiyonunun limiti
4 e eşittir” diyerek ifade ederiz. Bu ifadenin gösterimi
lim (x2 − x + 2) = 4
x→2
lim f (x) = L
x→a
şeklindedir.
yazarız.
Kabaca bu, x değişkeni, a sayısına x 6= a olacak şekilde (her iki
yönden) yaklaşırken, f (x) değerinin giderek L sayısına daha yakın
değerler alması anlamına gelir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
3/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
4/ 182
Fonksiyonun Limiti
Fonksiyonun Limiti
Limit tanımındaki “x 6= a” ifadesine dikkat ediniz.
lim f (x) = L
x→a
Bu, x değişkeni a sayısına yaklaşırken f (x) in limitini bulmak için,
x = a değerini hiç düşünmediğimiz anlamına gelir.
limiti için diğer bir gösterim şekli
x → a iken f (x) → L
Aslında f (x) fonksiyonu, x = a noktasında tanımlı bile olmayabilir.
dir ve “x değişkeni a sayısına yaklaşırken, f (x) değerleri L ye
yaklaşır” şeklinde okunur.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Önemli olan, yalnızca f (x) fonksiyonunun a nın yakınında nasıl
tanımlandığıdır.
5/ 182
Fonksiyonun Limiti
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
6/ 182
Fonksiyonun Limiti
Şekil 2:
Şekil 1:
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
7/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
8/ 182
Fonksiyonun Limiti
Fonksiyonun Limiti
Şekillerde üç fonksiyonun grafiği verilmiştir. (3) de f (a) tanımlı
değildir ve (2) de f (a) 6= L dir. Ancak tüm durumlarda, a da ne
olduğundan bağımsız olarak lim f (x) = L dir.
x→a
Şekil 3:
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
9/ 182
Örnek
MAT 1009 Matematik I
10/ 182
Örnek...
sin x
limitini bulunuz.
x→0 x
Örnek: lim
Çözüm: Yine f (x) = sin x/x fonksiyonu x = 0 noktasında tanımlı
değildir.
Bir hesap makinesi
kullanarak (ve x ∈ R için
sin x in radyan ölçümü x
olan açının sinüsü
olduğunu anımsayarak),
virgülden sonra sekizinci
basamağa kadar doğru
olan değerlerle yandaki
tabloyu oluştururuz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
Şekil 4:
Tablodan ve Şekil 4 daki grafikten
sin x
=1
x→0 x
lim
olduğunu tahmin ederiz. Bu tahmin gerçekten de doğrudur ve
bunu ileride geometrik bir akıl yürütmeyle kanıtlayacağız.
MAT 1009 Matematik I
11/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
12/ 182
Örnek
Örnek...
Örnek: lim sin
x→0
π
limitini bulunuz.
x
Bu bilgiler ışığında
π
=0
x→0
x
tahminini yapmak çekici gelsede, bu kez tahmin doğru değildir.
lim sin
Çözüm: Burada da f (x) = sin( πx ) fonksiyonu sıfır noktasında
tanımlı değildir.Bazı küçük x değerleri için fonksiyonun değerlerini
hesaplarsak
f (1) = sin π = 0
f ( 12 ) = sin 2π = 0
f ( 31 ) = sin 3π = 0
f ( 14 ) = sin 4π = 0
Her n tamsayısı için f (1/n) = sin nπ = 0 olmasına rağmen, x in
sıfıra yaklaşan sonsuz tane değeri için f (x) = 1 olduğu da
doğrudur.
(1)
[Aslında,
π
π
= + 2nπ
x
2
olduğu zaman, sin(π/x) = 1 dir ve buradan x i çözerek
x = 2/(4n + 1) buluruz.]
f (0.1) = sin 10π = 0 f (0.01) = sin 100π = 0
elde ederiz. Benzer biçimde f (0.001) = f (0.0001) = 0 olur.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
13/ 182
Örnek...
MAT 1009 Matematik I
14/ 182
Örnek...
f nin grafiği şekil 5 de verilmiştir.
x sıfıra yaklaşırken f (x) değerleri belli bir sayıya yaklaşmadığından
lim sin
x→0
π
x
limiti yoktur.
Şekil 5:
Grafikteki kesik çizgiler, x sıfıra yaklaşırken sin(π/x) değerlerinin
−1 ile 1 arasında sonsuz kez gidip geldiğine işaret etmektedir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
15/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
16/ 182
Örnek
Örnek...
1
limitini (varsa) bulunuz.
x→0 x2
Örnek: lim
Çözüm: x değişkeni 0 a yakın olduğunda, x2 de 0 a yakın olur, ve
1/x2 çok büyük olur.
Şekil 6:
Aslında, Şekil 6 de gösterilen f (x) = 1/x2 fonksiyonunun
grafiğinden, x değerleri 0 a yeteri kadar yakın alınarak, f (x) in
değerlerinin istenildiği kadar büyük yapılabileceği görülmektedir.
Bu nedenle f (x) in değerleri herhangi bir sayıya yaklaşmaz ve
1
dolayısıyla lim 2 limiti yoktur.
x→0 x
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
17/ 182
Örnek
MAT 1009 Matematik I
18/ 182
Örnek...
Örnek: Heaviside fonksiyonu H,
0, t < 0
H(t) =
1, t ≥ 0
olarak tanımlanır. [Bu fonksiyon adını elektrik mühendisi Oliver
Heaviside(1850-1925) den almıştır ve t = 0 anında şalteri indirilen
devredeki elektrik akımını ifade etmek için kullanılabilir.] Grafiği
Şekil 7 de verilmiştir.
t değişkeni 0 a soldan sağdan yaklaştığında H(t), 0 a yaklaşır.
t, 0’a sağdan yaklaştığında, H(t) bu kez 1 e yaklaşır. Bu nedenle t
sıfıra yaklaşırken, H(t) nin yaklaştığı tek bir değer olmadığından
lim H(t) yoktur.
x→0
Şekil 7:
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
19/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
20/ 182
Tek Yönlü Limitler
Tek Yönlü Limitler
Bir önceki örnekte H(t) değerinin, t, 0 a sağdan yaklaşırken 0 a, t
nin 0 a soldan yaklaşması durumunda 1 e yaklaştığını gözledik.
Bunu simgesel olarak
lim H(t) = 0 ve
t→0−
Tanım 2: x değişkeni a dan küçük olacak şekilde a ya yeterince
yakın yakın alınarak, f (x) değerleri L sayısına istenildiği kadar
yakın yapılabiliyorsa, x değişkeni a ya yaklaşırken f (x) in soldan
limiti [veya x değişkeni a ya soldan yaklaşırken f (x) in limiti] L
dir deriz ve
lim f (x) = L
lim H(t) = 1
t→0+
ile gösteririz. t → 0− sembolü t nin yalnızca 0 dan küçük
değerlerini düşündüğümüzü gösterir. Aynı şekilde t → 0+ , t nin
yalnızca 0 dan büyük değerlerini düşündüğümüzü gösterir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
x→a−
yazarız.
21/ 182
Tek Yönlü Limitler
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
22/ 182
Tek Yönlü Limitler
Tanım 2 nin Tanım 1 den tek farkının, x değişkeninin a dan küçük
olması koşulu olduğuna dikkat ediniz.
Benzer biçimde, x değişkeninin a dan büyük olması koşulunu
getirirsek, x değişkeni a ya yaklaşırken f (x) in sağdan limiti L
dir denir ve
lim f (x) = L
x→a+
