GA-KONVEKS VE HARMON˙IK KONVEKS FONKS˙IYONLAR˙IC¸˙IN

T.C.
ORDU ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
GA-KONVEKS VE HARMONİK KONVEKS
FONKSİYONLAR İÇİN YENİ İNTEGRAL
EŞİTSİZLİKLERİ VE UYGULAMALARI
Sercan TURHAN
DOKTORA TEZİ
ORDU 2016
ÖZET
GA-KONVEKS VE HARMONİK KONVEKS FONKSİYONLAR İÇİN YENİ
İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ VE UYGULAMALARI
Sercan TURHAN
Ordu Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı, 2016
Doktora Tezi, 113.
Danışman: Doç. Dr. Selahattin MADEN
II.Danışman: Prof. Dr. Hüseyin DEMİR
Bu tezde diferansiyellenebilir konveks fonksiyonlar için yeni kesirli integral eşitsizlikleri verildi. Çalışmanın ilk bölümünde, konveks fonksiyonların tarihi gelişimi,
kesirli integrallerin tarihi gelişimi ve literatür taraması verildi. İkinci bölümde,
literatürdeki konveks fonksiyon çeşitleri, konveks fonksiyon sınıfları arasındaki
hiyerarşi ve literatürde bulunan farklı ortalamalar verildi. Üçüncü bölümde, kesirli
türev ve integrallerin tanımı verildikten sonra bu tezde kullanılan klasik eşitsizlikler
ve daha sonrada tezin bulgular kısmına fikir veren lemmalar ve teoremler verildi.
Dördüncü bölümde ise geometrik- aritmetik konveks fonksiyonlar, harmonik konveks
fonksiyonlar ve quasi-geometrik konveks fonksiyonlarla ilgili yeni lemmalar,
teoremler ve sonuçlar verildi. Elde edilen bu yeni sonuçlar için çeşitli ortalamalar ve
hiper geometrik fonksiyon kullanılarak farklı uygulamalar verilmiştir.
Anahtar Kelimeler: Hermite-Hadamard-Fejér İntegral Eşitsizliği, Kesirli İntegral,
Geometrik-Aritmetik Konveks Fonksiyonlar, Harmonik
Konveks
Fonksiyonlar,
Quasi-Geometrik
Konveks
Konksiyonlar.
I
ABSTRACT
NEW INTEGRAL INEQUALITIES AND APPLICATIONS FOR GACONVEX AND HARMONICALLY CONVEX FUNCTIONS
Sercan TURHAN
University of Ordu
Institute of Science and Technology
Department of Mathematics, 2016
PhD. Thesis, 113.
Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Selahattin MADEN
II. Supervisor: Prof. Dr. Hüseyin DEMİR
In this thesis, new fractional integral inequalities for differentiable convex functions
are stated. In the first part, the historical developments of the convex functions and the
fractional integrals and the literature review have been clarified. In the second part,
types of convex functions in literature, the hierarchy of convex function classes, and
different averages in the literature have been explained. In the third part, after the
descriptions of fractional derivatives and integrals, the identities, theorems which
provide insight into the findings of the thesis and classical inequalities used in this
thesis have been described. In the fourth part, new identities, theorems and results
about geometrically arithmetically convex functions, harmonically convex functions
and quasi geometrically convex functions have been presented. For these new results
obtained, different applications are provided by using different means and hyper
geometric functions.
Key Words: Hermite-Hadamard-Fejér Type Inequality, Fractional Integrals,
Geometrically Arithmetically Convex Functions Harmonically Convex
Functions, Quasi Geometrically Convex Functions.
II
TEŞEKKÜR
Tüm çalışmalarım boyunca her zaman bilgi ve deneyimleriyle yolumu açan değerli
hocalarım Sayın Doç. Dr. Selahattin MADEN ve Doç. Dr. İmdat İŞCAN' a en samimi
duygularım ile teşekkürlerimi sunarım.
Ayrıca, çalışmalarım boyunca desteklerini esirgemeyen Ordu Üniversitesi Fen
Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü öğretim üyelerine en içten şükranlarımı
sunuyorum.
Çalışmam boyunca benden maddi ve manevi desteklerini esirgemeyen anneme,
babama, eşime ve ablama teşekkürlerimi sunuyorum.
III
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET…….………………………………………………................................
I
ABSTRACT…………………………………………………………………...
II
TEŞEKKÜR………………………………………………………………….. III
İÇİNDEKİLER……………………………………………………………..... IV
ŞEKİLLER LİSTESİ……………………....................................................... VI
SİMGELER VE KISALTMALAR…...…………………………………….. VII
1.
GİRİŞ………………………………………………………….............
1
2.
TEMEL KAVRAMLAR……………………………………..……....
4
2.1.
Konveks Fonksiyonlarla İlgili Temel Tanım ve Özellikler....................
4
2.2.
Farklı Türden Bazı Konveks Fonksiyon Sınıfları ve Temel Tanımlar... 10
2.3.
Bazı Konveks Fonksiyon Sınıflarının Hiyerarşisi.................................. 20
3.
MATERYAL ve YÖNTEM……………………………………..…... 23
3.1.
Kesirli Riemann –Liouville İntegral ve Türevleri……………….......... 23
3.2.
Hadamard Kesirli İntegraller………………………………………...... 29
3.3.
Önemli Eşitsizlikler…………………………………..................…...... 30
3.4.
Konvekslik İle İlgili Önemli Eşitsizlikler……....................................... 32
4.
BULGULAR……………………………………..…............................ 37
4.1.
Geometrik-Aritmetik Fonksiyonlar için Hermite-Hadamard-Fejér
Tipli Kesirli İntegral Eşitsizlikleri.......................................................... 37
4.2.
Harmonik-Aritmetik Fonksiyonlar için Hermite-Hadamard-Fejér Tipli
Kesirli İntegral Eşitsizlikleri…………………………………….......... 55
4.3.
Quasi Geometrik Konveks Fonksiyonlar için Hermite-Hadamard-Fejér
Tipli Kesirli İntegral Eşitsizlikleri.......................................................... 74
4.4.
Uygulamalar…………………………................................................... 87
IV
5.
TARTIŞMA VE SONUÇ….…………………………………............ 94
6.
KAYNAKLAR...................................................................................... 95
ÖZGEÇMİŞ……………………………………………………….................... 102
V
ŞEKİLLER LİSTESİ
Şekil No
Sayfa
Şekil 2.1. Bir aralıktaki konveks fonksiyon  f  x   x  …………………....
5
Şekil 2.2. Konveks fonksiyon şekli…………………………………..……….
6
Şekil 2.3. Quasi konveks olup konveks olmayan fonksiyon………………..... 11
Şekil 2.4. Aralıkta Quasi konveks fonksiyon f  x   x 4  10 x 2  9 ……….... 12
Şekil 2.5. Godunova-Levin fonksiyon, P-fonksiyon, Quasi Konveks
fonksiyon, Konveks fonksiyon Log-Konveks fonksiyon arasındaki
sınıf ilişkisi………............................................................................. 22
Şekil 2.6. Jensen-Quasi Konveks fonksiyon, Wright-Quasi Konveks
fonksiyon, Quasi konveks fonksiyon sınıfları arasındaki ilişki......... 22
Şekil 2.7. Jensen-konveks fonksiyon, Wright-konveks fonksiyon, Konveks
fonksiyon sınıfları arasındaki ilişki………………............................ 22
VI
SİMGELER VE KISALTMALAR
C(I)
:
Konveks Fonksiyonlar Sınıfı
α
R Da+
:
α-Mertebeden Riemann Liouville Kesirli Türev
α
H Da+
:
α-Mertebeden Hadamard Kesirli Türev
f′
:
f Fonksiyonun Birinci Mertebeden Türevi
f ′′
:
f Fonksiyonun İkinci Mertebeden Türevi
f ′′′
:
f Fonksiyonun Üçüncü Mertebeden Türevi
Γ
:
Gamma Fonksiyonu
I
:
R ’de Herhangi Bir Aralık
Io
:
I ’nın içi
J(I)
:
Jensen-Konveks Fonksiyonlar Sınıfı
JQC(I)
:
Jensen-Quasi-Konveks Fonksiyonlar Sınıfı
RJ
α
:
α-Mertebeden Riemann Liouville Kesirli İntegral
HJ
α
:
α- Mertebeden Hadamard Kesirli İntegral
Km (b)
:
m-Konveks Fonksiyonlar Sınıfı
α
Km
(b)
:
(α, m)-Konveks Fonksiyonlar Sınıfı
Kn (b)
:
n-Konveks Fonksiyonlar Sınıfı
Ks2
:
İkinci Anlamda s-Konveks Fonksiyonlar Sınıfı
L[a, b]
:
[a,b] Aralığında İntegrallenebilir Fonksiyonlar Kümesi
LG (t)
:
at G1−t , ∀t ∈ [0, 1]
LH (t)
:
aH
,
tH+(1−t)a
L(I)
:
Log Konveks Fonksiyonlar Sınıfı
Q(I)
:
Godunova-Levin Fonksiyonlar sınıfı
QC(I)
:
Quasi-Konveks Fonksiyonlar Sınıfı
∀t ∈ [0, 1]
VII
P (I)
:
P - Fonksiyonlar Sınıfı
R+
:
(0, ∞) Aralığı
R+
0
:
[0, ∞) Aralığı
SX(h, l)
:
h-Konveks Fonksiyonlar Sınıfı
UG (t)
:
bt G1−t , ∀t ∈ [0, 1]
UH (t)
:
bH
,
tH+(1−t)b
W (I)
:
Wright-Konveks Fonksiyonlar Sınıfı
∀t ∈ [0, 1]
W QC(I) :
Wright-Quasi-Konveks Fonksiyonlar Sınıfı
β(x, y)
x, y Pozitif Reel Sayılarının Beta Fonksiyonu
:
VIII
1. GİRİŞ
Konvekslik, M. Ö. 250 yılında Archimedes’ in ünlü π değerini hesaplamasına
kadar uzanan basit ve bilinen bir kavramdır. Archimedes bir konveks şeklin çevre
uzunluğunun onu çevreleyen diğer bir şeklin çevre uzunluğundan daha küçük
olduğunu önemle ifade etmiştir.
Gerçekte her zaman ve birçok yolla konvekslik kavramıyla karşılaşıyoruz ve deneyimliyoruz. Çok basit bir örnek olarak dik pozisyonda durduğumuzda ağırlık
merkezimizin dik izdüşümü ayağımızın kapladığı konveks alanın içinde kalır. Böylece dengemizi sağlayabilmekteyiz. Bununla beraber günlük hayatımızda konveksiliğin büyük etkileri vardır, örneğin endüstri, iş, sağlık ve sanat alanlarında birçok
uygulaması vardır. İşbirliğinin olmadığı oyunların parasal kaynakları ve adaleti
en uygun şekilde paylaşımını yapma problemidir.
Konveks fonksiyon teorisi konveksliğin genel konularının bir parçasıdır, çünkü
konveks bir fonksiyonun görüntü kümesi konveks bir kümedir. Konveks fonksiyonlar teorisi matemati-ğin tüm alanlarına dokunan önemli bir teoridir. Konvekslik konusunu gerektiren matemati-ğin ilk konularından birisi çizgisel analizdir.
İkinci türev testi konveksliğin bulunmasında bize sonucu veren güçlü bir araçtır.
Mucizevi şekilde Hessian test birkaç değişken durumu için doğal genişlemeye
sahiptir. Optimizasyon ve kontrol teorisinde bazı karışık problemlerden hareketle
konveks fonksiyon teorisi, sonsuz boyutlu Banach uzaylarının çalışma alanlarına
genişletilmektedir.
Konveksliğin temelini oluşturan tanım, eşiitsizlikle ifade edildiğinden konveks
fonksiyonlarda eşitsizliğin çok önemli bir yeri vardır. Klasik eşitsizlikle ve konvekslikle ilişkili olan Gauss, Cauchy, Schwartz, Buniakowsky, Hölder, Minkowski,
C̆hebyšhev, Lyapunov, Gram, Bessel, Hadamard, Landau, Bernstein, Hilbert,
Hardy, Littlewood, Pólya, Markoff, Kolmogorov, Stieltjes, Beckenbach, Bellman, Mitrinović, Pachpatte, Pecaric ve Fink gibi önemli isimler bu alanda çok
sayıda kitap yazmışlardır. 1934 yılında Hardy, Littlewood ve Pólya tarafından
çıkarılan ”Inequalities” isimli yazdıkları kitap bu alanda ilk çalışma olup temel
kaynak olarak önemli bir yere sahiptir [21]. Bu kitap eşitsizlik konusunu ifade
1
eden, farklı alanlar için kullanışlı bir rehber olarak kullanılan ilk kitaptır. Genel
eşitsizlikler üzerine görülen diğer bir kitap ise E. F. Beckenbach ve R. Bellman tarafından 1961’ de yazılan ”Inequalities” isimli kitap, 1934 yılından 1961
yılına kadar eşitsizlikle ilgili yapılan mükemmel araştırmaları içeren bir kitaptır.
1970 yılında Mitrinović ise ”Analytic Inequalities” isimli kitapla [47] birlikte bu
konuyla ilgili literatürde mihenk taşı oluşturacak üçüncü kitap olmuştur. Konveks
fonksiyonlar ve ilgili eşitsizlikleri için literatürde varolan diğer kitaplar ve doktora
tezlerinden bazıları şunlardır: Bakınız [2, 4, 8, 14, 15, 38, 46, 48, 49, 62, 65, 67, 68]
Konveks fonksiyonların uzun bir tarihi vardır. 19. yüzyılın sonunda ortaya
çıkmaya başlamıştır ve O. Hölder (1889), O. Stolz (1893) ve J. Hadamard’ ın
(1893) katkılarıyla temelleri atılmıştır. Konveks Fonksiyonlar Teorisi ile ilgili olan
Eşitsizlikler Teorisi ise C. F. Gauss, A. L. Cauchy ve P. L. C̆hebyšhev ile gelişmeye
başlamıştır.
19.-20. yy’ da bulunan eşitsizliklerin bir kısmı konveks fonksi-
yonlarla ilişkilendirilerek temel eşitsizlikler olmuşlardır. Bunların en önemlileri
1881 yılında Hermite tarafından elde edilen Hermite-Hadamard eşitsizliği ve 1938
yılında Ostrowski tarafından elde edilen Ostrowski eşitsizliğidir. Hermite-Hadamard eşitsizliği ile ilgili çalışmaların önemli bir kısmını S. S. Dragomir ve C. E.
M. Pearce tarafından 2000 yılında yazılmış olan ”Selected Topics on HermiteHadamard Inequalities and Applications” isimli kitapta; Ostrowski eşitsizliği ile
ilgili çalışmaların büyük bir kısmı da S. S. Dragomir ve Themistocles M. Rassias
tarafından 2002 yılında yazılmış olan ”Ostrowski Type Inequalities and Applications in Numerical Integration” isimli kitapta bir araya getirilmiştir. Konveks
fonksiyonlar için eşitsizlikler üzerine çalışan diğer matematikçiler; R. Agarval, G.
Anastassiou, G. V. Milovanovic, A. M. Fink, Roberts and Varberg, N.S. Barnett, M. E. Özdemir, U. S. Kırmacı, H. Yıldırım, M. Z. Sarıkaya, N. Ujević, S.
Varosanec, P. S. Bullen, P. Cerone, E. Set ve İ. İşcan şeklinde sıralayabiliriz.
Richard Bellman II. Uluslararası Genel Eşitsizlik Konferansı devam ederken yaptığı bir konuşmasında eşitsizlik çalışmanın pratik, teorik ve estetik olmak üzere üç
nedeni olduğundan bahsetmiştir. Bunlar içerisinde estetik neden için bakan bir
kimsenin yada bir seyircinin veya bir okuyucunun gözündeki güzellik olarak ifade
etmiştir. Eşitsizliğin onları cezbeden bir zarifliği olduğunu söylemiştir.
2
Kesirli (tamsayı olmayan) diferansiyel teorisi, 30 Eylül 1695 yılında yazılan Leibniz’ in notlarında yarım mertebeden türevin ifadesinin tartışılmasıyla başlıyor.
Leibniz’ in notu ile rasgele mertebeden türev ve integral teorisi görünmeye başladı
ve 19. yüzyılın sonlarında Liouville bu yapıyı tamamladı. Bundan sonra Grünwald,
Letnikov ve Riemann kesirli türev teorisi üzerine çalışmalarda bulundu. Bunun
üzerine S. G. Samko ile A. A. Kilbas ve O. I. Marichev bu alanda büyük bir
boşluğu kapatarak kesirli türev ve integral kavramları hakkında ansiklopedik bir
monografi yayınladı.
Geçen birkaç 10 yıllık süreçte birçok yazar değişik reel materyaller, polimerler...
gibi özelliklerini tanımlamak için kesirli türev ve integrallerin çok uygun olduğunu
ifade etmektedirler. Bu ise tamsayı mertebeli türevlerle karşılaştırıldığı zaman,
kesirli türevlerin gerçek hayata daha uygun olduğunu göstermektedir. Kesirli
türevlerin bu avantajı nesnelerin mekanik ve elektriksel özelliklerinin akışkanlar
teorisindeki elektrik devreleri, mate-matiksel modellemelerinde, elektro-analitik
kimya gibi diğer birçok alanda kullanılmasını sağlamaktadır.
Bu çalışmada, farklı türden konveks fonksiyonlar detaylı olarak incelenmiştir.
Bu amaçla çalışmanın ikinci bölümünde matematikte yer alan bazı temel tanım
ve teoremler, bazı konveks fonksiyon sınıfları arasındaki hiyerarşi verilmiştir.
Üçüncü bölümde ise geometrik-aritmetik ve harmonik-aritmetik konveks fonksiyonlar için Hermite-Hadamard tipli integral eşitsizlikleri, ağırlıklı integral eşitsizlikleri ve kesirli integral eşitsizlikleri için temel lemmalar ve teoremler verilmiştir.
Bu çalışmanın dördüncü bölümünde ise tezin asıl konusu olan geometrik-aritmetik
(GA), harmonik-aritmetik (HA) ve quasi-geometrik-aritmetik konveks fonksiyonlar için ağırlıklı Hermite-Hadamard tipli kesirli integral eşitsizlikleri ile ilgili yeni
bir lemma ve bu lemmayı kullanarak yeni teoremler ve sonuçlar verilmiştir.
3
2. TEMEL KAVRAMLAR
2.1
Konveks Fonksiyonlarla İlgili Temel Tanım ve Özellikler
Bu bölümde bu çalışmada kullanılacak bazı temel tanım ve teorem verilecektir.
Tanım 2.1.1 (Konveks Küme): L bir lineer uzay ve A ⊆ L olmak üzere
∀x, y ∈ A için
B = {z ∈ L : z = αx + (1 − α)y,
0 ≤ α ≤ 1} ⊆ A
ise A kümesine konveks küme denir. Eğer z ∈ B ise z = αx+(1−α)y eşitliğindeki
x ve y nin katsayıları için α + (1 − α) = 1 bağıntısı her zaman doğrudur. Bu
sebeple konveks küme tanımındaki α, 1 − α yerine α + β = 1 şartını sağlayan
ve negatif olmayan α, β reel sayıları alınabilir. Geometrik olarak B kümesi uç
noktaları x ve y olan bir doğru parçasıdır. Bu durumda sezgisel olarak konveks
küme, boş olmayan ve herhangi iki noktasını birleştiren doğru parçasını ihtiva
eden kümesidir [5].
Tanım 2.1.2 (J-Konveks Fonksiyon): I, R’ de bir aralık olmak üzere her
x, y ∈ I için
f (x) + f (y)
x+y
≤
f
2
2
şartını sağlayan bir f fonksiyonuna I üzerinde Jensen anlamında konveks veya
J-konveks fonksiyon denir [47].
Tanım 2.1.3 (Kesin J-Konveks Fonksiyon): Her x, y ∈ I ve x 6= y için,
f (x) + f (y)
x+y
<
f
2
2
eşitsizliği sağlanıyorsa, f fonksiyonuna I üzerinde kesin J-konveks fonksiyon denir
[47].
Tanım 2.1.4 (Konveks Fonksiyon): I, R’ de bir aralık ve f : I −→ R bir
fonksiyon olmak üzere her x, y ∈ I ve α ∈ [0, 1] için,
f (αx + (1 − α)y) ≤ αf (x) + (1 − α)f (y)
şartı sağlanıyorsa f fonksiyonuna konveks fonksiyon denir (Bakınız Şekil 2.1).
4
Örneğin, f : I ⊂ R −→ R, f (x) = |x| fonksiyonu I üzerinde bir konveks
fonksiyondur.
y
x
Şekil 2.1: Bir aralıkta konveks fonksiyon (f (x) = |x|)
Sonuç 2.1.1 Her konveks fonksiyon aynı zamanda bir J-konveks fonksiyondur.
Sonuç 2.1.2 I ⊂ R olmak üzere, bir f fonksiyonunun I’ da konveks olması için
gerek ve yeter şart, her x, y ∈ I için p + q > 0 olan ∀p, q ≥ 0 için
pf (x) + qf (y)
px + qy
≤
f
p+q
p+q
olmasıdır [56].
I üzerinde tanımlı bir f fonksiyonunun kesin konveksliğinin geometrik anlamı
(x, f (x)) ve (y, f (y)) noktalarını içeren I üzerindeki doğru parçasının f ’ nin
grafiğinin üst kısmında yer almasıdır. Bunu Şekil 2.2 de görmekteyiz.
Eğer f fonksiyonu [a, b] aralığında tanımlı, [a, b] aralığında konveks (konkav) ve
x0 noktasında diferensiyellenebilen bir fonksiyon ise x ∈ (a, b) için,
f (x) − f (x0 ) ≤ (≥) f ′ (x0 ) (x − x0 )
eşitsizliği yazılır [59].
Tanım 2.1.5 (Eşlenik Konveks Fonksiyonlar): g : [0, ∞) −→ [0, ∞) fonksiyonu artan ve sürekli bir fonksiyon olsun ayrıca g(0) = 0 ve x −→ ∞ iken g −→ ∞
5
f (y)
tf (x) + (1 − t)f (y)
f (tx + (1 − t)y)
f (x)
x
tx + (1 − t)y
y
Şekil 2.2: Konveks fonksiyon şekli
şartlarını sağlasın. Bu durumda g −1 vardır ve g ile aynı şartları sağlar. Eğer f
ve f ∗ fonksiyonları
f (x) =
Zx
∗
g(t)dt ve f (y) =
Zy
g −1 (s)ds
0
0
şeklinde tanımlanırsa bu iki fonksiyon da konveks olup f ve f ∗ fonksiyonlarına
birbirinin konveks eşleniği denir [59]. Aşağıdaki teorem konveks eşlenik çiftlerle
ilgili önemli bir sonuçtur.
Teorem 2.1.1 (Young Eşitsizliği): f , [0, c], (c > 0), aralığı üzerinde reel
değerli, artan ve sürekli bir fonksiyon olsun. Eğer f (0) = 0, a ∈ [0, c] ve b ∈
[0, f (c)] ise,
Za
0
f (x)dx +
Zb
f −1 (x)dx ≥ ab
0
eşitsizliği sağlanır [69].
Tanım 2.1.6 (Süreklilik): f : S ⊆ R −→ R, x0 ∈ S ve ǫ > 0 verilmiş olsun.
Eğer
|x − x0 | < δ
olan ∀x ∈ S
için
|f (x) − f (x0 )| < ǫ
olacak şekilde bir δ > 0 sayısı varsa f , x0 da süreklidir denir [6].
6
Tanım 2.1.7 (Lipschitz Şartı): f : S ⊆ R −→ R fonksiyonu için
|f (x) − f (y)| ≤ M |x − y|
olacak şekilde bir M > 0 sayısı varsa f , S de Lipschitz şartını sağlıyor denir [6].
Sonuç 2.1.3 f , S de Lipschitz şartını sağlıyorsa f , S de düzgün süreklidir [6].
Tanım 2.1.8 (Düzgün Süreklilik): f : S ⊆ R −→ R, x0 ∈ S ve ǫ > 0 verilmiş
olsun.
x ∈ S ve |x1 − x2 | < δ şartını sağlayan ∀x1 , x2 ∈ S için |f (x1 ) − f (x2 )| < ǫ
olacak şekilde bir δ > 0 sayısı varsa f , S’ de düzgün süreklidir denir [6].
Tanım 2.1.9 (Mutlak Süreklilik): I, R nin boştan farklı bir alt kümesi ve
f : I −→ R bir fonksiyon olsun. I nın {(ai , bi )}ni=1 ayrık açık alt araklıklarının
P
bir birleşimini göz önüne alalım. Eğer ∀ǫ > 0 için ni=1 |bi − ai | < δ olduğunda
Pn
i=1 |f (bi ) − f (ai )| < ǫ olacak şekilde bir δ = δ(ǫ) > 0 sayısı varsa, f fonksiyonu
I kümesinde mutlak süreklidir denir [9].
Konvekslik, Lipschitz şartı, süreklilik ve mutlak süreklilik arasındaki ilişki aşağdaki
teorem ile verilmektedir.
Teorem 2.1.2 L lineer uzay, U ∈ L bir açık küme ve f : U −→ R fonksiyon
olsun.
a. f , U açık kümesinde konveks olsun. Eğer f , U’ da bir noktanın komşuluğunda
üstten sınırlı bir fonksiyon ise f , U’ da yerel Lipschitz’ dir ve bu nedenle U’
nun kompakt alt kümesinde Lipschitz şartını sağlar ve U’ da süreklidir.
b. f , U ⊆ Rn açık kümesi üzerinde konveks ise f , U’ nun her kompakt
altkümesinde Lipschitz şartını sağlar ve U’ da süreklidir [56].
Teorem 2.1.3 f fonksiyonu [a, b] aralığında konveks ise, bu taktirde
a. f , (a, b) aralığında süreklidir,
7
b. f , [a, b] aralığında sınırlıdır [3].
Tanım 2.1.10 (Artan ve Azalan Fonksiyonlar): f , I aralığında tanımlı bir
fonksiyon olsun. x1 < x2 olan ∀x1 , x2 ∈ I için
i. f (x2 ) > f (x1 ) ise f fonksiyonu I üzerinde artandır,
ii. f (x2 ) < f (x1 ) ise f fonksiyonu I üzerinde azalandır,
iii. f (x2 ) ≥ f (x1 ) ise f fonksiyonu I üzerinde azalmayandır,
iv. f (x2 ) ≤ f (x1 ) ise f fonksiyonu I üzerinde artmayandır,
denir [1].
Teorem 2.1.4 I, R’ de bir aralık, f , I üzerinde sürekli ve I o üzerinde diferansiyellenebilir bir fonksiyon olsun. Bu durumda,
i. ∀x ∈ I o için f ′ (x) > 0 ise f fonksiyonu I üzerinde artandır.
ii. ∀x ∈ I o için f ′ (x) < 0 ise f fonksiyonu I üzerinde azalandır.
iii. ∀x ∈ I o için f ′ (x) ≥ 0 ise f fonksiyonu I üzerinde azalmayandır.
iv. ∀x ∈ I o için f ′ (x) ≤ 0 ise f fonksiyonu I üzerinde artmayandır [1].
Sonuç 2.1.4 f ve g konveks fonksiyonlar ve g aynı zamanda artan ise g ◦ f
fonksiyonu da konvekstir [59].
Teorem 2.1.5 Eğer f : I −→ R tanımlı konveks (kesin konveks) bir fonksiyon
ise f+′ (x) ve f−′ (x) var ve bu fonksiyonlar I o ’ de artandır (kesin artandır) [56].
Teorem 2.1.6 f fonksiyonu (a, b) aralığında diferensiyellenebilir bir fonksiyon
olsun. Bu durumda f fonksiyonunun konveks (kesin konveks) olması için gerek
ve yeter şart f ′ ’ nin artan (kesin artan) olmasıdır [56].
8
Teorem 2.1.7 f fonksiyonunun I açık aralığında ikinci türevi mevcutsa, f fonksiyonunun bu aralık üzerinde konveks olması için gerek ve yeter şart ∀x ∈ I için,
f ′′ (x) ≥ 0
olmasıdır [47].
Tanım 2.1.11 (p Normu): X, Rn ’ de bir küme, µ, X’ in alt kümelerinin σcebiri üzerinde bir ölçü ve f , X üzerinde tanımlanmış ölçülebilir bir fonksiyon
olsun. Bu durumda

