Bölüm 11: Doğrusal Olmayan Optik Alıştırmalar

Bölüm 11: Doğrusal Olmayan Optik
Alıştırmalar
11.1 (a) Şiddeti I (W/m2) olarak verilen ışığın, doğrusal kırılma indisi n olan madde
ortamı içinde elektrik alanının (E)
1/ 2
I
E = 27, 4  
n
olarak verilebileceğini gösteriniz.
(b) I=2,5 W/cm2 lazer ışığının GaAs yarıiletken içinde oluşturacağı elektrik alanın
büyüklüğü nedir?
Çözüm:
(a)
2
c
= (ε o n2 )   E
n
 1  I 
 1  I 
2
=
E = 2
 
 
 ε oc   n 
 ε oc   n 
I = εv E
E
2
2
  1   I 
E = 2 
  
  ε oc   n 
1/ 2
1/ 2
1/ 2

 I
2
=
 . 
−12
8
 8,85 × 10 ( F / m) × 2, 99 × 10 (m / s )   n 
1/ 2
I
E = 27, 4  
n
veya
E
I=
η
2
E
=
2
ηo / n
E
=n
1/ 2
1/ 2
E ≅ (377Ω)
 2I 
 
 n 
2
2
( µo / ε o )1/ 2
E
1
= n
2 ( µo / ε o )1/ 2
1/ 2
I
= 27, 4  
n
(V / m)
1
E
2
ηo ≅ 377Ω
E =
(b) I=2,5 W/cm2
1/ 2
1/ 2
I
E ≅ 27, 4  
n
(V / m)
 2,5 ×10 4 W / m 2 
E ≅ 27, 4 

3.6


(V / m) = 2283 V / m
11.2 Doğrusal olmayan etkileri gözleyebilmek için gerekli olan ışık gücünün değeri ne
mertebededir? Böyle bir ışık kaynağının foton akısı nedir?
Çözüm:
Optik alan (E) ile ışık şiddet arasındaki I (W/m2) ilişkinin
1/ 2
I
E = 27, 4  
n
olduğu hatırlanırsa atomda bir elektronu atoma bağlayan elektrik alanın büyüklüğü
yaklaşık 1010-1011 V/m2 mertebesindedir. Buna göre şiddet
2
2
 1011 V / m 
 E 
19
2
=
I = n
n

