Istatistik I Ders Notları Sürekli Rassal De˘giskenler

İstatistik I Ders Notları
Sürekli Rassal Değişkenler
Hüseyin Taştan∗
Kasım 20, 2006
İçindekiler
1 Sürekli Rassal Değişkenlerin Özellikleri
2
2 Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
2
3 Birikimli Olasılık Fonksiyonu
6
4 Beklenen Değer ve Varyans
10
5 Ortak Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
12
6 Marjinal Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
14
7 Bağımsızlık
15
8 Koşullu Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
16
9 Birikimli Ortak Olasılık Fonksiyonu
16
∗
Yrd. Doç. Dr., Yıldız Teknik Üniversitesi, İktisat Bölümü.
Mail: Hüseyin Taştan
İktisat Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
Yıldız Kampüsü, Beşiktaş, İstanbul Turkey
e-mail: [email protected]
Web-site: http://www.yildiz.edu.tr/∼tastan/index.html
c 2005-6, Hüseyin Taştan
°
1
1
Sürekli Rassal Değişkenlerin Özellikleri
Bir sürekli (continuous) rassal değişken reel sayılar doğrusu üzerinde herhangi bir değeri
alabilir. Buna göre bir X rassal değişkeninin alabileceği değerler sadece tam sayıları değil
0.175254689... gibi noktadan sonraki dijitleri keyfi olarak (sonsuz uzunlukta) yazılabilen
sayıları da kapsar. Reel sayıların özellikleri gereği birbirine ne kadar yakın olursa olsun
iki reel sayı arasında sonsuz sayıda rasyonel ve irrasyonel sayı bulunur. Öyleyse X sürekli
rassal değişkeni sonsuz sayıda değerden birini alabilir ve herhangi bir reel sayıya eşit olma
olasılığı sıfırdır. Kesikli rassal değişkenlerden farklı olarak, sürekli rassal değişkenlerin bir
değere eşit olma olasılıkları değil, belli bir aralık içine düşme olasılıkları hesaplanır.
Konuyu daha iyi kavramak için şöyle bir örnek düşünelim. X rassal değişkeni aynı
özelliklere sahip mp3 çalarların oluşturduğu anakütleden rassal olarak seçilen birinin fiyatı
olsun. Fiyatın (X) belli bir aralıkta, örneğin 85.75YTL ile 264.25YTL arasında, alabileceği değerler belirlidir. Teknik olarak bunların teker teker sıralanması (bir kesikli rassal değişken gibi) mümkündür. Ancak, kesikli rassal değişkenler için geliştirilen yöntemler,
X’in alabileceği değerler çok sayıda olduğundan, uygulanabilir değildir. Bir başka örnek
daha verebiliriz. Belli bir kentte yerleşik hanehalkları arasında rassal olarak 20 tanesini
seçtiğimizi düşünelim. X ilgili hanehalkının toplam yıllık geliri olsun. Fiyat örneğinde
olduğu gibi, gelir düzeyi de belli bir aralıkta herhangi bir değeri alabilir. Ancak, X’in tam
olarak belli bir değere, örneğin 36748.43YTL’ye eşit olma olasılığı sıfır kabul edilebilir.
Gelirin belli bir aralıkta, örneğin 36000YTL ile 37000YTL arasında olma olasılığından
bahsedebiliriz. İktisadi değişkenlerin önemli bir kısmı sürekli rassal değişken kategorisine
girer. Örnekleri çoğaltmak mümkündür: IMKB100 endeksinin belli bir gündeki kapanış
değeri, belli bir aydaki fiyatlar genel düzeyi (e.g., TÜFE), yılın ilk üç aylık döneminde
gerçekleşen ihracat tutarı vb.
2
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
X sürekli rassal değişkeni için tanım gereği P (X = x) = 0 olduğunu ve olasılıkların
ancak belli bir aralık için hesaplanabileceğini öğrendik. Kesikli rassal değişkenler için
geliştirdiğimiz yöntemleri bürekli rassal değişkenlerin dağılım özelliklerini incelemekte kullanamayız.
2
X sürekli bir rassal değişken ve x bu değişkenin alabileceği herhangi bir değer olsun
(bu noktada reel sayılar doğrusu X’in örneklem uzayı olarak kabul edilebilir). X rassal
değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu (oyf, probability density function, pdf) ya da
kısaca yoğunluk fonksiyonu, f (x), aşağıdaki özellikleri taşıyan bir fonksiyondur:
1.
f (x) ≥ 0, −∞ < x < ∞
2.
Z
+∞
P (−∞ < X < ∞) =
f (x)dx = 1
−∞
Birinci özelliğe göre X’in alabileceği tüm değerler için yoğunluk fonksiyonu değerleri,
tıpkı kesikli ressal değişkenler için olasılık fonksiyonu değerleri gibi, negatif olamaz. İkinci
özellik alt ve üst sınırları X’in değerler aralığı olan integralin 1’e eşit olduğunu söylemektedir.