yazarız. Dolayısıyla, x → a+ sembolü, yalnızca x > a değerlerini
düşündüğümüz anlamına gelir. Bu tanımlar Şekil 8 da
örneklenmiştir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Şekil 8:
23/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
24/ 182
Örnek
Tek Yönlü Limitler
Örnek: Bir g fonksiyonunun grafiği Şekil 9 da verilmiştir. Bunu
kullanarak (eğer varsa) aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz.
Tanım 1 ile tek yönlü limitlerin tanımlarını karşılaştırırsak,
aşağıdakinin doğru olduğunu görürüz.
a) lim g(x)
x→2−
b) lim g(x)
lim f (x) = L
x→2+
x→a
c) lim g(x)
olması için yeterli ve gerekli koşul
lim f (x) = L ve
x→a+
x→2
lim f (x) = L dir.
d) lim g(x)
x→a−
x→5−
e) lim g(x)
x→5+
Şekil 9:
f ) lim g(x)
x→5
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
25/ 182
Örnek...
MAT 1009 Matematik I
26/ 182
Örnek...
Çözüm:
c) Sağ ve sol limitler farklı olduğu için, lim g(x) olmadığı sonucuna
x→2
varırız.
Grafikten x değişkeni 2 ye soldan yaklaşırken, g(x) in 3 e
yaklaştığını, buna karşılık x değişkeni 2 ye sağdan yaklaşırken g(x)
in 1 e yaklaştığını görürüz. Dolayısıyla
Grafikten ayrıca
d) lim g(x) = 2 ve e) lim g(x) = 2
x→5−
a) lim g(x) = 3 ve b) lim g(x) = 1 olur.
x→2−
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
x→2+
MAT 1009 Matematik I
x→5+
olduğu görülmektedir.
27/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
28/ 182
Örnek...
Limit Kurallarını Kullanarak Limit Almak
Limit Kuralları: c sabit bir sayı ve
lim f (x) ve lim g(x)
x→a
x→a
limitleri varsa,
1.
f) Bu kez sağ ve sol limitler aynıdır ve dolayısıyla,
lim g(x) = 2
2.
x→2
elde ederiz. Buna rağmen g(5) 6= 2 dir.
3.
4.
5.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
x→a
x→a
lim [f (x) − g(x)] = lim f (x) − lim g(x)
x→a
x→a
x→a
lim [c.f (x)] = c. lim f (x)
x→a
x→a
lim [f (x).g(x)] = lim f (x). lim g(x)
x→a
x→a
x→a
lim f (x)
f (x)
= x→a
dir.
x→a g(x)
lim g(x)
Eğer; lim g(x) 6= 0 ise lim
x→a
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
29/ 182
Örnek
lim [f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x)
x→a
x→a
MAT 1009 Matematik I
30/ 182
Örnek...
Çözüm:
Örnek: Limit kurallarını ve f ile g nin Şekil 10 de verilen
grafiklerini kullanarak (varsa) aşağıdaki limitleri bulunuz.
a) lim [f (x) + 5g(x)]
x→−2
b) lim [f (x)g(x)]
x→1
f (x)
x→2 g(x)
c) lim
a) f ve g nin grafiklerinden
lim f (x) = 1 ve
Şekil 10:
x→−2
lim g(x) = −1
x→−2
olduğunu görüyoruz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
31/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
32/ 182
Örnek...
Örnek...
Dolayısıyla
lim [f (x) + 5g(x)] = lim f (x) + lim [5g(x)] Kural 1 ile
x→−2
x→−2
x→−2
= lim f (x) + 5 lim g(x)
Kural 3 ile
= 1 + 5(−1) = −4
dür.
x→−2
x→−2
b) lim f (x) = 2 olduğunu görüyoruz. Ancak lim g(x) limiti yoktur
x→1
x→1
çünkü sağ ve sol limitler farklıdır:
lim g(x) = −2
x→1−
lim g(x) = −1
x→1+
Dolayısıyla Kural 4 ü kullanamayız. Sol limit sağ limite eşit
olmadığı için, verilen limit yoktur.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
33/ 182
Örnek...
MAT 1009 Matematik I
34/ 182
Limit Kurallarını Kullanarak Limit Almak
6.
7.
8.
9.
c) Grafik yardımı ile
lim f (x) ≈ 1.4 ve
x→2
10.
lim g(x) = 0
x→2
MAT 1009 Matematik I
x→a
x→a
lim c = c
x→a
lim x = a
x→a
n pozitif tamsayı olmak üzere lim xn = an dir.
x→a
n pozitif tamsayı olmak üzere lim
x→a
√
n
x=
√
n
a dır.
(n çift ise, a > 0 varsayarız.)
buluruz. Ancak bölenin limiti 0 olduğundan, Kural 5 i
kullanamayız. Pay sıfırdan farklı bir sayıya yaklaşırken, payda 0 a
yaklaştığından limiti yoktur.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
n pozitif tamsayı olduğunda lim [f (x)]n = [ lim f (x)]n dir.
35/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
36/ 182
Örnek
Örnek
Örnek: Her adımı açıklayarak, aşağıdaki limiti bulunuz.
lim (2x2 − 3x + 4)
Ancak aşağıdaki örneklerin sergilediği gibi, doğrudan yerine koyma
yöntemi ile tüm limit değerleri bulunamaz.
lim (2x2 )
x→5
Örnek: lim
x→5
Çözüm:
lim (2x2
x→5
− 3x + 4) =
− lim (3x) + lim 4 (kural 1 ve 2)
x→5
x→5
= 2 lim x2 − 3 lim x + lim 4
(kural 3)
= 2(52 ) − 3(5) + 4
(kural 7, 8 ve 9)
x→5
x→5
x2 − 1
limitini bulunuz.
x→1 x − 1
x→5
Çözüm: f (x) = (x2 − 1)/(x − 1) olsun. f (1) değeri tanımlı
olmadığı için limiti x = 1 koyarak bulamayız. Paydanın limiti 0
olduğu için Bölüm kuralını da kullanamayız. Bunun yerine cebir
bilgimizi kullanmalıyız.
= 39
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
37/ 182
Örnek...
MAT 1009 Matematik I
38/ 182
Örnek
(3 + h)2 − 9
limitini bulunuz.
h→0
h
Örnek: lim
(x − 1)(x + 1)
x2 − 1
=
x−1
x−1
olarak çarpanlara ayıralım. Buradan x − 1 in pay ve paydanın ortak
çarpanı olduğunu görürüz. x değişkeni 1 e giderken limit
alındığında x 6= 1 olduğundan x − 1 6= 0 dır. Dolayısı ile
sadeleştirme yapabiliriz. Böylece limiti
x2 − 1
lim
x→1 x − 1
(3 + h)2 − 9
olarak tanımlayalım. F (0) tanımlı
h
olmadığından, lim F (h) limitini h = 0 değerini yerine koyarak
Çözüm: F (h) =
h→0
hesaplayamayız. Fakat F (h) yi cebirsel olarak sadeleştirirsek,
h2 + 6h
(h2 + 6h + 9) − 9
=
=6+h
h
h
buluruz. (h değişkeni 0 a yaklaşırken, yalnızca h 6= 0 değerlerini
düşündüğümüzü hatırlayınız.) Dolayısıyla
(x − 1)(x + 1)
= lim
x→1
x−1
F (h) =
= lim (x + 1)
x→1
(3 + h)2 − 9
= lim (6 + h) = 6
h→0
h→0
h
=1+1=2
lim
olarak buluruz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
olur.
MAT 1009 Matematik I
39/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
40/ 182
Örnek
Limit Kurallarını Kullanarak Limit Almak
Örnek: lim
t→0
√
t2 + 9 − 3
limitini bulunuz.
t2
Bazı limitleri almak için en iyi yöntem önce sağ ve sol limitleri
almaktır. Aşağıdaki teorem limitin varlığı için yeterli ve gerek
koşulun sağ ve sol limitlerin varlığı ve eşitliği olduğunu ifade
etmektedir.
Çözüm: Paydanın limiti 0 olduğundan Bölüm kuralını doğrudan
kullanamayız. Buradaki cebirsel işlem, paydadaki kare kökten
kurtulmaktır:
lim
t→0
√
t2 + 9 − 3
t2
= lim
√
t→0
√