 = n × (1, 3 × 10 ) W / m

 27, 4 
 27, 4 
I
I
I
n × (1,3 × 1019 ) W / m 2
I = N hω ⇒ N =
=
=
λ=
hω hcn(2π λ ) hcn
n × (6, 62 × 10−34 J / m 2 ) × (3 × 108 m / s )
(1, 3 × 1019 ) W / m 2
λ (m) = 6,5 × 1043 λ (m) foton / s − m 2
(6, 62 × 10−34 J − s ) × (3 × 108 m / s )
olarak dalgaboyuna bağlı olarak bulunur.
N=
11.3 Doğrusal olmayan ortamda Maxwell denkleminin
r
r 1 ∂2 E
∇ E - 2 2 = −S
v ∂t
2
r r
şeklinde yazılabileceğini ve doğrusal olmayan terimlerin, S = µo ∂ 2 P( E ) ∂t 2
kaynak terimini içeren şekilde verilebileceğini gösteriniz.
Çözüm:
r
r r
r 1 ∂2E
∂ 2 P( E )
∇ E - 2 2 = µo
c ∂t
∂t 2
2
r r
r
r
r
r
P( E )= ε o χ (1) E + ε o χ (2) E 2 + ε o χ (3) E 3 + ... = ε o χ (1) E + PNL
r
r r
r 1 ∂2 E
r
∂ 2 P( E )
∂2
∇ E - 2 2 = µo
=
µ
ε o χ (1) E + PNL
o
2
2
c ∂t
∂t
∂t
2
(
r
r
2
r 1 ∂2E
∂ 2 PNL
(1) ∂ E
∇ E - 2 2 = µ oε o χ
+
c ∂t
∂t 2
∂t 2
2
)
r
2
r 1
∂ 2 PNL
(1)  ∂ E
∇ E -  2 + µ oε o χ  2 =
∂t 2
c
 ∂t
r
r
2
r 1 ∂2 E
∂ 2 PNL
(1) ∂ E
∇ E - 2 2 − µo ε o χ
=
c ∂t
∂t 2
∂t 2
2
2
r
2
r 
1
∂ 2 PNL
(1)  ∂ E
∇ E -
+
µ
ε
χ
=
 2
o o
1/ 2 2
∂t 2
 (1/( µoε o ) )
 ∂t
2
n 2 = 1 + χ (1) , c = 1/( µoε o )1/ 2 , v = c / n
r
r
2
2
r 
r
1
∂ 2 PNL
(1)  ∂ E
2
(1) ∂ E
∇ E -
+
=
∇
E
1
+
=
µ
ε
χ
µ
ε
χ
) ∂t 2 ∂t 2
 2
o o
o o(
1/ 2 2
 (1/( µoε o ) )
 ∂t
2
r
r 1 ∂ 2 E ∂ 2 PNL
∇ E- 2 2 =
v ∂t
∂t 2
2
11.4 (a) İkinci harmonik üretiminde ışık şiddetinin
2
I ∝ E (2ω ) =
sin [ ko (nω − n2ω )d ]
2
(nω − n2ω )
şeklinde verilebileceğini gösteriniz.
(b) Yukarıda verilen ifadenin maksimum olma koşulu (faz eşleme) için kristal
kalınlığının
du =
λo
4 nω − n2ω
olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
r
r r
r
r
1 ∂ 2 E (r,t)
∂ 2 P( E (r,t))
∂2
µ
µ
ε o χ (1) E (r,t) + PNL
∇ E (r,t) - 2
=
=
o
o
2
2
2
c
∂t
∂t
∂t
(
2
+z doğrultusunda ilerleyen, ω1, ω2 ve ω3 frekanslı 3 dalgaya odaklanalım
E (ω1 ) (r , t ) = Eω1 ( z )ei (ω1t − k1 z )
E (ω1 ) (r , t ) = Eω1 ( z )ei (ω1t − k1 z )
E (ω+ ) (r , t ) = Eω1 ( z ) Eω2 ( z )e [
i ω1 +ω2 ) t − ( k1 + k2 ) z ]
E (ω− ) (r , t ) = Eω1 ( z ) Eω2 ( z )e [
i ω1 −ω2 ) t − ( k1 − k2 ) z ]
)
Ortamdaki anlık optik alan
r
r r
r
r
1 ∂ 2 E (r,t)
∂ 2 P( E (r,t))
∂2
∇ E (r,t) - 2
=
µ
=
µ
ε o χ (1) E (r,t) + PNL
o
o
2
2
2
c
∂t
∂t
∂t
(
2
)
Alanın konuma göre değişimi
dE (2ω ) ( z )
µ (2) (ω ) 2 i∆kz
= −iω
χ E ( z ) e burada ∆k ≡ k3 − 2k1 = k (2ω ) − 2k (ω )
ε
dz
d yolunu alan 2ω frekanslı dalganın çıkışdaki değeri
d
E (2ω ) (d ) = −iω
µ (2) (ω ) 2 ei∆kd − 1
χ E
ε
i∆k
2
(2) 2
2
2
4
 µ  ω (χ )
2 sin ( ∆kd / 2)
ω
I ∝ E (2ω ) (d ) E *(2ω ) (d ) = E (2ω ) (d ) =  
E
(
)
d
∆kd / 2
n2
ε 
(b)
sin [ ko (nω − n2ω )d ]
(nω − n2ω )
d u = (2n + 1)
2
π
2
λo
1
π
= (2n + 1)
2 ko (nω − n2ω )
2 2π (nω − n2ω )
π
d u = (2n + 1)
11.5
sin [ ko (nω − n2ω )d ] = 1 ⇒ ko (nω − n2ω )d u = (2n + 1)
= I mak
λo
4(nω − n2ω )
n = 0 için du =
λo
4(nω − n2ω )
Üçüncü dereceden doğrusal olmayan etkilerin etkin olduğu bir ortamda, gücü P,
kesit alanı A olan ışığın uzunluk başına oluşan faz kaymasının
∆ϕ =
2π n2
P
λo A
olarak verilebileceğini gösteriniz.
Çözüm:
n
Optik faz ifadesi ϕ = kL = nko L =
ϕ = kL =
2π n
λo
L=
2π
λo
λo
2π
L=
2π n
λo
L
(no + n2 I ) L
Faz kayması
∆ϕ = ϕno − ϕn2 =
2π
λo
no L −
2π
λo
(no + n2 I ) L =
2π
λo
n2 IL
Birim uzunluk başına faz kayması
∆ϕ 2π
P
2π n2 P
=
n2 ( ) =
( )
L
λo
A
λo A
11.6
Kırılma indisi no ve ne olan negatif tek eksenli çiftkırıcı bir ortamda ω ve 2ω
frekanslı dalgaların aynı grup hızına sahip olabilmesi için geliş açısının, optik
eksen ile yaptığı açının
oe
  (nω )−2 − (n 2ω ) −2 1/ 2 
φu
o
o

θu = arcsin   2ω −2
  (ne ) − (no2ω ) −2  


olduğunu gösteriniz.
noω
Çözüm:
Negatif tek eksenli kristal neω < noω durumunda
neω
ne2ω (θu ) = noω (θu )
ne2ω
cos 2 θu sin 2 θu
1
+ 2ω 2 = ω 2
2ω 2
(no )
(ne )
(no )
θu için çözüm yapılırsa
cos 2 θu = 1 − sin 2 θu
1 − sin 2 θu sin 2 θu
1
+ 2ω 2 = ω 2
2ω 2
(no )
(ne )
(no )
no2ω
sin 2 θu sin 2 θu
1
1
− 2ω 2 = 2ω 2 − ω 2
2ω 2
(no )
(ne )
(no ) (no )
 1
1 
1
1
sin 2 θu  2ω 2 − 2ω 2  = 2ω 2 − ω 2
 (no ) (ne )  (no ) (no )
 ( n 2ω ) 2 − ( n 2 ω ) 2  ( n ω ) 2 − ( n 2ω ) 2
sin 2 θu  e 2ω 2 2ωo 2  = o 2ω 2 2oω 2
 (no ) (ne )  (no ) (no )
 ( n ω ) 2 − ( n 2ω ) 2   ( n 2ω ) 2 ( n 2ω ) 2 
sin 2 θu =  o 2ω 2 2oω 2   2ωo 2 e 2ω 2 
 (no ) (no )   (ne ) − (no ) 