Başka bir deyişle, f (x) eğrisinin altında kalan alan bire eşittir (bkz. Şekil 1). a < b olmak
üzere, a ve b, −∞ < a < b < ∞ özelliğini sağlayan herhangi iki reel sayı ise, X’in bu
değerler arasında kalma olasılığı alt sınırı a, üst sınırı b olan belirli integralin değerine
eşittir. Yani, X’in a ile b arasında olma olasılığı f (x)’in altında kalan ve sınırları a ile b
tarafından belirlenmiş bölgenin alanına eşittir.
Z
b
P (a < X < b) =
f (x)dx
a
Tekil noktaların olasılıkları sıfır kabul edilebileceğinden P (a < X < b) = P (a ≤ X ≤ b)
yazılabilir. Şekil 1’de bu alan belirtilmiştir.
Örnek 2.1 Uniform (Tekdüze) Dağılım için oyf:
Bir torbaya üzerinde 0’dan 9’a kadar rakamlar olan toplar koyduğumuzu ve rassal olarak
bir tanesini çektiğimizi düşünelim. Çektiğimiz rakam 0’dan sonraki ilk basamaktaki sayı
olsun. Örneğin çektiğimiz topun üzerinde 8 rakamı varsa bulduğumuz rakam 0.8 olacaktır.
Çektiğimiz topu yerine koyalım ve tekrar bir sayı çekelim. Bu da sıfırdan sonraki ikinci
dijit olsun. Örneğin 0.84. Benzer şekilde daha sonra çekeceğimiz sayılarda sırayla sıfırdan
sonraki basamaklarda yerlerini alsınlar, örneğin 0.8453923..., vb. Bu deneyi çok sayıda
tekrarlarsak 0 ile 1 arasında bir rassal sayı elde ederiz. Bu rassal değişkene X diyelim.
Bu deneyin örneklem uzayı 0 ile 1 arasındaki tüm reel sayılar kümesidir, yani x ∈ [0, 1].
3
f(x)
P(a <X <b) =
0
a
Rb
a
b
f(x)dx
x
Şekil 1: Bir olasılık yoğunluk fonksiyonu
Bu deneyde tanımlanan X rassal değişkeninin sürekli olduğu açıktır. Şu olasılığı
bulmak istediğimizi düşünelim P (0 ≤ X ≤ x) =? Bunu bulmak için sıfırdan sonra
sadece iki basamak seçtiğimizi düşünelim, mesela x = 0.35. İlgilendiğimiz olasılık P (0 ≤
X ≤ 0.35) =?’dır. X’in 0.35’den küçük ya da eşit olma olasılıyla ilgilendiğimize göre
öncelikle deneyin örneklem uzayındaki noktaları belirlememiz gerekir. Örneklem uzayında
(çekebileceğimiz tüm sayılar kümesi) 0.00’dan 0.99’a kadar 100 nokta (rakam) vardır. İlk
çektiğimiz sayı 3’ten küçük ise (0, 1 ya da 2) ikinci çektiğimiz sayının bir önemi olmaz
çünkü sayı 0.35’den küçük olacaktır. Bunu yapmanın toplam 3 ·10 = 30 farklı yolu vardır.
İlk basamaktaki rakam 3 olduğunda ise 0.35’e eşit ya da daha küçük bir sayı elde etmenin
toplam 1 · 6 = 6 yolu vardır. Öyleyse 0 ≤ X ≤ x olayı toplam 30 + 6 = 36 farklı yoldan
gerçekleşebilir, dolayısıyla ilgilendimiz olasılık P (0 ≤ X ≤ 0.35) = 36/100 = 0.36’dır.
Benzer biçimde 5 rakam çektiğimizde ilgili olasılık P (0 ≤ X ≤ 0.35847) = 0.35848, 10
rakam çektiğimizde ise P (0 ≤ X ≤ 0.3584736291) = 0.3584736292 olur. Basamak sayısı
sonsuza giderken x ile P (0 ≤ X ≤ x) arasındaki fark kapanır ve limitte bu fark sıfır olur.
Öyleyse P (0 ≤ X ≤ x) = x yazılabilir.
4
Şimdi X’in herhangi iki sayı arasında kalma olasılığını bulmaya çalışalım: P (a ≤
X ≤ b) =?. Örnek olarak P (0.35 ≤ X ≤ 0.75) olasılığını bulalım. Yukarıda olduğu
gibi yerine konarak 100 farklı sayı seçilebilir. 0.35’e eşit ya da büyük ve 0.75’e eşit ya da
küçük sayılar toplam 41 farklı şekilde seçilebilir, öyleyse P (0.35 ≤ X ≤ 0.75) = 0.41 olur
(3 · 10 + 1 · 5 + 1 · 6 = 41). Sıfırdan sonraki dijit sayısı arttıkça bu olasılık [a, b] doğru
parçasının uzunluğuna eşit olur: P (a ≤ X ≤ b) = b − a. Bu sonuç doğru parçasının kendi
sınırlarını içerip içermemesinden bağımsızdır. Şu yazılabilir:
P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X < b) = b − a
Bu deneyden elde edilen X rassal değişkeninin oyf’nu nasıl bulabiliriz? Olasılık yoğunluk
fonksiyonunun özelliklerini kullanarak bulmaya çalışalım. Öncelikle her x ∈ [0, 1] için
f (x) ≥ 0 olmalı ve bu aralıkta integral bire eşit olmalı. Yani
Z 1
f (x)dx = 1
0
Bunun yanı sıra yukarıda tartıştığımız aralık olasılıkları koşulu da sağlanmalıdır:
Z b
P (a < X < b) =
f (x)dx = b − a
a
Bu özellikleri sağlayan fonksiyona [0, 1] aralığında tanımlı uniform ya da tekdüze dağılım
denir (kısaca, X ∼ U (0, 1)). Uniform dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle yazılabilir:

 1, 0 < x < 1 ise;
f (x) =
 0, değilse.
Bunun oyf olma koşullarını sağladığı açıktır. Genel olarak [a, b] aralığında tanımlı uniform
dağılıma uyan X rassal değişkeninin, X ∼ U (a, b), olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle olur:

 1 , a < x < b ise;
b−a
f (x) =
 0,
değilse.
Olasılık yoğunluk fonksiyonlarının şeklinden dolayı uniform dağılıma dikdörtgensel dağılım
da denir (Feller, 1966, An Introduction to Probability Theory and its Applications, II.
cilt, s. 21)
5
f(x)
F (x)
1
b −a
0
1
a
b
0
x
a
b
x
Şekil 2: Bir uniform rassal değişkenin yoğunluk ve birikimli olasılık fonksiyonları
3
Birikimli Olasılık Fonksiyonu
X sürekli rassal değişkeninin birikimli olasılık fonksiyonu (ya da dağılım fonksiyonu),
F (x), X’in, alabileceği herhangi bir değer olan x’i aşmama olasılığını x’in bir fonksiyonu
olarak verir:
Z
x
F (x) = P (X ≤ x) =
f (t)dt
−∞
Kesikli rassal değişkenler için xj ≤ x için tüm olasılıkları toplayarak birikimli olasılıkları
buluyorduk. Sürekli rassal değişkenler için de benzer şekilde yukarıdaki integrali değerleyerek
birikimli olasılıkları elde edebiliriz. Yoğunluk fonksiyonundan farklı olarak F (x) bize bir
olasılık verdiği için her zaman 0 ile 1 arasında bir değer alır. Birikimli olasılık fonksiyonu
(bof) ile olasılık yoğunluk fonksiyonu (oyf) arasındaki ilişki şöyledir:
f (x) =
dF (x)
dx
Yani, oyf, bof’nun birinci türevidir. Birikimli olasılık fonksiyonunun özellikleri şunlardır:
1.
F (−∞) = 0,
6
F (+∞) = 1
2.
Z
b
P (a < X < b) = F (b) − F (a) =
f (x)dx
a
f(x)
F (+∞
) −F (b ) = 1 −F (b )
F (a) −F (−∞
) = F (a)
Rb
a
0
f(x)dx = F (b ) −F (a)
a
b
x
Şekil 3: Olasılık yoğunluk fonksiyonu ve birikimli olasılıklar
Birinci özelliğe göre F (x), x’in azalmayan bir fonksiyonudur. x1 ≤ x2 olmak üzere
F (x1 ) ≤ F (x2 ). İkinci özelliği daha yakından incelemek için X değer aralığını aşağıdaki
gibi parçalara ayırıp olasılık kurallarını kullanarak
P (−∞ < X < +∞) = P (−∞ < X < a) + P (a < X < b) + P (b < X < +∞)
yazalım. Olasılık yoğunluk fonksiyonu kullanılarak bu olasılıklar
Z ∞
Z a
Z b
Z +∞
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx +
f (x)dx
−∞
−∞
a
b