t2 + 9 − 3 t 2 + 9 + 3
.√
t2
t2 + 9 + 3
Teorem: lim f (x) = L için gerekli ve yeterli koşul
x→a
lim f (x) = L = lim f (x) dir.
(t2 + 9) − 9
t2
= lim √
= lim √
t→0 t2 ( t2 + 9 + 3)
t→0 t2 ( t2 + 9 + 3)
x→a+
Tek yönlü (sağ ve sol) limitleri alırken Limit Kurallarının bu tür
limitler için de geçerli olduğu gerçeğini kullanırız.
1
1
= lim √
=q
2
2
t→0
t +9+3
lim(t + 9) + 3
t→0
1
1
=
=
3+3
6
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
x→a−
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
41/ 182
Örnek
MAT 1009 Matematik I
42/ 182
Örnek
x < 0 için |x| = −x dir ve dolayısıyla
lim |x| = lim (−x) = 0
Örnek: lim |x| = 0 olduğunu gösteriniz.
x→0
x→0−
x→0−
dir. Teorem gereğince
Çözüm: Mutlak değer fonksiyonunun
x,
x≥0
|x| =
−x, x < 0
lim |x| = 0
x→0
olarak tanımlandığını hatırlayınız. 0 < x için |x| = x olduğundan,
lim |x| = lim x = 0
x→0+
x→0+
elde ederiz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
43/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
44/ 182
Örnek
Örnek...
Örnek: lim
x→0
|x|
limitinin olmadığını kanıtlayınız.
x
Çözüm:
lim
x→0+
lim
x→0−
|x|
x
= lim
= lim 1 = 1
+
x
x→0 x
x→0+
|x|
−x
= lim
= lim (−1) = −1
−
x
x
x→0
x→0−
Sağ ve sol limitler farklı olduklarından, Teorem gereğince aranılan
limit yoktur. f (x) = |x|/x fonksiyonunun grafiği Şekil 4 de
verilmiştir ve yanıtımızı desteklemektedir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
45/ 182
Limit Kurallarını Kullanarak Limit Almak
MAT 1009 Matematik I
46/ 182
Limit Kurallarını Kullanarak Limit Almak
Sıkıştırma Teoremi : x in a ya yakın (x = a dışında) değerleri için
Teorem : x in a ya yakın (x = a dışında) değerleri için
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)
f (x) ≤ g(x) ise
ve
ve x değişkeni, a ya yaklaşırken f (x) ve g(x) in limitleri varsa
lim f (x) = lim h(x) = L
x→a
x→a
ise
lim f (x) ≤ lim g(x)
x→a
x→a
olur.
lim g(x) = L
x→a
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
47/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
dir.
MAT 1009 Matematik I
48/ 182
Örnek
Sıkıştırma Teoremi
Kimi zaman Sandviç Teoremi olarak da anılan Sıkıştırma
Teoreminin anlamı Şekil 11 da açıklanmıştır.
Örnek : lim x2 sin
x→0
1
=?
x
Çözüm : Önce, lim sin
x→0
1
limiti olmadığından,
x
lim x2 sin
x→0
Şekil 11:
1
1
= lim x2 · lim sin
x→0
x x→0
x
eşitliğini kullanamayacağımıza dikkat edin.
Bu teorem, g(x) fonksiyonu a yakınında f (x) ve h(x) arasında
sıkışmışsa, ve a sayısında f ve h fonksiyonlarının limitleri var ve L
ye eşitse, zorunlu olarak g fonksiyonunun da a daki limitinin L
olduğunu söyler.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
49/ 182
Örnek...
MAT 1009 Matematik I
50/ 182
Örnek...
Bununla birlikte,
1
≤1
x
olduğundan, Şekil 12 de gösterildiği gibi
1
−x2 ≤ x2 sin ≤ x2
x
elde ederiz.
−1 ≤ sin
lim x2 = 0 ve lim (−x2 ) = 0 olduğunu biliyoruz.
x→0
x→0
Sıkıştırma teoreminde
f (x) = −x2 ,
g(x) = x2 sin
alarak
lim x2 sin
x→0
1
x
ve
h(x) = x2
1
=0
x
buluruz.
Şekil 12:
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
51/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
52/ 182
Süreklilik
Süreklilik
Bazı örneklerde x değişkeni a ya yaklaşırken f fonksiyonunun
limitinin fonksiyonun a noktasındaki değeri olarak
hesaplanabildiğini fark etmiştik.
Tanım:
f fonksiyonun a sayısındaki sürekliğiği
lim f (x) = f (a)
Bu özelliğe sahip fonksiyonlara a noktasında süreklidir denir.
x→a
eşitliğini sağlamasıdır.
Sürekliliğin matematiksel tanımının, bu kelimenin günlük anlamına
oldukça yakın olduğunu ileride göreceğiz. (Sürekli bir olay,
kesintiye ve ani değişikliğe uğramadan devam eder.)
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Süreklilik
3.
54/ 182
Tanım, f nin a noktasına yaklaşırken, f (x) in f (a) değerine
yaklaşması olarak ifade eder.
Tanıma göre, açıkça belirtilmemiş olsa da, bir fonksiyonun a
noktasındaki sürekliliği üç koşulun sağlanmasını gerektirmektedir:
2.
MAT 1009 Matematik I
Süreklilik
a noktasında sürekli olmayan bir f fonksiyonuna a noktasında
süreksizdir denir.
1.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
53/ 182
Dolayısıyla sürekli fonksiyonların, değişken x deki küçük bir
değişikliğin, f (x) de de küçük bir değişikliği gerekli kılma özelliği
vardır.
f (a) tanımlıdır (a sayısı f nin tanım kümesindedir).
lim f (x) limiti vardır.
Aslında x deki değişikliği yeterince küçük tutarak, f (x) deki
değişim istenildiği kadar küçük tutulabilir.
x→a
lim f (x) = f (a) dır.
x→a
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
55/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
56/ 182
Örnek
Süreklilik
Geometrik olarak, bir aralıktaki her noktada sürekli olan bir
fonksiyonu, grafiği kesintisiz bir fonksiyon olarak düşünebilirsiniz.
Bu, kalemle grafiği takip ettiğinizde, kalemi kaldırmadan grafiği
izleyebilmeniz demektir.
Örnek : Grafiği Şekil ?? de verilen fonksiyonun sürekli olmadığı
noktaları bularak, nedenlerini açıklayınız.
Şekil 13:
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
57/ 182
Örnek...
MAT 1009 Matematik I
58/ 182
Örnek...
Grafik a = 3 noktasında da kesintiye uğramaktadır. Ancak,
buradaki süreksizliğin nedeni farklıdır. Burada f (3) tanımlıdır.
Ancak, sağ ve sol limitler farklı olduklarından lim f (x) limiti
Çözüm : a = 1 noktasında fonksiyonun grafiğinde bir kesinti
olduğundan, fonksiyon bu noktada süreksiz görünmektedir. Bunu
matematiksel olarak, f (1) değeri tanımsız olduğundan fonksiyonun
1 noktasında süreksiz olduğu şeklinde açıklarız.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
x→3
yoktur ve bundan dolayı f , 3 noktasında sürekli değildir.
59/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
60/ 182
Örnek...
Örnek
a = 5 noktası fonksiyon için nasıl bir noktadır? Bu noktada f (5)
tanımlıdır ve lim f (x) limiti vardır (sağ ve sol limitler eşittir).
Ancak
x→5
Örnek : Aşağıdaki fonksiyonların sürekli olmadığı noktaları
bulunuz.
 1