ω 2
 (n )

1

sin 2 θu =  2oω 2 − 1 
2ω 2


n
(
)
(
n
)
 o
 1− o
 ( n 2ω ) 2 

e

11.7
  (nω )−2 − (n 2ω ) −2 1/ 2 
o
 elde edilir.
θu = arcsin   2oω −2
  (ne ) − (no2ω ) −2  


KDP malzemesi için 694 nm dalgaboylu lazer kullanıldığında faz eşleme açısını
bulunuz?
Çözüm:
Dalgaboyu λ=694 nm olan lazer ışığının üreteceği ikinci harmoniğin dalgaboyu
λ=347 nm olacaktır. Buna göre her iki dalga için KDP malzemesinin kırılma
indis değerlerini bulmak gerekir. Maksimum şiddet için indis eşleme açısı
oe
  (nω ) −2 − (n 2ω ) −2 1/ 2 
o
φu (b)

θu = arcsin   2oω −2
  (ne ) − (no2ω ) −2  


(a)
no(694 nm): 1,506,
no(347 nm): 1,534, ne(347 nm)=1,490
  (1,506) −2 − (1,534) −2 1/ 2 
 ≅ 53o
θu = arcsin  
−2
−2 
 (1, 490) − (1,534)  


no
ω
neω
ne2
no2ω
ω
11.8
Merkezi simetri (terslenme simetrisi-inversin symmmetry) özelliği gösteren
kristallerde ikinci dereceden doğrusal olmayan optik katsayısının (χ(2)) sıfır
olacağını gösteriniz.
Çözüm:
Kutuplanma vektörü
r r
r
r
r
P( E )= ε o χ (1) E + ε o χ (2) E 2 + ε o χ (3) E 3 + ...
Merkezi simeriye sahip kristallerde r → –r olduğunda kristal aynı özelliğe sahip
olur.
Böyle bir ortamda elektrik alanını yönü değiştirilirse kutuplanma
vektörünün yönünün de değişmesi beklenir çünkü her taraf aynı özelliğe sahip.
E → +E
P → (+P)
P = ε o χ (2) (E).(E)= P ……….1
E → (-E)
P → (-P)
− P = ε o χ (2) (-E).(-E)= P …….2
2 nolu denklemin P = ε o χ (2) (-E).(-E)= -P sağlanabilmesi için χ (2) = 0 olması
gerekir.
11.9
Helmholtz eşitliğinin
∇ 2 E (r ) + ko2 n 2 ( I ) E (r ) = 0
genliğin yayılma doğrultusu ile yavaş değiştiği paraksiyal yaklaşıklık durumunda
ve doğrusal olmayan etkinin ( n( I ) = no + n2 I ) çok küçük olduğu (n2 <<1 )
durumda
∂ 2 Eo ( x, z )
∂Eo ( x, z ) n2 ko2
2
−
2
ik
+
Eo ( x, z ) Eo ( x, z ) = 0
o
2
∂x
∂z
ηo
şeklinde yazılabileceğini gösteriniz.
Çözüm:
Genliğin yayılma doğrultusu ile yavaş değiştiği paraksiyal ışık durumunda
∂2
∂2
∂2
∂2
2
∇ ≡ 2 + 2 + 2 = ∇T + 2
∂x ∂y ∂z
∂z
2
∇T2 E (r ) +
∂Eo ∂ 2 Eo
∂ 2 E (r )
2 2
2
+
k
n
(
I
)
E
(
r
)
=
0
∇
E
−
2
ik
+ 2 + ko2 n 2 ( I ) E = 0
o
T o
o
2
∂z
∂z
∂z
Paraksiyel yaklaşım
∂ 2 Eo ( x, z )
∂E ( x, z )
<< ko o
∂z 2
∂z
y=0 olduğundan => ∇T2 ≡
∂2
∂x 2
∂Eo
+ ko2 n 2 ( I ) E = 0
∂z
küçük olduğu (n2 <<1
∇T2 Eo − 2iko
Doğrusal
olmayan
etkinin çok
E2
( n( I ) = no + n2 I ve I =
olduğundan)
2η
 n 2 ( I ) − n 2  = [ n ( I ) + n ].[ n ( I ) − n ] = n2 I (2 n + n2 I ) ≅ 2nn2 I = n 2 n2 Em2
Eo ( x , z )
∂ 2 E ( x, z )
∂E ( x, z )
− i 2ko n
+ ko2  n 2 ( I ) − n 2  E ( x, z ) = 0
2
∂x
∂z
elde edilir.
)
ηo
durumda
2