şeklinde yazılabilir. Birikimli olasılık fonksiyonu kullanılarak
F (+∞) − F (−∞) = [F (a) − F (−∞)] + P (a < X < b) + [F (+∞) − F (b)]
yazılabileceği açıktır. Bof özelliklerini kullanarak
1 = F (a) − 0 + P (a < X < b) + 1 − F (b)
7
yazabiliriz Buradan da
P (a < X < b) = F (b) − F (a)
olur (Bkz. Şekil 3).
Örnek 3.1 Uniform (Tekdüze) Dağılım için bof:
Örnek 2.1’de [0, 1] aralığında uniform dağılıma uyan X rassal değişkeninin olasılık
yoğunluk fonksiyonunu bulmuştuk. Şimdi yine X ∼ U (0, 1) için birikimli olasılık fonksiyonunu bulalım. Aslında Örnek 2.1’de uniform dağılım için bof bulunmuştu, yani P (0 ≤
X ≤ x) = x olduğunu göstermiştik. Öyleyse X için bof şöyle yazılabilir:



0, x < 0 için;


F (x) =
x, 0 ≤ x ≤ 1 için;



 1, x > 1 için.
Şimdi herhangi bir [a, b] aralığında tanımlı bir uniform dağılım için bof ’nu bulalım. Bof ’nun
tanımından hareketle
F (x) = P (X ≤ x)
Z x
1
=
dt
a b−a
¯x
t ¯¯
=
b − a¯
x−a
=
,
b−a
a
yazılabilir. Öyleyse X ∼ U (a, b)’nin bof ’nu



0,


x−a
F (x) =
,
b−a



 1,
a ≤ x ≤ b aralığı için
şöyle olur:
x < a için;
a ≤ x ≤ b için;
x > b için.
Örnek 3.2 Aşağıda verilen fonksiyonu düşünelim.

 e−x , 0 < x < ∞ ise;
f (x) =
 0,
değilse.
(a) Bunun bir oyf olduğunu gösterin.
(b) Bu fonksiyunun grafiğini çizin ve X > 1 olasılığı ile ilgili alanı işaretleyin.
8
(c) P (X > 1) olasılığını hesaplayın.
(d) Birikimli olasılık fonksiyonunu bulun.
CEVAP:
(a) Sorunun ilk bölümünde bu fonksiyonun bir oyf olup olmadığını göstermemiz istenmektedir. Olasılık yoğunluk fonksiyonları özelliklerini sağlayıp sağlamadığına
bakalım:
(a) (i) İlk olarak, f (x) ≥ 0 koşulunun 0 < x < ∞ aralığındaki her x değeri için
sağlandığı açıktır.
(b) (ii) Ayrıca, x’in değerler aralığında oyf ’nin integralinin 1 olması gerekir.
Z ∞
e−x dx = 1
0
¯∞
−e−x ¯0 = 1
−e−∞ − (−e0 ) = 1
0+1 = 1
−e−∞ = limx→∞ −e−x = 0 olarak düşünülmelidir. Bu koşul da sağlandığına
göre fonksiyon bir oyf ’dir.
(b) Şekil 4 bu oyf ’nin grafiğini göstermektedir. P (X > 1) olasılığı grafikte gösterilmiştir.
(c)
Z
∞
e−x dx
1
¯∞
= −e−x ¯1
P (X > 1) =
= e−1
≈ 0.36787
(d)
Z
x
e−t dt
0
¯x
= −e−t ¯0
F (x) =
= −e−x + e0
= 1 − e−x
9
Buradan birikimli olasılık fonksiyonu