 2 , x 6= 0
x2 − x − 2
x
(a) f (x) =
(b) f (x) =

x−2

1,
x=0
 2
x −x−2



, x 6= 2
x
−
2
(c) f (x) =
(d) f (x) = [|x|]



1,
x=2
lim f (x) 6= f (5)
x→5
olduğundan, f fonksiyonu 5 noktasında sürekli değildir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Örnek...
MAT 1009 Matematik I
62/ 182
Örnek...
 1

 2 , x 6= 0
x
(b) f (x) =


1,
x=0
Çözüm :
(a) f (x) =
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
61/ 182
x2 − x − 2
x−2
Burada f (0) = 1 tanımlıdır. Ancak
f (2) tanımlı olmadığından, f fonksiyonu 2 noktasında sürekli
değildir.
1
x→0 x2
lim f (x) = lim
x→0
limit yoktur. Bu nedenle, f fonksiyonu 0 noktasında sürekili
değildir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
63/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
64/ 182
Örnek...
Örnek...
 2
x −x−2



, x 6= 2
x−2
(c) f (x) =



1,
x=2
(d) Tam değer fonksiyonu f (x) = [|x|] tam sayılarda süreksizdir
çünkü n bir tam sayı ise, lim [|x|] limiti yoktur.
Bu örnekte f (2) = 1 tanımlıdır ve
x→n
(x − 2)(x + 1)
x2 − x − 2
= lim
= lim (x+1) = 3
lim f (x) = lim
x→2
x→2
x→2
x→2
x−2
x−2
vardır.
lim f (x) 6= f (2)
x→2
olduğundan, f fonksiyonu 2 noktasında sürekli değildir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
65/ 182
Örnek...
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
66/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
68/ 182
Örnek...
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
67/ 182
Süreksizlik Çeşitleri
Sağdan/Soldan Süreklilik
Şekillerde, örnekte çalışılan fonksiyonların grafiklerini vermektedir.
Örneklerin tümünde grafik bir kalem ile izlenirse, var olan bir delik
veya kesinti veya atlama nedeniyle kalem kaldırılmadan grafiğin
çizilmesi olası değildir.
f fonksiyonunun a da sağdan sürekli olması
lim f (x) = f (a)
x→a+
eşitliğini sağlaması; a da soldan sürekli olması ise
(a) ve (c) örneklerindeki süreksizliklere giderilebilir süreksizlikler
denir. Çünkü yalnız 2 noktasında f fonksiyonunu yeniden
tanımlayarak süreksizliği giderebiliriz. [g(x) = x + 1 fonksiyonu
süreklidir.]
lim f (x) = f (a)
x→a−
eşitliğini sağlaması olarak tanımlanır.
Bir aralığın tüm noktalarında sürekli olan fonksiyona o aralıkta
süreklidir denir. (Fonksiyon, aralığın uç noktalarının yalnızca bir
tarafında tanımlanmış ise bu noktalarda süreklilik, sağdan veya
soldan süreklilik anlamındadır.)
(b) deki süreksizlik türüne sonsuz süreksizlik denir.
(d) deki süreksizlik türüne ise, fonksiyon bir değerden diğerine
sıçradığından, sıçrama tipi süreksizlik adı verilir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
69/ 182
Süreklilik
MAT 1009 Matematik I
70/ 182
Süreklilik
Teorem : c bir sabit, f ve g fonksiyonları a sayısında sürekli
fonksiyonlarsa, aşağıdaki fonksiyonlar da a noktasında süreklidir:
Teorem :
1.
f +g
2.
f −g
(a) Her polinom gerçel sayıların tümünde, R = (−∞, ∞) da
süreklidir.
4.
fg
5.
f
,
g
3.
cf
g(a) 6= 0 ise
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
(b) Her rasyonel (kesirli) fonksiyon tanım kümesinde süreklidir.
71/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
72/ 182
Örnek
Süreklilik
x3 + 2x2 − 1
limitini bulunuz..
x→−2
5 − 3x
Örnek : lim
Bu teoremin bir uygulaması olarak, bir kürenin hacminin,
yarıçapına göre sürekli bir biçimde değiştiğini söyleyebiliriz. Bunun
nedeni V (r) = 34 πr3 ün yarıçap r nin bir polinomu olmasıdır.
x3 + 2x2 − 1
fonksiyonu rasyonel bir
5 − 3x
fonksiyondur ve teorem gereğince, tanım kümesi olan
{x ∈ R|x 6= 53 } kümesinde süreklidir. Bu nedenle
Çözüm : f (x) =
Benzer biçimde, dik olarak 50 ft/sn hızla havaya fırlatılan bir topun
t saniye sonraki yüksekliğini veren h = 50t − 16t2 fonksiyonu da,
polinom olduğundan, süreklidir. Dolayısıyla topun yüksekliği
zamana göre sürekli bir biçimde değişir.
x3 + 2x2 − 1
x→−2
5 − 3x
lim
= lim f (x) = f (−2)
x→−2
=
(−2)3 + 2(−2)2 − 1
1
=−
5 − 3(−2)
11
dir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
73/ 182
MAT 1009 Matematik I
74/ 182
Örnek
Süreklilik
Örnek : lim
x→π
f −1 fonksiyonunun grafiği f nin grafiğinin y = x doğrusuna göre
yansıması olduğundan, f sürekli bir fonksiyonsa, f −1 fonksiyonu da
süreklidir. (f fonksiyonunun grafiğinde kesinti yoksa, y = x
doğrusuna göre yansımasında da kesinti yoktur.)
Çözüm : y = sin x fonksiyonu, teoremden dolayı süreklidir.
Paydadaki y = 2 + cos x fonksiyonu, iki sürekli fonksiyonun
toplamı olduğundan, süreklidir. Bu fonksiyon hiç bir zaman 0
değildir çünkü her x için cos x ≥ −1 olduğundan, her yerde
2 + cos x > 0 dır. Böylece,
Teorem : Aşağıdaki fonksiyonlar tanım kümelerinde sürekli
fonksiyonlardır:
Polinomlar
Trigonometrik fonksiyonlar
Üstel fonksiyonlar
Kök fonksiyonları
sin x
limitini bulunuz.
2 + cos x
f (x) =
Rasyonel fonksiyonlar
Ters trigonometrik fonksiyonlar
Logaritmik fonksiyonlar
sin x
2 + cos x
fonksiyonu her yerde süreklidir. Dolayısıyla, sürekli fonksiyonun
tanımından,
lim
x→π
sin x
sin π
0
= lim f (x) = f (π) =
=
=0
2 + cos x x→π
2 + cos π
2−1
olur.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
75/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
76/ 182
Örnek
Süreklilik
Örnek : lim arcsin
x→1
x→a
lim f (g(x)) = f (b)
x→a
dir. Başka bir deyişle,
lim f (g(x)) = f lim g(x)
x→a
x→a
√ 1− x
limitini bulunuz.
1−x
Çözüm : arcsin sürekli bir fonksiyon olduğundan, teoremi
uygulayabiliriz:
√ √ 1− x
1− x
= arcsin lim
lim arcsin
x→1 1 − x
x→1
1−x
Teorem : f fonksiyonu b de sürekli ve lim g(x) = b ise,
√
1− x
√
√
= arcsin lim
x→1 (1 − x)(1 + x)
dir.
1
√
= arcsin lim
x→1 1 + x
= arcsin
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
77/ 182
1
π
=
2
6
MAT 1009 Matematik I
78/ 182
Örnek
Süreklilik
Örnek : Aşağıdaki fonksiyonların sürekli olduğu yerleri bulunuz:
(a) h(x) = sin(x2 )
Teorem : g fonksiyonu a da, f fonsiyonu da g(a) sürekli ise,
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) olarak verilen f ◦ g bileşke fonksiyonu a
noktasında süreklidir.
(b) F (x) = ln(1 + cos x)
Çözüm : (a) g(x) = x2 ve f (x) = sin x olmak üzere
h(x) = f (g(x))
dir. Bir polinom olduğu için, g fonksiyonu R de süreklidir. f
fonksiyonu da her yerde süreklidir.
Böylece, teoremden, h = f ◦ g fonksiyonu R de süreklidir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
79/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
80/ 182
Örnek...
Örnek...
Dolayısıyla, cos x = −1 olduğu zaman tanımlı değildir, ve bu
durum x = ±π, ±3π, . . . olduğunda gerçekleşir.
Böylece, F fonksiyonu π nin tek katlarında süreksizdir ve bu
değerlerin arasındaki aralıklarda süreklidir.
(b) Teoremden, f (x) = ln x ve (y = 1 ve y = cos x her yerde
sürekli olduklarından) g(x) = 1 + cos x süreklidir.
Dolayısıyla, teoremden, F (x) = f (g(x)) fonksiyonu tanımlı olduğu
her yerde süreklidir.
ln(1 + cos x) fonksiyonunun tanımlı olması için 1 + cos x > 0
olmalıdır.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
81/ 182
Süreklilik
MAT 1009 Matematik I
82/ 182
Süreklilik
Ara Değer Teoremi : f fonksiyonu kapalı [a, b] aralığında sürekli,
N sayısı f (a) ile f (b) arasında herhangi bir sayı olsun. (a, b)
aralığında, f (c) = N eşitliğini sağlayan bir c sayısı vardır.
Şekil 14:
Ara değer teoremi, sürekli bir fonksiyonun f (a) ile f (b) arasındaki
her değeri aldığını söyler. Bu özellik, Şekil 14 de gösterilmiştir. N
değeri [(a) da olduğu gibi] bir kez veya [(b) de olduğu gibi] bir kaç
kez alınabilir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
83/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