 {|f |p dµ}1/p , 1 ≤ p < ∞
kf kp =
 sup |f |
,p = ∞
şeklinde tanımlanan ifadeye p-normu denir.
Tanım 2.1.12 (Gamma Fonksiyonu): n > 0 için,
Γ(n) =
Z∞
xn−1 e−x dx
0
ile tanımlanan fonksiyon gamma fonksiyonu olarak tanımlanır. Bu integral n > 0
için yakınsaktır. Gamma fonksiyonunun bazı önemli özelliklerini aşağıdaki şekilde
sıralayabiliriz:
i. Γ(n + 1) = nΓ(n) = n!,
ii Γ
iii.
R∞
0
1
2
=
xp
dx
1+x
√
π,
= Γ(p)Γ(1 − p) =
iv. 22n−1 Γ(n)Γ(n + 12 ) =
√
π
,
sin(pπ)
0 < p < 1,
πΓ(2n).
Tanım 2.1.13 (Beta Fonksiyonu): Re(x), Re(y) > 0 için
β(x, y) =
Z1
tx−1 (1 − t)y−1 dt
0
şeklinde tanımlanan fonksiyon beta fonksiyonu olarak tanımlanır. Bu integral
x > 0 ve y > 0 için yakınsaktır [14].
Beta fonksiyonunun aşağıdaki özellikleri sağladığı kolayca görülebilir:
9
i. β(x + 1, y) =
ii. β(1, y) =
iii. β(x, y) =
x, y ∈ (0, ∞)
1
y
R1
0
iv. β(x, y) =
x
β(x, y),
x+y
tx−1 (1 − t)y−1 dt =
Γ(x)Γ(y)
,
Γ(x+y)
x, y > 0
R∞
0
tx−1
,
(1+t)x+y
x, y > 0
v. β(x, y) = β(y, x)
özellikleri vardır [37].
Tanım 2.1.14 (Hipergeometrik Fonksiyon): c > b > 0, |z| < 1 için,
1
2 F1 (a, b; c; z) =
β(b, c − b)
Z1
0
tb−1 (1 − t)c−b−1 (1 − zt)−a dt
şeklinde tanımlanan fonksiyona Hipergeometrik fonksiyon denir [40].
2.2
Farklı Türden Bazı Konveks Fonksiyon Sınıfları ve
Temel Tanımlar
Tanım 2.2.1 (Quasi-Konveks Fonksiyon): f : S −→ R bir fonksiyon ve
S ⊂ R boştan farklı konveks küme olsun. ∀x, y ∈ S ve λ ∈ [0, 1] için,
f (λx + (1 − λ) y) ≤ max {f (x), f (y)}
ise f ’ ye quasi-konveks fonksiyon denir [12].
Eğer ,
f (λx + (1 − λ)y) < max {f (x), f (y)}
ise f ’ ye kesin quasi-konveks fonksiyon denir. Aynı şartlar altında, eğer
f (λx + (1 − λ)y) ≥ max {f (x), f (y)}
10
ise f ’ ye quasi-konkav fonksiyon ve eğer
f (λx + (1 − λ)y) > max {f (x), f (y)}
ise f ’ ye kesin quasi-konkav fonksiyon denir [12].
Tanım 2.2.2 f hem quasi-konveks hem de quasi-konkav ise f ’ ye quasi-monotonik
fonksiyon denir [19].
Sonuç 2.2.1 Herhangi bir konveks fonksiyon aynı zamanda bir quasi-konveks
fonksiyondur. Fakat tersi her zaman doğru değildir. Yani quasi-konveks olup
konveks olmayan fonksiyonlar da vardır. Örneğin,

 t , t ∈ [−2, −1]
g(t) =
 t2 , t ∈ [−1, 2]
ile tanımlanan g : [−2, 2] −→ R fonksiyonu [−2, 2] aralığında konveks değildir.
fakat g fonksiyonu [−2, 2] aralığında quasi-konveks fonksiyondur [25].
y
x
Şekil 2.3: Quasi konveks olup konveks olmayan fonksiyon
Aşağıdaki grafikte, kalın çizgi ile gösterilen aralıklarda fonksiyon quasi-konvekstir.
Ama eğrinin tamamı düşünülürse bu fonksiyon quasi-konveks değildir [15].
Tanım 2.2.3 (Wright-Konveks Fonksiyon): f : I −→ R bir fonksiyon ve
y > x, δ > 0 şartları altında her bir y + δ, x ∈ I için
f (x + δ) − f (x) ≤ f (y + δ) − f (y)
eşitsizliği sağlanıyorsa f ye I ⊆ R de Wright-konveks fonksiyon denir [12].
11
y
2
−2
x
Şekil 2.4: Aralıkta Quasi konveks fonksiyon f (x) = x4 − 10x2 + 9
Tanım 2.2.4 (Wright-Quasi-Konveks Fonksiyon): f : I −→ R bir fonksiyon
olsun. y > x, δ > 0 şartları altında ∀x, y, y + δ ∈ I ve ∀t ∈ [0, 1] için
1
[f (tx + (1 − t)y) + f ((1 − t)x + ty)] ≤ max{f (x), f (y)}
2
veya
1
[f (y) + f (x + δ)] ≤ max{f (x), f (y + δ)}
2
eşitsizliklerinden biri sağlanıyorsa f ye I ⊆ R de Wright-quasi-konveks fonksiyon
denir [12].
Tanım 2.2.5 (J-Quasi-Konveks Fonksiyon): f : I −→ R fonksiyonu her
x, y ∈ I için
x+y
≤ max{f (x), f (y)}
f
2
şartını sağlıyorsa f fonksiyonuna J-quasi-konveks fonksiyon denir [14].
Tanım 2.2.6 (Log-Konveks Fonksiyon): I, R de bir aralık f : I −→ R bir
fonksiyon olsun. Her x, y ∈ I ve α ∈ [0, 1] için
f (αx + (1 − α) y) ≤ f α (x)f 1−α (y)
şartını sağlayan f fonksiyonuna Log-konveks fonksiyon denir [56].
Tanım 2.2.7 (Godunova-Levin Fonksiyonu): f : I −→ R negatif olmayan
fonksi-yonu ∀x, y ∈ I, λ ∈ (0, 1) için
f (λx + (1 − λ) y) ≤
12
f (x)
f (y)
+
λ
1−λ
eşitsizliğini sağlıyorsa f ye Godunova-Levin fonksiyonu veya Q(I) sınıfına aittir
denir.
Bu tanıma denk olarak; eğer f ∈ Q(I) ve x, y, z ∈ I ise bu takdirde
f (x) (x − y) (x − z) + f (y) (y − x) (y − z) + f (z) (z − x) (z − y) ≥ 0
eşitsizliği sağlanır [18].
Tanım 2.2.8 (P - fonksiyonu): f : I −→ R negatif olmayan bir fonksiyon
olmak üzere eğer ∀x, y ∈ I, λ ∈ (0, 1) için
f (λx + (1 − λ) y) ≤ f (x) + f (y)
eşitsizliği sağlanıyorsa f fonksiyonuna bir P -fonksiyonu veya P (I) sınıfına aittir
denir [11].
Tanım 2.2.9 (Birinci Anlamda s-Konveks Fonksiyon): f : R+
0 −→ R ve
0 < s ≤ 1 olsun. αs + β s = 1 olmak üzere her u, v ∈ R+
0 ve her α, β ≥ 0 için
f (αu + βv) ≤ αs f (u) + β s f (v)
eşitsizliği sağlanıyorsa f fonksiyonuna birinci anlamda s-konveks fonksiyon denir
[53].
Tanım 2.2.10 (İkinci Anlamda s-Konveks Fonksiyon): f : R+
0 −→ R ve
0 < s ≤ 1 olsun. α + β = 1 olmak üzere her u, v ∈ R+
0 ve her α, β ≥ 0 için
f (αu + βv) ≤ αs f (u) + β s f (v)
eşitsizliği sağlanıyorsa f fonksiyonuna ikinci anlamda s-konveks fonksiyon denir
[7, 22].
Tanım 2.2.9 ve Tanım 2.2.10 da s = 1 alındığında konveks fonksiyon tanımı elde
edilir.
13
Tanım 2.2.11 (h-Konveks Fonksiyon): h 6≡ 0 ve h : J −→ R negatif olmayan
bir fonksiyon olsun. Her x, y ∈ I, α ∈ (0, 1) için,
f (αx + (1 − α) y) ≤ h(α)f (x) + h(1 − α)f (y)
şartını sağlayan negatif olmayan f : I −→ R fonksiyonuna bir h-konveks fonksiyon
denir. Burada I ve J, R de iki aralık, (0, 1) ⊆ J dir [66].
Eğer
i. h(α) = α seçilirse h-konveks fonksiyonu negatif olmayan konveks fonksiyona
dönüşür.
ii. s ∈ (0, 1) için h(α) = αs seçilirse h- konveks fonksiyonu s-konveks fonksiyona dönüşür.
Tanım 2.2.12 (m-Konveks Fonksiyon): f : [0, b] −→ R ve b > 0 olsun. Her
x, y ∈ [0, b], m, t ∈ [0, 1] için
f (tx + m (1 − t) y) ≤ tf (x) + m(1 − t)f (y)
eşitsizliği sağlanıyorsa f fonksiyonuna bir m-konveks fonksiyon denir. f (0) ≤ 0
şartını sağlayan [0, b] aralığında tanımlı olan bütün m-konveks fonksiyonların sınıfı
Km (b) ile gösterilir [64].
Eğer m = 1 seçilirse [0, b] aralığında m-konveks fonksiyon bilinen konveks fonksiyona dönüşür.
Tanım 2.2.13 ((α, m)-Konveks Fonksiyon): f : [0, b] −→ R bir fonksiyon ve
b > 0 olsun. Her x, y ∈ [0, b], t ∈ [0, 1] ve (α, m) ∈ [0, 1]2 için
f (tx + m (1 − t) y) ≤ tα f (x) + m(1 − tα )f (y)
eşitsizliği sağlanıyorsa f -fonksiyonuna (α, m)-konveks fonksiyon denir [46]. Burada α ve m’ den en az biri 0’ dan farklı olmalıdır.
(α, m) ∈ {(0, 0), (1, m), (1, 1)} için sırasıyla artan, m-konveks ve konveks fonksiyon
sınıfları-nın elde edildiği kolayca görülebilir.
14
Tanım 2.2.14 ((h, m)-Konveks Fonksiyon): h : J ⊆ R −→ R negatif ol-
mayan bir fonksiyon olsun. ∀x, y ∈ [0, b], m ∈ [0, 1] ve α ∈ [0, 1] için f : [0, b] −→
R negatif olmayan f fonksiyonu
f (αx + m (1 − α) y) ≤ h(α)f (x) + mh(1 − α)f (y)
şartını sağlıyorsa f fonksiyonuna (h, m)-konveks fonksiyon denir [55].
Tanım 2.2.15 (Geometrik Konveks Fonksiyon): f : I ⊂ R+ −→ R+
fonksiyonu verilsin. Eğer f fonksiyonu, her x, y ∈ I ve t ∈ [0, 1] için
f xt y 1−t ≤ [f (x)]t [f (y)]1−t
eşitsizliğini sağlıyorsa f fonksiyonuna geometrik konveks fonksiyon denir [72].
Tanım 2.2.16 (s-Geometrik Konveks Fonksiyon): f : I ⊂ R+ −→ R+
fonksiyonu verilsin. Eğer f fonksiyonu, her x, y ∈ I, s ∈ (0, 1] ve t ∈ [0, 1] için,
s
s
f xt y 1−t ≤ [f (x)]t [f (y)](1−t)
eşitsizliğini sağlıyorsa f fonksiyonuna s-geometrik konveks fonksiyon denir [72].
s = 1 için, s-geometrik konveks fonksiyon tanımı geometrik konveks fonksiyon
tanımına indirgenir.
Tanım 2.2.17 (Quasi Geometrik Konveks Fonksiyonu): f : I ⊆ R+ −→ R
fonksi-yonu verilsin. Eğer f fonksiyonu, ∀x, y ∈ I ve t ∈ [0, 1] için
f xt y 1−t ≤ sup{f (x), f (y)}
eşitsizliğini sağlıyorsa f fonksiyonuna quasi geometrik konveks fonksiyon denir
[26].
Tanım 2.2.18 (Geometrik-Aritmetik (GA) Konveks Fonksiyon): f : I ⊆
R+ −→ R fonksiyonu verilsin. Eğer f fonksiyonu ∀x, y ∈ I, λ ∈ [0, 1] için
f xλ y 1−λ ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y)
eşitsizliğini sağlıyorsa f fonksiyonuna GA-konveks fonksiyon denir. Burada xλ y 1−λ
ifadesi x ve y pozitif sayılarının ağırlıklı geometrik ortalaması ve λf (x) + (1 −
λ)f (y) ifadesi ise f (x) ve f (y) nin ağırlıklı aritmetik ortalamasıdır [51].
15
Tanım 2.2.19 (Birinci anlamda Geometrik-Aritmetik-s (GA-s) Konveks
Fonksiyon): f : I ⊆ R+ −→ R fonksiyonu verilsin. Eğer f fonksiyonu, ∀x, y ∈ I,
s ∈ (0, 1] ve λ ∈ [0, 1] için,
f xλ y 1−λ ≤ (≥)λs f (x) + (1 − λs )f (y)
eşitsizliğini sağlyorsa f fonksiyonuna birinci anlamda GA − s-konveks (konkav)
fonksiyon denir [28].
Tanım 2.2.20 (İkinci anlamda Geometrik-Aritmetik-s (GA-s) Konveks
Fonksiyon): f : I ⊆ R+ −→ R fonksiyonu verilsin. Eğer f fonksiyonu ∀x, y ∈ I,
s ∈ (0, 1] ve λ ∈ [0, 1] için
f xλ y 1−λ ≤ (≥)λs f (x) + (1 − λ)s f (y)
eşitsizliğini sağlıyorsa f fonksiyonuna ikinci anlamda GA − s-konveks (konkav)
fonksiyon denir [28].
Özel olarak Tanım 2.2.19 ve Tanım 2.2.20’ da s = 1 alındığında Tanım 2.2.18’
deki GA- konveks fonksiyon tanımı elde edilir.
Tanım 2.2.21 (Geometrik Simetrik Fonksiyon): g : [a, b] ⊆ R+ −→ R
fonksiyonu ∀x ∈ [a, b] için
ab
g
= g(x)
x
√
eşitliğini sağlıyorsa, g fonksiyonuna ab’ ye göre geometrik simetrik fonksiyon
denir [43].
Tanım 2.2.22 (Harmonik Konveks Fonksiyon): I ⊂ R\{0} bir aralık olsun.
Eğer f : I −→ R fonksiyonu ∀x, y ∈ I ve t ∈ [0, 1] için,
xy
≤ tf (y) + (1 − t)f (x)
f
tx + (1 − t)y
eşitsizliğini sağlıyorsa f fonksiyonuna harmonik konveks fonksiyondur denir [29].
Tanım 2.2.23 (Harmonik Simetrik): g : [a, b] ⊆ R \ {0} −→ R fonksiyonu
∀x ∈ [a, b] için
g(x) = g
1
1
a
16
+
1
b
−
1
x
eşitliği sağlanıyorsa g fonksiyonuna
2ab
’
a+b
ye göre harmonik simetrik fonksiyon
denir [44].
Önerme 2.2.1 I ⊂ R \ {0} bir reel aralık olsun. f : I −→ R fonksiyonu için,
• Eğer f fonksiyonu, I ⊂ R+ aralığında konveks ve azalmayan bir fonksiyon
ise f fonksiyonuna harmonik konveks fonksiyon denir.
• Eğer f fonksiyonu, I ⊂ R+ aralığında harmonik konveks ve artmayan bir
fonksiyon ise f fonksiyonuna konveks fonksiyon denir.
• Eğer f fonksiyonu, I ⊂ (−∞, 0) aralığında harmonik konveks ve azalmayan
bir fonksiyon ise f fonksiyonuna konveks fonksiyon denir.
• Eğer f fonksiyonu, I ⊂ (−∞, 0) aralığında konveks ve artmayan bir fonksiyon
ise f fonksiyonuna harmonik konveks fonksiyon denir [29].
Tanım 2.2.24 (Harmonik s-Konveks Fonksiyon): I ⊂ R\{0} bir reel aralık
olsun. Eğer f : I ⊆ R+ −→ R fonksiyonu, ∀x, y ∈ I, s ∈ (0, 1] ve t ∈ [0, 1] için
xy
f
≤ ts f (y) + (1 − t)s f (x)
tx + (1 − t)y
eşitsizliğini sağlıyorsa f fonksiyonuna bir harmonik-s-konveks fonksiyon denir
[33].
Özel olarak, Tanım 2.2.22’ de s = 1 alınırsa Tanım 2.2.21 tanımındaki harmonik
konveks fonksiyon tanımına indirgenir.
Önerme 2.2.2 I ⊂ R \ {0} bir reel aralık olsun. f : I −→ R fonksiyonu için,
• Eğer f fonksiyonu s-konveks ve azalmayan bir fonksiyon ise f fonksiyonu
harmonik-s konveks fonksiyondur.
• Eğer f fonksiyonu harmonik s-konveks ve artmayan bir fonksiyon ise f
fonksiyonu s-konveks fonksiyondur [33].
17
Örnek 2.2.1 s ∈ (0, 1] ve f : (0, 1] −→ (0, 1], f (x) = xs olarak tanımlansın. f
fonksiyonu s-konveks ve azalmayan fonksiyon ise f harmonik s-konveks fonksiyon
olur [33].
Tanım 2.2.25 (Bazı Özel Ortalamalar): Bu başlık altında a, b gibi iki pozitif
reel sayı için bazı ortalamalar verilecektir [4, 8].
1. Aritmetik ortalama:
a+b
,
2
A = A(a, b) :=
2. Geometrik ortalama:
G = G(a, b) :=
√
ab,
3. Harmonik ortalama:
H = H(a, b) :=
2ab
,
a+b
4. Logaritmik ortalama:
L = L(a, b) :=
a
I = I(a, b) :=
6. p-logaritmik ortalama:
Lp = Lp (a, b) :=
,a = b
b−a
lnb−lna

5. Identrik ortalama:
7. Seiffert ortalama:


, a 6= b


a
,a = b
1
b b−a
 1 b
, a 6= b
e aa



a
h
,a = b
i p1
p+1
bp+1 −a
(p+1)(b−a)
S = S(a, b) :=
a−b
2arcsin a−b
a+b
8. Bencze ortalama:
B = B(a, b) :=
18
a−b
a−b
2arctg a+b
, a 6= b
ortalamaları vardır.
Ayrıca, p ∈ R olmak üzere Lp nin monoton artan olduğu bilinir ve L0 = I,
L−1 = L ile gösterilir. Bu ortalamalar arasındaki ilişki literatürde, aşağıdaki gibi
yer almaktadır:
H ≤ G ≤ L ≤ I ≤ A.
Son olarak x, y pozitif sayılarının r-inci kuvvetlerinin genelleştirilmiş logaritmik
ortalaması
Lr (x, y) =
biçiminde tanımlanır.








r xr+1 −y r+1
r+1 xr −y r
x−y
lnx−lny
, r 6= 0, −1, x 6= y
, r = 0, x 6= y


xy lnx−lny

x−y




x
, r = −1, x 6= y
,x = y
Tanım 2.2.26 (Ağırlıklı Aritmetik Ortalama): xi ∈ [a, b], pi > 0 ve Pn :=
Pn
i=1 pi > 0, (i = 1, 2, ..., n) olmak üzere
An (x, p) :=
n
1 X
pi xi
Pn i=1
şeklindeki ifadeye xi , (i = 1, 2, ...n) sayılarının pi (i = 1, 2, ...n) ağırlıklı aritmetik
ortalaması denir [14].
Tanım 2.2.27 (r-Ortalama): x, y pozitif sayılarının r-inci kuvvetlerine göre
kuvvet ortalaması

 xλ y 1−λ
,r = 0
Mr (x, y; λ) =
 (λxr + (1 − λ)y r ) 1r , r 6= 0
olarak tanımlanır [14].
Tanım 2.2.28 (r-Konveks fonksiyon): f pozitif bir fonksiyon olmak üzere
her x, y ∈ [a, b] ve λ ∈ [0, 1] için
f (λx + (1 − λ)y) ≤ Mr (f (x), f (y); λ)
eşitsizliği sağlanıyorsa f fonksiyonuna [a, b] aralığında bir r-konveks fonksiyon
denir [17].
19
Bu tanımdan 0-konveks fonksiyonların log-konveks fonksiyonlar ve 1-konveks fonksiyonların bilinen konveks fonksiyonlar olduğu sonucuna kolaylıkla ulaşılabilir. Ayrıca
r-konvekslik tanımı,

 (λf r (x) + (1 − λ)f r (y)) r1 , r =
6 0
f r (λx + (1 − λ)y) =
 [f (x)]λ [f (y)]1−λ
,r = 0
biçiminde genişletilmiştir [12].
Tanım 2.2.29 (Starshaped Fonksiyon): b > 0 olmak üzere f : [0, b] −→ R
fonksi-yonu, her x ∈ [0, b] ve t ∈ [0, 1] için
f (tx) ≤ tf (x)
şartını sağlıyorsa bu fonksiyona bir starshaped fonksiyon denir [64].
2.3
Bazı Konveks Fonksiyon Sınıflarının Hiyerarşisi
Fonksiyonlar teorisi çalışmalarında yeni sonuçlar ve genelleştirmeler elde etmek
için kimi zaman fonksiyonun şartlarında bazı kısıtlamalar yapmak gerekirken
kimi zamanda fonksi-yona ek özellikler katmak gerekir.
Çünkü fonksiyonlar
aynı anda birçok özelliği sağlayabilir veya bir fonksiyon sınıfı başka bir fonksiyon
sınıfıyla bazı özellikleri itibariyle benzerlik gösterebilir. Çalışmalarımızda farklı
türden konveks fonksiyonlar için çeşitli integ-ral eşitsizliklerini ispatlarken, bu
eşitsizliklerin belli özel durumlar için başka konvekslik sınıfları içinde sağlandığını
açıkça görebiliriz. Dolayısıyla buradan konveks fonksiyonlar arasında özellikleri
açısından bir hiyerarşi olduğu gerçeğine ulaşılır. Fakat bu hiyerarşide tüm konvekslik sınıflarını beraber değerlendirmek oldukça güç olduğu için aralarındaki
ilişki, tanımları ve özellikleri yardımıyla aşağıdaki şekilde oluşturulabilir:
Teorem 2.3.1 I ⊆ R olmak üzere, Log Konveks fonksiyonlar sınıfı, Konveks
fonksi-yonlar sınıfı, Quasi-konveks fonksiyonlar sınıfı, P -fonksiyonlar sınıfı ve
Godunova-Levin fonksiyonlar sınıfı sırasıyla L(I), C(I), QC(I), P (I), Q(I) ile
gösterilirse, bu takdirde
L(I) ⊂ C(I) ⊂ QC(I) ⊂ P (I) ⊂ Q(I)
20
olduğu görülür (Bakınız Şekil 2.5)[38].
Teorem 2.3.2 I ⊆ R olmak üzere, Quasi Konveks fonksiyonlar sınıfı, Wright-
Quasi-Konveks fonksiyonlar sınıfı ve Jensen-Quasi-Konveks fonksi-yonlar sınıfı
sırasıyla QC(I), W QC(I), JQC(I) ile gösterilirse, bu takdirde
QC(I) ⊂ W QC(I) ⊂ JQC(I)
olduğu görülür (Bakınız Şekil 2.6) [12].
Teorem 2.3.3 I ⊆ R olmak üzere, konveks fonksiyonlar sınıfı, Wright-Konveks
fonksi-yonlar sınıfı ve Jensen Konveks fonksiyonlar sınıfı sırasıyla C(I), W (I),
J(I) ile gösterilirse;
C(I) ⊂ W (I) ⊂ J(I)
olur (Bakınız Şekil 2.7) [67].
Lemma 2.3.1 Eğer f fonksiyonu m-konveks fonksiyonlar sınıfına ait ise bu takdirde
f fonksi-yonu bir starshaped fonksiyondur [64].
Lemma 2.3.2 Eğer f fonksiyonu m-konveks fonksiyon ve 0 ≤ n < m ≤ 1 ise f
fonksiyonu bir n-konveks fonksiyondur [64].
h-konveks fonksiyon tanımından açıkça görülebileceği gibi eğer h(t) = t seçilirse
negatif olmayan konveks fonksiyonlar veya eşitsizliğin yön değiştirmesinde negatif
olmayan konkav fonksiyonlar, h(t) =
1
t
seçilirse fonksiyonun Q(I) sınıfından,
eğer s ∈ (0, 1) olmak üzere h(t) = ts seçilirse fonksiyonun Ks2 sınıfından bir
konveks fonksiyon olacağı aşikardır. Bu bilgiler ışığında h(t) fonksiyonun bazı
özel değerleri için
C(I) ⊂ SX(h, I),
P (I) ⊂ SX(h, I),
Ks2 ⊂ SX(h, I)
yazılabilir. Burada h fonksiyonu negatif olmayan fonksiyon olduğu için negatif
olmayan konveks fonksiyonlar SX(h, I) sınıfının alt kümesidir.
21
Godunova-Levin Fonksiyonu
P -Fonksiyonu
Quasi-Konveks Fonksiyonu
Konveks Fonksiyonu
Log-Konveks
Fonksiyonu
Şekil 2.5: Godunova-Levin fonksiyon, P-fonksiyon, Quasi Konveks fonksiyon,
Konveks fonksiyon, Log-Konveks fonksiyon arasındaki sınıf ilişkisi
Jensen-Quasi Konveks
Wright-Quasi Konveks
Quasi Konveks
Şekil 2.6: Jensen-Quasi Konveks fonksiyon, Wright-Quasi Konveks fonksiyon,
Quasi Konveks fonksiyon sınıfları arasındaki ilişki
Jensen-Konveks Fonksiyonu
Wright-Konveks Fonksiyonu
Konveks Fonksiyon
Şekil 2.7:
Jensen-konveks fonksiyon, Wright-konveks fonksiyon, Konveks
fonksiyon sınıfları arasındaki ilişki
22
3. MATERYAL VE YÖNTEM
Bu bölümün birinci kısmında kesirli Riemann-Liouville integral ve kesirli türev
operatörle-riyle ilgili temel tanım ve özellikler verilecektir. İkinci kısmında ise
Hermite-Hadamard eşitsizliği, Hermite-Hadamard-Fejér eşitsizliği ve kesirli HermiteHadamard-Fejér integral eşitsizlikleri ile ilgili temel teoremler verilecektir.
3.1
Kesirli Riemann-Liouville İntegral ve Türevleri
Liouville’nin kesirli integral operatörününün Riemann’ ın değiştirdiği şekli, n-katlı
integral için Cauchy’ nün formülünün direk genellemesi olarak
Zx
dx1
a
Zx1
dx2 · · ·
xZn−1
1
f (xn )dxn =
(n − 1)!
a
a
Zx
a
f (t)
dt
(x − t)1−n
(3.1.1)
şeklinde ifade edilir. Bu integralin sol tarafında integrasyon sırasını ve buna bağlı
olarak sınırları
a < x1 < x
x2 < x1 < x
a < x2 < x1
x2 < x1 < x
,··· ,
,··· ,
a < xn−1 < xn−2
xn < xn−1 < x
a < xn < xn−1
a < xn < x
şeklinde değiştirdiğimizde (3.1.1) ifadesi
Zx
dx1
a
=
Zx
a
Zx1
dx2 · · ·
a
xZn−1
f (xn )dxn
a