 0,
x < 0;
F (x) =
 1 − e−x , 0 < x < ∞.
olarak bulunur. Bu bof ’nun grafiği Şekil 4’de çizilmiştir.
oyf : f( x) =e−x
bof : f( x) =1 −e−x
f ( 1x )
F (
1x )
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
P( X > 1) =
R∞
0.5
1
0.6
e−x dx
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
1
2
3
4
0
5
0
x
1
2
3
4
5
x
Şekil 4: f (x) = e−x ’in oyf ve bof’si
4
Beklenen Değer ve Varyans
Olasılık yoğunluk fonksiyonu f (x) olan, −∞ < x < ∞ aralığında tanımlı bir X sürekli
rassal değişkeninin beklenen değeri
Z
∞
E(X) ≡ µX =
xf (x)dx
−∞
10
dir. Bu tanımda E(X) ile µX arasındaki denklik özelliğine dikkat edilmelidir. E(X), X’in
anakütlesindeki merkezi ifade etmektedir. Bunun örneklem ortalaması ile karıştırılmaması
gerekir. Anakütlenin yoğunluk fonksiyonu bilinen bir rassal değişkenin beklenen değeri,
eğer varsa, bulunabilir.
Bu tanım X’in herhangi bir fonksiyonu için, g(x), genelleştirilebilir. g(x)’in beklenen
değeri
Z
∞
E (g(X)) =
g(x)f (x)dx
−∞
olarak yazılır.
Örnek 4.1 Şimdi daha önceden oyf ve bof ’nu bulduğumuz X ∼ U (0, 1) değişkeninin beklenen değerini bulalım. Olasılık yoğunluk fonksiyonunun

 1, 0 < x < 1 ise;
f (x) =
 0, değilse.
olduğunu biliyoruz. Beklenen değerin tanımını kullanarak
Z 1
1
E(X) =
xdx =
2
0
bulunur. Benzer şekilde X ∼ U (a, b)’nin beklenen değeri
Z b
x
E(X) =
dx
a b−a
· 2
¸
b − a2
1
=
b−a
2
(b − a)(b + a)
=
2(b − a)
a+b
=
2
olur.
Şimdi X ∼ U (a, b) rassal değişkeni için tanımlanan g(x) = x2 fonksiyonunun beklenen
değerini bulalım.
Z
b
1
b−a
a
3
b − a3
=
3(b − a)
(b − a)(b2 + ab + a2 )
=
3(b − a)
2
a + ab + b2
= E[X 2 ].
=
3
E[g(x)] =
x2
11
X sürekli rassal değişkeninin varyansı X’in beklenen değerinden (ya da anakütle ortalamasından) farkının karesinin beklenen değerine eşittir. Yani g(x) = (x − E(X))2 =
(x − µX )2 olarak tanımladığımızı düşünürsek X’in varyansı
Z ∞
2
V ar(X) = σX =
(x − E(X))2 f (x)dx
−∞
olarak yazılır. İntegral özellikleri kullanılarak V ar(X) aşağıdaki gibi yazılabilir:
Z ∞
£
¤
2
V ar(X) = E (X − E(X)) =
(x − E(X))2 f (x)dx
−∞
Z ∞
Z ∞
Z ∞
2
2
=
x f (x)dx + (E(X))
f (x)dx − 2E(X)
xf (x)dx
Z
−∞
∞
=
µZ
x2 f (x)dx −
−∞
−∞
¶2
∞
xf (x)dx
−∞
−∞
= E(X 2 ) − (E(X))2
Burada
R∞
f (x)dx = 1 ve
−∞
R∞
−∞
xf (x)dx = E(X) özelliklerini kullandık.
Örnek 4.2 X ∼ U (a, b) için beklenen değeri bulmuştuk. Şimdi yukarıdaki ilişkiyi kullanarak varyansını bulalım.
V ar(X) = E[(X − E(X))2 ] = E(X 2 ) − [E(X)]2
(a2 + ab + b2 ) (a + b)2
=
−
3
4
2
(b − a)
=
12
5
Ortak Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
X ve Y sürekli iki rassal değişken olsun. Bunların ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu
(ooyf), f (x, y), aşağıdaki özellikleri sağlayan bir fonksiyondur:
1. f (x, y) ≥ 0, −∞ < x < ∞, −∞ < y < ∞ için,
2.
Z
∞
Z
∞
f (x, y)dxdy = 1
−∞
−∞
3. X ve Y sürekli rassal değişkenlerinin (a < X < b, c < Y < d) ile tanımlanan
bölgenin içinde olma olasılıkları
Z
d
Z
b
P (a < X < b, c < Y < d) =
f (x, y)dxdy
c
ile bulunur.
12
a
Birinci özelliğe göre yoğunluk fonksiyonunun değerleri negatif olamaz. İkinci özellik rassal değişken çiftinin tanım aralığında integralin bire eşit olduğunu belirtmektedir. Ortak
olasılık yoğunluk fonksiyonu ile tanımlanan yüzeyin altında kalan hacmin bire eşit olması
gerekir. Üçüncü özellik bu yüzey altında tanımlanan herhangi bir bölgenin olasılığının, bu
düzlem parçasıyla fonksiyonun yüzeyi arasında kalan hacmine eşit olduğunu belirtmektedir.
f(x,y)
0.2
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
3
2.5
3
2
2.5
1.5
y
2
1.5
1
1
0.5
0.5
0
Şekil 5: f (x, y) = xye−(x
2 +y 2 )
x
0
, x > 0, y > 0, için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu
Örnek 5.1 Aşağıda verilen iki değişkenli fonksiyonun bir ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu olmasını sağlayacak k sabit sayısını bulun. Elde ettiğiniz ooyf ’nu kullanarak
¢
¡
P 0 < X < 12 , 1 < Y < 2 olasılığını bulun.