84/ 182
Örnek
Örnek...
Ara değer teoreminin bir uygulaması, aşağıdaki örnekte olduğu
gibi, denklemlerin köklerinin yerlerinin belirlenmesidir.
f (1) = 4 − 6 + 3 − 2 = −1 < 0
ve
Örnek : 4x3 − 6x2 + 3x − 2 = 0 denkleminin 1 ile 2 arasında bir
kökü olduğunu gösteriniz.
f (2) = 32 − 24 + 6 − 2 = 12 > 0
ve böylelikle f (1) < 0 < f (2) elde ederiz. Bu, N = 0 sayısının
f (1) ile f (2) arasında olduğunu verir. f fonksiyonu bir polinom
olduğundan her yerde süreklidir. Dolayısıyla, ara değer teoremi ile 1
ve 2 arasındaki bir c sayısı için f (c) = 0 olmalıdır. Bu da verilen
denklemin 1 ile 2 arasında bir kökü olması demektir.
Çözüm : f (x) = 4x3 − 6x2 + 3x − 2 olsun. Verilen denklemin bir
çözümünü, diğer bir deyişle, 1 ile 2 arasında f (c) = 0 olacak
şekilde bir c sayısı arıyoruz. Dolayısıyla, teoremde a = 1, b = 2 ve
N = 0 alalım.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
85/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
86/ 182
Sonsuz Limitler
Sonsuzluk İçeren Limitler
y = 1/x2 fonksiyonunun değerler tablosunu ve şekildeki grafiğini
inceleyerek
1
lim 2
x→0 x
limitinin olmadığı, ve x i 0 a yeterince yakın alarak, 1/x2
değerlerinin istenildiği kadar büyük yapılabileceği sonucuna
varmıştık.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
87/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
88/ 182
Sonsuz Limitler
Sonsuz Limitler
Dolayısıyla f (x) in değerleri sonlu bir sayıya yaklaşmaz ve
lim (1/x2 ) limiti yoktur.
Bu ∞ işaretini bir sayı olarak düşündüğümüz anlamına gelmediği
gibi, limitin var olduğu anlamına da gelmez.
x→0
Bu tür davranışı betimlemek için
Bu yalnızca limitin olmamasının nedeninin ifadesidir: x değişkeni 0
a yeterince yakın alınarak, 1/x2 istenildiği kadar büyütülebilir.
1
lim 2 = ∞
x→0 x
gösterimini kullanırız.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
89/ 182
Sonsuz Limitler
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
90/ 182
Sonsuz Limitler
lim f (x) = ∞
x→a
gösterimi, x değişkeni a ya yeterince yakın (sağından veya
solundan) ama a dan farklı alınarak, f (x) değerlerinin istenildiği
kadar büyük yapılabilineceği anlamına gelir.
Genellikle, x değişkeni a ya yaklaşırken f (x) in değerlerinin giderek
büyüdüğünü (veya “sınırsız olarak arttığını”) göstermek için,
simgesel olarak
lim f (x) = ∞
x→a
yazarız.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
91/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
92/ 182
Sonsuz Limitler
Sonsuz Limitler
lim f (x) = −∞ gösterimi “x değişkeni a ya yaklaşırken f (x) in
x→a
limiti eksi sonsuz” ya da “ x değişkeni a ya yaklaşırken, f (x)
sınırsız olarak azalır” olarak okunabilir.
Örnek olarak
lim
x→0
1
− 2
x
= −∞
verilebilir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
93/ 182
Sonsuz Limitler
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
94/ 182
MAT 1009 Matematik I
96/ 182
Sonsuz Limitler
Benzer tanımlar “x → a− ” gösteriminin yalnız a dan küçük x
değerlerini ve benzer biçimde “x → a+ ” gösteriminin yalnız x > a
değerlerini düşündüğümüz anlamına geldiği anımsanarak tek yönlü
limitler için de verilebilir.
lim f (x) = ∞
x→a+
lim f (x) = −∞
x→a+
x→a−
x→a−
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
lim f (x) = ∞
lim f (x) = −∞
MAT 1009 Matematik I
95/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
Sonsuz Limitler
Düşey Asimptot
Tanım :
Aşağıdakilerin en az birinin doğru olması durumunda, x = a
doğrusuna, y = f (x) eğrisinin düşey asimptotu denir.
lim f (x) = ∞
x→a
lim f (x) = −∞
x→a
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
lim f (x) = −∞
x→a−
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
97/ 182
Örnek
lim f (x) = ∞
x→a−
lim f (x) = ∞
x→a+
lim f (x) = −∞
x→a+
MAT 1009 Matematik I
98/ 182
Örnek...
Örnek : lim
x→3+
Benzer biçimde, x’in 3’ten küçük ve 3’e yakın değerleri için x − 3
negatif ve küçük bir sayıdır, ama 2x yine pozitif bir sayıdır(6’ya
yakın). Dolayısıyla 2x/(x − 3) sayısal değeri büyük negatif bir sayı
olur. Böylece
2x
lim
= −∞
−
x→3 x − 3
elde ederiz.
2x
2x
ve lim
limitlerini bulunuz.
x−3
x→3− x − 3
Çözüm : x’in değeri, 3’ten büyük ve 3’e yakın ise, payda x − 3
küçük ve pozitif bir sayı ve pay 2x de 6’ya yakın olacağından,
2x/(x − 3) oranı büyük bir pozitif sayı olacaktır. Buradan sezgisel
olarak
2x
lim
=∞
x→3+ x − 3
y = 2x/(x − 3) eğrisinin
grafiği şekilde verilmiştir.
x = 3 düşey bir
asimptotdur.
olduğunu görürüz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
99/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
100/ 182
Düşey Asimptot
Düşey Asimptot
Şekilden
lim
Tanıdık y = tan x ve y = ln x fonksiyonlarının grafiklerinde de
düşey asimptotlar vardır.
x→(π/2)−
tan x = +∞
olduğu görülür. Aslında, n tamsayı olmak üzere x = (2n + 1)π/2
doğrularının herbiri y = tan x eğrisinin düşey asimptotudur.
Grafiğe bakarak
lim ln x = −∞
x→0+
olduğunu görürüz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
101/ 182
Sonsuzdaki Limitler
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
102/ 182
MAT 1009 Matematik I
104/ 182
Sonsuzdaki Limitler
Tanımın geometrik açıklaması
şekillerde verilmiştir. Bir f
fonksiyonunun (yatay asimptot
denilen) y = L doğrusuna
yaklaşmasının bir çok yolu
olduğuna dikkat ediniz.
f fonksiyonu (0, ∞) aralığında tanımlı olsun.
lim f (x) = L
x→∞
ifadesi, x’in değeri yeterince büyük seçilerek, f (x) değerinin L’ye
istenildiği kadar yakın yapılabileceği anlamını taşır.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
103/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
Örnek
Sonsuzdaki Limitler
Örnek : f (x) =
x2 − 1
x2 + 1
Şekil 15’e dönersek, x’in sayısal olarak büyük negatif değerleri için
f (x) değerlerinin 1’e yaklaştığını görürüz.
x’i negatif sayılardan sınırsız olarak küçülterek, f (x) değerini 1’e
istediğimiz kadar yakın yapabiliriz. Bu,
x2 − 1
=1
x→−∞ x2 + 1
lim
Şekil 15:
olarak ifade edilir.
x2 − 1
=1
x→∞ x2 + 1
lim
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
105/ 182
Sonsuzdaki Limitler
MAT 1009 Matematik I
106/ 182
Sonsuzdaki Limitler
Genel olarak, Şekil 16’da görüldüğü gibi,
lim f (x) = L
x→−∞
Burada da −∞ bir sayı değildir, ancak sıklıkla lim f (x) = L
x→−∞
gösterimi, x negatif sayılardan yeteri kadar küçülterek, f (x)
değerlerinin L saysına istenildiği kadar yakın yapılabileceğini ifade
eder.
ifadesi,
”x eksi sonsuza giderken, f (x)’in limiti L’dir”
olarak okunur.
Tanım :
Eğer lim f (x) = L veya lim f (x) = L ise, y = L doğrusuna
x→∞
x→−∞
y = f (x) eğrisinin yatay asimptotu denir.
Şekil 16:
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
107/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
108/ 182
Örnek
Sonsuzdaki Limitler
Örneğin,
x2 − 1
=1
x→−∞ x2 + 1
olduğundan y = 1 doğrusu, Şekil 15’deki eğrinin yatay
asimptotudur. İki yatay asimptotu olan bir eğri örneği
y = tan−1 x’dir.
lim
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
lim tan−1 x = −
x→−∞
π
2
lim tan−1 x =
x→∞
π
2
(2)
olduğundan, y = −π/2 ve y = π/2 doğrularının her ikisi de yatay
asimptotlardır. (Bu, x = ±π/2 doğrularının tanjant eğrisi
grafiğinin düşey asimptotu olanlarındandır.)
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
109/ 182
Örnek
MAT 1009 Matematik I
110/ 182
Örnek...
Örnek : lim
x→∞
Benzer şekilde x’in negatif büyük değerleri için 1/x negatif ve
küçük olur. Böylece
1
lim
=0
x→−∞ x
buluruz. Buradan, y = 0 doğrusunun (x-ekseni) y = 1/x eğrisi için
yatay asimptot olduğu sonucuna ulaşırız.(Eğri şekilde verilen
