C¸ALISMA SORULARI 8 Ders: Mat103 Konu: ˙Integral Uygulamaları

ÇALIŞMA SORULARI 8
Ders: Mat103
Konu: İntegral Uygulamaları
1. Bir düzlem bir küreyi iki parçaya ayırmaktadır. Düzlem kürenin merkezinin b birim uzağından
geçiyorsa, (b < a) dilimleme ve silindirik kabuk yöntemleri ile küçük parçanın hacmini bulunuz.
2. 0 ≤ y ≤ 1 − x2 bölgesinin (a) x-ekseni ve (b) y = 1 doğrusu etrafında döndürülmesiyle elde edilen
cisimlerin hacimlerini bulunuz.
3. Köşeleri (0, −1), (1, 0) ve (0, 1) noktalarında bulunan üçgensel bölgenin (a) x = 2 doğrusu ve (b)
y = 2 doğrusu etrafında döndürülmesiyle oluşan cisimlerin hacimlerini bulunuz.
4. y = 1 + sin x eğrisi, ve y = 1, x = 0 ve x = π doğruları ile sınırlı bölgenin x-ekseni etrafında
döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini bulunuz.
√
5. y = |x| ve y = 1 − x2 eğrileri ile sınırlı bölgenin x = 1 doğrusu etrafında döndürülmesiyle elde
edilen cismin hacmini veren belirli integrali yazınız.
6. y = ln x eğrisi, ve x = e ve y = 0 doğruları tarafından sınırlanan bölgenin y-ekseni etrafında
döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini veren belirli integrali yazınız.
√
7. (a) y = 2 − 2x − x2 ve y = −x2 + 2 eğrileri ile sınırlı bölgenin alanını,
√
(b) y = 2 − 2x − x2 ve y = −x2 + 2 eğrileri ile sınırlı bölgenin x = −3 doğrusu etrafında
döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini kabuk yöntemiyle,
√
(c) y = 2 − 2x − x2 ve y = −x2 + 2 eğrileri ile sınırlı bölgenin x = −3 doğrusu etrafında
döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini pul yöntemiyle
hesaplayan belirli integralleri yazınız.
8. x-ekseni ve y = x2 − 2x eğrisi ile sınırlı bölgenin (a) x-ekseni, (b) y-ekseni, (c) y = −1 doğrusu,
(d) x = 2 doğrusu ve (e) y = 2 doğrusu etrafında döndürülmesiyle elde edilen cisimlerin hacimlerini
bulunuz.
9. y 2 = 4x parabolü ve y = x doğrusu ile sınırlı bölgenin (a) x-ekseni, (b) y-ekseni, (c) y = 4 doğrusu,
(d) x = 4 doğrusu ve (e) x = −1 doğrusu etrafında döndürülmesiyle elde edilen cisimlerin hacimlerini
bulunuz.
10. y = sin x eğrisi, y = 1 doğrusu ve y-ekseni ile sınırlı birinci bölgedeki alanın y = 1 doğrusu etrafında
döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini bulunuz.
11. y = sin x eğrisi, y = 1/2 ve x = 0 doğruları ile sınırlı bölgenin x-ekseni etrafında döndürülmesiyle
elde edilen cismin hacmini kabuk yöntemiyle bulunuz.
12. y = ex , y = e−x eğrileri ve x = 2 doğrusu ile sınırlı bölgenin x = −1 doğrusu etrafında döndürülmesiyle
elde edilen cismin hacmini bulunuz.
13. Soldan x = y 2 + 1 parabolü, sağdan x = 5 doğrusu ile sınırlı bölgenin (a) x-ekseni, (b) y-ekseni, (c)
x = 5 doğrusu etrafında döndürülmesiyle elde edilen cisimlerin hacmini bulunuz.
14. 0 ≤ y ≤ 1 − x2 bölgesinin (a) x-ekseni ve (b) y = 1 doğrusu etrafında döndürülmesiyle elde edilen
cisimlerin hacimlerini bulunuz.
1
15. İkinci bölgede, üstten y = −x3 eğrisi, alttan x-ekseni ve soldan x = −1 doğrusu ile sınırlı bölge
(a) y-ekseni
(b) x = −1 doğrusu
(c) x-ekseni
(d) y = 1 doğrusu
etrafında döndürülüyor. Oluşan cisimlerin hacmini
(i)Pul/Disk ve
(ii)Kabuk
yöntemleri ile hesaplayınız.
16. x = −1 ve x = 1 noktalarında
√ bu düzlemler arasındaki
√ x-eksenine dik düzlemler arasında kalan,
x-eksenine dik kesitleri y = − 1 − x2 yarım çemberinden başlayıp y = 1 − x2 yarım çemberinde
biten kareler olan katı cismin hacmini bulunuz.
1
17. y = √
, −1 ≤ x ≤ 1 eğrisinin altında kalan alanın x-ekseni etrafında döndürülmesiyle elde
4 − x2
edilen cismin hacmini disk yöntemi ile bulunuz.
18. −π/4 ≤ x ≤ π/4 aralığı üzerinde y = 2 cos x ve y = sec x eğrileri tarafından sınırlanan bölgenin
x-ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini pul yöntemi ile bulunuz.
19. y = x2 parabolü ve y = 1 doğrusu ile sınırlanan bölgenin (a) y = 2 , (b) y = −2 , (c) x =
3 doğruları etrafında döndürülmesiyle elde edilen cisimlerin hacimlerini kabuk ve disk (veya pul)
yöntemi ile hesaplayan integralleri yazınız.
20. R bölgesi birinci bölgede y = 1,
(a) x-ekseni,
x = 1 doğruları ve y = ln x eğrisi tarafından sınırlansın. R’nin
(b) y = 1 doğrusu,
(c) y-ekseni
etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini bulunuz.
21.
Z x
s
2t
dt eğrisinin x = 0 noktasından x = 3π/4 noktasına kadar olan kısmının
3
0
uzunluğunu hesaplayan belirli integrali yazınız.
y =
cos
x3 1
+
eğrisinin x = 1 noktası ile x = 4 noktası arasındaki kısmının uzunluğunu bulunuz.
12 x
23. Aşağıdaki eğrilerin uzunluklarını bulunuz.
22. y =
(a) y = ln(1 − x2 ),
0 ≤ x ≤ 1/2
(b) y = ln(cos x), 0 ≤ x ≤ π/3
y 3/2 √
− y, 1 ≤ y ≤ 9
(c) x =
Z 3x √
(d) y =
3t2 − 1 dt, −2 ≤ x ≤ −1
−2
24. Orijinden geçen ve uzunluğu L =
Z 4
s
1+
0
1
dx olan bir eğri bulunuz.
4x
25. Aşağıdaki parametrik eğrinin denklemini bulunuz:
x = 8 cos t + 8t sin t,
y = 8 sin t − 8t cos t,
2
0 ≤ x ≤ π/2