 k(x + y), 0 < x < 1, 0 < y < 2 ise;
f (x, y) =
 0,
değilse.
Öncelikle f (x, y) > 0 koşulunun sağlanabilmesi için k > 0 olmalı. İkinci koşuldan
13
hareketle
Z
2
Z
1
k(x + y)dxdy = 1
0
0
Z
2
µ
= k
0
¶
µ
¶¯2
1
1
y 2 ¯¯
+ y dy = k
y+
2
2
2 ¯0
= 3k = 1
k=
1
3
bulunur. Öyleyse ooyf

 1 (x + y), 0 < x < 1, 0 < y < 2 ise;
3
f (x, y) =
 0,
değilse.
olarak yazılabilir. İstenen olasılık ooyf ’nun altındaki hacim olarak bulunur:
µ
¶
Z 2Z 1
2 1
1
P 0<X< , 1<Y <2
=
(x + y) dxdy
2
1
0 3
¶
µ
¶¯2
Z µ
1 2 1 1
1 1
y 2 ¯¯
=
+ y dy =
y+
3 1 8 2
3 8
4 ¯1
7
=
24
6
Marjinal Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
İki değişkenli bir ortak olasılık yoğunluk fonksiyonundan hareketle marjinal (tekil ya da
yanal) olasılık yoğunluk fonksiyonları aşağıdaki gibi bulunur:
Z
∞
f (x) =
f (x, y)dy
−∞
Z
∞
f (y) =
f (x, y)dx
−∞
Örnek 6.1 Örnek 5.1’deki ooyf ’nu kullanarak X ve Y rassal değişkenlerinin marjinal
olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulalım.
Z
2
1
(x + y)dy
0 3
µ
¶¯2
1
y 2 ¯¯
=
xy +
3
2 ¯
f (x) =
2
=
(x + 1)
3
14
0
Böylelikle X için moyf ’nu şöyle yazılır:

 2 (x + 1), 0 < x < 1 ise;
3
f (x) =
 0,
degilse.
Benzer şekilde Y ’nin moyf ’nu

 1 (y + 1 ), 0 < y < 2 ise;
3
2
g(y) =
 0,
degilse.
olur. Alıştırma olarak bu fonksiyonların moyf özelliklerini taşıdıklarını gösteriniz.
7
Bağımsızlık
Eğer ortak olasılık yoğunluk fonksiyonları
f (x, y) = f (x) · g(y)
olarak yazılabiliyorsa X ve Y rassal değişkenleri istatistik bakımından bağımsızdır denir.
Genel olarak X1 , X2 , . . . , Xn rassal değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu marjinal yoğunluk fonksiyonlarının çarpımı olarak yazılabiliyorsa
f (x1 , x2 , . . . , xn ) = f1 (x1 ) · f2 (x2 )·, . . . , ·fn (xn )
n
Y
=
fj (xj )
j=1
bu rassal değişkenler birbirinden bağımsızdır denir. Bu özellik kullanılarak Maksimum
Olabilirlik (Maximum Likelihood) tahmin edicileri türetilebilmektedir. Bu konuya İstatistik
II dersinde Tahmin Yöntemleri başlığı altında değineceğiz.
Örnek 7.1 Örnek 6.1’deki ortak oyf ve marjinal oyf ’nı kullanarak X ve Y ’nin bağımsız
olup olmadığını bulalım.
2
1
1
(x + 1) (y + )
3
3
2
6= f (x, y)
f (x)g(x) =
olduğundan X ve Y rassal değişkenleri bağımsız değildir.
15
Örnek 7.2 Aşağıda verilen ooyf ’nu kullanarak moyf ’nı bularak bağımsız olup olmadıklarına
karar verelim.

 1 , 1 < x < 4, 1 < y < 4 ise;
9
f (x, y) =
 0, degilse.
Marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonları
Z
4
1
1
dy =
9
3
4
1
1
dx =
9
3
f (x) =
1
Z
g(y) =
1
Buradan
1
f (x, y) = = f (x)g(y) =
9
µ ¶µ ¶
1
1
3
3
koşulu sağlandığı için X ve Y rassal değişkenleri bağımsızdır.
8
Koşullu Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
A ve B herhangi iki olay olsun. Hatırlarsak A verilmişken B’nin koşullu olasılığı aşağıdaki
gibi bulunabiliyordu:
P (A ∩ B)
P (A)
P (B|A) =
Benzer şekilde Y = y verilmişken X’in koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu
f (x|y) =
f (x, y)
g(y)
ile bulunur.
9
Birikimli Ortak Olasılık Fonksiyonu
Z
Z
y
x
F (x, y) =
f (t, s)dtds
−∞
Z
xk
Z
Z
xk−1
F (x1 , x2 , . . . , xk ) =
−∞
x1
...
−∞
−∞
f (t1 , t2 , . . . , tk )dt1 dt2 , . . . , dtk
−∞
16
Alıştırmalar
1 Aşağıdaki fonksiyon veriliyor.
f (x) = k(x + 1), 0 < x < 2
(a) Bunun bir oyf olmasını sağlayan k sabitini bulun.
(b) Bulduğunuz oyf’nu kullanarak X’in beklenen değerini ve varyansını bulun.
(c) bof, F (x)’i bulun.
(d) bof’nu kullanarak P ( 12 < X < 32 ) olasılığını bulun.
2 −1 ≤ x ≤ 1 olmak üzere f (x) = 1 − |x| veriliyor.
(a) Bunun bir oyf olduğunu gösterin.
(b) F (x)’i bulun.
(c) P (|X| > 12 ) olasılığını bulun.
(d) E(X)’i bulun.
3 İktisat bölümü öğrencilerinin evlerinden okula gelme süreleri 10 dakika ile 45 dakika
arasında uniform dağılıma uymaktadır. Buna göre, rassal seçilmiş bir öğrencinin
yolda geçirdiği sürenin
(a) 20 dk’dan az
(b) 20 dk ile 30 dk arasında
(c) 30 dk’dan fazla olma olasılıklarını bulun.
4 X’in oyf’nun aşağıdaki gibi olduğunu düşünelim:

 1 x, 0 < x < 2 ise;
2
f (x) =
 0, değilse.
(a) P (X < t) =
1
2
olmasını sağlayan t sayısını bulun.
(b) P (X < t) =
1
4
olmasını sağlayan t sayısını bulun.
5 X rassal değişkeni [−2, 2] aralığında uniform dağılmaktadır.
(a) P (−1 < X < 1) olasılığını bulun.
17
(b) P (X < t) = 0.5 olabilmesi için t ne olmalıdır?
6 X rassal değişkeninin oyf’nu aşağıdaki gibidir:

 3 (1 − x2 ), 0 < x < 1 ise;
2
f (x) =
 0,
değilse.
(a) Bunun bir oyf olduğunu gösterin.
(b) Şu olasılıkları bulun: P (X > 12 ), P ( 14 < X < 34 ), P (X < 14 )
18