hiperboldür.)
1
1
ve lim
limitlerini bulunuz.
x→−∞ x
x
Çözüm : x büyükken 1/x’in küçük olduğunu gözlemleyiniz.
Örneğin,
1
= 0, 01
100
1
= 0, 0001
10.000
1
= 0, 000001
1.000.000
dir. Gerçekten x’i yeterince büyük seçerek 1/x’i 0’a istediğimiz
kadar yakın yapabiliriz. Tanım gereğince
lim
x→∞
1
=0
x
elde ederiz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
111/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
112/ 182
Örnek
Sonsuzdaki Limitler
3x2 − x − 2
limitini bulunuz.
x→∞ 5x2 + 4x + 1
Örnek : lim
Daha önce verilen Limit Kuralları’nın çoğu sonsuzdaki limitlerde de
geçerlidir. Verilen Limit Kuralları’nın (Kural 9 ve 10 dışında)
”x → a” yerine ”x → ∞” veya ”x → −∞” konduğunda da geçerli
olduğu kanıtlanabilir.
Çözüm : Kesirli bir fonksiyonun sonsuzdaki limitini bulmak için
önce pay ve paydayı, paydadaki x’in en büyük kuvvetine böleriz.
(Yalnızca x’in büyük değerleri ile ilgilendiğimizden, x 6= 0
varsayabiliriz.) Bu örnekte paydadaki x’in en büyük kuvveti x2
olduğundan limit kurallarından
Özel olarak, n pozitif bir tamsayı olmak üzere
1
lim
= 0,
x→−∞ xn
3x2 − x − 2
lim
x→∞ 5x2 + 4x + 1
1
lim
= 0’dır.
x→∞ xn
=
=
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
113/ 182
Örnek...
3x2 −x−2
x2
lim 5x2 +4x+1
x→∞
x2
lim
x→∞
3−
5+
1
x
4
x
−
+
2
x2
1
x2
MAT 1009 Matematik I
114/ 182
Örnek...
Şekilde verilen kesirli fonksiyonun y = 3/5 yatay asimptotuna
yaklaşmasını göstererk bu hesaplamaların sonucunu sergilemektedir.
=
lim (3 −
x→∞
lim (5 +
x→∞
=
1
x
4
x
−
+
1
2
x→∞ x
4 limx→∞ x1 lim x12
x→∞
1
x→∞ x
lim 3 − lim
x→∞
lim 5 +
x→∞
2
)
x2
1
)
x2
− 2 lim
=
3−0−0
3
=
5+0+0
5
buluruz. Benzer bir hesaplama x → −∞ iken alınan limitin yine
3/5 olduğunu verir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
115/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
116/ 182
Örnek
Örnek
y = 0 (x-ekseni), y = ex doğal üstel fonksiyonunun grafiği için
yatay bir asimptottur.
lim ex = 0.
x→−∞
(3)
Örnek : lim e1/x limitini bulunuz.
x→0−
Çözüm : t = 1/x değişkeni için, x → 0− iken t → −∞ olduğunu
biliyoruz. Böylece (3)’den
lim e1/x = lim et = 0
t→−∞
x→0−
olur.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
117/ 182
Örnek
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
118/ 182
Sonsuzdaki Sonsuz Limitler
lim = ∞
x→∞
Örnek : lim sin x limitini bulunuz.
x→∞
gösterimi, x büyürken f (x) değerlerinin de büyüdüğünü ifade eder.
Çözüm : x artarken, sin x değerleri −1 ile 1 arasında sonsuz kez
salınır. Bu nedenle lim sin x limiti yoktur.
Aşağıdaki gösterimlerin de anlamları benzerdir:
x→∞
lim = ∞
x→−∞
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
119/ 182
lim = −∞
x→∞
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
lim = −∞
x→−∞
MAT 1009 Matematik I
120/ 182
Sonsuzdaki Sonsuz Limitler
Sonsuzdaki Sonsuz Limitler
x → ∞ iken y = ex , y = x3 ’den çok daha hızlı büyümektedir.
lim ex = ∞
x→∞
lim x3 = ∞
x→∞
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
lim x3 = −∞
x→−∞
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
121/ 182
Örnek
MAT 1009 Matematik I
122/ 182
Örnek
Örnek : lim (x2 − x) limitini bulunuz.
x→∞
x2 + x
limitini bulunuz.
x→∞ 3 − x
Örnek : lim
Çözüm :
lim (x2 − x) = lim x2 − lim x = ∞ − ∞
x→∞
x→∞
Çözüm : Pay ve paydayı(paydadaki polinomun en yüksek kuvveti
olan) x ile bölerek, x → ∞ iken x + 1 → ∞ ve 3/x − 1 → −1
olduğundan,
x→∞
yazılamayacağına dikkat ediniz. Limit Kuralları ∞ bir sayı
olmadığından sonsuz limitlerde kullanılmazlar. (∞ − ∞
tanımlanamaz.) Ancak hem x hem de x − 1 sınırsız olarak
büyüdüğünden
x2 + x
x+1
= −∞
= lim 3
x→∞ 3 − x
x→∞
x −1
lim
lim (x2 − x) = lim x(x − 1) = ∞
x→∞
buluruz.
x→∞
yazabiliriz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
123/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
124/ 182
Teğetler
Bir C eğrisi, y = f (x) denklemi ile verilmiş olsun. C eğrisinin
P (a, f (a)) noktasındaki teğetini bulmak istersek, P ’nin yakınındaki
x 6= a, koşulunu sağlayan bir Q(x, f (x)) noktasını alarak P Q kiriş
doğrusunun eğimini hesaplarız:
Teğetler, Hızlar ve Diğer Değişim Hızları
mP Q =
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
125/ 182
Teğetler
f (x) − f (a)
x−a
MAT 1009 Matematik I
126/ 182
Teğet Doğrusu
x değeri a’ya yaklaştıkça, Q noktası da eğri üzerinden P noktasına
yaklaşacaktır. Eğer mP Q bir m sayısına yaklaşırsa, t teğetini P ’den
geçen ve eğimi m olan doğru olarak tanımlarız. (BU, teğet
doğrusunun, Q noktası ve P ’ye yaklaşırken P Q kiriş doğrularının
limit durumu olduğunu söylemek demektir.)
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Tanım :
Eğer aşağıdaki limit varsa, y = f (x) eğrisinin P (a, f (a))
noktasındaki teğet doğrusu, P (a, f (a)) noktasından geçen ve
eğimi
f (x) − f (a)
m = lim
x→a
x−a
olan doğrudur.
127/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
128/ 182
Örnek
Teğet Doğrusu
Örnek : y = x2 parabolünün P (1, 1) noktasındaki teğet
doğrusunun denklemini bulunuz.
Çözüm : a = 1 ve f (x) = x2 olduğundan, eğim
Bir eğrinin bir noktasındaki teğetinin eğimini, eğrinin o noktadaki
eğimi olarak da adlandırırız.
f (x) − f (1)
x2 − 1
m = lim
= lim
x→1
x→1 x − 1
x−1
(x − 1)(x + 1)
= lim
x→1
x−1
= lim (x + 1) = 1 + 1 = 2
Bunun ardındaki fikir, eğrinin üzerindeki noktaya yeterince
odaklanıldığında eğrinin adeta bir doğru gibi görünmesidir.
x→1
dir. Doğru denkleminin nokta-eğim biçimini kullanarak, (1, 1)
noktasındaki teğet doğrusunun denkleminin
y − 1 = 2(x − 1) ya da y = 2x − 1 olduğunu buluruz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
129/ 182
Teğet Doğrusu
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
130/ 182
MAT 1009 Matematik I
132/ 182
Teğet Doğrusu
MAT 1009 Matematik I
131/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
Teğet Doğrusu
Teğet Doğrusu
Şekillerde bu işlemi, y = x2 eğrisi için göstermektedir.
Ne kadar çok odaklanılırsa, parabol o denli bir doğruya
benzemektedir.
Başka bir deyişle, eğri adeta teğet doğrusundan ayırt edilemez hale
gelmektedir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
133/ 182
Teğet Doğrusu
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
134/ 182
Teğet Doğrusu
(Şekilde, h > 0 durumu gözterilmiştir ve Q, P ’nin sağındadır.
h < 0 durumunda Q, P ’nin solunda olmalıdır.)
Teğet doğrusunun eğimi için, bazı durumlarda kullanımı daha kolay
olan bir başka ifade vardır.
h=x−a
olsun, o zaman
x=a+h
olur. Dolayısıyla, P Q kiriş doğrusunun eğimi
mP Q =
f (a + h) − f (a)
h
olur.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
135/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
136/ 182
Örnek
Teğet Doğrusu
Örnek : y = 3/x hiprbolünün (3, 1) noktasındaki teğet
doğrusunun denklemini bulunuz.
Çözüm : f (x) = 3/x olsun. O halde (3, 1) noktasındaki teğetin
eğimi
x, a’ya yaklaştıkça, h’nin de 0’a yaklaştığına dikkat ediniz (çünkü
h = x − a’dır). Dolayısıyla, tanımdaki teğet doğrusunun eğiminin
ifadesi
f (a + h) − f (a)
m = lim
(4)
h→0
h
biçimine dönüşür.
f (3 + h) − f (3)
h
3−(3+h)
3
3+h − 1
= lim 3+h
= lim
h→0
h→0
h
h
−h
1
1
= lim
= lim −
=−
h→0 h(3 + h)
h→0 3 + h
3
m =
lim
h→0
olur.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
137/ 182
Örnek...
MAT 1009 Matematik I
138/ 182
Örnek...
Hiperbol ve teğeti şekilde gösterilmektedir.
Dolayısıyla, (3, 1) noktasındaki teğetin bir denklemi
1
y − 1 = − (x − 3)
3
olur ve
x + 3y − 6 = 0
biçiminde sadeleşir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
139/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