 x x
Zx Zx
Z
Z
· · ·  dx1  dx2 · · ·  dxn−1  dxn
f (xn )  
xn
xn−1
x3
x2
23
(3.1.2)
şeklinde yazılır. (3.1.2) ifadesinde sırasıyla integral alınırsa ve xn = t dönüşümü
yapılırsa
Zx
dx1
a
Zx1
a
dx2 · · ·
xZn−1
a
1
f (xn )dxn =
(n − 1)!
Zx
a
f (t)
dt
(x − t)1−n
(3.1.3)
eşitliği elde edilir. Gamma fonksiyonunun özelliğinden (n−1)! = Γ(n) alındığında
(3.1.1) eşitliği elde edilir. (3.1.1) eşitliğinde, n tamsayı değerleri alınmamış olabilir. Riemann bu durum için aşağıdaki şekilde kesirli integral tanımını vermiştir:
Tanım 3.1.1 f (x) ∈ L[a, b] ve a < x < b olsun. Bu durumda α > 0 için
(R Jaα+ f ) (x)
1
=
Γ(α)
Zx
f (t)(x − t)α−1 dt,
x>a
(3.1.4)
Zb
f (t)(t − x)α−1 dt,
x<b
(3.1.5)
a
ve
(R Jbα− f ) (x)
1
=
Γ(α)
x
integrallerine α-yıncı mertebeden Riemann-Liouville kesirli integralleri adı verilir.
Burada Ja0+ f (x) = Jb0− f (x) = f (x) olacaktır.
Teorem 3.1.1 f ∈ L[a, b] fonksiyonu ve α > 0, β > 0 için
(R Jaα+ f ) (x)
β
R Ja+ f
(x) = R Jaα+β
+ f (x)
(3.1.6)
eşitliği sağlanır.
Tanım 3.1.2 f fonksiyonu (a, b) aralığında sürekli ve integrallenebilir olsun. α ∈
(0, 1) olmak üzere
α
R Da+ f (x)
d
1
:=
Γ(1 − α) dx
Z
a
x
f (t)
(x − t)α
(3.1.7)
ifadesine α-yıncı mertebeden Riemann-Liouville kesirli türevi denir.
Özel olarak, kesirli türevde α =
1
2
alındığında ifadeye yarı türev adı verilir. Şimdi
ise yarı kesirli türevler ile ilgili bir kaç örnek verelim. Bunun için, f (x) = xk
24
şeklindeki fonksiyonu ele alalım. Burada k pozitif bir tamsayıdır. Ele aldığımız
fonksiyonun a-yıncı mertebeden türevini alırsak
f (x) = xk
f ′ (x) = kxk−1
f ′′ (x) = k(k − 1)xk−2
f ′′′ (x) = k(k − 1)(k − 2)xk−3
···
f (a) (x) = k(k − 1)(k − 2) · · · (k − a + 1)xk−a
k!
=
xk−a
(k − a)!
yazılır. Yine burada Γ(n) = (n − 1)! olduğundan
f (a) (x) =
Γ(k + 1)
xk−a
Γ(k − a + 1)
eşitliğini yazarız. Buradaki a sayısını herhangi bir pozitif sayı olarak seçerek
fonksiyonun kesirli türevlerini hesaplayabiliriz.
Kabul edelim ki a =
1
2
ve k = 2 olsun. Bu durumda fonksiyonun 21 -nci mertebeden
türevini hesaplayalım. Bunun için
f (x) = x2
f (a) (x) =
eşitliğinden yararlanarak,
ve a =
f (x) =
d2
1
2
ise,
Γ(k + 1)
xk−a
Γ(k − a + 1)
1
1
2
1
2
x2 =
1
Γ(3)
x2− 2
1
Γ(2 − 2 + 1)
dx
1
3
3
3
3
3√
1
1
2
5
d2 2
2
=
Γ
1
+
=
=
=
Γ
1
+
Γ
x
,
Γ
π
1 x =
2
2
2
2
4
2
4
Γ 25
dx 2
1
d2
8 3
x2 = √ x 2 ,
3 π
dx
elde edilir. Şimdi elde edilen yarım türevin tekrar yarım türevi alınırsa
!
1
1 1
d2
d2
8 3
d2 2
√ x 2 = 2x
=
1
1 x
1
dx 2 dx 2
dx 2 3 π
1
2
25
olduğu kolayca görülür.
Riemann-Liouville kesirli integral ve türevi arasındaki bağlantıyı çözmek için Abel
integral eşitliği olan, 0 < α < 1 için
1
Γ(α)
Zx
a
ϕ(t)dt
= f (x),
(x − t)1−α
x > a,
(3.1.8)
eşitliğinden yararlanılır. Son eşitlikte x’ i; t’ ye ve t’ yi; s’ ye dönüştürüp her iki
tarafını (x − t)−α ile çarpıp a’ dan x’ e integralini alırsak
Zx
a
dt
(x − t)α
Zt
a
ϕ(s)
ds = Γ(α)
(t − s)1−α
Zx
f (t)
dt
(x − t)α
a
elde edilir. Elde edilen eşitliğin sol tarafında Dirichlet formulü gereğince sınırların
yer değişimini uygularsak,
Zx
ϕ(s)ds
a
Zx
s
dt
= Γ(α)
α
(x − t) (t − s)1−α
Zx
a
f (t)
(x − t)α
(3.1.9)
olduğu görülür. (3.1.9) ifadesindeki iç taraftaki integralde t = s+τ (x−s) değişken
değiştirmesi yapılırsa,
Zx
s
dt
=
(x − t)α (t − s)1−α
Z1
0
τ α−1 (1 − τ )−α dτ = β(α, 1 − α) = Γ(α)Γ(1 − α)
elde edilir. Son integrali Beta fonksiyonu ile ifade ettik. Bu ifade (3.1.9)’ de
kullanılırsa
Γ(α)Γ(1 − α)
Zx
ϕ(s)ds = Γ(α)
Zx
1
ϕ(s)ds =
Γ(1 − α)
a
a
Zx
a
f (t)
(x − t)α
Zx
a
f (t)
dt
(x − t)α
elde edilir. Buradaki son eşitliğin her iki tarafının x’ e göre türevi alınırsa,
1
d
ϕ(x) =
Γ(1 − α) dx
Zx
a
f (t)
dt,
(x − t)α
0<α<1
elde edilir. Bu ise bize Tanım 3.1.2 yi vermektedir.
Bu türev formülünü daha genel olarak aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz:
26
(3.1.10)
Tanım 3.1.3 f fonksiyonu her sonlu (a, x) aralığında sürekli ve integrallenebilir
olsun. m ∈ N, m − 1 ≤ α < m olmak üzere x > a için reel bir f fonksiyonunun
α-yıncı mertebeden Riemann-Liouville kesirli türevi
(R Daα+ f ) (x)
1
dm
=
Γ(m − α) dxm
Zx
a
f (t)(x − t)m−α−1 dt
(3.1.11)
şeklindedir.
Diğer taraftan Riemann-Liouville kesirli integrali ile Beta ve Gamma fonksiyonları
arasındaki ilişkiyi kuralım. Bunun için
1
(R Jaα+ f ) (x) =
Γ(α)
Zx
f (t) (x − t)α−1 dt,
x>a
a
1
Riemann-Liouville kesirli integralinde f (t) = (t − a) 2 ve α =
1
2
alınırsa, bu
takdirde
RJ
1
2
a+
f (x) =
1
Γ
1
2
elde edilir. Buradan
Zx
a
1
1
(t − a) 2 (x − t)− 2 dt,
x>a
t = a + (x − a) τ
değişken değişimi yapılırsa,
Z1
τ p−1 (1 − τ )q−1 dτ = β(p, q)
0
şeklinde Beta fonksiyonu elde edilir. Beta fonksiyonu yardımıyla
RJ
1
2
a+
f (x) =
1
Γ
1
2
1
= √
π
Zx
Z1
1
1
(t − a) 2 (x − t)− 2 dt,
x>a
a
1
1
1
1
(x − a) 2 (x − a)− 2 +1 τ 2 (1 − τ )− 2 dt
0
27
1
= √ (x − a)
π
Z1
1
1
τ 2 (1 − τ )− 2 dt
0
3 1
1
,
= √ (x − a) β
π
2 2
Γ 23 Γ 12
1
= √ (x − a)
π
Γ 32 + 21
√
π
(x − a)
=
2
eşitliği elde edilir.
Yukarıda yaptığımız uygulamaya benzer olarak, f (x) =
1
-inci
2
gözönüne alalım ve bu fonksiyonun α =
3
8
√
x2
3 π
fonksiyonunu
mertebeden kesirli integralinin
f (x) = x2 olduğunu gösterelim. a = 0 olmak üzere Riemann-Liouville kesirli
integrali
1
(R J f ) (x) =
Γ(α)
α
Zx
f (t) (x − t)α−1 dt,
x>0
0
olarak yazılır. Kabuller altında f (x) =
3
8
√
x2
3 π
fonksiyonunun α = 12 -nci mertebe-
den kesirli integralinin
RJ
1
2
f (x) =
=
1
Γ
8
√
1
2
3 π
Zx
0
Z1
0
8
= √ x2
3 π
1
8 3
√ t 2 (x − t)− 2 dt,
3 π
1
3
(ux) 2 (x − ux)− 2 xdu,
Z1
0
3
x>0
t = ux
1
u 2 (1 − u)− 2 du
5 1
,
2 2
8 2 23 21 Γ 12 Γ 12
= √ x
3 π
Γ 25 + 21
8 2 23 21 Γ 12 Γ 12
= √ x
3 π
Γ(3)
2
= x
8
= √ x2 β
π
olduğu görülür.
(Bakınız [40, 50, 60, 68]) Hem uygulama alanlarında hem de
teoride kullanılan ve klasik kesirli integrallerin farklı değişimleri ve genellemeleri
28
olduğu bilinir. Bunlardan bir taneside Hadamard kesirli integralleridir. Şimdi bu
integralleri tanımlayalım.
3.2
Hadamard Kesirli İntegraller
Riemann-Liouville kesirli integro-diferansiyeli,
d
dx
diferansiyel operatörünün
d α
dx
kesirli kuvveti şeklindedir ve tüm eksenleri düşünürsek öteleme ile ilişkisi sabittir.
d α
Hadamard ise x dx
şeklinde kesirli bir kuvvete sahip kesirli integro-diferansiyel
yapısını ortaya çıkardı. Bu yapı yarı eksen durumuna uygun ve genişleme ile
ilişkisi sabittir. İlk olarak Hadamard
α
H J+ φ
x > 0, α > 0 için
1
(x) =
Γ(α)
Zx
0
ve
1
α
H J− φ (x) =
Γ(α)
Z∞
x
φ(t)dt
1−α
t ln xt
(3.2.1)
φ(t)dt
1−α
t ln xt
(3.2.2)
integralleriyle tanıştırdı. α > 0, −∞ ≤ a < b ≤ ∞ ve g sürekli türevlere sahip
monoton bir fonksiyon ve φ ∈ L(a, b) için
1
(H Ja+ ;g φ) (x) =
Γ(α)
Zx
a
φ(t)
g ′(t)dt
[g(x) − g(t)]1−α
(3.2.3)
olarak tanımlanan kesirli integralinde g(t) = lnt alınarak elde edildiği için (3.2.1)
integraline g(t) = t’ ye göre φ fonksiyonunun kesirli integrali denir. Bununla
beraber g ′ (t)’ nin sürekli türevlerinin varlığının durumu bu durumda sağlamaz.
(Eğer 0 yerine a > 0 integralinin soldan limitini alırsak g ′ (t)’ nin sürekliliği
sağlanır [60].)
Tanım 3.2.1 φ : [a, b] ⊆ R+ −→ R fonksiyonu [a, b] aralığında integrallenebilir
bir fonksiyon, α > 0 ve 0 < a < b için
(H Jaα+ φ) (x)
1
=
Γ(α)
Zx
a
φ(t) dt
1−α ,
t
ln xt
29
x>a
(3.2.4)
ve
1
(H Jbα− φ) (x) =
Γ(α)
Zb
x
φ(t) dt
1−α ,
t
ln xt
x<b
(3.2.5)
integrallerine α-yıncı mertebeden Hadamard kesirli integrali denir ve burada
α
H J0+ φ
=H J+α φ ve
α
H J∞ − φ
=H J−α φ dır.
Hadamard kesirli integral tanımından direk
x
d
α+1
α
H J + φ =H Ja+ φ,
dx a
−x
d
α+1
α
H J − φ =H Jb− φ,
dx b
Re(α) > 0
(3.2.6)
özelliklerinin sağlandığı görülür. Hadamard kesirli türev, Riemann-Liouville kesirli türevine benzer bir yapıya sahiptir [60].
Tanım 3.2.2 f fonksiyonu (a, b) aralığında sürekli ve integrallenebilir olsun. α >
0 için [α], α’nın tam kısmı ve {α} = α − [α] olmak üzere (3.2.6) özelliğinden
yararlanarak
α
H D+ f (x)
[α]+1
:=
=
1−{α}
H J+
d
x
dx
1−{α}
f
H J+
[α]+1
d
f
x
dx
(3.2.7)
α
ifadesine α-yıncı mertebeden Hadamard kesirli türev denir. Burada H D−
f , H Daα+ f ,
α
H Db− f
benzer şekilde ifade edilir. Özellikle 0 < α < 1 için
1
d
x
H D+ f (x) =
Γ(1 − α) dx
dir [60].
3.3
Zx
0
φ(t) dt
α
t
ln xt
(3.2.8)
Önemli Eşitsizlikler
Teorem 3.3.1 (Hölder Eşitsizliği): a = (a1 , a2 , · · · , an ) ve b = (b1 , b2 , · · · , bn )
iki pozitif n-liler ve p, q,
1
p
+ 1q = 1 eşitliğini sağlayan sıfırdan farklı iki sayı olsun.
30
i Eğer p ve q pozitif ise bu takdirde
n
X
k=1
ak bk ≤
n
X
ak
k=1
!1/p
n
X
bk
!1/q
(3.3.1)
bk
!1/q
(3.3.2)
k=1
eşitsizliği sağlanır.
ii. Eğer p < 0 veya q < 0 ise bu takdirde
n
X
k=1
ak bk ≥
n
X
ak
k=1
!1/p
n
X
k=1
eşitsizliği sağlanır [47].
Teorem 3.3.2 (İntegrallenebilir Fonksiyonlar için Hölder Eşitsizliği): f
ve g fonksiyonları [a, b] aralığında tanımlı reel fonksiyonlar ve p > 1 ve
1
p
+ 1q = 1
olsun. Eğer |f |p ve |g|q fonksiyonları [a, b] aralığında integrallenebilir fonksiyonlar
ise bu takdirde
Zb
a
 b
1/p  b
1/q
Z
Z
|f (x)g(x)| dx ≤  |f (x)|p dx  |g(x)|q dx
a
(3.3.3)
a
eşitsizliği sağlanır [49].
Sonuç 3.3.1 f ve g fonksiyonları [a, b] aralığında tanımlı ve integrallenebilir iki
fonksiyon olsun. Eğer q ≥ 1 için |f | ve |g|q fonksiyonları [a, b] aralığında integral-
lenebilir fonksiyonlar ise bu takdirde
Zb
a
 1q
 b
1− 1q  b
Z
Z
 |f (x)| |g(x)|q dx
|f (x)g(x)| dx ≤  |f (x)| dx
a
a
eşitsizliği sağlanır [49].
Teorem 3.3.3 (Üçgen Eşitsizliği): Her x,y reel sayıları için
i. |x + y| ≤ |x| + |x| ,
ii. ||x| − |y|| ≤ |x + y| ,
iii. |x1 + · · · + xn | ≤ |x1 | + · · · |xn |
31
(3.3.4)
eşitsizlikleri sağlanır [49].
Teorem 3.3.4 (İntegral için Üçgen Eşitsizliği): f , [a, b] aralığında sürekli
reel değerli bir fonksiyon ve a < b olmak üzere
b
Zb
Z
f (x)dx ≤ |f (x)| dx
(3.3.5)
a
a
eşitsizliği sağlanır.
Lemma 3.3.1 0 < α ≤ 1 ve 0 ≤ a < b için
|aα − bα | ≤ (b − a)α
(3.3.6)
ifadesi sağlanır[57].
3.4
Konvekslik İle İlgili Önemli Eşitsizlikler
Teorem 3.4.1 (Jensen Eşitsizliği): f , I ⊂ R aralığında tanımlı bir kon
P
veks fonksiyon, x = (x1 , · · · , xn ) ∈ I n (n ≥ 2) ve p, Pk = ki=1 pi şeklinde
tanımlanan pozitif sıralı n-li ise
f
n
1 X
pi xi
Pn i=1
!
≤
n
1 X
pi f (xi )
Pn i=1
(3.4.1)
eşitsizliği sağlanır[49].
Teorem 3.4.2 (Hermite-Hadamard Eşitsizliği): I = [a, b] ve f : I −→ R
bir konveks fonksiyon ise bu takdirde
f
a+b
2
1
≤
b−a
Zb
f (x)dx ≤
f (a) + f (b)
2
(3.4.2)
a
eşitsizliği sağlanır [20],[58].
Yukarıdaki teoremde konveks fonksiyonlar için Hermite-Hadamard eşitsizliği verildi. Bir sonraki teoremde ise Konveks fonksiyonlar için Hermite-Hadamard-Fejér
32
eşitsizliği verilecektir ve ardından bu eşitsizliklerin daha genel hali olan kesirli
Hermite-Hadamard ve kesirli Hermite-Hadamard-Fejér integral eşitsizlikleri verilecektir:
Teorem 3.4.3 f : [a, b] −→ R bir konveks fonksiyon ve g : [a, b] −→ R pozitif,
integrallenebilir ve x =
f
a+b
2
Zb
a
a+b
’
2
ye göre simetrik bir fonksiyon olmak üzere
1
g(x)dx ≤
b−a
Zb
f (a) + f (b)
f (x)g(x)dx ≤
2
a
Zb
g(x)dx (3.4.3)
a
eşitsizliği sağlanır [16].
Teorem 3.4.4 0 ≤ a < b, f : [a, b] −→ R pozitif fonksiyon ve f ∈ L[a, b] olsun.
Eğer f fonksiyonu [a, b] aralığında konveks ise α > 0 için
Γ(α + 1) α
f (a) + f (b)
a+b
≤
[Ja+ f (b) + Jbα− f (a)] ≤
f
α
2
2(b − a)
2
(3.4.4)
eşitsizliği sağlanır [61].
Teorem 3.4.5 f : [a, b] −→ R konveks fonksiyon, a < b ve f ∈ L[a, b] olsun.
g : [a, b] −→ R negatif olmayan, integrallenebilir ve
a+b
’
2
ye göre simetrik bir
fonksiyon ise bu takdirde α > 0 için
a+b
[Jaα+ g(b) + Jbα− g(a)] ≤ [Jaα+ (f g)(b) + Jbα− (f g)(a)]
f
2
f (a) + f (b) α
[Ja+ g(b) + Jbα− g(a)] (3.4.5)
≤
2
eşitsizliği sağlanır [27].
Hermite-Hadamard ve Hermite-Hadamard-Fejér kesirli integral eşitsizliklerinin
geometrik-aritmetik ve harmonik aritmetik ve quasi-geometrik konveks fonksiyonlar için ifadelerini aşağıdaki teoremlerde görebiliriz.
Teorem 3.4.6 f : I ⊆ R+ −→ R geometrik-aritmetik (GA) konveks fonksiyon,
√
a, b ∈ I, a < b olsun. g : [a, b] −→ [0, ∞) sürekli, pozitif ve ab’ ye göre geometrik
33
simetrik bir fonksiyon ise bu takdirde
Zb
√ Zb g(x)
f (x)g(x)
ab
f
dx ≤
dx
x
x
a
a
f (a) + f (b)
≤
2
Zb
g(x)
dx
x
(3.4.6)
a
eşitsizliği gerçeklenir [43].
Teorem 3.4.7 a, b ∈ I, a < b, f : I ⊆ R+ −→ R bir fonksiyon ve f ∈ L[a, b]
olsun. Bu takdirde eğer f , [a, b] aralığında GA-konveks fonksiyon ise α > 0 için
f
√ ab ≤
f (a) + f (b)
Γ(α + 1)
α
α
α [Ja+ f (b) + Jb− f (a)] ≤
2 (ln(b/a))
2
(3.4.7)
eşitsizliği sağlanır [28].
Teorem 3.4.8 f : [a, b] ⊆ R+ −→ R fonksiyonu [a, b] aralığında GA-konveks,
a < b, a, b ∈ I ve f ∈ L[a, b] olsun. Eğer g : [a, b] −→ R negatif olmayan,
√
integrallenebilir, ve ab’ ye göre geometrik simetrik bir fonksiyon ise bu takdirde
α > 0 için
√ f
ab [Jaα+ g(b) + Jbα− g(a)] ≤ [Jaα+ (f g)(b) + Jbα− (f g)(a)]
≤
f (a) + f (b) α
[Ja+ g(b) + Jbα− g(a)] (3.4.8)
2
kesirli integral eşitsizliği elde edilir [42].
Teorem 3.4.9 f : I ⊆ R \ {0} −→ R harmonik konveks fonksiyon ve f ∈
L ([a, b]), a, b ∈ I, a < b olsun. g : [a, b] −→ R negatif olmayan, integrallenebilir
ve x =
f
2ab
’
a+b
ye göre harmonik simetrik bir fonksiyon ise bu takdirde
2ab
a+b
Zb
g(x)
dx ≤
x2
a
Zb
f (x)g(x)
f (a) + f (b)
dx ≤
2
x
2
Zb
g(x)
dx
x2
(3.4.9)
a
a
eşitsizliği gerçeklenir [30].
Teorem 3.4.10 f : I ⊆ R+ −→ R, f ∈ L[a, b], bir fonksiyon, a, b ∈ I ve a < b
olsun. f fonksiyonu, [a, b] aralığında harmonik konveks ve g : [a, b] −→ R negatif
34
olmayan integrallenebilir ve g(x) =
1
x
şeklinde tanımlanan fonksiyon olmak üzere
α > 0 için
α n
o
2ab
Γ(α + 1)
ab
α
α
f
(f
◦
g)(1/a)
(f
◦
g)(1/b)
+
J
J1/a
≤
+
1/b−
a+b
2
a+b
f (a) + f (b)
≤
(3.4.10)
2
eşitsizliği sağlanır [30].
2ab
Lemma 3.4.1 g : [a, b] ⊆ R \ {0} −→ R integrallenebilir ve a < b, a+b
’ ye göre
1 1
harmonik simetrik olsun. x ∈ b , a , h(x) = x1 ve α > 0 ise


α
J
(g
◦
h)
(1/a)
+
1  1/b
α
α
 (3.4.11)
J1/b
+ (g ◦ h) (1/a) = J1/a− (g ◦ h) (1/b) =
2 J α − (g ◦ h) (1/b)
1/a
ifadesi sağlanır [32].
Teorem 3.4.11 f : [a, b] −→ R harmonik konveks fonksiyon, a < b, f ∈ L[a, b]
2ab
’ ye göre harmonik
olsun. g : [a, b] −→ R negatif olmayan, integrallenebilir ve a+b
1 1
simetrik fonksiyon olsun. Bu takdirde x ∈ b , a için h(x) = x1 ve α > 0 için
i
2ab h α
α
J1/b+ (g ◦ h) (1/a) + J1/a
f
− (g ◦ h) (1/b)
a+b
i
h
α
α
≤ J1/b
+ (f g ◦ h) (1/a) + J1/a− (f g ◦ h) (1/b)
i
f (a) + f (b) h α
α
≤
(g
◦
h)
(1/b)
(3.4.12)
J1/b+ (g ◦ h) (1/a) + J1/a
−
2
kesirli integral eşitsizliği gerçeklenir [32].
Teorem 3.4.12 f : I ⊆ R+ −→ R, I o da differansiyelenebilir ve a < b, f ′ ∈
L[a, b] olsun. |f ′ |, [a, b]’ de quasi-geometrik konveks, g : [a, b] −→ R sürekli ve
√
x = ab’ ye göre geometrik simetrik bir fonksiyon ise α > 0 için
f (a) + f (b)
α
α
α
α
(f
g)(a)]
(f
g)(b)
+
J
g(a)]
−
[J
g(b)
+
J
[J
−
+
−
+
b
a
b
a
2
≤
kgk∞ lnα+1 (b/a)
C1 (α) sup{|f ′ (a)| , |f ′ (b)|}
Γ(α + 1)
eşitsizliği sağlanır, burada
Z1/2
[(1 − u)α − uα ] a1−u bu + au b1−u du
C1 (α) =
0
dır [41].
35
(3.4.13)
Lemma 3.4.2 f : I ⊆ R −→ R, I o da diferansiyellenebilir bir fonksiyon, a < b,
a, b ∈ I ve h : [a, b] −→ [0, ∞) diferansiyellenebilir olsun. Eğer f ′ ∈ L[a, b] ise bu
takdirde
Zb
1
[(h(b) − 2h(a))f (a) + h(b)f (b)] − f (x)h′ (x)dx
2
a
 1
Z
1−t
1+t
1−t
1+t
(b − a) 
′
a+
b − h(b) f
a+
b dt
2h
=
4 
2
2
2
2
0


Z1 1−t
1−t
1+t
1+t
+
2h
a+
b − h(b) f ′
a+
b dt

2
2
2
2
0
eşitliği vardır [23].
Lemma 3.4.3 f : I ⊆ R −→ R, I o da diferansiyellenebilir bir fonksiyon, a < b,
a, b ∈ I ve h : [a, b] −→ [0, ∞) diferansiyellenebilir olsun. Eğer f ′ ∈ L[a, b] ise bu
takdirde
Z b−a 1
a+b
1+t
1−t
h(a)
+
(f (a) + f (b)) − h(b)f
f
a+
b
2
2
4
2
2
0
1−t
1+t
1−t
1+t
1−t
1+t
′
′
+ f
a+
b
h (
a+
b +h (
a+
b dt
2
2
2
2
2
2
 1
Z (b − a) 
1+t
1−t
1+t
1−t
=
h (
a+
b −h
a+
b + h(b)
4 
2
2
2
2
0
1−t
1+t
1−t
1+t
′
′
a+
b +f
a+
b dt
(3.4.14)
× −f
2
2
2
2
eşitliği sağlanır [24].
36
4. BULGULAR
Bu bölümde ilk olarak geometrik-aritmetik (GA) konveks, (HA) harmonik konveks fonksiyonlar için Hermite-Hadamard-Fejér tipli integral eşitsizliğinin sol ve
sağ tarafı için yeni lemmalar ve teoremler elde edildi. Daha sonra ise yeni fonksiyonlar tanımlayarak Riemann Liouville ve Hadamard kesirli integrallere uygulanıp yeni sonuçlar elde edildi. Bunlara ek olarak GA-konveks fonksiyonlar için
ortaya çıkarılan lemmaları quasi-geometrik-aritmetik konveks fonksiyonlar için
uygulayıp eşitsizliğin sağ ve sol tarafı için yeni teorem ve sonuçlar elde edildi.
Son olarak bulunan bazı sonuçlar çeşitli ortalamalara ve hiper geometrik fonksiyonlara uygulandı. Bu bölümdeki elde edilen bulgular uluslararası alan indeksli
dergilerde makale olarak yayınlanmıştır. Bakınız [35, 36, 45].
4.1
Geometrik-Aritmetik Fonksiyonlar için Hermite-Hadamard-Fejér Tipli Kesirli İntegral Eşitsizlikleri
Bu bölümde ∀a, b ∈ R+ , t ∈ [0, 1] için G := G(a, b) =
√
ab, LG (t) = at G1−t ve
UG (t) = bt G1−t notasyonları kullanılacaktır.
Lemma 4.1.1 f : I ⊆ R+ −→ R fonksiyonu I o da diferansiyellenebilir bir
fonksiyon ve , a, b ∈ I o , a < b olsun. h : [a, b] −→ [0, ∞) diferansiyellenebilir
fonksiyonu ve f ′ ∈ L [a, b] için
Zb
f (a)
f (b)
[h(b) − 2h(a)]
+ h(b)
− f (x)h′ (x)dx
2
2
a
 1
Z
lnb − lna  =
2h at G1−t − h(b) f ′ at G1−t at G1−t dt

4
0

Z1

+
2h bt G1−t − h(b) f ′ bt G1−t bt G1−t dt

0
eşitliği sağlanır.
37
(4.1.1)
İspat.
Eşitliğin sağ tarafındaki integralleri iki parça halinde ispatlayacağız.
İlk integral kısmi integrasyon ve sonrasında x = at G1−t , dx = at G1−t ln Ga dt
değişken değişimi yapılırsa
I1 =
Z1
0
=
2h at G1−t − h(b) f ′ at G1−t at G1−t dt
1
ln
− 2 ln
a
G
n
1
2h at G1−t − h(b) f at G1−t 0
a Z1
G
f at G
0
1−t
h′ at G
1−t


t 1−t
a G dt

ZG
G
ln
I1 = [h(b) − 2h(a)] f (a) + [2h(G) − h(b)] f (G) − 2 f (x)h′ (x)dx
a
a
elde edilir. Son integralde Diğer taraftan ikinci integrale de kısmi integrasyon ve
sonrasında x = bt G1−t , dx = bt G1−t ln Gb dt değişken değişimi yapılırsa
I2 =
Z1
0
=
2h bt G1−t − h(b) f ′ bt G1−t bt G1−t dt
1
ln
b
G
n
1
2h bt G1−t − h(b) f bt G1−t 0

Z1
′ t 1−t t 1−t 
b
t 1−t
− 2 ln
f bG
h bG
b G dt

G
0
Zb
b
ln
I2 = h(b)f (b) − [2h(G) − h(b)] f (G) − 2 f (x)h′ (x)dx
G
G
elde edilir. Son olarak ln (G/a) I1 ve ln (b/G) I2 taraf tarafa toplanıp ikiye bölündüğünde
f (a)
f (b)
lnb − lna
[I1 + I2 ] = [h(b) − 2h(a)]
+ h(b)
−
4
2
2
Zb
f (x)h′ (x)dx (4.1.2)
a
olduğu görülür. Böylece ispat tamamlanır.
Şimdi verdiğimiz özdeşliği temel alan teorem ve sonuçlarımızı verelim.
38
Teorem 4.1.1 f : I ⊆ R+ −→ R fonksiyonu I o da bir diferansiyellenebilir
fonksiyon ve h : [a, b] −→ [0, ∞) diferansiyellenebilir fonksiyon, a, b ∈ I o , a < b
olsun. Eğer |f ′ |, [a, b] aralığında geometrik-aritmetik konveks fonksiyon ise
Zb
[h(b) − 2h(a)] f (a) + h(b) f (b) − f (x)h′ (x)dx
2
2
a
≤
ln b − ln a
[ζ1 (a, b) |f ′ (a)| + ζ2 (a, b) |f ′ (G)| + ζ3 (a, b) |f ′ (b)|]
4
(4.1.3)
eşitsizliği sağlanır. Burada katsayılar
ζ1 (a, b) =
Z1
0
ζ2 (a, b) =
Z1
0
+
Z1
ζ3 (a, b) =
Z1
0
0
şeklindedir.
tat G1−t 2h at G1−t − h(b) dt
(4.1.4)
(1 − t)at G1−t 2h at G1−t − h(b) dt
(1 − t)bt G1−t 2h bt G1−t − h(b) dt
(4.1.5)
tbt G1−t 2h bt G1−t − h(b) dt
(4.1.6)
İspat. Lemma 4.1.1 deki (4.1.1) eşitliğinin her iki tarafının mutlak değeri alınırsa
Zb
[h(b) − 2h(a)] f (a) + h(b) f (b) − f (x)h′ (x)dx 2
2
a
 1
Z
lnb − lna  ≤
2h at G1−t − h(b) f ′ at G1−t at G1−t dt

4
0

1
Z

′
t 1−t
t 1−t t 1−t
dt
(4.1.7)
bG
2h b G
− h(b) f b G
+

0
elde edilir. (4.1.7) eşitsizliğinde |f ′ | fonksiyonunun geometrik-aritmetik fonksiyon
olduğunu kullanırsak
39
Zb
f
(a)
f
(b)
′
[h(b) − 2h(a)]
+
h(b)
−
f
(x)h
(x)dx
2
2
a
 1
Z
lnb − lna  2h at G1−t − h(b) [t |f ′ (a)| + (1 − t) |f ′ (G)|] at G1−t dt
≤

4
0
+
Z1
0


2h bt G1−t − h(b) [t |f ′ (b)| + (1 − t) |f ′ (G)|] bt G1−t dt (4.1.8)

eşitsizliğini buluruz. Son eşitsizlikte parantezi dağıttımızda (4.1.4)-(4.1.6) katsayılarını elde ederiz ve böylece ispat tamamlanmış olur.
Sonuç 4.1.1 g : [a, b] −→ [0, ∞) sürekli, pozitif fonksiyon;
√
ab’ e göre simetrik
ve kgk∞ = supx∈[a,b] |g(x)| olsun. Bu durumda Teorem 4.1.1’ in koşulları altında
Rx h b α−1
α−1 i g(t)
h : [a, b] −→ [0, ∞), x ∈ [a, b] ve α > 0 için h(x) =
ln t
+ ln at
dt
t
a
şeklinde tanımlanırsa
f (a) + f (b)
α
α
α
α
(f
g)
(a)]
(f
g)
(b)
+
J
g(a)]
−
[
J
g(b)
+
J
[
J
−
+
−
+
H
H
H
H
b
a
b
a
2
(ln b − ln a)α+1
≤
kgk∞ [C1 (α) |f ′ (a)| + C2 (α) |f ′ (G)| + C3 (α) |f ′ (b)|](4.1.9)
α+1
2 Γ (α + 1)
eşitsizliği gerçeklenir, burada katsayılar
C1 (α) =
Z1
[(1 + t)α − (1 − t)α ] tat G1−t dt,
0
C2 (α) =
Z1
0
C3 (α) =
Z1
(1 − t) [(1 + t)α − (1 − t)α ] at G1−t + bt G1−t dt,
[(1 + t)α − (1 − t)α ] tbt G1−t dt
0
şeklindedir. 0 < α ≤ 1 için (4.1.9) eşitsizliğinde Lemma 3.3.1’ i kullanırsak
f (a) + f (b)
α
α
α
α
(f
g)
(a)]
(f
g)
(b)
+
J
g(a)]
−
[
J
g(b)
+
J
[
J
−
+
−
+
H
H
H
H
b
a
b
a
2
≤
(ln b − ln a)α+1
kgk∞ [E1 (α) |f ′ (a)| + E2 (α) |f ′ (G)| + E3 (α) |f ′ (b)|] (4.1.10)
2Γ (α + 1)
40
eşitsizliğini ve
E1 (α) =
Z1
E2 (α) =
Z1
E3 (α) =
Z1
tα+1 at G1−t dt
0
0
(1 − t) tα at G1−t + (1 − t) tα bt G1−t dt
tα+1 bt G1−t dt
0
katsayılarını elde ederiz.
İspat. Teorem 4.1.1’ e göre, (4.1.8) eşitsizliğinde x ∈ [a, b] için
α−1 α−1 #
Zx "
b
g(t)
t
h(x) =
ln
dt
+ ln
t
a
t
a
alınırsa
Γ (α) f (a) + f (b) [H J α+ g(b) +H J α− g(a)] − Γ (α) [H J α+ (f g) (b) +H J α− (f g) (a)]
b
a
b
a
2
(4.1.11)
ve diğer taraftan (4.1.8) eşitsizliğinin sağ tarafında da x ∈ [a, b] için
h(x) =
Zx "
a
b
ln
t
α−1
α−1 #
t
g(t)
dt
+ ln
a
t
alınırsa
≤






Z1
lnb − lna 
4
+



0




Z1
0
at G
R1−t h
α−1
α−1 i g(x)
ln xb
+ ln xa
dx
2
x
a
i
Rb h
b α−1
x α−1 g(x)
−
ln x
+ ln a
dx
x
a
[t |f ′ (a)| + (1 − t) |f ′ (G)|] at G1−t dt
bt GR1−t h
i
b α−1
x α−1 g(x)
ln x
+ ln a
dx
2
x
a
i
Rb h
x α−1 g(x)
b α−1
−
+
ln
dx
ln
x
a
x
a
[t |f ′ (b)| + (1 − t) |f ′ (G)|] bt G1−t dt
41
×















×
(4.1.12)
olduğu görülür. Son ifadede g(x) fonksiyonunun
√
ab’ ye göre geometrik simetrik
olduğunu kullanırsak her t ∈ [0, 1] için
at G1−t"
#
#
Z
α−1 α−1 Zb "
α−1 g(x)
α−1
b
x
x
b
2
dx −
ln
+ ln
+ ln
ln
x
a
x
x
a
a
a
#
btZG1−t"
α−1 α−1
g(x) b
x
g(x) (4.1.13)
ln
dx = dx
+ ln
x
x
a
x
t 1−t
a G
ve
bt G1−t"
#
#
Z
α−1 α−1 Zb "
α−1 g(x)
α−1
b
x
b
x
2
ln
+ ln
dx −
ln
+ ln
x
a
x
x
a
a
a
#
btZG1−t"
α−1 b
x α−1 g(x) g(x) (4.1.14)
dx = dx
ln
+ ln
x
x
a
x
t 1−t
a G
olduğunu görürüz. Bu durumda (4.1.12)-(4.1.14) ifadelerini kullanırsak
f (a) + f (b)
α
α
α
α
[H Ja+ g(b) + H Jb− g(a)] − [H Ja+ (f g) (b) + H Jb− (f g) (a)]
2

Z1 bt G1−t h

i

R
α−1
α−1

g(x)
x
b

+
ln
dx
ln
×
lnb − lna
x
a
x
≤
at G1−t
0
4Γ (α) 



[t |f ′ (a)| + (1 − t) |f ′ (G)|] at G1−t dt

Z1 bt G1−t h

i


R
x α−1 g(x)
b α−1
+ + ln a
dx
ln x
× 
x
at G1−t
(4.1.15)
0




[t |f ′ (b)| + (1 − t) |f ′ (G)|] bt G1−t dt
≤

#
Z1 " bt G1−t h

i

R
α−1
α−1 1


+ ln xa
dx ×
ln xb
x
lnb − lna
kgk∞

4Γ (α)



0
at G1−t
[t |f ′ (a)| + (1 − t) |f ′ (G)|] at G1−t dt
# 
Z1 " bt G1−t h

i

R

b α−1
x α−1 1

+
ln x
dx
×
+ ln a
x
0
at G1−t
[t |f ′ (b)| + (1 − t) |f ′ (G)|] bt G1−t dt




eşitsizliğini elde ederiz. Son eşitsizlikte içerideki integrali
#
btZ
G1−t "
α−1 x α−1 1
b
+ ln
dx
ln
x
a
x
at G1−t
42
(4.1.16)
btZ
G1−t =
at G1−t
b
ln
x
α−1
1
dx +
x
btZ
G1−t
at G1−t
x α−1 1
dx
ln
a
x
2. (ln b − ln a)α
[(1 + t)α − (1 − t)α ]
=
α
2 .α
(4.1.17)
şeklinde hesaplar ve son eşitlikte Lemma 3.3.1 ’i kullanırsak
#
btZ
G1−t "
α−1 b
x α−1 1
ln
dx
+ ln
x
a
x
at G1−t
=
btZ
G1−t b
ln
x
at G1−t
≤
α−1
1
dx +
x
btZ
G1−t
at G1−t
ln
x α−1 1
dx
a
x
2. (ln b − ln a)α α
t
α
(4.1.18)
yazılır. (4.1.16) - (4.1.18) ifadelerinin kombinasyonunu kullanırsak (4.1.9) ve
(4.1.10) eşitsizliğini elde ederiz. Böylece ispat tamamlanmış olur.
Sonuç 4.1.2
i. Eğer Sonuç 4.1.1 ’deki (4.1.10) eşitsizliğinde, α = 1 alınırsa ,
Zb
Zb
f (a) + f (b)
g(x)
g(x) (ln b − ln a)2
dx − f (x)
dx ≤
kgk∞
2
x
x
4
a
a
′
′
× [E1 (1) |f (a)| + E2 (1) |f (G)| + E3 (1) |f ′ (b)|]
(4.1.19)
eşitsizliği elde edilir, burada a, b > 0 için,
E1 (1) =
E2 (1) =
E3 (1) =
Z1
0
1
Z
0
Z1
t2 at G1−t dt,
t (1 − t) at G1−t dt +
Z1
0
t (1 − t) bt G1−t dt
t2 at G1−t dt
0
dır.
ii. Eğer Sonuç 4.1.1’ deki (4.1.9) eşitsizliğinde, g(x) = 1 alınırsa
f (a) + f (b)
Γ(α + 1)
α
α
−
f
(a)]
f
(b)
+
J
[
J
−
+
H
H
b
a
2
2(ln b − ln a)α
≤
(ln b − ln a)
[C1 (α) |f ′ (a)| + C2 (α) |f ′ (G)| + C3 (α) |f ′ (b)|](4.1.20)
2α+2
43
eşitsizliği elde edilir.
iii. Eğer Sonuç 4.1.1’ deki (4.1.10) eşitsizliğinde, g(x) = 1 ve α = 1 alınırsa
Zb
f (a) + f (b)
f
(x)
1
−
dx
2
(ln b − ln a)
x
a
(ln b − ln a)
≤
[E1 (1) |f ′ (a)| + E2 (1) |f ′ (G)| + E3 (1) |f ′ (b)|] (4.1.21)
4
eşitsizliği elde edilir.
Teorem 4.1.2 f : I ⊆ R+ −→ R, I o da diferansiyellenebilir bir fonksiyon,
√
a, b ∈ I o , a < b, ve g : [a, b] −→ [0, ∞) sürekli, pozitif bir fonksiyon ve x = ab’
ye göre geometrik simetrik olsun. Eğer |f ′ |q , [a, b] aralığında geometrik-aritmetik
konveks bir fonksiyon ise
Zb
[h(b) − 2h(a)] f (a) + h(b) f (b) − f (x)h′ (x)dx ≤ ln b − ln a
2
2
4
a
×













1
R
0
 1
Z

0
qt
ta G
+
q(1−t)
1
R
0
 1
Z

0
olur.
İspat.
1− q1
×
|2h(at G1−t ) − h(b)| dt
t
(|2h(a G
′
q
1−t
) − h(b)|) ×
qt
|f (a)| + (1 − t)a G
q(1−t)
1− 1q
t 1−t
|2h(b G ) − h(b)| dt
×
(|2h(bt G1−t ) − h(b)|) ×
′
q
|f (G)|
dt
 1q
 q1








(4.1.22)


 


q
q

qt q(1−t)
′
qt q(1−t)
′
tb G
|f (b)| + (1 − t)b G
|f (G)| dt
(4.1.7) eşitsizliğinde |f ′ |q fonksiyonunun geometrik aritmetik konveks
fonksiyon olduğunu ve Sonuç 3.3.1’ i kullanırsak ispat tamamlanır.
44
Sonuç 4.1.3 g : [a, b] −→ [0, ∞) sürekli, pozitif,
√
bir fonksiyon ve kgk∞ = supx∈[a,b] |g(x)| olsun.
ab’ e göre geometrik simetrik
Bu durumda Teorem 4.1.2’
nin koşulları altında h : [a, b] −→ [0, ∞), x ∈ [a, b] ve α > 0 için h(x) =
Rx h b α−1
i
t α−1 g(t)
ln t
+ ln a
dt şeklinde tanımlanırsa, q ≥ 1 için
t
a
f (a) + f (b)
α
α
α
α
[H Ja+ g(b) + H Jb− g(a)] − [H Ja+ (f g) (b) + H Jb− (f g) (a)]
2
(ln b − ln a)α+1 kgk∞ 2α+2 − 22 1− q1 q
q
≤
(
)
C1 (α, q) |f ′ (a)| + C2 (α, q) |f ′ (G)|
α+1
2 Γ (α + 1)
α+1
1
q
(4.1.23)
+ C3 (α, q) |f ′ (b)| q
eşitsizliği sağlanır, burada katsayılar
C1 (α, q) =
Z1
C2 (α, q) =
Z1
0
0
Z1
C3 (α, q) =
0
[(1 + t)α − (1 − t)α ] taqt Gq(1−t) dt,
[(1 + t)α − (1 − t)α ] (1 − t) aqt Gq(1−t) + bqt Gq(1−t) dt,
[(1 + t)α − (1 − t)α ] tbqt Gq(1−t) dt
integralleriyle tanımlanır.
İspat. Teorem 4.1.2’ deki (4.1.22) eşitsizliği ve (4.1.17) eşitliğinden yararlanırsak
f (a) + f (b)
α
α
α
α
(f
g)
(a)]
(f
g)
(b)
+
J
g(a)]
−
[
J
g(b)
+
J
[
J
−
+
−
+
H
H
H
H
b
a
b
a
2
(ln b − ln a)α+1 kgk∞
×
≤
2α+1 Γ (α + 1)





1
R
1− 1q
×
[(1 + t) − (1 − t) ] dt
1
R
1− 1q
α
α
[(1 + t) − (1 − t) ] dt
×
0
α
α
q1
1

R

q
q


[(1 + t)α − (1 − t)α ] taqt Gq(1−t) |f ′ (a)| + (1 − t)aqt Gq(1−t) |f ′ (G)| dt
0
+
0
1
R
0
α
α
qt
[(1 + t) − (1 − t) ] tb G
q(1−t)
45
′
q
qt
|f (b)| + (1 − t)b G
q(1−t)
1q
|f (G)| dt
′
q









≤
(ln b − ln a)α+1 kgk∞ 2α+1 − 2 1− q1
(
) ×
2α+1 Γ (α + 1)
α+1
 
 q1
Z1
α
α
[(1 + t) − (1 − t) ] ×
 


q
q
qt q(1−t)
′
qt q(1−t)
′

ta G
|f (a)| + (1 − t)a G
|f (G)| dt

0
 
 1q
1

Z
α
α

[(1 + t) − (1 − t) ] ×
 + 
q
q
qt q(1−t)
′
qt q(1−t)
′
dt
tb
G
|f
(b)|
+
(1
−
t)b
G
|f
(G)|
0
eşitsizliğini elde ederiz. Öte yandan a > 0, b > 0,





 (4.1.24)



r < 1, ar + br < 21−r (a + b)r
ifadesinden yararlanırsak, q ≥ 1 için
(ln b − ln a)α+1 kgk∞ 2α+2 − 22 1− q1
×
≤
(
)
2α+1 Γ (α + 1)
α+1


[(1 + t)α − (1 − t)α ] taqt Gq(1−t) |f ′ (a)|q +
Z 


 1
qt q(1−t)


a G

 [(1 + t)α − (1 − t)α ] (1 − t) 
 |f ′ (G)|q


 0 
+bqt Gq(1−t)


+ [(1 + t)α − (1 − t)α ] tbqt Gq(1−t) |f ′ (b)|q
elde ederiz ve böylece ispat tamamlanır.
Sonuç 4.1.4 Sonuç 4.1.3’ de α = 1 ve g(x) =
1
ln b−ln a

 1q
 
 
 
 dt
 
 
 
(4.1.25)
alınırsa,
Zb
f (a) + f (b)
f (x) (ln b − ln a)
1
−
dx ≤
×
1
2
ln b − ln a
x
22+ q
a
1
q
q
q
C1 (1, q) |f ′ (a)| + C2 (1, q) |f ′ (G)| + C3 (1, q) |f ′ (b)| q
(4.1.26)
eşitzsizliği elde edilir.
Şimdi ise Hermite-Hadamard-Fejér tipli kesirli integral eşitsizliğinin geometrikaritmetik konveks fonksiyonlar için sol tarafını elde edeceğimiz Lemma 4.1.2 ve
bu lemmaya bağlı teoremlerle ilgileneceğiz.
Lemma 4.1.2 f : I ⊆ R+ −→ R fonksiyonu, I o ’ da diferansiyellenebilir bir
fonksiyon ve a, b ∈ I o , a < b olsun. h : [a, b] −→ [0, ∞) diferansiyellenebilir
46
fonksiyonu ve f ′ ∈ L [a, b] için
ln b − ln a
f (a) + f (b)
h(a) − f (G)h(b) +
×
2
4
 1

R ′

′
 [h (LG (t))LG (t) + h (UG (t))UG (t)] × 

0


=
[f (LG (t)) + f (UG (t))] dt
 1
Z
lnb − lna 
4

0


[h(LG (t)) − h(UG (t)) + h(b)] ×
[−f ′ (LG (t))LG (t) + f ′ (UG (t))UG (t)] dt}
(4.1.27)
eşitliği sağlanır.
İspat. Eşitliğin sol tarafındaki integralleri iki parça halinde ispatlayacağız. İlk
integrali kısmi integrasyon yöntemiyle
I1 =
Z1
[h(LG (t)) − h(UG (t)) + h(b)] d (f (LG (t)))
0
= [h(LG (t)) − h(UG (t)) + h(b)] f (LG (t))|10
Z1
a
b
′
′
− h (UG (t))UG (t) ln
dt
−
f (LG (t)) h (LG (t))LG (t) ln
G
G
0
şeklinde elde ederiz. Şimdi ise aynı yöntemle ikinci integrali aldığımızda
I2 =
Z1
[h(LG (t)) − h(UG (t)) + h(b)] d (f (UG (t)))
0
= [h(LG (t)) − h(UG (t)) + h(b)] f (UG (t))|10
Z1
a
b
′
′
−
f (UG (t)) h (LG (t))LG (t) ln
− h (UG (t))UG (t) ln
dt
G
G
0
şeklinde bulunur. Elde edilen I1 ve I2 integrallerini taraf tarafa toplayıp ikiye
böldüğümüzde
f (a) + f (b)
h(a) − h(b)f (G)
2
 1
 R ′
′
lnb − lna  [h (LG (t))LG (t) + h (UG (t))UG (t)]
+
0

4

× [f (LG (t)) + f (UG (t))] dt
I1 + I2
=
2
elde edilir ve böylece ispat tamamlanmış olur.
47





(4.1.28)
Teorem 4.1.3 f : I ⊆ R+ −→ R fonksiyonu I o ’ da differansiyellenebilir ve
h : [a, b] −→ [0, ∞) diferansiyellenebilir fonksiyon , a, b ∈ I o , a < b olsun. Eğer
|f ′ |, [a, b] aralığında geometrik-aritmetik konveks fonksiyon ise
 b

Z
Zb
√
f (a) + f (b)
1
′
′ ab ab

ab)
+
h(a)
−
h(b)f
(
f
(x)h
(x)dx
+
f
(x)h
(
)
dx
2
2
2
x
x
a
≤
a
ln b − ln a
[ζ1 (a, b) |f ′ (a)| + ζ2 (a, b) |f ′ (G)| + ζ3 (a, b) |f ′ (b)|]
4
(4.1.29)
eşitsizliği gerçeklenir ve burada katsayılar
Z1
tLG (t) |h(LG (t)) − h(UG (t)) + h(b)| dt
Z1
(1 − t)LG (t) |h(LG (t)) − h(UG (t)) + h(b)| dt
+
Z1
(1 − t)UG (t) |h(LG (t)) − h(UG (t)) + h(b)| dt
(4.1.31)
ζ3 (a, b) =
Z1
tUG (t) |h(LG (t)) − h(UG (t)) + h(b)| dt
(4.1.32)
ζ1 (a, b) =
(4.1.30)
0
ζ2 (a, b) =
0
0
0
integralleriyle tanımlanır.
İspat.
Lemma 4.1.2 deki (4.1.27) eşitliğinin her iki tarafının mutlak değeri
alınırsa
 b

b
Z
Z
√
f (a) + f (b)
1
′
′ ab ab
h(a) − h(b)f ( ab) +
f (x)h (x)dx + f (x)h ( ) 2 dx
2
2
x x
a
≤
 1
Z
lnb − lna 
+
Z1
4
0

0
a
|h(LG (t)) − h(UG (t)) + h(b)| |f ′ (LG (t)) LG (t)| dt


|h(LG (t)) − h(UG (t)) + h(b)| |f ′ (UG (t)) UG (t)| dt

48
(4.1.33)
elde edilir. (4.1.33) eşitsizliğinde |f ′ | fonksiyonunun geometrik-aritmetik konveks
fonksiyon olduğunu kullanırsak
 b

b
Z
Z
√
f (a) + f (b)
ab
ab
1
′
′
h(a) − h(b)f ( ab) +  f (x)h (x)dx + f (x)h ( ) 2 dx
2
2
x x
a
a
≤
+
 1
Z
lnb − lna

4
Z1
0
|h(LG (t)) − h(UG (t)) + h(b)| [t |f ′ (a)| + (1 − t) |f ′ (G)|] LG (t)dt
0


′
′
|h(LG (t)) − h(UG (t)) + h(b)| [t |f (b)| + (1 − t) |f (G)|] UG (t)dt

(4.1.34)
eşitsizliğini elde ederiz. Son eşitsizlikte integral içerisindeki mutlak değer ifadesini
parantez içine dağıttımızda ispatı tamamlamış oluruz.
Sonuç 4.1.5 g : [a, b] −→ [0, ∞) sürekli, pozitif,
√
ab’ e göre geometrik simetrik
bir fonksiyon ve kgk∞ = supx∈[a,b] |g(x)| olsun. Bu durumda Teorem 4.1.3 koşulları
Rx h b α−1
i
t α−1
altında h : [a, b] −→ [0, ∞), x ∈ [a, b] ve α > 0 için h(x) =
ln t
+ ln a
a
g(t)
dt
t
şeklinde tanımlanırsa
√ α
α
α
α
g(a)]
g(b)
+
J
ab
[
J
(f
g)
(a)]
−
f
(f
g)
(b)
+
J
[
J
H a+
H b−
H a+
H b−
(ln b − ln a)α+1
kgk∞ [K1 (α) |f ′ (a)| + K2 (α) |f ′ (G)| + K3 (α) |f ′ (b)|] (4.1.35)
2Γ (α + 1)
eşitsizliği sağlanır ve burada katsayılar
≤
K1 (α) =
Z1 0
K2 (α) =
Z1
0
K3 (α) =
1−t α
1+t α
) +(
) [LG (t) + UG (t)] dt,
(1 − t) 1 − (
2
2
Z1 0
1−t α
1+t α
) +(
) tLG (t)dt,
1−(
2
2
1+t α
1−t α
1−(
) +(
) tUG (t)dt
2
2
integralleriyle ifade edilir.
İspat. Teorem 4.1.3’ ün ispatındaki (4.1.34) eşitsizliğinde x ∈ [a, b] için
α−1 α−1 #
Zx "
t
g(t)
b
dt
+ ln
h(x) =
ln
t
a
t
a
49
ile tanımlanmış fonksiyon gözönüne alınırsa
 b
"
#
α−1 Z
α−1
1
g(x)
x
 f (x) ln b
dx
+ ln
2
x
a
x
a
+
Zb
a
√

#
"
α−1 ab
α−1
g( x )
b
x
f (x) ln
dx
+ ln
x
a
x
−f ( ab)
Zb
a
f (x)
"
ln
b
x
α−1
#
x α−1 g(x) dx
+ ln
a
x
√
olduğu görülür. g(x) fonksiyonu ab’ ye göre geometrik simetrik olduğundan
b
#
"
Z
α−1 α−1 g(x)
x
b
f (x) ln
+ ln
dx
x
a
x
a
√
−f ( ab)
Zb
a
#
"
α−1 x α−1 g(x) b
+ ln
dx
f (x) ln
x
a
x
√ α
α
α
α
= Γ (α) [H Ja+ (f g) (b) + H Jb− (f g) (a)] − Γ (α) [H Ja+ g (b) + H Jb− g (a)] f ( ab)
(4.1.36)
ifadesi elde edilir. Diğer taraftan (4.1.34) eşitsizliğinin sağ tarafında da aynı
fonksiyonu kullanırsak
lnb − lna
≤
 4
LGR(t) h
i


b α−1
x α−1 g(x)

ln
+
ln
dx

x
a
x


a
1

Z URG (t) h
α−1
α−1 i g(x)
−
ln xb
+ ln xa
dx
x

 a

0


i
Rb h

b α−1
x α−1 g(x)

ln x
+ ln a
dx
 +
x
a
LGR(t) h
i
x α−1 g(x)
b α−1
+
ln
dx
ln
x
a
x
a
1
Z U (t) h
RG
α−1
α−1 i g(x)
+ −
ln xb
+ ln xa
dx
x
a
0
Rb h
i
b α−1
x α−1 g(x)
+
ln x
+ ln a
dx
x
a
50
′
[tf (a) + (1 − t)f ′ (G)] LG (t)dt









′
′
[tf (b) + (1 − t)f (G)] UG (t)dt (4.1.37)








eşitsizliğini elde ederiz. Son eşitsizlikte integral içerisini
L (t) "
#
#
UZG (t)"
ZG
α−1 α−1 α−1 g(x)
α−1 g(x)
b
b
x
x
ln
ln
dx −
dx
+ ln
+ ln
x
a
x
x
a
x
a
a
#
α−1 Zb "
b
x α−1 g(x) +
ln
dx
+ ln
x
a
x
a
LZG (t) "
#
#
b "
α−1 α−1 Z
α−1
α−1
b
g(x)
g(x) x
x
b
dx +
ln
dx
+ ln
+ ln
ln
=
x
a
x
x
a
x
a
UG (t)
(4.1.38)
√
olarak yazabiliriz ve g(x) fonksiyonu ab’ ye göre geometrik simetrik olduğundan
her t ∈ [0, 1] için
LZ
G (t) "
ln
a
b
x
α−1
#
#
α−1 Zb "
x α−1 g(x)
α−1
b
x
g(x)
dx =
ln
dx
+ ln
+ ln
a
x
x
a
x
UG (t)
(4.1.39)
ifadesini elde ederiz. Böylece
√ α
α
α
α
[H Ja+ (f g) (b) + H Jb− (f g) (a)] − [H Ja+ g (b) + H Jb− g (a)] f ( ab)

Z1 LG (t) h

i

R
α−1
α−1

g(x)
b
x

ln x
+ ln a
dx ×
lnb − lna
x
a
≤
0
2Γ (α) 



[tf ′ (a) + (1 − t)f ′ (G)] LG (t)dt

Z1 LG (t) h
i

α−1
α−1 g(x) 

R
ln xb
+ + ln xa
dx × 
x
a
0




′
′
[tf (b) + (1 − t)f (G)] UG (t)dt
≤

Z1




lnb − lna
kgk∞

2Γ (α)



+
Z1
0
0
LR
G (t) h
a
b α−1
ln x
i
x α−1 1
+ ln a
x
dx ×
[tf ′ (a) + (1 − t)f ′ (G)] LG (t)dt
! 

i
LR
G (t) h

α−1
α−1 1


ln xb
+ ln xa
dx
×
x
a
[tf ′ (b) + (1 − t)f ′ (G)] UG (t)dt
51




!
(4.1.40)
eşitsizliği yazılabilir. Son eşitsizlikte integral içerisindeki integral ifadesini
LZG (t)"
b
ln
x
a
#
x α−1 1
dx
+ ln
a
x
α−1
α α 1+t
(ln b − ln a)α
1−t
1−
=
+
α
2
2
(4.1.41)
şeklinde elde ederiz. (4.1.40) eşitsizliğinde (4.1.41) eşitliğini kullanırsak (4.1.35)
eşitsizliğine ulaşırız ve böylece ispatı tamamlamış oluruz.
Sonuç 4.1.6
i. Eğer Sonuç 4.1.5’ deki (4.1.35) eşitsizliğinde, α = 1 alınırsa
b
Z
Zb
√
g(x) (ln b − ln a)2
f (x) g(x) dx − f
dx ≤
kgk∞ ×
ab
x
x
4
a
a
′
′
[K1 (1) |f (a)| + K2 (1) |f (G)| + K3 (1) |f ′ (b)|]
(4.1.42)
eşitsizliği elde edilir ve burada a, b > 0 için
K1 (1) =
Z1
0
K2 (1) =
Z1
0
K3 (1) =
Z1
0
t − t2 at G1−t dt,
(1 − t)2 at G1−t + bt G1−t dt,
t − t2 bt G1−t dt
katsayılarına ulaşırız.
ii. Eğer Sonuç 4.1.5’ deki (4.1.35) eşitsizliğinde, g(x) = 1 alınırsa
√ Γ(α + 1)
α
α
ab 2(ln b − ln a)α [H Ja+ f (b) + H Jb− f (a)] − f
(ln b − ln a)
[K1 (α) |f ′ (a)| + K2 (α) |f ′ (G)|
≤
4
+K3 (α) |f ′ (b)|]
eşitsizliği elde edilir.
52
(4.1.43)
iii. Eğer Sonuç 4.1.5’ deki (4.1.35) eşitsizliğinde g(x) = 1 ve α = 1 alınırsa
Zb
√
1
f
(x)
ab
dx
−
f
(ln b − ln a)
x
a
≤
(ln b − ln a)
[K1 (1) |f ′ (a)| + K2 (1) |f ′ (G)| + K3 (1) |f ′ (b)|]
4
(4.1.44)
eşitsizliği elde edilir.
Teorem 4.1.4 f : I ⊆ R+ −→ R fonksiyonu, I o ’ da diferansiyellenebilir a, b ∈
√
I o , a < b, ve g : [a, b] −→ [0, ∞) sürekli, pozitif ve x = ab’ ye göre geometrik
simetrik bir fonksiyon olsun. Eğer |f ′ |q , [a, b] aralığında geometrik-aritmetik kon-
veks bir fonksiyon ise bu takdirde
 b

b
Z
Z
√
f (a) + f (b)
1
′
′ ab ab
h(a) − h(b)f ( ab) +
f (x)h (x)dx + f (x)h ( ) 2 dx
2
2
x x
a
≤
dir.






ln b − ln a 

Z

4
1
0






1
R
0

Z

1
a
1− q1
|h(LG (t)) − h(UG (t)) + h(b)| dt
×
(|h(LG (t)) − h(UG (t)) + h(b)|) ×
q
q
′
q
′
q
 1q

(t (LG (t)) |f (a)| + (1 − t) (LG (t)) |f (G)| ) dt

1
1− 1q

R


×
+
|h(LG (t)) − h(UG (t)) + h(b)| dt



0
 1q
(4.1.45)

(|h(LG (t)) − h(UG (t)) + h(b)|) ×


 


(t (U (t))q |f ′ (b)|q + (1 − t) (U (t))q |f ′ (G)|q ) dt
0
G
G
İspat. Teorem 4.1.3’ ün ispatındaki (4.1.33) eşitsizliğinde |f ′ |q , q ≥ 1, fonksiyonunun geometrik aritmetik konveks fonksiyon olduğunu ve Sonuç 3.3.1 ifadesini
kullanırsak ispat tamamlanır.
Sonuç 4.1.7 g : [a, b] −→ [0, ∞) sürekli, pozitif,
√
ab’ e göre geometrik simetrik
bir fonksiyon ve kgk∞ = supx∈[a,b] |g(x)| olsun. Bu durumda Teorem 4.1.4 koşulları
53
altında h : [a, b] −→ [0, ∞) fonksiyonu, t ∈ [a, b] ve α > 0 için h(x) =
α−1 i g(t)
+ ln at
dt şeklinde tanımlanırsa , q ≥ 1 için
t
Rx h
a
ln bt
α−1
√ α
α
α
α
[H Ja+ (f g) (b) + H Jb− (f g) (a)] − [H Ja+ g (b) + H Jb− g (a)] f ( ab)
1− 1q
(ln b − ln a)α+1 kgk∞
4
22−α
≤
2−
+
4Γ (α + 1)
α+1 α+1
q
q
K1 (α, q) |f ′ (a)| + K2 (α, q) |f ′ (G)| + K3 (α, q) |f ′ (b)|
eşitsizliği elde edilir, burada katsayılar
Z1 K1 (α, q) =
K2 (α, q) =
0
1
Z
0
0
Z1
K3 (α, q) =
1−
1+t
2
α
1−
1+t
2
α
1−
1+t
2
α
1
q q
(4.1.46)
+
1−t
2
α t (LG (t))q dt
+
1−t
2
α (1 − t) ((LG (t))q + (UG (t))q ) dt
+
1−t
2
α t (UG (t))q dt
integralleriyle tanımlanır.
İspat.
Teorem 4.1.4’ deki (4.1.45) eşitsizliğinde, Sonuç 4.1.5’ deki (4.1.38),
(4.1.39) ve (4.1.41) eşitliği kullanılırsa,
√ α
α
α
α
[H Ja+ (f g) (b) + H Jb− (f g) (a)] − [H Ja+ g (b) + H Jb− g (a)] f ( ab)
(ln b − ln a)α+1 kgk∞
4Γ (α + 1)
1− 1q
1
R
α
α
×
+ 1−t
dt
1 − 1+t
2
2
0
 1
 1q
Z
1+t α
1−t α

1− 2
×
+ 2






q
q
q
q

′
′
[t (L (t)) |f (a)| + (1 − t) (L (t)) |f (G)| ] dt
≤







0
+ Z1

0
G
G
1
R
1−
0
1+t α
1−
2
+
1+t α
2
[t (UG (t))q |f ′ (b)|q + (1
1−t α
2
1− q1
×
dt
α + 1−t
×
2
− t) (UG (t))q
54
|f ′ (G)|q ] dt
 q1














1− q1
(ln b − ln a)α+1 kgk∞
2
21−α
≤
×
1−
+
4Γ (α + 1)
α+1 α+1
 
 1q
Z1
1−t α
1+t α
×
+ 2
1− 2
 


q
q
q
q
′
′

[t (LG (t)) |f (a)| + (1 − t) (LG (t)) |f (G)| ] dt

 0
 q1
α
α 1

Z
1−t
1+t

×
+ 2
1− 2
 +

q
q
q
q
′
′
[t
(U
(t))
|f
(b)|
+
(1
−
t)
(U
(t))
|f
(G)|
]
dt
G
G
0









(4.1.47)
olduğu görülür. Son eşitsizlikte a > 0, b > 0, r < 1, ar + br < 21−r (a + b)r ifadesi
altında
1− q1
(ln b − ln a)α+1 kgk∞
4
22−α
≤
×
2−
+
4Γ (α + 1)
α+1 α+1
 
α
1−t α
1 − 1+t
+
t (LG (t))q |f ′ (a)|q
2
2
 
 
 
1 


Z 
q
  (L
(t))
G
  + 1 − 1+t α + 1−t α (1 − t) 
 |f ′ (G)|q
2
2
 
q
 
+ (UG (t))
0 
 
 
 
α
1−t α
+ 1 − 1+t
t (UG (t))q |f ′ (b)|q
+
2
2

 q1
 
 
 
 
 
 
 dt
 
 
 
 
 
 
(4.1.48)
eşitsizliğini elde ederiz ve böylece ispat tamamlanmış olur.
1
Sonuç 4.1.8 Sonuç 4.1.7’ de α = 1 ve g(x) = ln b−ln
alınırsa,
a
Zb
√
(ln b − ln a)
f
(x)
1
dx − f
×
ab ≤
ln b − ln a
x
4
a
q
q
K1 (1, q) |f ′ (a)| + K2 (1, q) |f ′ (G)| + K3 (1, q) |f ′ (b)|
eşitsizliği elde edilir.
4.2
1
q q
(4.1.49)
Harmonik-Aritmetik Fonksiyonlar için Hermite-Hadamard-Fejér Tipli Kesirli İntegral Eşitsizlikleri
Bu bölümde harmonik konveks fonksiyonlar için yeni Hermite-Hadamard-Fejér
tipli kesirli integral eşitsizlikleri elde edildi. Öncelikle sol tarafı için bir lemma ve
55
bu lemmadan yararlanarak teorem ve sonuçlar verildi. Bu bölümde a, b ∈ R+ ,
2ab
,
a+b
t ∈ [0, 1] için H := H(a, b) =
LH (t) =
aH
tH+(1−t)a
ve UH (t) =
bH
tH+(1−t)b
notasyonları kullanılacaktır.
Lemma 4.2.1 I ⊆ R \ {0} bir reel sayı aralığı olsun. f : I −→ R fonksiyonu, I o
da diferansiyellenebilir bir fonksiyon ve a, b ∈ I o , a < b olsun. h : [a, b] −→ [0, ∞)
diferansiyellenebilir fonksiyon ve f ′ ∈ L ([a, b]) olmak üzere
f (a) + f (b)
h(a) − f (H)h(b)
2
 1
 R ′
h (LH (t)) (LH (t))2 + h′ (UH (t)) (UH (t))2 ×
b−a
+
0
4ab 

[f (LH (t)) + f (UH (t))] dt

R1


[h(LH (t)) − h(UH (t)) + h(b)] ×
b−a
=
0
4ab 
 −f ′ (L (t)) (L (t))2 + f ′ (U (t)) (U (t))2 dt
H
H
H
H
eşitliği sağlanır.








(4.2.1)


İspat. Eşitliğin sol tarafındaki integralleri iki parça halinde ispatlayacağız. İlk
integralde kısmi integrasyon yöntemini kullandığımızda
I1 =
Z1
[h(LH (t)) − h(UH (t)) + h(b)] d (f (LH (t)))
0
= [h(LH (t)) − h(UH (t)) + h(b)] f (LH (t))|10
Z1
−
f (LH (t)) [h′ (LH (t))L′ (t) − h′ (UH (t))U ′ (t)] dt
0
= h(a)f (a) − h(b)f (H) −
Z1
0
f (LH (t)) [h′ (LH (t))L′ (t) − h′ (UH (t))U ′ (t)] dt
elde ederiz. İkinci integral için de kısmi integrasyon uyguladığımızda
I2 =
Z1
0
[h(LH (t)) − h(UH (t)) + h(b)] d (f (UH (t)))
= [h(LH (t)) − h(UH (t)) + h(b)] f (UH (t))|10
Z1
f (UH (t)) [h′ (LH (t))L′ (t) − h′ (UH (t))U ′ (t)] dt
−
0
56
= h(a)f (b) − h(b)f (H) −
Z1
f (UH (t)) [h′ (LH (t))L′ (t) − h′ (UH (t))U ′ (t)] dt
0
elde ederiz. Elde edilen I1 ve I2 integrallerini taraf tarafa toplayıp ikiye böldüğümüzde
f (a) + f (b)
h(a) − h(b)f (H)
2
 1
 R ′
h (LH (t)) (LH (t))2 + h′ (UH (t)) (UH (t))2 ×
b−a
+
0
4ab 

[f (LH (t)) + f (UH (t))] dt
I1 + I2
=
2
olduğu görülür ve böylece ispat tamamlanır.



(4.2.2)


Teorem 4.2.1 I ⊆ R \ {0} bir reel sayı aralığı olsun. f : I −→ R fonksiyonu, I o ’
da diferansiyellenebilir bir fonksiyon, h : [a, b] −→ [0, ∞) diferansiyellenebilir bir
fonksiyon ve a, b ∈ I o , a < b olsun . Eğer |f ′ |, [a, b] aralığında harmonik konveks
bir fonksiyon ise bu takdirde
f (a) + f (b)
2ab
h(a) − h(b)f (
)
2
a+b
 b

2
Z
Zb
Hx
H
1
′
′
f (x)h (x)dx + f (x)h (
)
dx
+
2
2x − H
2x − H
a
a
b−a
[ζ1 (a, b) |f ′ (a)| + ζ2 (a, b) |f ′ (H)| + ζ3 (a, b) |f ′ (b)|]
4ab
eşitsizliği gerçekleşir. Burada katsayılar
≤
ζ1 (a, b) =
Z1
ζ2 (a, b) =
Z1
t (LH (t))2 |h(LH (t)) − h(UH (t)) + h(b)| dt
(4.2.3)
(4.2.4)
0
0
ζ3 (a, b) =
Z1
(1 − t) |h(LH (t)) − h(UH (t)) + h(b)| ×
(LH (t))2 + (UH (t))2 dt
t (UH (t))2 |h(LH (t)) − h(UH (t)) + h(b)| dt
(4.2.5)
(4.2.6)
0
integralleriyle ifade edelir.
İspat. Lemma 4.2.1 deki (4.2.1) eşitliğinin her iki tarafının mutlak değeri alınırsa
f (a) + f (b)
2ab
h(a) − h(b)f (
)
2
a+b
57
 b

2
Z
Zb
1
Hx
H
′
′
+
f (x)h (x)dx + f (x)h (
)
dx
2
2x − H
2x − H
a
≤
a
 1
Z
b−a
4ab 
+
Z1
0
0
|h(LH (t)) − h(UH (t)) + h(b)| f ′ (LH (t)) (LH (t))2 dt


′
|h(LH (t)) − h(UH (t)) + h(b)| f (UH (t)) (UH (t))2 dt

(4.2.7)
elde edilir. (4.2.7) eşitsizliğinden |f ′ | fonksiyonunun harmonik konveks bir fonksiyon
olduğu kullanılarak
f (a) + f (b)
2ab
h(a) − h(b)f (
)
2
a+b
 b

2
Z
Zb
Hx
H
1
′
′
f (x)h (x)dx + f (x)h (
)
dx
+
2
2x − H
2x − H
a
≤
a


b−a
R1
0
|h(LH (t)) − h(UH (t)) + h(b)| ×
4ab 
 [t |f ′ (a)| + (1 − t) |f ′ (H)|] (L (t))2 dt
H


+ |h(LH (t)) − h(UH (t)) + h(b)| × 
R1
0
′
′
(4.2.8)
2

[t |f (b)| + (1 − t) |f (H)|] (UH (t)) dt 
eşitsizliğinin sağlandığı görülür. (4.2.8) eşitsizliğinde integral içerisindeki mutlak
değer ifadesini paranteze dağıttımızda ispat tamamlanmış olur.
Sonuç 4.2.1 g : [a, b] −→ [0, ∞) sürekli, pozitif, x =
2ab
’
a+b
e göre harmonik
simetrik bir fonksiyon ve kgk∞ = supx∈[a,b] |g(x)| olsun. Bu durumda Teorem 4.2.1
h
1/a
R
α−1 i
1 α−1
1
’de α > 0 için h(t) =
((ψg) ◦ ϕ) (x)dx, ψ(x) = x − b
,
+ a −x
1/t
ϕ(x) = x1 , x ∈ [ 1b , a1 ] şeklinde alınırsa
h
i
α
α
R J1/b
+ (f g ◦ ϕ) (1/a) + R J1/a− (f g ◦ ϕ) (1/b)
−f
≤
2ab
a+b
h
α
R J1/b+
(g ◦ ϕ) (1/a) +
α
R J1/a−
i
(g ◦ ϕ) (1/b) (b − a)α+1 kgk∞
[F1 (α) |f ′ (a)| + F2 (α) |f ′ (H)| + F3 (α) |f ′ (b)|]
2(ab)α+1 Γ (α + 1)
58
(4.2.9)
eşitsizliği sağlanır ve burada katsayılar
Z1 1+t α
1−t α
F1 (α) =
1−(
) +(
) t (LH (t))2 dt
2
2
0
Z1 F2 (α) =
0
Z1 F3 (α) =
0
1+t α
1−t α
1−(
) +(
) (1 − t) (LH (t))2 + (UH (t))2 dt
2
2
1−t α
1+t α
) +(
) t (UH (t))2 dt
1−(
2
2
integralleriyle elde edelir.
İspat. Teorem 4.2.1’ in ispatındaki (4.2.8) eşitsizliğinde t ∈ [a, b], ϕ(x) =
1
,
x
x ∈ [ 1b , a1 ] olmak üzere
Z1/a
((ψg) ◦ ϕ) (x)dx,
h(t) =
1/t
"
α−1 α−1 #
1
1
ψ(x) =
x−
−x
+
b
a
aldığımızda
 b"
α−1 #
α−1 Z 1
1
f (x)g(x)
1

−x
dx
+ x−
2
a
b
x2
a
+
Zb "
a
−f (
2ab
)
a+b

α−1 #
α−1 Hx
f
(x)g(
)
1
1
2x−H
−x
dx
+ x−
2
a
b
x
Zb "
a
α−1 #
α−1 1
g(x) 1
−x
dx
+ x−
a
b
x2
(4.2.10)
2ab
’ ye göre harmonik simetrik olduğundan,
elde ederiz. Hipoteze göre g(x) fonksiyonu a+b
b"
Z α−1 #
α−1 1
1
f (x)g(x)
−x
dx
+ x−
a
b
x2
a
α−1 #
α−1 Zb "
2ab
1
g(x) 1
−f (
)
−x
dx
+ x−
a+b
a
b
x2
a
h
i α
α
Γ(α)
J
(f
g
◦
ϕ)
(1/a)
+
J
(f
g
◦
ϕ)
(1/b)
R 1/b+
R 1/a−
(4.2.11)
h
i
= 2ab
α
α
−Γ(α) R J1/b+ g ◦ ϕ(1/a) + R J1/a− g ◦ ϕ(1/b) f a+b 59
ifadesine ulaşıldı. Diğer taraftan (4.2.8) eşitsizliğinin sağ tarafına h(t) fonksiyonunu uygulanırsa

1/a
α−1
i
R h 1

1 α−1

−x
+ x− b
(g ◦ ϕ) (x)dx 

a

1/LH (t)



Z1 
h
i
1/a

R
α−1

1
1 α−1

−
−
x
+
x
−
(g
◦
ϕ)
(x)dx
b−a
a
b
≤
1/UH (t)
0
4ab 
h
i
1/a

R

α−1

1
1 α−1

+
−
x
+
x
−
(g
◦
ϕ)
(x)dx

a
b


1/b




× [tf ′ (a) + (1 − t)f ′ (H)] (LH (t))2 dt

i
1/a

R h 1
α−1
α−1
1

−
x
+
x
−
(g
◦
ϕ)
(x)dx


a
b


1/LH (t)

1

Z

i
1/a

R h 1
α−1
α−1

1

−
x
+
x
−
(g
◦
ϕ)
(x)dx
+ −
a
b
(4.2.12)
1/UH (t)
0 
i
h
1/a

α−1
R

1 α−1
1
+


(g
◦
ϕ)
(x)dx
−
x
+
x
−
a
b



1/b




2
′
′
× [tf (b) + (1 − t)f (H)] (UH (t)) dt
ve son eşitsizlikte tekrar g(x) fonksiyonunun
2ab
’
a+b
ye göre harmonik simetrik
olduğu kullanılırsa
α
[R J + (f g) (b) + R J α− (f g) (a)] − [R J α+ g (b) + R J α− g (a)] f ( 2ab )
b
a
b
a
a+b 
Z1 1/a h

i

R
α−1
α−1

1
1

(g
◦
ϕ)
(x)dx
−
x
+
x
−
b−a
a
b
1/LH (t)
≤
0
2abΓ (α) 



× [tf ′ (a) + (1 − t)f ′ (H)] (LH (t))2 dt

Z1 1/a h

i
α−1

R

1
1 α−1
+ (g
◦
ϕ)
(x)dx
−
x
+
x
−

a
b
1/LH (t)
0



2

′
′
× [tf (b) + (1 − t)f (H)] (UH (t)) dt

!
Z1

i
1/a

α−1
R h 1
α−1

−x
+ x − 1b
dx ×
(b − a) kgk∞ 
a
≤
1/LH (t)
0
2abΓ (α) 



[tf ′ (a) + (1 − t)f ′ (H)] (LH (t))2 dt
! 
Z1

h
i
1/a

α−1
R

1
1 α−1

+
dx
×
−
x
+
x
−
a
b
(4.2.13)
1/LH (t)
0




[tf ′ (b) + (1 − t)f ′ (H)] (UH (t))2 dt
60
elde edilir. Eşitsizlikteki integral ifadesi
1/a
α−1 #
α α α−1 Z "
1
(b − a)α
1+t
1−t
1
dx =
−x
1−
+
+ x−
a
b
α(ab)α
2
2
1/LH (t)
(4.2.14)
şeklindedir.
(4.2.13) ve (4.2.14) ifadelerinden (4.2.9) eşitsizliği elde edilir ve
böylece ispatı tamamlamış oluruz.
Sonuç 4.2.2
i. Eğer Sonuç 4.2.1’ deki (4.2.9) eşitsizliğinde, α = 1 alınırsa bu
takdirde
b
Z
Zb
g(x) (b − a)2
f (x) g(x) dx − f 2ab
×
dx ≤
x2
a+b
x2
2 (ab)2
a
a
kgk∞ [F1 (1) |f ′ (a)| + F2 (1) |f ′ (H)| + F3 (1) |f ′ (b)|]
(4.2.15)
eşitsizliği elde edilir, burada her a, b > 0 için
Z1
F1 (1) =
t (1 − t) (LH (t))2 dt,
0
Z1
F2 (1) =
0
Z1
F3 (1) =
0
(1 − t)2 (LH (t))2 + (UH (t))2 dt,
t (1 − t) (UH (t))2 dt
dir.
ii. Eğer Sonuç 4.2.1’ deki (4.2.9) eşitsizliğinde, g(x) = 1 alınırsa bu takdirde
i
(ab)α Γ(α + 1) h α
2ab α
R J1/b+ (f ◦ ϕ) (1/a) + R J1/a− (f ◦ ϕ) (1/b) − f
2 (b − a)α
a+b ≤
(b − a)
[F1 (α) |f ′ (a)| + F2 (α) |f ′ (H)| + F3 (α) |f ′ (b)|]
4ab
(4.2.16)
eşitsizliği elde edilir.
iii. Eğer Sonuç 4.2.1’ deki (4.2.9) eşitsizliğinde, α = 1 ve g(x) = 1 alınırsa bu
takdirde
Zb
ab
f (x)
2ab (b − a)
≤
dx
−
f
×
b − a
x
a + b 4ab
a
[F1 (1) |f ′ (a)| + F2 (1) |f ′ (H)| + F3 (1) |f ′ (b)|]
61
(4.2.17)
eşitsizliği elde edilir.
Teorem 4.2.2 I ⊆ R \ {0} bir reel sayı aralığı olsun. f : I −→ R fonksiyonu I o
’da diferansiyellenebilir ve h : [a, b] −→ [0, ∞) diferansiyellenebilir bir fonksiyon
ve a, b ∈ I o , a < b olsun. Eğer |f ′ |q , [a, b] aralığında harmonik konveks bir
fonksiyon ise bu takdirde
f (a) + f (b)
2ab
h(a) − h(b)f
2
a+b
 b

b
2
Z
Z
1
Hx
H
′
′

f (x)h (x)dx + f (x)h (
+
)
dx 2
2x − H
2x − H
a
a

1
1− 1q

R


×
|h(LH (t)) − h(UH (t)) + h(b)| dt



0
(b − a)
 1
 1q
≤
Z
4ab 
(|h(LH (t)) − h(UH (t)) + h(b)|) ×






2q
q
2q
q

′
′
t (LH (t)) |f (a)| + (1 − t) (LH (t)) |f (H)| dt
0

1
1− q1

R


+
|h(LH (t)) − h(UH (t)) + h(b)| dt
×



0
 1
 q1
(4.2.18)
Z

(|h(LH (t)) − h(UH (t)) + h(b)|) ×


 



2q
q
2q
q
′
′
dt
t
(U
(t))
|f
(b)|
+
(1
−
t)
(U
(t))
|f
(H)|
H
H
0
eşitsizliği sağlanır.
İspat. Teorem 4.2.1’ in ispatındaki (4.2.7) eşitsizliğinde |f ′ |q fonksiyonunun har-
monik konveks bir fonksiyon olduğunu ve Sonuç 3.3.1’ i kullanırsak ispat tamamlanır.
Sonuç 4.2.3 g : [a, b] −→ [0, ∞) sürekli, pozitif, x =
2ab
’
a+b
e göre harmonik
simetrik bir fonksiyon ve kgk∞ = supx∈[a,b] |g(x)| olsun. Bu durumda Teorem
1/a
α−1 i
R h
1 α−1
1
x− b
4.2.2’ nin koşulları altında α > 0 için h(t) =
g◦
+ a −x
1/t
ϕ(x)dx, x ∈ [ 1b , a1 ], ϕ(x) = x1 , alınırsa bu takdirde
h
i
α
α
R J1/b
+ (f g ◦ ϕ) (1/a) + R J1/a− (f g ◦ ϕ) (1/b)
62
−f
2ab
a+b
h
α
R J1/b+
(g ◦ ϕ) (1/a) +
α
R J1/a−
i
(g ◦ ϕ) (1/b) 1− 1q
(b − a)α+1 kgk∞
4
22−α
2−
+
≤
×
2(ab)α+1 Γ (α + 1)
α+1 α+1
1
q
q
q
F1 (α, q) |f ′ (a)| + F2 (α, q) |f ′ (H)| + F3 (α, q) |f ′ (b)| q
(4.2.19)
eşitsizliği elde edilir, burada katsayılar q ≥ 1 için
α α Z1 1+t
1−t
F1 (α, q) =
1−
t (LH (t))2q dt
+
2
2
0
α α Z1 1−t
1+t
(1 − t) (LH (t))2q + (UH (t))2q dt
+
F2 (α, q) =
1−
2
2
0
α α Z1 1+t
1−t
F3 (α, q) =
1−
t (UH (t))2q dt
+
2
2
0
şeklindedir.
İspat. (4.2.18) eşitsizliği ve (4.2.14) eşitliğinden yararlanırsak
h
i
α
α
(f
g
◦
ϕ)
(1/b)
(f
g
◦
ϕ)
(1/a)
+
J
J
R 1/b+
R 1/a−
h
i
2ab
α
α
−f
R J1/b+ (g ◦ ϕ) (1/a) + R J1/a− (g ◦ ϕ) (1/b) a+b
(b − a)α+1 kgk∞
≤
2(ab)α+1 Γ (α + 1)

1− q1
1

α
α R

1−t
1+t

×
+ 2
dt
1− 2



0
 1
 1q
Z
1+t α
1−t α

1
−
×
+

2
2





2q
q
2q
q

′
′
t (LH (t)) |f (a)| + (1 − t) (LH (t)) |f (H)| dt
0
+
1
R
0
 1
Z

0
1−
1−
1+t α
2
+
1+t α
2
t (UH (t))2q |f ′ (b)|q + (1
1−t α
2
1− q1
×
dt
α ×
+ 1−t
2
− t) (UH (t))2q
|f ′ (H)|q dt
1− 1q
(b − a)α+1 kgk∞
2
21−α
≤
1−
×
+
2(ab)α+1 Γ (α + 1)
α+1 α+1
63
 1q














 
Z1
 
0
 1
Z

+
0
2q
1−
′
q
1+t α
2
t (LH (t)) |f (a)| + (1
1−
1+t α
2
α + 1−t
×
2
− t) (LH (t))2q
+
1−t α
2
′
q
|f (H)| dt
×
t (UH (t))2q |f ′ (b)|q + (1 − t) (UH (t))2q |f ′ (H)|q dt
 q1

 q1 
 
(4.2.20)
eşitsizliğini elde ederiz. Bu durumda a > 0, b > 0, r < 1, ar + br < 21−r (a + b)r
ifadesinden yararlanarak
1− 1q
(b − a)α+1 kgk∞
4
22−α
≤
×
2−
+
2(ab)α+1 Γ (α + 1)
α+1 α+1

Z1





0








1+t α
2
1−t α
t (LH (t))2q
2

|f ′ (a)|q

2q
α
α (LH (t))
 |f ′ (H)|q
+ 1−t
(1 − t) 
+ 1 − 1+t
2
2
2q
+ (UH (t))
α
α
+ 1 − 1+t
+ 1−t
t (UH (t))2q |f ′ (b)|q
2
2
1−
+
elde edilir ve böylece ispat tamamlanmış olur.
Sonuç 4.2.4 Eğer Sonuç 4.2.3’ de α = 1 ve g(x) =
1
ln b−ln a

 q1
 
 
 
 dt (4.2.21)
 
 
 
alınırsa,
Zb
ab
f (x)
2ab (b − a)
≤
dx
−
f
×
b − a
x2
a + b 4ab
a
1
q
q
q
F1 (1, q) |f ′ (a)| + F2 (1, q) |f ′ (H)| + F3 (1, q) |f ′ (b)| q
(4.2.22)
eşitsizliği elde edilir.
Şimdi de Hermite-Hadamard-Fejér tipli kesirli integral eşitsizliğinin harmonik
konveks fonksiyonlar için bir üst sınır belirleyeceğiz.
Lemma 4.2.2 I ⊆ R \ {0} bir reel sayı aralığı olsun. f : I −→ R fonksiyonu I o
’da diferansiyellenebilir bir fonksiyon ve a, b ∈ I o , a < b ve h : [a, b] −→ [0, ∞)
diferansiyellenebilir bir fonksiyon olsun. Bu durumda f ′ ∈ L [a, b] olmak üzere
64
Zb
f (a)
f (b)
[h(b) − 2h(a)]
+ h(b)
− f (x)h′ (x)dx
2
2
a
 1
Z
b−a
[2h (LH (t)) − h(b)] f ′ (LH (t)) (LH (t))2 dt
=
4ab 
0

Z1

+
[2h (UH (t)) − h(b)] f ′ (UH (t)) (UH (t))2 dt

(4.2.23)
0
eşitliği gerçeklenir.
İspat. Eşitliğin sol tarafındaki integralleri iki parça halinde ispatlayacağız. İlk
integrali kısmi integrasyon ve x =
aH
,
tH+(1−t)a
dx =
−aH(H−a)dt
(tH+(1−t)a)2
değişken değişimini
uygulayıp
I1 =
Z1
0
[2h (LH (t)) − h(b)] f ′ (LH (t)) L2H (t)dt
aH [2h (LH (t)) − h(b)] f (LH (t))|10
a−H

Z1

−aH(H − a)
−
f (LH (t)) 2h′ (LH (t))
dt
(tH + (1 − t)a)2 
=
0
H −a
aH
I1 = [h(b) − 2h(a)] f (a) + [2h(H) − h(b)] f (H) − 2
ve ikinci integral için de kısmi integrasyon ve x =
bH
,
tH+(1−t)b
ZH
f (x)h′ (x)dx
a
dx =
değişken değişimini uyguladığımızda
I2 =
Z1
[2h (UH (t)) − h(b)] f ′ (UH (t)) UH2 (t)dt
0
bH [2h (UH (t)) − h(b)] f (UH (t))|10
b−H

Z1

−bH(H − b)
dt
−
f (UH (t)) 2h′ (UH (t))
(tH + (1 − t)b)2 
=
0
b−H
bH
I2 = h(b)f (b) − [2h(H) − h(b)] f (H) − 2
Zb
H
65
f (x)h′ (x)dx
−bH(H−b)dt
(tH+(1−t)b)2
yazılabilir. Son olarak
H−a
aH
müzde
I1 ve
b−H
bH
I2 taraf tarafa toplayıp ikiye böldüğü-
b−a
f (a)
f (b)
[I1 + I2 ] = [h(b) − 2h(a)]
+ h(b)
−
4ab
2
2
Zb
f (x)h′ (x)dx
a
olduğu görülür ve böylece ispat tamamlanır.
Teorem 4.2.3 I ⊆ R \ {0} bir reel sayı aralığı olsun. f : I −→ R fonksi-
yonu I o ’ da diferansiyellenebilir bir fonksiyon, a, b ∈ I o , a < b olmak üzere
h : [a, b] −→ [0, ∞) diferansiyellenebilir bir fonksiyon olsun. Eğer |f ′ |, [a, b]
aralığında harmonik konveks bir fonksiyon ise bu takdirde
Zb
f
(b)
f
(a)
′
[h(b) − 2h(a)]
+
h(b)
−
f
(x)h
(x)dx
2
2
a
b−a
≤
[ζ1 (a, b) |f ′ (a)| + ζ2 (a, b) |f ′ (H)| + ζ3 (a, b) |f ′ (b)|]
4ab
(4.2.24)
eşitsizliği gerçeklenir, burada katsayılar
Z1
|2h (LH (t)) − h(b)| (1 − t) (LH (t))2 dt
Z1
t (LH (t))2 |2h (LH (t)) − h(b)| dt
+
Z1
t((UH (t))2 |2h (UH (t)) − h(b)| dt
(4.2.26)
ζ3 (a, b) =
Z1
|2h (UH (t)) − h(b)| (1 − t) (UH (t))2 dt
(4.2.27)
ζ1 (a, b) =
(4.2.25)
0
ζ2 (a, b) =
0
0
0
integralleriyle verilir.
66
İspat.
Lemma 4.2.2’ deki (4.2.23) eşitliğinin her iki tarafının mutlak değeri
alınırsa
Zb
[h(b) − 2h(a)] f (a) + h(b) f (b) − f (x)h′ (x)dx 2
2
a
 1
Z
b−a
|2h (LH (t)) − h(b)| f ′ (LH (t)) (LH (t))2 dt
≤
4ab 
0

1
Z

′
2
+ |2h (UH (t)) − h(b)| f (UH (t)) (UH (t)) dt

(4.2.28)
0
eşitsizliği elde edilir. (4.2.28) eşitsizliğinde |f ′ | fonksiyonunun harmonik konveks
bir fonksiyon olduğu gözönüne alındığında
Zb
f
(a)
f
(b)
′
[h(b) − 2h(a)]
+ h(b)
− f (x)h (x)dx 2
2
a
 1
Z
b−a
≤
|2h (LH (t)) − h(b)| {t |f ′ (H)| + (1 − t) |f ′ (a)|} (LH (t))2 dt
4ab 
0

Z1

+ |2h (UH (t)) − h(b)| {t |f ′ (H)| + (1 − t) |f ′ (b)|} (UH (t))2 dt
(4.2.29)

0
elde edilir ve ispat tamamlanır.
Sonuç 4.2.5 g : [a, b] −→ [0, ∞) sürekli, pozitif, x =
2ab
’
a+b
e göre harmonik
simetrik bir fonksiyon ve kgk∞ = supx∈[a,b] |g(x)| olsun. Bu durumda Teorem
1/a
R
4.2.3’ de α > 0, x ∈ [ 1b , a1 ] olmak üzere h(t) =
((ψg) ◦ ϕ) (x)dx, ψ(x) =
1/t
h
α−1
α−1 i
, ϕ(x) = x1 , alınırsa
+ a1 − x
x − 1b
i
f (a) + f (b) h α
α
R J1/b+ g ◦ ϕ(1/a) + R J1/a− g ◦ ϕ(1/b)
2
i
h
α
α
− R J1/b
+ (f g ◦ ϕ) (1/a) + R J1/a− (f g ◦ ϕ) (1/b) ≤
(b − a)α+1 kgk∞
[T1 (α) |f ′ (a)| + T2 (α) |f ′ (H)| + T3 (α) |f ′ (b)|] (4.2.30)
2α+1 (ab)α+1 Γ (α + 1)
67
eşitsizliği elde edilir ve burada katsayılar
T1 (α) =
Z1
(1 − t) [(1 + t)α − (1 − t)α ] (LH (t))2 dt
0
T2 (α) =
Z1
T3 (α) =
Z1
0
t [(1 + t)α − (1 − t)α ] (LH (t))2 + (UH (t))2 dt
(1 − t) [(1 + t)α − (1 − t)α ] (LH (t))2 dt
0
integralleriyle verilir. Özel olarak (4.2.30) eşitsizliği ve Lemma 3.3.1’ den yararlanırsak, 0 < α ≤ 1 için
i
f (a) + f (b) h α
α
R J1/b+ g ◦ ϕ(1/a) + R J1/a− g ◦ ϕ(1/b)
2
i
h
(b − a)α+1 kgk∞
α
α
×
(f
g
◦
ϕ)
(1/b)
(f
g
◦
ϕ)
(1/a)
+
J
− R J1/b
≤
+
R 1/a−
2(ab)α+1 Γ (α + 1)
[D1 (α) |f ′ (a)| + D2 (α) |f ′ (H)| + D3 (α) |f ′ (b)|]
(4.2.31)
eşitsizliği elde edilir. Burada ise katsayılar
D1 (α) =
Z1
D2 (α) =
Z1
D3 (α) =
Z1
(1 − t)tα (LH (t))2 dt
0
0
tα+1 (LH (t))2 + (UH (t))2 dt
(1 − t)tα (UH (t))2 dt
0
şeklindedir.
İspat. Teorem 4.2.3’ ün ispatında verilen (4.2.29) eşitsizliğinde t ∈ [a, b], x ∈
1 1
, olmak üzere
b a
Z1/a
((ψg) ◦ ϕ) (x)dx,
h(t) =
1/t
ψ(x) =
"
1
x−
b
68
α−1
+
α−1 #
1
−x
,
a
ϕ(x) =
1
x
olduğu gözönüne alınırsa eşitsizliğin sol tarafı
h
i
f (a)+f (b)
α
α
J
g
◦
ϕ(1/a)
+
J
g
◦
ϕ(1/b)
Γ(α)
+
−
R
R
1/b
1/a
2
h
i
α
α
−Γ(α) R J1/b
+ (f g ◦ ϕ) (1/a) + R J1/a− (f g ◦ ϕ) (1/b)
olarak elde edilir. Diğer taraftan (4.2.29) eşitsizliğinin sağ tarafı için h(t) fonksiy-
onunu uygularsak

1/a

α−1 i
R h

1 α−1
1

1
x− b
g ◦ ϕ(x)dx
+ a −x

Z 2

1/LH (t)



b−a
i
1/a h
≤
− R x − 1 α−1 + 1 − xα−1 g ◦ ϕ(x)dx
0
4ab 
b
a


1/b





[t |f ′ (H)| + (1 − t) |f ′ (a)|] (LH (t))2 dt


i
1/a
R h
α−1
α−1

x − 1b
g ◦ ϕ(x)dx 
+ a1 − x

Z1 2

1/UH (t)

× 

+ i
h
1/a
− R x − 1 α−1 + 1 − xα−1 g ◦ ϕ(x)dx 0 
b
a


1/b




′
′
2

[t |f (H)| + (1 − t) |f (b)|] (U (t)) dt
×
(4.2.32)
H
olduğu görülür. g(x) fonksiyonu hipoteze göre
2ab
’
a+b
ye göre simetrik olduğundan,
t ∈ [0, 1] için
ve
Z1/a "
α−1 α−1 #
1
1
−x
+
g ◦ ϕ(x)dx
x−
2
b
a
1/LH (t)
α−1 α−1 #
Z1/a"
1
1
x−
−
−x
(g ◦ ϕ) (x)dx
+
b
a
1/b
1/L
"
α−1 α−1 #
Z H (t) 1
1
−x
(g ◦ ϕ) (x)dx
+
x−
= b
a
1/UH (t)
Z1/a "
α−1 α−1 #
1
1
x−
−x
g ◦ ϕ(x)dx
+
2
b
a
1/UH (t)
69
(4.2.33)
α−1 α−1 #
Z1/a"
1
1
−
x−
−x
(g ◦ ϕ) (x)dx
+
b
a
1/b
1/L
#
H (t)"
Z
α−1
α−1
1
1
+
−x
(g ◦ ϕ) (x)dx
x−
= b
a
1/UH (t)
(4.2.34)
ifadeleri yazılır. (4.2.32)’ de (4.2.33) ve (4.2.34) ifadeleri yerlerine yazılırsa
i
f (a) + f (b) h α
α
R J1/b+ g ◦ ϕ(1/a) + R J1/a− g ◦ ϕ(1/b)
2
i
h
α
α
− R J1/b
+ (f g ◦ ϕ) (1/a) + R J1/a− (f g ◦ ϕ) (1/b) 
#
Z1 " 1/LH (t)


R
α−1
α−1

1
1

+
−
x
g
◦
ϕ(x)dx
x
−
×
b−a
b
a
1/UH (t)
≤
0
4abΓ (α) 



[t |f ′ (H)| + (1 − t) |f ′ (a)|] (LH (t))2 dt

Z1 1/LH (t) h

i
α−1
α−1

R

x − 1b
+ g ◦ ϕ(x)dx × 
+ a1 − x
1/UH (t)
0




′
′
2
[t |f (H)| + (1 − t) |f (b)|] (UH (t)) dt
 1"
#
Z 1/LH (t) 

R
α−1
α−1 
+ a1 − x
dx ×
x − 1b
(b − a) kgk∞ 
≤
1/UH (t)
0
4abΓ (α) 



[t |f ′ (H)| + (1 − t) |f ′ (a)|] (LH (t))2 dt
# 
Z1 " 1/LH (t) 

R α−1 
1 α−1
1
+
+ −x
x−
dx × 
0
b
1/UH (t)
a
[t |f ′ (H)| + (1 − t) |f ′ (b)|] (UH (t))2 dt
(4.2.35)




eşitsizliği elde edilir. Son eşitsizlikte integral içindeki ifade
1/L
Z H (t)
1/UH (t)
=
α−1 α−1 1
1
−x
+
x−
dx
b
a
1/L
Z H (t)
1
x−
b
1/UH (t)
=
2
1−α
α
b−a
ab
α−1
α
dx +
1/L
Z H (t)
1/UH (t)
α−1
1
−x
dx
a
{(1 + t)α − (1 − t)α }
70
(4.2.36)
şeklinde yazılabilir. Özel olarak Lemma 3.3.1’ den
1/L
α−1 α−1 Z H (t)
1
1
−x
+
x−
dx
b
a
1/UH (t)
=
1/L
Z H (t)
1
x−
b
1/UH (t)
≤
2
α
b−a
ab
α
α−1
dx +
1/L
Z H (t)
1/UH (t)
α−1
1
−x
dx
a
tα
olduğu görülür. (4.2.35) eşitsizliğinde (4.2.36) ifadesi kullanıldığında (4.2.30) ve
(4.2.31) eşitsizlikleri elde edilir. Böylece ispat tamamlanmış olur.
Sonuç 4.2.6
i. Eğer Sonuç 4.2.5’ deki (4.2.31) eşitsizliğinde, α = 1 alınırsa
her a, b > 0 için
Zb
Zb
f (a) + f (b)
g(x)
g(x)
dx
−
f
(x)
dx
2
2
2
x
x
a
≤
a
(b − a)2
kgk∞ [D1 (1) |f ′ (a)| + D2 (1) |f ′ (H)| + D3 (1) |f ′ (b)|] (4.2.37)
4(ab)2
eşitsizliği elde edilir, burada katsayılar
D1 (1) =
Z1
D2 (1) =
Z1
D3 (1) =
Z1
0
0
0
(1 − t)t(LH (t))2 dt
t2 (LH (t))2 + (UH (t))2 dt
(1 − t)t(UH (t))2 dt
şeklindedir.
ii. Eğer Sonuç 4.2.5’ deki (4.2.30) eşitsizliğinde, g(x) = 1 alınırsa
α
i
h
f (a) + f (b)
(ab)
Γ(α
+
1)
α
α
−
R J1/b+ (f ◦ ϕ) (1/a) + R J1/a− (f ◦ ϕ) (1/b) 2
2(b − a)α
(b − a)
[T1 (α) |f ′ (a)| + T2 (α) |f ′ (H)| + T3 (α) |f ′ (b)|]
α+2
2 ab
eşitsizliği elde edilir.
≤
71
(4.2.38)
iii. Eğer Sonuç 4.2.5’ deki (4.2.31) eşitsizliğinde, α = 1 ve g(x) = 1 alınırsa bu
takdirde
Zb
f (a) + f (b)
f (x) ab
−
dx
2
(b − a)
x2
a
≤
(b − a)
[D1 (1) |f ′ (a)| + D2 (1) |f ′ (H)| + D3 (1) |f ′ (b)|]
4(ab)
(4.2.39)
eşitsizliği elde edilir.
Teorem 4.2.4 I ⊆ R \ {0} bir reel sayı aralığı olsun. f : I −→ R fonksiyonu,
I o ’da diferansiyellenebilir, h : [a, b] −→ [0, ∞) diferansiyellenebilir ve a, b ∈ I o ,
a < b olsun. Eğer |f ′ |q , [a, b] aralığında harmonik konveks fonksiyon ise bu
takdirde
Zb
f
(a)
f
(b)
′
[h(b) − 2h(a)]
+ h(b)
− f (x)h (x)dx
2
2
a

1
1− q1

R


|2h(LH (t)) − h(b)| dt
×



0
b−a
 1
 q1
≤
Z
4ab 
(|2h(LH (t)) − h(b)|) ×






2q
q
2q
q

′
′
t (LH (t)) |f (a)| + (1 − t) (LH (t)) |f (H)| dt
0

1
1− q1

R


+
×
|2h(UH (t)) − h(b)| dt



0
 1
 q1
(4.2.40)
Z

(|2h(UH (t)) − h(b)|) ×


 


2q
q
2q
q

′
′
t (U (t)) |f (b)| + (1 − t) (U (t)) |f (H)| dt
0
H
H
eşitsizliği sağlanır.
İspat. Teorem 4.2.3’ ün ispatındaki (4.2.28) eşitsizliğinde |f ′ |q fonksiyonunun
harmonik konveks fonksiyon olduğunu ve Sonuç 3.3.1’ i kullanırsak ispat tamamlanır.
Sonuç 4.2.7 g : [a, b] −→ [0, ∞) sürekli, pozitif, x =
2ab
’
a+b
e göre harmonik
simetrik bir fonksiyon ve kgk∞ = supx∈[a,b] |g(x)| olsun. Bu durumda Teorem
72
1/a
R
((ψg) ◦ ϕ) (x)dx,
4.2.4’ ün koşulları altında α > 0, x ∈ 1b , a1 için h(t) =
1/t
h
α−1
α−1 i
ψ(x) = x − 1b
+ a1 − x
, ϕ(x) = x1 alınırsa
i
f (a) + f (b) h α
α
(g
◦
ϕ)
(1/b)
(g
◦
ϕ)
(1/a)
+
J
J
R 1/a−
R 1/b+
2
i
h
α
α
− R J1/b+ (f g ◦ ϕ) (1/a) + R J1/a− (f g ◦ ϕ) (1/b) 2 α
1− 1q
(b − a)α+1 kgk∞
2 (2 − 1)
×
≤ α+1
2 (ab)α+1 Γ (α + 1)
α+1
1
q
q
q
T1 (α, q) |f ′ (a)| + T2 (α, q) |f ′ (H)| + T3 (α, q) |f ′ (b)| q
(4.2.41)
eşitsizliği elde edilir, burada q ≥ 1 için katsayılar
T1 (α, q) =
Z1
T2 (α, q) =
Z1
T3 (α, q) =
Z1
[(1 + t)α − (1 − t)α ] t (LH (t))2q dt
0
0
[(1 + t)α − (1 − t)α ] (1 − t) (LH (t))2q + (UH (t))2q dt
[(1 + t)α − (1 − t)α ] t (UH (t))2q dt
0
şeklinde olacaktır.
İspat. Teorem 4.2.4’ deki (4.2.40) eşitsizliği ve Sonuç 4.2.5’ in ispatındaki (4.2.36)
eşitliği gözönüne alınırsa
f (a) + f (b)
α
α
α
α
(f
g)
(a)]
(f
g)
(b)
+
J
g(a)]
−
[
J
g(b)
+
J
[
J
−
+
−
+
R
R
R
R
b
a
b
a
2
(b − a)α+1
≤ α+1
×
2 Γ (α + 1)





1
R
1− 1q
×
[(1 + t) − (1 − t) ] dt
1
R
1− q1
α
α
[(1 + t) − (1 − t) ] dt
×
0
α
α
q1
1

R

2q
q
2q
q


[(1 + t)α − (1 − t)α ] t (LH (t)) |f ′ (a)| + (1 − t) (LH (t)) |f ′ (H)| dt
0
+ R1
0
0
q1
[(1 + t) − (1 − t) ] t (UH (t)) |f (b)| + (1 − t) (UH (t)) |f (H)| dt
α
α
2q
′
73
q
2q
′
q









(b − a)α+1 kgk∞
≤ α+1
2 (ab)α+1 Γ (α + 1)
2α+1 − 2
α+1
1− 1q
×
 
 q1
Z1
α
α
[(1 + t) − (1 − t) ] ×
 


2q
q
2q
q
′
′

t (LH (t)) |f (a)| + (1 − t) (LH (t)) |f (H)| dt

 0
 q1
1

Z
α
α

[(1 + t) − (1 − t) ] ×
 + 
2q
q
2q
q
′
′
dt
t
(U
(t))
|f
(b)|
+
(1
−
t)
(U
(t))
|f
(H)|
H
H
0





 (4.2.42)



olduğu görülür. Bu durumda a > 0, b > 0, r < 1, ar + br < 21−r (a + b)r
ifadesinden yararlanırsak
(b − a)α+1 kgk∞
≤ α+1
2 (ab)α+1 Γ (α + 1)

1
Z




0








22 (2α − 1)
α+1
p1
×
[(1 + t)α − (1 − t)α ] t (LH (t))2q |f ′ (a)|q +


2q
(LH (t))
 |f ′ (H)|q
[(1 + t)α − (1 − t)α ] (1 − t) 
2q
+ (UH (t))
+ [(1 + t)α − (1 − t)α ] t (UH (t))2q |f ′ (b)|q

 q1
 
 
 
 dt
 
 
 
(4.2.43)
yazılabilir.
Sonuç 4.2.8 Eğer Sonuç 4.2.7’ de α = 1 ve g(x) =
1
ln b−ln a
Zb
f (a) + f (b)
f
(x)
ab
a)
≤ (b −
−
dx
×
1
2
2+
2
(b − a)
x
2 q (ab)
özel olarak alınırsa
a
q
q
T1 (1, q) |f ′ (a)| + T2 (1, q) |f ′ (H)| + T3 (1, q) |f ′ (b)|
elde edilir.
4.3
1
q q
(4.2.44)
Quasi Geometrik Konveks Fonksiyonlar için HermiteHadamard-Fejér Tipli Kesirli İntegral Eşitsizleri
Bu kısımda Lemma 4.1.1 ve Lemma 4.1.2 eşitliklerini quasi geometrik konveks
fonksiyonlar için uyguladık. Yeni teoremler ve sonuçlar elde ettik.
74
Teorem 4.3.1 f : I ⊆ R+ −→ R fonksiyonu I o ’da diferansiyellenebilir bir
fonksiyon ve a, b ∈ I o , a < b olmak üzere h : [a, b] −→ [0, ∞) diferansiyellenebilir
olsun. Eğer |f ′ |, [a, b] aralığında quasi geometrik fonksiyon ise
Zb
[h(b) − 2h(a)] f (a) + h(b) f (b) − f (x)h′ (x)dx ≤ ln b − ln a ×
2
2
4
a
′
′
[ζ1 (a, b) sup {f (a) , f (G)} + ζ1 (a, b) sup {f ′ (b) , f ′ (G)}]
(4.3.1)
eşitsizliği yazılabilir, burada katsayılar
ζ1 (a, b) =
Z1
0
ζ2 (a, b) =
Z1
0
dir.
2h at G1−t − h(b) at G1−t dt
2h bt G1−t − h(b) bt G1−t dt
İspat. Teorem 4.1.1’ in ispatındaki (4.1.7) eşitsizliğinde |f ′ | fonksiyonunun, [a, b]
aralığında quasi geometrik konveks fonksiyon olduğu dikkate alınırsa her t ∈ [0, 1]
için
Zb
lnb − lna
f
(b)
f
(a)
′
≤
[h(b) − 2h(a)]
+
h(b)
−
f
(x)h
(x)dx
×
2
2
4
a
 1
Z 2h at G1−t − h(b) [sup {f ′ (a) , f ′ (G)}] at G1−t dt

0

Z1

(4.3.2)
+ 2h bt G1−t − h(b) [sup {f ′ (b) , f ′ (G)}] bt G1−t dt

0
elde edilir ve böylece ispat tamamlanır.
Sonuç 4.3.1 g : [a, b] −→ [0, ∞) sürekli, pozitif,
√
ab’ ye göre geometrik simetrik
bir fonksiyon ve kg(x)k∞ = supx∈[a,b] |g(x)| olsun. Bu durumda Teorem 4.3.1
α−1 i g(t)
Rx h b α−1
+ ln at
dt alınırsa
koşulları altında α > 0 için h(x) =
ln t
t
a
f (a) + f (b)
α
α
α
α
[H Ja+ g(b) + H Jb− g(a)] − [H Ja+ (f g) (b) + H Jb− (f g) (a)]
2
75
≤
(ln b − ln a)α+1
kgk∞ [C1 (α) sup {|f ′ (a)| , |f ′ (G)|} + C2 (α) sup {|f ′ (b)| , |f ′ (G)|}]
2α+1 Γ (α + 1)
(4.3.3)
eşitsizliği elde edelir, burada katsayılar
C1 (α) =
Z1
[(1 + t)α − (1 − t)α ] at G1−t dt
Z1
[(1 + t)α − (1 − t)α ] bt G1−t dt
0
C2 (α) =
0
şeklinde tanımlanır.
İspat. Teorem 4.3.1’ ün ispatındaki (4.3.2) eşitsizliğinde her x ∈ [a, b] için
h(x) =
Zx "
a
b
ln
t
α−1
α−1 #
g(t)
t
dt
+ ln
a
t
fonksiyonunu alırsak
f
(a)
+
f
(b)
α
α
α
α
Γ (α)
[H Ja+ g(b) +H Jb− g(a)] − Γ (α) [H Ja+ (f g) (b) +H Jb− (f g) (a)]
2
elde ediliriz. Eşitsizliğin sağ tarafı için ise aynı şekilde

1−t h
at G
i

R

b α−1
x α−1 g(x)
1 
Z
ln x
dx + ln a
2

x


a
lnb − lna 
i
bh
R
α−1
α−1
g(x)
≤
x
b
+
ln
dx
−
ln
0 
4
x
a
x


a




× [sup {f ′ (a) , f ′ (G)}] at G1−t dt

bt GR1−t h

i
α−1
α−1

g(x)
Z1 2
ln xb
+ ln xa
dx


x


a
+ 
h
i
b
R
α−1 g(x)
b α−1
+ ln xa
dx 
0 x
− a ln x





′
′
t 1−t

× [sup {f (b) , f (G)}] b G dt
olur. g(x) fonksiyonu
√
(4.3.4)
ab’ ye göre geometrik simetrik fonksiyon olduğundan her
t ∈ [0, 1] için
76
at G1−t"
#
Z
α−1 α−1 g(x)
b
x
2
ln
dx
+ ln
x
a
x
a
#
α−1 Zb "
b
x α−1 g(x) −
ln
dx
+ ln
x
a
x
a
bt G1−t"
#
Z
α−1 α−1 g(x)
x
b
+ ln
dx
= ln
x
a
x
(4.3.5)
at G1−t
ve
bt G1−t"
#
Z
α−1 α−1 g(x)
x
b
2
dx
+ ln
ln
x
a
x
a
#
b
α−1 Z "
α−1
b
x
g(x) −
ln
+ ln
dx
x
a
x
a
bt G1−t"
#
Z
α−1 b
x α−1 g(x) =
ln
dx
+ ln
x
a
x
(4.3.6)
at G1−t
ifadeleri elde edilir.
(4.3.4) eşitsizliğinde (4.3.5) ve (4.3.6) integrallerini kul-
landığımızda
f (a) + f (b)
α
α
α
α
(f
g)
(a)]
(f
g)
(b)
+
J
g(a)]
−
[
J
g(b)
+
J
[
J
−
+
−
+
H
H
H
H
b
a
b
a
2

Z1 bt G1−t h

i

R
α−1
α−1

g(x)
b
x

ln x
+ ln a
dx ×
lnb − lna
x
at G1−t
≤
0
4Γ (α) 



[sup {f ′ (a) , f ′ (G)}] at G1−t dt

Z1 bt G1−t h
i

α−1
α−1 g(x) 

R
dx × 
+ ln xa
+ ln xb
x
at G1−t
0




′
′
t 1−t
[sup {f (b) , f (G)}] b G dt
 1"
#
Z bt G1−t h

i

R
α−1
α−1 1


ln xb
+ ln xa
dx ×
lnb − lna
x
≤
kgk∞
at G1−t
0

4Γ (α)



[sup {f ′ (a) , f ′ (G)}] at G1−t dt
77
+
Z1 " bt G1−t h
R
0
at G1−t
ln xb
α−1
+ ln xa
α−1
#
i
1
dx
x
[sup {f ′ (b) , f ′ (G)}] bt G1−t dt
eşitsizliğini elde ederiz. Son eşitsizlikde bulunan integral
btZ
G1−t "
b
ln
x
at G1−t
=
btZ
G1−t α−1
b
ln
x
at G1−t
(4.3.7)




#
x α−1 1
dx
+ ln
a
x
α−1
1
dx +
x
btZ
G1−t
at G1−t
α
=
×





ln
x α−1 1
dx
a
x
2. (ln b − ln a)
[(1 + t)α − (1 − t)α ]
α
2 .α
(4.3.8)
şeklinde yazılabilir. (4.3.7) eşitsizliğinde (4.3.8) ifadesini kullanırsak (4.3.3) eşitsizliğini elde etmiş oluruz.
Sonuç 4.3.2
i. Eğer Sonuç 4.3.1’ deki (4.3.1) eşitsizliğinde α = 1 alınırsa, bu
takdirde a, b > 0 için
Zb
Zb
(ln b − ln a)2
f (a) + f (b)
g(x)
g(x)
≤
dx
−
f
(x)
dx
kgk∞ ×
2
x
x
4
a
a
[C1 (α) sup {|f ′ (a)| , |f ′ (G)|} + C2 (α) sup {|f ′ (b)| , |f ′ (G)|}]
(4.3.9)
eşitsizliği elde edilir. Burada katsayılar
C1 (1) =
Z1
tat G1−t dt,
C2 (1) =
Z1
tbt G1−t dt
0
0
şeklindedir.
ii. Eğer Sonuç 4.3.1’ deki (4.3.1) eşitsizliğinde g(x) = 1 alınırsa, bu durumda
f (a) + f (b)
(ln b − ln a)
Γ(α + 1)
α
α
−
[H Ja+ f (b) + H Jb− f (a)] ≤
×
α
2
2(ln b − ln a)
2α+2
[C1 (α) sup {|f ′ (a)| , |f ′ (G)|} + C2 (α) sup {|f ′ (b)| , |f ′ (G)|}]
(4.3.10)
eşitsizliği elde edilir.
78
iii. Eğer Sonuç 4.3.1’ deki (4.3.1) eşitsizliğinde α = 1 ve g(x) = 1 alınırsa
Zb
f (a) + f (b)
(ln b − ln a)
f
(x)
1
−
dx ≤
×
2
(ln b − ln a)
x
4
a
[C1 (α) sup {|f ′ (a)| , |f ′ (G)|} + C2 (α) sup {|f ′ (b)| , |f ′ (G)|}](4.3.11)
eşitsizliği elde edilir.
Teorem 4.3.2 f : I ⊆ R+ −→ R fonksiyonu I o ’da diferansiyellenebilir, a, b ∈
I o , a < b olmak üzere h : [a, b] −→ [0, ∞) diferansiyellenebilir bir fonksiyon olsun.
Eğer |f ′ |q , [a, b] aralığında quasi geometrik fonksiyon ise bu takdirde, q ≥ 1 için
Zb
f
(b)
f
(a)
′
[h(b) − 2h(a)]
+
h(b)
−
f
(x)h
(x)dx
2
2
a

1
1− 1q

R


×
|2h(at G1−t ) − h(b)| dt



0
ln b − ln a
 q1
 1
≤
Z
t 1−t

4
(|2h(a G ) − h(b)|) ×






q
q

′
′
qt q(1−t)
sup {|f (a)| , |f (G)| } a G
dt
0
+
1
R
0
 1
Z

0
1− 1q
t 1−t
×
|2h(b G ) − h(b)| dt
t
(|2h(b G
1−t
) − h(b)|) ×
sup {|f ′ (b)|q , |f ′ (G)|q } bqt Gq(1−t) dt
eşitsizliği sağlanır.
 q1







(4.3.12)


 



İspat. Teorem 4.1.1’ in ispatındaki (4.1.7) eşitsizliğinde |f ′ |q fonksiyonunun quasi
geometrik fonksiyon olduğundan ve Sonuç 3.3.1’ den yararlandığımızda ispatı
tamamlamış oluruz.
Sonuç 4.3.3 f : I ⊆ R+ −→ R fonksiyonu, I o ’ da diferansiyellenebilir ve g :
√
[a, b] −→ [0, ∞) sürekli, pozitif ve ab’ ye göre geometrik simetrik bir fonksiyon,
kg(x)k∞ = supx∈[a,b] |g(x)| olsun. Bu durumda Teorem 4.3.1’ in koşulları altında
α−1 i g(t)
Rx h b α−1
α > 0 için h(x) =
ln t
+ ln at
dt alınırsa her q ≥ 1 için
t
a
f (a) + f (b)
α
α
α
α
[H Ja+ g(b) + H Jb− g(a)] − [H Ja+ (f g) (b) + H Jb− (f g) (a)]
2
79
(ln b − ln a)α+1 kgk∞ 2α+2 − 22 1− q1
(
)
≤
2α+1 Γ (α + 1)
α+1





′
q
′
q
C1 (α, q) sup {|f (a)| , |f (G)| }
1/q




+C2 (α, q) sup {|f ′ (b)|q , |f ′ (G)|q }
(4.3.13)
eşitsizliği sağlanır. Burada katsayılar q ≥ 1 için
Z1
C1 (α, q) =
[(1 + t)α − (1 − t)α ] aqt Gq(1−t) dt
0
C2 (α, q) =
Z1
[(1 + t)α − (1 − t)α ] bqt Gq(1−t) dt
0
integralleriyle ifade edilir.
İspat. Teorem 4.3.2’ deki (4.3.12) eşitsizliğinde (4.3.8) eşitliğini yerine yazarsak
f (a) + f (b)
α
α
α
α
[
J
+ g(b) + H Jb− g(a)] − [H Ja+ (f g) (b) + H Jb− (f g) (a)]
H
a
2
(ln b − ln a)α+1 kgk∞
×
2α+1 Γ (α + 1)
1
1− q1
R
×
[(1 + t)α − (1 − t)α ] dt
0
1
q1

R

q
q
α
α
′
′
qt
q(1−t)


[(1 + t) − (1 − t) ] sup {|f (a)| , |f (G)| } a G
dt
≤





0
+ R1
0
≤
1
R
0
α
1− q1
×
[(1 + t)α − (1 − t)α ] dt
α
′
q
′
q
qt
[(1 + t) − (1 − t) ] sup {|f (b)| , |f (G)| } b G
q(1−t)
(ln b − ln a)α+1 kgk∞ 2α+1 − 2 1− q1
(
) ×
2α+1 Γ (α + 1)
α+1
 
 q1
Z1
α
α
[(1 + t) − (1 − t) ] ×
 


q
q
′
′
qt q(1−t)

sup
{|f
(a)|
,
|f
(G)|
}
a
G
dt

 0
 1q

Z1
α
α

[(1 + t) − (1 − t) ] ×
 + 
q
q
′
′
qt q(1−t)
sup {|f (b)| , |f (G)| } b G
dt
0
q1
dt


















(4.3.14)
olduğu görülür. Son eşitsizlikte a > 0, b > 0, r < 1 için ar + br < 21−r (a + b)r
ifadesi kullanılırsa, her q ≥ 1 için
f (a) + f (b)
α
α
α
α
[H Ja+ g(b) + H Jb− g(a)] − [H Ja+ (f g) (b) + H Jb− (f g) (a)]
2
80
≤
(ln b − ln a)α+1 kgk∞ 2α+2 − 22 1− 1q
(
) ×
2α+1 Γ (α + 1)
α+1
1 

  1q
Z
q
q
′
′
qt q(1−t)
sup {|f (a)| , |f (G)| } a G
 [(1 + t)α − (1 − t)α ] × 
 dt
q
q
′
′
qt q(1−t)
+
sup
{|f
(b)|
,
|f
(G)|
}
b
G
0
(4.3.15)
eşitsizliğini elde ederiz.
Sonuç 4.3.4 Sonuç 4.3.3’ deki (4.3.13) eşitsizliğinde α = 1 ve g(x) =
alınırsa, her q ≥ 1 için
Zb
f (a) + f (b)
f (x) 1
−
dx
2
ln b − ln a
x
a

C1 (1, q) sup {|f ′ (a)|q , |f ′ (G)|q }

(ln b − ln a) 
≤

1

22+ q
+C2 (1, q) sup {|f ′ (b)|q , |f ′ (G)|q }
eşitsizliği elde edilir.
 q1




1
ln b−ln a
(4.3.16)
Teorem 4.3.3 f : I ⊆ R+ −→ R fonksiyonu I o ’ da diferansiyellenebilir bir
fonksiyon, a, b ∈ I o , a < b için h : [a, b] −→ [0, ∞) fonksiyonu diferansiyel-
lenebilir olsun. Eğer |f ′ |, [a, b] aralığında quasi geometrik konveks fonksiyon ise
bu takdirde
 b

Zb
Z
√
f (a) + f (b)
1
′ ab ab
′
f (x)h (x)dx + f (x)h ( ) 2 dx
h(a) − h(b)f ( ab) +
2
2
x x
a
≤
a
ln b − ln a
[ζ1 (a, b) sup {f ′ (a) , f ′ (G)} + ζ2 (a, b) sup {f ′ (b) , f ′ (G)}] (4.3.17)
4
eşitsizliği sağlanır, burada katsayılar
ζ1 (a, b) =
Z1
LG (t) |h(LG (t)) − h(UG (t)) + h(b)| dt
Z1
UG (t) |h(LG (t)) − h(UG (t)) + h(b)| dt
0
ζ2 (a, b) =
0
dır.
81
İspat.
Lemma 4.1.2’ deki (4.1.27) eşitliğinin her iki tarafının mutlak değeri
alındığında
 b

b
Z
Z
√
f (a) + f (b)
1
ab
ab
′
′
h(a) − h(b)f ( ab) +  f (x)h (x)dx + f (x)h ( ) 2 dx
2
2
x x
a
a
 1
Z
lnb − lna 
|h(LG (t)) − h(UG (t)) + h(b)| |f ′ (LG (t)) LG (t)| dt
≤

4
0

Z1

+ |h(LG (t)) − h(UG (t)) + h(b)| |f ′ (UG (t)) UG (t)| dt
(4.3.18)

0
eşitsizliği elde edilir. Bu durumda |f ′ | fonksiyonu, [a, b] aralığında quasi geometrik
konveks fonksiyon olduğundan
 b

Zb
Z
√
f (a) + f (b)
1
′ ab ab
′

f (x)h (x)dx + f (x)h ( ) 2 dx h(a) − h(b)f ( ab) +
2
2
x x
a
a
 1
Z
lnb − lna 
≤
|h(LG (t)) − h(UG (t)) + h(b)| [sup {f ′ (a) , f ′ (G)}] LG (t)dt

4
0

1
Z

+ |h(LG (t)) − h(UG (t)) + h(b)| [sup {f ′ (b) , f ′ (G)}] UG (t)dt
(4.3.19)

0
yazılabilir ve böylece ispat tamamlanır.
Sonuç 4.3.5 g : [a, b] −→ [0, ∞) sürekli, pozitif ve
√
ab’ ye göre geometrik
simetrik bir fonksiyon ve kg(x)k∞ = supx∈[a,b] |g(x)| olsun. Bu durumda Teorem
α−1 i g(t)
Rx h b α−1
+ ln at
dt
4.3.3’ ün koşulları altında eğer α > 0 için h(x) =
ln t
t
a
alınırsa
√ ab [H Jaα+ g(b) + H Jbα− g(a)]
[H Jaα+ (f g) (b) + H Jbα− (f g) (a)] − f
(ln b − ln a)α+1
≤
kgk∞ [C1 (α) sup {|f ′ (a)| , |f ′ (G)|}
2Γ (α + 1)
+C2 (α) sup {|f ′ (b)| , |f ′ (G)|}]
eşitsizliği sağlanır, burada katsayılar
C1 (α) =
Z1 0
1−t α
1+t α
) +(
) LG (t)dt
1−(
2
2
82
(4.3.20)
C2 (α) =
Z1 0
1+t α
1−t α
1−(
) +(
) UG (t)dt
2
2
şeklinde tanımlanır.
İspat. Hipotezde tanımlanan h fonksiyonu (4.3.19) eşitsizliğinde yerine yazılırsa
√ α
α
α
α
ab [H Ja+ g(b) + H Jb− g(a)]
[H Ja+ (f g) (b) + H Jb− (f g) (a)] − f

LGR(t) h
α−1
α−1 i g(x)


b
x

ln x
+ ln a
dx

x


a


i
1 UR

G (t) h
Z

x α−1 g(x)
b α−1

+ ln a
dx
ln x
−
lnb − lna
x
≤
a

4
h
i
b

α−1
α−1 g(x)
R

b
x

0
+
ln x
dx + ln a


x

a




× [sup {f ′ (a) , f ′ (G)}] LG (t)dt

i

LGR(t) h
α−1
α−1
g(x)

+ ln xa
dx
ln xb


x


a


i
Z1 URG(t) h b α−1


x α−1 g(x)
−
+ ln a
dx 
ln x
x
+
(4.3.21)
a

i

Rb h
α−1
α−1 g(x)

+
0
ln xb
+ ln xa
dx 


x

a




′
′
× [sup {f (b) , f (G)}] UG (t)dt
olduğu görülür. (4.1.38) ve (4.1.39) ifadelerini yerine yazarsak
√ α
α
α
α
ab)
g
(a)]
f
(
g
(b)
+
J
(f
g)
(a)]
−
[
J
(f
g)
(b)
+
J
[
J
H a+
H b−
H a+
H b−

LG (t) h
i

1 R
α−1
α−1

g(x)
Z
b
x

ln x
+ ln a
dx
lnb − lna
x
a
≤
2Γ (α) 

0
[sup {f ′ (a) , f ′ (G)}] LG (t)dt

LRG (t) h

i
1
α−1
α−1

g(x)
Z ln xb
+ ln xa
dx

x
+
a



0
[sup {f ′ (b) , f ′ (G)}] UG (t)dt

!
i
LR
G (t) h

α−1
α−1 1

Z1
ln xb
+ ln xa
dx
lnb − lna
x
kgk∞
a
≤

2Γ (α)

0
[sup {f ′ (a) , f ′ (G)}] LG (t)dt
! 
i
LR
G (t) h

1
α−1
α−1

Z
1

ln xb
+ ln xa
dx
x
+
a
(4.3.22)


′
′

0
[sup {f (b) , f (G)}] U (t)dt
G
83
eşitsizliği elde edilir ve böylece ispat tamamlamış olur.
Sonuç 4.3.6
i. Eğer Sonuç 4.3.5’ deki (4.3.20) eşitsizliğinde α = 1 alınırsa,
bu takdirde a, b > 0 için
b
Z
Zb
√
(ln b − ln a)2
g(x)
g(x)
f (x)
ab
dx − f
dx ≤
kgk∞ ×
x
x
4
a
a
′
′
[C1 (1) sup {|f (a)| , |f (G)|} + C2 (1) sup {|f ′ (b)| , |f ′ (G)|}] (4.3.23)
yazılabilir, burada katsayıları
C1 (1) =
C2 (1) =
Z1
0
Z1
(1 − t) at G1−t dt,
(1 − t) bt G1−t dt
0
olacaktır.
ii. Eğer Sonuç 4.3.5’ deki (4.3.20) eşitsizliğinde g(x) = 1 alınırsa
√ (ln b − ln a)
Γ(α + 1)
α
α
ab ≤
×
2(ln b − ln a)α [H Ja+ f (b) + H Jb− f (a)] − f
4
[C1 (α) sup {|f ′ (a)| , |f ′ (G)|} + C2 (α) sup {|f ′ (b)| , |f ′ (G)|}]
(4.3.24)
eşitsizliği elde edilir.
iii. Eğer Sonuç 4.3.5’ deki (4.3.20) eşitsizliğinde α = 1 ve g(x) = 1 alınırsa
Zb
√
(ln b − ln a)
f
(x)
1
≤
dx
−
f
×
ab
(ln b − ln a)
x
4
a
′
[C1 (1) sup {|f (a)| , |f ′ (G)|} + C2 (1) sup {|f ′ (b)| , |f ′ (G)|}] (4.3.25)
eşitsizliği elde edilir.
Teorem 4.3.4 f : I ⊆ R+ −→ R fonksiyonu I o ’ da diferansiyellenebilir, a, b ∈ I,
a < b olmak üzere h : [a, b] −→ [0, ∞) diferansiyellenebilir bir fonksiyon olsun.
Eğer |f ′ |q , [a, b] aralığında quasi geometrik konveks bir fonksiyon ise bu takdirde,
84
q ≥ 1 için
 b

b
Z
Z
√
f (a) + f (b)
1
ab
ab
′
′
 f (x)h (x)dx + f (x)h ( ) dx
ab)
+
h(a)
−
h(b)f
(
2
2
x x2
a
a
 1− q1

R1


|h(LG (t)) − h(UG (t)) + h(b)| dt
×


ln b − ln a   0
 1q
≤
Z1

4
(|h(LG (t)) − h(UG (t)) + h(b)|) ×






q
q
q

′
′
(sup {|f (a)| , |f (G)| } (LG (t)) ) dt
0

1
1− q1

R


+
|h(LG (t)) − h(UG (t)) + h(b)| dt
× 


0
1
 1
q
(4.3.26)
Z

(|h(LG (t)) − h(UG (t)) + h(b)|) ×



 


q
q
q
′
′
(sup
{|f
(b)|
,
|f
(G)|
}
(U
(t))
)
dt
G
0
eşitsizliği sağlanır.
İspat. Teorem 4.3.3’ in ispatındaki (4.3.18) eşitsizliğinde |f ′ |q fonksiyonu quasi
geometrik konveks fonksiyon olduğundan ve Sonuç 3.3.1’ den yararlandığımızda
ispatı tamamlamış oluruz.
Sonuç 4.3.7 f : [a, b] ⊆ R+ −→ R diferansiyellenebilir bir fonksiyon, g :
√
[a, b] −→ [0, ∞) sürekli, pozitif, ab’ ye göre simetrik bir fonksiyon ve kg(x)k∞ =
supx∈[a,b] |g(x)| olsun. Bu durumda Teorem 4.3.3’ ün koşulları altında α > 0 için
i
Rx h b α−1
t α−1 g(t)
+ ln a
dt alınırsa bu durumda |f ′ |q fonksiyonu quasi
h(x) =
ln t
t
a
geometrik konveks bir fonksiyon ise her q ≥ 1 için
√ α
α
α
α
[H Ja+ (f g) (b) + H Jb− (f g) (a)] − [H Ja+ g (b) + H Jb− g (a)] f ( ab)
1− q1
(ln b − ln a)α+1 kgk∞
4
22−α
≤
2−
+
4Γ (α + 1)
α+1 α+1


q
′
q
′
C1 (α, q) sup {|f (a)| , |f (G)| }
′
q
′
q
+C2 (α, q) sup {|f (b)| , |f (G)| }
85
 1q

(4.3.27)
dir, burada katsayılar
α α Z1 1−t
1+t
(LG (t))q dt
+
C1 (α, q) =
1−
2
2
0
α α Z1 1+t
1−t
C2 (α, q) =
1−
(UG (t))q dt
+
2
2
0
şeklinde elde edilir.
İspat. Teorem 4.3.4’ deki (4.3.26) eşitsizliğinde (4.1.39) ve (4.1.41) eşitlikleri
kullanılırsa bu durumda her q ≥ 1 için
√ α
α
α
α
[H Ja+ (f g) (b) + H Jb− (f g) (a)] − [H Ja+ g (b) + H Jb− g (a)] f ( ab)

1
1− q1
R
α
α 

1+t
1−t

1− 2
×
+ 2
dt



0
α+1


 1q
(ln b − ln a)
kgk∞
R1 ≤
α
α
 
4Γ (α + 1)
1 − 1+t
+ 1−t
×


2
2


0





q
q
q
′
′
(sup {|f (a)| , |f (G)| } (LG (t)) ) dt

1− 1q
1
R

α
α

1−t

×
+
dt
1 − 1+t

2
2


0

1


1
q
R
+
α
α
1 − 1+t
+ 1−t
×


 
2
2

0

 



q
q
q
′
′
(sup {|f (b)| , |f (G)| } (UG (t)) ) dt
1− 1q
(ln b − ln a)α+1 kgk∞
2
21−α
≤
×
1−
+
4Γ (α + 1)
α+1 α+1
 
 1q 
α
α
Z1
1 − 1+t
×
+ 1−t
 
2
2
 


q
q
q
′
′


[sup
{|f
(a)|
,
|f
(G)|
}
(L
(t))
]
dt
G


0
(4.3.28)
 
1 

1
q


Z
1−t α
1+t α


×
+ 2
1− 2
 +
 
q
q
q
′
′
[sup {|f (b)| , |f (G)| } (UG (t)) ] dt
0
eşitsizliği elde edilir. Son eşitsizlikte a > 0, b > 0, r < 1 için ar +br < 21−r (a + b)r
ifadesini kullanırsak, her q ≥ 1 için
86
1− q1
(ln b − ln a)α+1 kgk∞
4
22−α
≤
×
2−
+
4Γ (α + 1)
α+1 α+1
  α
α 1
1 − 1+t
+ 1−t
(LG (t))q sup {|f ′ (a)|q , |f ′ (G)|q }
Z
2
2
 
 
 
  α
α 0
+ 1 − 1+t
+ 1−t
(UG (t))q sup {|f ′ (b)|q , |f ′ (G)|q }
2
2
olduğu görülür ve böylece ispat tamamlanmış olur.

 1q
 
 
 dt (4.3.29)
 
Sonuç 4.3.8 Sonuç 4.3.7’ deki (4.3.27) eşitsizliğinde α = 1 ve g(x) =
alınırsa, bu takdrde her q ≥ 1 için
Zb
√
f
(x)
1
dx − f
ab ln b − ln a
x
a

 1q
q
q
′
′
(ln b − ln a)  C1 (1, q) sup {|f (a)| , |f (G)| } 
≤
4
+C2 (1, q) sup {|f ′ (b)|q , |f ′ (G)|q }
1
ln b−ln a
(4.3.30)
eşitsizliği elde edilir.
4.4
Uygulamalar
Burada, önceki bölümlerde elde edilen yeni sonuçları farklı konveks fonksiyonlar
için uyguladık.
Sonuç 4.4.1 f (x) = xr , r > 2, şeklinde tanımlanan f : I ⊆ R+ −→ R fonksiyon
2
I o da diferansiyellenebilir, a, b ∈ I o , a < b ve g : [a, b] −→ [0, ∞), g(x) = xb − xa
√
fonksiyonu sürekli, pozitif ve ab’ ye göre geometrik simetrik fonksiyon olsun. Bu
şartlar altında Sonuç 4.1.6 (i) şıkkındaki (4.1.42) eşitsizliği uygulanırsa
L (ar+2 , br+2 ) − 2G2 (a, b)L (ar , br ) + G4 (a, b)L (ar−2 , br−2 )
2
(lnb − lna) rL2 (a, b)
−Gr (a, b) L a2 , b2 − G2 (a, b) ≤
8
h
√ √ √ √ 1
8ar− 2 L
a, b + A
a, b + (16 (L(a, b) − G(a, b))) Gr (a, b)
√ √ √ √ i
1
a, b + A
a, b
(4.4.1)
+8br− 2 L
87
eşitsizliği elde edilir.
İspat. Öncelikle |f ′ | = f ′ fonksiyonun geometrik-aritmetik konveks fonksiyon
olduğunu gösterelim. Bunun için
∀x ∈ I o , için f ′′ (x) > 0 ve f ′′′ (x) > 0
şartlarını incelemek yeterlidir. Bu durumda
f ′ (x) = rxr−1
f ′′ (x) = r(r − 1)xr−2 > 0
f ′′′ (x) = r(r − 1)(r − 2)xr−3 > 0
elde edilir. Çünkü f fonksiyonunun tanımı gereği r > 2 dir. Diğer taraftan
√
g fonksiyonunun ab’ ye göre simetriklik şartını sağlaması gerekir. Bunun için
geometrik simetriklik tanımı gereği
g
ab
x
=
ab
x
b
−
a
ab
x
!2
=
x
b
−
a 2
= g(x)
x
(4.4.2)
elde edilir ve böylece hipotezin doğruluğu gösterilmiş olur. Sonuç 4.1.6 (i) hipotezini
sağlayan fonksiyonlar öncelikle (4.1.42) eşitsizliğinin sol tarafında yerine yazılırsa
b
2
Z
Z b x a 2 x
a
r
−x
b
xr b − x dx − (ab) 2
dx
x
x
a
a
a2
L (ar+2 , br+2 ) a
r r
r−2 r−2
= 2 (lnb − lna)
− L(a , b ) + L(a , b )
2b2
b
2
2 2
2
L(a , b ) − G (a, b)
(4.4.3)
−Gr (a, b)
b2
elde edilir. Diğer taraftan aynı şekilde (4.1.42) eşitsizliğinin sağ tarafında yerine
konulursa
(lnb − lna)2 (b − a)2 r−1
r−1
r−1
≤
K
(1)ra
+
K
(1)rG
(a,
b)
+
K
(1)rb
(4.4.4)
1
2
3
4
b2
88
burada katsayılar
K1 (1) =
Z1
0
Z1
t − t2 at G1−t dt =
√ √ √ √
√ √
16 a
a− b +4 a
a + b (lnb − lna)
(lnb − lna)3
16 (L(a, b) − G(a, b))
(1 − t)2 at G1−t + bt G1−t dt =
,
(lnb − lna)2
0
√ √
√ √
√ √ Z1
a− b +4 b
a + b (lnb − lna)
16 b
K3 (1) =
t − t2 bt G1−t dt =
(lnb − lna)3
K2 (1) =
0
şeklindedir. Bu integraller Matlab programında hesaplanmıştır. (4.4.3) ve (4.4.4)
de gerekli sadeleştirmeler yapıldığında (4.4.1) eşitsizliği elde edilir.
Sonuç 4.4.2 f (x) = xr , r > 2, şeklinde tanımlanan f : I ⊆ R+ −→ R
fonksiyonu I o ’ da diferansiyellenebilir, a, b ∈ I o , a < b ve g : [a, b] −→ [0, ∞),
√
2
g(x) = xb − xa fonksiyonu sürekli, pozitif ve ab’ ye göre geometrik simetrik bir
fonksiyon olsun. Bu şartlar altında Sonuç 4.1.2 (i) de (4.1.19) eşitsizliği dikkate
alınırsa
A (ar , br ) 2L a2 , b2 − G2 (a, b) − L ar+2 , br+2 − 2G2 (a, b)L (ar , br )
+G4 (a, b)L ar−2 , br−2  √ √ 

a,
b
L
lnb − lna  r

√
≤ L2 (a, b)r lnb2 − lna2
a
−1−

a
4
elde edilir.
+ [−2L (a, b) + A(a, b) + G(a, b)] Gr−1 (a, b)
 
 √ √ L
a, b
lnb − lna  r 

√
(4.4.5)
b
+
−1+

4
b
Sonuç 4.4.1’ in ispatında f ′ (x) fonksiyonun geometrik-aritmetik kon√
veks fonksiyon ve g(x) fonksiyonun ab’ ye göre simetrik olduğunu gösterdik.
İspat.
Hipotezde tanımlanan fonksiyonları (4.1.19) eşitsizliğinin öncelikle sol tarafında
89
,
yerine yazarsak
2 r
Zb x a 2
Zb
x
a
r
(lnb − lna)
a +b
−x
−
b
dx − xr b x dx =
|A (ar , br )
2
2
x
x
b
a
a
2L a2 , b2 − G2 (a, b) − L ar+2 , br+2 − 2G2 (a, b)L (ar , br )
+G4 (a, b)L ar−2 , br−2 (4.4.6)
elde edilir. Diğer taraftan (4.1.19) eşitsizliğinin sağ tarafında yerine yazılırsa
2
(lnb − lna)2 r b − a ≤
E1 (1)ar−1 + E2 (1)Gr−1 (a, b) + E3 (1)br−1 (4.4.7)
4
b
elde edilir, burada katsayılar
√ √
√ 16 a
b − a − 8a (lnb − lna) − 2a (lnb − lna)2
E1 (1) =
(lnb − lna)3
√
−16(b − a) + 4(a + b) (lnb − lna) + 8 ab
E2 (1) =
(lnb − lna)2
√ √
√ 16 b
b − a − 8b (lnb − lna) + 2b (lnb − lna)2
E3 (1) =
(lnb − lna)3
şeklindedir. Buradaki katsayılar Matlab programıyla elde edilmiştir. Gerekli
sadeleştirmeler ve düzenlemeler yapıldığında (4.4.5) eşitsizliğini sağlamış olur.
q
3
9
(p−2)− 16
(p−2)2 − (p−2)(p−3)
4
2
bir aralık, f (x) =
Sonuç 4.4.3 p > 4 için I = 1, e
(lnx)p−1 şeklinde tanımlanan f : I ⊆ R+ −→ R fonksiyonu I o ’ da diferansiyel-
lenebilir, a, b ∈ I ve a < b olsun. Bu şartlar altında Sonuç 4.1.2 (ii) deki (4.1.20)
eşitsizliği gözönüne alınırsa
α
lna
p−1
p−1
A (lna) , (lnb)
−
β(α, 1)
2 F1 1 − p, α; α + 1; 1 −
2(lnb)1−p
lnb
lna
β(1, α) + 2 F1 1 − p, 1; α + 1; 1 −
lnb
"
(lnb − lna) (p − 1)
(lna)p−2
Ap−2(lna, lnb)
≤
C
(α)
+
C
(α)
1
2
2α+2
a
G
#
(lnb)p−2
+ C3 (α)
(4.4.8)
b
eşitsizliği sağlanır, burada C1 (α), C2(α) ve C3 (α) katsayıları (4.1.9) da tanımlandığı
gibidir.
90
İspat. Öncelikle x ∈
1, e
3
(p−2)−
4
q
9
(p−2)2 − (p−2)(p−3)
16
2
f (x) = (lnx)p−1 ,
için
(p − 1) (lnx)p−2
> 0,
x
(p − 1)(p − 2)(lnx)p−3 − (p − 1)(lnx)p−2
> 0,
f ′′ (x) =
x2
(p − 1)(p − 2)(p − 3)(lnx)p−4 − (p − 1)(p − 2)(lnx)p−3
f ′′′ (x) =
x3
−2(p − 1)(p − 2)(lnx)p−3 + 2(p − 1)(lnx)p−2
>0
+
x3
f ′ (x) =
olduğundan f (x) fonksiyonu GA-konveks fonksiyondur. O halde (4.1.20) eşitsizliğinin
sol tarafı için
Zb
1
α
H Ja+ f (b) =
Γ(α)
(lnt)
p−1
a
integralinde lnt = lnb − (lnb − lna)u,
dt
t
yapılarak 1 < a < b ve α > 0 için
Z1
(lnb − lna)α
α
H Ja+ f (b) =
Γ(α)
0
Z1
α−1
b
dt
ln
t
t
= −(lnb − lna)du değişken değişimi
(lnb − (lnb − lna)u)p−1 uα−1 du
uα−1 du
1−p
1 − 1 − lna
u
lnb
0
(lnb − lna)α
lna
=
β(α, 1) (4.4.9)
2 F1 1 − p, α; α + 1; 1 −
lnb
Γ(α) (lnb)1−p
(lnb − lna)α
=
Γ(α)(lnb)1−p
elde edilir. Benzer şekilde
α
H Jb− f (a)
1
=
Γ(α)
Zb
(lnt)
a
integralinde lnt = lnb − (lnb − lna)u,
dt
t
yapılarak 1 < a < b ve α > 0 için
α
H Jb− f (a)
(lnb − lna)α
=
Γ(α)
Z1
p−1
α−1
t
dt
ln
a
t
= −(lnb − lna)du değişken değişimi
(lnb − (lnb − lna)u)p−1 (1 − u)α−1 du
0
Z1
(1 − u)α−1 du
1−p
1 − 1 − lna
u
lnb
0
lna
(lnb − lna)α
β(1, α) (4.4.10)
=
2 F1 1 − p, 1; α + 1; 1 −
Γ(α)(lnb)1−p
lnb
(lnb − lna)α
=
Γ(α)(lnb)1−p
91
yazılabilir. Eşitsizliğin sağ tarafında ise f fonksiyonun hipotezde verilen tanımını
kullanırsak ispat tamamlanır.
q
9
3
(p−2)− 16
(p−2)2 − (p−2)(p−3)
4
2
Sonuç 4.4.4 p > 4 için I = 1, e
bir aralık, f (x) =
(lnx)p−1 şeklinde tanımlanan f : I ⊆ R+ −→ R fonksiyonu I o ’ da diferansiyel-
lenebilir, a, b ∈ I ve a < b olsun. Bu şartlar altında Sonuç 4.1.6 (ii) deki (4.1.42)
eşitsizliğinden
lna
α
2 (lnb)1−p 2 F1 1 − p, α; α + 1; 1 − lnb β(α, 1)
lna
p−1
β(1, α) − A (lna, lnb)
+ 2 F1 1 − p, 1; α + 1; 1 −
lnb
"
(lnb − lna) (p − 1)
(lna)p−2
Ap−2(lna, lnb)
≤
K1 (α)
+ K2 (α)
4
a
G
#
(lnb)p−2
(4.4.11)
+ K3 (α)
b
eşitsizliği elde edilir. burada elde edilen K1 (α), K2 (α) ve K3 (α) katsayıları (4.1.35)
de tanımlandığı gibidir.
İspat. Sonuç 4.4.3’ ün ispat yöntemini uygulandığımızda (4.4.11) eşitsizliğini
elde ederiz.
Sonuç 4.4.5 f (x) = xp−1 , p > 3, şeklinde tanımlanan f : I ⊆ R+ −→ R
fonksiyonu I o ’ da diferansiyellenebilir, a, b ∈ I, a < b olsun. Bu şartlar altında
Sonuç 4.2.2 (ii) deki (4.2.16) eşitsizliği gözönüne alınırsa
α h
a
β(α, 1)
F
p
−
1,
α;
α
+
1;
1
−
2(a)p−1 2 1
b
i
a
+ 2 F1 p − 1, 1; α + 1; 1 −
β(1, α) b
(b − a) (p − 1) F1 (α) ap−2 + F2 (α) H p−2 + F3 (α) bp−2 (4.4.12)
≤
4ab
eşitsizliği elde edilir. Burada katsayılar Sonuç 4.2.1’ de tanımlandığı gibidir.
İspat. f fonksiyonu I ⊆ R+ aralığında konveks ve azalmayan bir fonksiyon
olduğundan harmonik fonksiyondur. O halde
1
α
R J 1 + (f ◦ ϕ) (1/a) =
Γ(α)
b
Z1/a
1/b
α−1 1
1
dt,
−t
f
a
t
92
ϕ (x) = 1/x
integralinde t =
1
a
−
1
a
0 < a < b ve α > 0 için
−
1
b
1
a
u, dt = −
Γ(α)(b − a)α
R J 1 + (f ◦ ϕ) (1/a) =
(ab)α
b
Z1
Γ(α)(b − a)α
(ab)α ap−1
Z1
α
0
−
1
b
du değişken değişimi yapılarak
uα−1 du
1
p−1
− a1 − 1b u
a
uα−1 du
p−1
1 − 1 − ab u
0
a
Γ(α)(b − a)α
β(α, 1) (4.4.13)
F
p
−
1,
α;
α
+
1;
1
−
=
2 1
(ab)α ap−1
b
=
elde edilir. Benzer şekilde
1
α
R J 1 − (f ◦ ϕ) (1/b) =
Γ(α)
a
Z1/a
1
t−
b
1/b
integralinde t =
1
a
−
0 < a < b ve α > 0 için
1
a
−
1
b
u, dt = −
Γ(α)(b − a)α
α
(f
◦
ϕ)
(1/b)
=
J
−
R 1
(ab)α
a
Z1
Γ(α)(b − a)α
(ab)α ap−1
Z1
0
α−1 1
dt,
f
t
1
a
1
a
−
1
b
ϕ (x) = 1/x
du değişken değişimi yapılarak
(1 − u)α−1 du
p−1
− a1 − 1b u
(1 − u)α−1 du
p−1
1 − 1 − ab u
0
α
a
Γ(α)(b − a)
β(1, α) (4.4.14)
F
p
−
1,
1;
α
+
1;
1
−
=
2
1
(ab)α ap−1
b
=
elde edilir. (4.4.13), (4.4.14) ifadeleri ve f fonksiyonu hipotezde tanımlandığı gibi
(4.2.16) eşitsizliğinde yerine yazılırsa ispat tamamlanır.
93
5. TARTIŞMA VE SONUÇ
Bu çalışmada literatürde konveks fonksiyonlar için Hermite-Hadamard eşitsizliği
ile ilgili olarak verilen lemmalar farklı konveks fonksiyonlar için verildi.
Bu
elde edilen lemmalar farklı fonksiyonlar için ifade edilerek Hermite-HadamardFejér tipli kesirli integral eşitsizlikleri elde edildi. Böylelikle litaratürde olan
Hermite-Hadamard-Fejér integral, Hermite-Hadamard kesirli integral ve HermiteHadamard-Fejér kesirli integral eşitsizliklerini yeni bir yöntemle elde edildi. Böylelikle tüm çalışmaların bir genellemesi elde edildi.
Tezde temel alınan fonksiyon çeşitleri geometrik aritmetik, harmonik konveks ve
quasi geometrik fonksiyonlar olarak belirlenmiştir. Elde edilen sonuçlardan yararlanılarak geometrik aritmetik fonksiyonlar için çeşitli ortalamalarla ilgili ve hipergeometrik fonksi-yonlarla ilgili uygulamalarda tezin sonunda verilmiştir. Böylece
yeni elde edilen sonuçların uygulanabilir olduğu gösterilmiştir.
Konuyla ilgili olan araştırmacılar bu tezde verilen yöntemlerden yararlanarak
farklı türden konveks fonksiyonlar için yeni lemmalar elde edip kesirli integral
için sonuçlar bularak çeşitli uygulamalar üzerinde çalışabilirler.
94
KAYNAKLAR
[1] Adams, R. A., Essex, C., 2010. Calculus A Complete Course, Pearson
Canada Inc., Toronto, Ontario, pp 934.
[2] Alomari, M. W. N., 2011. Several inequalities of Hermite-Hadamard, Ostrowski and Simpson type for s-convex quasi-convex and r-convex mappings with some applications, Doktora Tezi, Universiti Kebangsaan Malaysia
Bangi.
[3] Azpeitia, A. G., 1994. Convex functions and the Hadamard inequality, Rev.
Colombiana Mat., 28, 7-12.
[4] Bagdasar, O. 2006. Inequalities and Applications, Bachelor’ s Degree Thesis,
Babeş Bolyai University, Cluj Napoca.
[5] Bayraktar, M., 2000. Fonksiyonel Analiz, ISBN 975-442-035-1.
[6] Bayraktar, M., 2010. Analiz, ISBN 978-605-395-412-5,.
[7] Breckner, W. W., 1978 Stetigkeitsaussagen für eine klasse verallgemeinerter
konvexer funktionen in topologischen linearen räumen, Publ. Inst. Math.,
Beograd, 23, 13-20.
[8] Bullen, P. S., Mitrinović , D. S., Vasiś , P. M., 1988. Means and Their
Inequalities, Springer Science+Business Media, B. V.
[9] Carter, M., Van Brunt, B., 2000. The Lebesgue-Stieltjes Integral: A Practical Introduction,ISBN: 0387950125.
[10] Dahmani, Z., 2010. On Minkowski and Hermite-Hadamard integral inequalities via fractional integration, Ann. Funct. Anal. 1, pp. 51-58.
[11] Dragomir, S. S., Pec̆arić , J. and Persson, L. E., 1995. Some inequalities of
Hadamard type, Soochow Journal of Mathematics, 21, 335-341.
95
[12] Dragomir, S. S., Pearce C. E. M., 1998. Quasi-convex functions and Hadamard’
s inequality, Bull. Austral.Math. Soc., 57, 377-385.
[13] Dragomir, S.S., 2012. Hermite-Hadamard’s type inequalities for convex funtions of selfadjoint operators in Hilbert spaces, Linear Algebra Appl. 436,
no. 5, 1503-1515.
[14] Dragomir, S.S.,Pearce, C. E. M., 2000. Selected topics on Hermite-Hadamard
type inequalities and applications, RGMIA Monographs. Available online at
http://rgmia.vu.edu.au/monographs/hermite hadamard.html.
[15] Ekinci, A., 2014. Klasik Eşitsizlikler Yoluyla Konveks Fonksiyonlar İçin
İntegral Eşitsizlikler, Doktora Tezi, Atatürk Üniversitesi, Erzurum.
[16] Fejér,L., 1906. Uberdie Fourierreihen, II, Math. Naturwise. Anz. Ungar.
Akad. in Hungarian, Wiss, 24, pp. 369-390,
[17] Gill, P. M., Pearce, C. E. M. and Pec̆aricć , J., 1997. Hadamard’ s inequality
for convex functions, J. Math. Anal.and Appl., 215, 461-470.
[18] Godunova, E. K., Levin, V. I., 1985. Neravenstva dlja funkcii s̆irokogo
klassa, soderz̆ as̆c̆ego vypuklye, monotonnye i nekotorye drugie vidy funkcii,
Vyc̆islitel. Mat. i. Mat. Fiz. Mez̆vuzov. Sb. Nauc̆. Trudov, MGPI,
Moskva, 138-142.
[19] Greenberg, H. J., Pierskalla, W. P., 1970. A review of quasi convex functions,
Reprinted from Operations Research, 19, 7.
[20] Hadamard, J., 1893. Etude sur les propriétés des fonctions entiées et en
particulier d’une fonction considérée par Riemann, J. Math. Pures Appl., 9,
171215.
[21] Hardy, G., Littlewood, J. E, Polya, G., 1952. Inequalities, 2nd Ed., Cambridge University Press, 324, United Kingdom.
[22] Hudziki H. and Maligranda, L., 1994. Some remarks on s-convex functions,
Aequationes Math., 48, 100-111.
96
[23] Hwang, D-Y., 2011. Some inequalities for differentiable convex mapping with
application to weighted trapezoidal formula and higher moments of random
variables, Applied Mathematics and Computation, 217, 9598-9605.
[24] Hwang, S-R., Yeh, S-Y., Tseng, K-L., 2014. Refinements and similar extensions of Hermite-Hadamard inequality for fractional integrals and their
applications, Applied Mathematics and Computation, 249, 103-113.
[25] Ion, D. A., 2007. Some estimates on the Hermite-Hadamard inequality
through quasi-convex functions, Annals of University of Craiova Math. Comp.
Sci. Ser., vol. 34, 82-87.
[26] İşcan, İ., 2013. New general integral inequalities for quasi-geometrically
convex functions via fractional integrals, Journal of Inequalities and Applications, 1, 2013:491.
[27] İşcan, İ., 2015. Hermite-Hadamard-Fejér Type Inequalities for convex Functions via Fractional Integrals, Stud. Univ. Babeş-Bolyai Math., 60, No. 3,
355-366.
[28] İşcan, İ., 2014. Hermite-Hadamard type inequalities for GA-s -convex functions, Le Matematiche, LXIX-Fasc. II, pp. 129-146.
[29] İşcan, İ., 2014. Hermite-Hadamard type inequaities for harmonically convex
functions , Hacettepe Journal of Mathematics and Statistic 43, 6, 935-942.
[30] İşcan, İ., Wu, S., 2014. Hermite-Hadamard type inequalities for harmonicallyconvex functions via fractional integrals, Applied Mathematics and Computation, 238, 237-244.
[31] İşcan, İ.,Kunt M., 2015. Fejér and Hermite-Hadamard-Fejér type inequalities
for harmonically s-convex functions via Fractional Integrals, The Australian
Journal of Mathematical Analysis and Applcations, Vol: 12, Article 10, pp
1-6.
[32] İşcan, İ.,Kunt, M., 2015. Hermite-Hadamard-Fejér type inequalities for harmonically convex functions via fractional integrals, RGMIA Research Report
Collection, 18, Article 107, pp.1-16.
97
[33] İşcan, İ., 2015. Ostrowski type inequalities for harmonically s-convex functions, Konuralp Journal Mathematics, Volume 3, No 1, pp. 63-74.
[34] İşcan, İ. ,Kunt M., 2015. Fejér and Hermite-Hadamard-Fejér type inequalities for harmonically s-convex functions via Fractional Integrals, The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol: 12, Article
10, pp 1-6.
[35] İşcan, İ., Turhan, S., 2016. Generalized Hermite-Hadamard-Fejér type inequalities for GA-convex functions via fractional integral, Moroccan J. Pure
and Appl. Anal., Volume 2(1), pages 34-46.
[36] İşcan, İ., Turhan, S., Maden, S., 2016. Some Hermite-Hadamard-Fejer type
inequalities for harmonically convex functions via fractional integral, New
Trends in Mathematical Sciences, 4, No. 2, 1-10.
[37] Jeffrey, A., Dai, H-H., 2008. Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, Elsevier Inc. 4. Edition, 589, UK.
[38] Kavurmacı, H., 2012. Bazı Farklı Türden Konveks Fonksiyonlar için Ostrowski ve Hermite-Hadamard Tipli İntegral Eşitsizlikleri, Doktora Tezi,
Atatürk Üniversitesi, Erzurum.
[39] Kırmacı, U. S., Bakula, M. K., Özdemir, M. E., Pec̆arić, J., 2008. On
Some Inequalities for p-Norms, Journal of Inequalities in Pure and Applied
Mathematics, Volume 9, Issue 1, 27, p 8.
[40] Kilbas, A. A.,Srivastava, H. M., Trujillo J. J., 2006. Theory and applications
of fractional differential equations. Elsevier, Amsterdam.
[41] Kunt, M., İşcan, İ., 2016. Hermite-Hadamard-Fejér Type Inequalities for
Quasi-Geomet-rically Convex Functions via Fractional Integrals, Hindawi
Publishing Corporation Journal of Mathematics, volume 2016, Article ID
6523041, 7 pages.
[42] Kunt, M.,İşcan, İ., 2015. On new inequalities of Hermite-Hadamard-Fejér
Type for GA-convex functions via fractional integrals, http://rgmia.org/papers/v18/v18a25.pdf.
98
[43] Latif, M. A., Dragomir, S. S., Momoniat E., 2015. Some Fejér type integral
inequalities related with geometrically-arithmetically-convex functions with
applications, http://rgmia.org/papers/v18/v18a25.pdf.
[44] Latif, M.A.,Dragomir, S. S.,Momoniat E., 2015. Some Fejér type inequalities for harmonically-convex functions with applications to special means,
http://rgmia.org/papers/v18/v18a24.pdf.
[45] Maden, S., Turhan, S., İşcan, İ., 2016. New Hermite-Hadamard-Fejer type
inequalities for GA-convex functions, AIP conference proceedings 1726, 020043
(2016), http://dx.doi.org/10.1063/1.4945869
[46] Miheşan, V. G., 1993. A generalization of the convexity, Seminar on Functional Equations, Approx. and Convex., Cluj-Napoca, Romania.
[47] Mitrinović, D. S., 1970. Analytic Inequalities, Springer-Verlang, Berlin.
[48] Mitrinović, D.S.,Pec̆arić, J.E.,Fink A.M., 1991. Inequalities Involving Functions and Their Integrals and Derivatives, Kluwer Academic Publishers, 587
pp, Dordrecht/Bos-ton/London.
[49] Mitrinović, D.S.,Pec̆arić, J.E.,Fink, A.M., 1993. Classical and New Inequalities in Analysis,Kluwer Academic Publishers, 740, UK.
[50] Munkhammar, J., 2004. Riemann-Liouville Fractional Derivatives and the
Taylor-Riemann Series, Department of Mathematics, Uppsala University.
[51] Niculescu, C. P., 2000. Convexity according to the geometric mean, Math.
Inequal. Appl. 3 (2), Available online at http://dx.doi.org/10.7153/mia-0319, 155–167.
[52] Niculescu, C. P., 2003. Convexity according to means, Math. Inequal. Appl.
6 (4), 571–579. Available online at http://dx.doi.org/10.7153/mia-06-53.
[53] Orlicz, W., 1961. A note on modular spaces I, Bull. Acad. Polon. Sci. Ser.
Math. Astronom. Phys., 9, 157-162.
99
[54] Özdemir, M. E., Yıldız, Ç., 2013. The Hadamard’s inequality for quasiconvex functions via fractional integrals, Annals of the University of Craiova,
Mathematics and Computer Science Series Volume 40(2), 167-173.
[55] Özdemir, M. E., Akdemir, A. O., Set, E., 2011. On (h − m)-convexity and
Hadamard-type inequalities, ArXiv:1103.6163v1 [math.CA] 31 Mar 20.
[56] Pec̆arić, J., Proschan, F., Tong, Y.L., 1992. Convex Functions, Partial Orderings and Statistical Applications, Academic Press, Inc.
[57] Prudnikov, A. P., Brychkov, Y. A., Marichev, O. J., 1981. Integral and
series, Elementary Functions, Vol. 1, Nauka, Moscow.
[58] Pachpatte, B. G., 2005. Mathematical Inequalities, vol. 67, Elsevier, NorthHolland Mathematical Library.
[59] Roberts, A.W., Varberg, D.E., 1973. Convex Functions, Academic Press,
New York, pp 300.
[60] Samko, S. G., Kilbas, A. A., Marichev, O. I., 1993. Fractional Integrals and
Derivatives Theory and Applications, Gordon and Breach Science Publishers,
Singapore.
[61] Sarıkaya, M. Z., Set, E., Yaldız H., Başak, N., 2013. Hermite-Hadamard’s
inequalities for fractional integrals and related fractional inequalities, Mathematical and Computer Modelling, 57(9), pp. 2403-2407.
[62] Set, E., 2010. Bazı Farklı Türden Konveks Fonksiyonlar İçin İntegral Eşitsizlikleri, Doktora Tezi, Atatürk Üniversitesi, Erzurum.
[63] Toader, G. H., 1984. Some Generalisations of the Convexity, Proc. Colloq.
Approx. Optim, Cluj-Napoca, Romanya, 329-338.
[64] Toader, G. H., 1988. On Generalization of the Convexity, Mathematica,
30(53), 83-87.
[65] Tunç, M., 2011. Bazı Konveks Fonksiyonlar İçin Hermite-Hadaamard Tipli
Eşitsizlikler ve Uygulamaları, Doktora Tezi, Atatürk Üniversitesi, Erzurum.
100
[66] Varošanec, S., 2007. On h-convexity, J. Math. Anal. Appl., 326, 303-311.
[67] Wright, E. M., 1954. An inequality for convex functions, Amer. Math.
Monthly 61, 620-622.
[68] Yaldız, H., 2012. Kesirli İntegraller İçin Hermite-Hadamard Eşitsizliği, Yüksek Lisans Tezi, Düzce Üniversitesi, Düzce.
[69] Young, W. H., 1912. On Classes of Summable Functions and Their Fourier
Series,Proc. Roy. Soc. London A 87, 225-229.
[70] Zhang, T.-Y.,Ji, A.-P.,Qi F., 2013. Some inequalities of Hermite-Hadamard
type for GA-convex functions with applications to means, Le Matematiche,
Vol. LXVIII– Fasc. I, pp. 229–239. doi: 10.4418/2013.68.1.17.
[71] Zhang, X.-M.,Chu, Y.-M.,Zhang, X.-H., 2010. The Hermite-Hadamard Type
Inequality of GA-Convex Functions and Its Application, Journal of Inequalities and Applications, Volume, Article ID 507560, 11 pages. doi:10.1155/
2010/507560.
[72] Zhang, T.-Y., Ji, A.-P. and Qi, F., 2012. On Integral Inequalities of HermiteHadamard Type for s-Geometrically Convex Functions, Abstract and Applied Analysis,, doi:10.11 55/2012/560586.
101
ÖZGEÇMİŞ
Adı-Soyadı
:
Sercan TURHAN
Doğum Yeri
:
Bulancak / Giresun
Doğum Tarihi
:
1985
Medeni Hali
:
Evli
Bildiği Yabancı Dil
:
İngilizce
İletişim Bilgileri
:
Giresun Üniversitesi Dereli Meslek Yüksekokulu
Bölümü, [email protected]
Lise
:
Giresun Yabancı Dil Ağırlıklı Lisesi, 2003
Lisans
:
Kocaeli Üniversitesi Fen-Ed. Fak. Matematik Böl.
-2007
Yüksek Lisans
:
Karadeniz Teknik Üniversitesi, 2010
102