140/ 182
Hızlar
Hızlar
s = f (t), hareket denklemi uyarınca bir doğru boyunca hareket
eden bir cisim düşünelim.
Burada s, cismin başlangıç noktasından başlayarak (yönü de
dikkate alan) yer değiştirmesini göstersin.
Hareketi tanımlayan f fonksiyonuna cismin konum fonksiyonu
denir.
t = a ile t = a + h arasındaki zaman aralığında konumdaki değişim,
f (a + h) − f (a) olur.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
141/ 182
Hızlar
MAT 1009 Matematik I
142/ 182
Hızlar
Bu zaman aralığındaki ortalama hız
yer değiştirme
f (a + h) − f (a)
ortalama hız =
=
zaman
h
ile ifade edilir ve şekildeki P Q kiriş doğrusunun eğimi ile aynıdır.
Şimdi ortalama hızları, daha da kısa [a, a + h] zaman aralıklarında
hesapladığımızı varsayalım. Başka bir deyişle, h sıfıra yaklaşsın.
t = a anındaki v(a) hızını (ya da anlık hızı) bu ortalama hızların
limiti olarak tanımlarız:
f (a + h) − f (a)
h→0
h
v(a) = lim
(5)
Bu, t = a anındaki hızın, P ’deki teğet doğrusunun eğimine eşit
olduğu anlamına gelir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
143/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
144/ 182
Türevler
Türevler
Daha önce y = f (x) denklemi ile ifade edilen bir eğrinin x = a
noktasındaki teğetinin eğimini
f (a + h) − f (a)
h→0
h
m = lim
Aslında herhangi bir bilim ya da mühendislik dalında ne zaman bir
değişim hızı hesaplasak yukarıdaki gibi limitler ortaya çıkar. Bu
biçimdeki limitlerle çok yaygın olarak karşılaşıldığından, bunlar için
özel bir isim ve gösterim kullanılır.
(6)
olarak tanımladık.
Tanım :
Aynı zamanda konum fonksiyonu s = f (t) ile verilen bir cismin
t = a anındaki hızının
Eğer varsa, aşağıdaki limite, f fonksiyonunun a sayısındaki türevi
denir ve f ′ (a) ile gösterilir:
f (a + h) − f (a)
h→0
h
f (a + h) − f (a)
h→0
h
v(a) = lim
f ′ (a) = lim
olduğunu gördük.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
145/ 182
MAT 1009 Matematik I
146/ 182
Örnek
Türevler
Örnek : f (x) = x2 − 8x + 9 fonksiyonunun a noktasındaki
türevini bulunuz.
Çözüm : Tanımdan,
f (a + h) − f (a)
h→0
h
f ′ (a) = lim
f ′ (a) =
Eğer x = a + h yazarsak, h = x − a olur ve h’nin 0’a yaklaşması
için gerekli ve yeter koşul x’in a’ya yaklaşmasıdır. Dolayısıyla, teğet
doğrularını bulurken gördüğümüz gibi, türevin tanımını ifade
etmenin eşdeğer bir yolu şudur:
f (x) − f (a)
x→a
x−a
f ′ (a) = lim
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
=
[(a + h)2 − 8(a + h) + 9] − [a2 − 8a + 9]
h→0
h
=
a2 + 2ah + h2 − 8a − 8h + 9 − a2 + 8a − 9
h→0
h
=
2ah + h2 − 8h
= lim (2a + h − 8) = 2a − 8
h→0
h→0
h
(7)
147/ 182
f (a + h) − f (a)
h→0
h
lim
lim
lim
lim
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
148/ 182
Fonksiyon Olarak Türev
Fonksiyon Olarak Türev
Önceki bölümde bir f fonksiyonunun sabit bir a sayısındaki türevi
üzerinde durduk:
f (a + h) − f (a)
h→0
h
f ′ (a) = lim
Denklem 8 de, a nın yerine bir x değişkeni koyarsak,
f (x + h) − f (x)
h→0
h
f ′ (x) = lim
(8)
elde ederiz. Bu limitin var olduğu her x sayısına bir f ′ (x) sayısı
karşıgelir.
Burada bakış açımızı değiştirelim ve a nın değişken olduğunu
varsayalım.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
(9)
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
149/ 182
MAT 1009 Matematik I
150/ 182
Örnek
Fonksiyon Olarak Türev
Örnek: f (x) = x3 − x ise, f ′ (x) için bir formül bulunuz.
Çözüm: Türevi hesaplamak için denklem 9 yi kullandığımız
zaman, h nin değişken olduğunu ve limit hesabı yapılırken x in
sabit olarak değerlendirildiğini hatırlamalıyız.
Dolayısıyla, f ′ f nin türevi olarak adlandırılan ve denklem 9 ile
tanımlanan yeni bir fonksiyon olarak ele alınabilir.
f (x + h) − f (x)
[(x + h)3 − (x + h)] − [x3 − x]
= lim
h→0
h→0
h
h
x deki f ′ (x) değerinin, geometrik olarak f nin grafiğinin (x, f (x))
noktasındaki teğet doğrusunun eğimi olarak yorumlanabileceğini
biliyoruz.
f ′ (x) = lim
x3 + 3x2 h + 3xh2 + h3 − x − h − x3 + x
h→0
h
= lim
f ′ fonksiyonu f nin türevi olarak adlandırılır çünkü f den denklem
9 deki limit işlemi ile ”türetilmiştir”.
3x2 h + 3xh2 + h3 − h
h→0
h
= lim
= lim (3x2 + 3xh + h2 − 1) = 3x2 − 1
h→0
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
151/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
152/ 182
Örnek
Örnek...
√
Örnek: f (x) = x ise, f ′ türevini bulunuz. f ′ nün tanım
kümesini bulunuz.
Çözüm:
f ′ (x)
1
f ′ (x) = √
2 x
f (x + h) − f (x)
= lim
h→0
h
√
√
x+h− x
= lim
h→0
h
√
√
√
√
x+h− x
x+h+ x
·√
= lim
√
h→0
h
x+h+ x
x > 0 ise, f ′ (x) vardır, bu nedenle f ′ nün tanım kümesi (0, ∞)
olur.
Bu küme, f nin tanım kümesi olan [0, ∞) kümesinden küçüktür.
1
1
(x + h) − x
√ = √
√
√ =√
h→0 h( x + h + x)
x+ x
2 x
= lim
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
153/ 182
Diğer Gösterimler
MAT 1009 Matematik I
154/ 182
Diğer Gösterimler
Leibniz tarafından ortaya konulan dy/dx sembolü (şimdilik) bir
oran olarak değerlendirilmemelidir; yalnızca f ′ (x) ile eşanlamlıdır.
Bağımsız değişkenin x, bağımlı değişkenin y olduğu geleneksel
y = f (x) gösterimini kullanırsak, türev için kullanılan bazı yaygın
gösterimler aşağıdaki gibidir.
f ′ (x) = y ′ =
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
Buna karşın, özellikle değişim gösterimi ile birlikte kullanıldığında
çok yararlı ve anlamlı bir gösterimdir.
dy
df
d
=
=
f (x) = Df (x)
dx
dx
dx
Türevin tanımını Leibniz gösterimi ile,
∆y
dy
= lim
dx ∆x→0 ∆x
D ve d/dx sembolleri türev alma işlemini ifade ettiğinden türev
alma operatörleri olarak adlandırılır.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
şeklinde yazabiliriz.
155/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
156/ 182
Diğer Gösterimler
Türevlenebilirlik
Tanım :
dy/dx türevinin bir a sayısındaki değerini, Leibniz gösterimi ile,
dy
dy ya da
dx x=a
dx x=a
olarak ifade ederiz ve bu gösterim ile
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
f ′ (a)
Eğer f ′ (a) varsa, f fonksiyonuna a da türevlenebilirdir denir.
Eğer f bir (a, b) [ya da (a, ∞) ya da (−∞, a) ya da (−∞, ∞)]
açık aralığındaki her sayıda türevlenebilirse, f fonksiyonu (a, b)
açık aralığında türevlenebilirdir denir.
eşanlamlıdır.
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
157/ 182
Örnek
MAT 1009 Matematik I
158/ 182
Örnek...
Örnek: f (x) = |x| fonksiyonu nerede türevlenebilirdir?
Aynı şekilde, eğer x < 0 ise, |x| = −x olur ve h yi, x + h < 0
koşulunu sağlayacak kadar küçük seçebiliriz. ve bu nedenle
x + h < 0 ve dolayısıyla |x + h| = −(x + h) olur. Dolayısıyla,
x < 0 için
Çözüm: Eğer x > 0 ise, |x| = x olur ve h yi, x + h > 0 koşulunu
sağlayacak kadar küçük seçebiliriz ve bu nedenle |x + h| = x + h
olur. Dolayısıyla x > 0 için
f ′ (x)
|x + h| − |x|
h→0
h
f ′ (x) = lim
|x + h| − |x|
= lim
h→0
h
= lim
(x + h) − x
h
= lim
= lim = lim 1 = 1
h→0
h→0 h
h→0
h
h→0
elde ederiz ve bu yüzden x < 0 için f türevlenebilirdir.
elde ederiz ve bu nedenle x > 0 için f türevlenebilirdir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
−(x + h) − (−x)
−h
= lim
= lim −1 = −1
h→0 h
h→0
h
159/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
160/ 182
Örnek...
Örnek...
Sağ ve sol limitleri ayrı ayrı hesaplayalım:
x = 0 için şunu incelemeliyiz;
f ′ (0)
lim
h→0+
f (0 + h) − f (0)
= lim
h→0
h
|0 + h| − |0|
|h|
h
= lim
= lim
= lim 1 = 1
h
h→0+ h
h→0+ h
h→0+
ve
|0 + h| − |0|
|h|
= lim
h→0
h→0 h
h
= lim
lim
(limit var ise)
h→0−
|0 + h| − |0|
|h|
−h
= lim
= lim
= lim (−1) = −1.
h
h→0− h
h→0− h
h→0−
Bu limitler farklı olduğundan, f ′ (0) yoktur. Dolayısıyla f, 0
dışındaki her noktada türevlenebilirdir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
161/ 182
Örnek...
MAT 1009 Matematik I
162/ 182
Süreklilik ve Türevlenebilirlik
f ′ nün formülünü
f ′ (x) =
1 ,
−1 ,
x > 0 ise
x < 0 ise
Süreklilik ve türevlenebilirliğin her ikisi de, bir fonksiyon için sahip
olması istenilir özelliklerdir. Aşağıdaki teorem bu özelliklerin nasıl
ilişkili olduklarını göstermektedir.
olarak verebiliriz ve grafiği Şekil(b) deki gibidir. f ′ (0) ın var
olmaması gerçeği, geometrik olarak y = |x| in (0, 0) noktasında
teğet doğrusunun olmaması olgusunda yansıtılmaktadır. (Bkz.
Şekil(a).)
Teorem :
Eğer f, a sayısında türevlenebilirse f, a sayısında süreklidir.
Not: Teoremin tersi yanlıştır; bir başka deyişle, sürekli fakat
türevlenebilir olmayan fonksiyonlar vardır.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
163/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
164/ 182
Süreklilik ve Türevlenebilirlik
Bir Fonksiyon Nasıl Türevlenebilir Olmayabilir?
Eğer f fonksiyonunun grafiğinde ”köşe” veya ”kırılma” varsa, f nin
grafiğinin o noktada teğeti yoktur ve f, o noktada türevlenebilir
değildir. (f ′ (a) değerini hesaplamaya çalıştığımızda, sağ ve sol
limitlerinin farklı olduğunu görürüz.)
Örneğin, f (x) = |x| fonksiyonu,
lim f (x) = lim |x| = 0 = f (0)
x→0
x→0
olduğundan 0 da süreklidir.
En son verdiğimiz teorem, bir fonksiyonun türevi olmamasının bir
başka yolunu verir. Eğer f, a sayısında sürekli değilse, f nin a da
türevlenebilir olmadığını söyler. Bu nedenle, f süreksiz olduğu
noktada (örneğin, sıçrama biçimindeki süreksizlerde) türevlenebilir
değildir.
Fakat, bir önceki örnekte f nin 0 da türevlenebilir olmadığını
gösterdik.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
165/ 182
Bir Fonksiyon Nasıl Türevlenebilir Olmayabilir?
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
166/ 182
Bir Fonksiyon Nasıl Türevlenebilir Olmayabilir?
Şekil ele aldığımız üç olasılığı da göstermektedir.
Üçüncü bir olasılık ise, eğrinin x = a da düşey bir teğet
doğrusuna sahip olmasıdır. Bir başka ifadeyle, f a da sürekli ve
lim |f ′ (x)| = ∞
x→a
olmalıdır. Bu, x → a ya yaklaştıkça, teğet doğrularının dikleşmesi
demektir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
167/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
168/ 182
İkinci Türev
Örnek
Örnek: f (x) = x3 − x ise, f ′′ (x) i bulunuz.
f türevlenebilir bir fonksiyonsa, f ′ de bir fonksiyondur, dolayısıyla
f ′ nün kendisininde (f ′ )′ = f ′′ ile gösterilen bir türevi olabilir.
Çözüm: Daha önce, f ′ (x) = 3x2 − 1 olduğunu bulmuştuk.
Dolayısıyla, ikinci türev
Bu yeni f ′′ fonksiyonu, f nin ikinci türevi olarak adlandırılır,
çünkü f nin türevinin türevidir.
f ′ (x + h) − f ′ (x)
h→0
h
f ′′ (x) = lim
[3(x + h)2 − 1] − [3x2 − 1]
h→0
h
Leibniz gösterimini kullanarak, y = f (x) fonksiyonunun ikinci
türevini aşağıdaki gibi yazarız.
d dy
d2 y
= 2
dx dx
dx
= lim
3x2 + 6xh + 3h2 − 1 − 3x2 + 1
h→0
h
= lim
= lim (6x + 3h) = 6x
h→0
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
169/ 182
İkinci Türev - İvme
MAT 1009 Matematik I
170/ 182
Yüksek Mertebeden Türevler
Genel olarak, ikinci türevin anlamınıdeğişim hızının değişim hızı
olarak açıklayabiliriz. Bunun en bilinen örneği aşağıda
tanımlayacağımız ivme dir.
Doğru boyunca hareket eden bir cismin konum fonksiyonu s = f (t)
ise, bu fonksiyonun birinci türevinin, cismin hızını zamanın bir
fonksiyonu olarak gösterdiğini biliyoruz:
Genelleştirirsek, f nin n inci türevi f (n) ile gösterilir ve f
fonksiyonunun n kez türevinin alınmasıyla elde edilir. y = f (x) ise,
df
v(t) = f (t) =
dt
y (n) = f (n) =
′
dn y
dxn
yazarız.
Hızdaki zamana göre anlık değişim hızı olan a(t), nesnenin ivmesi
olarak adlandırılır.
Öyleyse, ivme fonksiyonu hız fonksiyonunun türevidir ve bu nedenle
konum fonksiyonunun ikinci türevidir:
a(t) = v ′ (t) = f ′′ (t)
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
171/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
172/ 182
Doğrusal Yaklaştırımlar
Doğrusal Yaklaştırımlar
Fikir şudur: Bazen bir fonksiyonun f (a) değerini hesaplamak kolay
olabilirken, f nin buna yakın değerlerini hesaplamak zor (dahası,
olanaksız) olabilir. Bu nedenle, grafiği f nin (a, f (a)) noktasındaki
teğet doğrusu olan L doğrusal fonksiyonunun kolay hesaplanan
değeriyle yetiniriz.
Bir eğrinin, teğet noktasının çevresinde, o noktadaki teğet
doğrusuna çok yakın olduğunu görmüştük.
Aslında, türevlenebilir bir fonksiyonungrafiğindeki bir noktaya
doğru odaklandıkça, grafiğin o noktadaki teğet doğrusuna daha
çok benzediğine dikkat etmiştik.
Bu gözlem, fonkiyonlar için yaklaşık değerler bulma yöntemlerinden
birinin temelini oluşturur.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
173/ 182
Doğrusal Yaklaştırımlar
MAT 1009 Matematik I
174/ 182
Doğrusal Yaklaştırımlar
ve
f (x) ≈ f (a) + f ′ (a)(x − a)
Genelde, (a, f (a)) noktasındaki teğet doğrusunu, x sayısı a ya
yakınken y = f (x) eğrisinin yaklaştırımı olarak kullanırız. Bu teğet
doğrusunun denklemi
yaklaştırımına f nin a daki doğrusal yaklaştırımı ya da teğet
doğrusu yaklatırımı denir.
Grafiği teğet doğrusu olan
y = f (a) + f ′ (a)(x − a)
L(x) = f (a) + f ′ (a)(x − a)
dır
doğrusal fonksiyonu, f nin a daki doğrusallaştırılması olarak
adlandırılır.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
175/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
176/ 182
Örnek
Örnek...
√
Örnek: f (x) = x fonksiyonunun a = 1 √
deki doğrusal
√
√
yaklaştırımını bulunuz. Daha sonra bunu 0.99, 1.01 ve 1.05
sayılarının yaklaşık değerlerini bulmak için kullanırız. Bulduğunuz
değerler sayıların gerçek değerlerinden fazla mı, yoksa az mıdır?
1
Dolayısıyla, f ′ (1) = olur ve (1, 1) noktasındaki teğet doğrusunun
2
denklemi
1
y − 1 = (x − 1)
2
√
Çözüm: Öncelikle, y = x fonksiyonunun x = 1 deki teğet
doğrusunun eğimi olan f ′ (1) değerini bulmalıyız. Daha önceki
örneklerde
1
f ′ (x) = √
2 x
ya da
1
1
y = x+
2
2
ve doğrusal yaklaştırım
√
1
1
x ≈ L(x) = x +
2
2
olur.
olarak bulmuştuk.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
177/ 182
Örnek...
MAT 1009 Matematik I
178/ 182
Örnek...
√
Şekilde y = x fonksiyonu ve onun doğrusal yaklaştırımı
L(x) = 12 x + 21 fonksiyonunun grafikleri çizilmiştir.
Özel olarak,
√
√
√
0.99 ≈ L(0.99) = 12 (0.99) +
1
2
= 0.995
1.01 ≈ L(1.01) = 12 (1.01) +
1
2
= 1.005
1.05 ≈ L(1.05) = 12 (1.05) +
1
2
= 1.025
elde ederiz.
√
0.99 = 0.994987,
√
1.01 = 1.00499,
√
1.05 = 1.0247
Yaklaşık değerlerimizin gerçek değerlerden fazla olduğunu
görmekteyiz, çünkü teğet doğrusu eğrinin üzerindedir.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
179/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
180/ 182
Örnek...
Örnek...
Aşağıdaki tabloda doğrusal yaklaştırımdan elde edilen değerler,
gerçek değerlerle yaklaştırılmaktadır.
Tablo ve Şekilde, teğet doğrusu yaklaştırımının, x değişkeni 1 e
yakınken iyi yaklaşık değerler verdiğine, fakat x değişkeni 1 den
uzaklaştıkça elde edilen değerlerin gerçek değerlere yakınlıklarının
azaldığına dikkat ediniz.
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
181/ 182
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
182/ 182

Download

Fonksiyonun Limiti Fonksiyonun Limiti Fonksiyonun Limiti

Products

Support

Fonksiyonun Limiti Fonksiyonun Limiti Fonksiyonun Limiti

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib