genel matemat‹k - Akademik Bilgi Sistemi

TC. ANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹ YAYINI NO: 1286
AÇIKÖ⁄RET‹M FAKÜLTES‹ YAYINI NO: 708
GENEL MATEMAT‹K
Yazarlar
Prof.Dr. Yalç›n KÜÇÜK (Ünite 1, 2, 3, 4)
Doç.Dr. Mehmet ÜREYEN (Ünite 5, 6, 7)
Ö¤r.Gör.Dr. Nevin ORHUN (Ünite 8)
Prof.Dr. Musa ﬁENEL (Ünite 9, 10, 14)
Prof.Dr. Orhan ÖZER (Ünite 11, 12)
Doç.Dr. Hüseyin AZCAN (Ünite 13)
Editör
Prof.Dr. Orhan ÖZER
ANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹
Bu kitab›n bas›m, yay›m ve sat›ﬂ haklar› Anadolu Üniversitesine aittir.
“Uzaktan Ö¤retim” tekni¤ine uygun olarak haz›rlanan bu kitab›n bütün haklar› sakl›d›r.
‹lgili kuruluﬂtan izin almadan kitab›n tümü ya da bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kay›t
veya baﬂka ﬂekillerde ço¤alt›lamaz, bas›lamaz ve da¤›t›lamaz.
Copyright © 2001 by Anadolu University
All rights reserved
No part of this book may be reproduced or stored in a retrieval system, or transmitted
in any form or by any means mechanical, electronic, photocopy, magnetic, tape or otherwise, without
permission in writing from the University.
UZAKTAN Ö⁄RET‹M TASARIM B‹R‹M‹
Genel Koordinatör
Prof.Dr. Levend K›l›ç
Genel Koordinatör Yard›mc›s›
Yard.Doç.Dr. Müjgan Bozkaya
Ö¤retim Tasar›mc›s›
Yard.Doç.Dr. Melih Zeytino¤lu
Grafik Tasar›m Yönetmenleri
Prof. T. Fikret Uçar
Ö¤r.Gör. Cemalettin Y›ld›z
Televizyon Programlar› Yöneticisi
Doç.Dr. Feridun Akyürek
Dil ve Yaz›m Dan›ﬂmanlar›
Yard.Doç.Dr. Hülya Pilanc›
Ö¤r.Gör. ﬁennur Arslan
Okt. Ayd›n F›nd›ko¤lu
Ölçme De¤erlendirme Sorumlular›
Ö¤r.Gör. Ayﬂegül Tokbudak
Ö¤r.Gör. Meryem Akar
Kitap Koordinasyon Birimi
Yard.Doç.Dr. Feyyaz Bodur
Uzm. Nermin Özgür
Kapak Düzeni
Prof. T. Fikret Uçar
Dizgi
Aç›kö¤retim Fakültesi Dizgi Ekibi
Genel Matematik
ISBN
975 - 06 - 0031 - 2
4. Bask›
Bu kitap ANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹ Web-Ofset Tesislerinde 150.000 adet bas›lm›ﬂt›r.
ESK‹ﬁEH‹R, Haziran 2004
iii
‹çindekiler
‹çindekiler
Önsöz ......................................................................................................... vii
Kullan›m K›lavuzu ..................................................................................... ix
Kümeler ve Say›lar ................................................................ 1
ÜN‹TE 1
KÜME KAVRAMI VE KÜME GÖSTER‹MLER‹ ........................................... 3
KÜME ‹ﬁLEMLER‹ ....................................................................................... 4
SAYI KÜMELER‹.......................................................................................... 7
SAYI EKSEN‹ .............................................................................................. 9
GERÇEL SAYILARDA SIRALAMA ÖZELL‹KLER‹........................................ 10
ARALIKLAR ................................................................................................. 10
ÜSLÜ VE KÖKLÜ ÇOKLUKLAR ................................................................ 13
Üslü Çokluklar ......................................................................................... 13
Köklü Çokluklar ......................................................................................... 14
MUTLAK DE⁄ER ........................................................................................ 15
Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 18
Biraz Daha Düﬂünelim ............................................................................... 19
Özdeﬂlikler, Denklemler ve Eﬂitsizlikler.............................. 21
ÜN‹TE 2
DE⁄‹ﬁKEN, SAB‹T, PARAMETRE, ÖZDEﬁL‹KLER VE DENKLEMLER...... 23
Eﬁ‹TS‹ZL‹KLER............................................................................................. 27
Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 33
Biraz Daha Düﬂünelim ............................................................................... 34
Koordinat Düzlemi Do¤ru ve Parabol Denklemi..........35
ÜN‹TE 3
KARTEZYEN ÇARPIM.................................................................................. 37
KOORD‹NAT DÜZLEM‹.............................................................................. 37
GRAF‹KLER.................................................................................................. 38
DO⁄RU........................................................................................................ 43
Do¤runun E¤imi.......................................................................................... 44
Do¤ru Denklemleri.................................................................................... 45
‹ki Noktas› Bilinen Do¤ru Denklemi......................................................... 45
Bir Noktas› ve E¤imi Bilinen Do¤ru Denklemi..........................................45
‹ki Do¤runun Birbirlerine Göre Durumlar›............................................... 50
PARABOL..................................................................................................... 52
y = ax2 + bx + c Parabolünün Grafi¤i.................................................... 53
B‹R‹NC‹ VE ‹K‹NC‹ DERECEDEN ‹K‹ B‹L‹NMEYENL‹ Eﬁ‹TS‹ZL‹KLER... 57
Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 60
Biraz Daha Düﬂünelim ............................................................................... 63
Fonksiyonlar............................................................................ 65
FONKS‹YON KAVRAMI............................................................................... 67
Bir Fonksiyonun Tan›m ve Görüntü Kümesinin Bulunuﬂu.......................69
Matematiksel Model Oluﬂturma.................................................................. 72
FONKS‹YONLARIN ÖZELL‹KLER‹............................................................. 74
FONKS‹YONLARLA YAPILAN CEB‹RSEL ‹ﬁLEMLER................................. 76
ÜN‹TE 4
iv
‹çindekiler
Bileﬂke Fonksiyon....................................................................................... 77
Ters Fonksiyon............................................................................................ 79
FONKS‹YON TÜRLER‹............................................................................... 82
Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 87
Biraz Daha Düﬂünelim ............................................................................... 89
ÜN‹TE 5
Limit ve Süreklilik.................................................................. 91
L‹M‹T KAVRAMI.......................................................................................... 93
Limit Özellikleri........................................................................................... 99
Tek Yönlü Limitler...................................................................................... 105
Süreklilik...................................................................................................... 109
Sürekli Fonksiyonlar›n Özellikleri.............................................................. 112
Kendimizi S›nayal›m ................................................................................... 115
Biraz Daha Düﬂünelim ............................................................................... 116
ÜN‹TE 6
Türev Kavram›........................................................................ 117
TÜREV KAVRAMI...................................................................................... 121
TÜREV KURALLARI.................................................................................... 125
TE⁄ET DENKLEM‹...................................................................................... 135
YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER.......................................................... 139
Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 141
Biraz Daha Düﬂünelim ............................................................................... 142
ÜN‹TE 7
Türev Uygulamalar›............................................................... 143
ARTAN VE AZALAN FONKS‹YONLAR....................................................... 145
YEREL MAKS‹MUM VE YEREL M‹N‹MUM................................................. 148
Birinci Türev Testi....................................................................................... 150
‹kinci Türev Testi........................................................................................ 152
BÜKEYL‹K................................................................................................... 154
GRAF‹K Ç‹Z‹M‹........................................................................................... 156
Maksimum ve Minimum Problemleri........................................................ 161
Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 164
Biraz Daha Düﬂünelim ............................................................................. 164
ÜN‹TE 8
Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar........................................ 165
ÜSTEL FONKS‹YONLAR............................................................................. 167
ÜSTEL FONKS‹YONLARIN GRAF‹⁄‹......................................................... 168
Üstel Fonksiyonlar›n Temel Özellikleri ..................................................... 170
LOGAR‹TM‹K FONKS‹YON....................................................................... 171
Logaritmik Fonksiyonun Grafi¤i................................................................. 172
Logaritman›n Temel Özellikleri.................................................................. 174
ÜSTEL VE LOGAR‹TM‹K FONKS‹YONLARIN TÜREVLER‹....................... 177
ÜSTEL VE LOGAR‹TM‹K FONKS‹YONLARIN EKONOM‹DEK‹
UYGULAMALARI......................................................................................... 181
Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 186
ÜN‹TE 9
Belirsiz ‹ntegral ...................................................................... 187
BEL‹RS‹Z ‹NTEGRAL TANIMI..................................................................... 189
TEMEL ‹NTEGRAL KURALLARI ................................................................. 190
BEL‹RS‹Z ‹NTEGRAL ALMA YÖNTEMLER‹ ............................................... 194
v
‹çindekiler
De¤iﬂken Dönüﬂümü ‹le ‹ntegral Alma.....................................................
K›smi ‹ntegral Alma Yöntemi.....................................................................
Basit Kesirlere Ay›rma Yöntemiyle ‹ntegral Alma.....................................
Kendimizi S›nayal›m ..................................................................................
194
198
201
206
Belirli ‹ntegral ve Uygulamalar› .......................................... 209
ÜN‹TE 10
B‹R E⁄R‹ ALTINDAK‹ ALAN VE BEL‹RL‹ ‹NTEGRAL TANIMI................. 211
BEL‹RL‹ ‹NTEGRAL‹N BAZI ÖZELL‹KLER‹................................................ 212
BEL‹RL‹ ‹NTEGRAL‹N ALAN HESAPLARINA UYGULANMASI.................. 219
BEL‹RL‹ ‹NTEGRAL YARDIMIYLA TÜKET‹C‹ VE ÜRET‹C‹ RANTININ
HESAPLANMASI............................................................................................225
Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 229
Do¤rusal Denklem Sistemleri...............................................231
ÜN‹TE 11
‹K‹ B‹L‹NMEYENL‹ DO⁄RUSAL DENKLEM S‹STEMLER‹..........................233
n-B‹L‹NMEYENL‹ DO⁄RUSAL DENKLEM S‹STEMLER‹ (n ≥ 3)............. 237
Bilinmeyen Say›s› n, Denklem Say›s› m Olan Sistemler.......................... 240
ARZ - TALEP FONKS‹YONLARI VE DENGE M‹KTARLARI ‹Ç‹N
DO⁄RUSAL B‹R MODEL............................................................................ 246
Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 251
Biraz Daha Düﬂünelim ............................................................................... 252
Matrisler.................................................................................. 253
ÜN‹TE 12
MATR‹S TANIMI, B‹R MATR‹S‹N BOYUTU VE ÖZEL TÜRDEN
MATR‹SLER................................................................................................. 255
MATR‹S ‹ﬁLEMLER‹..................................................................................... 259
Matris Toplam›............................................................................................. 259
Say› ‹le Çarpma........................................................................................... 259
‹ki Vektörün iç Çarp›m›.............................................................................. 261
Matris Çarp›m›............................................................................................. 261
MATR‹S ‹ﬁLEMLER‹N‹N ÖZELL‹KLER‹........................................................265
TERS MATR‹S............................................................................................... 271
‹lkel Sat›r ‹ﬂlemleri ve Ters Matrisin Hesaplanmas›...................................273
DO⁄RUSAL DENKLEM S‹STEMLER‹N‹N MATR‹SLERLE GÖSTER‹L‹ﬁ‹....279
Do¤rusal Denklem Sistemlerinin Matris Gösterimiyle Çözümlerinin
Aranmas›...................................................................................................... 280
Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 285
Biraz Daha Düﬂünelim ............................................................................... 287
Determinantlar ...................................................................... 289
DETERM‹NANT VE DETERM‹NANT HESAPLANMASI...............................291
KOFAKTÖRLER ‹LE DETERM‹NANT HESAPLANMASI..............................292
Determinant›n Kofaktörlere Göre Aç›l›m›.................................................. 294
Determinantlar›n Özellikleri....................................................................... 296
Ters Matrisin Kofaktörler ve Determinant Yard›m›yla Bulunmas›............ 297
Do¤rusal Denklem Sistemlerinin Çözümleri ‹çin Cramer Kural›.............. 299
Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 304
Biraz Daha Düﬂünelim ............................................................................... 305
ÜN‹TE 13
vi
‹çindekiler
ÜN‹TE 14
Do¤rusal Programlama ........................................................ 307
DO⁄RUSAL PROGRAMLAMA NED‹R?....................................................... 309
B‹R PROBLEM‹N DO⁄RUSAL PROGRAMLAMAYLA ÇÖZÜLEB‹LMES‹
‹Ç‹N GEREKL‹ KOﬁULLAR......................................................................... 309
DO⁄RUSAL PROGRAMLAMA YÖNTEM‹YLE ÇÖZÜLECEK
PROBLEM‹N MODEL HAL‹NE GET‹R‹LMES‹ ........................................... 310
Problemin Tan›t›lmas› ................................................................................ 310
Matematiksel Modelin Kurulmas› .............................................................. 310
De¤iﬂkenlerin Belirlenmesi ........................................................................ 310
Modelin Genel Olarak Gösterilmesi.......................................................... 310
Do¤rusal Programlama Modelinin Çözüm Yöntemleri............................. 312
Do¤rusal Programlama Modelinin Grafik Çözümü................................... 315
Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 318
Yan›t Anahtarlar›................................................................ 323
Yararlan›labilecek Kaynaklar ........................................... 340
Dizin .................................................................................... 341
Önsöz
Önsöz
Bu kitap, Anadolu Üniversitesi Aç›kö¤retim Fakültesi’nin ‹ktisat ve ‹ﬂletme
Fakültelerinin çeﬂitli bölümlerinde okutulan Genel Matematik dersinin kapsam›ndaki konular› içerecek ﬂekilde haz›rlanm›ﬂt›r. Esas olarak da, günümüz matemati¤inin uygulamaya yönelik kimi temel konular›n›n ve kavramlar›n›n tan›t›lmas› amaçlanm›ﬂt›r.
On dört üniteden oluﬂan kitab›n, ilk dört ünitesinde kümeler, say›lar, eﬂitlik,
eﬂitsizlik, fonksiyon, fonksiyon grafi¤i gibi kavramlar tan›t›lm›ﬂt›r. Beﬂinci ve alt›nc› ünitelerde limit, süreklilik türev kavramlar› anlat›lm›ﬂt›r. Bu kavramlar›n tan›t›lmas›nda basit örneklerden hareket edilerek kesin tan›mlara ulaﬂ›lmaya çal›ﬂ›lm›ﬂt›r. Yedinci ünite türev uygulamalar›na iliﬂkindir. ‹lk türev testi ve ikinci türev testi ile maksimum minimum problemlerinin çözümüne iliﬂkin örnekler verilmiﬂtir.
Sekizinci ünitede üstel ve logaritmik fonksiyonlar ele al›nm›ﬂt›r; onlar›n grafiklerine, türevlerine ve ekonomik problemlere uygulan›ﬂ›na iliﬂkin örnekler verilmiﬂtir.
Dokuzuncu ünitede, türevin ters iﬂlemi olarak belirsiz integral tan›mlanm›ﬂ ve de¤iﬂken de¤iﬂtirme, basit kesirlere ay›rma, k›smi integrasyon gibi belirsiz integral
alma yöntemleri üzerinde durulmuﬂtur. Onuncu ünitede, belirli integral kavram›,
alan hesaplamalar›, üretici rant›, tüketici rant›n›n hesaplanmas›na iliﬂkin örnekler
verilmiﬂtir. Onbirinci ünitede do¤rusal denklem, do¤rusal denklem sistemleri, sistemin çözümünün varl›¤›, tekli¤i veya çoklu¤u, çözümsüzlük durumlar› incelenmiﬂtir. Do¤rusal arz ve talep fonksiyonlar›n›n oluﬂturdu¤u sistemin çözümü, denge fiyat›, denge noktas› tart›ﬂ›lm›ﬂt›r. On ikinci ve on üçüncü ünitelerde matrisler
ve determinantlar konusu üzerinde durulmuﬂtur. Matrislerin kullan›l›ﬂ›, uygulamadaki yeri, matris iﬂlemleri, ters matrisin bulunmas›, determinantlar, determinant
hesab›, do¤rusal denklem sistemlerinin matris yöntemiyle çözümlerinin araﬂt›r›lmas› konular› bu ünitelerde anlat›lm›ﬂt›r. Son ünitede do¤rusal programlama yönteminin ne oldu¤u aç›klanm›ﬂ ve grafik yöntemle çözümün aranmas› örneklerle
incelenmiﬂtir.
Konular›n iﬂleniﬂinde yazarlar, kavramlar› tan›mlamada teorik anlat›mdan kaç›narak daha çok sezgiye dayal› yaklaﬂ›mlar yoluyla ve örneklerle kavram› tan›tmaya çal›ﬂm›ﬂlard›r. Her ünitede konulara iliﬂkin örneklere yer verilmiﬂtir. Verilen örnekleri iki tür olarak ifade edebiliriz. Birinci türde olanlar, tan›t›lmaya çal›ﬂ›lan
matematiksel kavram› aç›klayacak türden cebirsel ifadeler, simgeler veya özellikler olabilir. Örne¤in, matris toplam›n›n de¤iﬂme özelli¤inin do¤rulanmas›na iliﬂkin
bir örnek olarak, aç›k biçimde ifade edilen toplanabilir iki matrisin de¤iﬂme özelli¤inin do¤rulanmas›... gibi. ‹kinci türden olanlar ise o kavram›n pratikte uygulan›ﬂ›na iliﬂkin olan örneklerdir. Söz geliﬂi, üstel bir fonksiyona örnek için belli bir
faiz oran›yla bankaya yat›r›lan bir paran›n bir süre sonraki tutar›n›n zaman›n üstel
fonksiyonu ile ifade edilmesi... gibi.
Her bir ünitede ö¤rencilerin düﬂünüp, tart›ﬂ›p çözüm aramas›na yönelik üç tür
al›ﬂt›rma grubu bulunmaktad›r. Bu gruplardan birincisi s›ra sizde ad› alt›nda toplanan al›ﬂt›rmalard›r. Burada amaçlanan ilgili ünitedeki kavramlar› pekiﬂtirmek, s›ca¤› s›ca¤›na ö¤rencinin çözüm yapabilmesine olanak sa¤lamakt›r. Bu al›ﬂt›rmalar›n
birço¤u konu içindeki çözümlü örneklerin benzerleridir. Bir k›sm› da konu içindeki kavramlar› bütünleyici nitelikte, örnek oluﬂturabilecek al›ﬂt›rmalard›r. Bu al›ﬂt›rmalar›n çözümleri ka¤›t-kalem kullan›larak yap›lmal›d›r. ‹kinci grup al›ﬂt›rmala-
vii
viii
Önsöz
r›m›z, kendimizi s›nayal›m ad› alt›nda sunulmuﬂ, çoktan seçmeli test türü sorulardan oluﬂmaktad›r. Ünitenin bütününden ve önceki üniteleri de kapsayacak ﬂekilde seçilmiﬂ sorulardan oluﬂan al›ﬂt›rmalar›n dikkatle yan›tlanmas› gerekmektedir.
Bu türde sorular›n kimileri seçeneklerden baﬂlayarak yan›tlanabilir. Kimileri ise
sorunun çözümü yap›larak do¤ru yan›t bulunabilir. Bir soru için hangi yolun daha uygun oldu¤u sizin sezginize, dolay›s›yla deneyiminize kalm›ﬂ bir durumdur.
Çokça test yan›tlarsan›z bu size önemli ölçüde beceri kazand›racakt›r. S›navlar›n›z›n da bu tür sorularla yap›ld›¤›n› unutmay›n›z. Üçüncü grup al›ﬂt›rmalar›m›z, biraz daha düﬂünelim ad› alt›nda yaz›lan sorulardan oluﬂmaktad›r. Bu tür sorular
ö¤rencinin kendi kendine düﬂünmesini, yorum yapmas›n›, araﬂt›rmas›n› sa¤lay›c›,
buna yönlerdirici problemlerden oluﬂmaktad›r. Tüm al›ﬂt›rmalar›n yan›tlar› kitab›n
sonunda verilmiﬂtir. Lütfen çözüm için çaba harcamadan yan›tlara bakmay›n›z.
Matematik çal›ﬂ›rken daima ka¤›t-kalem kullan›n›z. Kavram›n›z›, örne¤inizi
veya sorunuzu aç›klay›c› basit grafikler, ﬂemalar çiziniz. Verilenler ile yan›t› aranan
sorular› birbirinden iyi ay›rt ediniz. Bazen verilen soruyu iyi anlamak çözmek
kadar önemlidir. Bu uyar›lar› unutmazsan›z baﬂar›n›z›n artaca¤›n› göreceksiniz.
Matemati¤in kendine özgü bir anlat›m biçimi, simgeleri, yaz›l›ﬂ›, k›saca bir dili
vard›r. U¤raﬂ› alan› matematik olmayan birisinin bu dili anlamas›, kullanmas› zor
bir olayd›r, sab›r isteyen bir iﬂtir. Sözü bu kitab›n tasar›m›na, dizgisine getirmek istiyorum. Üniversitemiz Uzaktan Ö¤retim Tasar›m Birimi, Dizgi Birimi, sab›rla
kitab›n en iyi biçimde sunulabilmesi için gerekli çabay› fazlas›yla gösterdiler. Baﬂka bir deyiﬂle, sizlere ulaﬂan bu kitap yazarlar›n, tasar›m ve dizgi elemanlar›n›n
yo¤un emek ve çabalar› sonucunda ortaya ç›km›ﬂt›r.
Yaz›m›nda, tasar›m›nda, çiziminde, elektronik diziminde eme¤i geçen herkese
editör ve yazarlar olarak sonsuz teﬂekkürlerimizi sunar›z.
Haziran 2001
Prof.Dr. Orhan ÖZER
Kullan›m K›lavuzu
ix
K
endi kendine ö¤renme
ilkelerine göre
haz›rlanm›ﬂ olan bu kitab›n
iﬂlevlerini ö¤renmek için
haz›rlanan “Kullan›m
K›lavuzu”, konular›
anlaman›zda ve s›navlara
haz›rlanman›zda sizlere
fayda sa¤layacakt›r.
Amaçlar›m›z bölümünde,
okudu¤unuz ünite sonunda
kazanaca¤›n›z bilgi ve
beceriler sunulmaktad›r.
Dikkat bölümünde,
üniteyi çal›ﬂmaya
baﬂlamadan önce
bilgi sahibi olman›z gereken
haz›rl›klarla ilgili uyar› yap›lmaktad›r. Bu uyar› ayr›ca,
ünite içinde herhangi bir konuya dikkatinizi çekmek ya da
ek bilgi vermek içinde sunulmuﬂtur..
S›ra sizde bölümleri, çal›ﬂt›¤›m›z konu ile ilgili, sizi
düﬂündürecek, daha fazla
araﬂt›rma yapmaya yönlendirecek ve
konular› yeterince anlay›p anlamad›¤›n›z› s›namaya yard›mc› olacak
sorulardan oluﬂmaktad›r.
Giriﬂ bölümü, ünitede hangi konular›n
iﬂlenece¤ine iliﬂkin k›sa bilgiler verdi¤i gibi yaﬂam›m›zda karﬂ›laﬂabilece¤imiz sorunlar›n çözümüne yönelik verilerin matematiksel ifadelere dönüﬂtürme konusunda aç›klamalar yapmak
için sunulmuﬂtur..
Kullan›m K›lavuzu
xx
x
Kendimizi S›nayal›m
Ünitelerin sonunda, kendi kendinizi test edebilmenizi amaçlayan çoktan seçmeli sorular
sunulmuﬂtur. Bu sorular, s›navda karﬂ›laﬂt›¤›n›z sorularla
ayn› türdendir.
Ünitenin içinde yer alan baz› önemli
kavram ve bilgilere yönelik tan›m ya
da aç›klamalar› sayfan›n yan boﬂlu¤unda bulabilirsiniz..
Biraz Daha Düﬂünelim
Her ünitenin sonunda, çal›ﬂt›¤›n›z konu ile ilgili kazand›¤›n›z bilgi ve becerileri artt›rmaya yönelik ve kendinizi
s›naman›za yard›mc› olacak
sorular sunulmuﬂtur.
Örnek
Üniteler içinde çal›ﬂt›¤›n›z konuyu daha iyi kavraman›z, bilgi ve beceri kazanman›z› sa¤layacak, çok say›da matematiksel örnek problem
ve çözümleri bulabilirsiniz...
S›ra sizdelerde sunulan sorular›n yan›tlar›
kitab›n›z›n sonunda yer almaktad›r.
Dizin
Kitab›n›z›n içinde yer alan baz› önemli kavram ve bilgilerin sayfa numaralar›n› kolayl›kla bulabilmenizi sa¤layacak alfabetik dizin, kitab›n
sonunda sunulmuﬂtur..
Kendimizi s›nayal›m bölümlerinde yan›tlad›¤›n›z çoktan seçmeli sorular›n yan›tlar› kitab›n›z›n sonunda sunulmuﬂtur..
Yararlan›labilecek Kaynaklar
Ünitelerde çal›ﬂt›¤›n›z konularla ilgili baﬂvurabilece¤iniz
di¤er kaynaklar kitab›n›z›n
sonunda yer almaktad›r.
Biraz daha düﬂünelim bölümlerinde sunulan sorular›n yan›tlar› kitab›n›z›n sonunda
verilmektedir.
Kümeler ve Say›lar
1
Amaçlar
Bu üniteyi çal›ﬂt›ktan sonra;
küme kavram›n› tan›yacak, kümeleri alg›lay›p yazabilecek,
kümeler üzerindeki iﬂlemleri yapabilecek,
küme iﬂlemlerine dayal› problemleri çözebileceksiniz,
sayma say›lar›, do¤al say›lar, tam say›lar rasyonel say›lar ve irrasyonel say›lar kümelerinin neler oldu¤unu hat›rlay›p, gerçel say›lar›n özel alt kümeleri
olan aral›klar› inceleyeceksiniz,
bir gerçel say›n›n üssünü kökünü ve bunlar üzerindeki iﬂlemleri ö¤renecek,
mutlak de¤er kavram›na dayal› olarak gerçel eksen üzerindeki iki nokta
aras›ndaki uzakl›¤› hesaplamay› ö¤reneceksiniz.
2
Kümeler ve Say›lar
‹çindekiler
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Kümeler ve Say›lar
Küme Kavram› ve Küme Gösterimleri
Küme ‹ﬂlemleri
Say› Kümeleri
Say› Ekseni
Gerçel Say›larda S›ralama Özellikleri
Aral›klar
Üslü ve Köklü Çokluklar
Mutlak De¤er
• Üzerinde düﬂünülerek tan›mlamalar iyice anlaﬂ›lmal›,
• kavramlar örneklerle pekiﬂtirilmeli,
• al›ﬂt›rmalar çözülmelidir.
Giriﬂ
Belli bir A ﬂehrinden, B ﬂehrine giden yol üzerinde C, D ve F gibi üç konaklama
yeri vard›r. Belli bir gün içinde A ﬂehrinden ç›k›p, B ﬂehrine ulaﬂan otobüs ﬂöförlerine hangi konaklama yerlerinde konaklad›klar› sorulmuﬂ ve ﬂu yan›tlar al›nm›ﬂt›r.
20 si C de konaklad›¤›n›,
15 i D de konaklad›¤›n›,
18 i F de konaklad›¤›n› ,
6 s› C ve F de konaklad›¤›n›,
3 ü C ve D de konaklad›¤›n›,
1 i ise C, D ve F de konaklad›¤›n›
2 otobüs ﬂöförüde hiçbir yerde konaklamad›klar›n› ifade etmiﬂlerdir. O gün A ﬂehrinden B ﬂehrine kaç otobüs gelmiﬂtir?
Bu tür problemleri kümeleri kullanarak çözece¤iz. Bu ünitemizin ilk bölümünde, ilk ö¤retimin baﬂlang›c›ndan bu yana göregeldi¤iniz küme kavram›na
k›saca de¤inece¤iz. Küme gösterimlerini hat›rlat›p, küme iﬂlemleri üzerinde duraca¤›z. Ayr›nt›s›na çok inmeyece¤imiz bu inceleme kuﬂkusuz konuyu hat›rlatma
amac› taﬂ›yacakt›r.
‹kinci bölümde, say› kümeleri, say›lar›n özellikleri, say› ekseni ve aral›klar
üzerinde duraca¤›z. Ayr›ca üslü ve köklü çokluklar konusunu ele alaca¤›z ve
mutlak de¤er kavram›n› hat›rlayaca¤›z.
Küme Kavram› ve Küme Gösterimleri
3
KÜME KAVRAMI VE KÜME GÖSTER‹MLER‹
AMAÇ
Küme kavram›n› tan›yacak, kümeleri alg›lay›p yazabileceksiniz.
1
Matemati¤in en temel kavram› olan küme, iyi tan›mlanm›ﬂ (kesin ay›rdedilebilir)
nesne veya varl›klar›n toplulu¤u olarak tan›mlanabilir. Burada iyi tan›mlanm›ﬂ deyimi, kümeyi oluﬂturan nesne veya varl›klar›n kesin bir ﬂekilde ﬂüpheye düﬂmeden saptanabilece¤ini belirtmektedir.
Örne¤in, "Anadolu Üniversitesi Aç›kö¤retim Fakültesine kay›tl› ö¤renciler toplulu¤u" bir küme oluﬂturur. Çünkü bir ö¤rencinin A.Ü.A.Ö.Fakültesine kay›tl› olup
olmad›¤› ö¤renci kay›t listesine bak›larak kesin olarak belirlenebilir.
Ancak "A.Ü.A.Ö.Fakültesine kay›tl› orta boylu ö¤renciler toplulu¤u" bir küme
oluﬂturmaz. Çünkü orta boylu olman›n ölçüsü aç›k olarak belirlenmedi¤i sürece,
kimin bu toplulu¤un üyesi, kimin üyesi olmad›¤› kesin olarak belirlenemez.
Bir küme verilsin. Bu kümeye ait nesne veya varl›klara o kümenin elemanlar›
ya da üyeleri denir. Kümeler genellikle A, B, C, X, Y gibi büyük harflerle, kümenin elemanlar› ise a, b, c, x, y gibi küçük harflerle gösterilirler. Bir a eleman› A
kümesinin eleman› ise a Œ A ile gösterilir ve "a eleman A" veya "a, A kümesine aittir" diye okunur. b, A kümesine ait de¤ilse b œ A ile gösterilir.
Hiç eleman› olmayan bir kümeye boﬂ küme diyece¤iz ve bu kümeyi ∆ simgesiyle gösterece¤iz. Küme cebiri içinde boﬂ küme, aritmetikteki 0 (s›f›r) rolünü üslenir diyebiliriz.
Gerçekten 0 (s›f›r) uzunlu¤u olmad›¤› halde bir say›d›r. Benzer ﬂekilde boﬂ küme de eleman› olmayan bir kümedir. Boﬂ kümenin, küme iﬂlemlerinin formüle edilmesinde önemli bir iﬂlevi vard›r.
Kümeler ya elemanlar› listelenerek listeleme yöntemi ile veya elemanlar›n› belirleyen bir kuralla ortak özellik yöntemi ile belirtilirler. Listeleme yönteminde kümenin elemanlar› { } biçiminde iki ayrac›n içine aralar›na virgül konularak, istenilen s›rada yaz›l›rlar. Bu yaz›m biçimine aç›k yaz›m da denir. Ortak özellik yönteminde ise küme, kümeyi oluﬂturan elemanlar›n hepsinin sa¤lad›¤› ve kümenin
ö¤elerini di¤er nesne ve varl›klardan kesinlikle ay›ran özelli¤i (özelliklerini) veren
bir P(x) aç›k önermesi yard›m›yla { x | P (x) } biçiminde yaz›l›r. Bu yaz›l›ﬂ
"P(x) önermesini sa¤layan x ö¤elerinin kümesi" biçiminde okunur. Bu yaz›m
biçimine bazen kapal› yaz›m da denir.
a) a, b, c elemanlar›ndan oluﬂan A kümesi, listeleme yöntemi ile
A = {a, b, c } biçiminde yaz›l›r.
Ayn› küme, ortak özellik yöntemi ile A = { x | x alfabe'nin ilk
üç harfi} olarak yaz›l›r.
b) Kapal› biçimde verilen B = { x | x2 = 36 } kümesinde
P (x) : x2 = 36 ¤ x = ± 6
olaca¤›ndan, listeleme yöntemiyle B = {-6, 6} biçiminde de
yaz›l›r.
c) A = { x | x sonu 2 ile biten tek do¤al say›} kümesi ∆ (boﬂ)
kümedir.
Baz› durumlarda, küme elemanlar› dikdörtgen, üçgen, çember, elips veya herhangi bir kapal› düzlemsel e¤ri içine yaz›larak ﬂema ile gösterilebilir. Böyle ﬂemalara Venn ﬂemalar› denir. Örne¤in
A = {a, b, c} kümesi ﬂekil 1.1. deki gibi gösterilir.
ÖRNEK 1
a
b
c
Şekil 1.1
Küme ‹ﬂlemleri
4
KÜME ‹ﬁLEMLER‹
AMAÇ
2
Kümeler aras›nda iki kümeye yeni bir küme karﬂ›l›k getirme ﬂeklinde birçok iﬂlem tan›mlanabilir. Bu bölümde bunlardan baz›lar›n› tan›taca¤›z.
A ve B kümelerinin tüm elemanlar› ayn› ise A ve B kümelerine eﬂit kümeler denir. Bu durum A = B ile gösterilir.
A ve B iki küme olsunlar. B nin her eleman›, A n›n da bir eleman› ise B ye, A
n›n bir alt kümesi denir. Bu durum B Õ A ile gösterilir.
Sembolik mant›k diliyle
B Õ A ¤ x Œ B için x Œ A
yaz›l›r.
Özel olarak, B Õ A ve A n›n, B de olmayan en az bir ö¤esi varsa B ye, A n›n
öz (has) alt kümesi denir. Bu durumda B Ã A yaz›l›r.
B kümesi, A kümesinin bir alt kümesi de¤ilse B À A yaz›l›r.
ÖRNEK 2
a) B = { x | x < 10 ve x tek do¤al say› } = { 1, 3, 5, 7, 9 }
ve A = { x | x < 20, x do¤al say› } = { 0, 1, 2, 3, ..., 19 } kümeleri için
B Ã A olur.
b) Bir A kümesi için x Œ A ﬁ x Œ A oldu¤undan A Õ A olur.
c) Her A kümesi için ∆ Õ A d›r.
Özel bir problemle iliﬂkili tüm kümeleri kapsayan yani sözkonusu problemle
iliﬂkili tüm ögeleri bulunduran kümeye evrensel küme denir ve bu küme E ile
gösterilir.
Bu bölüm boyunca, aksi söylenmedikçe, tüm kümeleri sabit bir E evrensel kümesinin alt kümesi olarak kabul edece¤iz.
E evrensel kümesi ve bunun herhangi bir A alt kümesi verilsin. E ye ait olan
A ya ait olmayan bütün elemanlar›n oluﬂturdu¤u kümeye A kümesinin tümleyeni denir. Bu küme At ile gösterilir.
Ayn› küme At = { x | x Œ E ve x œ A } olarak da tan›mlanabilir.
Evrensel kümenin, problemden
probleme de¤iﬂece¤i ak›ldan
ç›kar›lmamal›d›r.
ÖRNEK 3
ÇÖZÜM
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ve A = {1, 2, 3, 4} için At hangi kümedir?
At kümesi E ye ait olan A 'n›n elemanlar›n›n d›ﬂ›ndaki elemanlardan oluﬂaca¤›ndan At = { 5, 6, 7, 8 } olur.
A ve B gibi iki küme verilsin.
a) A veya B den en az birine ait olan elemanlar›n oluﬂturdu¤u kümeye A ile B
nin birleﬂim kümesi denir. Bu küme A » B ile gösterilir ve "A birleﬂim B"
diye okunur.
b) A ve B kümelerinin her ikisine birden ait olan elemanlar›n oluﬂturdu¤u kümeye A ile B nin kesiﬂim veya arakesit kümesi denir. Bu küme A « B ile
gösterilir ve "A kesiﬂim B" diye okunur.
Kesiﬂimleri boﬂ olan iki kümeye ayr›k kümeler denir.
Küme ‹ﬂlemleri
5
c) A kümesine ait olan, fakat B kümesine ait olmayan elemanlar kümesine A ve
B kümelerinin fark› denir. Bu küme A \ B biçiminde yaz›l›r ve "A fark B"
diye okunur.
Bu kümeleri k›saca
(a) A » B = { x | x Œ A ya da x Œ B }
(b) A « B = { x | x Œ A ve x Œ B }
(c) A \ B = { x | x Œ A ve x œ B }
biçiminde ifade ederiz.
Bu iﬂlemleri ﬂematik olarak da ﬂöyle gösterebiliriz.
(a)
B
A
(b)
A«B
A»B
(c)
B
A
B
A
(d) E
A
A\B
At
Şekil 1.2
Verilen A, B küme çiftleri için A » B, A « B, A \ B ve B \ A kümelerini
bulunuz.
a) A = { a, b, c } , B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
b) A = { x | x tek do¤al say› } , B = { x | x do¤al say› }
•
•
•
A
•
•
•
b)
A,
1.
2.
3.
4.
5.
6.
B ve C kümeleri için aﬂa¤›daki küme eﬂitlikleri vard›r.
(A » B ) » C = A » (B » C )
1'. (A « B ) « C = A « (B « C )
A»B=B»A
2'. A « B = B « A
A»∆=A, A»E=E
3' A « ∆ = ∆ , A « E = A
A » (B « C ) = (A » B) « (A »C ) 4'. A « (B » C ) = (A « B) » (A « C )
5'. (A « B )t = At » Bt
(A » B )t = At « Bt
AÃA»B, BÃA»B
6'. A « B Ã A , A « B Ã B
AMAÇ
3
A » B = { a, b, c, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
A « B = ∆ oldu¤undan A ve B ayr›k kümelerdir.
A \ B = A ve B \ A = B dir.
= { 1, 3, 5, 7, ... } , B = { 0, 1, 2, 3, ... } oldu¤undan A Ã B dir.
A»B=B
A«B=A
A \ B = ∆ ve B \ A = { 0, 2, 4, 6, ... } olur.
Küme iﬂlemlerine dayal› problemleri çözümleyebileceksiniz.
ÇÖZÜM
a)
ÖRNEK 4
Küme ‹ﬂlemleri
6
ÖRNEK 5
ÇÖZÜM
Belli bir A ﬂehrinden, B ﬂehrine giden yol üzerinde C, D ve F gibi üç konak
lama yeri vard›r. Belli bir gün içinde A ﬂehrinden ç›k›p, B ﬂehrine ulaﬂan
otobüs ﬂöförlerine hangi konaklama yerlerinde konaklad›klar› sorulmuﬂ
ve ﬂu yan›tlar al›nm›ﬂt›r.
20 si C de konaklad›¤›n›,
15 i D de konaklad›¤›n›,
18 i F de konaklad›¤›n›,
6 s› C ve F de konaklad›¤›n›,
3 ü C ve D de konaklad›¤›n›,
1 i ise C, D ve F de
konaklad›¤›n›, 2 otobüs ﬂöförü ise hiçbir yerde konaklamad›klar›n› ifade
etmiﬂlerdir. O gün A ﬂehrinden B ﬂehrine kaç otobüs gelmiﬂtir?
Konumuzla ilgili en geniﬂ küme, A ﬂehrinden ç›k›p B ﬂehrine giden otobüslerin
kümesidir. Bu kümeye E diyelim. C konaklama yerinde duran otobüslerin kümesini C , D konaklama yerinde duran otobüslerin kümesini D , F konaklama yerinde duran otobüslerin kümesini F ile gösterelim. Problemle ilgili Venn ﬂemas›nda
verilenler yerleﬂtirilirse, E kümesi
E
(12)
(12)
(5)
(1)
12 + 12 + 12 + 8 + 2 = 46
F
(2)
46 otobüsten oluﬂmaktad›r.
C
(12)
D
(2)
SIRA S‹ZDE 1
1. A = {1, 2, 3} ve B = {2, 5} olmak üzere
a) A \ B
b) B \ A
c) A « B
d) A » B
kümelerini bulunuz.
2. A = { a, b, c } , B = { a, d, e } ve C = { d, e, a, b } kümeleri veriliyor.
E = { a, b, c, d, e } evrensel küme olmak üzere
b) (A - B ) « C
a) At « Bt « C t
d) (At » Bt )t
c) (At - C t ) » B
e) (B » C ) \ C t
f) (A - C ) - (B - A )
g) [(B - A ) - (C - A )] » (C - B )
h) (A - C ) » B
kümelerini bulunuz.
3. A » B = { a, b, c, d } , A « B = { a, c } ve A \ B = { b } ise A ve B kümelerini bulunuz.
4.
Taral› bölgeyi A, B, C kümelerini ve küme
B
A
iﬂlemlerini kullanarak ifade ediniz.
C
Taral› bölgeyi A, B, C kümelerini ve küme
iﬂlemlerini kullanarak ifade ediniz.
5.
E
A
B
C
Say› Kümeleri
SAYI KÜMELER‹
AMAÇ
4
Sayma say›lar›, do¤al say›lar, tam say›lar, rasyonel say›lar ve irrasyonel say›lar kümelerinin neler oldu¤unu hat›rlay›p, gerçel say›lar›n özel alt kümeleri olan aral›klar› inceleyeceksiniz.
Bu kesimde say› kümelerinin yap›lanmalar› üzerinde durmadan uygulamada kullan›ld›klar› biçimiyle ele al›p tan›yaca¤›z.
En iyi bildi¤imiz say› kümesi, ögelerini sayma için kulland›¤›m›z sayma say›lar› kümesidir. Bu küme
1,2,3,..., n, n +1, ...
say›lar›ndan oluﬂur ve genellikle N+ ile gösterilir. Bu kümeye 0 (s›f›r) katarak elde etti¤imiz kümeyi N ile gösterip bu kümeye do¤al say›lar kümesi diyece¤iz.
Do¤al say›lar tam say›lar kümesi denilen ve elemanlar›
... , -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...
olan kümenin bir alt kümesidir. Yaz›m›ndan da anlaﬂ›laca¤› gibi Z ile gösterilen
tam say›lar kümesi N+ n›n ö¤elerinin önlerine eksi getirilerek oluﬂturulan Nkümesi de kullan›larak
Z = N- » {0} » N+
biçiminde yaz›l›r.
Tam say›lar kümesi rasyonel say›lar kümesi ad› verilen daha geniﬂ bir say›lar
kümesinin alt kümesidir. Bu küme s›f›rla bölme kural d›ﬂ› b›rak›larak, tam say›lar›n birbirlerine bölümlerinden oluﬂan say›lar›n kümesidir ve genellikle Q ile gösterilir. Yani,
a
Q = b a , bŒ Z , b ≠ 0
p
d›r. Her p Œ Z say›s› p =
1
Böylece Z Ã Q olur.
yaz›labilece¤inden p Œ Q dur.
p
= y ise p = 0 . y eﬂitli¤i p ≠ 0 oldu¤unda çeliﬂki yaratt›0
¤›ndan s›f›rla bölme tan›ms›zd›r. Ayr›ca s›f›r› s›f›ra bölersek tek bir de¤er bula0
may›z. Bu nedenle 0 belirsizdir deriz.
Hesaplamalarda
Çok önceleri teorik olarak her fiziksel büyüklü¤ün bir kesirli say› ile verilece¤ine inan›l›rd›. Ancak M.Ö.5.yy. da bunun do¤ru olmad›¤› geometrik metodla kan›tland›. Daha sonralar› a biçiminde yaz›lamayan sonsuz say›da say›n›n varl›¤›
b
gösterildi. Siz de dik kenarlar›n›n uzunluklar› 1 birim olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunlu¤u olan 2 say›s›n›n a olarak yaz›lamayaca¤›n› görebilirsiniz.
b
Bu tür say›lara irrasyonel say›lar diyece¤iz ve irrasyonal say›lar kümesini Ir
ile gösterece¤iz. Q » Ir kümesine gerçel say›lar kümesi denir ve bu küme R
ile gösterilir.
Her x gerçel say›s› a0 Œ N ve an Œ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olmak üzere
± a0 , a1 a2 a3 ... an ...
olarak yaz›labilir. Bu yaz›ma x in ondal›k yaz›m› denir.
Bu yaz›m kullan›larak rasyonel ve irrasyonel say›lar› birbirinden ay›rman›n
baﬂka bir yolu ﬂöyle verilebilir:
7
8
Say› Kümeleri
4
,
, 3
3 = 1 333... (3 tekrar ediyor) 11 = 0,272727... (27 tekrar ediyor)
5
= 0,714285714285... (714285 tekrar ediyor),
7
3
- 5 = -0,7500... (0 tekrar ediyor)
Yukar›daki rasyonel say›lar›n ondal›k yaz›mlar›na dikkat edilirse virgülden
sonraki k›sm›n bir parças› sonsuz kez tekrarlanmaktad›r. Bu tür say›lara ondal›k
k›s›mlar› devirlidir deriz ve bu durumu k›saca
4 = 1,333... = 1,3 , 3 = 0,272727... = 0,27
11
3
5 = 0,714285714285... = 0,714285 , - 3 = -0,7500... = -0,75
5
7
biçiminde yazabiliriz.
Böyle devam edilirse a biçiminde yaz›labilen tüm rasyonel say›lar›n ondal›k
b
k›s›mlar› devirlidir. Bunun tersi de do¤rudur, yani devirli ondal›k aç›l›ma sahip
olan say›lar a biçiminde yaz›labilirler.
b
Örne¤in ondal›k aç›l›m› x = 0,125125... = 0,125 olan x say›s›n› a biçiminde
b
yazal›m. x say›s›n›n tekrarlanan k›sm›n› virgülün soluna geçirmek için 1000 ile
çarp›p, bulunan say›dan x say›s›n› ç›karal›m,
1000 x = 125,125
x = 0,125
999 x = 125
buradan x = 125 rasyonel say›s› bulunur.
999
Bir say›n›n rasyonel olmas› için
gerekli ve yeterli koﬂul bu say›n›n
devirli bir ondal›k aç›l›m›n›n
olmas›d›r.
Devirli ondal›k aç›l›ma sahip olmayan say›lara da irrasyonel say› deriz.
Örne¤in π bir irrasyonel say›d›r, devirli ondal›k yaz›l›ﬂ› yoktur. Ancak bu yaklaﬂ›k
olarak 3,14; 3,1415; 3,141592; ... say›lar›ndan biri olarak al›nabilir.
Gerçel say›lar›n kareleri negatif olmayaca¤›ndan x2 = -1 denkleminin çözümü gerçel say› de¤ildir.
18. yüzy›l matematikçileri bu çözümsüzlü¤e yeni bir say›y› i = -1 biçiminde tan›mlayarak çözüm getirdiler ve daha sonra gerçel say›lar› da içine alan karmaﬂ›k say›lar diye adland›r›lan bir say› kümesi oluﬂturdular. Karmaﬂ›k say›lar kümesi genellikle C ile gösterilir.
C = a + ib a, b Œ R , i = -1
Bundan böyle aksi söylenmedikçe
say› denilince gerçel say›lar
anlaﬂ›lacakt›r.
olmak üzere a Œ R ise a = a + 0i Œ C oldu¤undan R Õ C oldu¤u görülür.
Böylece N Ã Z Ã Q Ã R Ã C oldu¤u aﬂa¤›daki tablo ile özetlenebilir
(ﬁekil 1.3).
Say› Ekseni
9
Özetle
N+ = { 1, 2, 3, ... }
• N = { 0, 1, 2, 3, ... }
• Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
• Q = { x | x = a /b , a, b Œ Z , b ≠ 0 }
•
‹rrasyonel
Say›lar
Do¤al
Say›lar
Tam Say›lar
= { x | x devirli ondal›k yaz›l›ﬂa sahip }
•
Ir = R \ Q
Rasyonel Say›lar
R = Q » Ir
• C = z | z = a + ib , a, b Œ R , i = -1 dir.
•
Gerçel Say›lar
Karmaﬂ›k Say›lar
Şekil 1.3
1.
a) 3,4
b) 12,25
SIRA S‹ZDE 2
c) 0,13412
devirli ondal›k say›lar›n eﬂiti olan rasyonel say›lar› bulunuz.
2.
a) 146
4
b) 17
3
c) 5
6
rasyonel say›lar›n devirli ondal›k yaz›m›n› bulunuz.
SAYI EKSEN‹
Gerçel say›lar›n geometrik modelini oluﬂturma fikri pratikte çok yararl› bir fikirdir.
Bunu oluﬂturmak için önce bir do¤ru çizilir. Daha sonra bu do¤ru üzerinde baﬂlang›ç noktas› diye adland›r›lan bir nokta ile genellikle bu noktan›n sa¤›nda, birim uzunlu¤u ve yönü belirleyecek olan bir baﬂka nokta iﬂaretlenir. Son olarak
da gerçel say›lar bu eksen üzerine aﬂa¤›daki biçimde yerleﬂtirilir:
a Œ R olsun.
1. a say›s› pozitif ise baﬂlang›ç noktas›n›n sa¤›nda, baﬂlang›çtan a birim
uzakl›ktaki noktaya,
2. a say›s› negatif ise baﬂlang›ç noktas›n›n solunda, baﬂlang›çtan a birim
uzakl›ktaki noktaya,
3. a say›s› s›f›r ise baﬂlang›ç noktas›na (orijine) karﬂ›l›k getirilir.
Bu düﬂünceyle her bir gerçel say›n›n eksen üzerinde bir yeri vard›r. Eksen
üzerindeki herbir noktan›n baﬂlang›ç noktas›na bir uzakl›¤› oldu¤undan her noktaya bir gerçel say› karﬂ›l›k gelir. Bu ﬂekilde elde edilen say› eksenine bazen say›
do¤rusu da denir.
-5, -2, -1,25, -1, -1/2, 1, 2 , 2, 3, p ve 5 gerçel say›lar›n›n say› ekseni üzerindeki s›ralan›ﬂ› ﬂöyledir:
-1,25
-5
-4
-3
Burada yaklaﬂ›k olarak
-2
-1
-1/2
2
0
2 @ 1,41 π @ 3,14
1
π
2
3
4
oldu¤u düﬂünülebilir.
5
Eksen üzerindeki noktalarla gerçel
say›lar kümesi 1-1 eﬂlenir.
Bu yaklaﬂ›m modeliyle bu do¤ruya
say› ekseni veya gerçel eksen
denir.
Bu do¤ru üzerindeki her bir
noktaya karﬂ› gelen say›ya, o
noktan›n koordinat› denir.
ÖRNEK 6
10
SIRA S‹ZDE 3
Gerçel Say›larda S›ralama Özellikleri-Aral›klar
b) 2,9
c) 0,7
rasyonel say›lar›n› say› ekseni üzerine yerleﬂtiriniz.
1. a) 0,25
b) 11
15
2. a) 5 3
4
c) - 2
d) -6,4
d) -2p
gerçel say›lar›n› say› ekseni üzerine yerleﬂtiriniz
GERÇEL SAYILARDA SIRALAMA ÖZELL‹KLER‹
a, b gerçel say›lar› için a ≠ b ve say› ekseni üzerinde b, a n›n sa¤›nda yer al›yorsa, bu durum için "a küçüktür b" denir ve a < b yaz›l›r. E¤er a = b veya
a < b ise a ≤ b yaz›l›r ve "a küçük-eﬂit b" denir.
a≤b¤0≤b-a
oldu¤u aç›kt›r.
Say›lar aras›nda " ≤ " veya " < " simgelerinden birinin kullan›lm›ﬂ oldu¤u bir
ifadeye bir eﬂitsizlik denir.
ﬁimdi say›lar aras›ndaki eﬂitsizliklerle ilgili özellikleri kan›ts›z olarak
s›ralayal›m:
a, b, c Œ R olsun.
1) a < b ve b < c ise a < c dir.
2) a < b ve c < d ise a + c < b + d dir.
3) a < b olsun. Her k Œ R say›s› için a + k < b + k d›r.
4) a < b olsun.
k > 0 ise ak < bk ve k < 0 ise ak > bk d›r.
Özel olarak k = -1 ise -a > -b dir.
5) a > 0 ise 1a > 0 olur.
6) 0 < a < b ise 1 < 1
a
b
7) a ≠ b ise a < b veya b < a d›r.
Özel olarak a ≠ 0 ise ya a > 0 veya a < 0 d›r.
SIRA S‹ZDE 4
1. a) 3 , 7
5 4
1 , - 3 , - 13
2
4
4
b) -4 , - 1
2
c)
b) -p , 3,14
c) -p , 3,14 , -3,14 , p
verilen say›lar› s›ralay›n›z.
2. a) 2 , 21 , 11 , 4
3 30
15
5
verilen say›lar› s›ralay›n›z.
ARALIKLAR
ﬁimdi R 'nin aral›k ad›n› verece¤imiz özel alt kümeleri üzerinde duraca¤›z.
R ye ait a, b (a ≤ b) gibi herhangi iki say› aras›ndaki tüm gerçel say›lardan
oluﬂan, R nin bir alt kümesine bir aral›k denir. Bu a, b say›lar›na aral›¤›n uç
noktalar› denir. a say›s›na aral›¤›n alt ucu, b ye de üst ucu ad› verilir.
Geometrik olarak aral›k bir do¤ru parças›d›r. Uç noktalar›n oluﬂturulan kümeye ait olup olmay›ﬂ›na ba¤l› olarak aral›klara çeﬂitli isimler verilir.
Aral›klar
•
•
•
Uç noktalar›n›n her ikisini de bulundurmayan aral›k tipine aç›k aral›k denir.
Uç noktalar›n›n her ikisini de bulunduran aral›¤a kapal› aral›k denir.
Uç noktalar›ndan sadece birini bulunduran aral›k tipine yar›-aç›k aral›k denir. Bunlar iki tiptir. Alt ucunu bulundurmay›p üst ucunu bulundurana soldan aç›k sa¤dan kapal› aral›k veya alttan aç›k üstten kapal› aral›k denir. Üst ucunu bulundurmay›p alt ucunu bulunduran aral›¤a da soldan kapal› sa¤dan aç›k aral›k ya da alttan kapal› üstten aç›k aral›k denir.
Aral›klar›n kümesel yaz›mlar› d›ﬂ›nda özel yaz›mlar› vard›r. Bu yaz›mlarda uç
noktalar›n, kümeye ait oluﬂu kapal› parantezle, kümeye ait olmay›ﬂ› da aç›k parantezle gösterilir.
Aﬂa¤›daki tabloda aral›klar›n kümesel tan›mlan›ﬂ›, gösteriliﬂi, okunuﬂu (adland›r›l›ﬂ›) ve geometrik modeli özetlenmiﬂtir.
ARALIKLAR
Kümesel Yaz›l›ﬂ›
Gösteriliﬂi
Okunuﬂu
{ x Œ R I a < x < b}
(a, b)
a, b aç›k aral›¤›
{ x Œ R I a ≤ x ≤ b}
[a, b]
a, b kapal› aral›¤›
{ x Œ R I a < x ≤ b}
(a, b]
Soldan aç›k, sa¤dan kapal› aral›k
{ x Œ R I a ≤ x < b}
[a, b)
Soldan kapal›, sa¤dan aç›k aral›k
Geometrik Modeli
a
b
a
b
a
b
a
b
Aral›klar pozitif yönde, negatif yönde veya her iki yönde sembolik ifadelerle
geniﬂletilebilirler. Her pozitif say›dan daha büyük oldu¤u kabul edilen gerçel say›
olmayan bir sembolü +µ ile gösterip art› sonsuz diye okuyaca¤›z. Benzer
biçimde her negatif say›dan daha küçük oldu¤u kabul edilen sembolü de -• ile
gösterip eksi sonsuz diye okuyaca¤›z. Bunlar› kullanarak aﬂa¤›daki aral›klar›
tan›mlar›z.
SINIRSIZ ARALIKLAR
Kümesel Yaz›l›ﬂ›
Gösteriliﬂi
Okunuﬂu
{xŒRIx≥a}
[a, +∞)
{xŒRIx>a}
(a, +∞)
Soldan a ile s›n›rl› sa¤dan s›n›rs›z aç›k aral›k
{ x ŒR I x< b }
(-∞, b)
Soldan s›n›rs›z sa¤dan b ile s›n›rl› aç›k aral›k
{xŒRIx≤b}
(-∞, b]
Soldan s›n›rs›z sa¤dan b ile s›n›rl› kapal› aral›k
Geometrik Modeli
Soldan a ile s›n›rl› sa¤dan s›n›rs›z kapal› aral›k
a
+∞
a
+∞
-∞
b
-∞
b
Aral›klar R nin özel alt kümeleri olduklar› için küme iﬂlemleri bunlar için de
geçerlidir. ﬁimdi aral›klar›n kesiﬂimi, birleﬂimi, fark›na iliﬂkin örnekler verelim.
11
Aral›klar
12
ÖRNEK 7
ÇÖZÜM
Aﬂa¤›daki iﬂlemleri sonuçland›r›n›z.
a) [3, 8) « (-1, 5)
b) (3, 7) » (5, +∞)
a)
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
b)
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
( -1, 5 )
( 3, 7 )
[ 3, 8 )
( 5, ∞ )
[ 3, 5 )
( 3, ∞ )
Her iki aral›¤ada ait ö¤elerin kümesi
[3, 5) aral›¤›d›r.
SIRA S‹ZDE 5
(3, 7) » (5, +∞) = { x Œ R | x > 3 }
= (3, +∞)
1. a) [-1, 5/2)
b) (3, 7)
c) [-2, 2]
aral›klar›n› kümesel olarak ifade edip geometrik modellerini say› do¤rusunu kullanarak gösteriniz.
2.
Kümesel Yaz›l›ﬂ›
Gösteriliﬂi
Okunuﬂu
Geometrik Modeli
{ x Œ R | -2 ≤ x ≤ 0 }
-4, -1 kapal› aral›¤›
-1/2 0
1
2
verilen tabloyu tan›mlay›n›z.
3.
Kümesel Yaz›l›ﬂ›
Gösteriliﬂi
Okunuﬂu
Geometrik Modeli
{ x Œ R | - ∞ < x ≤ -3 }
Soldan s›n›rs›z sa¤dan
3 ile s›n›rl› aç›k aral›k
-5
-4
verilen tabloyu tamamlay›n›z.
4. a) (-∞, 3) « (-1, +∞)
b) (-∞, -1) \ [-5, 3)
aral›klar›n› kümesel olarak ifade edip geometrik modellerini say› do¤rusunu kullanarak gösteriniz.
5. Normal koﬂullarda su 0˚C'den küçük s›cakl›klarda kat› (buz), 0˚ ile 100˚C ara-
s›nda s›v› ve 100˚C'den büyük s›cakl›klarda gaz (buhar) halindedir. Bu durumlar› aral›klar› kullanarak ifade ediniz.
Üslü ve Köklü Çokluklar
13
ÜSLÜ VE KÖKLÜ ÇOKLUKLAR
Bu kesimde bir gerçel say›n›n üssünden ve kökünden söz edece¤iz.
AMAÇ
5
Bir gerçel say›n›n üssünü, kökünü ve bunlar üzerindeki iﬂlemleri
ö¤reneceksiniz.
Üslü Çokluklar
a Œ R ve n Œ N için n tane a n›n çarp›m› k›saca an ile gösterilip a üssü n
diye okunur. Bu durumda
an = a. a. a ... a
n tane
dir. an say›s›na a say›s›n›n n yinci kuvveti denir. Bu gösterimde a say›s›na
taban, n ye de üs denir.
Üs
n
a
Taban
Ayr›ca a0 = 1 ve a -n = 1n olarak tan›mlan›r. a, b Œ R \ { 0 } ve m, n Œ Z
a
için aﬂa¤›daki özellikler geçerlidir:
1. am . an = am+n
n
n-m
2. am = a
a
3. ( am )n = am.n
4. (a . b)n = an . bn
n
= an
b
n
-n
a
6.
= bn
b
a
7. b, c Œ R olmak üzere
a
b
5.
n
8
b) 2
32
a) 28
e)
43
42
3
f)
8
64
b an ± c an = (b ± c) an olur.
c) (27)2
-3
‹leride görece¤imiz denklem ve
eﬂitsizliklerin çözümünde aﬂa¤›daki
özellikler kullan›lacakt›r.
• a Œ R \ { -1, 0, 1 } olmak
üzere am = an ¤ m = n
• n Œ N olmak üzere an = bn
olsun.
n tek ise a = b dir.
n çift ise ya a = b veya
a = -b dir.
• a > 0 ise her n Œ N için
an > 0 dir.
a < 0 olsun. n tek ise
an < 0 , n çift ise an > 0
olur.
ÖRNEK 8
d) (5.33)2
g) 26 . 54
iﬂlemlerini sonuçland›r›n›z.
28 = 24+4 = 24. 24 = 16. 16 = 256
c)
28 = 28 = 28 - 5 = 23 = 8
32
25
(27)2 = (33)2 = (32)3 = (9)3 = 9. 9. 9 = 729
d)
(5 .33)2 = 52 . (33)2 = 25 . 729 = 18225
b)
ÇÖZÜM
a)
Üslü ve Köklü Çokluklar
14
3
e) 4
2
4
3
f)
-3
8
64
= 43 - 2
3
= 64
8
3
= 43 = 4 . 4 . 4 = 64
2 3
= 8
8
= 83 = 8 . 8 . 8 = 512
g) 26 . 54 = 22 . 24 . 54 = 4 . 104 = 40000
Köklü Çokluklar
ﬁimdi köklü çokluk tan›m›n› verelim ve köklü çokluklara iliﬂkin temel özellikleri
görelim:
a ≥ 0 ve n Œ N olsun. bn = a olacak ﬂekilde negatif olmayan tek bir b say›s› vard›r. Bu b gerçel say›s›na a say›s›n›n n. kuvvetten kökü denir ve bu b
say›s›
n
a veya a1/n
biçiminde gösterilir. Simgesel olarak,
bn = a ¤ b =
n
a = a1/n
dir. E¤er a < 0 ve n tek do¤al say› ise,
n
n
a yine tan›ml›d›r ve bu durumda
n
b= a=-a
d›r. Bu b say›s›n›n negatif oldu¤u aç›kt›r.
a < 0 ve n çift do¤al say› olma durumunda
Ayr›ca a ≠ 0 ve a1/n tan›ml› ise
a -1/n =
n
a tan›ml› de¤ildir.
1
a
1/n
dir.
Benzer olarak, m, n do¤al say›lar ve n ≠ 0 olmak üzere, a ≥ 0 veya a < 0 olmakla birlikte n tek ise,
a m /n =
n
a
m
=
n
am
olur.
ÖRNEK 9
5
ÇÖZÜM
a)
ÖRNEK 10
a)
5
32 = ?
5
32 =
3
b) -8 =
b)
3
-8 = ?
25 = 25/5 = 21 = 2
3
-2
3
= -2
3/3
= -2 1 = -2
ÇÖZÜM
x = -1 eﬂitli¤ini sa¤layan hiç bir x gerçel say›s› bulunamayaca¤›n›
gösteriniz.
x2 =
-1
2
= -1 2/2 = -1 1 = -1
olaca¤›ndan x2 = -1 eﬂitli¤ini sa¤layan x gerçel say›s› olsayd› bu x say›s› ya
x < 0 veya x = 0
ya da x > 0 olacakt›.
x < 0 ﬁ x . x = x2 > 0 ﬁ x2 ≠ -1
x = 0 ﬁ x . x = 0 . 0 ﬁ 02 = 0 ≠ -1
x > 0 ﬁ x . x = x2 > 0 ﬁ x2 ≠ -1 olur ki böyle bir x Œ R bulunamaz.
Mutlak De¤er
a, b > 0 , c, d Œ R
n
a. b = a. b
1.
n
2.
3. c
1/n
a = a
b
b
n
a ± d
n
ve
1/n
n Œ N ise
1/n
= a1/n . b
1/n
= a
=
1/n
b
a =
n
n
n
c±d
=
n
15
Köklü ifadelerin baz› iﬂlemleri üslü
ifadelerden kolayca elde edilir.
a.
n
b
a
b
a
olur.
1.
a) (-2)2 - 22 -23 - (-2)3 = ?
3
2
5
c) a . b
4
3
a
b
2.
6
10 .
4
3.
6
=?
100 .
6
d)
27-6 . - 1
32
SIRA S‹ZDE 6
-8
= ?
b) 3 50 + 128 - 4 242 = ?
1000 = ?
d) 4
3
-3 4 = ?
a)
65 . 14 4 . 15 3 = ?
214 . 10 2 . 12 3
4
a) 108 - 48 + 27 = ?
c)
b)
b)
3
7 -2
3
7 +5
4 20 . 2
4 5
3
7 =?
625 = ?
3
3
3
3
c) 4 + 4 + 4 + 4
2
2
2
2 + 2 + 2 + 22
MUTLAK DE⁄ER
AMAÇ
6
Mutlak de¤er kavram›na dayal› olarak gerçel eksen üzerindeki
iki nokta aras›ndaki uzakl›¤› hesaplamay› ö¤reneceksiniz.
Mutlak de¤er kavram›, cebirsel olarak kök içeren hesaplamalarda ve geometrik
olarak da iki nokta aras›ndaki uzakl›k kavram›n›n belirlenmesinde önemli rol
oynar.
Bir a Œ R say›s›n›n 0 (s›f›r ) a olan uzakl›¤›na a say›s›n›n mutlak de¤eri veya büyüklü¤ü denir. Bu say› |a| ile gösterilir. Di¤er bir ifadeyle
0 ; a = 0 ise
-a ; a < 0 ise
d›r.
Aﬂa¤›daki özellikler tan›m kullan›larak kolayca elde edilir.
a, b Œ R ve n Œ N için;
1.
a =
a2
4. - a ≤ a ≤ a
a2 = a = a
a2
=
-a
ve a < 0 ise
2
= -a = a
2
d›r. a = a eﬂitli¤i
özellikle çift kuvvetten köklü
denklemlerde kullan›l›r.
a ; a > 0 ise
|a| =
• Her a Œ R için | a | ≥ 0 d›r.
• Her a Œ R için a = a2 dir.
Çünkü a 0 ise
2.
a 2 = a2
5.
a = a
b
b
3.
6.
-a = a
an = a
n
Mutlak De¤er
16
7.
a. b = a . b
10.
a - b
8.
≤ a-b
a-b = b-a
9.
a+b ≤ a + b
11. |a | = max { -a, a }
Mutlak de¤er kavram› do¤al olarak uzakl›k kavram›n› gündeme getirir. Say›
do¤rusu üzerinde koordinatlar› a ve b olan A ve B noktalar›n› alal›m. Uzakl›¤›n
negatif olmay›ﬂ›ndan, A ve B noktalar› aras›ndaki uzakl›¤a d denirse, B, A n›n
sa¤›nda oldu¤unda b - a negatif de¤ildir. Bu durumda
d = b - a = |b - a|
dir. A, B nin sa¤›nda ise a - b negatif de¤ildir.
d = a - b = -(b - a) = |b - a|
dir. Böylece d = d (A, B) = |b - a| d›r.
A
B
B
A
a
b
b
a
b-a
a-b
d = d (A, B) = |b - a|
ﬁimdi ileride mutlak de¤erli denklem ve eﬂitsizliklerde kullanaca¤›m›z birkaç
ifade verelim.
Geometrik Anlam›
Gösteriliﬂi
ÖRNEK 11
|x - a|
x ile a aras›ndaki uzakl›k
|x+ a| = |x - (-a)|
x ile -a aras›ndaki uzakl›k
|x| = |x - 0|
x ile 0 (s›f›r) aras›ndaki uzakl›k
Koordinatlar› a ve b olan A ve B noktalar› aras›ndaki uzakl›¤› bulunuz.
ÇÖZÜM
a) a = 3, b = 7
1
2
b) a = - 2 , b =
c) a = 0, b = -7
a) d (A, B) = b - a = 7 - 3 = 4 = 4
b) d - 2 , 1
2
=
1 2
= 1+2 =
2
- 2
3
2
c) d (0, -7) = -7 - 0 = -7 = - -7 = 7
ÖRNEK 12
ÇÖZÜM
a) x - 3
a)
= 2 b) x - 5
< 1 c) x + 3
> 3 çözüm kümelerini bulunuz.
|x - 3| = 2, 3 noktas›na 2 birim uzakl›ktaki x noktalar›
2
3-2
olaca¤›ndan Ç = {1, 5} dir.
2
3
3+2
olaca¤›ndan Ç = { 1, 5} dir.
Mutlak De¤er
b)
17
|x - 5| < 1, 5 noktas›na uzakl›¤› 1 birimden küçük olan x noktalar›
1
5-1
1
5+1
5
olaca¤›ndan Ç = (4, 6) aral›¤›d›r.
a)
|x + 3| = |x - (-3) | > 3, -3 noktas›na uzakl›¤› 3 birimden büyük olan
x noktalar›
3
-3 + (-3)
3
-3 + 3
-3
olaca¤›ndan Ç = (-∞, -6) » (0, ∞) aral›¤›d›r.
1.
Koordinatlar› a ve b olan A ve B noktalar› aras›ndaki uzakl›¤› bulunuz.
a) a = -7, b = 7
b) a = - 1 , b = - 2
2
c) a = - 5 , b = 3
7
7
Mutlak de¤erin geometrik anlam›n› kullanarak aﬂa¤›daki koﬂullar›n herbirine
uyan x’lerin kümelerini bulunuz.
2.
a) x + 2
= 3
b) x - 7
< 4
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor
(1845 - 1918)
Cantor, kümeler kuram›n› kuran ve sonsuz nicelik say›s› kavram›n› ortaya koyan ünlü matematikçidir.
"Matematikte bir soru ortaya koyabilme, soruyu çözmekten daha de¤erlidir."
Georg CANTOR
"Sonsuz ! Baﬂka hiçbir problem insan zihnini
bu kadar kar›ﬂt›rmam›ﬂt›r."
David HILBERT
c) x + 5
> 2
SIRA S‹ZDE 7
Kendimizi S›nayal›m
18
Kendimizi S›nayal›m
1. "MATEMAT‹K" ve "‹STAT‹ST‹K" kelimelerinin harflerinin oluﬂturduklar› kümeler s›ras›yla A ve B olsunlar. A«B
kümesi aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
a. { T, A, K }
b. { K, A, T, E }
c. { K, A, ‹ }
d. { ‹, T, A, K }
e. { A, T, S, ‹ }
2. A = {1, 3, 5, 7, 9} , B = {3, 5, 9} ve
C = { x | x2 = 9, x Œ N}
kümeleri veriliyor. Aﬂa¤›dakilerden hangisi yanl›ﬂt›r?
a. C Ã A
b. C Ã B
c. A « B « C = C
d. B » C Ã A
e. B « C = B
3.
C
A
B
A » B » C = E olmak üzere A, B ve C kümeleri birer
dikdörtgen ile gösterilmiﬂtir. Aﬂa¤›dakilerden hangisi taral› olarak verilen küme de¤ildir?
a. (A » B ) \ C
b. (A « C ) » (B « C )
c. (A » B ) \ C t
d. (At « Bt )t « C
e. (A » B ) « C
4.
C
A
Taral›
a.
b.
c.
d.
e.
B
E
olarak verilen küme aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
(A » B ) \ C
(A « C ) » (B « C )
(C \ A ) « (C \ B )
(A » B )t \ C t
(A » B )t » C
5. N do¤al say›lar kümesi ve a bir do¤al say› olmak
üzere a N = {ak |k Œ N} kümesini göstersin. Buna göre
3 N « 7 N kümesi aﬂa¤›dakilerden hangisine eﬂittir?
a. 3 N
b. 7 N
c. 10 N
d. 21 N
e. 4 N
6. A ve B herhangi iki küme oldu¤una göre, A \ B kümesi aﬂa¤›dakilerden hangisine eﬂit de¤ildir?
a. A « Bt
b. (At » B)t
c. Bt \At
d. (A » Bt )t
e. A « (A « B )t
7. A = { x | x Œ N ve 1 < x ≤ 8 } ve
B = { x | x Œ N ve x ≥ 3}
ise (A « B)t kümesi aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
a. { 2, 3 }
b. { 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
c. N \ {2, 3}
d. N \ { 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
e. N \ { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
8. Aﬂa¤›dakilerden hangisi rasyonel say› de¤ildir?
a. 0,232323...
b. 3,576
c. 1,267
d. 0,323323332...
e. 0,2562
9. Aﬂa¤›dakilerden hangisi bir irrasyonel say›d›r?
a.
3
-8
b. 2 3
4 27
c. 3 18
2 6
d. 12
4
1
e.
3
10. a > b > 0 ve c = a + 6b oldu¤una göre, c'nin
b
alaca¤› tüm de¤erler, aﬂa¤›daki aral›klar›n
hangisindedir?
a.
6
b.
6
c.
1
6
d.
7
e.
7
Biraz Daha Düﬂünelim
11. a < b ve ka > kb ise, aﬂa¤›dakilerden hangisi
yanl›ﬂt›r?
a. k3 < 0
b. -k > 0
c. k > 0
d. a - b < 0
e. k3 < k2
12. a . b > 0 ifadesine denk olan ifade, aﬂa¤›dakilerden
hangisidir?
a. a > b
b. b > 0
c. a > 0
d. a2 - b2 > 0
e. a > 0
b
5. Verilen tabloyu tamamlay›n›z.
A
d)
3
7
37
125
127
27
13
133
A«B
A\B
A » Bt
B \ At
[-1, ∞)
(-3, 5)
[3, 11]
[-2, 4]
(0, ∞)
.
-5
-8
0,02
-2
0,04
-2
2
=?
0,125
-2 -2. -4
d.
=?
-5
=?
-4
e) 4 . - 4-1/3
3 3
=?
93
92
f) 2 - 2 = ?
94
2
b)
b = 18 ,
19
-5
0,8 3 .
c)
B\A
= ?
4
3,25
A\B
2
22 -1
4
3
5
d= 1
6
4
16 = ?
3
4
4
1 2 =?
2
1,44 -
c)
3
d)
3
0,008 - 4
4
0,0081 = ?
6
9
3 =?
3
c = 37
32
4. A = { x Œ R | -3 ≤ x < 7 } ,
kümelerini bulunuz?
a)
b)
c)
d)
(-∞, 3)
7. a)
3. Verilen say›lar› s›ralay›n›z.
a) a = 3 , b = 4 , c = -3 ,
2
3
4
b) a = 15 ,
17
(2, 7)
32,5
b) 3,913
c) 0, 339
d) 1, 1347
2. Verilen rasyonel say›lar›n devirli ondal›k yaz›l›m›n›
bulunuz.
c)
(-∞, 3)
b)
1. Aﬂa¤›daki devirli ondal›k say›lar›n eﬂiti olan rasyonel
say›lar› belirleyiniz.
a) 6,242424 = 6,24
b)
(-1, 5)
-2
Biraz Daha Düﬂünelim
a)
(3, 7)
6. a)
A«B
A»B
B
e) x
3/2
= 27 ise x = ?
B={xŒR|x≥4}
8.
4
-16 ’n›n bir gerçel say› olmad›¤›n› görünüz.
19
Özdeﬂlikler
Denklemler ve
Eﬂitsizlikler
2
Amaçlar
Bu üniteyi çal›ﬂt›ktan sonra;
denklem çözümlerinde kullan›lan temel özdeﬂlikleri ö¤renebilecek,
birinci, ikinci ve üçüncü derece denklemleri çözümleyebilecek,
birinci ve ikinci derece eﬂitsizliklerin çözümlerini bulabilecek,
köklü ve mutlak de¤erli denklemler ile baz› mutlak de¤erli eﬂitsizliklerin çözümlerini yapabileceksiniz.
22
Özdeﬂlikler, Denklemler ve Eﬂitsizlikler
‹çindekiler
• De¤iﬂken, Sabit, Parametre, Özdeﬂlikler ve Denklemler
• Eﬂitsizlikler
• Tan›mlar iyi anlaﬂ›lmal›, özdeﬂlikler ö¤renilmeli,
• al›ﬂt›rmalar çözülmelidir.
Giriﬂ
A ve B gibi iki oto kiralama firmas›ndan, A firmas› bir arabay› günlük 3.200.000
TL ve kilometre baﬂ› 40.000 TL’ ye, B firmas› ise ayn› marka bir arabay› günlük
4.000.000 TL ve kilometre baﬂ› 32.000 TL ye kiraya vermektedir. A firmas›ndan
bir haftal›¤›na bir araba kiralayan bir kiﬂinin bu firmaya ödeyece¤i paran›n B
firmas›na ödemesi gereken paradan az olmas› için bu kiﬂinin arabay› en fazla
kaç kilometre kullanmas› gerekir?
Günlük yaﬂant›m›zdaki problemlerin pek ço¤u bir ya da birkaç bilinmeyenli
denklemler ya da eﬂitsizliklerle ifade edilebilir. Örne¤in, yukar›daki soru bir eﬂitsizlik yard›m›yla çözülecektir (bkz. 14. Örnek). ‹ki kesimden oluﬂacak bu ünitenin ilk kesiminde ön bilgiler, özdeﬂlikler, birinci, ikinci ve yüksek dereceli denklemlerin çözümleri üzerinde duraca¤›z. ‹kinci kesim eﬂitsizlik çözümleri ile ilgili
olacakt›r.
De¤iﬂken, Sabit, Parametre, Özdeﬂlikler ve Denklemler
23
DE⁄‹ﬁKEN, SAB‹T, PARAMETRE, ÖZDEﬁL‹KLER VE
DENKLEMLER
AMAÇ
Denklem çözümlerinde kullan›lan temel özdeﬂlikleri ö¤reneceksiniz.
1
De¤iﬂebilen, yani farkl› de¤erler alabilen bir büyüklü¤e de¤iﬂken, her zaman ayn› kalan bir büyüklü¤e sabit ve bazen de¤iﬂken bazen de sabit olarak iﬂlem gören bir büyüklü¤e de parametre denir.
Örne¤in; ekonomide fiyat, kazanç, gelir, maliyet gibi kavramlar de¤iﬂkendir. x
bir de¤iﬂken olmak üzere 3x - 5 yaz›l›ﬂ›nda 3, -5 sabitlerdir. ax - 5 ifadesinde
a n›n 3 de¤eri olabildi¤i gibi baﬂka de¤erlerde olabilece¤i düﬂünülürse a bir
parametredir.
De¤iﬂken, parametre, sabit ve bunlar›n farklar›, toplamlar›, çarp›mlar›, bölümleri, kökleri vs. içeren ancak eﬂitlik, eﬂitsizlik içermeyen x + a , 2x - 3, x - a + 7,
.... gibi ifadelere cebirsel ifade denir.
De¤iﬂkenlerin ald›¤› her de¤er için birbirlerine eﬂit olan iki cebirsel ifadeye
özdeﬂtir denir. Böyle bir eﬂitli¤e de özdeﬂlik ad› verilir.
Her x , y Œ R için
Bir cebirsel ifadede = , ≤ , < , ≥ ve
> simgeleri bulunmaz.
Özdeﬂ iki cebirsel ifadeden biri, di¤eri yerine al›nabilir.
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
eﬂitli¤i do¤ru oldu¤undan (x + y)2 cebirsel ifadesi
desi birbirlerine özdeﬂtir.
Baz› önemli özdeﬂlikler aﬂa¤›da verilmiﬂtir.
a) x2 - y2 = (x - y) (x + y)
b) x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 = (x + y) (x + y)
c) x2 - 2xy + y2 = (x - y)2 = (x - y) (x - y)
d) x3 - y3 = (x - y) (x2 + xy + y2)
e) x3 + y3 = (x + y) (x2 - xy + y2)
AMAÇ
2
ile x2 + 2xy + y2 cebirsel ifa-
(iki kare fark›)
(tam kare)
(tam kare)
(iki küp fark›)
(iki küp toplam›)
a, b Œ R , a π 0 olmak üzere
ax + b = 0 biçimindeki bir denkleme birinci dereceden bir bilinmeyenli
denklem denir. Böyle bir denklemin
tek çözümü x = - b/a d›r. Denklemin çözüm kümesi
Ç = {- b/a} d›r.
Birinci, ikinci ve üçüncü derece denklemleri çözümleyebileceksiniz.
De¤iﬂken bulunduran ve de¤iﬂkenin baz› de¤erleri için do¤ru olan eﬂitliklere
denklem denir. Bir denklemde, de¤iﬂkenin eﬂitli¤i do¤rulayan de¤erlerine de
denklemin kökleri ad› verilir.
Verilen bir denklemin çözümlerinin varl›¤› ve bulunabilmesi matematikte
önemli bir konudur. Bilindi¤i gibi her tür denklemin çözümünde izlenecek genel
bir yol olmad›¤›ndan, denklemler çeﬂitli biçimlerde s›n›fland›r›larak çözüm yollar›
aran›r. Bu s›n›fland›rmalardan ikisi denklemlerin bilinmeyen say›s›na ve bilinmeyenlerin en yüksek derecesine göre s›n›flamad›r.
Tek bilinmeyen içeren denklemlere bir bilinmeyenli denklemler, iki bilinmeyen içeren denklemlere iki bilinmeyenli denklemler, benzer ﬂekilde n-bilinmeyen içeren denklemlere de n-bilinmeyenli denklemler denir.
Örne¤in ; x + 3 = 7 bir bilinmeyenli, 2xy + y = 1 iki bilinmeyenli ve
x + 2y + z = 20 ise üç bilinmeyenli denklemlerdir.
Tek bilinmeyen içeren ve bilinmeyenin derecesi bir olan denkleme, birinci
dereceden bir bilinmeyenli denklem (veya k›saca birinci derece denklem),
tek bilinmeyen içeren ve bilinmeyenin derecesi iki olan bir denkleme ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem (veya k›saca ikinci derece denklem), benzer
ﬂekilde bir bilinmeyen içeren ve bilinmeyenin derecesi n - olan bir denkleme
a, b, c Œ R ve a π 0 olmak üzere ax2 + bx + c = 0 tipindeki bir
denkleme ikinci derece denklem denir. Böyle bir denklemin
D = b2 - 4ac olmak üzere
• D < 0 ise gerçel çözümü yoktur.
b
• D = 0 ise x = 2a
-b - D
• D > 0 ise x 1 =
2a
ve x 2 = -b + D
2a
gibi iki farkl› çözümü vard›r. K›saca
çözüm kümesi
Ç=
dir.
2
-b-
b - 4ac
2a
-b+
b - 4ac
2a
2
,
De¤iﬂken, Sabit, Parametre, Özdeﬂlikler ve Denklemler
24
n. dereceden bir bilinmeyenli bir denklem (veya k›saca n. derece denklem)
denir.
Bu kesimde 1. , 2. ve 3. derece denklemlerin çözüm yöntemlerine k›saca
de¤inece¤iz.
ÖRNEK 1
ÇÖZÜM
3x + 12 + x - 8 = 10 + 2x + 4 denklemini çözünüz.
3x + x + 12 - 8 = 2x + 10 + 4
4x + 4 = 2x + 14
4x - 2x = 14 - 4
2x = 10
x=5
Böylece Ç = {5} dir.
ÖRNEK 2
ÇÖZÜM
2 x- 1 x = - 1 x- 2
2
6
3
denklemini çözünüz.
x lerin katsay›lar›n›n en küçük ortak kat› 6 oldu¤undan denklemin her iki yan› 6 ile çarp›l›rsa
6 . 2 x- 6 . 1 x = 6 . - 1 x- 6 . 2
3
2
6
4x - 3x
x+x
2x
x
= -x - 12
= -12
= -12
= -6
olur. Böylece Ç = {-6} d›r.
ÖRNEK 3
ÇÖZÜM
4x2 - 8x - 5 = 0 denklemini çözünüz.
ax2 + bx + c = 4x2 - 8x - 5 = 0 ve a = 4 , b = -8 ve c = -5 oldu¤undan
x 1,2 =
- b±
b 2 - 4ac
- (-8) ±
=
2a
(-8) 2 - 4 . (4) . (-5)
2 . (4)
=
8 ± 12
8 ± 64 + 80
8 ± 144
=
=
8
8
8
=
2±3
2
x1 = 5 ,
2
olur ve çözümler
x2 = - 1
2
yani
Ç= -1,5
2 2
olur.
De¤iﬂken, Sabit, Parametre, Özdeﬂlikler ve Denklemler
1 x2 = 2 x - 1
5
2
10
25
ÖRNEK 4
denklemini çözünüz.
ÇÖZÜM
10 . 1 x 2 = 10 . 2 x - 1
2
10
5
x2 = 4x - 5
x2 - 4x + 5 = 0
a = 1 , b = -4 ve c = 5 olmak üzere
D = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 .(1) . (5) = 16 - 20 = -4 < 0
oldu¤undan gerçel çözüm yoktur. Ç = Ø dir.
ÖRNEK 5
x2 - 10x + 25 = 0 denklemini çözünüz.
b2 - 4ac
- (-10) ±
=
2a
- b±
x 1,2 =
x1 = x2 = 5
(-10) 2 - 4 . (1) . (25)
2 . (1)
= 10 = 5
2
olur. Ç = {5} dir.
a) 2x2 - 7x + 3 = 0
-1
x
-3
-6x - x = -7x
Bir çarp›m›n s›f›r olmas› için çarpanlar›ndan en az biri s›f›r olmal›d›r.
,
x1 = 1/2
x-3=0
,
x2 = 3
d›r.
olur. Ç = {1/2, 3} olur.
b) x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0
2+3
d›r.
2.3
Böylece x + 2 = 0 , x + 3 = 0
Ç = {-3, -2} dir.
olaca¤›ndan x1 = -2 , x2 = -3 çözüm olur.
ÇÖZÜM
2x
2x - 1 = 0
ÖRNEK 6
b) x2 + 5x + 6 = 0 denklemlerini çözünüz.
a) 2x2 - 7x + 3 = (2x - 1) (x - 3) = 0 d›r.
Buradan
ÇÖZÜM
a = 1 , b = -10 ve c = 25 dir.
‹kinci derece denklemleri çarpanlar›na ay›rarak çözmede yararl› olacak iki ifadeyi verelim.
aπ1 olmak üzere ax2+ bx + c
ikinci derece ifadeleri
a = p . q ve c = m . n olmak
üzere b = p . n + q . m oluyorsa
ax2 + bx + c = (px + m) (qx + n)
px
m
qx
n
bx = (pn + qm)x
olarak yaz›l›r.
Özel olarak a = 1 , c = p . q ve
b = p + q ise
x2 + bx + c
= x2 + (p + q) x + p . q
= (x + p) (x + q)
biçiminde yaz›l›r.
De¤iﬂken, Sabit, Parametre, Özdeﬂlikler ve Denklemler
26
ÖRNEK 7
ÇÖZÜM
a) 3x2 - x = 0
a)
b)
ﬁ x (ax+b) = 0
ﬁ x=0 ,
x=-
x2 - 9 = 0
1
, x2 =
olur.
3
ﬁ x2 = 9
x1 = -3 veya x = 3
Ç = {-3, 3} tür.
b
a
denklemlerini çözünüz.
3x2 - x = x (3x - 1) = 0 oldu¤undan
x1 = 0 , 3x - 1 = 0
Ç = {0, 1/3} tür.
ax 2 + bx + c = 0 denkleminde
• c = 0 ise ax 2 + bx = 0
b) x2 - 9 = 0
ﬁ x= - 9
veya
x= 9
oldu¤undan
olur.
ise ax 2 + c = 0 ,
c
c
ﬁ x 2 = - a , - a ≥ 0 olmak
koﬂuluyla
c
, x2 = - ac
x1 = - - a
olur.
• b=0
ÖRNEK 8
ÇÖZÜM
a) x3 + x2 = 20x
ÖRNEK 9
b) x3 + 3x2 - x - 3 = 0
denklemlerini çözünüz.
a)
x3 + x2 - 20x = 0
ﬁ
ﬁ
ﬁ
ﬁ
ﬁ
x (x2 + x - 20) = 0
x (x + 5) (x - 4) = 0
x=0 , x+5=0 , x-4=0
x1 = 0 , x2 = -5 , x3 = 4
Ç = {-5, 0, 4}
b)
x3 + 3x2 - x - 3 = 0
ﬁ
ﬁ
ﬁ
ﬁ
ﬁ
x2 (x + 3) - (x + 3) = 0
(x + 3) (x2 - 1) = 0
(x + 3) (x + 1) (x - 1) = 0
x1 = -3 , x2 = -1 , x3 = 1
Ç = {-3, -1, 1}
ÇÖZÜM
Bir ﬂirket, birim baﬂ›na maliyeti (iﬂçilik ve araç gereç) 100 milyon TL olan
f›r›n üretmektedir. ﬁirketin de¤iﬂmez giderleri bir ayl›k 10 milyar TL dir.
Ürünün sat›ﬂ fiyat› 130 milyon TL ise ﬂirketin ayl›k kâr›n›n 11 milyar TL
olmas› için satmas› gereken ürün say›s›n› belirleyiniz.
Sat›lmas› gereken ürün say›s›n› x ile gösterelim.
Bu ürünlerin maliyeti 100x milyon TL dir.
‹ﬂletmenin toplam maliyeti 100 x + 10.000 milyon TL dir.
ﬁirketin toplam geliri ise 130 x milyon TL dir.
Kâr
11.000
30 x
x
=
=
=
=
=
Toplam gelir - Toplam gider
130 x - [(100 x) + (10.000)]
30 x - 10.000
21.000
700 adet ürün satmal›d›r.
Eﬂitsizlikler
1)
2)
3)
27
SIRA S‹ZDE 1
Verilen denklemleri çözünüz.
a) 4 + 5 (2x - 3) = 3 (4x - 1)
b) 3x - 4 (2 - x) = 3 (x - 2) - 4
c) 3 [2 - 4 (2x - 1)] = 4x - 10
d) 5 [2 - (2x - 4)] = 2 (5 - 3x)
Verilen denklemleri çözünüz.
a) 3x2 + x - 2 = 0
b) 2x2 - x - 3 = 0
c) 33x2 + 34x - 35 = 0
d) 8x2 - 22x + 15 = 0
e) 4x (3x - 2) - 7 (3x - 2) = 0
f) 2x (5x - 2) - 3 (2 - 5x) = 0
g) x2 - 81 = 0
h) x2 + 14x + 49 = 0
›) x2 + 64 = 0
i) 25x2 - 5x = 0
Verilen denklemleri çözünüz.
a) 12x3 - 75x = 0
b) x3 + 4x2 + 4x = 0
c) x4 + 2x3 - 35x2 = 0
d) 2x3 + 16x2 + 66x = 0
Eﬁ‹TS‹ZL‹KLER
AMAÇ
Birinci ve ikinci derece eﬂitsizliklerin çözümlerini bulabileceksiniz.
3
Eﬂit olmayan ve s›ralanabilen iki cebirsel ifadeden birinin di¤erinden büyük
(veya büyük eﬂit, küçük veya küçük eﬂit) oldu¤unu belirleyen ba¤›nt›ya eﬂitsizlik denir. Bu kesimde eﬂitsizliklerin çözüm kümelerinin bulunuﬂu üzerinde
duraca¤›z.
ax + b ≤ 0 , ax + b ≥ 0 , ax + b < 0 veya ax + b > 0 biçiminde yaz›labilen bir eﬂitsizli¤e birinci dereceden eﬂitsizlik denir.
ÖRNEK 10
3 + 5x ≤ 3x - 9 eﬂitsizli¤inin çözüm kümesini bulunuz.
bulunur. -6 ya eﬂit ve -6 dan küçük x lerin kümesi verilen eﬂitsizli¤in çözüm kümesidir. Ç = {x | x ≤ -6} = (-• , -6] aral›¤›d›r.
ÇÖZÜM
5x - 3x ≤ -9 - 3
2x ≤ -12
x ≤ -6
Eﬂitsizlikler
28
ÖRNEK 11
ÇÖZÜM
7 ≤ 2 - 5x < 9 eﬂitsizli¤ini çözünüz.
Verilen eﬂitsizlik 7 ≤ 2 - 5x ve 2 - 5x < 9 eﬂitsizliklerinin bir arada yaz›m›d›r.
Böyle bir eﬂitsizli¤in çözüm kümesi, eﬂitsizliklerin ayr› ayr› çözümlerinden elde edilen çözüm kümelerinin kesiﬂimidir. Ancak, bu iki eﬂitsizli¤in birlikte çözümü aﬂa¤›daki biçimde de mümkündür.
7 ≤ 2 - 5x < 9
(-2) + 7 ≤ (-2) + 2 - 5x < (-2) + 9
5 ≤ -5x < 7
-1 .5 ≥
5
- 1 (-5x ) >
5
-1 .7
5
(eﬂitsizli¤in her üç yan›n› - 1
5
de¤iﬂtirdi.)
negatif say›s› ile çarpt›¤›m›zdan eﬂitsizlikler yön
-1 ≥ x > - 7
5
bulunur. Son ifade Ç =
x Œ R - 7 < x ≤ -1
5
= - 7 , -1
5
oldu¤unu verir.
Birinci derece bir bilinmeyenli eﬂitsizlikler tablo ile de çözülür. Bunun için
ax + b cebirsel ifadesinin iﬂareti incelenmelidir. Bu ifade x = - ab için 0 (s›f›r)
oldu¤undan tablo aﬂa¤›daki gibi düzenlenir.
x
ax + b
ÖRNEK 12
b
a
-∞
a n›n iﬂaretinin
tersi
0
+∞
a n›n iﬂaretinin
ayn›s›
ÇÖZÜM
5 (x - 2) > 9x - 3 (2x - 4) eﬂitsizli¤ini çözünüz.
1. Yol
5x - 10 > 9x - 6x + 12
5x - 10 > 3x + 12
5x - 3x > 10 + 12
2x > 22
x > 11
Ç = (11, +•)
2. Yol
5x - 10 > 9x - 3 (2x - 4)
2x - 22 > 0
2x - 22 = 0 ﬁ x = 11
x
2x - 22
11
-∞
-
Ç = (11, +•) olur.
0
+∞
+
Eﬂitsizlikler
29
ÖRNEK 13
Bir mal›n al›ﬂ fiyat› x lira ve sat›ﬂ fiyat› y lirad›r. Sat›ﬂ için iki durum söz
konusudur.
I. Durum : y = 3x + 1300
II. Durum : y = 7x - 1100
II. Durum I. Durum'dan daha kârl› ise x tam say› olarak en az kaç lira
olmal›d›r?
ÇÖZÜM
3x + 1300 < 7x - 1100
2400 < 4x
600 < x olur. x = 601 lira olmal›d›r.
ÖRNEK 14
A ve B gibi iki oto kiralama firmas›ndan A firmas› bir arabay› günlük
3.200.000 TL. ve kilometre baﬂ› 40.000 TL ye, B firmas› ise ayn› marka bir
arabay› günlük 4.000.000 TL ve kilometre baﬂ› 32.000 TL ye kiraya veriyor. A firmas›ndan bir haftal›¤›na araba kiralayan bir kiﬂinin bu firmaya
ödeyece¤i paran›n, B firmas›na ödemesi gereken paradan az olmas› için
bu kiﬂinin arabay› en fazla kaç km. kullanmas› gerekti¤ini bulunuz.
ÇÖZÜM
7 (3.200.000) + x (40.000) < 7 (4.000.000) + x 32.000
x (8.000) < 7 (800.000)
x < 700
kullanaca¤› maksimum kilometre 699 km. olmal›d›r.
ax2 + bx + c > 0 , ax2 + bx + c ≥ 0 , ax2 + bx + c < 0 veya ax2 + bx + c ≤ 0
biçiminde bir eﬂitsizli¤e ikinci derece eﬂitsizlik denir. Bu tür bir eﬂitsizli¤in çözümü için ax2 + bx + c üç terimlisinin iﬂareti incelenmelidir.
Bunun için üç durum söz konusudur.
1. DURUM : ∆ = b2 - 4ac > 0 ise ax2 + bx + c = 0 denkleminin iki farkl›
çözümü vard›r. x1 < x2 olmak üzere kökler x1 , x2 olur.
x
x
-∞
ax 2 + bx + c
a n›n iﬂaretinin
ayn›s›
x
1
a n›n iﬂaretinin
tersi
0
+∞
2
0
a n›n iﬂaretinin
ayn›s›
b
2
2. DURUM : D = 0 ise ax + bx + c = 0 ›n eﬂit iki kökü var ve x 1 = x 2 = 2a
x
ax2 + bx + c
-∞
a n›n iﬂaretinin
ayn›s›
-
b
2a
0
+∞
a n›n iﬂaretinin
ayn›s›
Eﬂitsizlikler
30
3. DURUM : ∆ < 0 ise ax2 + bx + c = 0 '›n kökü yoktur. Bu durumda
(i) a > 0 ise daima ax2 + bx + c > 0 (iﬂareti daima pozitif)
(iﬂareti daima negatif) olur.
(ii) a < 0 ise daima ax2 + bx + c < 0
ÖRNEK 15
ÇÖZÜM
b) x2 ≤ 5x - 4
a) x2 - 3x > 4
eﬂitsizliklerini çözünüz.
c) x2 + 6x + 9 ≤ 0
d) 3x2+ x + 4 ≥ 0
a) x2 - 3x - 4 > 0 eﬂitsizli¤ini çözmek için
•
Önce x2 - 3x - 4 = 0 denklemi çözülür.
x 1,2 =
x1 = -1
•
- b±
,
b2 - 4ac
- (-3) ± 9 + 4 . 4
3 ± 25
3±5
=
=
=
2a
2
2
2
x2 = 4 bulunur.
Sonra x2 - 3x - 4 ün iﬂareti incelenir.
x
-∞
2
x - 3x - 4
•
-1
+
-
0
+∞
4
+
0
Pozitif iﬂaretli yerler çözüm olaca¤›ndan çözüm kümesi taral› k›s›m olan
Ç = (- ∞ , -1) » (4 , + ∞ ) kümesi olur.
b) x2 - 5x + 4 ≤ 0
•
x 2 - 5x + 4 = 0 ﬁ x 1, 2 =
x
•
1
-∞
2
+
x - 5x + 4
•
5 ± 25 - 16
5±3
=
2
2
0
ﬁ x1 = 1 , x2 = 4
+∞
4
-
+
0
Ç = [1 , 4]
c) x2 - 6x + 9 ≤ 0
•
•
x 2 + 6x + 9 = 0
x
x2 + 6 x+ 9
•
ﬁ
x 1, 2 =
-6 ± 36 - 36
= -3
2
-3
-∞
+
0
olur.
+∞
+
ifade -3 de s›f›rd›r ve di¤er hiçbir noktada negatif olmaz. Bu nedenle
Ç = {-3}
Eﬂitsizlikler
31
d) 3x2 + x + 4 ≥ 0
3x2 + x + 4 = 0 , ∆ = b2 - 4ac = 1 - 4 . 4 . 3 = -47 < 0 oldu¤undan
gerçel kök yoktur ve a = 3 > 0 oldu¤undan 3x2 + x + 4 daima pozitiftir.
Ç = R olur.
•
P (x ) = Q (x )
Eﬂitsizlikler kullan›larak
çözülebilirler.
P (x ) ≥ 0
P (x ) = Q (x ) ¤
biçimindeki köklü deklemler
ve P (x ) = Q (x )2
Q (x ) ≥ 0
Uygulamada P (x) = (Q(x))2 denklemi çözülür ve ç›kan çözümlerden orijinal
denklemi sa¤layanlar al›n›r.
3x + 4 - x = 2
ÖRNEK 16
denklemini çözünüz.
ﬁ
3x + 4
2
= x+ 2 2
ﬁ
3x + 4 = x 2 + 4x + 4
ﬁ
x2 + x = 0
ﬁ
x1 = 0 ,
Bunlar verilen denklemi sa¤lar.
ÇÖZÜM
3x + 4 = x + 2
x 2 = -1
Ç = {-1 , 0} d›r.
Aﬂa¤›daki bilgiler ve eﬂitsizlikler kullan›larak verilen mutlak de¤erli denklem
ve eﬂitsizliklerin çözümleri bulunur.
•
•
•
| P (x) | = a
| P (x) | < a
| P (x) | > a
¤
¤
¤
P (x) = ± a olan x ler
-a < P (x) < a olan x ler
P (x) < - a veya P (x) > a olan x ler
çözüm olur.
a) | 2x - 5 | = 3
b)
1 <3 ¤
x- 3
¤
1 <3
x- 3
2x - 5 = ± 3
1 <3
x- 3
x- 3 > 1
3
¤ x =
5±3
2
¤ Ç = {1 , 4}
¤
x- 3 ≠ 0
¤
x - 3 < - 1 veya x - 3 > 1
3
3
olmak üzere
¤ Ç = -• , 3 - 1 » 3 + 1 , +•
3
3
=
ÖRNEK 17
c) | 2x + 3 | ≤ 1
-• , 8 » 10 , +•
3
3
ÇÖZÜM
a) | 2x - 5 | = 3
b)
Eﬂitsizlikler
32
c) | 2x + 3 | ≤ 1
SIRA S‹ZDE 2
¤
-1 ≤ 2x + 3 ≤ 1
¤
¤
¤
-4 ≤ 2x ≤ -2
-2 ≤ x ≤ -1
Ç = [-2 , -1]
1. Aﬂa¤›daki eﬂitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz.
a) 2 (5x - 8) ≤ 7 (x - 3)
b) 3x - 2 (3x - 5) > 4 (2x - 1)
c) 4 + 2 (3 - 2x) ≤ 4 (3x - 5) - 6x
2. Aﬂa¤›daki eﬂitliklerin çözüm kümelerini bulunuz.
a) x - 2 - 5 = 0
3
b)
x+ 2 + 3 = 0
c)
2x - 1 + x = 2
d)
x- 1 + x+ 4 = 5
x+ 1 = 3
2x - 1
3. Aﬂa¤›daki eﬂitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.
a) || 2x - 3 | - 1 | < 10
2 >1
b)
x- 3
5
e)
c)
| 4x - 7 | ≥ 4
Cahit Arf (1910 - 1997)
Cebir konusundaki çal›ﬂmalar›yla dünyaca ünlü
matematikçimiz. Sentetik geometri problemlerinin cetvel ve pergel yard›m›yla çözülebilirli¤i konusunda yapt›¤› çal›ﬂmalar, cisimlerin kuadratik formlar›n›n s›n›fland›r›lmas›nda ortaya ç›kan de¤iﬂmezlere iliﬂkin "Arf de¤iﬂmezi" ve "Arf
halkalar" gibi literatürde ad›yla an›lan çal›ﬂmalar› matematik dünyas›n›n ünlü matematikçileri ars›nda yer almas›n› sa¤lad›.
Matemati¤i bir meslek dal› olarak de¤il bir yaﬂam tarz› olarak görmüﬂtür. Ö¤rencilerine her
zaman "Matemati¤i ezberlemeyin kendiniz yap›n ve anlay›n" demiﬂtir. Hakk›nda yaz›lm›ﬂ bir
yaz›da ﬂöyle denilmiﬂtir: "... Bir zamanlar integrali bilen kimselerin matematikçi, üstel fonksiyonu bilenlerin ise büyük matematikçi say›ld›¤›
ülkemizde derin matematik konular›n›n tart›ﬂ›laca¤› hayal bile edilemezdi. Cahit Arf ,Türkiye’ de matemati¤in o günlerden bu günlere
gelmesinde en büyük rolü oynam›ﬂt›r."
Kendimizi S›nayal›m
Kendimizi S›nayal›m
1. 3x - (1 - 2x) = 9 denkleminin kökü kaçt›r?
a. -3
b. -2
c. 2
d. 3
e. 5
2. 1 -
2
1- 4
3x
= 9 denkleminin kökü kaçt›r?
a. 4
3
b. 16
15
c. 1
d. 15
16
e. 3
4
3. a + 1 = 8
3 1-x
x +2
denkleminin bir kökü 2 ise a
aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
a. -9
b. -6
c. 5
d. 6
e. 9
2
4. 3x - 2x - 1 = 0
x2 - 1
denkleminin çözüm kümesi aﬂa¤›-
dakilerden hangisidir?
a.
b.
c.
d.
e.
{-1/3 , 1}
{-1 , 1}
{-1/3}
{-1}
{-1 , 1 , 1/3}
5. 4x + 5 = x - 1 + x denkleminin çözüm kümesi aﬂa5
5
¤›dakilerden hangisidir?
a.
b.
c.
d.
e.
{3}
{5}
{7}
R
ø
33
6. 3xy + y - 6x - 2 = 0 ise y say›s› aﬂa¤›dakilerden
hangisidir?
a. -2
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
7. x2 (2x - 1) - 3x (2x - 1) + 2 (2x - 1) = 0 denkleminin
çözüm kümesi aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
a. {1/2}
b. {1 , 2}
c. {1/2 , 1 , 2}
d. ø
e. {-1 , -2}
8. 2 (3x - 1) > 3x + 4 eﬂitsizli¤inin çözüm kümesi aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
a. (-• , 2)
b. (-• , 2]
c. (2 , •)
d. [2 , •)
e. ø
9. 15 - 5 (3 - 2x) ≤ 4 (x - 3) aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
a. {-•,•}
b. (-• , -2]
c. [-2 , •)
d. [-2 , •)
e. [-• ,2)
10. 13 - 4x - x = 4 - 2x
den hangisidir?
a. {1}
b. {1,3}
c. {-1,3}
d. {1,-3}
e. {-1,-3}
11.
-10 -9 -8 -7
çözüm kümesi aﬂa¤›dakiler-
-6 -5 -4
-3 -2
Çözüm kümesi say› do¤rusu üzerinde koyu olarak verilen eﬂitsizlik aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
a. -9 ≤ x < -3
b. -9 < x ≤ -3
c. -9 ≤ x ≤ -3
d. |x - 6| < 3
e. |x + 6| < 3
Biraz Daha Düﬂünelim
34
12.
3
7
kümesi aﬂa¤›dakilerden hangisi ile ifade edilir?
a. (-• , -3) » (7, +•)
b. (-• , 3) » [7, +•)
c. (-• , 3] » [7, +•)
d. (-• , 3) » (7,+•)
e. (3,7)
Biraz Daha Düﬂünelim
1. P (x) = 0 ¤ P (x) = 0
Q (x)
ve
b) 10 - 13(2-x ) < 5(3x -2)
Q (x) ≠ 0
"pay› s›f›r yapan payday› s›f›r yapmayan x ler" bilgisini kullanarak verilen denklemleri çözünüz.
x 2 + x - 12 = 0
a)
x 2 - 6x + 3
b)
x 2 + 5x + 6 = 0
x 2 + 8x + 15
3
2
c) 2x + 2x - 4x = 0
x 3 + 2x 2 - 3x
d)
3x 3 - 12x
6x 3 - 2x 2 + 24x
=0
2. x liraya mal edilen bir mal›n sat›ﬂ fiyat› y lira olsun.
Bu mal›n sat›ﬂ fiyat›n›n hesaplanmas›nda iki yol önerilmektedir:
1. YOL : y = x + 100
2. YOL : y = 4x - 200
Üretilen mal›n tümü sat›labildi¤ine ve sat›ﬂ fiyat›n›n hesaplanmas›nda 2. YOL u kullanmak daha kârl› oldu¤una
göre x maliyeti en az kaç lirad›r?
3. Aﬂa¤›daki eﬂitsizlikleri çözünüz.
a) 3 + 2(x +5) ≥ x + 5(x +1) + 1
c) -3 ≤ 7x - 14 ≤ 3
4. Aﬂa¤›daki eﬂitlikleri çözünüz.
a) |2x - 8| + 10 = 2
b) 6 - |2x + 4| = 1
5. Aﬂa¤›da verilen eﬂitlikleri çözünüz.
a) x + 1 + x = 5
b) x - 4 + x = 6
Koordinat Düzlemi
Do¤ru ve Parabol
Denklemleri
3
Amaçlar
Bu üniteyi çal›ﬂt›ktan sonra;
R2 nin noktalar›n› düzleme yerleﬂtirmeyi ve buna dayal› olarak x ve y ye
ba¤l› bir denklemin (varsa) grafi¤ini çizmeyi ö¤renecek,
do¤ru ve parabol denklemlerini ç›karabilecek ve çizebilecek, do¤rular›
karﬂ›laﬂt›rabilecek,
baz› iki de¤iﬂkenli eﬂitsizliklerin çözüm kümesini bulabilecek, do¤ru ve parabollerle s›n›rl› düzlemsel bölgeleri eﬂitsizliklerle ifade edebileceksiniz.
36
Koordinat Düzlemi Do¤ru ve Parabol Denklemleri
‹çindekiler
•
•
•
•
•
•
Kartezyen Çarp›m
Koordinat Düzlemi
Grafikler
Do¤ru
Parabol
Birinci ve ‹kinci Dereceden ‹ki Bilinmeyenli Eﬂitsizlikler
• Kümeler ve say›lar konusu tekrar edilmeli,
• koordinat düzlemi ve bir denklemin grafi¤inin ne anlama geldi¤i üzerinde düﬂünülmeli,
• do¤ru ve parabol denklemleri ve grafik çizimleri ö¤renilmelidir.
Giriﬂ
Bir üretim firmas› yeni bir elektrik süpürgesi üretmeyi düﬂünmektedir. Firman›n
piyasa araﬂt›rma bölümü aﬂa¤›daki fiyat-talep bilgilerine eriﬂmiﬂtir.
Fiyat (TL)
41 milyon
66 milyon
88 milyon
108 milyon
Tahmini Talep (kiﬂi)
8040
5040
2400
0
Fiyat ile talep aras›nda bir do¤rusal ba¤›nt›n›n oldu¤unu görünüz ve bu ba¤›nt›y› bulunuz (bkz. 8. örnek).
Yukar›daki soruda, görüldü¤ü gibi fiyat ile talep aras›nda bir iliﬂkilendirme
kurulmuﬂtur. Bu iki büyüklük aras›ndaki matematiksel iliﬂkiyi bulabilmek için
düzlemin noktalar› kullan›labilir.
Düzlemde bir noktan›n yeri dik kesiﬂen iki do¤ru yard›m›yla verilebilir.
Bu ünitenin ilk iki kesiminde kartezyen çarp›m ve koordinat düzlemini hat›rlataca¤›z. Üçüncü kesimde genel grafik çizimleri üzerinde duraca¤›z. Dördüncü
kesimde do¤ru, parabol ve çemberin analitik olarak incelenmesine k›saca
de¤inece¤iz. Son kesimde de do¤ru ve parabol grafikleri kullan›larak oluﬂturulan
iki de¤iﬂkenli eﬂitsizlikler üzerinde durulacakt›r.
Kartezyen Çarp›m - Koordinat Düzlemi
37
KARTEZYEN ÇARPIM
R Gerçel say›lar kümesi olmak üzere
a) R x R = { (x, y ) | x, y Œ R }
kümesine R nin kendisiyle kartezyen çarp›m› veya dik çarp›m› ya da k›saca çarp›m› denir. R x R genellikle R2 biçiminde yaz›l›r. R2 kümesinin ö¤eleri (x, y) biçimindedir. Bunlara s›ral› ikiler denir.
b) R2 'nin herhangi bir alt kümesine R den, R ye bir ba¤›nt› denir.
KOORD‹NAT DÜZLEM‹
AMAÇ
1
R2 nin noktalar›n› düzleme yerleﬂtirmeyi ve buna dayal› olarak x ve y ye ba¤l› bir denklemin (varsa) grafi¤ini çizmeyi
ö¤reneceksiniz.
Bir do¤ru üzerindeki her noktaya bir gerçel say› ve her gerçel say›ya da bu do¤ru üzerindeki bir nokta karﬂ›l›k getirilerek, R gerçel say›lar kümesinin bir geometrik modeli oluﬂturulur.
ﬁimdi R2 = R x R için bir geometrik model kural›m. Bunun için aday›m›z
düzlemdir. Düzlemin noktalar› ile R2 = R x R nin elemanlar› olan s›ral› ikililer
bire bir eﬂlenirler. Bu gözlemimiz cebirsel denklemlerin, geometrik e¤riler
olarak görünmesi ve geometrik e¤rilerin, cebirsel denklemlerle verilmesini sa¤lar.
Önce düzleme dik koordinat sistemini yerleﬂtirelim, sonra da R2 nin ö¤elerinin düzlemdeki noktalarla nas›l eﬂlenece¤ini aç›klayal›m.
Düzlemde dik olarak kesiﬂen iki do¤ru alal›m. Düzlemdeki bir noktan›n yeri
bu noktan›n bu do¤rulara dik uzakl›klar›yla belirlenir. ‹ﬂaretleriyle birlikte bu
uzakl›klar o noktan›n koordinatlar› olarak adland›r›l›r.
Uzakl›k ölçümüne yarayan bu do¤rulara koordinat eksenleri veya k›saca eksenler denir. Bu do¤rular›n kesiﬂim noktas›na koordinat baﬂlang›c› veya k›saca baﬂlang›ç noktas› denir.
Bu eksenler düzlemi, dörtlük diye adland›r›lan 4 bölgeye ay›r›r. Bunlar saatin
dönme yönüne z›t numaraland›r›l›r.
Genel olarak bu eksenlerden yatay olan›na x - ekseni, düﬂey olan›na da y ekseni denir. Ancak, amaca göre, bu eksenlere de¤iﬂik isimler de verilebilir.
y
y
•
P (x , y )
2. BÖLGE
3
I. BÖLGE
2
y birim
1
x birim
x
1
-3 -2 -1
2
3
x
-1
-2
3. BÖLGE
-3
Baﬂlang›ç noktas›
(I)
4. BÖLGE
(2)
Şekil 3.1
Grafikler
38
ÖRNEK 1
ÇÖZÜM
A (4, 3), B (-1 , 3), C (3 , -2), D (-2 , -3) ve E (0, 4) noktalar›n› koordinat düzlemine yerleﬂtiriniz.
y
5
4
B (-1, 3)
•3
•
E (0, 4)
• A (4, 3)
2
1
-2
-5 -4 -3
1
3 4
5
x
-1
-1
-2
D (-2, -3)
2
•
-3
• C (3, -2)
-4
-5
Şekil 3.2
GRAF‹KLER
Günlük hayatta, iki büyüklü¤ün birbirlerine nas›l ba¤land›¤›n› grafikle göstermek
yayg›nd›r.
Gazete ve dergilerde, haftan›n günlerine göre borsan›n durumunu, y›llara göre iﬂsizlik oran›n› veya kiﬂi baﬂ›na düﬂen milli geliri gösteren grafiklerle s›k s›k
karﬂ›laﬂ›r›z.
Bu tür grafikler birbirine ba¤l› iki büyüklükten birinin di¤erine göre de¤iﬂiminin geometrik gösteriminden baﬂka birﬂey de¤ildir.
‹ki büyüklük aras›ndaki ba¤›nt› genellikle bir denklemle verilir.
Örne¤in, s›cakl›k ölçümü birimleri olan Fahrenheit ile Santigrad aras›ndaki
ba¤›nt›
F = 9 C + 32 veya
5
C = 5 F - 32
9
ba¤›nt›lar›ndan biri ile verilebilir.
Bu kesimde R den R ye bir ba¤›nt› veren bu tür denklemlerin grafiklerinin çizimi hakk›ndaki temel bilgileri verece¤iz.
‹ki de¤iﬂkenli x + 2y = 7 denklemini gözönüne alal›m. x yerine 1 yaz›l›rsa
1 + 2y = 7, 2y = 6, y = 3
olur. (x, y) = (1, 3) s›ral› ikilisi bu denklemin bir çözümü olur. Benzer ﬂekilde
(-3, 5), (3, 2), (0, 7/2), (-2, 9/2), (-1, 4), (6, 1/2) ve (7, 0) da ayn› denklemin çözümü olan s›ral› ikililerdir. Gerçekte, bu denklemin çözüm kümesi sonsuz say›da ikililerden oluﬂur.
x ve y de¤iﬂkenlerine ba¤l› bir denklem verilsin. xy - düzleminin, bu denklemin çözüm kümesinin elemanlar›ndan oluﬂan alt kümesine verilen denklemin
grafi¤i denir.
x + 2y = 7 denkleminin grafi¤i
• •
•
yandaki ﬂekil olur.
Sonsuz say›da çözüme sahip olan
39
y
(-1, 4)
(-3, 5)
Bu tan›ma göre yukar›da verilen
(-2, 9/2)
Grafikler
x + 2y = 7 denkleminin tüm çözümlerini
5
9/2
4
3
• (1, 3)
(3, 2)
•
2
bulmak imkans›zd›r. Asl›nda bu çözümlerin
1
tamam›n› bulmak ço¤u zaman gereksizdir.
Bir denklemin grafi¤ini do¤ru bir ﬂekilde çi-
-3 -2
-1
(6, 1/2)
•
1
3
6
x
7
zebilmek, denklemin sa¤lad›¤› birtak›m özellikleri kontrol edip yeterli say›da nokta
Şekil 3.3
elde etmekle mümkün olabilir.
Grafik çizerken aﬂa¤›dakileri araﬂt›rmak yararl› olur.
1) Grafi¤in x ve y eksenlerini kesti¤i noktalar›n belirlenmesi:
• Grafi¤in x - eksenini kesti¤i noktay› bulmak için denklemde y = 0 yaz›l›r.
• Grafi¤in y - eksenini kesti¤i noktay› bulmak için denklemde x = 0 yaz›l›r.
2) Grafi¤in simetrilerinin belirlenmesi:
Düzlemdeki simetrilerin
y
y
y
(-x, y)
•
•
(x, y)
y
y
x
x
-y
y- eksenine göre simetri
• (x, y)
•
x
-x
y
(x, y)
•
(x, -y)
x- eksenine göre simetri
-x
x
(-x, -y)
•
x
-y
orijine göre simetri
Şekil 3.4
olduklar› hat›rlan›rsa;
•
•
•
Verilen denklemde x yerine -x yaz›ld›¤›nda denklem de¤iﬂmezse grafik yeksenine göre simetriktir.
Verilen denklemde y yerine -y yaz›ld›¤›nda denklem de¤iﬂmezse grafik xeksenine göre simetriktir.
Verilen denklemde x yerine -x , y yerine -y yaz›ld›¤›nda denklem de¤iﬂ-
mezse grafik orijine göre simetriktir.
Grafik, hem x - eksenine, hem de y - eksenine göre simetrik ise orijine göre
simetrik olur. Tersi do¤ru de¤ildir.
Grafikler
40
ÖRNEK 2
ÇÖZÜM
y = 2x + 1 denkleminin grafi¤ini çiziniz.
Bu denklemde x ve y nin derecesi 1 oldu¤undan böyle bir denklemin grafi¤inin
do¤ru oldu¤u bilinmektedir. Ayr›ca iki noktadan bir do¤ru geçti¤i de bilinmektedir. Böyle bir grafi¤i çizmek için sadece bu denklemi sa¤layan iki nokta bulup
bunlardan geçen do¤runun grafi¤ini çizmek yeterlidir. Bu noktalar grafi¤in x - ve
y - eksenlerini kesti¤i noktalar olarak seçilebilir.
x= 0
için
y = 2 . 0 + 1 ﬁ 0, 1
y = 0 için 0 = 2x + 1
ﬁ x = - 1 ﬁ -1 , 0
2
2
x
y = 2x + 1
(x,y)
0
1
( 0,1 )
-1/2
0
( -1/2 , 0 )
y
• (0, 1)
-1
•(-1/2, 0)
x
Şekil 3.5
Grafikler
41
ÖRNEK 3
y = x 2 + 1 denkleminin grafi¤ini çiziniz.
x=0
y=0
için
için
y = 02 + 1 = 1
0 = x2 + 1
ﬁ
ﬁ
ÇÖZÜM
y nin derecesi 1 ve x in derecesi 2 oldu¤undan grafik ileride ayr›nt›l› incelenecek
olan bir paraboldür. Grafi¤in (varsa) eksenleri kesti¤i noktalar› bulal›m.
(0, 1)
x 2 ≠ -1
oldu¤undan grafik x - eksenini kesmez. x yerine -x yaz›l›rsa y = (-x)2 + 1 =
x 2 + 1 oldu¤undan denklem de¤iﬂmez. Grafik y - eksenine göre simetriktir. Grafi¤in y - ekseninin sa¤›ndaki k›sm›n› çizip y - eksenine göre simetri¤ini almak grafi¤in tamam›n› verecektir.
Denklemi sa¤layan yard›mc› birkaç nokta daha bulal›m.
x=1
x=2
için
için
y = 12 + 1 = 2
y = 22 + 1 = 5
ﬁ
ﬁ
(1, 2)
(2, 5)
x
y = x2 + 1
(x,y)
0
1
( 0 , 1)
1
2
(1,2)
2
5
(2,5)
y
y
y
• (2, 5)
5
4
5
y- eksenine göre
simetri¤i
•
5
4
3
3
2
1
•
•
2
(1, 2)
(0, 1)
x
1
2
•1
•
1
2
1
2
x
x
1
2
y = x2 + 1 in grafi¤i
Şekil 3.6
Grafikler
42
ÖRNEK 4
x y = 1 denkleminin grafi¤ini çiziniz.
ÇÖZÜM
x=0 ﬁ0.y≠1
y=0 ﬁx.0≠1
oldu¤undan grafik x ve y eksenlerini kesmez. x yerine -x
ve y
yerine -y
yaz›l›rsa ( -x ) ( -y ) = x y = 1 olur ki denklem de¤iﬂmez.
O halde x y = 1 ﬁ y = 1x
in grafi¤i orijine ((0, 0) a) göre simetriktir.
Denklemi sa¤layan yard›mc› birkaç nokta bulal›m.
x= 1
için
y = 1x = 1 = 1
1
ﬁ
1, 1
x= 2
için
y=1
2
ﬁ
2, 1
2
x= 3
için
y=1
3
ﬁ
3, 1
3
x= 1
2
için
y=2
ﬁ
1 , 2
2
x
y = 1x
(x , y)
1
1
(1 , 1)
2
1
2
2, 1
2
3
1
3
3, 1
3
1
2
2
1 ,2
2
y
y
3
2
1
y
3
•
2
• •
•
1 1
2
2
3
1
x
•
• •
•
1 1
2
2
3
x
1
2
3
1 = xy 'nin grafi¤i
Şekil 3.7
x
Do¤ru
1) Verilen noktalar›n verilen denklemlerin grafi¤i üzerinde olup olmad›klar›n›
belirleyiniz.
Noktalar
a) A (3, 2) , B (8, 3)
Denklem
y = x+ 1
b) A (0, 2) , B (1, 5)
y = x 2 + 3x + 2
c) A (0, 0) , B (1, 5)
y=
43
SIRA S‹ZDE 1
x
x +4
2
2) Verilen denklemlerin grafiklerinin, varsa koordinat eksenlerini kesti¤i noktala-
r› belirleyiniz.
a) y = 2x - 1
b) y = x 2 + x - 2
c) y = (x - 3) (x + 1)
d) x 2y - x 2 + 2y = 0
e) x = 4 - y 2
3) Verilen simetrikli¤i kullanarak grafi¤i tamamlay›n›z.
b) y = x 3 - x (orijin)
a) y = x 2 - 4 (y - ekseni)
y
y
1
2
1
x
x
-1
-2
-3
-4
DO⁄RU
Bu kesimde orta ö¤renim y›llar›nda geometrik ve analitik olarak incelemiﬂ oldu¤umuz do¤ru denklemlerini ve grafiklerini hat›rlataca¤›z.
Geometrik olarak düzlemde düz bir çizgiye do¤ru denildi¤ini biliyoruz.
y
y
x
y
x
y
x
x
Şekil 3.8
ﬁimdi do¤runun analitik olarak elde ediliﬂini hat›rlatal›m.
44
Do¤ru
Do¤runun E¤imi
x - eksenini kesen bir do¤runun e¤im aç›s› do¤runun x - eksenini kesti¤i nokta civar›nda saatin dönme yönünün ters yönünde ölçülen aç›d›r. x - eksenine
paralel olan bir do¤ru için bu aç› 0° d›r.
Bir do¤ru üzerindeki herhangi iki noktan›n ordinatlar› aras›ndaki fark›n apsisleri aras›ndaki farka oran› sabittir. Bu sabit orana do¤runun e¤imi denir ve m ile
gösterilir.
y
•
y2'
y2
P2 (x2 , y2)
P1 (x1 , y1)
y1
•
•
P2' (x2' , x2' )
∆y1 = y2 - y1
∆y' = y2' - y1'
∆x1 = x2 - x1
x1'
q
x1
P1' (x1' , y1' )
•
x2
x
x2'
y2'
∆x' = x2' - x1'
Şekil 3.9
x - eksenine dik olan bir do¤ru için
x - ekseni yönünde de¤iﬂim söz
konusu olmad›¤›ndan ∆x = 0 d›r
ve m tan›ms›zd›r.
m=
Grafikteki yükselme
= düﬂey de¤iﬂim
x - ek. üzerindeki hareket yatay de¤iﬂim
= y 2 - y 1 = ∆y 1 = y'2 - y'1
x2 - x1
∆x 1 x'2 - x'1
= ∆y' = Tan q
Dx'
Bir do¤runun e¤imi, do¤runun
üzerindeki herhangi iki nokta ile
belirlenir ve e¤im nokta çiftlerinin
seçiminden ba¤›ms›zd›r.
90°, m = tan›ms›z
120°, m = - 3
135°, m = -1
150°, m = -1
3
180°, m = 0
60°, m = 3
45°, m = 1
30°, m = 1
3
0°, m = 0
Şekil 3.10
Do¤ru
Do¤ru Denklemleri
Bir denklem, bir do¤ru üzerindeki tüm noktalar› ve sadece bu noktalar› sa¤l›yorsa,
denkleme bu do¤runun denklemi denir.
Verilen bir do¤runun denklemini bulmak için üzerindeki iki noktan›n koordinatlar›n› veya üzerindeki bir noktay› ve e¤imini bilmemiz yeterlidir.
‹ki Noktas› Bilinen Do¤ru Denklemi
Bir do¤ru üzerindeki iki nokta P1 (x1 , y1) , P2 (x2 , y2) olsun. Do¤ru üzerinde
hareket eden bir P (x , y) noktas› alal›m. Bu do¤runun e¤imi de¤iﬂmeyece¤inden
m PP 1 , PP1 do¤ru parças›n›n e¤imini göstermek üzere
m = m pp = m p
1
1p 2
dir. Buradan
y- y
x- x1
y- y1 y2- y1
=
¤ y y1 =
x- x1 x2 - x1
2- 1
x2 - x1
bulunur. Böylece P1, P2 noktalar›ndan geçen do¤ru denklemi
y- y1
x- x1
=
y 2 - y 1 x2 - x1
olur.
• Özel olarak bu noktalar do¤runun x - ve y - eksenlerini kesti¤i noktalar olarak al›n›rsa denklem
P1 (x1 , y1) = P1 (p , 0) , P2 (x2 , y2) = P2 (0 , q) ise
y
y - 0 x- p
=
ﬁq=- x+1
p
q- 0 0- p
y
ﬁ x+ =1
p q
bulunur. Burada
y
x
+
=1
grafi¤in x - eksenini kesti¤i grafi¤in y - eksenini kesti¤i
noktan›n y koordinat›
noktan›n x koordinat›
y
oldu¤undan, x + = 1 denklemine eksenlerden ay›rd›¤› parçalara göre
p q
do¤ru denklemi denir.
Bir Noktas› ve E¤imi Bilinen Do¤ru Denklemi
Bir do¤ru üzerindeki bir nokta P1 (x1 , y1) ve e¤imi m olsun. Do¤ru üzerinde hareketli bir P (x , y) noktas› alal›m. Yine e¤imi kullanaca¤›z. m p p , P1P parças›1
n›n e¤imini göstermek üzere
m = m p p dir. Böylece
1
45
Do¤ru
46
m=
y- y1
¤ y - y 1 = m x - x1
x - x1
oldu¤undan, bir noktas› ve e¤imi bilinen do¤ru denklemi
y - y1 = m ( x - x1)
olur.
E¤imi ve bir noktas› bilinen do¤ru denkleminde P1 (x1 , y1) noktas› do¤runun
y - eksenini kesti¤i nokta olarak al›n›rsa, yani P1 (x1 , y1) = P1 (0, b) al›n›rsa,
y - b = m (x - 0) ﬁ y = mx + b
bulunur. Burada m do¤runun e¤imi ve b grafi¤in y - eksenini kesti¤i nokta oldu¤undan bu denkleme do¤runun e¤im - kesim denklemi denir.
Yukar›daki dört durumda da denklem x ve y bilinmeyenlerine göre düzenlenirse
Ax + By + C = 0
biçiminde bir denklem elde edilir. Bu denkleme de do¤runun genel denklemi denir.
ÖRNEK 5
ÇÖZÜM
Verilenlere göre do¤ru denklemlerini belirleyiniz.
b) P1 (3, 0), P2 (0, 5)
a) P1 (-2, -1), P2 (3, 4)
c) P1 (0, 0), P2 (1, 3)
d) m = -1, P1 (3, 1)
a) y - (-1) = x - (-2) ¤ y + 1 = x + 2
5
5
4 - (-1) 3 - (-2)
¤ y + 1 = x+ 2 ¤ y = x+ 1
olur.
b) P1 (3, 0), P2 (0, 5) noktalar›ndan birincisi x - ekseni, ikincisi y - ekseni üzerinde oldu¤undan grafi¤in eksenleri kesti¤i noktalard›r. Eksen parçalar›na göre
do¤ru denklemi kullan›l›rsa
y
x
+
= 1,
grafi¤in x - eksenini kesti¤i grafi¤in y - eksenini kesti¤i
noktan›n y koordinat›
noktan›n x koordinat›
x +y=1 ¤ y=1-x ¤ y=5 1- x
3 5
5
3
3
olur.
c) P1 (0, 0) , P2 (1, 3) noktalar›ndan biri orijindir. y = mx + b de bu noktalar
yerine yaz›l›rsa
P1 (0, 0)
P2 (1, 3)
0=m 0+b ﬁb=0
3 = m (1) + 0 ﬁ m = 3 bulunur.
Do¤ru
47
Böylece
y = mx + b = 3x + 0 = 3x
y = 3x olur.
d) m = -1, P1 (3, 1)
y - y1 = m (x - x1) ¤ y - 1 = (-1) (x - 3)
¤ y = -x + 4 olur.
ÖRNEK 6
Verilen do¤rular›n grafiklerini çiziniz.
a) 2x + 3y = 6
y
b) x + = 1
2 -1
c) y = -3
d) x = 2
y
y
2
1
3
-1
x
2
x
-1
2x + 3y = 6
(b)
(a)
x+ y = 1
2 -1
Şekil 3.11
y
b) x + = 1 de grafi¤in x ve y - eksenlerini kesti¤i noktalar haz›r bir biçim2 -1
de verilmiﬂtir (ﬁekil 3.11 (b)). Bunlar s›ras›yla 2 ve -1 dir. Gerçekten
y = 0 ﬁ x + 0 = 1 ﬁ x = 2 ﬁ (2, 0)
2 -1
y
x = 0 ﬁ 0 + = 1 ﬁ y = -1 ﬁ (0, -1)
2 -1
olur.
c) y = -3 denkleminde x de¤iﬂkeni olmad›¤›ndan x serbestçe de¤iﬂiyor demektir, yani (x, -3) tipindeki tüm noktalar bu do¤ru üzerindedir. Özel olarak
(-1, -3) ve (1, -3) noktalar› da bu do¤ru üzerindedir. Bu noktalar› birleﬂtiren do¤ru parças›n› üzerinde bulunduran do¤ru istenen do¤rudur. Ya da k›saca bu do¤runun e¤imi s›f›rd›r. Dolay›s›yla x - eksenine paraleldir. y - ekseni üzerinde -3
noktas›ndan geçen x eksenine paralel do¤ru istenen do¤ru olur (ﬁekil 3.12 (a)).
ÇÖZÜM
a) Grafi¤in y - eksenini kesti¤i noktay› bulmak için x = 0 yaz›l›r. 2.0 + 3.y = 6
ﬁ y = 2 ﬁ (0, 2) bulunur. Benzer ﬂekilde grafi¤in x - eksenini kesti¤i noktay›
bulmak için ise y = 0 yaz›l›r ve 2.x + 3.0 = 6 ﬁ x = 3 ﬁ (3, 0) bulunur. (0, 2)
ve (3, 0) noktalar›n› birleﬂtiren do¤ru parças›n› içine alan do¤ru istenen do¤rudur (ﬁekil 3.11 (b)).
Do¤ru
48
y
y
1
-1
1
x
-1
x
2
-2
y = -3
-3
x=2
(b)
(a)
Şekil 3.12
d) Ayn› düﬂünceyle x = 2 do¤rusunun grafi¤i yukar›daki gibidir (ﬁekil 3.12 (b)).
ÖRNEK 7
Grafikleri verilen do¤rular›n denklemlerini bulunuz.
a)
b)
y
y
3
2
1
-2 -1
x
1
x
ÇÖZÜM
Şekil 3.13
Verilen do¤rular›n denklemleri birkaç yolla bulunabilir. Aﬂa¤›da en kolay yolla bu
denklemlerin elde ediliﬂleri verilecektir.
a) Grafik x eksenini (p , 0) = (-2, 0) ve y - eksenini (0, q) = (0, 3) noktas›nda
kesti¤inden
x+y=1ﬁ x +y=1
-2 3
p q
ﬁ 2y - 3x - 6 = 0
olur.
b) Grafik y - eksenini (0, n) = (0, 2) noktas›nda kesti¤inden, e¤im-kesim denklemi kullan›l›rsa
y = mx + n = mx + 2 olur. Grafik üzerindeki di¤er nokta kullan›l›rsa
1 = m 1 + 2 ﬁ m = -1 bulunur. Böylece denklem
y = mx + n = -x + 2 olur.
Do¤ru
49
ÖRNEK 8
Bir üretim firmas› yeni bir elektrikli süpürge üretmeyi düﬂünmektedir.
Firman›n piyasa araﬂt›rma bölümü aﬂa¤›daki fiyat-talep bilgilerini elde
etmiﬂtir.
Fiyat (milyon TL)
Tahmini Talep (kiﬂi)
41
66
88
108
8 040
5 040
2 400
0
Fiyat ile talep aras›nda do¤rusal bir ba¤›nt› oldu¤unu görünüz ve (108, 0)
için ba¤›nt›y› kurunuz.
qd - 0 = -120 (F - 108)
= -120 F + 12 960
veya
ÇÖZÜM
m = 0 - 2400 = 2400 - 5040 = 5040 - 8040 = -120 oldu¤undan qd = Talep,
108 - 88
88 - 66
66 - 41
qd - 0
formülünden
F = Fiyat denilirse, m =
F - 108
qd = 12 960 - 120 F bulunur.
ÖRNEK 9
Ayakkab› üreten bir firman›n günlük sabit giderleri 165 000 000 TL. dir.
Günlük 100 adet ayakkab› için 2 365 000 000 TL. harcama yap›lmaktad›r.
Firman›n üretimi ile maliyeti aras›nda do¤rusal bir ba¤›nt›n›n var oldu¤unu kabul edelim. Bu ba¤›nt›y› bulunuz.
x = Üretim ise istenen ba¤›nt›
(x1, C1) = (0, 165 000 000) ve (x2 , C2) = (100, 2 365 000 000)
noktalar›n› birleﬂtiren do¤runun denklemi olacakt›r. ‹ki noktadan geçen do¤ru
denkleminin
C - C 1 = x- x1
C 2 - C 1 x2 - x1
oldu¤u hat›rlan›rsa
C - 165 000 000
= x-0
2 365 000 000 165 000 000 100 - 0
olur. Buradan maliyet
C = 22 000 000 x + 165 000 000
olarak elde edilir.
ÇÖZÜM
C = Maliyet ,
50
Do¤ru
‹ki Do¤runun Birbirlerine Göre Durumlar›
Verilmiﬂ iki do¤ru için üç durum söz konusudur. Bu do¤rular ya çak›ﬂ›kt›r ya
paraleldir ya da kesiﬂirler. ﬁimdi bu durumlar›n hangi ﬂartlarda gerçekleﬂti¤ini görelim.
A) Do¤rular
l 1 : y1 = m 1 x+ b1
denklemleriyle verilsin.
l 2 : y2 = m 2 x+ b2
l1
l1
l1
l2
l2
•P
l2
çak›ﬂ›k do¤rular
kesiﬂen do¤rular
paralel do¤rular
l1 = l2 ¤ m1 = m2 ve b1 = b2
l1 // l2 ¤ m1 = m2 ve b1 ≠ b2
l1 « l2 = {P} ≠ f ¤ m1 = m2
Şekil 3.14
B) Do¤rular
l1 : A1 x+ B1 y + C1 = 0
denklemleriyle verilsin.
l2 : A2 x+ B2 y + C2 = 0
l1 = l 2 ¤ A1 = B1 = C1
A2 B2 C2
A1 = B1 π C1
l 1 // l 2 ¤
A2 B2 C2
l1 « l 2 = P
ve
¤ A1 π B1
A2 B2
olur.
Kesiﬂen do¤rular›n kesim noktalar›n› bulmak için birkaç yol vard›r. Burada
bunlar›n iki tanesini örnek içinde aç›klayal›m.
ÖRNEK 10
Verilen do¤ru çiftlerinin birbirlerine göre durumlar›n› inceleyiniz. Kesiﬂme
durumuna uyanlar›n kesim noktas›n› bulunuz.
3x + 5y = 1
x- y = 3
b)
a)
-6x - 10y = -2
x + 3y = 12
c)
x- y = 4
3x - 3y = 1
Do¤ru
b) 1 = -1 ≠ -3
3 -3 -1
ÇÖZÜM
a) 3 = 5 = -1
-6 -10 2
51
oldu¤undan bu iki do¤ru çak›ﬂ›kt›r.
oldu¤undan verilen iki do¤ru paraleldir.
(Çizerek görünüz).
c) 1 ≠ 3
1 -1
oldu¤undan do¤rular keﬂiﬂir. Kesim noktalar›n› yok etme metodu
ad› verilen metodla bulal›m.
‹kinci denklemin her iki yan›n› 3 ile çarp›p 1. denkleme eklersek
3/
x + 3y = 12
x- y = 4
x + 3y = 12
3 x - 3y = 12
4x = 24
x = 24 = 6
4
ﬁ
Bulunan x = 6 de¤erini ikinci
denklemde (veya birinci denklemde) x gördü¤ümüz yere
yazarsak
x= 6
bulunur.
y
x + 3y = 12
4
x-y=6-y=4 ﬁ
y=6-4=2
•
• (6, 2)
2
•
1 2 3 4 5 6
bulunur. Böylece kesim noktas›
-1
-2
-3
-4
(x, y) = (6, 2)
olur.
12
x
•
x-y=4
Şekil 3.15
1) Verilen nokta çiftlerinden geçen do¤rular›n e¤imlerini ve denklemlerini
bulunuz.
a) A (0, 0); B (3, -2)
b) A (-1, 3);
c) A (3, 0); B (-1, -1)
d) A (3, 5);
2) x - eksenini 5, y - eksenini 3 noktas›nda
3) Verilen do¤rular›n e¤imlerini bulunuz.
a) 2x + y - 3 = 0
b) 3x - 2y +
B (4, 0)
B (-1, 3)
kesen do¤runun denklemini bulunuz.
1=0
c) y = 3
SIRA S‹ZDE 2
52
Parabol
4) Verilen do¤ru çiftlerinin çak›ﬂ›k, paralel veya kesiﬂen olup olmad›klar›n› araﬂt›r›n›z. Varsa kesiﬂim noktalar›n› bulunuz.
x+y=1
x+y=3
a)
b)
x+ y= 4
x- y = 0
x - 3y = 3
2x + y = 3
d)
c)
y = 3x - 5
2y = x + 2
3y = x - 2
x+y=5
f)
e)
3x + y = -1
x- y = 5
5) y = 3x - 1 do¤rusuna paralel olan ve A (2, 3) noktas›ndan geçen do¤runun
denklemini bulunuz.
PARABOL
Burada sadece simetri ekseni x - eksenine paralel veya y - eksenine paralel olan
parabolleri inceleyece¤iz.
Geometrik olarak, düzlemde verilen bir noktaya ve verilen bir do¤ruya eﬂit
uzakl›ktaki noktalar›n kümesine parabol denir. Bu noktaya parabolün oda¤›, do¤ruya da parabolün do¤rultman› ad› verilir.
E¤er parabolün do¤rultman› y - eksenine dik ve oda¤› do¤rultman›n üst bölgesinde seçilirse ﬂekildeki parabol elde edilir.
y
• P (odak)
d
yT
T
• (Tepe)
xT
(do¤rultman)
x
simetri ekseni
Şekil 3.16
Parabolün grafi¤i, oda¤›ndan geçen ve do¤rultman›na dik olan bir do¤ruya
göre simetriktir. Bu do¤ruya simetri ekseni ve parabolü kesti¤i noktaya da tepe
noktas› denir.
Ax 2 + Bx + C + Dy = 0
denklemi A ≠ 0 ≠ C oldu¤unda simetri ekseni y - eksenine paralel olan bir parabolün genel denklemidir. Buradan y çekilirse
y = - A x2- B x- C
D
D
D
bulunur. a = - A , b = - B ve c = - C
D
D
D
denirse
Parabol
y = ax 2 + bx + c
denklemi bulunur. Benzer ﬂekilde Ay 2 + By + C + Dx = 0 denklemi simetri ekseni x - eksenine paralel olan bir parabol gösterir. Bu denklemden x çekilirse
x = ay 2 + by + c
bulunur.
y = ax2 + bx + c Parabolünün Grafi¤i
Bu tür bir denklem a > 0 ise kollar› yukar› aç›lan, a < 0 ise kollar› aﬂa¤› aç›lan bir
parabol verir. Grafi¤i kolayca çizebilmek için aﬂa¤›daki yol izlenir.
‹lk olarak; parabolün tepe noktas›n›n koordinatlar› bulunur.
y = ax 2 + bx + c de ilk iki terim a parantezine al›n›p parantez içindeki
x in kat say›s›n›n yar›s›n›n karesi bir eklenir bir ç›kar›l›rsa eﬂitlik
y = a x2 + b x + b
a
2a
= a x+ b
2a
2
2
- b
2a
2
+c
2
- b
+c
4a 2
= a x+ b
2a
2
2
+ 4ac - b
4a
= a x- xT
2
+ yT
b
biçimine dönüﬂür. Burada x T = parabolün tepe noktas›n›n x koordinat›
2a
2
ve y = 4ac - b ise parabolün tepe noktas›n›n y koordinat› olur.
T
4a
Tepe noktas›: T
2
x T , y T = T - b , 4ac - b
2a
4a
olur.
‹kinci olarak; parabol üzerinde tepe noktas›n›n iki yan›nda en az iki nokta
belirlenir. Özel olarak bu iki nokta parabolün x - eksenini kesti¤i noktalar olarak seçilebilir.
Son olarak; a > 0 ise parabolün kollar›n›n yukar› do¤ru, a < 0 ise parabolün
kollar›n›n aﬂa¤› do¤ru aç›ld›¤› gözönüne alarak çizim gerçekleﬂtirilir.
•
•
y = ax 2 + bx + c parabolünün tepe noktas› ﬂu ﬂekilde de bulunabilir.
Önce; x = - b bulunur.
T
2a
Sonra; xT , y = ax 2 + bx + c de x yerine yaz›larak yT elde edilir.
ve T (xT , yT ) tepe noktas› bulunmuﬂ olur.
Tepe noktas› , a > 0 ise grafi¤in en alt (minimum), a < 0 ise grafi¤in en üst
(maksimum) noktas› olur.
Benzer inceleme x = ay 2 + by + c parabolü için de yap›labilir.
Grafikler izleyen sayfada özetlenmiﬂtir.
53
Parabol
54
y
y
T
2
T - b , 4ac - b
2a
4a
x
simetri ekseni
x
y = ax 2 + bx + c , a > 0
kollar yukar›
y = ax 2 + bx + c , a < 0
kollar aﬂa¤›
Şekil 3.17a
y
y
2
T 4ac - b , - b
2a
4a
simetri ekseni
T
x
x
x = ay 2 + by + c , a < 0
kollar sola
x = ay 2 + by + c , a > 0
kollar sa¤a
Şekil 3.17b
ÖRNEK 11
2
b) y = 1 - x
4
parabollerinin grafiklerini çiziniz.
ÇÖZÜM
a) y = 4x 2 - 4x + 2
a) y = 4x 2 - 4x + 2 parabolünün tepe noktas›n›n koordinatlar›n› belirlemek için
eﬂitli¤in sa¤ yan›n› kareye tamamlayal›m.
2
2
y = 4 x2 - x + 2 = 4 x 2 - x + - 1 - - 1
+2
2
2
= 4
2
x-1 -1 +2=4 x- 1
2
2
4
2
+1
olur. y = (x - xT )2 + yT 'den
T xT , y T = T
1 ,1
2
elde edilir.
x=0
için
y = 4 . 02 - 4 . 0 + 2 = 2
x=1
için
y = 4 . 12 - 4 . 1 + 2 = 2
oldu¤undan parabol üzerindeki (0, 2) ve (1, 2) noktalar› bulunur.
Parabol
x
y = 4x2 - 4x + 2
(x,y)
1
2
1
1,1
2
0
2
(0,2)
1
2
(1,2)
55
a = 4 > 0 oldu¤undan parabolün kollar› yukar› do¤rudur. Grafik aﬂa¤›daki
gibidir. (ﬁekil 3.18 (a))
y
y
2
1
1
1 1
2
0
-2
x
x
-1
1
2
(b)
(a)
Şekil 3.18
2
0
b) y = 1 - x , xT = - b = 4
2a
2 -1
4
=0
ﬁ T (0, 1) olur.
2
yT = 1 - 0 = 1
4
2
y = 0 için 1 - x = 0 ﬁ x 2 = 4 ﬁ x = ± 2 dir.
4
a=-1 <0
4
oldu¤undan kollar aﬂa¤› do¤rudur. (ﬁekil 3.18 (b))
2
a) x = -4 y - 3
2
+1
ÖRNEK 12
b) x = y + 2 2 - 4
parabollerini çiziniz.
T xT , yT = T 1 , 3
2
dir.
2
+ xT
ve
a=-4<0
oldu¤undan
Parabolün y - eksenini kesti¤i noktay› bulal›m.
ÇÖZÜM
2
a) x = -4 y - 3 + 1 = a y - yT
2
kollar sola do¤ru aç›l›r.
Parabol
56
x= 0
için
-4 y - 3
2
2
2
ﬁ 4 y- 3
2
+1=0
y- 3
2
ﬁ
=1
2
=1
4
y- 3
2
ﬁ
2
= y- 3
2
y- 3 = ± 1
2
2
ﬁ
ﬁ y1 = 2 ,
y2 = 1
bulunur. Böylece
x= - 4 y- 3
2
2
+1
y
(x,y)
1
2
3/2
(0 , 1)
(0 , 2)
(1 , 3/2)
y
y
2
0
0
1
3/2
1
•
-4 -3 -2 -1
1
x
•
olur. Grafik yandaki
gibidir
(ﬁekil 3.19 (a)).
x
-1
-2
• -4
(b)
(a)
Şekil 3.19
b) x = (y + 2)2 - 4 = a (y - yT )2 + xT , a = 1 > 0 oldu¤undan kollar sa¤a do¤ru
aç›l›r ve T (-4, -2) dir. Parabolün y - eksenini kesti¤i noktalar› bulal›m.
x= 0
için
(y + 2)2 - 4 = 0
ﬁ (y + 2)2 = 4
ﬁ
y+2
=2
y+22= y+2
ﬁ y+2=±2
ﬁ y1 = 0 ,
x = ( y + 2 )2 - 4
y
(x,y)
-4
-2
(-4 , -2)
0
0
(0 , 0)
0
-4
(0 , -4)
olur. Grafi¤i yukar›daki gibidir (ﬁekil 3.19 (b)).
y 2 = -4
Birinci ve ‹kinci Dereceden ‹ki Bilinmeyenli Eﬂitsizlikler
SIRA S‹ZDE 3
1) Denklemleri verilen parabolleri çiziniz.
a) y = 2x 2 - 5x
b) y = - 3x 2 + 2x
c) y = 3 - 5x 2
d) y = 1 x 2 + 3
2
2
e) y = - 7 x + 3
9
f) y = 1 x - 1
2
g) y = x 2 - x - 6
h) y = - 5 x 2 - 20 x - 5
3
3
2
+2
2) Verilen parabollerin minimum noktalar›n› bulunuz.
a) y = 3 (x - 1)2 + 3
b) y = x 2 - 4x - 5
c) y = 3x 2 - 4x + 1
d) y = 2x 2 + x + 1
3) Verilen parabollerin maksimum noktalar›n› bulunuz.
a) y = - 2x 2 + x
b) y = 1 - 3x 2
B‹R‹NC‹ VE ‹K‹NC‹ DERECEDEN ‹K‹ B‹L‹NMEYENL‹
Eﬁ‹TS‹ZL‹KLER
Bu k›s›mda,
y > mx + n (y ≥ mx + n ) ;
y < mx + n (y ≤ mx + n ) ,
y > ax 2 + bx + c (x > ay 2 + by + c ) ; y < ax 2 + bx + c (x < ay 2 + by + c )
biçimindeki (di¤er bir deyiﬂle do¤ru ya da parabol denklemleriyle oluﬂturulan)
eﬂitsizliklerin çözümü olan (x, y) ikililerinin oluﬂturduklar› kümenin nas›l belirlendi¤ini inceleyece¤iz.
Verilen bir do¤ru (ya da parabol) düzlemi üç bölgeye ay›r›r ve düzlemdeki bir
(x, y) noktas› bu bölgelerden sadece biri içindedir.
y
y > mx + n
(Do¤runun üst
bölgesi)
y
y = mx + n
(Do¤runun
kendisi)
y > ax2 + bx + c
(Parabolün üst
bölgesi)
y < ax2 + bx + c
x
y < mx + n
(Do¤runun alt
bölgesi)
57
y = ax2 + bx + c
(Parabolün
kendisi)
x
(Parabolün alt
bölgesi)
Şekil 3.20
Bu, verilen bir (x, y) için
y > mx + n , y = mx + n , y < mx + n ... (*)
(y > ax 2 + bx + c , y = ax 2 + bx + c , y < ax 2 + bx + c)
ba¤›nt›lar›ndan sadece birinin sa¤lanmas› demektir. Tersine (*) ba¤›nt›lar›ndan birini sa¤layan bir nokta ya do¤ru (parabol) üzerindedir ya da bu do¤runun (parabolün) düzlemden ay›rd›¤› iki bölgeden sadece birisi içindedir.
Birinci ve ‹kinci Dereceden ‹ki Bilinmeyenli Eﬂitsizlikler
58
Böyle bir eﬂitsizli¤in grafi¤ini çizmek için ad›m ad›m aﬂa¤›daki yol izlenir.
Önce; y = mx + n do¤rusunun (y = ax 2 + bx + c ) parabolünün grafi¤i nokta nokta çizilir.
Sonra; do¤ru (parabol) üzerinde olmayan herhangi bir nokta al›n›r ve al›nan
noktan›n koordinatlar› verilen eﬂitsizlikte yerine yaz›l›r. Koordinatlar eﬂitsizli¤i
sa¤l›yorsa noktan›n bulundu¤u bölge aranan grafiktir, sa¤lam›yorsa di¤er bölge
aranan grafiktir.
Son olarak, verilen eﬂitsizlik ≥ ya da ≤ biçimindeyse do¤runun (parabolün)
kendisi de çözüme dahil edilir.
ÖRNEK 13
ÇÖZÜM
a) y ≤ 2x + 4
b) y - x 2 + 3x > 0
eﬂitsizliklerinin çözüm kümeleri olan bölgeleri çiziniz.
a) y = 2x + 4 do¤rusunu çizelim.
(0, 0) do¤ru üzerinde de¤ildir. Bu noktay› y ≤ 2x + 4 de yerine yazal›m.
0 ≤ 2 . 0 + 4 = 4 eﬂitsizli¤i do¤ru oldu¤undan istenen çözüm bölgesi (0, 0) › da
içine alan do¤runun alt bölgesi olur.
y
4
Çözüm
kümesi
•(0, 0)
-2 -1
x
y ≤ 2x + 4
y
y = x2 - 3x
Çözüm
kümesi
0
1
2
y - x2 + 3x > 0
3
x
Şekil 3.21
b) y = x 2 - 3x parabolünün grafi¤ini nokta nokta çizelim (neden?). Parabol üzerinde olmayan (0, -1) noktas›n›n koordinatlar›n› verilen eﬂitsizlikte yazal›m.
y - x 2 + 3x = 0 - (-1)2 + 3 (-1) = -4 > 0
olur ve eﬂitsizlik sa¤lanmaz. Bu durumda bu eﬂitsizli¤in çözüm bölgesi (0, -1)
noktas›n›n oldu¤u bölge de¤il, parabolün düzlemde ay›rd›¤› di¤er bölgedir.
Bir eﬂitsizlik sistemi verilmiﬂse her bir eﬂitsizlik ayr› ayr› çözülür. Ortak çözüm
bölgesi verilen sistemin çözüm bölgesi olur.
Birinci ve ‹kinci Dereceden ‹ki Bilinmeyenli Eﬂitsizlikler
59
ÖRNEK 14
y + x2 ≥ 0
2x - y ≤ 1
a)
b)
y- x< 2
x+ y≥ 2
eﬂitsizlik sistemlerini çözünüz.
y
ÇÖZÜM
Eﬂitsizliklerin çözüm kümesi aﬂa¤›daki grafiklerde görülen ortak taral› bölgelerdir.
y
Ortak
çözüm
kümesi
2
y = x2
y + x2 ≥ 0
1
-1
y - x< 2
1
2
1
x
2
x
y=x+2
2x - y ≤ 1
y = 2x - 1
(0, 0)
-2 -1
x+ y ≥ 2
(a)
(b)
Şekil 3.22
1) Verilen eﬂitsizliklerin çözüm kümelerini düzlemde çizerek gösteriniz.
a) y - 3x > 0
b) 2x - y < 1
1)2
c) x - 3y ≤ 0
x2
≥0
e) y - 4x - 5 ≤ 0
d) y - (x 2) Verilen eﬂitsizlik sistemlerinin çözüm kümelerini düzlemde çizerek gösteriniz.
x≥ 0
x+ y- 3 ≥ 0
a)
x≥ 1
b)
y>0
x- y < 0
y - 2x < 0
x- y < 2
y - 3x 2 + 1 > 0
d)
y + x2 + 1 ≤ 0
f) 1 < x + y < 3
c)
y - 2x - 3 ≤ 0
e)
2
1 - 3x + y > 0
g) 2 < y - x 2 ≤ 5
SIRA S‹ZDE 4
60
Kendimizi S›nayal›m
Kendimizi S›nayal›m
3. Aﬂa¤›dakilerden hangisi bir do¤ru denklemi de¤ildir?
1.
a. x - 3y = 1
y
b. 3x + 2y = 1
c. y = 3x - 1
5/2
d. x - y 2 = 1
2
e.
1
4. d1 : A1x + B1y + C1 = 0 ; d2 : A2x + B2y + C2 = 0
x
-2
3 x + y = -1
-1
do¤rular› en az iki ortak noktaya sahipseler aﬂa¤›dakilerden hangisi kesin olarak do¤rudur?
a. d 1 ve d 2
Grafi¤i verilen do¤runun denklemi aﬂa¤›dakilerden
hangisidir?
paraleldir.
b. d 1 , d 2 ye diktir.
a. 4y - 5x = -10
c.
b. 4y + 5x = 10
A1
B1
C1
=
=
d›r.
B
2
C
A2
2
c. 4y - 5x = 10
d. A 1 = A 2 , B 1 = B 2 , C 1 π C 2
d. 5y - 4x = 10
e.
e. 10y + 2x = 2
A1
C1
≠
A2
C2
5.
2.
d›r.
d›r.
y
d1
y
3
d2
3
2
a
a
1
a
-2
x
1
2
3
-3/2
Grafi¤i verilen do¤ruya dik olan do¤ru aﬂa¤›dakilerden
hangisidir?
a. x + y = -1
b. x + y = 3
c. x + y = -3
d. x - y = 3
e. -3x + y = 1
Yukar›daki ﬂekle göre a kaçt›r?
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 5
x
Kendimizi S›nayal›m
61
8.
6.
y
y
3
3
2
3
x
x
-1
Taral› bölge aﬂa¤›daki eﬂitsizlik sistemlerinden hangisinin
çözüm kümesidir?
parabolün denklemi aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
a. y = (x + 2)2 - 1
b. y = -(x + 2)2 - 1
c. y = (x + 1)2 + 2
d. y = (x - 1)2 + 2
e. y = (x - 1)2
7. Grafi¤i verilen x + y > 3 eﬂitsizli¤inin çözüm kümesi
aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
x≥ 0
a.
y≤0
x+ y ≥ 3
x≥ 0
b.
y≥0
x+ y ≥ 3
y
II
x≤ 0
c.
I
3
III
x+ y ≥ 3
V
IV
y≥0
x≥ 0
3
x
VII
d.
VI
y≥0
x+ y < 3
x≥ 0
a.
b.
c.
d.
e.
I, II ve III. bölgelerin bileﬂimi
I ve V. bölgelerin bileﬂimi
I, II ve VII. bölgelerin bileﬂimi
II, III, IV, V ve VI. bölgelerin bileﬂimi
IV, VI ve VII. bölgelerin bileﬂimi
e.
y≥0
x+ y ≤ 3
Kendimizi S›nayal›m
62
9. Taral› bölge aﬂa¤›daki eﬂitsizlik sistemlerinden hangisinin çözüm bölgesidir?
y=
x- 2
2
10. d2 do¤rusu d1 e dik ise d1 do¤rusunun denklemi
aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
y
2
y
4
2
l
-2
2
x
d1
y> x - 2
2
a.
y - x> 2
x
3
d2
a. y = 3x
b. y = 2 x
3
c. y = 2x
(x - 2)2
y≥
2
b.
y > x+ 2
y<
(x - 2)2
2
c.
y< x+ 2
y≥
(x - 2)2
2
d.
y - x< 2
y>
(x - 2) 2
2
e.
y≤ x+ 2
d. y = 1 x + 1
3
3
e. y = 3 x
4
11. d1 : 2x - y = 3 ; d2 : y - 4x = 0
d1 ve d2 do¤rular›n›n kesiﬂim noktas› aﬂa¤›dakilerden
hangisidir?
a. 1 , 2
2
b. - 3 , 6
2
c.
- 1 , -2
2
d. - 3 , -6
2
e.
1,4
Biraz Daha Düﬂünelim
12. Aﬂa¤›daki ﬂekle göre P noktas›n›n koordinatlar› için
aﬂa¤›dakilerden hangisi do¤rudur?
y
3. x + y = 3 do¤rusuna dik olan A (-1, -2) den geçen do¤runun denklemini bulunuz.
4. y = x + n ve y = mx - 5 do¤rular›n›n A (3, 1) nok-
y = x2
•
tas›nda kesiﬂtikleri biliniyorsa n ve m nedir?
P (x, y)
5.
a. x = - 4 y - 3
2
x
b. x = y + 2
2
2
+1
-4
parabollerini çiziniz.
a. x 2 > y
b. x 2 < y
c. x 2 = y
d. x 2 ≥ y
e. x 2 . y = 3
Biraz Daha Düﬂünelim
1. Verilen grafiklerin belirtilen simetriklerini bulunuz.
y
a.
y
b.
1
1
-1
0
-1
x
x- eksenine göre
1
x
y- eksenine göre
y
c.
0
y
d.
1
1
-1
0
1
0 1
-1
x
(y=x do¤rusuna göre)
x
y- eksenine göre
2. x üretilen ürün say›s› ve y fiyat olmak üzere bir
üretici
firman›n
günlük üretim
fiyat› (y milyon TL)
y = 10.000 - 90x + 0.045x 2 olarak belirlenmiﬂtir. Firma
fiyat› minimum yapabilmesi için günde kaç adet üretim
yapmal›d›r?
63
64
René Descartes
(1596-1650)
"Descartes’ ›n ad›n› ölümsüzleﬂtiren onun
felsefi ve teorik fikirlerinden daha çok analitik
geometri konusundaki çal›ﬂmalar›d›r. Analitik
geometri pozitif bilimlerin ilerlemesi yolunda
bu güne kadar at›lm›ﬂ olan en büyük ad›md›r."
John Stuart Mill
Fonksiyonlar
4
Amaçlar
Bu üniteyi çal›ﬂt›ktan sonra,
fonksiyon kavram›n› ö¤renecek,
bir fonksiyon verildi¤inde tan›m ve görüntü kümesinin bulunuﬂunu ö¤renecek,
bir fonksiyonun grafi¤ini çizebilecek,
matematiksel model oluﬂturabilecek,
fonksiyonlar›n temel özelliklerini ö¤renecek, bunlar› grafik çiziminde
kullanabilecek,
fonksiyonlar üzerindeki iﬂlemleri yapabilecek,
bir fonksiyonun tersini bulabilecek,
fonksiyonlar›n s›n›fland›rmas›n› ö¤reneceksiniz.
66
Fonksiyonlar
‹çindekiler
•
•
•
•
•
•
•
•
Fonksiyon Kavram›
Bir Fonksiyonun Tan›m ve Görüntü Kümelerinin Bulunuﬂu
Matematiksel Model Oluﬂturma
Fonksiyonlar›n Özellikleri
Fonksiyonlarla Yap›lan Cebirsel ‹ﬂlemler
Bileﬂke Fonksiyon
Ters Fonksiyon
Fonksiyon Türleri
• fonksiyon tan›m› iyi ö¤renilmeli,
• matemetiksel model oluﬂturmak için çaba sarf edilmeli,
• fonsiyonlar›n özellikleri ö¤renilerek grafik çizimlerinde nas›l kullan›ld›¤› üzerinde durulmal›,
• fonksiyonlarla iﬂlem yapabilmek için verilen al›ﬂt›rmalar çözülmelidir.
Giriﬂ
Bir firma üretti¤i her bir ürünü a TL. den sat›yor. Her bir ürün için b TL. lik hammadde gideri ve c TL. lik iﬂçi ücreti ödeniyor. Firman›n y›ll›k sabit giderleri d TL.
dir. x sat›lan ürün say›s›n› göstermek üzere y›ll›k kâr fonksiyonunu x cinsinden
bulunuz.
Fen ve mühendislik alan›nda oldu¤u kadar ekonomi alan›nda da birçok probleme çözüm aran›rken matemati¤in yol gösterilicili¤inden yararlan›l›r. Bunun
için önce verilen problem matematiksel biçimde ifade edilmelidir. Buna problemin matematiksel modelinin kurulmas› denir. Bir problemin matematiksel
çözümü için önce onun matematiksel modelinin kurulmas› gerekir. Matematiksel
modelin kurulmas› genelde veriler aras›ndaki iliﬂkiyi düzenleyen bir ba¤›nt›n›n oluﬂturulmas› biçiminde olur. Sözel ifade edilen bir problemin matematiksel modeli ve bu modelin kuruluﬂu, çözümü cebirsel, nümerik ya da geometrik
yollardan biriyle yap›l›r. Cebirsel yol, problemin analitik olarak ifade edilebilmesidir. Yani bir formül, bir fonksiyon veya bir denklem olarak yaz›labilmesidir. Nümerik yol, verilerden uygun ﬂekilde nümerik sonuçlar›n ç›kar›lmas›d›r. Geometrik yol ise, problemin veya çözümünün bir ﬂema, bir çizim veya bir grafik yard›m›yla gösterilebilmesidir. Elbette bu yollar›n kimi zaman biri, kimi zamanda birkaç› birlikte kullan›labilir. Uygun yolun hangisinin olac›¤›n›n seçimi, matematik
bilgisi ve problem çözme becerisine ba¤l›d›r. Fakat ﬂunu da unutmamak gerekir;
günlük yaﬂam›n çeﬂitli alanlar›nda karﬂ›laﬂ›lan problemlerin matematiksel çözümleri teorik sonuçlard›r. Her zaman gerçek yaﬂamdaki sonuçlar olmayabilir.
Ancak problemin matematiksel modeli iyi kurulmuﬂsa, modelin çözümü gerçek
çözüm olmasa da onun iyi bir yaklaﬂ›m›d›r.
Fonksiyon kavram› matemati¤in en temel kavramlar›ndan biridir. Bir de¤iﬂkene baﬂka bir de¤iﬂkeni karﬂ›l›k getirme olarak tan›mlanabilecek bu kavram iyi kavran›lmadan matematiksel model kurma ve ona çözüm aramadan söz edilemez.
Bu ünitede fonksiyon kavram› verilecek ve özellikleri incelenecektir. Ayr›ca
fonksiyonlar›n grafiklerle gösterimlerinin öneminden söz edilecek ve baz› temel
fonksiyonlar›n grafiklerinin çizimleri yap›lacakt›r.
Fonksiyon Kavram›
FONKS‹YON KAVRAMI
AMAÇ
1
Fonksiyonun ne oldu¤unu anlayacaks›n›z.
Fonksiyonu, bir girdiye bir ve yaln›z bir ç›kt› veren girdi-ç›kt› makinesi olarak
da düﬂünebiliriz.
y = f (x)
x
Girdiler Kümesi
Ç›kt›lar Kümesi
Şekil 4.1
Bunu bir örnekle aç›klayal›m. Bugün birçok hesap makinesinde 1x , ax , logx , yx
gibi tuﬂlar vard›r. Bir say› yaz›p bu tuﬂlardan birine,
örne¤in; 1 e bas›l›rsa ekranda, verilen say›s›n›n çarp›msal tersi görülür. Hex
sap makinesinin 1 tuﬂu (0 hariç) her bir say›y›, çarp›msal tersine taﬂ›d›¤›ndan
x
bir fonksiyon tan›mlar. Benzer ﬂekilde bir say› yaz›p x2 tuﬂuna bas›l›rsa ekranda,
verilen say›n›n karesi görülecektir. Böylece x2 tuﬂu da baﬂka bir fonksiyon tan›mlayacakt›r. Bu nedenle bu tuﬂlara fonksiyon tuﬂlar› denir. Ancak bu tuﬂlardan
yx
tuﬂu di¤erlerinden farkl›d›r. Bir say› yaz›p yx e basarsan›z sonuç alamazs›n›z. Fakat önce 2 ye, sonra yx e, daha sonra 3 e basar yani iki girdi verirseniz eﬂite bas›ld›¤›nda ekranda 8 belirecektir. Bu durumda iki de¤iﬂkenli bir fonksiyon ortaya ç›kacakt›r.
y = f (x) = x3 - x denklemini göz önüne alal›m. Bir x de¤eri girdi olarak al›n›rsa buna bir tek y ç›kt›s› karﬂ› gelecektir.
Gerçekten;
y = f (x)
x
x ler kümesi
y = f (x) = x3 - x
y ler kümesi
Şekil 4.2
67
68
Fonksiyon Kavram›
ile gösterirsek, bu makine önce x girdisinin kübünü al›yor, x i bundan ç›kar›yor
ve bunu y ç›kt›s› olarak veriyor diyebiliriz.
Örne¤in;
y = ç›kt›
x = girdi
x=1
y = f (1) = 13 - 1 = 0
x=2
y = f (2) = 23 - 2 = 6
x=3
y = f (3) = 33 - 3 = 24
olur. "x in kübünü al x i bundan ç›kar" komutunu gerçekleﬂtiren bu makinede y = x3 - x denklemi makinenin yapaca¤› iﬂi tan›mlayan bir matematiksel kural vermektedir. Bu kural bir x girdisine bir ve yaln›z bir y ç›kt›s› karﬂ›l›k
getirmektedir.
Her bir x girdisine, bir ve yaln›z bir y ç›kt›s› karﬂ› getiren bir y = f (x) matematiksel kural›na fonksiyon denir.
Fonksiyonu veren y = f (x) kural›nda x de¤iﬂtikçe, y de buna ba¤l› olarak
de¤iﬂecektir. Bu nedenle x e ba¤›ms›z de¤iﬂken, y ye de x e ba¤l› ya da k›saca ba¤›ml› de¤iﬂken denir.
y = f (x) denklemini anlaml› yapan tüm x girdilerinin kümesine f fonksiyonunun tan›m kümesi, tüm y lerin kümesine de f fonksiyonunun görüntü
kümesi denir. Bu kümeler s›ras›yla Df ve Rf ile gösterilirler. Df ve Rf , s›ras›yla X ve Y gibi iki kümenin alt kümeleri ise f yi simgesel olarak
f : Df Ã X Æ Y
biçiminde gösteririz.
• Fonksiyon y = f (x) kural›yla verilmiﬂse Df = { x Œ X | y = f (x) } ve
Rf = { y Œ Y | x Œ Df için y = f (x) } olur.
• Genel olarak, Df ve Rf , R gerçel say›lar kümesinin bir alt kümesi olarak
al›nacakt›r.
y = f (x)
x
Df
X
Rf
Y
Şekil 4.3
Fonksiyon Kavram›
69
Bir Fonksiyonun Tan›m ve Görüntü Kümesinin Bulunuﬂu
AMAÇ
2
Bir fonksiyon verildi¤inde tan›m ve görüntü kümesini
bulabileceksiniz.
Baz› durumlarda fonksiyonu tan›mlayan kiﬂi tan›m ve görüntü kümelerini kendisi verebilir. Bu durumda yapacak bir ﬂey yoktur. Ço¤u zaman f fonksiyonu
y = f (x) eﬂitli¤i ile verilir. O zaman eﬂitli¤i anlaml› yapan x lerin kümesi Df yi
ve en az bir x için y = f (x) eﬂitli¤ini sa¤layan y lerin kümesi de Rf yi oluﬂturacakt›r.
f, bir problemde sözel olarak ifade edilmiﬂse önce f nin kural› bulunur, daha sonra f nin tan›m ve de¤er kümeleri probleme göre belirlenir.
ÖRNEK 1
Verilen fonksiyonlar›n tan›m ve görüntü kümelerini bulunuz.
a) f (x) = x - 1
b) f x = x - 3
c) f x = x - 2
x 2 - 7x
x+ 2
d) f x =
1
x2 + 1
e)
2
f x = x -1
x- 1
ÇÖZÜM
Verilen bütün fonksiyonlar y = f (x) biçiminde verildi¤inden tan›m kümesi için
y = f (x) i sa¤layan x leri, görüntü kümesi için de ayn› eﬂitli¤i anlaml› yapan y leri araﬂt›raca¤›z.
a) Negatif say›lar›n kareköklerinin olmad›¤›n› biliyoruz. y = x - 1 eﬂitli¤inde
x - 1 < 0 olamaz, olursa eﬂitlik anlams›z olur. Bu nedenle
Df = { x Œ R| x - 1 ≥ 0 }
={xŒR| x ≥1}
= [1, ∞)
olur. ﬁimdi de görüntü kümesini bulal›m. x - 1 önüne eksi iﬂareti gelmedikçe negatif olamaz. x ≥ 1 için y = x - 1 ≥ 0 olur ki bu
Rf = {y Œ R | y ≥ 0 } = [0, ∞)
demektir.
b) Aranan tan›m kümesi y = x - 3 eﬂitli¤ini anlaml› yapan x lerin kümesidir.
x 2 - 7x
A = • ve sonsuzun bir gerçel
say› olmad›¤›n› biliyoruz.
0
Bu eﬂitlikte payday› 0 yapan x ler için eﬂitlik anlams›z olaca¤›ndan
Df =
=
=
=
{ x Œ R | x2 - 7x ≠ 0 }
{ x Œ R | x (x - 7) ≠ 0 }
{ x Œ R | x ≠ 0 ve x ≠ 7 }
R \ {0, 7} = (-∞, 0) » (0, 7) » (7, +∞)
olur. Görüntü kümesi kolayca bulunamaz.
c) y = x - 2 fonksiyonunun tan›m kümesinin Df = R \ { -2 } oldu¤u kolayca göx+ 2
rülebilir. ﬁimdi bu eﬂitli¤i anlaml› yapan y lerin kümesini bulal›m. y = x - 2
x+ 2
eﬂitli¤inden x i çekersek
Ço¤u zaman görüntü kümesini
analitik yoldan elde etmek kolay
de¤ildir. Ancak grafi¤i çizilerek
kolayca belirlenebilir.
70
Fonksiyon Kavram›
(x + 2) y = x - 2
ﬁ
xy + 2y = x - 2
ﬁ
xy - x = -2y - 2
ﬁ
x (y - 1) = -2 (y + 1)
ﬁ
x=
2 (1 + y )
1- y
2 (1 + y )
eﬂitli¤i anlaml› olaca¤›ndan
1- y
Rf = { y Œ R | y ≠ 1 } = R \ {1}
olur. y ≠ 1 için x =
olur.
1
her x Œ R için anlamx +1
l›d›r. Df = R olur. Di¤er taraftan "x Œ R için x2 + 1 ≥ 1 > 0 oldu¤undan
d) Her x Œ R için x2 + 1 ≠ 0 oldu¤undan y =
0<y=
1 ≤1
x2 + 1
2
olur. Rf = (0, 1] dir.
e) x = 1 için
2
0 belirsiz oldu¤undan, x = 1 de y = x 2 - 1 , taf (1) = 1 - 1 = 0 olur ve
0
x- 1
1-1 0
n›ms›zd›r. Yani x ≠ 1 olan tüm x ler eﬂitli¤i anlaml› yapar. Df = R \ { 1 } dir.
f (x) i tekrar yazarsak x ≠ 1 için
2
(x - 1) (x + 1)
= x + 1 dir. Böylece x ≠ 1 için f (x) = x + 1
f (x ) = x - 1 =
x- 1
x- 1
olur. y = f (1) = 1 + 1 = 2 oldu¤undan 1 e karﬂ› gelen y = 2 yi R ‘den ç›ka-
r›rsak de¤er kümesini buluruz. Rf = R \ { 2 } dir.
Bir f : Df Ã R Æ R
fonksiyonunun grafi¤i genellikle
düzlemde bir e¤ridir.
Günlük hayat›m›zda bir de¤iﬂkenin di¤er bir de¤iﬂkene ba¤l› olarak de¤iﬂti¤i
durumlarla s›k s›k karﬂ›laﬂ›r›z. Örne¤in; taksi ücreti, kat edilen km ye ba¤l› olarak,
al›m sat›m vergisi al›nan ya da sat›lan mal›n fiyat›na ba¤l› olarak, dairenin alan›
yar›çap uzunlu¤una ba¤l› olarak, vs. ... de¤iﬂir.
Genel olarak bir y de¤iﬂkeninin bir x de¤iﬂkenine ba¤l› olarak de¤iﬂti¤i her
durum, kural› y = f (x) olan bir fonksiyon tan›mlar. Böylece fonksiyonlar ya bir
tablo ile veya grafik ile ya da y = f (x) denklemi ile verilebilir. Biz daha çok
son durum ile ilgilenece¤iz.
Bir fonksiyonun grafi¤i y = f (x) eﬂitli¤ini sa¤layan (x , y) ikililerinin kümesi olarak tan›mlan›r.
AMAÇ
3
Bir fonksiyonun grafi¤ini çizebileceksiniz.
Fonksiyon Kavram›
f x =
xŒR
ÖRNEK 2
fonksiyonunun grafi¤ini çiziniz.
için
x2 + 2 ≠ 0
olur ve Df = R dir. Her
x Œ R için
3 ≤ 3 oldu¤undan Rf = (0, 3/2] dür. f (- x) = f (x) oldu¤undan
2 + x2 2
grafik y - eksenine göre simetriktir. Grafi¤i [0, + ∞) aral›¤›ndaki de¤erler için
0<f x =
ÇÖZÜM
Her
3
2 + x2
71
çizelim.
y
x f (x)
3/2
0
1
1
3/4
2
3/2 12/7
3 3/11
3/2
1
12/7
3/4
3/11
1
3/2
2
3
x
Şekil 4.4
olur.
ﬁimdi do¤al olarak ﬂu soru akla gelir: Düzlemdeki her e¤ri bir fonksiyonun
grafi¤i midir? Bu sorunun yan›t› olumsuzdur. Düzlemdeki bir e¤rinin, bir fonksiyonun grafi¤i olup olmad›¤› ﬂöyle belirlenir: f nin tan›m kümesindeki her noktadan y-eksenine paralel çizilen her do¤ru, verilen e¤riyi en fazla bir noktada kesiyorsa bu e¤ri bir fonksiyonun grafi¤idir. y-eksenine paralel çizilen bu do¤rulardan en az biri grafi¤i iki ya da daha fazla noktada kesiyorsa, bu e¤ri bir y = f (x)
fonksiyonunun grafi¤i olamaz.
ÖRNEK 3
y
y
x
x
Şekil 4.5
y-eksenine paralel çizilen her do¤ru
grafi¤i en fazla bir noktada keser.
E¤ri bir y = f (x) fonksiyonunun
grafi¤idir.
y-eksenine paralel çizilen do¤rulardan baz›lar› grafi¤i bir ya da iki
noktada keser. E¤ri bir y = f (x)
fonksiyonunun grafi¤i de¤ildir.
Fonksiyon Kavram›
72
Matematiksel Model Oluﬂturma
AMAÇ
4
Matematiksel model oluﬂturabileceksiniz.
ﬁimdi verilen bir problemin matematiksel modelini ç›karma iﬂlemi üzerinde
dural›m.
ÖRNEK 4
ÇÖZÜM
Kenar uzunlu¤u 10 cm olan karenin dört köﬂesinden x cm lik kareler
ç›kar›larak oluﬂturulan ﬂeklin alan›n› y ile gösterelim.
a) y yi x in bir fonksiyonu olarak yaz›n›z.
b) Oluﬂturulan y = f (x) fonksiyonunun tan›m ve görüntü kümelerini
bulunuz.
a)
x
x
x
x
x
x
10 cm
x
x
Şekil 4.6
kenar uzunlu¤u
Kenar uzunlu¤u
y = 10 cm olan
- 4 . x cm olan
karenin alan›
karenin alan›
= 100 - 4 . x2 oldu¤undan
y = f (x ) = 100 - 4x
2
olur.
b) Probleme göre x uzunluk oldu¤undan s›f›rdan büyüktür ve x karenin kenar
uzunlu¤unun yar›s› olan 5 cm den büyük olamaz. Bu durum x i, (0,5] aral›¤›na k›s›tlar. Oluﬂan ﬂeklin alan› 0 dan büyük ve 100 cm2 den küçük olaca¤›
için (neden?) y ler de [0,100) aras›ndad›r. Bu nedenle fonksiyon
f : (0,5] Æ [0,100) , y = f (x) = 100 - 4x2
ile verilmek zorundad›r. O halde f nin tan›m kümesi
görüntü kümesi Rf = [0,100) al›nmal›d›r.
Df = (0,5]
ve
Fonksiyon Kavram›
73
Bir firma A mal›n› üretmek istiyor. Firman›n piyasa ar›ﬂt›rma bölümünce
yap›lan araﬂt›rmalar sonucu, qd = talep, F= fiyat olmak üzere, talep ile fiyat aras›nda
qd = 500 000 - 50 F
formülü ç›kar›l›yor. Gelir fonksiyonunu talep cinsinden ifade ediniz.
dersek, R = Fiyat x Talep = F. qd olur.
qd = 500 000 - 50 F verilmiﬂti, buradan F çekilirse,
F=
ÇÖZÜM
R = Gelir
ÖRNEK 5
500 000 - qd
q
= 10 000 - d
50
50
bulunur. Böylece
R qd = qd . 10 000 -
qd
50
2
= 10 000qd -
qd
50
q
bulunur. Burada fiyat ve talep negatif olamayaca¤›ndan qd ≥ 0 ve 10 000 - d ≥ 0
50
yani 0 ≤ qd ≤ 500 000 olur. Sonuç olarak
2
R : 0, 500 000 Æ [0, •) ; R = 10 000 qd - 1 qd dir.
50
ÖRNEK 6
Bir firma üretti¤i her bir ürünü bir y›l boyunca a TL. den sat›yor. Her bir
ürün için bir y›l boyunca b TL. lik hammadde gideri ve c TL. lik iﬂçi ücreti ödeniyor. Firman›n y›ll›k sabit giderleri d TL. dir. x sat›lan ürün say›s›n› göstermek üzere y›ll›k kâr fonksiyonunu x cinsinden bulunuz.
ÇÖZÜM
R = Gelir
C = Maliyet (Y›ll›k)
K = Kâr (Y›ll›k)
olmak üzere;
Gelir = (sat›ﬂ fiyat›) . (sat›lan ürün say›s›) = ax
Maliyet = (hammadde + iﬂçilik) (ürün say›s›) + Sabit giderler = (b+c) x +d
Kâr = Gelir - Maliyet
oldu¤unu düﬂünürsek
K (x) = R (x) - C (x)
= ax - [ (b+c) x +d ] = (a-b-c) x - d
istenen kâr fonksiyonu olur.
1.
Boyutlar› 30 ve 20 olan dikdörtgen biçimli bir kartonun dört köﬂesinden kareler kesilerek üstü aç›k bir kutu oluﬂturulmak isteniyor. Bu kutunun hacmini
veren bir fonksiyon bulunuz.
2.
C
Yandaki dik üçgende f (x) "BC kenar›n›n uzunlu¤u" ise
f (x) i x cinsinden ifade ediniz.
9
A
x
B
SIRA S‹ZDE 1
74
Fonksiyonlar›n Özellikleri
D
3.
x
C
x
x
A
4.
x
Yandaki karede
a) f (x) "karenin çevresi";
b) f (x) "karenin köﬂegeni"
c) f (x) "karenin alan›" ise f (x) leri x cinsinden ifade
ediniz.
B
Verilen fonksiyonlar›n en geniﬂ tan›m kümelerini bulunuz.
x- 1
x+ 1
a) f x =
3
d) f x = x 2 - 2x
b) f x =
x2 - x +
1
x+ 3
c) f x =
x- 2
x2-4
e) f x = x2 - 2x
FONKS‹YONLARIN ÖZELL‹KLER‹
AMAÇ
5
Fonksiyonlar›n temel özelliklerini ö¤renecek, bunlar› grafik çizimlerinde kullanabiliceksiniz.
Bu kesimde verilen fonksiyonlar›n temel özellikleri tan›mlan›p örneklerle
aç›klanacakt›r.
A, B Õ R olmak üzere, f : A Æ B, y = f (x) fonksiyonu verilsin.
(i) Her x1, x2 Œ A için
x1 ≠ x2 ﬁ f (x1) ≠ f (x2) veya denk olarak f (x1) = f (x2) ise x1 = x2
oluyorsa f ye bire-bir (1-1) fonksiyon denir.
(ii) Her y Œ B için y = f (x) olacak ﬂekilde en az bir x Œ A varsa f ye örten fonksiyon denir. Bu durumda f (A) = { f (a) | a Œ A } = B olur.
(iii) f (A) Ã B ise f ye içine fonksiyon denir.
(iv) • Her x1 , x2 Œ A ve x1 < x2 için f (x1) ≤ f (x2) ( f (x1) < f (x2) )
oluyorsa f ye azalmayan (artan) fonksiyon denir.
• x1 < x2 için f (x2) ≤ f (x1) ( f (x2) < f (x1) )
oluyorsa f ye artmayan (azalan) fonksiyon denir.
• Bu koﬂullardan birini gerçekleyen bir fonksiyona monoton fonksiyon
denir.
(v) Her x Œ A için -x Œ A ve
• f (-x) = f (x) oluyorsa f ye çift fonksiyon denir.
• f (-x) = - f (x) oluyorsa f ye tek fonksiyon denir.
(vi) Bir T > 0 say›s› ve her x Œ A için x + T Œ A ve f (x + T ) = f (x)
oluyorsa f ye periyodik fonksiyon denir. T ye de bir periyot denir.
f : A Æ B, y = f (x) fonksiyonu verilsin.
Grafi¤ini çizebildi¤imiz bir fonksiyonun 1-1, örten, artan, azalan, çift, tek
ve/veya periyodikli¤i aﬂa¤›daki biçimde araﬂt›r›labilir.
A, B Õ R ve
• Her y Œ B noktas›ndan x- eksenine paralel olarak çizilen bir do¤ru fonksiyonun grafi¤ini en fazla bir noktada kesiyorsa fonksiyon bire-bir dir.
• Her y Œ B noktas›ndan x- eksenine paralel olarak çizilen bir do¤ru fonksiyonun grafi¤ini en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örtendir.
• x- ekseni üzerinde A n›n en solundan baﬂlayarak sa¤a do¤ru hareket edildi¤inde fonksiyonun grafi¤i daima yukar› do¤ru (aﬂa¤› do¤ru) hareket ediyorsa fonksiyon artan (azalan) d›r. Bir aﬂa¤› bir yukar› hareket ediyorsa
grafik ne artan ne de azaland›r.
Fonksiyonlar›n Özellikleri
•
•
75
Fonksiyonun grafi¤i y- eksenine (orijine) göre simetrik ise fonksiyon çift
(tek)' tir.
Fonksiyonun grafi¤i belli aral›klar boyunca aynen tekrarlan›yorsa fonksiyon periyodikdir.
ÖRNEK 7
Verilen fonksiyonlar›n tan›ml› olduklar› aral›kta bire-bir, örten, artan,
azalan, tek ve/veya çift olup olmad›klar›n› araﬂt›r›n›z.
2
a) y = 2x - 1
b) y = x - 2
2
ÇÖZÜM
a) y = 2x - 1 do¤rusunun grafi¤ini hemen çizebiliriz.
y
y
y = 2x - 1
y = 2x - 1
bizim
hareketimiz
x
1
2
x
1
2
-1
-1
y=k
grafi¤in hareketi
Şekil 4.7
ﬁekilde görüldü¤ü gibi x- eksenine paralel çizilen her do¤ru, y = 2x - 1 do¤rusunu bir ve yaln›z bir noktada kesiyor ve x - ekseni üzerinde soldan sa¤a hareket
etti¤imizde grafik yukar› do¤ru hareket etti¤inden y = 2x - 1 fonksiyonu bire-bir
örten ve artand›r. Grafik y - eksenine ve orijine göre simetrik olmad›¤›ndan tek
veya çift olmaz.
2
b) y = x - 2 parabolünün grafi¤ini çizelim
2
y
y
y=2
grafi¤in
hareketi
grafi¤in
hareketi
hareket
yönümüz
-2 2
2 2
x
-2
2
x
-2
-2
y = -3
Şekil 4.8
Grafikten de görüldü¤ü gibi -∞ < k < -2 olmak üzere x - eksenine paralel olan
y = k do¤rular›n›n hiçbiri y = x2 - 2 parabolünü kesmez, fonksiyon R ye örten
2
de¤ildir. Yine -2 < k < +∞ olmak üzere y = k do¤rular› grafi¤i her defas›nda iki
2
noktada keserler. Bu f (x ) = x -2 nin bire-bir olmad›¤›n› gösterir.
2
Fonksiyonlarla Yap›lan Cebirsel ‹ﬂlemler
76
‹kinci ﬂekilde x - ekseni üzerinde soldan sa¤a hareket etti¤imizde (-∞, 0) aral›¤›nda grafik aﬂa¤› do¤ru hareket eder (azaland›r). (0, ∞) aral›¤›nda ise grafik yukar›
do¤ru hareket eder (artand›r). O halde R nin bütününde grafik önce azal›yor son2
ra art›yor. y = x - 2 fonksiyonu ne artand›r ne de azaland›r.
2
2
Son olarak grafik y - eksenine göre simetrik oldu¤undan y = x - 2 fonksi2
yonu çift fonksiyondur.
FONKS‹YONLARLA YAPILAN CEB‹RSEL ‹ﬁLEMLER
AMAÇ
6
Fonksiyonlar üzerinde iﬂlemler ö¤renip uygulayabileceksiniz.
Bu kesimde, verilen iki (ya da daha fazla) fonksiyondan yararlanarak yeni fonksiyonlar tan›mlaman›n de¤iﬂik yollar›ndan bahsedece¤iz.
f : A Õ R Æ R, g : A Õ R Æ R olmak üzere
(f
(f
(f
f
g
+ g)(x) = f (x) + g (x)
- g)(x) = f (x) - g (x)
. g)(x) = f (x) . g (x)
f (x )
( g (x ) ≠ 0)
(x ) =
g (x )
olarak tan›mlan›r.
ÖRNEK 8
ÇÖZÜM
R 'den R 'ye tan›mlanan f (x) = 2x - 3
verilsin.
a) f + g
b) f - g
c) f . g
fonksiyonlar›n› oluﬂturunuz.
ÖRNEK 9
d)
fonksiyonlar›
f
g
a) (f + g) (x) = f (x) + g (x) = 2x - 3 + x2 + 1 = x2 + 2x - 2
b) (f - g) (x) = f (x) - g (x) = 2x - 3 - (x2 + 1) = -x2 + 2x - 4
c) (f . g) (x) = f (x) . g (x) = (2x - 3) . (x2 + 1) = 2x3 - 3x2 + 2x - 3
f (x ) 2x - 3
=
d)
g (x ) x 2 + 1
f x =
ÇÖZÜM
ve g (x) = x2 + 1
x ise 1 f x + f (-x ) = f (x 2) oldu¤unu gösteriniz.
2
1- x
-x
x
x
1 f (x ) + f (-x ) = 1
x +
=
2
2 1 - x 1 - (-x )
1-x
1+x
(1 + x ) (1 - x )
=
(1 + x ) x - x (1 - x )
2 (1 -
olur.
x 2)
=
2x 2 = f (x 2)
2 (1 - x 2)
Fonksiyonlarla Yap›lan Cebirsel ‹ﬂlemler
Bileﬂke Fonksiyon
Daha önce bir fonksiyonu bir girdi-ç›kt› makinesi olarak vermiﬂtik. Ço¤u zaman
bir fonksiyon, bir baﬂka fonksiyonun ç›kt›s›n› girdi olarak al›r ve kendi ç›kt›s›n›
bunu kullanarak oluﬂturur.
Örne¤in;
y = g (x) = 1 - x 2 fonksiyonunda u = f (x) = 1 - x2 fonksiyonunun ç›kt›s›
olan 1 - x2 nin karekökü al›nmaktad›r. Bunu ﬂematik olarak gösterirsek
f
x
Df
g
u = f (x) = 1-x2
f (x) = u
Rf
Dg
Rf « Dg
g (u) =
g (x) =
u
f (x) =
1 - x2
Şekil 4.9
olacakt›r.
Bunu daha iyi kavrayabilmek için fonksiyon tan›mlamam›z›n baﬂ›ndaki hesap
makinesi örne¤ine dönelim. Bir hesap makinesinin üzerindeki fonksiyon tuﬂlar›n›n her biri birer fonksiyon oluﬂturuyordu.
1 tuﬂuna "ters alma fonksiyonu" ve x tuﬂuna da "karekök alma" fonksix
1
yonu diyebiliriz. Önce 9 a sonra 1x tuﬂuna basarsak ekranda 9 görürüz. Arkax tuﬂuna bas›l›rsa ekranda bu defa 1 yer alacakd›r.
s›ndan direkt olarak
3
K›saca önce ters alma fonksiyonu, onun sonucuna da karekök fonksiyonunu
uygularsak
9
ters alma
1
9
karekök alma
1 = 0. 3
3
elde edilir.
ﬁimdi iki fonksiyonun bileﬂkesini formal olarak tan›mlayal›m.
f ve g herhangi iki fonksiyon olsunlar. f (x), g nin tan›m kümesi içinde olmak
üzere, f nin tan›m kümesindeki her x için
(gof) (x) = g ( f (x) )
olarak tan›mlanan gof fonksiyonuna f ile g nin bileﬂke fonksiyonu denir.
77
Fonksiyonlarla Yap›lan Cebirsel ‹ﬂlemler
78
Bu durumda Dgof = { x Œ Df |
f (x) Œ Dg } olaca¤› aç›kt›r.
Rg
Dg
f
Df
Dgof
g
f(x)
•
x
Rf
X
g ( f(x) )
•
Y
Z
gof
Şekil 4.10
ÖRNEK 10
ÇÖZÜM
f (x) = 2x - 3 ve g (x) = x2 + 1 fonksiyonlar› için fog ve gof bileﬂke fonksiyonlar›n› hesaplay›n›z.
ÖRNEK 11
(fog)(x) = f ( g (x) )
eﬂitli¤inin sa¤ yan› " f fonksiyonunda x gördü¤ün yere g(x) i yaz", demektir. Buradan
f ( g (x) ) = 2 ( g (x) ) - 3 = 2 . (x2 + 1) - 3 = 2x2 - 1
elde edilir. Benzer ﬂekilde
(gof)(x) = g ( f (x) ) = ( f (x) )2 + 1 = (2x - 3)2 + 1
= 4x2 - 12x + 9 + 1 = 4x2 - 12x + 10
bulunur.
Bu örnekte oldu¤u gibi genellikle fog ≠ gof dir.
ÇÖZÜM
3
1
1 + x2
ifadesini üç ayr› fonksiyonun bileﬂimi olarak gösteriniz.
Girdiye x diyelim ve x in girdisini alal›m. Önce, 1 + x2 ç›kt›s›n› hesaplayal›m,
1
sonra ç›kt›n›n çarp›msal tersini alal›m. Böylece
elde edilir.
1 + x2
3
1
Son olarak ç›kan sonucun küp kökünü alal›m. Böylece
1 + x 2 fonksiyonu
elde edilir. Buradan;
3
u = f x = 1 + x 2 , v = g (u) = 1
u ve y = h(v ) = v
y = h( g ( f (x) ) ) =
olur.
3
1
1 + x2
al›n›rsa
Fonksiyonlarla Yap›lan Cebirsel ‹ﬂlemler
f (x ) = x 3 + 3x + 6 ,
g (x ) =
x
1+x
ÖRNEK 12
olmak üzere g ( f (2) ) = ?
ÇÖZÜM
f (2) = 23 + 3 . 2 + 6 = 8 + 6 + 6 = 20
g ( f (2)) = g (20) = 20 = 20
1 + 20 21
bulunur.
Ters Fonksiyon
AMAÇ
7
Verilen bir fonksiyonun tersinin var olup olmad›¤›n› araﬂt›racak
ve var olanlar›n tersini bulabileceksiniz.
Bir f fonksiyonu bire-bir ise görüntü kümesindeki herhangi bir y say›s›na f nin
tan›m kümesinden y = f (x) eﬂitli¤ini sa¤layan (di¤er bir deyiﬂle y = f (x) denkleminin çözümü olan) bir tek x karﬂ›l›k gelir. x , y taraf›ndan tek olarak belirlendi¤inden x, y nin bir fonksiyonudur. Bu durumda
x = f -1 (y )
yaz›l›r ve f -1 fonksiyonuna f nin ters fonksiyonu denir.
Genellikle bir fonksiyonun tan›m kümesinin de¤iﬂkeni olarak y yerine x tercih
edildi¤inden x = f -1 (y ) eﬂitli¤inde x ile y de¤iﬂtirilip ters fonksiyon tan›m› ﬂu ﬂekilde verilebilir.
f bire-bir ise f -1 ters fonksiyonu vard›r. f -1 (x) in de¤eri f nin tan›m kümesi
içinde, f (y) = x eﬂitli¤ini sa¤layan bir tek y say›s›d›r. Yani
y = f -1 (x ) ¤ x = f (y )
dir.
Örne¤in; f x = x fonksiyonu [0, +•) dan, [0, +•) a bire -birdir.
Tersi vard›r ve bu fonksiyon y = x
de x ile y yer de¤iﬂtirilip çözülerek
-1
x = y ¤ y = f (x) = x 2 biçiminde bulunur. y = f -1(x ) ¤ f (y ) = x denkli¤inden, bu denklemlerden biri di¤erinin yerine al›nabilir.Böylece bu fonksiyonlar›n grafikleri aﬂa¤›daki ﬂekildeki gibi
y
0
f (x ) = x
x
y
0
f -1(x) = x2
x
Şekil 4.11
olur.
79
Fonksiyonlarla Yap›lan Cebirsel ‹ﬂlemler
80
Bire-bir bir fonksiyonun terside bire-bir olaca¤›ndan, tersinin de tersi vard›r ve
bu f ye eﬂittir. Gerçekten
y= f
-1 -1
= f (x )
olur. y = f -1 (x), x = f (y) denklemlerinden biri di¤erinin yerine al›nabilece¤inden her y Œ Df -1 ve her x Œ Df için
f (f -1(y ) ) = y , f -1( f (x ) ) = x
eﬂitlikleri elde edilir.
Kesin artan (ya da azalan) bir f fonksiyon bire-bir olaca¤›ndan, görüntü kümesinden tan›m kümesine tan›ml› bir f -1 tersi vard›r.
• f nin tersi varsa tektir.
• f nin tersi bulunurken iki yol izlenir.
1. YOL: y = f(x) den direkt olarak x çekilir. Ç›kan x = g(y) ifadesinde x yerine
f -1 (x), y yerine x yaz›l›r.
2. YOL: y = f(x) ifadesinde x ile y nin yeri de¤iﬂtirilir, yani x = f(y) yaz›l›r ve
bu eﬂitlikten y çekilir, bulunan y, f -1 (x) i verir.
• Ters fonksiyonunun grafi¤i iki yolla çizilebilir.
1. YOL: f nin tersi bulunur ve onun grafi¤i çizilir.
2. YOL: f fonksiyonunun grafi¤i çizilir. Çizilen grafi¤inin y = x do¤rusuna göre simetri¤i f -1 in grafi¤i olur.
ÖRNEK 13
ÇÖZÜM
Verilen fonksiyonlar›n bire-bir olduklar›n› saptay›n›z, terslerini bulunuz
ve çiziniz.
a) f (x) = 2x -1
b) f (x) = 8x3 - 1
a) f (x) = 2x - 1 fonksiyonu monoton artan oldu¤undan tersi vard›r. ﬁimdi tersini iki yolla bulal›m.
1. YOL: y = 2x - 1 den x i çekersek x = y + 1 bulunur.
2
-1
-1
x yerine f (x) ve y yerine x yaz›l›rsa f x = x + 1
2
olarak bulunur.
y
y
y=x
f(x) = 2x - 1
y=x
f -1(x ) = x + 1
2
1
2
1
2
1
2
-1
-1
x
1
2
-1
-1
3 x+1
f -1(x ) =
2
(a)
f(x) = 8x3 - 1
x
(b)
Şekil 4.12
Fonksiyonlarla Yap›lan Cebirsel ‹ﬂlemler
2. YOL:
81
y = 2x - 1 de önce x ile y nin yerini de¤iﬂtirelim. Bu durumda
x = 2y - 1 elde edilir. Buradan y yi çekersek
y+1
x=
2
-1
f x = x+ 1
2
bulunur (ﬁekil (4.11 (a)).
b) f (x) = 8x3 - 1 daima artan oldu¤undan tersi vard›r.
3
-1
f (x ) =
1.
x+1
2
olur (ﬁekil 4.11 (b) ).
Verilen fonksiyonlar›n bire-bir, örten, artan ve/veya azalan olup olmad›klar›n›
araﬂt›r›n›z.
b) f (x ) = x + 3
x- 1
a) f (x ) = x 3 - x 2
c) f (x) =
-x 2
;
x< 0
x2
;
0 ≤ x≤ 2
x+ 2 ;
2.
x> 2
(ii) gof
Verilen fonksiyonlar›n terslerini bulunuz.
a) f (x ) = x + 3
x- 2
b) f : [1, •) Æ [1, •) ; f (x ) = (x - 1)2 + 1
d) f (x ) =
c) f (x ) = 2x + 1
4.
x+ 1
x- 2
f (x ) = x 2 - 3x , g (x) = x + 3 fonksiyonlar› veriliyor. Aﬂa¤›dakileri
x2
hesaplay›n›z.
a) f (3) - g (2)
5.
x2 - x
Verilen fonksiyonlar için bileﬂke fonksiyonlar›n› bulunuz.
a) f (x) = 3x2 - 5x , g (x) = 1 - 3x için
(i) fog
(ii) gof
(iii) fof
b) f (x) = x3 - x ; g (x) = 2x - 1
(i) fog
3.
d) y =
a)
f (x) =
b)
f (5)
1 + g (3)
c) f (t + 1)
d) g (t )
x ise f (x ) + f (-x ) = 2 f (-x 2) oldu¤unu gösteriniz.
1+x
b) f (x) = x (x + 1) ise f (x + h) - f (x) = h(2x + 1 + h) oldu¤unu
gösteriniz.
SIRA S‹ZDE 2
Fonksiyon Türleri
82
FONKS‹YON TÜRLER‹
AMAÇ
8
Fonksiyonlar› s›n›fland›rabileceksiniz.
ﬁimdi, orta ö¤renim y›llar›nda görmüﬂ oldu¤unuz belli baﬂl› fonksiyon türlerini ve
bunlar›n grafiklerini verelim.
I) an ≠ 0 ve a0 , a1 , ... an-1 , an Œ R olmak üzere
f (x) = a0 + a1x + a2 x2 + ... + an xn
biçimindeki bir fonksiyona n-inci dereceden bir polinom fonksiyonu
denir.
Özel olarak
•
•
•
•
ÖRNEK 14
n = 0 ise f (x) = a fonksiyonuna sabit fonksiyon denir.
n = 1 ise f (x) = ax + b fonksiyonuna do¤rusal fonksiyon denir.
Burada a = 1 , b = 0 ise f (x) = x = I (x) ile gösterilir ve birim
fonksiyon ad›n› al›r.
n = 2 ise f (x) = ax2 + bx + c fonksiyonuna ikinci derece
fonksiyon denir.
n = 3 ise f (x) = ax3 + bx2 + cx + d fonksiyonuna kübik
fonksiyon denir.
ÇÖZÜM
Verilen fonksiyonlar›n grafiklerini çiziniz.
a) y = 3
b) y = 2x + 1
c) y = x2 - x - 2
d) y = x3 - x
a) x - eksenine paralel olan y- eksenini 3 noktas›nda kesen do¤rudur
((ﬁekil 4.13 (a))
y
y = 2x + 1
y
3
y=3
1
2
1
x
-
(a)
x
1
2
(b)
Şekil 4.13
b)
y ve x eksenlerini s›ras›yla
x=0
için
y = 2 . 0 + 1 = 1 ﬁ (0, 1)
0 = 2x + 1 ﬁ x = - 1 ﬁ - 1 , 0
2
2
noktalar›nda kesen do¤rudur (ﬁekil 4.13 (b) )
y=0
için
Fonksiyon Türleri
83
c) y ve x eksenlerini s›ras›yla
x = 0 ﬁ y = -2 ﬁ (0, -2)
y = 0 ﬁ x2 - x - 2 = (x - 2) (x + 1) = 0
ﬁ x1 = -1 , x2 = 2
ﬁ (-1 , 0) , (2 , 0)
noktalar›nda kesen simetri ekseni x = 1 do¤rusu olan bir paraboldür
2
(ﬁekil 4.14 (a)).
+∞
y
+∞
-∞
-1
2
1/2
x
-1
0
x
1
-1
-2
-∞
(a)
(b)
Şekil 4.14
d) y = 0 ﬁ x3 - x = x (x2 - 1) = x (x - 1) (x + 1) = 0
ﬁ x1 = -1 , x2 = 0, x3 = 1
olmak üzere x-eksenini (-1, 0), (0, 0) ve (1, 0) da kesen
x Æ-•ﬁy Æ-•
xÆ+•ﬁy Æ+•
olan bir grafi¤i vard›r, ( ﬁekil 4.14 (b) ).
I) f ve g s›ras›yla n - yinci ve m - yinci dereceden polinomlar olsunlar.
h (x ) =
f (x )
g (x )
=
a 0 + a 1x + ... + a nx n
b 0 + b 1x + ... + b mx m
biçiminde bir fonksiyona rasyonel fonksiyon denir.
a)
f (x ) = x - 2
x+ 2
b)
f (x ) =
x2
1
+1
ÖRNEK 15
rasyonel fonksiyonlar›n›n grafiklerini çiziniz.
x = 0 için
y = 0 - 2 = - 1 ﬁ 0, -1
0+2
d›r. x - eksenini kesti¤i nokta ise
ÇÖZÜM
f (x ) = x - 2
x+ 2
oldu¤unu daha önce görmüﬂtük.
Eksenleri kesti¤i noktalar› bulal›m. Grafi¤in y - eksenini kesti¤i nokta
a) f : R \ { -2 } Æ R \ { 1 } ,
84
Fonksiyon Türleri
x - 2 = 0 ﬁ x = 2 ﬁ 2, 0
x+ 2
y = 0 için
olarak bulunur. Birkaç yard›mc› nokta verirsek grafi¤i kabaca çizebiliriz.
x = -3
x= 1
f (-3) = -3 - 2 = 5
-3 + 2
için
f (1) = 1 - 2 = -1/3
1+2
için
bulunur.
x Æ -• ﬁ y
x Æ +•ﬁ y
olur.
Æ 1
Æ 1
x
-∞
-3
0
f (x)
1
5
-1
y
1
2
+∞
-1/3
0
1
y
y=1
1
-3 -2
-1/3
(a)
2
x
x
(b)
Şekil 4.15
b) x Œ R iken 0 < y ≤ 1 idi. Grafik x - ekseni (y = 0 do¤rusu) ile y = 1
do¤rusu aras›ndad›r.
xÆ±•
iken y Æ 0
olaca¤›ndan grafik yukar›daki gibidir.
III) Parçal› Tan›ml› Fonksiyon
Özel olarak veya zorunlu olarak baz› durumlarda fonksiyon, tek bir eﬂitlikle de¤il,
tan›m kümesi parçalara ayr›l›p her bir parçada farkl› bir eﬂitlikle verilebilir. Bu tür
fonksiyonlara parçal› tan›ml› ya da k›saca parçal› fonksiyon denir.
Günlük yaﬂam›m›zda parçal› tan›ml› fonksiyonlar› çok say›da örnek verebiliriz.
Fonksiyon Türleri
85
ÖRNEK 16
T C Posta ‹daresi'nce a¤›rl›¤› 0 ile 2 kg aras›nda de¤iﬂen mektup veya
kolinin Türkiye'den ‹ngiltere'ye gönderilme ücreti aﬂa¤›daki fonksiyonla
verilebilir (x gram y Türk Liras› olmak üzere).
200.000 ; 0 < x <20
300.000 ; 20 ≤ x <50
400.000 ; 50 ≤ x <100
y = f (x ) =
900.000 ; 100 ≤ x <250
1.700.000 ; 250 ≤ x <500
3.000.000 ; 500 ≤ x <1000
4.700.000 ; 1000 ≤ x <2000
•
•
Bulundu¤unuz ﬂehirdeki taksilerdeki taksimetre tarifini km'ye, TL.
karﬂ›l›k getiren parçal› fonksiyon biçiminde yaz›n›z.
Bulundu¤unuz ﬂehrin belediyesi taraf›ndan düzenlenen m 3'e TL.
karﬂ›l›k getiren su fiyatlar› için bir parçal› fonksiyon yaz›n›z.
ÖRNEK 17
x+ 1 ; x≤ 3
f (x ) =
x- 2 ; 3 < x≤ 4
parçal› fonksiyonu için
5 - x ; x> 4
f (2) , f 7 , f (6) de¤erlerini hesaplay›n›z
2
b) Grafi¤ini çiziniz.
a)
x = 2 < 3 ﬁ f (2) = 2 + 1 = 3
ÇÖZÜM
a)
3 < x= 7 < 4 ﬁ f 7 = 7 - 2 = 3
2
2
2
2
x = 2 > 4 ﬁ f (6) = 5 - 6 = -1
b)
y
5
•
4
f (2) = 3
f 7 =3
2
2
-2
•
2
1
-1
f (6) = -1
6
1
2
3 7
2
5
Şekil 4.16
x
86
Fonksiyon Türleri
lV) Salt (Mutlak) De¤er Fonksiyonu
-x ; x < 0
|x | = 0 ; x = 0
Bir x gerçel say›s›n›n mutlak de¤erinin
tan›mland›¤›n› biliyoruz.
biçiminde
x ; x >0
-x ; x < 0
s : R Æ [0, ∞) ; s (x) = 0 ; x = 0 biçiminde tan›ml› s fonksiyonuna salt
x ; x >0
(mutlak) de¤er fonksiyonu denir.
Bu fonksiyonun grafi¤i x Œ (-∞, 0) da s (x) = -x ; x = 0 için s (x) = 0 ;
x Œ (0, ∞) için s (x) = x grafikleri çizilerek aﬂa¤›daki gibi oluﬂturulur.
y
2
1
-2
-1
0
2
1
Şekil 4.17
Ömer Hayyam (1048 - 1122)
Bir parabol ile bir çemberi kesiﬂtirerek 3. dereceden bir polinom denklemin çözümü için geometrik bir yöntem bulmuﬂtur.
Sevgili seninle ben pergel gibiyiz:
‹ki baﬂ›m›z var, bir tek bedenimiz.
Ne kadar dönersem döneyim çevrende:
Er geç baﬂ baﬂa verecek de¤il miyiz?
Ö. HAYYAM
"Biraz da ﬂair olmayan bir matematikçi, hiçbir
zaman tam bir matematikçi olamaz."
Karl WEIERSTRASS
x
Kendimizi S›nayal›m
87
Kendimizi S›nayal›m
x2 - x - 6
1. f (x ) =
fonksiyonunun en geniﬂ tan›m
kümesi aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
a. [-2, 3]
b. [-3, 2]
c. (-∞, -2] » [3, +∞)
d. (-∞, -3] » [3, +∞)
e. (-∞, -2) » (3, +∞)
2. f (x ) = x - 3 + x + 1
fonksiyonunun en geniﬂ
tan›m kümesi aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
a. (-∞, -1] » [3, +∞)
b. (-∞,3)
c. (-∞, -1]
d. [-1, +∞)
e. [3, +∞)
3. Verilen grafik aﬂa¤›daki fonksiyonlardan hangisine aittir?
4. Aﬂa¤›dakilerden hangisi 1-1 fonksiyondur?
y
a.
x
y
3/2
1/2
b.
x
y
y
1
c.
1/2
x
2
f (x)
y
-1
x
2
d.
2a. f (x ) =
b. f (x ) =
c. f (x ) =
d. f (x ) =
2x 2
;
x <0
2 - 2x ;
x ≥0
y
2 - 2x 2 ;
x< 0
1
2-x
;
x ≥0
2x 2 - 2 ;
x <0
2 - 2x ;
x ≥0
2x - x 2 ;
x <0
2-x
x ≥0
;
2x + 2 ;
e. f (x ) =
x
2-x
e.
x
1
5. Aﬂa¤›da f (x) fonksiyonunun grafi¤i verilmiﬂtir. Buna
göre f -1 (x) aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
y
x <0
;
2
x ≥0
2
x
f (x)
a.
b.
c.
d.
e.
x-y=2
y-x=2
x+y=2
x + y = -2
x - 2y = 2
Kendimizi S›nayal›m
88
6. f (3x + 1) = x - 2
hangisidir?
ise,
y = f (x)
aﬂa¤›dakilerden
8.
y
a. y = 1 (x - 7)
3
b. y = x + 1
3
2
f (x) =
g
+ 2
x- 2 2
2
x
-1
c. y = x - 6
3
Yukar›da f (x) ve g (x) fonksiyonlar›n›n grafikleri verilmiﬂtir. Buna göre y = (gof)(x) bileﬂke fonksiyonu aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
d. y = x - 5
3
e. y - x = 2
7. Aﬂa¤›da grafikleri verilen fonksiyonlardan hangisinin
grafi¤i tersinin grafi¤i ile ayn›d›r.
y
a.
1
x
2
a. y = x
2
(x - 2)2
b. y =
+ 2
2
c. y =
(x + 2)2
2
d. y =
(x - 2)2 + 2
2
e. y = (x - 2)2 + 2
-1
3x - 1
|x - 2| - 4
dakilerden hangisidir?
9. f (x ) =
y
1
b.
1
a. R \ 1
3
b. R \ { -2, 2 }
c. R \ { -2, 6 }
d. R \ { 2 }
e. R \ { 4 }
x
y
10. x f (x) + 2 = x + 3f (x) oldu¤una göre,
¤›dakilerden hangisidir?
2
c.
x
a. x - 2
x- 3
b. x+ 2
x- 3
y
c . -3x + 2
-x - 1
2
d.
x
d . 3x - 2
x- 1
e . 3x - 2
1-x
y
2
1
e.
fonksiyonun tan›m kümesi aﬂa¤›-
x
f -1 (x) aﬂa-
Biraz Daha Düﬂünelim
11.
f (x ) =
(x - 3)3
fonksiyonunun
4
f -1 (x)
ters
fonksiyonu aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
Biraz Daha Düﬂünelim
1. Aﬂa¤›daki fonksiyonlar›n tan›m kümelerini bulunuz.
a) f (x ) = 4x 2 - 4
3
a.
b) f (x ) =
4x-3
3
b. 3 -
x2 - 1
c) f (x ) =
x - 4+ 3
d) f (x ) =
3
d. 3 +
x -3
3
4x
3
c.
89
x2
+1
x2
4x
3
e.
x- 7
12.
f
2. Aﬂa¤›daki f ve g fonksiyonlar› için fog ve gof 'i fonksiyonlar›n› bulunuz.
y
y
g
a)
f (x ) = x + 1
g (x ) = x2+ 1
2
2
1
b)
1
2
x
-2
x
f (x ) = x
g (x ) = x + 3
3. Aﬂa¤›daki fonksiyonlar›n varsa ters fonksiyonlar›n›
bulunuz.
Yukar›da grafikleri verilen f
(gof) (2) say›s› kaçt›r?
a. -4
b. -2
c. 0
d. 2
e. 4
ve g fonksiyonlar› için
a) f (x ) = x + 2
b) f (2x - 3 )= x + 1
x- 2
c) f (x ) = x + 2
2x - 5
d) f (x ) = 2x 3 - 1
Limit ve Süreklilik
5
Amaçlar
Bu üniteyi çal›ﬂt›ktan sonra;
bir fonksiyonun, bir nokta civar›ndaki davran›ﬂ›n› inceleyebilecek yani bu
noktadaki limitini bulacak,
bir fonksiyonun limitini daha kolay bulabilecek,
fonksiyonun bir noktadaki limitini; bu noktaya sa¤dan ve soldan yaklaﬂan
de¤erlerle bulacak,
fonksiyonun bir noktadaki limiti ile bu noktadaki de¤eri aras›ndaki iliﬂkiyi
karﬂ›laﬂt›racak,
fonksiyonun en küçük ve en büyük de¤erinin olup olmad›¤›n› araﬂt›rabileceksiniz.
92
Limit ve Süreklilik
‹çindekiler
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Giriﬂ
Limit Kavram›
Limit Özellikleri
Tek Yönlü Limitler
Süreklilik
Sürekli Fonksiyonlar›n Özellikleri
Yan›n›zda bir hesap makinesi bulundurunuz.
Örneklerde sizin yapman›z› istedi¤imiz iﬂlemleri mutlaka yap›n›z.
Fonksiyonun grafi¤ini çizerek limitin ne anlama geldi¤ini grafikten
görmeye çal›ﬂ›n›z.
Bir noktada sürekli bir fonksiyonla, süreksiz fonksiyonun davran›ﬂlar› aras›ndaki fark› grafik üzerinde görmeye çal›ﬂ›n›z.
Giriﬂ
Matemati¤in, ekonomi ve di¤er uygulamal› bilimlerde en çok kullan›lan kavramlar› olan türev ve integral kavramlar› limit kavram› üzerine inﬂa edilmiﬂlerdir.
Matematikte baﬂka kavramlara da anlam kazand›ran limit kavram›, bu nedenlerden dolay› matemati¤in en temel kavramlar›ndan birisidir.
Biz bu ünitede, limit kavram›n› ve onunla çok yak›ndan ilgili bir di¤er önemli kavram›, süreklili¤i inceleyece¤iz. ‹ncelememizde sizler için gereksiz ve s›k›c›
ayr›nt›lar içeren kesin matematiksel yaklaﬂ›m yerine sezgisel yaklaﬂ›ma a¤›rl›k
verece¤iz. Tan›mlar› ve temel özellikleri belirli bir bütünlük içerisinde örneklerle
aç›klayaca¤›z. Daha çok matematikçileri ilgilendiren teorik yaklaﬂ›mlara yer
vermeyece¤iz.
Limit Kavram›
93
L‹M‹T KAVRAMI
Daha önceki ünitelerde, tan›m kümesi gerçel say›lar kümesinin bir alt kümesi
olan bir fonksiyon verildi¤inde, bu fonksiyonun tan›m kümesine ait bir noktadaki de¤erini bulmak için bu say›y› fonksiyon ifadesinde yerine yaz›p gerekli iﬂlemleri yapmam›z gerekti¤ini görmüﬂtük. Bu iﬂlemleri yaparken zaman zaman hesap
makinesine ihtiyaç duyman›n ötesinde büyük bir zorlukla karﬂ›laﬂmay›z. Ancak
fonksiyonlarla çal›ﬂ›rken x ba¤›ms›z de¤iﬂkeni belirli bir say›ya yaklaﬂ›rken,
y = f (x) fonksiyon de¤erlerinin belirli bir say›ya yaklaﬂ›p yaklaﬂmad›¤›n›, yaklaﬂ›yorsa hangi say›ya yaklaﬂt›¤›n› bilmek durumuyla da s›k s›k karﬂ›laﬂ›r›z. ‹ﬂte bu
soruna limit kavram›yla çözüm bulabilmekteyiz.
Limit kavram›na geçmeden önce, x ba¤›ms›z de¤iﬂkeninin verilen bir say›ya
yaklaﬂmas›n›n ne demek oldu¤unu aç›klayal›m. x de¤iﬂken, a sabit olmak üzere x ve a gerçel say›lar›n› düﬂünelim. E¤er x de¤iﬂkeni, a dan farkl› ve a say›s›na istenildi¤i kadar yak›n de¤erler al›yorsa, di¤er bir deyiﬂle, x ile a aras›ndaki fark x de¤iﬂti¤inde istenildi¤i kadar küçük bir say›dan daha küçük kal›yorsa, x de¤iﬂkeni a say›s›na yaklaﬂ›yor denir ve sembolik olarak x Æ a biçiminde gösterilir.
E¤er x de¤iﬂkeni a ya a dan büyük de¤erlerle yaklaﬂ›yorsa, bu tür yaklaﬂmaya sa¤dan yaklaﬂma denir ve x Æ a+ biçiminde gösterilir; e¤er x de¤iﬂkeni a ya a dan küçük de¤erlerle yaklaﬂ›yorsa, bu durumda da x de¤iﬂkeni a ya
soldan yaklaﬂ›yor denir ve x Æ a- biçiminde gösterilir.
Aﬂa¤›daki tabloda x de¤iﬂkeninin 0 say›s›na soldan, sa¤dan ve her iki yönden yaklaﬂmas›na birer örnek verilmiﬂtir.
sa¤dan
yaklaﬂma
soldan
yaklaﬂma
x
x
a
x
x
x
-3
4
3
-2
3
1
-1
2
-1
-0,5
1
-0,2
-0,1
0,5
0,1
-0,01
0,2
0,01
-0,001
0,1
-0,01
-0,0001
0,001
0,0001
0,0001
-0,001
0,00001
0,00001
x Æ 0+
xÆ0
..
.
x Æ 0-
..
.
..
.
Say› do¤rusu üzerinde, a dan büyük
say›lar›n a n›n sa¤›ndaki, a dan
küçük say›lar›n ise a n›n solundaki
noktalarla temsil edildi¤ini
hat›rlay›n›z.
94
Limit Kavram›
Ba¤›ms›z de¤iﬂkenin sabit bir say›ya yaklaﬂmas›n› aç›klad›ktan sonra, as›l sorunumuzu ele alabiliriz. Sorunumuz, x ba¤›ms›z de¤iﬂkeni, tan›m kümesi içinde
kalarak belirli bir a say›s›na yaklaﬂ›rken f (x) fonksiyon de¤erlerinin belirli bir
L say›s›na yaklaﬂ›p yaklaﬂmad›¤›n› araﬂt›rmakt›. ‹ncelememize baﬂlamadan önce
bir noktaya aç›kl›k getirmemiz gerekmektedir.
‹ncelememizde, a say›s›na yaklaﬂan x de¤erlerine karﬂ›l›k gelen f (x) de¤erleri söz konusu oldu¤undan, f (x) de¤erlerinin anlaml› olabilmesi için a ya
yaklaﬂan x de¤erlerinin fonksiyonun tan›m kümesine ait olmas› gerekmektedir. Di¤er bir deyiﬂle a say›s› olarak ancak tan›m kümesindeki elemanlarla istenild¤i kadar yaklaﬂ›labilen say›lar›n al›nmas› zorunludur. ﬁimdi as›l problemimize dönelim.
Önce problemimize örneklerle aç›kl›k getirmeye çal›ﬂal›m. Örnek olarak,
f : R Æ R , f (x) = 2x - 3 fonksiyonunu alal›m. Bu fonksiyonda x de¤iﬂkeni
2 ye yaklaﬂ›rken f (x) fonksiyon de¤erlerinin belirli bir say›ya yaklaﬂ›p yaklaﬂmad›¤›na bakal›m.
Aﬂa¤›daki tabloda 2 ye 2 den küçük ve 2 den büyük de¤erlerle yaklaﬂan x
de¤erlerine karﬂ›l›k gelen f (x) de¤erleri verilmiﬂtir.
x
f (x) = 2x - 3
x
f (x) = 2x - 3
0
-3
4
5
1
-1
3
3
1,5
0
2,5
2
1,7
0,4
2,2
1,4
1,9
0,8
2,1
1,2
1,99
0,98
2,01
1,02
1,999
0,998
2,001
1,002
1,9999
0,9998
2,0001
1,0002
2,00001
1,00002
x Æ2+
f (x) Æ 1
..
.
x Æ 2-
..
.
..
.
f (x) Æ 1
..
.
Tablodaki örne¤imize göre, hem x Æ 2- ve hem de x Æ 2+ için fonksiyon
de¤erleri 1 e yaklaﬂmaktad›r. Siz de x e 2 ye yaklaﬂan baﬂka örnek de¤erler vererek fonksiyon de¤erlerinin 1 e yaklaﬂt›¤›n› görebilirsiniz. Bu örneklerimizi ne
kadar ço¤alt›rsak ço¤altal›m fonksiyon de¤erlerinin hep 1 say›s›na yaklaﬂt›¤›n› görürüz. ‹ﬂte bu say›ya (yani 1 e) f (x) = 2x - 3 fonksiyonunun 2 noktas›ndaki limiti denir ve sembolik olarak
lim f x = lim 2x - 3 = 1
xÆ2
xÆ2
biçiminde gösterilir.
Bu durum bazen x Æ 2 için f (x) Æ 1 biçiminde de yaz›l›r. Bunun anlam›:
x de¤iﬂkeni 2 ye (2 den farkl› de¤erlerle) yaklaﬂ›rken fonksiyon de¤erleri 1 e yaklaﬂ›r demektir. Ayr›ca;
lim 2x - 3 = 1
xÆ2
oldu¤unu
f (x) = 2x - 3
görebilmekteyiz.
fonksiyonunun aﬂa¤›daki grafi¤inden de aç›kça
Limit Kavram›
3
y
x Æ 2 iken x in her zaman 2 den
farkl› olaca¤›n› unutmay›n›z.
y = 2x - 3
f (x) 2
1
f (x)
0
x
2
x
x
-1
-2
-3
-4
-5
Şekil 5.1
Ayn› problemi f : R Æ R, f (x) = (x + 2)2 fonksiyonu için x in 0 a yaklaﬂmas›
durumunda inceleyelim. x in 0 a soldan ve sa¤dan yaklaﬂmas›na örnek olarak
aﬂa¤›daki tablodaki de¤erleri al›p fonksiyon de¤erlerinin davran›ﬂ›na bakal›m.
x
f (x) = (x + 2)2
x
f (x) = (x + 2)2
3
25
-3
1
2
16
-2
0
1
9
-1
1
0,5
6,25
-0,5
2,25
0,1
4,41
-0,1
3,61
0,01
4,0401
-0,01
3,9601
0,001
4,00400
-0,001
3,9960
0,0001
4,00040
-0,0001
3,9996
0,00001
4,00004
x Æ 0+
f (x) Æ 4
x Æ 0-
f (x) Æ 4
..
.
..
.
..
.
95
..
.
x de¤iﬂkeninin 0 a yaklaﬂan örnek de¤erlerine karﬂ›l›k, x ister soldan, isterse
sa¤dan yaklaﬂs›n, f (x) de¤erleri 4 e yaklaﬂmaktad›r.
96
Limit Kavram›
Aﬂa¤›daki grafikten aç›kça görebild¤imiz gibi x de¤iﬂkeni 0 a nas›l yaklaﬂ›rsa
yaklaﬂs›n fonksiyon de¤erleri 4 e yaklaﬂmaktad›r. O halde
lim x + 2 2 = 4
xÆ0
tür diyebiliriz.
y
y = (x + 2)2
f (x)
4
f (x)
x
x
x
Şekil 5.2
ﬁimdi de f : R Æ R , f x =
x + 1 , x ≤ 0 ise,
x2 ,
x > 0 ise,
fonksiyonunda x Æ 0 için f (x) de¤erlerinin belirli bir say›ya yaklaﬂ›p yaklaﬂmad›¤›n› araﬂt›ral›m.
Bu örne¤imizde, x de¤iﬂkenine 0 a soldan ve sa¤dan yaklaﬂan de¤erler verip
bunlara karﬂ› gelen f (x) de¤erlerini bulurken biraz daha dikkatli olman›z gerekmektedir. Çünkü x < 0 için f (x) = x + 1 , x > 0 için f (x) = x2 dir. Aﬂa¤›daki tablo, bu durum dikkate al›narak oluﬂturulmuﬂtur.
x
f (x) = x + 1
x
-2
-1
2
4
-1
0
1
1
-0,5
0,5
0,5
0,25
-0,1
0,9
0,1
0,01
-0,01
0,99
0,01
0,0001
-0,001
0,999
0,001
0,000001
-0,0001
0,9999
0,0001
0,00000001
x Æ 0-
f (x) Æ 1
x Æ 0+
f (x) Æ 0
..
.
..
.
f ( x) = x2
..
.
..
.
Limit Kavram›
97
Tabloda gördü¤ünüz gibi, x Æ 0- için f (x) Æ 1 iken x Æ 0+ için
f (x) Æ 0 d›r. x in 0 a yaklaﬂan de¤erlerine karﬂ›l›k fonksiyon de¤erleri tek bir
say›ya yaklaﬂmamaktad›r. Bu durumda da x Æ 0 için fonksiyonunun limiti yoktur diyoruz:
lim f x
yoktur.
xÆ0
Fonksiyonun aﬂa¤›daki grafi¤inden de limitin yoklu¤u çok aç›k biçimde
görülmektedir.
y
y = x2
x>0
1
-1 x
x
x
y=x+1
x<0
Şekil 5.3
Bir fonksiyonun bir noktada limitinin olmamas› baﬂka bir noktada da limitinin
olmad›¤› anlam› taﬂ›mamaktad›r. Örne¤in, yukar›daki f fonksiyonu için
lim f x = 0
x Æ -1
yonu için
oldu¤unu grafi¤e bakarak hemen söyleyebiliriz. Yine f fonksi-
lim f x = 1 oldu¤unu görebiliriz.
xÆ1
Yukar›daki örneklerimizde,
lim 2x - 3 = 1 , lim x + 2 2 = 4
xÆ2
xÆ0
oldu¤unu
görmüﬂtük. Bu iki örne¤i biraz dikkatle incelersek limit dedi¤imiz say›n›n,
fonksiyon ifadesinde x yerine x in yaklaﬂt›¤› say›n›n yaz›lmas›yla bulunabildi¤ini görebiliriz: 2.2 - 3 = 1 ve (0 + 2)2 = 4. Baﬂka baz› fonksiyonlar için de do¤ru
olan bu durum sizi yan›ltmamal›d›r. Limit konusunun bu kadar basit olmad›¤›n›
incelememize devam ettikçe göreceksiniz. Örne¤in, yukar›daki son örne¤imizde,
fonksiyonun 0 daki de¤eri 1 olmas›na karﬂ›l›k fonksiyonun x Æ 0 için limiti
yoktur.
Yukar›daki örnekte oldu¤u gibi
parçal› tan›ml› fonksiyonlarda, x in
herhangi bir de¤erine karﬂ›l›k gelen
f(x) de¤erini bulurken fonksiyonu
tan›mlayan ifadelerden hangisini
kullanman›z gerekti¤ine dikkat
ediniz.
Limit Kavram›
98
2
f: R\ -2 Æ R, f x =x -4
x+ 2
ÖRNEK 1
ÇÖZÜM
fonksiyonunun x Æ -2 için limitini araﬂt›ral›m.
Dikkat ederseniz fonksiyon x = -2 noktas›nda tan›ml› olmamas›na karﬂ›l›k,
bu noktadaki limitinden söz etmekteyiz. Çünkü fonksiyonun tan›m kümesi
(- ∞, -2 ) » (-2, ∞) dur ve x de¤iﬂkeni bu kümedeki elemanlarla -2 say›s›na istenildi¤i kadar yak›n de¤erler alabilir.
Fonksiyon ifadesinde x yerine -2 yazarsak hem pay›n hem de paydan›n 0 oldu¤unu görmekteyiz. Bu örnekte oldu¤u gibi 0/0 durumu ile karﬂ›laﬂt›¤›m›zda,
0/0 anlaml› olmamas›na karﬂ›l›k fonksiyonun limitinin olmad›¤n› söyleyemeyiz.
Bu limiti hesaplamak için fonksiyonun ifadesine biraz daha yak›ndan bakmam›z
gerekmektedir. x Æ -2 iken daima x ≠ -2 olaca¤›ndan
lim f x =
xÆ - 2
2
lim x - 4 =
x Æ - 2 x+ 2
lim
xÆ - 2
x- 2 x+ 2
x+ 2
=
lim
xÆ - 2
x- 2 = - 4
bulunur.
Fonksiyon bir noktada tan›ml›
olmad›¤› halde o noktada limiti
olabilir.
Fonksiyonun bir noktada tan›ml›
olmas› halinde bu noktadaki de¤eri
ile bu noktada limitinin varl›¤› ve
varsa limitin de¤eri aras›nda
do¤rudan bir iliﬂki yoktur diyebiliriz.
Fonksiyon bir noktada tan›ml› olmad›¤› halde o noktada limiti olabilir.
Fonksiyonun bir noktada tan›ml› olmas› halinde bu noktadaki de¤eri ile bu
noktada limitinin varl›¤› ve varsa limitin de¤eri aras›nda do¤rudan bir iliﬂki yoktur diyebiliriz.
Buraya kadar örneklerle aç›klamaya çal›ﬂt›¤›m›z limit kavram›n› ﬂu ﬂekilde tan›mlayabiliriz.
A Ã R olmak üzere, f : A Æ R fonksiyonu verilsin. a Œ R say›s› A
kümesine ait elemanlarla istenildi¤i kadar yaklaﬂ›labilen bir nokta olsun.
E¤er x ba¤›ms›z de¤iﬂkeni A kümesine ait fakat a dan farkl› de¤erlerle a
ya yaklaﬂ›rken f (x) fonksiyon de¤erleri tek bir L say›s›na yaklaﬂ›yorsa,
f fonksiyonunun a noktas›nda limiti L ' dir denir ve bu durum x Æ a iken
f (x) Æ L veya lim f x = L biçiminde gösterilir.
x Æ a
Buna göre, tan›m› yinelersek
lim f x = L demek, x de¤iﬂkeni a dan
xÆa
farkl› de¤erlerle a ya yaklaﬂ›rken f (x) fonksiyon de¤erleri L say›s›na yaklaﬂ›yor
demektir.
SIRA S‹ZDE 1
- x2 + 1 , x ≤ 0 ise,
fonksiyonu veriliyor. lim f x = 1
x > 0 ise,
xÆ0
oldu¤unu görünüz. Fonksiyonun grafi¤ini çizerek sonucu do¤rulay›n›z.
1) f : R Æ R
2) g :
, f x = 1 - x,
R Æ R , g (x) = 3x2 - x + 5 fonksiyonu veriliyor.
¤unu gösteriniz.
lim f x = 9 oldu-1
xÆ
x - 1 2 , x < 1 ise,
x = 1 ise, fonksiyonu veriliyor. lim f x = 0
3) f: R Æ R , f x = 1 ,
xÆ1
x - 1,
x > 1 ise,
oldu¤unu gösteriniz. Fonksiyonun grafi¤ini çizerek sonucu do¤rulay›n›z.
Limit Kavram›
lim x - 2 = ?
x+ 5
x- 2
6) lim
=?
x Æ 2 x- 2
8) lim x - 4 = ?
x Æ 4 x- 2
4)
5)
xÆ1
7)
9)
99
lim x 2 - 2x = ?
xÆ3
lim 10 = ?
xÆ0
2
lim x - 3x = ?
x Æ 3 x 2- 9
Aﬂa¤›da grafikleri verilen fonksiyonlar›n x Æ 1 için varsa limitlerini bulunuz.
10)
11)
y
y
3
2
0
x
1
-1
0
1
2
3
x
-1
-2
Şekil 5.5
Şekil 5.4
13)
12)
y
y
4
2
-1
0
-2
1
2
1
x
-1
-2
Şekil 5.6
Şekil 5.7
Limit Özellikleri
Bir önceki kesimde, limit kavram›n›, baz› basit say›labilecek fonksiyonlar›n baz›
noktalarda limitini, sezgisel yaklaﬂ›ma a¤›rl›k vererek aç›klamaya çal›ﬂt›k. Sizler
taraf›ndan anlaﬂ›lmas› oldukça zor olaca¤› için ve daha çok matematikçileri ilgilendirdi¤ine inand›¤›m›z kesin matematiksel tan›m› vermedik. Ancak, yukar›da
aç›klamaya çal›ﬂt›¤›m›z yöntem zaman zaman s›k›c› say›sal iﬂlemler gerektirmesine ra¤men etkili bir yöntem de de¤ildir. Çünkü, fonksiyonun a noktas›nda limitinin varl›¤›n› görmek için x de¤iﬂkeni a ya nas›l yaklaﬂ›rsa yaklaﬂs›n (yani sadece seçilen örnek de¤erler için de¤il), fonksiyon de¤erlerinin limit diyece¤imiz tek
bir say›ya yaklaﬂt›¤›n› göstermemiz gerekmektedir. Bu ise san›ld›¤›ndan çok daha zor bir iﬂtir. Biraz sonra verece¤imiz ve kan›t›n› yine matematikçilere b›rakaca¤›m›z özellikler (teoremler) ve onlar›n sonuçlar› bu zor iﬂi biraz daha kolay
hale getirebilmektedir.
x
Limit Kavram›
100
1. Özellik
c bir sabit olmak üzere, f : R Æ R , f (x) = c ise
lim f x = lim c = c
y
x Æ a
c
dir.
Sabit fonksiyonun herhangi bir noktada limiti vard›r ve fonksiyon
de¤eri olan sabit say›ya eﬂittir.
Grafikten bu özelli¤in do¤rulu¤unu çok aç›k biçiminde görüyoruz.
y=c
x
x
x
a
2. Özellik
f : R Æ R , f (x) = x
Şekil 5.8
ise
f x = lim x = a
lim
Sabit fonksiyonun herhangi bir
noktada limiti vard›r ve fonksiyon
de¤eri olan sabit say›ya eﬂittir.
x Æ a
x Æ a
x Æ a
dir.
Birim fonksiyonun herhangi bir a noktas›nda limiti vard›r ve a ya eﬂittir.
Birim fonksiyonun herhangi bir a
noktas›nda limiti vard›r ve a ya
eﬂittir.
3. Özellik
y
f : A Æ R , g : A Æ R fonksiyonlar› verilsin ve lim f x = L 1
y=x
xÆa
f (x)
ve
lim g x = L 2
xÆa
x=a
a
lim
x
a
f x +g x
= lim
f x + lim g x = L
x Æ a
x Æ a
1
+L
2
dir.
Toplam›n limiti limitler toplam›na eﬂittir.
x
x
f + g fonksiyonunun
noktas›nda limiti vard›r ve
x Æ a
f (x)
olsun. Bu durumda
Şekil 5.9
Toplam›n limiti limitler toplam›na
eﬂittir.
f : R Æ R , f (x) = x , g : R Æ R , g (x) = -3 veriliyor. x = 2 noktas›nda f + g fonksiyonunun limitini bulal›m.
ÇÖZÜM
ÖRNEK 2
f fonksiyonu birim fonksiyon, g fonksiyonu sabit fonksiyon oldu¤undan her iki
fonksiyonun
2
noktas›nda
limiti
vard›r
ve
lim f x = lim x = 2 ,
xÆ2
xÆ2
lim g x = lim - 3 = - 3 tür. 3. özellikten f + g nin 2 noktas›nda limiti var-
xÆ2
xÆ2
d›r ve
lim f
xÆ2
x
+g
x
=
lim
xÆ2
x
+ -3
= lim
xÆ2
x
+ lim - 3 = 2 + - 3 = - 1
xÆ2
dir.
3. özellik sonlu tane fonksiyon için de do¤rudur. f1 , f2 , ... , fn fonksiyonlar›n›n
a noktas›nda limiti varsa,
lim
xÆa
dir.
f 1 x + f 2 x + ... + f n x
= lim f 1 x +
xÆa
lim f 2 x + ... + lim f n x
xÆa
xÆa
Limit Kavram›
101
4. Özellik
f:AÆR , g:AÆR
aŒR
fonksiyonlar›n›n bir
noktas›nda limitleri
f x = L 1 , lim g x = L 2 ise f . g fonksiyonunun bu noktada livar ve x lim
Æa
xÆa
miti vard›r ve
lim
x Æ a
f .g
x = lim
x Æ a
f x .g x
= lim f x . lim g x = L
x Æ a
x Æ a
1
.L
2
dir.
Çarp›m›n limiti, limitlerin çarp›m›na eﬂittir.
Çarp›m›n limiti, limitlerin çarp›m›na
eﬂittir.
4. özellikte g (x ) = c al›n›rsa,
lim c f x = lim c . lim f x = c lim f x
x Æ a
x Æ a
x Æ a
x Æ a
sonucu elde edilir. Buna göre, bir fonksiyonun bir sabitle çarp›m›n›n limiti, fonksiyonun limitinin bu sabitle çarp›m›na eﬂittir.
3. özellik ile 4. özelli¤in sonucunu birleﬂtirirsek,
lim
x Æ a
f x -g x
Bir fonksiyonun bir sabitle
çarp›m›n›n limiti, fonksiyonun
limitinin bu sabitle çarp›m›na eﬂittir.
= lim f x - lim g x
x Æ a
x Æ a
diyebiliriz. Fark›n limiti, limitler fark›na eﬂittir.
5. Özellik
Limitlerin varl›¤› durumunda sonlu tane fonksiyonun çarp›m›n›n limiti, limitler
çarp›m›na eﬂittir.
lim f 1 x . f2 x ..... fn x = lim f1 x . lim f2 x ..... lim fn x
xÆa
xÆa
xÆa
Fark›n limiti, limitler fark›na eﬂittir.
xÆa
dir.
n Œ N olmak üzere
ÖRNEK 3
lim x n limitini bulal›m.
xÆa
xÆa
xÆa
xÆa
n tane
xÆa
n tane
n tane
ÇÖZÜM
lim x n = lim x . x. ... x = lim x . lim x ... lim x = a . a. ... a = a n
xÆa
Buna göre,
lim x n = a n
x Æ a
dir.
ÖRNEK 4
f : R Æ R , f (x ) = bn xn + bn -1 xn -1 + ... + b0 , n Œ N , bn ≠ 0 , b0 ,
b1 , ... , bn Œ R polinom fonksiyonunun x = a noktas›nda limitini bulal›m.
ÇÖZÜM
Yukar›daki özellikler ve örneklerdeki bilgilerimizi kullanarak,
lim
xÆa
f (x ) = lim b n x n + b n -1 x n -1 + ... + b 1 x + b 0
xÆa
= lim b n x n + lim b n -1 x n -1 + ... + lim b 1 x + lim b 0
xÆa
xÆa
xÆa
xÆa
= b n lim x n + b n -1 lim x n -1 + ... + b 1 lim x + lim b 0
xÆa
= bn .
an
+ b n -1 .
xÆa
a n -1
xÆa
xÆa
+ ... + b 1 . a + b 0
bulunur. Dikkat ederseniz bu de¤er polinom fonksiyonun a noktas›ndaki de¤eridir.
Polinom fonksiyonunun herhangi
bir noktadaki limiti, fonksiyonun bu
noktadaki de¤erine eﬂittir.
Limit Kavram›
102
ÖRNEK 5
lim x 3 - 5x 2 + 8 limitini bulal›m.
ÇÖZÜM
xÆ2
f (x) = x3 - 5x2 + 8 fonksiyonu polinom fonksiyon oldu¤undan, bu limit f (2) de¤erine eﬂittir.
Buna göre,
lim x 3 - 5x 2 + 8 = 23 - 5 . 22 + 8 = - 4
xÆ2
dir.
x > 0
r Œ R olmak üzere,
ve
r
lim x = a
x Æ a
r
dir.
ÖRNEK 6
lim
3
x2
ÇÖZÜM
xÆ8
f x =
lim
3
limitini bulal›m.
x 2 = x 2/3 dir. x > 0 ve r Œ R için lim x r = a r oldu¤undan
xÆa
3
x 2 = lim x 2/3 = 82/3 = 23
xÆ8
2/3
xÆ8
=4
bulunur.
ÖRNEK 7
lim
x 3x 2 - 7x - 1 limitini bulal›m.
lim
x 3x 2 - 7x - 1 = lim
ÇÖZÜM
xÆ4
xÆ4
xÆ4
x .
lim 3x 2 - 7x - 1
xÆ4
= 4 . 3. 42 - 7 . 4 - 1 = 2. 48 - 28 - 1 = 38
bulunur.
6. Özellik
Bölümün limiti, paydan›n limiti 0
dan farkl› olmak koﬂuluyla, limitlerin
bölümüne eﬂittir.
f : A Æ R , g : A Æ R fonksiyonlar› verilsin ve g (x) ≠ 0 olsun. E¤er
f x
lim f x = L 1 , lim g x = L 2 ve L 2 ≠ 0 ise
fonksiyonunun a nokxÆa
xÆa
g x
tas›nda limiti vard›r ve
ÖRNEK 8
lim 2
ÇÖZÜM
xÆ8
lim
xÆa
lim f x
f x
xÆa
L
=
= 1 , g x π 0 , L 2 π 0 dir.
g x
lim g x
L2
xÆa
3
x+ 3
4x + 1
lim 2
3
xÆ8
limitini bulal›m.
x+3 =2.
3
8 + 3 = 7, lim 4x + 1 = 4 . 8 + 1 = 33
xÆ8
oldu¤undan,
lim 2
xÆ8
bulunur.
3
x+3 =
4x + 1
lim 2
xÆ8
3
x+3
lim 4x + 1
xÆ8
= 7
33
Limit Kavram›
103
7. Özellik
f x = L olsun.
f : A Æ R fonksiyonu verilsin ve x lim
Æa
n Œ N ve n çift iken f (x) ≥ 0 olmak üzere,
n
lim
x Æ a
f x
=
n
lim f x
n
=
x Æ a
L
dir.
Özel olarak, f (x) ≥ 0 ise
lim
x Æ a
f x
=
lim f x
x Æ a
= L
dir.
lim
2x 3 - 7x
lim
2x 3 - 7x =
xÆ4
lim 2x 3 - 7x
xÆ4
=
2 . 43 - 7 . 4 = 100 = 10
dur.
ÇÖZÜM
xÆ4
ÖRNEK 9
limitini bulal›m.
8. Özellik
f : A Æ R , g : A Æ R , h : A Æ R fonksiyonlar› verilsin ve x in a say›s›na
yak›n tüm de¤erleri için
lim h x = lim g x = L
xÆa
xÆa
h (x) ≤ f (x) ≤ g (x)
eﬂitsizli¤i sa¤lans›n. E¤er
oluyorsa, bu durumda f fonksiyonunun a nokta-
s›nda limiti vard›r ve
lim f x = lim h x = lim g x = L
xÆa
xÆa
xÆa
dir.
ﬁimdi yukar›da verdi¤imiz özellikleri kullanarak baz› fonksiyonlar›n limitlerinin nas›l bulunaca¤›n› örneklerle aç›klayal›m.
3x - 6
lim
xÆ2
5x 2 - 20
ÖRNEK 10
limitini bulal›m.
lim 5x 2 - 20 = 0
xÆ2
oldu¤undan 6. özelli¤i kullanamay›z.
Bu durumda fonksiyonu biraz daha dikkatli incelememiz gerekir. x, 2 ye yaklaﬂt›¤›ndan x ≠ 2
dir. Dolay›s›yla
3
x- 2
3 x- 2
3x - 6 =
3
,x≠2
=
=
2
2
5 x- 2 x+ 2
5 x+ 2
5x - 20 5 x - 4
yazabiliriz. Buna göre,
lim
xÆ2
bulunur.
3x - 6 = lim
3
= 3 = 3
5 . 4 20
5x 2 - 20 x Æ 2 5 x + 2
ÇÖZÜM
lim 3x - 6 = 0 ve
xÆ2
Limit Kavram›
104
ÖRNEK 11
lim
ÇÖZÜM
xÆ9
x-9
x -3
limitini bulal›m.
lim x - 9 = 0 , lim
xÆ9
xÆ9
x - 3 = 0 d›r. x 9 dan farkl› oldu¤undan
2
2
x-9 = x -3 = x -3 x +3 = x +3
x -3
x -3
x -3
veya
x- 9 = x- 9 . x + 3 = x- 9 x + 3 = x- 9 x + 3
x -3
x -3
x +3
x-9
x 2 - 32
= x + 3 , x≠ 9
yaz›labilir. Bu durumda,
x - 9 = lim x + 3 = 9 + 3 = 6
lim
xÆ9
xÆ9
x -3
bulunur.
Bu iki örne¤e dikkat ederseniz her iki örnekte de pay ve payda 0 a yaklaﬂ›rken limit, birincisinde 3/20, ikincisinde 6 bulundu. Bunlardan ﬂu sonucu ç›kar›yoruz: x Æ a için bir kesrin hem pay› hem de paydas› s›f›ra yaklaﬂ›yorsa, kesrin limiti tamamen kesre ba¤l›d›r, genel bir sonuç söylenemez. Bu nedenle bu durumda 0 belirsizli¤i vard›r denir. 0 belirsizli¤i limitin yoklu¤u anlam› taﬂ›maz,
0
0
sadece limitin varsa de¤erinin kesre ba¤l› oldu¤unu ifade eder.
SIRA S‹ZDE 2
Aﬂa¤›daki limitleri hasaplay›n›z.
1) lim
x 2 + 3x - 1
2) lim
3) lim
x2 - 8 x+ 1
4)
x Æ -1
xÆ 2
5) lim
x Æ 32
7) lim
xÆ1
5
x
2x + 1 x - 3
9) lim x x - 1 ,
xÆ0
3x + 4
x2 - 2 x+ 1
xÆ0
lim
x
x Æ 81
6) lim
3
xÆ6
8) lim
3
xÆ8
x
x + 1 3x - 1
10) lim x - 4
xÆ4
x+1
3
11) lim
x 3 + 2x - 1
x2+1
12) lim
13) lim
x 3 - 4x 2 + 9
14) lim
15) lim
x- 1
x -1
2
16) lim x - 3x + 2
x Æ -1
xÆ0
xÆ1
17) lim
xÆ0
x 3 - 5x2 + 4x
x2 + 6x
xÆ1
xÆ1
xÆ2
x 2 + 5x + 2
x+ 1
3x - 2
x2 - 4
Limit Kavram›
105
Tek Yönlü Limitler
Yukar›daki incelemizde, a noktas›ndaki limiti incelerken x ba¤›ms›z de¤iﬂkeni a
ya nas›l yaklaﬂ›rsa yaklaﬂs›n f (x) de¤erlerinin belli bir say›ya yaklaﬂ›p yaklaﬂmad›¤›n› araﬂt›rd›k. Ancak, baz› durumlarda x in a ya sadece a dan büyük (yani sa¤dan) de¤erlerle yaklaﬂmas› veya sadece a dan küçük (yani soldan) yaklaﬂmas› zorunlu olabilir. ‹ﬂte bu durumlarda tek yönlü limit söz konusudur.
E¤er x Æ a+ için f fonksiyonunun L gibi bir limiti varsa, bu limite a noktas›ndaki sa¤dan limit denir ve
lim f x = L
x Æ a+
biçiminde gösterilir.
Benzer ﬂekilde, x Æ a- için f fonksiyonunun L gibi bir limiti varsa bu limite de soldan limit denir ve
lim - f x = L
xÆa
biçiminde gösterilir.
lim f x = L ¤
x Æ a
lim
x Æ a-
f x = lim
x Æ a+
a noktas›na her iki yönden
yaklaﬂ›labilindi¤i durumlarda, a
noktas›nda limitin varolmas› için
gerek ve yeter koﬂul, hem sa¤dan
ve hem de soldan limitlerin var ve
birbirine eﬂit olmas›d›r.
f x =L
dir.
Yani, sa¤dan ve soldan limitlerin her ikisinin de söz konusu oldu¤u bir noktada limit varsa, hem sa¤dan hem de soldan limit vard›r ve bunlar birbirine eﬂittir.
Karﬂ›t olarak sa¤dan ve soldan limitler var ve birbirine eﬂit ise bu noktada limit
vard›r. Sa¤dan ve soldan limitlerin birisi yoksa veya bu iki limit eﬂit de¤ilse limit
yoktur.
lim +
xÆ0
x
ve
x
lim -
xÆ0
x
x
ÖRNEK 12
limitlerini bulal›m.
lim
x Æ 0+
x
=
x
lim
x Æ 0+
y
xÆ0
x
=
x
lim -x = lim - 1 = - 1
x Æ 0- x x Æ 0-
y=1
1
x = lim 1 = 1
x
x Æ 0+
x Æ 0- iken x < 0 oldu¤undan |x | = -x dir.
Buna göre,
lim -
ÇÖZÜM
x Æ 0+ iken x > 0 oldu¤undan |x| = x dir.
Buna göre
x>0
x
0
y = -1
-1
x<0
Şekil 5.10
olur.
Bu fonksiyonun hem sa¤dan ve hem de soldan limitleri vard›r ve s›ras›yla 1 ve
-1 dir. Bu iki limit birbirine eﬂit olmad›¤›ndan
lim
xÆ0
x
yoktur.
x
Limit Kavram›
106
ÖRNEK 13
f: RÆ R, f x =
3x - 1 ,
x≤ 2
ise,
x+ 3 ,
x> 2
ise
fonksiyonu veriliyor.
lim - f x , lim + f x
ÇÖZÜM
xÆ2
ve
xÆ2
lim f x
xÆ2
limitlerini araﬂt›ral›m.
x Æ 2- için x < 2 dir. Dolay›s›yla bu durumda f (x) = 3x - 1 dir. Buna göre,
lim f x = lim 3x - 1 = 3 . 2 - 1 = 5
x Æ 2-
x Æ 2-
dir. x Æ 2+ için x > 2 ve f (x) = x + 3 tür.
Bu durumda
lim + f x = lim + x + 3 = 2 + 3 = 5
xÆ2
xÆ2
lim f x =
x Æ 2-
lim
x Æ 2+
y
y=x+3
5
x>2
f x =5
-1
oldu¤undan
lim f x = 5
1/3
x
2
y = 3x - 1
x≤2
xÆ2
Şekil 5.11
dir.
Baz› durumlarda x Æ a (veya x Æ a - , x Æ a+) için fonksiyon de¤erleri istenildi¤i kadar büyük bir say›dan daha büyük olabilir. Bu durumda limit • dur
denir ve
lim f x = • veya lim - f x = • , lim + f x = •
xÆ a
xÆa
xÆa
biçiminde gösterilir.
Benzer ﬂekilde, x Æ a (veya x Æ a - , x Æ a+) için fonksiyon de¤erleri
negatif yönde istenildi¤i kadar küçük say›dan daha küçük olabilir. Bu durumda
da limit - • dur denir ve
lim f x = - •
veya
xÆ a
lim f x = - • , lim f x = - •
x Æ a-
x Æ a+
biçiminde gösterilir.
ÖRNEK 14
lim 1x , lim + 1x ve
xÆ0
ÇÖZÜM
x Æ 0-
lim 1x
xÆ0
y
f (x)
y = 1/x
x
x
x
f (x)
Şekil 5.12
limitlerini araﬂt›ral›m.
Yandaki grafikten gördü¤ümüz gibi, x de¤iﬂkenine pozitif ve s›f›ra yaklaﬂan de¤erler verdi¤imizde fonksiyon de¤erleri s›n›rs›z olarak
büyümektedir. Benzer ﬂekilde x e negatif ve
s›f›ra yaklaﬂan de¤erler verdi¤imizde fonksiyon de¤erleri negatif yönde s›n›rs›z olarak
küçülmektedir.
Bu nedenle
lim 1 = - • ve
lim 1 = •
x Æ 0- x
x Æ 0+ x
dur. Soldan ve sa¤dan limitler farkl›
oldu¤undan
lim 1x yoktur.
xÆ0
Limit Kavram›
lim
x Æ 1-
1 , lim
1
ve
+
x- 1 2 x Æ 1 x- 1 2
lim
xÆ1
107
ÖRNEK 15
1
x- 1 2
limitlerini araﬂt›ral›m.
lim
x Æ 1-
y
y=
ÇÖZÜM
x Æ 1- ve x Æ 1+ yaklaﬂmalar›na
örnekler vererek veya yandaki
grafikten görebilece¤imiz gibi,
1
x- 1 2
1
= • , lim + 1
=•
2
x Æ 1 x- 1 2
x- 1
ve dolay›s›yla
lim
xÆ1
1
=•
x- 1 2
1
dur.
x
Şekil 5.13
lim 2x - 3
-x
x Æ 0 3x2
ÖRNEK 16
limitini araﬂt›ral›m.
ÇÖZÜM
x ≠ 0 oldu¤undan pay ve payday› x e bölelim.
2- 3
x 2- 3
x
2x - 3 =
x =
x 3x - 1
3x - 1
3x 2 - x
d›r. Buna göre,
lim
x Æ 0+
lim
x Æ 0-
2 - 3x
2x - 3 = lim
=+•
3x 2 - x x Æ 0+ 3x - 1
2 - 3x
2x - 3 = lim
=-•
3x 2 - x x Æ 0- 3x - 1
d›r. O halde
lim 2x - 3
x Æ 0 3x 2 - x
lim f x = •
xÆa
yoktur.
olmas› limitin varl›¤› anlam› taﬂ›maz. Sadece x Æ a için f (x)
de¤erlerinin s›n›rs›z büyüdü¤ü anlam› taﬂ›r.
Benzer ﬂekilde,
lim f x = - •
xÆa
olmas› da x Æ a için f (x)
de¤erlerinin
negatif yönde s›n›rs›z küçüldü¤ünü ifade eder.
Bir fonksiyonun tan›m kümesinde x de¤iﬂkeni pozitif yönde s›n›rs›z büyüyebilir
veya negatif yönde s›n›rs›z küçülebilir, bu durumlar› x Æ • veya x Æ - • biçiminde ifade ederiz. Bu durumlarda da fonksiyonun limitinden söz etmek mümkündür. E¤er x Æ • (veya x Æ - •) için f (x) de¤erleri belirli bir L say›s›na
yaklaﬂ›yorsa, bu durumda da limit L dir denir ve
lim f x = L
xÆ•
veya
biçiminde gösterilir.
lim
xÆ -•
f x =L
Limit Kavram›
108
ÖRNEK 17
lim 1 ,
ÇÖZÜM
x Æ•x
lim
xÆ -•
1
x
limitlerini araﬂt›ral›m.
Yandaki grafikten gördü¤ümüz gibi x
de¤iﬂkenine pozitif yönde istenildi¤i kadar büyük veya negatif yönde istenildi-
y
y=1
x
¤i kadar küçük de¤erler verdi¤imiz de
fonksiyon de¤erleri 0’a yaklaﬂmaktad›r.
Bu nedenle hem x Æ - ∞ ve hem de
x
x Æ ∞ için f (x) Æ 0 olmaktad›r. Yani
lim 1x = 0 , lim 1x = 0
xÆ •
xÆ -•
d›r.
ÖRNEK 18
Şekil 5.14
lim
ÇÖZÜM
xÆ -•
3x 2 - 5x + 1
- x 2 + 4x + 7
limitini araﬂt›ral›m.
Fonksiyonda hem pay› ve hem de payday› x2 ile bölelim.
3x 2
- 5x + 1 =
- x 2 + 4x + 7
lim
xÆ •
lim
xÆ •
3- 5 + 1
x x2
= 3-0+0 =-3
4
7
-1+0+0
-1+ +
x x2
bulunur.
lim
xÆ•
a n x n + a n -1 x n -1 + . . . + a 1 x + a 0
b m x m + b m -1 x m -1 + . . . + b 1 x + b 0
=
±• , n > m ise
an
, m = n ise
bm
0,
n < m ise
oldu¤u gösterilebilir.
Baz› fonksiyonlarda x s›n›rs›z büyürken fonksiyon de¤erleri, s›n›rs›z büyüyebilir
veya negatif yönde s›n›rs›z küçülebilir. Bu durumlar› k›saca,
lim f x = • , lim f x = - •
xÆ •
xÆ •
biçimlerinde ifade ederiz.
Benzer ﬂekilde x Æ - ∞ için f (x) Æ ∞ veya f (x) Æ - ∞ olabilir. Bu
durumlar› da
lim
xÆ -•
f x =•,
lim
xÆ -•
biçimlerinde ifade ederiz.
f x =-•
Limit Kavram›
lim
xÆ ∞
2x 2 - 4x + 5 = lim x 2 2 - 4 + 5 = ∞ . 2 - 0 + 0 = ∞
x x2
xÆ ∞
109
ÖRNEK 19
bulunur.
lim
xÆ -
x 3 - 4x 2 + x =
∞
2x - 3
=
x3
lim
xÆ - ∞
1- 4 + 1
x x2
x 2- 3
x
∞. 1-0+0
2
x2
=
lim
xÆ - ∞
1- 4 + 1
x x2
2- 3
x
ÖRNEK 20
=∞
SIRA S‹ZDE 3
x2
- x + 1 , x ≤ 0 ise
x > 0 ise
x 2 + x,
1) f x =
2)
3)
4)
5)
6)
7)
lim
x Æ -1
lim
x Æ 1-
x+ 1
x+ 1
x- 1
x- 1
lim
xÆ ∞
lim
xÆ - ∞
lim
xÆ ∞
lim f x = ?
xÆ0
=?
=?
- x 2 + 1x - 5
lim
xÆ - ∞
oldu¤una göre
=?
x x +5
=?
x + 10
4x 2 - 5x = ?
2- x
4x 2 - 5x = ?
2- x
Süreklilik
Limit konusunu incelerken, bir fonksiyonun bir noktadaki limiti ile fonksiyonun
bu noktadaki de¤eri aras›nda do¤rudan bir iliﬂki olmad›¤›n› ifade etmiﬂtik. Bununla beraber baz› fonksiyonlar›n a daki limiti ile a daki de¤erinin birbirine eﬂit
olduklar›n› görmüﬂtük. Bu özel durum fonksiyon davran›ﬂ›n› incelemede önemli
bir özellik olarak karﬂ›m›za ç›kmaktad›r. ‹ﬂte bu durumda fonksiyon a noktas›nda
süreklidir diyoruz. Buna göre süreklili¤i ﬂu ﬂekilde tan›mlayabiliriz:
f : A Æ R fonksiyonu ve bir a Œ A noktas› verilsin. E¤er
lim f x = f a
xÆa
oluyorsa, f fonksiyonuna x = a noktas›nda süreklidir denir. f fonksiyonu A
kümesinin her noktas›nda sürekli ise, f fonksiyonu A üzerinde süreklidir denir.
Limit Kavram›
110
Örne¤in f : R Æ R , f (x) = 2x - 3 fonksiyonu x = 2 noktas›nda süreklidir.
Çünkü lim 2x - 3 = 1 = f (2) dir.
xÆ2
Yine limit konusunda P (x) = bn xn + bn -1 xn -1 + ... + b1 x + b0 polinom
fonksiyonunun herhangi bir a noktas›ndaki limitinin P (a) oldu¤unu görmüﬂtük.
Buna göre, ﬂu sonucu ç›karabiliriz.
P (x) = bn xn + bn -1 xn -1 + ... + b1 x + b0 polinom fonksiyonu her a Œ R
noktas›nda süreklidir.
Süreklili¤in tan›m›na göre, f : A Æ R fonksiyonunun bir a noktas›nda sürekli olmas› için ﬂu koﬂullar›n sa¤lanmas› gerekir:
•
•
•
Fonksiyon a noktas›nda tan›ml› olmal›d›r,
Fonksiyonun a noktas›nda limiti olmal›d›r,
Fonksiyonun a daki limiti a daki de¤erine eﬂit olmal›d›r.
f fonksiyonu bir noktada sürekli de¤ilse, f bu noktada süreksizdir denir.
ÖRNEK 21
x 2 + 1 , x ≤ 0 ise
x,
x > 0 ise
f: R Æ R, f x =
ÇÖZÜM
fonksiyonunun
inceleyelim.
x = 0 ve x = 1 noktalar›nda sürekli olup olmad›¤›n›
f (0) = 02 + 1 = 1
y
lim f x = 1 , lim + f x = 0
x Æ 0-
oldu¤undan,
xÆ0
lim f x
y = x2 + 1
x≤0
yoktur.
xÆ0
y=x
Buna göre f fonksiyonu x = 0
x>0
noktas›nda sürekli de¤ildir.
1
Buna karﬂ›l›k bu fonksiyon x = 1
1
noktas›nda süreklidir. Gerçekten
f (1) = 1 ,
lim f x = lim x = 1 ,
xÆ1
xÆ1
x
Şekil 5.15
lim f x = f 1 = 1
xÆ1
oldu¤undan fonksiyon x = 1 noktas›nda süreklidir.
f fonksiyonunun grafi¤inin x = 0 ve x = 1 deki durumu aras›nda bir
fark görüyor musunuz?
Bir fonksiyon bir aral›kta sürekli ise,
fonksiyonun grafi¤i olan e¤ri bu
aral›kta kalem kald›r›lmadan
çizilebilir yani fonksiyon grafi¤inde
herhangi bir kopma olmaz.
Yan›t›n›z ﬂöyle olmal›yd›:
f fonksiyonunun grafi¤i olan e¤ride x = 1 noktas›nda herhangi bir kopma yoktur. Bir fonksiyon bir aral›kta sürekli ise, fonksiyonun grafi¤i olan e¤ri bu aral›kta kalem kald›r›lmadan çizilebilir yani fonksiyon grafi¤inde herhangi bir kopma
olmaz.
Limit Kavram›
111
ÖRNEK 22
f: 0,∞ ÆR, f x = x
y
fonksiyonunun x = 4 noktas›nda
2
y=
sürekli olup olmad›¤›n› araﬂt›ral›m.
x
Bir fonksiyona bir noktada süreklidir diyebilmek için aﬂa¤›daki üç
sorunun yan›t› evet olmal›d›r.
• Fonksiyon bu noktada tan›ml›
m›?
• Fonksiyonun bu noktada limiti
var m›?
• Fonksiyonun bu noktadaki
de¤eri limitine eﬂit mi?
x
4
Şekil 5.16
lim
ÇÖZÜM
f (4) = 4 = 2 ,
x = 2 = f (4)
xÆ4
oldu¤undan fonksiyon x = 4 noktas›nda süreklidir.
Aﬂa¤›daki ﬂekilde x0 noktas›nda süreksiz olan çeﬂitli fonksiyon grafikleri
görülmektedir.
y
Fonksiyonun tan›m kümesine ait bir
noktaya karﬂ›l›k, grafikte kopma,
delinme ve s›çrama varsa bu
noktalarda fonksiyonun sürekli
olmad›¤›n› unutmay›n›z.
y
y
f (x0 )
f (x0 )
x0
x
f (x0 )
x
x
x0
x0
Şekil 5.17
f : A Æ R , g : A Æ R fonksiyonlar› x0 Œ A noktas›nda sürekli ise, f + g ,
f - g , f . g , g (x0) ≠ 0 olmak üzere f fonksiyonlar› da x0 Œ A noktas›nda
g
süreklidir.
f : R Æ R , f (x) = 3x3 - 5x2 + 4x ,
lar› veriliyor
f (x )
g (x )
fonksiyonunun sürekli¤ini inceleyelim.
3
2
f x
= 3x - 5x + 4x
2
g x
x +1
xŒR
noktas›nda sürekli fonksiyondur.
ÇÖZÜM
f ve g fonksiyonlar› polinom fonksiyon olduklar›ndan her x Œ R noktas›nda
süreklidirler. Ayr›ca her x Œ R için x2 + 1 ≠ 0 oldu¤undan
fonksiyonu her
ÖRNEK 23
g : R Æ R , g (x) = x2 + 1 fonksiyon-
Bir fonksiyon bir noktada sürekli
ise, bu nokta civar›nda ba¤›ms›z
de¤iﬂkendeki küçük de¤iﬂiklikler
fonksiyon de¤erlerinde "küçük"
de¤iﬂiklikleri do¤urur. Fonksiyon
bir noktada sürekli de¤ilse, bu
nokta civar›nda ba¤›ms›z
de¤iﬂkendeki küçük de¤iﬂikliklerin
fonksiyon de¤erlerinde aﬂ›r›
büyük de¤iﬂiklikler meydana
getirebilece¤ini
beklemeliyiz.
112
Limit Kavram›
Sürekli Fonksiyonlar›n Özellikleri
f : A Æ R fonksiyon verilsin. E¤er her x Œ A için f (x) ≤ f (x0) olacak ﬂekil-
de en az bir x0 Œ A noktas› varsa, f (x0) say›s›na f fonksiyonunun A üzerinde
mutlak maksimum de¤eri, di¤er bir deyiﬂle en büyük de¤eri denir. Benzer ﬂekilde, her x Œ A için f (x1) ≤ f (x) olacak ﬂekilde en az bir x1 Œ A noktas›
varsa, f (x1) say›s›na f fonksiyonunun A üzerinde mutlak minimum de¤eri yani en küçük de¤eri denir.
y
M
x1
a
x0
b
x
m
Şekil 5.18
ﬁekilde grafi¤i verilen fonksiyonun mutlak maksimum de¤eri M , mutlak minimum de¤eri ise m dir.
Her fonksiyonun mutlak maksimum veya mutlak minimum de¤eri var olmak
zorunda de¤ildir.
f : (0, 1] Æ R , f (x) = x2 fonksiyonunun, mutlak minimumu yoktur, ancak
mutlak maksimum de¤eri 1 dir. Burada 0 ›n tan›m kümesine ait olmad›¤›na dikkat ediniz.
[a, b] kapal› aral›¤› üzerinde tan›ml› sürekli fonksiyonlar›n davran›ﬂlar›n› daha
kolay inceleyebiliriz. ﬁimdi bu özelliklerden baz›lar›n› ele alal›m.
1. Özellik
f : [a, b] Æ R sürekli fonksiyonu verilsin. Bu fonksiyon mutlak minimum ve
mutlak maksimum de¤erlerini en az birer noktada al›r. Yani her x Œ [a, b] için
f (x1) ≤ f (x) ve f (x) ≤ f (x2)
olacak ﬂekilde en az birer x1 , x2 Œ [a, b] de¤erleri vard›r.
2. Özellik
f : [a, b] Æ R sürekli fonksiyonu verilsin. Bu fonksiyon mutlak minimum ve
mutlak maksimum de¤erleri aras›ndaki her de¤eri en az bir noktada al›r. Yani,
fonksiyonunun mutlak minimum de¤eri m, mutlak maksimum de¤eri M olmak
üzere,
m≤c≤M
koﬂulunu sa¤layan herhangi bir c say›s›na karﬂ›l›k f (x0) = c olacak ﬂekilde en
az bir x0 Œ [a, b] say›s› vard›r.
Limit Kavram›
113
y
M
c
x0
x1
a
x
b
m
Şekil 5.19
Sürekli fonksiyonlar için bu özellik ara de¤er teoremi olarak bilinir. ﬁekildeki grafi¤e göre f (x0) = f (x1) = c dir.
Sonuç
f : [a, b] Æ R sürekli fonksiyonu verilsin. E¤er f (a) . f (b) < 0 ise en
az bir c Œ (a, b) için f (c) = 0 d›r. Yani f sürekli fonksiyonu [a, b] aral›¤›n›n
uçlar›nda farkl› iﬂaretli de¤erler al›yorsa, f (x) = 0 denkleminin (a, b) aral›¤›nda en az bir kökü vard›r.
y
y
a
c
b
x
a
c1
c2
c3
b
x
Şekil 5.20
Yukar›daki grafiklerden aç›kça görüldü¤ü gibi, f (a) ile f (b) de¤erleri farkl› iﬂaretli oldu¤undan (a, f (a) ), (b, f (b) ) noktalar›ndan birisi x-ekseninin alt›nda iken di¤eri x-ekseninin üstündedir. Fonksiyon sürekli oldu¤undan grafi¤i kalem kald›r›lmadan çizilecektir, dolay›s›yla negatif bölgeden pozitif bölgeye veya
pozitif bölgeden negatif bölgeye geçerken grafik en az bir noktada x-eksenini
kesmek zorundad›r. Bu noktan›n apsisi ise f (x) = 0 denkleminin köküdür.
Bu sonuç yard›m›yla baz› denklemlerin köklerini araﬂt›rabiliriz.
Limit Kavram›
114
ÖRNEK 24
ÇÖZÜM
3x3 - 4x2 + 2x - 1 = 0 denkleminin [0, 2] aral›¤›nda kökü var m›d›r?
f : [0, 2] Æ R , f (x) = 3x3 - 4x2 + 2x - 1 fonksiyonunu gözönüne alal›m. f polinom fonksiyon oldu¤undan bu aral›kta süreklidir. f (0) = -1 , f (2) = 11 oldu¤undan f (0) . f (2) < 0 d›r, dolay›s›yla en az bir c Œ (0, 2) için f (c) = 0 d›r.
Bu nedenle denklemin bu aral›kta en az bir kökü vard›r.
Yukar›daki özelliklerde, fonksiyonun tan›m kümesi kapal› aral›k de¤ilse veya
fonksiyon sürekli de¤ilse, genel olarak bu özellikler do¤ru de¤ildir.
SIRA S‹ZDE 4
Aﬂa¤›daki fonksiyonlar›n x =
3x - 1 , x < 1
1) f x = 0
, x =1
x+ 1 , x > 1
1 noktas›nda sürekli olup olmad›klar›n› araﬂt›r›n›z.
ise
ise
ise
x- 1
x+ 1
2)
h x =
3)
k (x ) = x +1
4)
m (x ) = x -1
x
Niels Abel (1802 - 1829)
Deha ve Yoksulluk.
Abel ,1824 de derecesi beﬂten büyük polinom
denklemler için genel bir çözüm verilemeyece¤ini kan›tlam›ﬂt›r. Yoksul bir hayat yaﬂam›ﬂ ve
yakaland›¤› bir hastal›k sonucunda 27 yaﬂ›nda ölmüﬂtür. Ünlü analizci Weierstrass ö¤rencilerine Abel’i okuyunuz tavsiyesinde bulunduktan sonra onun için ﬂunlar› söylemiﬂtir:
"Me¤er Abel, ne mutlu adamm›ﬂ ki, fikirleri
sonsuza kadar yaﬂayacak ve onlar›n matematik bilimine çok olumlu etkileri olacakt›r."
"Tarih gösteriyor ki, bütün pozitif ilimlerin ortak kayna¤› olan matematik kültürünü himaye
eden hükümdarlar ayn› zamanda devirleri en
parlak olanlar ve zaferleri en uzun sürenlerdir."
Michel CHASLES
Kendimizi S›nayal›m
Kendimizi S›nayal›m
2
lim x - 4x de¤eri nedir?
xÆ4 x - 4
a. - •
b. 0
c. 1
d. 4
e. •
2. lim 2x + 3 de¤eri nedir?
x Æ •x2 - 5
a. - 3
5
b. 0
c. 1
2
d. 2
e. Yoktur
x x +1
lim
de¤eri nedir?
3.
xÆ - 1
x+ 1
1.
a.
b.
c.
d.
e.
-2
-1
1
2
Yoktur
x - x 2 - x 3 de¤eri nedir?
lim
4.
xÆ -•
3 + x2
a. - •
1
b.
3
c. 0
d. - 1
3
e. •
5. x lim
Æ•
x2 + 5 - x
lim
-•
-2
0
2
•
3
b.
6
c.
-2
d. 0
e. Yoktur
8. Yanda grafi¤i verilen
f fonksiyonu için
lim f x de¤eri nedir?
xÆ2
y
3
1
a. 0
x
2
b. 1
c. 2
y = f (x)
d. 3
e. Yoktur
9. f (x) = 2x2 - ax + 4 fonksiyonu x = -1 noktas›nda
lim f x = 10 oldu¤una göre a kaçt›r?
sürekli ve
xÆ - 1
a.
b.
c.
d.
e.
10.
-4
-1
0
4
10
lim
xÆ2
x 2 - ax = 2 oldu¤una göre, a kaçt›r?
3
2x + 5
a. 2
b. 1
2
c. 0
d. - 1
2
e. -1
xÆ0
2x
x 3 - x 2 + 4x - 2 de¤eri nedir?
3
11. lim
xÆ1 x - 12
a.
b.
c.
d.
e.
3
lim
xÆ - 1
a. -2
de¤eri nedir?
a. - •
b. 0
1
c.
5
d. 2
e. •
6.
7.
115
x+ 4 - 2
x
de¤eri nedir?
a. -2
b. 0
c. 1
4
d. 2
e. •
de¤eri nedir?
12.
lim
x+ 3
x Æ 0+ x 2 + 3x
a.
b.
c.
d.
e.
-1
0
1
3
•
de¤eri nedir?
116
Biraz Daha Düﬂünelim
Biraz Daha Düﬂünelim
1.
2.
3.
4.
x+2
de¤eri nedir?
x+ 2
lim
x Æ -2
lim
x Æ -∞
x 2+ 4x -3 + x
de¤eri nedir?
lim
x x + 5 de¤eri nedir?
lim
x 2-4x + 3 de¤eri nedir?
(x - 1)2
x Æ ∞ 3x2+ 7
xÆ1
Türev Kavram›
6
Amaçlar
Bu üniteyi çal›ﬂt›ktan sonra;
bir fonksiyonun, bir noktadaki de¤iﬂme h›z›n›n fonksiyonun, o noktadaki
türevi oldu¤unu anlayacak,
çeﬂitli tipteki fonksiyonlar›n türevlerini bulabilecek,
fonksiyonun bir noktadaki de¤erini, bu noktaya yak›n uygun bir noktadaki
te¤eti yard›m›yla bulacak,
türev fonksiyonunun da türevlerini bulabileceksiniz.
118
Türev Kavram›
‹çindekiler
•
•
•
•
•
Giriﬂ
Türev Kavram›
Türev Kurallar›
Te¤et Denklemi
Yüksek Mertebeden Türevler
• Önce limit konusunu gözden geçiriniz.
• Türev kurallar›n› çok örnek çözerek ö¤renmeye çal›ﬂ›n›z.
• Türevin iktisadi uygulamalar›n›n anlamlar›n› anlamaya çal›ﬂ›n›z.
• Çözümleri size b›rak›lm›ﬂ sorular› mutlaka çözünüz.
Giriﬂ
Bu ünitede türev kavram›n›, türev kurallar›n› ve türevin baz› uygulamalar›n› inceleyece¤iz. ‹ncelememizde temel özellikleri örneklerle aç›klayacak, ayr›nt›l› kan›tlara girmeyece¤iz.
Türev kavram›, fizikte hareketli bir cismin anl›k h›z›n›n bulunmas›yla, matematikte ise bir fonksiyonun grafi¤i olan e¤rinin bir noktadaki te¤etinin e¤iminin
bulunmas› problemlerinden do¤muﬂtur. Bugün ise türev, matematikle beraber fizik, kimya, mühendislik ve ekonomi gibi uygulamal› bilimlerin hepsinde pek çok
problemin çözümünü kolaylaﬂt›ran, bu nedenle büyük önem taﬂ›yan bir kavramd›r. Örne¤in, bir mal›n toplam maliyet fonksiyonunu biliyorsak hangi üretim
miktar›nda maliyetin en düﬂük düzeyde olaca¤›n› veya herhangi bir üretim miktar›nda maliyetin de¤iﬂim h›z›n› yani maliyetin hangi h›zla artaca¤›n› veya azalaca¤›n›, benzer ﬂekilde bir mal›n kâr fonksiyonunu bildi¤imizde hangi sat›ﬂ miktar›nda kâr›n en yüksek olaca¤›n›, herhangi bir sat›ﬂ miktar›nda kâr›n hangi h›zla artaca¤›n› veya azalaca¤›n› türev yard›m›yla bulabilmekteyiz.
Yukar›daki örnekler ve bunlara benzer problemlerde, birbirine ba¤l› iki de¤iﬂken vard›r ve bu de¤iﬂkenlerden birisindeki bir de¤iﬂiklik nedeniyle, di¤erinde
meydana gelen de¤iﬂme söz konusudur. Bu tür problemlerde, de¤iﬂme miktar›ndan daha çok, de¤iﬂmenin h›z› önem taﬂ›maktad›r. Örne¤in günümüzde benzin
fiyat› zamanla de¤iﬂmektedir ancak, benzin fiyat›n›n bir ayda 100 000 lira artmas› ile bir y›lda 100 000 lira artmas› aras›nda çok büyük fark vard›r. Bu nedenle önemli olan de¤iﬂikli¤in hangi miktarda oldu¤u de¤il, hangi oranda oldu¤udur. Bu örnekle vurgulamaya çal›ﬂt›¤›m›z kavram, matematik anlamda bir fonksiyonun bir noktadaki anl›k (de¤iﬂme) h›z›d›r.
Bir fonksiyonun anl›k h›z›na geçmeden önce ortalama h›z›n› bir örnekle
aç›klayal›m.
x mal miktar›n› göstermek üzere bir mal›n, milyon TL cinsinden toplam maliyet fonksiyonu
2
y = C (x ) = 5000 + 100x - x
4
,
0 ≤ x ≤ 300
olsun. Bu toplam maliyet fonksiyonuna göre 100 birim ve 110 birim mal›n
maliyeti,
C (100) = 5000 + 100 . 100 - 2500 = 12,5 Milyar TL,
C (110) = 5000 + 100 . 110 - 3025 = 12,975 Milyar TL
dir.
Türev Kavram›
Bu mal›n [100, 110 ] aral›¤›nda ortalama maliyeti,
C (110) - C (100)
= 47,5 Milyon TL / mal birimi
10
dir. ‹ﬂte bu de¤ere C toplam maliyet fonksiyonunun [100, 110 ] aral›¤›ndaki
ortalama h›z› diyoruz.
Genel olarak, bir y = f (x) fonksiyonunda x ba¤›ms›z de¤iﬂkeni bir x1 noktas›ndan x2 noktas›na (x1 < x2 olmak zorunda de¤ildir) de¤iﬂti¤inde fonksiyon
de¤erlerinde meydana gelen de¤iﬂiklik miktar› f (x2 ) - f (x1 ) dir. Bu durumda
f (x 2) - f (x 1)
x2 - x1
oran›na fonksiyonun [x1 , x2 ] aral›¤›ndaki ortalama h›z› denir. Burada e¤er
x2 < x1 ise [x2 , x1 ] aral›¤›ndaki ortalama h›zdan söz etmeliyiz.
ﬁimdi de anl›k h›z› bir örnekle aç›klayal›m. Anl›k (de¤iﬂme) h›z›n› yukar›daki
toplam maliyet fonksiyonu üzerinde aç›klayabilirdik. Bunun için, uzunlu¤u birim uzunluktan çok daha küçük aral›klar üzerindeki ortalama h›zlar›ndan söz
etmemiz gerekmektedir. Bunun matematik aç›s›ndan hiçbir sak›ncas› olmamas›na karﬂ›l›k çok küçük kesirli miktarda mal miktarlar›ndan söz etmemiz size anlaml› gelmeyebilir. Bunun yerine kavram›, ilk ö¤renenler için daha anlaﬂ›labilir
hale getirece¤i inanc›yla, hareketli bir cismin anl›k h›z›n›n bulunmas› problemiyle aç›klamaya çal›ﬂaca¤›z. Bu arada ﬂunu da ifade edelim ki baz› ekonomik problemler tamamen pozitif tam say›larla ilgili olabilir. Dolay›s›yla bu problemlerle ilgili fonksiyonlar da pozitif tam say›lar kümesi üzerinde tan›ml› olur. Bu fonksiyonlar›n özellikleri incelenirken bu fonksiyonlar yerine bunlar›n gerçel say›lar
kümesinin uygun bir alt kümesine geniﬂletilmiﬂleri al›narak inceleme yap›l›r. ﬁimdi anl›k h›z konusunu aç›klayal›m.
Bir do¤ru üzerinde hareket eden bir cismin ald›¤› yol, zaman›n fonksiyonu
olarak, t saniye (sn), s metre (m) olmak üzere,
s = s(t) = 2 0 t + 3t 2
olsun.
Bu hareketlinin baﬂlang›çtan (t = 0 an›ndan) itibaren ilk 2 saniyede
ald›¤› yol , s(2) = 20 . 2 + 3 . 22 = 52 m, ilk 10 saniyede ald›¤› yol,
s(10) = 20 . 10 + 3 . 102 = 500 m. dir.
t=0
t=2
t = 10
Bu hareketlinin 2' inci saniye ile 10' ncu saniye aras›nda ald›¤› yol
s(10) - s(2) = 500 - 52 = 448 m. dir. Buna göre, s yol fonksiyonunun
di¤er bir deyiﬂle hareketlinin [2, 10 ] aral›¤›ndaki ortalama h›z›,
s (10) - s (2) 500 - 52
=
= 56 m/sn
10 - 2
8
dir. Ayn› cismin [2, 3 ] aral›¤›ndaki ortalama h›z›,
s (3) - s (2) 87 - 52
=
= 35 m/sn ,
3- 2
1
119
120
Türev Kavram›
[2, 2,5 ] aral›¤›ndaki ortalama h›z› ise,
s (2,5) - s (2) 68,75 - 52
=
= 33,5 m/sn
2,5 - 2
0,5
dir. ﬁimdi bu cismin tam 2' inci saniyede radara girdi¤ini düﬂünelim. Acaba bu
anda yani tam 2-inci saniyede cismin h›z› nedir?
Bu soruya cevap vermek için
s
ortalama h›zdan yararlanal›m.
s(2+h)-s(2)
Zamana t = 2 an›ndan itibaren
h ile gösterdi¤imiz (küçük) bir
h
art›ﬂ verelim ve [2, 2 + h] aral›¤›ndaki ortalama h›z› bulal›m.
2 2+h
Şekil 6.1
t=0 t=2
t = 10
s (2 + h) = 20 (2 + h) + 3 (2 + h)2
= 40 + 20 . h + 12 + 12 h + 3 h2
= 52 + 32 . h + 3 h2
s (2) = 52 m oldu¤undan
s (2 + h) - s (2) 52 + 32 . h + 3 . h 2 - 52
=
= 32 + 3h m/sn
h
(2 + h) - 2
dir.
Buna göre s fonksiyonunun [2, 2 + h] aral›¤›ndaki ortalama h›z› 32 + 3 h
m/sn dir. Bu h›z›n h Æ 0 için (varsa) limitini, hareketlinin t =2 an›ndaki h›z›
olarak almak oldukça akla yak›n görünmektedir. ‹ﬂte, varl›¤› halinde, bu limit
de¤ere cismin t = 2 an›ndaki anl›k (de¤iﬂme) h›z› veya k›saca anl›k h›z›
denir. Bu durumda t = 2 an›ndaki anl›k h›z,
lim s (2 + h) - s (2) = lim 32 + 3 . h = 32 m/sn
hÆ 0
(2 + h) - 2
hÆ 0
dir.
Bu örnekte anl›k h›z olan bu limit de¤er, benzer problemlerde te¤et e¤imi, marjinal maliyet, marjinal gelir gibi anlamlar taﬂ›r. Bu anl›k (de¤iﬂme) h›zlar›n›n
genel ad› türevdir. Örne¤in yukar›da buldu¤umuz 32 de¤eri s (t) = 20t + 3t 2
fonksiyonunun t = 2 noktas›ndaki türevidir.
Türevin kesin tan›m›n› vermeden önce bir konuya aç›kl›k getirelim. Uygulamada karﬂ›laﬂ›lan fonksiyonlar›n tan›m kümeleri genellikle bir aral›kt›r. Baz›
özel durumlarda da sonlu tane aral›¤›n ayr›k birleﬂimi biçimindedir. Bu nedenle, tan›m kümesi bir aral›k olan fonksiyonlar›n türevlerini inceleleyece¤iz.
Türev Kavram›
TÜREV KAVRAMI
f : [a, b ] Æ R fonksiyonu ve
mak üzere
x0 Œ (a, b) verilsin.
121
x ≠ x0 ve x Œ [a, b ] ol-
f (x ) - f (x 0)
x- x0
oran›na f fonksiyonunun [x0, x ] (veya [x, x0 ] ) aral›¤›nda ortalama h›z›, x Æ x0
için ortalama h›z›n varsa limitine de f fonksiyonunun x0 noktas›ndaki türevi
denir ve
f ' (x 0) ,
df (x0)
dy
,
dx
dx
x = x0
biçiminde gösterilir. Buna göre,
f ' (x0) = lim
x Æ x0
f (x) - f (x0)
x - x0
dir.
E¤er f ' (x0) varsa, f
y
y
f
x0
a
fonksiyonuna x0 noktas›nda türevlenebilir fonksi-
x
x b
x Æ x0
x > x0
x
x0
x0
x
b
x Æ x0
x < x0
f
y
a
x
a
Yandaki ﬂekilde, x in x0 a
yaklaﬂmas› durumunda e¤ri
üzerindeki x ve x0 apsisli noktalardan geçen kesenlerin hareketlerini
inceleyiniz. Yukar›daki limitin varl›¤›
halinde bu kesenlerin belli bir
do¤ruya "yaklaﬂt›¤›n›" görmeye
çal›ﬂ›n›z. Bu do¤ruya te¤et
dedi¤imizi hat›rlay›n›z.
f
b
x
x Æ x0
Şekil 6.2
yon denir.
Türev tan›m›nda x0 noktas›n› [a, b ] aral›¤›n›n bir iç noktas› alm›ﬂt›k. [a, b ]
aral›¤›n›n uç noktalar›nda türev ﬂu ﬂekilde tan›mlan›r.
E¤er x0 = a ise x ba¤›ms›z de¤iﬂkeninin a ya, a dan küçük de¤erlerle (soldan) yaklaﬂmas› mümkün olmad›¤›ndan
lim
x Æa+
f (x ) - f (a)
x- a
Türev Kavram›
122
sa¤dan limiti varsa, bu limite f fonksiyonun a noktas›ndaki türevi diyece¤iz.
Benzer ﬂekilde
lim
x Æ b-
f (x ) - f (b )
x- b
soldan limiti varsa, bu limit de¤ere de f fonksiyonunun b noktas›ndaki türevi
diyece¤iz.
f fonksiyonunun [a, b ] aral›¤›n›n her noktas›nda türevi varsa, bu durumda
f fonksiyonuna [a, b ] aral›¤› üzerinde türevlenebilir fonksiyondur veya k›saca
türevlenebilir fonksiyondur denir.
f : R Æ R , f (x) = x 2 + 3x - 4 fonksiyonunun [2, 5] aral›¤›nda ortalama
h›z›n› ve x = 2 noktas›ndaki türevini bulal›m.
ÇÖZÜM
ÖRNEK 1
f (2) = 22 + 3 . 2 - 4 = 6
f (5) = 52 + 3 . 5 - 4 = 36
f
y
f (5) - f (2) 36 - 6
=
= 10
5- 2
3
f (5) - f (2)
Buna göre fonksiyonun [2, 5] aral›¤›nda ortalama h›z› 10 dur.
ﬁimdi f fonksiyonunun x = 2 noktas›ndaki türevini araﬂt›ral›m:
2
5
x
Şekil 6.3
x 2 + 3x - 4 - 2 2 + 3 . 2 - 4
f (x ) - f (2)
= lim
xÆ2
xÆ2
x-2
x-2
lim
2
= lim x + 3x - 10
xÆ2
x-2
= lim
xÆ2
(x - 2) (x + 5)
x-2
= lim (x + 5) = 7
xÆ2
O halde f ' (2) = 7 dir.
Ba¤›ms›z de¤iﬂken x 0 dan x e de¤iﬂti¤inde; de¤iﬂme miktar› x - x 0 d›r. Bu
de¤er genellikle ∆x (delta x) ile gösterilir. x > x 0 ise ∆x > 0, x < x 0 ise
∆x < 0 olaca¤› aç›kt›r. Her iki durumda da ∆x e x in artma miktar› denir.
x - x 0 = ∆x ise x = x 0 + ∆x ve x Æ x 0 için ∆x Æ 0 olaca¤›ndan varl›¤› halinde f ' (x 0 ) türevi ﬂu ﬂekilde de tan›mlanabilir:
f ' x0 = lim
f x 0 + ∆x - f x0
∆x Æ 0
∆x
Burada, f (x) - f (x 0 ) = f (x 0 + ∆x) - f (x 0 ) = ∆y
f ' x0 = lim
∆x Æ 0
dersek,
∆y
∆x
olur.
Buna göre türev, ba¤›ms›z de¤iﬂkene verilen bir artmaya karﬂ›l›k, fonksiyonun
ald›¤› artman›n, de¤iﬂkenin ald›¤› artmaya oran›n›n, ba¤›ms›z de¤iﬂkene verilen
Türev Kavram›
123
artman›n s›f›ra yaklaﬂmas› halinde varsa limitidir. Yani türev, x ba¤›ms›z de¤iﬂkenine verilen ∆x artmas›na karﬂ›l›k fonksiyonun ald›¤› artma ∆y olmak üzere,
∆y oran›n›n ∆x Æ 0 için varsa limitidir.
∆x
ÖRNEK 2
f : R Æ R , f (x) = c sabit fonksiyonunun bir x0 Œ R noktas›nda türevini
araﬂt›ral›m.
y
c>0
c>0
c
c
x0
lim
∆x Æ 0
ÇÖZÜM
y
x
x0 + ∆x
∆x > 0
x0 + ∆x x0
∆x < 0
x
Şekil 6.4
f x 0 + ∆x - f x 0
= lim c - c = 0
∆x
∆x Æ 0 ∆x
oldu¤undan f ' (x0) = 0 bulunur. Burada x0 keyfi seçildi¤inden her x Œ R için
f ' (x) = 0 d›r diyebiliriz.
f (x) = c ise her x Œ R
da türevi vard›r ve s›f›rd›r.
için f ' (x) = 0 d›r. Sabit fonksiyonun her nokta-
Sabit fonksiyonun her noktada
türevi vard›r ve s›f›rd›r.
f : R Æ R , f (x) = x birim fonksiyonunun bir x0 Œ R noktas›nda varsa
türevini bulal›m.
ÇÖZÜM
∆y = f (x0 + ∆x) - f (x0) = (x0 + ∆x) - x0 = ∆x oldu¤undan
∆x
=1,
∆x
f ' x 0 = lim
∆x Æ 0
ÖRNEK 3
f ' (x0) = 1 bulunur. Burada da x0 keyfi seçildi¤inden her x Œ R için f ' (x) = 1 dir.
f (x) = x birim fonksiyonunun her
noktada türevi vard›r ve 1 e eﬂittir.
f (x) = x birim fonksiyonunun her noktada türevi vard›r ve 1 e eﬂittir.
f : R Æ R , f (x) = |x| fonksiyonunun x = 0 noktas›nda varsa türevini
bulal›m.
0 + ∆x - 0
∆x
f (x + ∆x ) - f (0)
= lim
,
= lim
∆x Æ 0
∆x Æ 0 ∆x
∆x
∆x
ÇÖZÜM
lim
∆x Æ 0
burada ∆x > 0 ise |∆x| = ∆x, ∆x < 0 ise |∆x| = - ∆x oldu¤undan
lim
∆x Æ 0
+
∆x
=
∆x
∆x
=
∆x Æ 0- ∆x
lim
dir. Buna göre
lim
∆x
∆x Æ 0
lim
∆x Æ
lim
∆x Æ 0
+ ∆x
=1
-∆x
= -1
0 ∆x
∆x
∆x
ÖRNEK 4
y
y = |x|
x
Şekil 6.5
limiti yoktur. Dolay›s›yla f (x) = |x| fonksiyonunun x = 0 noktas›nda türevi
yoktur.
Türev Kavram›
124
f : R Æ R, f (x) = |x| fonksiyonunun x = -2 noktas›ndaki türevinin -1,
x = 3 noktas›ndaki türevinin 1 oldu¤unu gösteriniz.
f (x) = |x| fonksiyonunun sadece x = 0 noktas›nda türevi yoktur. Bunun d›ﬂ›nda her noktada türevi vard›r. Fonksiyonun grafi¤ine dikkat ederseniz (0, 0)
noktas› bir "köﬂe" noktad›r.
Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olmas›yla bu noktadaki süreklili¤i
aras›nda yak›n bir iliﬂki vard›r.
f : [a, b ] Æ R fonksiyonunun bir x 0 Œ [a, b ] noktas›nda türevi varsa, f fonksiyonu x 0 noktas›nda süreklidir. Ancak bunun karﬂ›t› her zaman do¤ru de¤ildir.
Bir fonksiyon bir noktada sürekli oldu¤u halde bu noktada türevi olmayabilir. Örne¤in f (x) = |x| fonksiyonu x = 0 noktas›nda süreklidir. Yukar›da gördü¤ümüz
gibi bu noktada türevi yoktur.
Aﬂa¤›daki grafiklerde verilen x 0 noktalar›nda fonksiyonlar›n türevleri yoktur.
Bu noktalarda baz› fonksiyonlar›n sürekli olmad›¤›na, baz›lar›nda da grafi¤in
çeﬂitli biçimlerde "uç" veya "köﬂe" oluﬂturdu¤una dikkat ediniz.
y
y
x
x0
y
x
x0
y
x
x0
y
y
x0
x
x
x0
x0
x
Şekil 6.6
Bir fonksiyon bir noktada sürekli
de¤ilse, bu noktada türevi yoktur.
y
x0
x
Şekil 6.7
Türev Kurallar›
f : [0, •) Æ R , f (x ) = x
ni bulal›m.
125
ÖRNEK 5
fonksiyonunun x = 0 noktas›nda varsa türevi-
ÇÖZÜM
f (0 + ∆x ) - f (0)
∆x - 0
= lim
∆x Æ 0
∆x Æ 0
∆x
∆x
lim
= lim
∆x Æ 0
1 =•
∆x
burada ∆x > 0 oldu¤undan limit •
olur. Bu limit sonlu bir de¤er olmad›-
y
¤›ndan x = 0 da türev yoktur. Bununla beraber bu limitin • olmas› bu
noktada, yandaki grafikte görüldü¤ü
gibi, düﬂey bir te¤etin varl›¤›n› ifade
eder.
x
Şekil 6.8
1. f :
R Æ R, f (x) = -2x + 3 fonksiyonunun bir x 0 Œ R noktas›ndaki türevini
bulunuz.
2. f : R Æ R, f (x) = x 2 + 4 fonksiyonunun x = 0
revini bulunuz.
ve x = -1 noktalar›nda tü-
TÜREV KURALLARI
Yukar›daki örneklerden k›smen de olsa gördü¤ümüz gibi bir fonksiyonun türevini, türevin tan›m›n› kullanarak hesaplamak bazen uzun ve yorucu iﬂlemler gerektirebilir. Bu konuda türev kurallar› diyebilece¤imiz baz› özellikler, bize yard›mc›
olmaktad›r.
f : [a, b ] Æ R, g : [a, b ] Æ R
fonksiyonlar›n›n bir x0 Œ [a, b ] noktas›nda türevleri olsun. Bu durumda,
Kural 1: f + g : [a, b ] Æ R, (f + g) (x) = f (x) + g (x) fonksiyonunun x0 noktas›nda türevi vard›r ve
( f + g)' (x0) = f ' (x0) + g' (x0)
d›r.
Türevlenebilir iki fonksiyonun toplam›n›n türevi, fonksiyonlar›n türevlerinin
toplam›na eﬂittir.
SIRA S‹ZDE 1
Türev Kurallar›
126
ÖRNEK 6
ÇÖZÜM
h : R Æ R , h (x) = x + 10 fonksiyonunun bir x Œ R noktas›nda türevini
bulal›m.
h : R Æ R, h (x) = x + 10 fonksiyonunu f : R Æ R, f (x) = x birim fonksiyonu
ile g : R Æ R, g (x) = 10 sabit fonksiyonunun toplam› olarak düﬂünebiliriz.
Birim fonksiyonun ve sabit fonksiyonun her noktada türevi oldu¤undan h fonksiyonunun her noktada türevi vard›r.
h (x) = f (x) + g (x)
oldu¤undan
f ' (x 0 ) = (x)' = 1, g' (x 0 ) = (10)' = 0
h' (x 0 ) = 1 + 0 = 1
h' (x 0 ) = f ' (x 0 ) + g' (x 0 )
d›r.
oldu¤undan
dir.
O halde f (x) = x + 10 ise her x Œ R için f ' (x) = 1 dir.
Kural 2: f . g : [a, b ] Æ R , (f . g) (x) = f (x ) . g (x)
tas›nda türevi vard›r ve
Dikkat ederseniz, çarp›m›n türevi
türevler çarp›m›na eﬂit de¤ildir.
( f . g)' (x0) = f ' (x0) . g (x0) + g' (x0) . f (x0)
d›r.
h : R Æ R , h (x) = x 2
ni bulal›m.
ÇÖZÜM
ÖRNEK 7
fonksiyonunun x 0 nok-
fonksiyonunun bir x Œ R noktas›nda türevi-
h : R Æ R, f (x) = x 2 fonksiyonu f (x) = x olmak üzere, h (x) = f (x) . f (x)
biçiminde düﬂünülebilir. Buna göre,
h' (x0) = f ' (x0) . f (x0) + f (x0) . f ' (x0)
d›r. f ' (x0) = 1 oldu¤undan
h' (x0) =1 . x0 + x0 . 1 = 2x0
d›r. x 0 keyfi oldu¤undan f (x) = x 2 ise her x Œ R için f ' (x) = 2x tir diyebiliriz. Kural 2 de, özel olarak g (x) = c sabit fonksiyonu al›n›rsa, sabit fonksiyonun
türevi s›f›r oldu¤undan
(c f )' (x0) = c f ' (x0)
Bir fonksiyonun bir sabit ile
çarp›m›n›n türevi, fonksiyonun
türevinin bu sabit ile çarp›m›na
eﬂittir.
olur. Yani bir fonksiyonun bir sabit ile çarp›m›n›n türevi, fonksiyonun türevinin
bu sabit ile çarp›m›na eﬂittir.
f (x) = 8x + 13 fonksiyonunun türevini türev kurallar› yard›m›yla kolayca bulabiliriz.
f (x) = 8x + 13 ise her x Œ R için f ' (x) = (8x)' + (13)' = 8 . (x)' + 0
= 8.1=8
Bu durumda y = f (x) = 8x + 13 dersek
dy
= 8 veya
dx
y' = 8 yaz›l›r.
Türev Kurallar›
127
ÖRNEK 8
f : R Æ R , f (x) = 3x 2 + 6x - 7 fonksiyonunun bir x Œ R noktas›nda türevini bulal›m.
ise
f ' (x) = (3x 2 )' + (6x)' + (-7)' = 3(x 2 )' + 6(x)' + 0
= 3 . 2x + 6 . 1 = 6x + 6
y = 3x 2 + 6x - 7 dersek
dy
= 6x + 6 veya
dx
ÇÖZÜM
f (x) = 3x 2 + 6x - 7
y ' = 6x + 6 veya
f ' (x) = 6x + 6 yaz›l›r.
Aﬂa¤›daki fonksiyonlar›n türevlerini bulunuz.
1. f (x ) = - 4x + 2
2.
g (x ) = x 2 + 3x - 1
3. k (x ) = 3 x - 1
4.
l (x ) = x - x 2
5
2
Kural 3: c 1 , c 2 Œ R ,
SIRA S‹ZDE 2
olmak üzere
c 1 f + c 2 g : [a, b ] Æ R , (c 1 f + c 2 g) (x) = c 1 f (x) + c 2 g (x)
fonksiyonunun x0 noktas›nda türevi vard›r ve
(c 1 f + c 2 g)' (x0 ) = c1 f ' (x0 ) + c 2 g' (x0 )
d›r. Burada özel olarak c 0 = 1, c 0 = - 1 al›n›rsa
Fark›n türevi türevler fark›na eﬂittir.
( f - g)' (x0 ) = f ' (x0 ) - g' (x0 )
sonucu elde edilir.
Kural 4: Her x Œ [a, b ] için g (x) ≠ 0 olmak üzere,
f
g : a, b
Æ R,
f
g
x =
f (x )
g (x )
fonksiyonunun x0 noktas›nda türevi vard›r ve
f ' x0 g x 0 - g ' x 0 f x 0
f '
g x0 =
g 2 x0
d›r. Özel olarak f (x) = 1 sabit fonksiyonu olursa,
1 ' x = - g ' x0
0
g
g 2 x0
sonucu elde edilir.
Bölümün türevi türevler bölümüne
eﬂit de¤ildir.
Türev Kurallar›
128
ÖRNEK 9
f : R Æ R , f (x ) = 2x2 + 1
x +3
ÇÖZÜM
fonksiyonunun x Œ R noktas›nda türevini bulal›m.
f ' (x) =
=
2x + 1 ' x 2 + 3 - x 2 + 3 ' 2x + 1
x2 + 3
2
2 . x 2 + 3 - 2x 2x + 1
x2 + 3
2
2
2
= 2x + 6 - 4x - 2x
2
x2+3
2
= -2x - 2x + 6
2
x2 + 3
y = 2x + 1
x2 + 3
dersek,
dy -2x 2 - 2x + 6
=
2
dx
x2 + 3
olur.
Kural 5: f : (0, •) Æ R, f (x) = x r , r Œ R fonksiyonunun bir x Œ (0, •) noktas›ndaki türevi
f ' (x) = r x r -1
dir.
f (x) = x r
ÖRNEK 10
ise
f ' (x) = rx r -1, x > 0,
ÇÖZÜM
f : (0, •) Æ R , f (x ) =
3
x
ise f ' (x) = ?
f ' x = x 1/3 ' = 1 x 1/3-1 = 1 x -2/3 = 1 1
3
3
3 x 2/3
1
=
3
3
x2
rŒR
Türev Kurallar›
2
f (x ) = 3x + 5
2x + 7
ÖRNEK 11
ise f ' (-1) = ?
türevini bulup daha sonra x yerine
6x 2x + 7 - 2 . 3x 2 + 5
ÇÖZÜM
f ' (-1) say›s›n› bulmak için önce f ' (x)
-1 yazmak yeterlidir.
f ' (x ) =
129
2x + 7 2
2
2
2
= 12x + 42x - 6x - 10 = 6x + 42x - 10 ,
2
2x + 7
2x + 7 2
f ' (-1) =
6 -1
2
+ 42 . (-1) - 10
2 (-1) + 7
2
= 6 - 422 - 10 = - 46
25
5
ÖRNEK 12
f (x ) = x (3x - 1) ise f ' (x) = ?
f ' (x ) = x ' 3x - 1 + 3x - 1 ' x
= x 1/2 ' 3x - 1 + 3 . x = 1 x -1/2 3x - 1 + 3 x
2
= 3 x 1/2 - 1 . x -1/2 + 3 x = 3 + 3 x - 1 . 1 = 9 x - 1
2
2 x
2
2
2
2 x
II. YOL
f (x ) = x
3x - 1 = 3 x x - x = 3x 3/2 - x 1/2
yazabiliriz. Buna göre,
f ' (x ) = 9 x 1/2 - 1 x -1/2
2
2
=9 x -1. 1
2
2 x
bulunur.
ﬁimdi ünite giriﬂinde ele ald›¤›m›z
2
C (x ) = 5000 + 100x - x ,
4
0 ≤ x ≤ 300
toplam maliyet fonksiyonunun, çeﬂitli noktalardaki anl›k h›zlar›n›, di¤er bir deyiﬂle, türevlerini bulal›m.
C ' (x ) = 100 - 2x = 100 - x
2
4
dir.
ÇÖZÜM
I. YOL
Türev Kurallar›
130
C ' (100) = 100 - 100 = 50 Milyon TL/Mal birimi,
2
C ' (250) = 100 - 250 = -25 Milyon TL/Mal birimi
2
Dikkat ederseniz C ' (100) pozitif
de¤er iken C ' (250) negatif bir de¤erdir. Bunun anlam›, 100 birimlik
üretim miktar› civar›nda maliyet
yaklaﬂ›k 50 Milyon TL/Mal Birimi h›zla artarken, 250 birimlik üretim mik-
M
15000
14375
12500
tar› civar›nda maliyet yaklaﬂ›k 25 Milyon TL/Mal Birimi h›zla azalacak demektir. Bu durumu fonksiyonun grafi¤inden de görmek mümkündür.
100
200 250 300
Şekil 6.9
ÖRNEK 13
ÇÖZÜM
Bir firma x milyar TL reklam harcamas› yapt›¤›nda
N (x) = -2,8x 3 + 165x 2 - 580x + 1900, 0 ≤ x ≤ 40
birim mal sataca¤›n› hesaplam›ﬂt›r. Buna göre, x = 10 (milyar TL) noktas›nda sat›lacak mal miktar›n›n anl›k de¤iﬂme h›z›n› bulal›m.
x = 10 noktas›ndaki anl›k h›z N ' (10) oldu¤undan N ' (10) say›s›n› bulmam›z
gerekmektedir. Bunun için önce N ' (x) i bulal›m.
N ' (x) = - 8,4x 2 + 330x - 580
N ' (10) = - 8,4 . 100 + 330 . 10 - 580
= - 840 + 3300 - 580
= 1880
Buna göre, 10 milyar TL reklam harcamas› yap›ld›¤›nda sat›lacak mal miktar›n›n
art›ﬂ h›z› 1880 dir.
9 10 11
x
Şekil 6.10
Türev Kurallar›
131
Kural 6: f : [a, b ] Æ R , g : [c, d ] Æ R fonksiyonlar› verilsin ve
f ( [a, b ] ) Ã [c, d ] olsun. f fonksiyonunun x 0 Œ [a, b ] noktas›nda, g fonksiyonunun y0 = f (x 0 ) Œ [c, d ] noktas›nda türevi varsa, bu durumda
gof : [a, b ] Æ R, (gof ) (x) = g ( f (x) )
bileﬂke fonksiyonunun x 0 noktas›nda türevi vard›r ve
(gof )' (x0) = g ' (f (x 0 ) ) . f ' (x 0 )
dir. ‹ﬂlem kolayl›¤› bak›m›ndan gof bileﬂke fonksiyonunda
y = (gof ) (x) = g (f (x) ) = g (u) ,
u = f (x)
dersek yukar›daki kural k›saca
dy dy du
=
.
dx du dx
ﬂeklinde ifade edilebilir. Buna zincir kural› denir.
ÖRNEK 14
h : R Æ R, h (x) = (2x 2 - x + 1)3 fonksiyonunun x0 = 1 noktas›ndaki türevini bulal›m.
u = f (x) = 2x 2 - x + 1
ve
g (u) = u 3
fonksiyonlar›n›n bileﬂkesi olarak düﬂünebiliriz. Buna göre,
y = h (x) = (gof ) (x) = g (f (x)) = g (u) = u 3 , u = 2x 2 - x + 1
olur.
h' (x ) =
dy du
.
= 3u 2 . (4x - 1) = 3 2x 2 - x + 1 2 4x - 1
du dx
olur. Buradan
h' (1) = 3 (2 . 12 - 1 +1)2 (4 . 1 - 1) = 3 . 4 . 3 = 36
bulunur.
Zincir kural› yard›m›yla ﬂu sonucu ifade edebiliriz.
f : [a, b ] Æ R+ türevi olan bir fonksiyon olmak üzere,
h : [a, b ] Æ R ,
h (x) = [ f (x) ] r ,
fonksiyonunun türevi
h' (x) = r [ f (x)](r -1) . f ' (x)
dir.
rŒR
ÇÖZÜM
h fonksiyonunu, R de tan›ml›
Türev Kurallar›
132
h (x) = [ f (x) ] r ﬁ h' (x) = r [ f (x) ] r-1 . f ' (x)
dir.
ÖRNEK 15
ÇÖZÜM
f : R Æ R , f (x ) = 4x 4 - 8x 2 + 8 fonksiyonu verilsin. f ' (-1) = ?
f (x) = (4x 4 - 8x 2 + 8)1/2
yaz›labilir. Yukar›da verdi¤imiz kurala göre,
f ' (x ) = 1 4x 4 - 8x 2 + 8
2
-1/2
16x 3 - 16x
f ' (-1) = 1 4 - 8 + 8 -1/2 -16 + 16 = 0
2
bulunur.
ﬁimdi buraya kadar verdi¤imiz türev kurallar›n› toplu halde görelim.
f (x) = c , c Œ R ise f ' (x) = 0
( f + g)' (x) = f ' (x) + g ' (x)
( f - g)' (x) = f ' (x) - g ' (x)
( f . g)' (x) = f ' (x) . g (x) + g ' (x) . f (x)
( cf )' (x) = c f ' (x) , c Œ R
f '
f (x) ' f ' (x) g (x) - g ' (x) . f (x)
(x)
=
=
g
g (x)
g2 (x)
1 ' (x) = 1 ' (x) = - g ' (x)
g
g
g2 (x)
f g (x) ' = f '
( fog)' (x) =
g (x) . g ' (x)
xr ' = r xr - 1 , x > 0 , r Œ R
f (x)
, f (x) > 0
f (x) ' = '
2 f (x)
n
f ' (x)
f (x) ' =
n
n
f (x)
r
f (x)
' = r f (x)
, n çift ise f (x) > 0
n-1
r-1.
f ' (x) , f (x) > 0 , r Œ R
Türev Kurallar›
f (x ) =
3x
x-2
ÖRNEK 16
ise f ' (6) = ?
x - 2 ' 3x
( 3x )' x - 2 x-2
2
=
1
. 3x
2 x- 2
x-2
=
6 (x - 2) - 3x =
3x - 12
2 . (x - 2) x - 2 2 . (x - 2) x - 2
ÇÖZÜM
f '(x) =
133
3 x- 2 -
f ' (6) =
f (x ) =
3 . 6 - 12
6
=
=3
2
.
.
2
8
4
2 . (6 - 2) 6 - 2
x
x+ 1
3
x
x+ 1
2
=3
x
x+ 1
2
f (x ) =
x '
x+ 1
.
1 . (x + 1) - 1 . x
(x + 1)2
ÇÖZÜM
f ' (x ) = 3
=
ÖRNEK 17
ise f ' (x) = ?
3x 2
(x + 1)4
3x - 1
2x + 5
ÖRNEK 18
ise f ' (x) = ?
3 (2x + 5) - 2 (3x - 1)
(2x + 5)2
2
3x - 1
2x + 5
17
2
17
= (2x + 5) =
3x - 1
2 (2x + 5)3/2 3x - 1
2 2x + 5
f : [a, b ] Æ [c, d ]
fonksiyonu bire-bir, örten ve sürekli olsun. x 0 Œ [a, b ] noktas›nda f fonksiyonunun türevi var ve f ' (x 0 ) ≠ 0 olsun. Bu durumda
f -1 : [c, d ] Æ [a, b ]
ÇÖZÜM
3x - 1 '
f ' (x ) = 2x + 5
=
3x - 1
2 2x + 5
134
Türev Kurallar›
ters fonksiyonunun y 0 = f (x 0 ) Œ [c, d ] noktas›nda türevi vard›r ve
'
f -1 ( y0) =
1 =
f ' (x0) f '
1
f
-1
(y0)
d›r.
Örne¤in f : (0, •) Æ (0, •) , f (x) = x 2 fonksiyonunun bir x 0 Œ (0, •) noktas›nda türevi vard›r ve f ' (x 0 ) = 2x 0 ≠ 0 d›r.
Bu durumda,
f -1 : (0, •) Æ (0, •) , f -1 (y ) = y
2
y 0 = f (x 0 ) = x 0 noktas›nda türevi vard›r ve
fonksiyonunun
f -1 ' (y0) =
=
1
= 1
2x 0
)
(
f ' x0
1
2 y0
d›r.
Bu sonucu f -1 (y) = y
SIRA S‹ZDE 3
1- x
1. f (x ) =
1+ x
ise f ' (4) = ?
4
3. f (x ) = (3 - 2x )
5.
f (x ) =
7.
f (x ) =
9.
4
fonksiyonunun türevini alarak da bulabiliriz.
ise f ' (1) = ?
x 3 + 2x + 19
2x
x +4
2
k (x ) = x x + 1
ise
ise
ise f ' (-1) = ?
f ' (x ) = ?
k' (x ) = ?
3
2
-3
-2
11. m (x ) = (x - x - 2) (x + x + 2)
ise m ' (x ) = ?
3
x + x1 ise f ' (-1) = ?
2.
f (x ) =
4.
f (x ) =
6.
f (x ) =
8.
g (x ) = x - 1
x 2/3
3
x 2 + 1 ise f ' (x ) = ?
1
1- x
ise f ' (-3) = ?
ise g' (8) = ?
4 7/4 - 5 x -3/5
10. h (x ) = x
7
3
ise h ' 1 = ?
Te¤et Denklemi
TE⁄ET DENKLEM‹
Baz› problemlerde karﬂ›m›za ç›kan fonksiyonlar›n ifadeleri oldukça karmaﬂ›k olabilir. Bunun sonucu olarak böyle fonksiyonlarla çal›ﬂmak da zorlaﬂ›r. Bu zorlu¤u
aﬂman›n yollar›ndan birisi bu karmaﬂ›k fonksiyon yerine, kabul edilebilir bir hatayla fonksiyona yak›n de¤erler alan bir polinom fonksiyon almakt›r. Böyle bir
polinom fonksiyonun varl›¤› ve varl›¤› halinde ﬂekli ile ilgili sorunun genel anlamda cevab› bu kitab›n amac› d›ﬂ›ndad›r. Biz bir özel durumu burada ele alaca¤›z.
Bu özel durum, fonksiyonun x 1 gibi bir noktadaki de¤eri olarak, x 1 e yeteri kadar yak›n, uygun bir x 0 noktas›nda e¤rinin te¤et do¤rusu üzerinde x 1 apsisli noktan›n ordinat›n›n al›nmas›d›r.
y
y = mx + n
x0
x
x1
Şekil 6.11
Biraz sonra görece¤imiz gibi, te¤etin denklemi, birinci dereceden polinom
fonksiyon (do¤rusal fonksiyon) oldu¤undan, aranan de¤erin daha kolay bulunaca¤› aç›kt›r. Örne¤in 40 say›s› y = x fonksiyonunun x1 = 40 noktas›ndaki de¤eri demektir. y = x e¤risinin x0 = 36 apsisli noktas›ndaki te¤etinin denklemi
(bu denklemi daha sonra bulaca¤›z)
y
y = 1 x+ 3
12
19/3
40
y= x
36
40
x
Şekil 6.12
y = 1 x + 3 dür. ‹ﬂte 40 say›s›n›n bir yaklaﬂ›k de¤eri olarak
12
y = 1 40 + 3 = 19 = 6,333...
12
3
alabiliriz.
40 @ 6,333...
135
136
Te¤et Denklemi
Bu aç›klama ve örne¤e göre te¤et
denklemi oldukça yararl› görünmektedir.
Ancak önce te¤et nedir sorusuna cevap
vermemiz gerekmektedir. Te¤et deyince
ço¤umuz çemberin te¤etini hat›rlar ve
e¤riyi yaln›z bir noktada kesen do¤ru olarak düﬂünürüz. Ancak bu düﬂünce her zaman do¤ru de¤ildir. Örne¤in; y - ekseni
(x = 0 do¤rusu) y = x 2 parabolünü tek
noktada kesmesine karﬂ›l›k, parabolün te¤eti de¤ildir.
T=
x0
( x0
,f
y
y = x2
x
Şekil 6.13
))
(x 0
•
P = ( x , f (x) )
x
Şekil 6.14
Te¤eti ﬂu ﬂekilde tan›mlayabiliriz. ﬁekil 6.14'te görüldü¤ü gibi y = f (x) fonksiyonunun grafi¤i olan e¤riyi ve bu e¤ri üzerinde sabit bir T = (x 0 , f (x 0 )) noktas›n› ve bu e¤ri üzerinde T den farkl› P = (x, f (x )) noktas›n› alal›m. Bu durumda TP keseninin e¤imi
m TP =
f (x ) - f (x 0)
x - x0
olur. P noktas› e¤ri üzerinde T noktas›na yaklaﬂ›rken (di¤er bir deyiﬂle x Æ x 0 ,
için) PT kesenleri belli bir limit konumuna yaklaﬂabilir, e¤er mTP e¤imlerinin
x Æ x 0 için limiti varsa, yani
lim
x Æ x0
f (x ) - f (x 0)
x - x0
limiti varsa, PT kesenleri belirli bir limit konuma yaklaﬂ›r. Bildi¤iniz gibi bu limit
f fonksiyonunun x 0 noktas›ndaki türevidir. ‹ﬂte bu limit yani f ' (x 0 ) türevi varsa, f fonksiyonunun x 0 noktas›nda te¤eti vard›r diyece¤iz. Buna göre te¤eti ﬂöyle tan›mlayabiliriz.
(x0 , f (x0)) noktas›ndan geçen ve e¤imi f ' (x0) a eﬂit olan do¤ruya,
f fonksiyonunun (x0 , f (x0)) noktas›ndaki te¤eti denir.
Te¤et Denklemi
137
(x 0 , y 0) noktas›ndan geçen ve e¤imi m olan do¤runun denklemi
y - y 0 = m (x - x 0 ) idi. Te¤et için bu denklem de y 0 = f (x 0 ) , m = f ' (x0)
oldu¤undan te¤etin denklemi,
y - f (x0 ) = f ' (x0 ) (x - x0)
olur.
Örne¤in, f : (0, •) Æ R , f (x ) = x fonksiyonunun grafi¤inin, x 0 = 36 apsisli noktas›ndaki te¤etinin denklemini bulal›m. "Bu te¤etin yukar›da sözünü etti¤imiz te¤et oldu¤una dikkat ediniz".
f (x 0) = f (36) = 36 = 6 , f ' (x ) = 1 oldu¤undan
2 x
f ' (36) =
1 = 1 dir. Buna göre,
2 36 12
y - 6 = 1 (x - 36)
12
y = 1 x- 3 + 6
12
y = 1 x+ 3
12
bulunur.
1. y =
4 - x 2 e¤risinin x = 3 apsisli noktas›ndaki te¤etinin denklemini
bulunuz.
1
1 apsisli noktas›ndaki te¤etinin denklemini bulunuz.
2. y = x e¤risinin x =
2
Bir ekonomist için belirli bir miktar mal üretildi¤inde bu mal›n toplam maliyetini bilmek kadar; herhangi bir üretim miktar›nda maliyetin de¤iﬂim h›z›n› bilmek
de önemlidir.
Örne¤in bir mal›n toplam maliyet fonksiyonu, x mal miktar›, C (x ) Milyon TL
olmak üzere
C (x ) = 0,2x + 10 x + 1000 , 0 ≤ x ≤ 100
olsun. Bu maldan 16 birim mal üretildikten sonraki 17-inci mal›n maliyeti,
C (17) - C (16) = 0,2 . 17 + 10 17 + 1000 - (0,2 . 16 + 10 16 + 1000)
@ 0,2 + 10 . 4,123 - 4 . 10
@ 1,43 Milyon TL
dir. Buna karﬂ›l›k, 49 birim mal üretildikten sonraki 50-nci mal›n maliyeti
SIRA S‹ZDE 4
Te¤et Denklemi
138
C (50) - C (49) = 0,2 . 50 + 10 50 + 1000 - (0,2 . 49 + 10 49 + 1000)
@ 0,2 + 10 . 7,07 - 10 . 7
@ 0,9 Milyon TL
dir.
Gördü¤ünüz gibi maliyetin 16 noktas›ndaki ortalama art›ﬂ h›z›yla 49 noktas›ndaki ortalama art›ﬂ h›z› birbirinden farkl›d›r. Do¤al olarak, bu noktalardaki anl›k
h›zlar›n da farkl› olmas› beklenir. ‹ﬂte toplam maliyet fonksiyonunun bir x0 noktas›ndaki anl›k (de¤iﬂim) h›z›na, di¤er bir deyiﬂle x0 noktas›ndaki türevine, bu
mal›n x0 noktas›ndaki marjinal maliyeti denir.
Marjinal maliyet, x0 apsisli noktadaki te¤etin e¤imi oldu¤undan (x0 + 1) inci mal›n yaklaﬂ›k maliyetini ifade eder. Bu durumu aﬂa¤›daki ﬂekilden aç›kça
görebiliriz.
y
E
P
I
A
x0
D
Q
y = C(x)
B
x0 + 1
x
Şekil 6.15
Yukar›daki ﬂekle göre,
PA = QB = C (x 0 ) , (x 0 birim mal›n maliyeti)
DB = C (x 0 + 1) , (x 0 + 1 birim mal›n maliyeti)
DQ = DB - QB = C (x 0 + 1) - C ( x 0 ) , (( x 0 + 1) - inci mal›n maliyeti)
QP = (x 0 + 1) - x 0 = 1
EQ = C ' (x 0 ) , (x 0 noktas›ndaki marjinal maliyet)
C ' (x 0 ) = EQ @ DQ = C (x 0 + 1) - C (x 0 )
ÖRNEK 19
ÇÖZÜM
C (x ) = 0,2x + 10 x + 1000 , 0 ≤ x ≤ 100 toplam maliyet fonksiyonunun
x = 16 ve x = 49 noktalar›nda marjinal maliyetini bulal›m.
Marjinal maliyet, toplam maliyet fonksiyonunun türevi oldu¤undan C ' (16) ve
C ' (49) de¤erlerini bulmam›z gerekiyor.
C ' (x ) = 0,2 + 10 = 0,2 + 5
x
2 x
C ' (16) = 0,2 + 5 = 0,2 + 5 = 1,45
4
16
C ' (49) = 0,2 + 5 = 0,2 + 5 = 0,91
7
49
Yüksek Mertebeden Türevler
139
Gördü¤ünüz gibi C ' (16) de¤eri yukar›da buldu¤unuz 17 -inci mal›n maliyetine, C ' (49) de¤eri de 50 'inci mal›n maliyetine yak›n bir de¤erdir. Bu nedenle
C ' (16) @ 17 ' inci mal›n maliyeti
C ' (49) @ 50 ' inci mal›n maliyeti
diyebiliriz.
Bir mal›n gelir fonksiyonunun bir noktadaki türevine, bu mal›n bu noktadaki
marjinal geliri denir. Bir x 0 noktas›ndaki marjinal gelir de (x 0 + 1) -inci mal›n
sat›ﬂ›ndan elde edilen gelirin bir yaklaﬂ›k de¤erini ifade eder.
ÖRNEK 20
Bir mal›n gelir fonksiyonu x mal miktar›, R (x) Milyon TL olmak üzere
2
, 0 ≤ x ≤ 5000
R (x ) = 13x - x
800
dir. Bu mal›n x = 1000 noktas›ndaki marjinal gelirini bulal›m.
ÇÖZÜM
R ' (x ) = 13 - x
400
R ' (1000) = 13 - 1000 = 10,5
400
dir.
YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER
f : [a, b ] Æ R fonksiyonu [a, b ] üzerinde türevlenebilirse, [a, b ] aral›¤› üzerinde tan›mlanan ve her x Œ [a, b ] say›s›n› f fonksiyonunun x noktas›ndaki
türevine gönderen fonksiyona f nin türev fonksiyonu denir ve f ' ile gösterilir.
Buna göre,
f ' : [a, b ] Æ R , x Æ f ' (x)
dir.
E¤er f ' fonksiyonunun bir x 0 Œ [a, b ] noktas›nda türevi varsa, bu türeve f
fonksiyonunun x 0 noktas›nda ikinci mertebeden türevi denir ve
f '' (x 0 )
,
d 2y
dx
2
,
x = x0
d 2 f (x 0)
dx 2
biçiminde gösterilir.
f fonksiyonunun her x Œ [a, b ] noktas›nda ikinci mertebeden türevi varsa,
f " : [a , b ] Æ R , x Æ f " (x )
fonksiyonuna f nin ikinci mertebeden türev fonksiyonu denir. f " fonksiyonunun
bir x 0 Œ [a, b ] noktas›ndaki türevine f fonksiyonunun x 0 noktas›ndaki üçüncü mertebeden türevi denir ve
Yüksek Mertebeden Türevler
140
f ''' (x 0 )
d 3 f (x 0)
,
d 3y
,
dx 3
dx
3
x = x0
biçiminde gösterilir.
Bu ﬂekilde devam ederek n Œ N olmak üzere f fonksiyonunun n -inci mertebeden türevi tan›mlanabilir. f fonksiyonunun bir x 0 noktas›ndaki n -inci mertebeden türevi
n
f
x0
d n f (x 0)
dx n
,
d ny
dx n x = x0
,
biçiminde gösterilir.
ÖRNEK 21
ÇÖZÜM
f : R Æ R , f (x ) = 1 x 4 - 5x 3 + 6x - 4 ise f v› (x) = ?
2
ÖRNEK 22
f ' (x) = 2x 3 - 15x 2 + 6
f
f '' (x) = 6x 2 - 30x
f v (x) = 0
f ''' (x) = 12x - 30
f
ÇÖZÜM
1
f : R \ {0} Æ R , f (x ) = x
f (x ) = 1 = x -1
x
›v
v›
(x) = 12
(x) = 0
ise f ›v (x) = ?
oldu¤undan
f ' (x ) = - x -2 = - 1
x2
f '' (x ) = 2x -3 = 23
x
f ''' (x ) = -6x -4 = -6
x4
f
›v (x )
= 24x -5 = 245
x
olur.
SIRA S‹ZDE 5
1. f (x ) = x
ise
f ''' (x ) = ?
2. g (x ) = x 4 - 5x + 6
3. h (x ) =
3
x
ise
g (6)(x ) = ?
ise h''' (8) = ?
2x + 1 ise k (1) = ?
4. k (x ) =
''
x+ 2
Kendimizi S›nayal›m
Kendimizi S›nayal›m
1. f (x) = x 2 - 3x fonksiyonun [-1, 3] aral›¤›ndaki ortalama h›z› nedir?
a. -1
b. 0
c. 1
2
d. 1
e. 2
2. f (x ) = x
d.
621
4
a.
b.
c.
d.
e.
a. 1
5
1- x
3
d. 5
2
ise f ' (4)
de¤eri kaçt›r?
e. 5
7. f (x ) = x a. 11
192
4
3
ise f ' (64) de¤eri kaçt›r?
x
b. 13
192
c. 7
48
e. 162
3. f (x ) =
3x 2 - 7x + 1 ise f ' (2) de¤eri kaçt›r?
c. 1
b. - 27
4
27
4
5
b. 2
5
a. - 243
4
c.
6. f (x ) =
141
x
1-x
2
ise
f '' (2) de¤eri kaçt›r?
-4
-2
2
4
10
x 2 + 3x - 6
4. f (x ) =
ise f ' (x) fonksiyonu aﬂa¤›dakix
lerden hangisidir?
a. 3 x - 3 - 6
2
2 x
b. 3 x - 3 - 6
2
2 x x x
2
c. 3x + 3x + 6
2x x
d. 2x + 3 2 x
e. 2x + 3
x
d. 7
16
e. 7
12
8. f (x ) =
3
x
e¤risinin x = 8 noktas›ndaki te¤etinin
denklemi aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
a. 12y - x = 16
b. y - 12x = 16
c. 3x - 4y = 16
d. 3y - x = -2
e. 12y - x = 94
9. f (x ) = 1
ise f ''' (2) türev de¤eri kaçt›r?
1-x
a.
b.
c.
d.
e.
-6
-2
2
4
6
10. x mal miktar› olmak üzere, bir mal›n milyon TL
cinsinden toplam maliyet fonksiyonu,
5. f (x) = (2x - 1)6 (5x - 7) fonksiyonu için f ' (0) de¤eri
kaçt›r?
C (x ) = 25x + 240 x + 5000
a. 89
dir. Buna göre 37. mal›n yaklaﬂ›k maliyeti kaç milyon
b. 60
TL'dir?
a.
b.
c.
d.
e.
c. 47
d. -47
e. -60
43
45
5000
7340
7384
142
Biraz Daha Düﬂünelim
11. x mal miktar› olmak üzere, bir mal›n milyon TL
cinsinden gelir fonksiyonu,
2
R (x ) = 18x - x
1000
verilsin. Buna göre, x = 2500 noktas›nda marjinal gelir
kaçt›r?
a. 13
b. 12
c. 11
d. 10
e. 5
Biraz Daha Düﬂünelim
1. f (x ) = x x + 6
3x - 1
2. g (x ) =
4
ise
3x 2 - 7x - 4
3. h ( x ) = x + x
ise
f ' (1) de¤eri kaçt›r?
ise
g ' (4) de¤eri kaçt›r?
h' (2) de¤eri kaçt›r?
Gottfried Wilhelm Von Leibniz
(1646 - 1716)
Diferansiyel ve integral hesab›n kurucular›ndan biri olan ünlü matematikçi, ayn› zamanda
hukuk, siyaset, tarih, mant›k gibi bir çok alanda düﬂünce üreten evrensel deha.
"Bende o kadar fikir var ki, ﬂayet benden daha
iyi görmesini bilenler bir gün onlar› derinleﬂtirecek ve benim zihin eme¤ime kendi kafalar›n›n güzelli¤ini katacak olurlarsa, sonralar› belki bir iﬂe yarayabilir."
G. LEIBNIZ
"Do¤an›n bütün olaylar› birkaç de¤iﬂmeyen
kanunun matematik sonuçlar›d›r."
P. S. LAPLACE
7
Türev Uygulamalar›
Amaçlar
Bu üniteyi çal›ﬂt›ktan sonra;
fonksiyonlar›n artan ve azalan oldu¤u aral›klar› bularak gelirin veya
kâr›n yükseldi¤i veya düﬂtü¤ü aral›klar› belirleyecek,
fonksiyonun belirli bölgedeki en büyük ve en küçük de¤erlerini bulabilecek,
fonksiyonun grafi¤inin yükseliﬂ biçimini belirleyebilecek,
fonksiyonun resmini, yani grafi¤ini, çizecek,
en düﬂük maliyet, en yüksek kâr elde etmek gibi minimum ve maksimum
problemlerini çözebileceksiniz.
144
Türev Uygulamalar›
‹çindekiler
•
•
•
•
•
•
Giriﬂ
Artan ve Azalan Fonksiyonlar
Yerel Maksimum ve Yerel Minimum
Bükeylik
Grafik Çizimi
Maksimum ve Minimum Problemleri
• Türev konusunu gözden geçiriniz.
• Birinci ve ikinci mertebelerden türevlerin iﬂaretlerinin önemine dikkat
ediniz, bu amaçla denklem çözümü ve fonksiyonun iﬂaretinin nas›l incelendi¤ini iyi ö¤reniniz.
• Fonksiyonun grafi¤ine bakarak fonksiyonun davran›ﬂ›n› anlamaya
çal›ﬂ›n›z.
Giriﬂ
Bu ünitede, türevin gerek matematik ve gerekse uygulamal› bilimler aç›s›ndan
önemli baz› uygulamalar›n› inceleyece¤iz. Bu amaçla baz› matematiksel kavramlar› aç›klamadan önce ﬂöyle bir problemi ele alal›m:
Bir mal›n kâr fonksiyonu, x mal miktar› olmak üzere
0 ≤ x ≤ 200
K(x) = - 2x2 + 496x - 1400 ,
olsun. ﬁimdi baz› üretim - sat›ﬂ miktarlar›ndan elde edilecek kârlar› bulal›m.
K(110) = 28960 ,
K(120) = 29320
K(130) = 29280 ,
K(150) = 28000
Dikkat ederseniz sat›lan mal miktar› 110 birimden 120 birime ç›kt›¤›nda kâr
artarken, sat›lan mal miktar› 120' den 130' a ve devam ederek 150' ye ç›kt›¤›nda
elde edilen kâr azalmaktad›r. Bu gözleme göre ﬂu sorular akla gelmektedir.
• Hangi sat›ﬂ miktarlar›nda sat›ﬂ artt›kça kâr artmaktad›r?
• En yüksek kâr hangi sat›ﬂ miktar›nda sa¤lanabilir?
Bu ünitede bu ve benzeri sorulara cevap verebilmeye olanak sa¤layacak matematiksel kavramlar› inceleyece¤iz.
Artan ve Azalan Fonksiyonlar
ARTAN VE AZALAN FONKS‹YONLAR
f : A Æ R fonksiyonu verilsin. E¤er her x1 , x2 Œ A ve x1 < x2 için f (x1) ≤ f (x2)
oluyorsa, f fonksiyonuna monoton artan (veya azalmayan), x1 < x2 için
f (x1) < f (x2) oluyorsa kesin artan fonksiyon denir.
y
y
f (x2)
f (x2)
f (x1)
x1
x2
x
f (x1)
x1
Monoton artan fonksiyon
x2
x
Şekil 7.1
y
y
f (x2)
f (x2)
f (x1)
x1
x2
x1
x
x2
x
f (x1)
Kesin artan fonksiyon
Şekil 7.2
Monoton artan (veya kesin artan) fonksiyonun grafi¤ine dikkatli bakt›¤›m›zda,
koordinat sisteminde sa¤a do¤ru ilerlerken grafi¤in yükseldi¤ini veya ayn› yükseklikte kald›¤›n› ancak hiçbir zaman düﬂmedi¤ini görürüz.
Benzer ﬂekilde, her x1 , x2 Œ A ve x1 < x2 için f (x1) ≥ f (x2) ise f
fonksiyonuna monoton azalan (veya artmayan) fonksiyon, x1 < x2 için
f (x1) > f (x2) ise f fonksiyonuna kesin azalan fonksiyon denir.
y
y
f (x1)
f (x1)
x1
x2
f (x2)
x
f (x2)
x1
Monoton azalan fonksiyon
x2
x
Şekil 7.3
145
Artan ve Azalan Fonksiyonlar
146
y
y
f (x1)
f (x2)
f (x1)
f (x2)
x1
x1
x2
x2
x
x
Kesin azalan fonksiyon
Şekil 7.4
Monoton azalan (veya kesin azalan) fonksiyonun grafi¤inin de, sa¤a do¤ru
ilerledikçe yükselmedi¤ini görürüz.
Türevlenebilir bir fonksiyonun artan veya azalan olmas›yla türevinin iﬂareti
aras›nda yak›n bir iliﬂki vard›r.
f : [a, b] Æ R
fonksiyonu sürekli ve her x Œ (a, b) için türevi olan bir fonksiyon olsun.
a) E¤er her x Œ (a, b) için f ' (x) ≤ 0 ise f fonksiyonu monoton azalan,
f ' (x) < 0 ise kesin azalan fonksiyondur.
b) E¤er her x Œ (a, b) için f ' (x) ≥ 0 ise f fonksiyonu monoton artan,
f ' (x) > 0 ise kesin artan fonksiyondur.
Bir aral›kta monoton artan veya kesin artan olan fonksiyona k›saca artan fonksiyon, benzer ﬂekilde monoton azalan veya kesin azalan fonksiyona da azalan
fonksiyon diyece¤iz.
Buna göre, bir aral›k üzerinde türevlenebilen bir fonksiyonun türevinin iﬂaretine bakarak fonksiyonun bu aral›k üzerinde artan veya azalan olup olmad›¤›na
karar verebiliriz.
ÖRNEK 1
ÇÖZÜM
f : R Æ R , f (x) = x2
fonksiyonunun artan ve azalan oldu¤u aral›klar› bulal›m.
Bir fonksiyonun bir aral›kta türevi
pozitif ise fonksiyon artan, türevi
negatif ise fonksiyon bu aral›kta
azaland›r. Ancak bunun karﬂ›t›
do¤ru de¤ildir. Yani,
Bir fonksiyon bir aral›kta kesin
artan ise bu aral›kta türevi
daima pozitiftir, kesin azalan ise
türevi daima negatiftir diyemeyiz.
Örne¤in f(x) = x3 fonksiyonu
kesin artand›r ancak x = 0 da
türevi s›f›rd›r.
f (x) = x2 fonksiyonu her noktada türevlenebilen bir fonksiyon oldu¤undan, bu
fonksiyonun türevinin iﬂaretini incelememiz yeterlidir.
f ' (x) = 2x
oldu¤undan x > 0 ise f ' (x) > 0 d›r, dolay›s›yla (0, •) aral›¤›nda fonksiyon
artand›r, x < 0 ise f ' (x) < 0 d›r, dolay›s›yla (- •, 0) aral›¤›nda fonksiyon
azaland›r.
Bu bilgileri bir tablo ile aﬂa¤›daki biçimde gösterebiliriz.
x
f'
-∞
∞
0
-
0
+
f
Tablodan görüldü¤ü gibi fonksiyon (- •, 0) aral›¤›nda kesin azalan,
l›¤›nda kesin artand›r.
(0, •) ara-
Artan ve Azalan Fonksiyonlar
147
ÖRNEK 2
f : R Æ R f (x ) = 1 x 3 - 3x 2 + 8x - 7
3
fonksiyonunun artan ve azalan oldu¤u aral›klar› bulunuz.
ÇÖZÜM
f (x ) = 1 x 3 - 3x 2 + 8x - 7
3
f ' (x ) = x 2 - 6x + 8
türevin iﬂaretini incelemek için köklerini bulal›m.
x2 - 6x + 8 = 0 denkleminin kökleri x1 = 2 , x2 = 4 dür.
x
-∞
f'
2
+
0
∞
4
-
0
+
f
x Œ (- •, 2) için f ' (x) > 0 ve x Œ (4, •) için f ' (x) > 0 oldu¤undan
(- •, 2) ve (4, •) aral›klar›nda fonksiyon artan, x Œ (2, 4) için
f ' (x) < 0 oldu¤undan (2, 4) aral›¤›nda fonksiyon azaland›r.
SIRA S‹ZDE 1
f : R Æ R , f (x) = x3 - 3x2 - 9x + 6
fonksiyonunun artan ve azalan oldu¤u aral›klar› bulunuz.
ﬁimdi ünite giriﬂinde ele ald›¤›m›z problemin çözümünü görelim.
ÖRNEK 3
Bir mal›n toplam maliyet fonksiyonu, x mal miktar›, C(x) Milyon TL olmak üzere,
C(x) = 0,5x2 + 4x + 1400 , 0 ≤ x ≤ 200
toplam gelir fonksiyonu, R(x) Milyon TL olmak üzere,
R(x) = 500x - 1,5x2 , 0 ≤ x ≤ 200
d›r.
Kâr›n artan ve azalan oldu¤u üretim sat›ﬂ aral›klar›n› bulunuz.
- 4x + 496 = 0
x = 4 96 = 124
4
x
K'
K
0
124
+
0
200
-
ÇÖZÜM
Kâr, gelir ile maliyetin fark› oldu¤undan K kâr fonksiyonu,
K (x) = 500x - 1,5x2 - (0,5x2 + 4x + 1400)
= -2x2 + 496x - 1400
olur.
K fonksiyonunun türevinin iﬂaretini incelememiz gerekiyor.
K' (x ) = - 4x + 4 96
Yerel Maksimum ve Yerel Minimum
148
Bu durumda (0, 124) aral›¤›nda kâr artmakta, (124, 200) aral›¤›nda ise
azalmaktad›r.
Bunun anlam›, üretilip sat›lan mal miktar› 124 birime kadar artt›kça kâr da artacakt›r. Ancak 124 birimden sonra üretilip sat›lan mal miktar› artt›kça kâr miktar›
azalacakt›r. Örne¤in,
K (100) = 28200 ,
K (130) = 29280 ,
K (101) = 28294 ,
K (150) = 28000 ,
K (124) = 29352
K (151) = 27894
dir. Bu say›lardan da gördü¤ümüz gibi 101 birim mal›n sat›ﬂ›ndan elde edilen kâr
100 birim mal›n sat›ﬂ›ndan elde edilen kârdan fazla iken 151 birim mal›n sat›ﬂ›ndan elde edilen kâr 150 birim mal›n sat›ﬂ›ndan elde edilen kârdan daha azd›r. O
zaman, ne kadar mal üretilip sat›l›rsa kâr en yüksek olur, sorusu akla
gelmektedir.
Bu soruya cevap verebilmek için maksimum ve minimum kavramlar›n› bilmemiz
gerekmektedir.
YEREL MAKS‹MUM VE YEREL M‹N‹MUM
f : A Æ R fonksiyonu verilsin ve x0 Œ A için x0 noktas›n› içeren uygun bir
aral›k I ( I Ã A) olsun.
i) E¤er her x Œ I için f (x) ≤ f (x0) oluyorsa, x0 noktas›na f fonksiyonunun bir yerel maksimum noktas›, f (x0) say›s›na da bir yerel maksimum de¤eri denir.
ﬁekil 7.5'de iki fonksiyonun yerel maksimum noktalar› gösterilmiﬂtir.
y
y
f (x0)
f (x)
(
(
x0
x
)
x0
)
(
x1
)
(
x2
)
x
x
Şekil 7.5
ii) E¤er her x Œ I için f (x0) ≤ f (x) oluyorsa, x0 noktas›na f fonksiyonunun bir yerel minimum noktas›, f (x0) say›s›na da bir yerel
minimum de¤eri denir.
Yerel Maksimum ve Yerel Minimum
149
ﬁekil 7.6 'da iki fonksiyonun baz› yerel minimum noktalar› gösterilmiﬂtir.
y
y
f (x)
f (x0)
(
x0 x
)
x
x1
)
(
x2
)
(
x3
)
x
Şekil 7.6
Yerel maksimum ve yerel minimum kavramlar› bir noktan›n civar›ndaki fonksiyon de¤erlerinin davran›ﬂ› ile ilgili kavramlard›r. Yerel maksimum noktas›ndaki
fonksiyon de¤eri o noktaya yak›n noktalardaki fonksiyon de¤erlerinden daima
büyük, yerel minimum noktas›ndaki fonksiyon de¤eri de o noktaya yak›n noktalardaki fonksiyon de¤erlerinden daima küçüktür.
Bir fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum noktalar›na fonksiyonun
ekstremum noktalar› denir.
f : [a, b] Æ R fonksiyonu sürekli ve
y
her x Œ (a, b) için türevi olan bir fonksiyon olsun. E¤er bir x0 Œ (a, b) noktas›
f fonksiyonunun bir yerel ekstremum
noktas› ise f ' (x0) = 0 d›r.
Yandaki ﬁekil 7.7'de görüldü¤ü gibi bir
fonksiyonun bir ekstremum noktas›nda türevi
varsa bu noktada türev s›f›rd›r, dolay›s›yla bu
noktada yatay te¤et vard›r.
Ancak türevi olan bir fonksiyonun bir
noktada türevinin s›f›r olmas›, bu noktan›n bir
yerel ekstremum noktas› olmas› için yeterli
y
de¤ildir.
Örne¤in y = x3 fonksiyonunun x = 0
noktas›nda türevi s›f›r olmas›na karﬂ›l›k bu
nokta bir yerel ekstremum noktas› de¤ildir
(ﬁekil 7.8).
Bu nedenle türevi olan bir f fonksiyonu
için f ' (x) = 0 koﬂulunu sa¤layan noktalar
ekstremum noktas› olmaya aday noktalard›r.
Böyle noktalara f fonksiyonunun kritik
noktalar› diyoruz.
f : [a, b] Æ R fonksiyonu
sürekli ve her x Œ (a, b) için
türevi olan bir fonksiyon olsun.
E¤er bir x0 Œ (a, b) noktas› f
fonksiyonunun bir yerel
ekstremum noktas› ise f ' (x0) = 0
d›r.
x
Şekil 7.7
y = x3
x
Şekil 7.8
Yerel Maksimum ve Yerel Minimum
150
f : R Æ R , f (x) = x3 - 16x2 + 20x - 5
fonksiyonunun kritik noktalar›n› bulunuz.
ÇÖZÜM
ÖRNEK 4
f fonksiyonu 3. dereceden polinom fonksiyon oldu¤undan her noktada türevi
vard›r. Buna göre, f nin kritik noktalar› türevi s›f›r yapan noktalar oldu¤undan
f ' (x) = 3x2 - 32x + 20 = 0
x 1 = 2 , x 2 = 10
3
bulunur. O halde f nin kritik noktalar› 2 ve 10 dur.
3
Bir aral›k üzerinde tan›ml› sürekli bir fonksiyonun ekstremum noktalar›n› bulmak
için izlenecek iki yöntem verece¤iz.
Birinci Türev Testi
Fonksiyonun sürekli olup türevinin
iﬂaret de¤iﬂtirdi¤i noktalar
ekstremum noktalar›d›r. Bu
noktalar›n yerel maksimum veya
yerel minimum noktas› olduklar›na
türevin iﬂareti incelenerek karar
verilir.
Bir fonksiyonun ekstremum noktalar›n› bulmak için fonksiyonun öncelikle türevi
ve türevin kökleri, yani kritik noktalar›, bulunur. Daha sonra varsa fonksiyonun
türevinin olmad›¤› noktalar da belirlenip türevin iﬂareti incelenir.
Fonksiyonun sürekli olup türevinin iﬂaret de¤iﬂtirdi¤i noktalar ekstremum noktalar›d›r. Bu noktalar›n yerel maksimum veya yerel minimum noktas› olduklar›na
ﬂöyle karar verilir.
a) Sürekli fonksiyonun artanl›ktan azalanl›¤a geçti¤i, di¤er bir deyiﬂle türevin iﬂaretinin (+) dan (-) ye geçti¤i nokta yerel maksimum noktas›d›r.
x
f'
+
0
x0
x
x0
f'
-
+
-
f sürekli, f '(x0) yok
x0 yerel maksimum noktas›
f '(x0) = 0
x0 yerel maksimum noktas›
y
y
f '(x) < 0
f'
(x
)
f'
(x
>
)>
0
0
f '(x) < 0
x0
x
f '(x0) = 0
f '(x0) yok
x0
x
Şekil 7.9
b) Sürekli fonksiyonun azalanl›ktan artanl›¤a geçti¤i nokta yani türevin iﬂaretinin
(-) den (+) ya de¤iﬂti¤i nokta yerel minimum noktas›d›r.
f'
-
0
x0
x
x0
x
+
f ' (x0) = 0
x0 yerel minimum noktas›
f'
-
+
f sürekli, f ' (x0) yok
x0 yerel minimum noktas›
Yerel Maksimum ve Yerel Minimum
y
151
f '(x) < 0
y
f '(x) < 0
f '(x) > 0
f '(x) > 0
x
x0
f '(x0) yok
x0
f '(x0) = 0
x
Şekil 7.10
Türevin iﬂaret de¤iﬂtirmedi¤i nokta yerel ekstremum noktas› de¤ildir.
f'
+
x0
x
x0
x
f'
+
0
-
-
0
x0 yerel ekstremum
x0 yerel ekstremum
noktas› de¤ildir
noktas› de¤ildir
y
y
f '(x0) = 0
x)
f '(
f
0
f '(x) < 0
x0
>
'(x)
>
x
f '(x0) = 0
0
x0
f '(x0) < 0
x
Şekil 7.11
ÖRNEK 5
f (x ) = 1 x5 - 1 x 4 - x 3 + 6
5
2
fonksiyonunun ekstremum noktalar›n› bulal›m.
x
-∞
-1
f'
+
0
f
3
0
-
0
-
0
∞
+
ÇÖZÜM
f ' (x) = x4 - 2x3 - 3x2
x4 - 2x3 - 3x2 = 0
x2 (x2 - 2x - 3) = 0
x2 (x + 1) (x - 3) = 0 , x1,2 = 0, x3 = -1, x4 = 3
ﬁimdi de türevin iﬂaretini inceleyelim.
Yerel Maksimum ve Yerel Minimum
152
x = -1, türev (+) dan (-) ye iﬂaret de¤iﬂtirdi¤i için yerel maksimum noktas›d›r.
x = 0 türevin kökü olmas›na karﬂ›l›k bu noktada türev iﬂaret de¤iﬂtirmedi¤i için
bu nokta yerel ekstremum noktas› de¤ildir.
x = 3, türev (-) den (+) ya iﬂaret de¤iﬂtirdi¤i için yerel minimum noktas›d›r.
f '' (x0) = 0 olmas› durumunda
ikinci türev testi ile karar verilemez.
Bu durumda birinci türev testini
uygulay›n›z.
ÖRNEK 6
‹kinci Türev Testi
f : (a, b) Æ R ikinci mertebeden sürekli türevi olan bir fonksiyon ve
x0 Œ (a, b) bu fonksiyonun bir kritik noktas› (f ' (x0) = 0) olsun.
a) E¤er f '' (x0) > 0 ise x0 noktas› f fonksiyonunun bir yerel minimum
noktas›d›r.
b) E¤er f '' (x0) < 0 ise x0 noktas› f fonksiyonunun bir yerel maksimum
noktas›d›r.
ÇÖZÜM
f (x) = x4 - 4x3 + 4x2 - 7
fonksiyonunun ekstremum noktalar› bulal›m.
ÖRNEK 7
f fonksiyonunun her noktada türevi oldu¤undan ekstremum noktalar› sadece
türevin s›f›r oldu¤u noktalarda olabilir.
f ' (x) = 4x3 - 12x2 + 8x
4x3 - 12x2 + 8x = 0
4x (x2 - 3x +2) = 0 , x1 = 0 , x2 = 1, x3 = 2
0, 1 ve 2 bu fonksiyonun kritik noktalar›d›r.
f '' (x) = 12x2 - 24x + 8
f '' (0) = 8 > 0 oldu¤undan x = 0 yerel minimum noktas›d›r.
f '' (1) = 12 - 24 + 8 = - 4 < 0
oldu¤undan x = 1 yerel maksimum noktas›d›r.
f '' (2) = 12.22 - 24 . 2+ 8= 8 > 0
oldu¤undan x = 2 yerel minimum noktas›d›r.
f x =
x
x 2+1
ÇÖZÜM
fonksiyonunun ekstremum noktalar›n› araﬂt›ral›m.
2
. x 2 + 1 - 2 x. x
f ' (x ) = 1
= 1- x
2
2
x2 + 1
x2 + 1
=
1 - x2
x2 + 1
f '' (x ) =
2
= 0 ise x = -1 , x = 1
2
- 2 x . x 2 + 1 - 2 x 2 + 1 .2 x 1-x 2
x2 + 1
4
3
3
3
= -2x - 2x - 4x + 4x = 2x - 6x
3
3
x2 + 1
x2 + 1
f '' -1 = -2 + 6 = 4 = 1 > 0
8 2
23
=
- 2 x . x 2 + 1 - 4x 1-x 2
x2 + 1
3
Yerel Maksimum ve Yerel Minimum
153
oldu¤undan x = -1 yerel minimum noktas›,
f '' (1) = 2 - 6 = -1 < 0
3
2
2
oldu¤undan x = 1 yerel maksimum noktas›d›r.
ÖRNEK 8
f (x ) = x - 10 x + 100
fonksiyonunun yerel ekstremum noktalar›n› araﬂt›ral›m.
ÇÖZÜM
f ' (x ) = 1 - 5 = x - 5 = x - 5 = 0, x = 25
x
x
x
x
0
f'
-
25
∞
0
+
f
Tablodan görüldü¤ü gibi x = 25 yerel minimum noktas›d›r. f (25) = 75 fonksiyonun yerel minimum de¤eridir.
Bir mal›n, x mal
cinsinden,
miktar›
türünden
kâr
fonksiyonu,
milyon
ÖRNEK 9
TL
2
K (x) = - x + 4x - 2250, 0 ≤ x ≤ 3000
750
dir. Maksimum kâr›n elde edildi¤i mal miktar›n› bulal›m.
K ' (x ) = - x + 4, - x + 4 = 0, x = 1500
375
375
x
K'
K
0
+
1500
3000
0
-
750
Bu üründen 1500 birim üretilip sat›ld›¤›nda maksimum kâr olarak 750 milyon TL
elde edilir.
K (1000) @ 416,7 , K (2000) = 416,7 , K (3000) @ -2250
Dikkat ederseniz 3000 birim mal üretilip sat›ld›¤›nda 2250 milyon TL , zarar
edilir.
ÇÖZÜM
2
K (x ) = - x + 4x - 2250, 0 ≤ x ≤ 3000
750
Bükeylik
154
SIRA S‹ZDE 2
f (x) = ax2 + bx + c parabolünün tepe noktas›n›n apsisi nedir?
2. g x = x - 2x + 9 fonksiyonunun maksimum noktas›n›n apsisi kaçt›r?
x2 + 40x - 3000 kâr fonksiyonunun maksimum noktas›n› bulunuz.
3. k x = 100
4. h x = x + 9 + 5 fonksiyonunun minimum noktas›n› bulunuz.
x
1.
BÜKEYL‹K
y
a
Aﬂa¤›da [a, b] aral›¤› üzerinde tan›ml› bir f fonksiyonunun grafi¤i verilmiﬂtir. Bu
grafi¤in (a, c) aral›¤› üzerindeki parças›nda herhangi bir kiriﬂ grafi¤in üstünde kal›rken, grafi¤in (c, b) parças› üzerindeki herhangi bir kiriﬂ grafi¤in alt›nda kalmaktad›r. Bu iki durumu bükeylik kavram› ile birbirinden ay›rmaktay›z.
f : [a, b] Æ R fonksiyonu sürekli türevi olan
bir fonksiyon olsun. E¤er fonksiyonun grafi¤i
üzerinde al›nan herhangi iki noktay› birleﬂtiren
kiriﬂ daima grafi¤in üzerinde kal›yorsa, f fonksiyonuna yukar› bükey veya konveks fonksiyon,
e¤er kiriﬂ daima grafi¤in alt›nda kal›yorsa f fonksiyonuna aﬂa¤› bükey veya konkav fonksiyon
b
denir.
c
x
ﬁekil 7. 12 deki f fonksiyonu (a, c) aral›¤›nda yukar› bükey, (c, b) aral›¤›nda aﬂa¤› büŞekil 7.12
keydir.
y
y
a
b
a
x
b
x
Yukar› bükey (konveks) fonksiyon
Şekil 7.13
y
y
a
b
x
a
Aﬂa¤› bükey (konkav) fonksiyon
b
Şekil 7.14
x
Bükeylik
155
Bir fonksiyonun bükeyli¤inin de¤iﬂti¤i noktaya büküm noktas› denir.
y
y
y
f ''(x) > 0
f ''(x) < 0
f ''(x) > 0
f ''(x) < 0
x0
f ''(x0) = 0
x0
f ''(x0) yok
x
x
f ''(x0) = 0
x0
x
f ''(x) < 0
f ''(x) > 0
Şekil 7.15
f : [a, b] Æ R fonksiyonu ikinci mertebeden sürekli türevi olan bir fonksiyon
olmak üzere,
a) Her x Œ (a, b) için f '' (x) > 0 ise f fonksiyonu [a, b] aral›¤›nda yukar›
bükeydir,
b) Her x Œ (a, b) için f '' (x) < 0 ise f fonksiyon [a, b] aral›¤›nda aﬂa¤› bükeydir.
Buna göre bir fonksiyonun yukar› bükey ve aﬂa¤› bükey oldu¤u aral›klar› bulmak için ikinci türevinin iﬂaretini incelemek yeterlidir.
Sürekli bir fonksiyonun ikinci mertebeden türevinin iﬂaret de¤iﬂtirdi¤i bir nokta da fonksiyonun büküm noktas›d›r.
ÖRNEK 10
f (x) = x4 - 24x2 + x + 1
fonksiyonunun yukar› bükey ve aﬂa¤› bükey oldu¤u aral›klarla büküm
noktalar›n› bulal›m.
x
f ''
f
-∞
+
Yukar›
bükey
-2
0
∞
2
Aﬂa¤›
bükey
0
+
Yukar›
bükey
Tablodan da gördü¤ümüz gibi f fonksiyonu (- •, -2] ve [2, •) aral›klar›nda
yukar› bükey, [-2, 2] aral›¤›nda aﬂa¤› bükeydir. x = -2, x = 2 noktalar›nda
fonksiyon sürekli ve bu noktalarda ikinci mertebeden türev iﬂaret de¤iﬂtirdi¤inden
bu noktalar büküm noktas›d›r.
ÇÖZÜM
f fonksiyonunun her mertebeden türevi oldu¤u için bükeyli¤ini belirlemek için
ikinci türevinin iﬂaretini incelemek yeterlidir.
f ' (x) = 4x3 - 48x + 1
f '' (x) = 12x2 - 48
12x2 - 48 = 0, x = -2, x = 2
Grafik Çizimi
156
SIRA S‹ZDE 3
1. f (x ) = 2x + 1 + 2 fonksiyonu hangi aral›kta yukar› bükeydir?
2. g (x) =
x3
2x
+ 3x - 7 fonksiyonunun büküm noktas›n› bulunuz.
GRAF‹K Ç‹Z‹M‹
Bir fonksiyonun artan veya azalan oldu¤u aral›klar, ekstremum noktalar› gibi temel özellikleri en aç›k biçimde grafi¤inden görülebilir. Bir fonksiyonun grafi¤i
onun resmidir. Bu resim en net biçimde türev kullan›larak çekilebilir. Türev sanki foto¤raf makinas›n›n flaﬂ› gibidir. Nas›l ki flaﬂ, resmi çekilecek nesneyi ayd›nlatarak ayr›nt›lar›n kayd›n› sa¤larsa, türev de fonksiyon davran›ﬂlar›n› ayr›nt›l› bir biçimde inceleme olana¤› sa¤lar. Buraya kadar genel hatlar›yla çizdi¤imiz grafikleri, art›k daha ayr›nt›l› ve daha kolay çizebileceksiniz.
Bir fonksiyonun grafi¤i çizilirken genellikle aﬂa¤›daki ad›mlar izlenir.
i) Fonksiyonun tan›m kümesi aç›kça verilmemiﬂse öncelikle tan›m kümesi
belirlenir.
ii) Fonksiyonun tan›m kümesini oluﬂturan aral›klar›n uç noktalar›nda varsa fonksiyon de¤erleri, yoksa fonksiyonun bu noktalardaki limitleri bulunur.
iii) Birinci ve ikinci mertebeden türevler yard›m›yla fonksiyonun artan, azalan oldu¤u aral›klar, ekstremum noktalar› ve bükeyli¤i belirlenir.
iv) Grafi¤in koordinat eksenlerini kesti¤i noktalar araﬂt›r›l›r.
v) Elde edilen bilgiler bir tabloda toplan›r.
vi) Tabloya uygun grafik çizilir.
Bu ve bundan önceki ünitelerde ii-inci ad›m d›ﬂ›ndaki ad›mlarda ifade edilen
kavramlar hakk›nda bilgi edinmiﬂ bulunuyorsunuz. Biraz sonra verece¤imiz örneklerle de bu bilgilerinizi hat›rlayacaks›n›z. ﬁimdi ii-inci maddede bulunmas› gereken limitlerde karﬂ›m›za ç›kan asimptot kavram›n› aç›klayal›m.
f : (a, b) Æ R sürekli
fonksiyonu verilsin. E¤er lim + f x = • (veya - ∞)
x Æa
ise x = a do¤rusuna f fonksiyonunun düﬂey asimptotu denir. Benzer ﬂekilde
lim f x = • (veya - ∞) ise x = b do¤rusu da düﬂey asimptottur.
x Æ by
y
a
b
x
a
y
y
x
b
x
Şekil 7.16
Grafik Çizimi
y
157
y
y=b
b
c
a
x
y=c
b
x
Şekil 7.17
f : (a, ∞) Æ R sürekli fonksiyonu verilsin. E¤er lim f x = b ise y = b do¤x Æ∞
rusuna f fonksiyonunun yatay asimptotu denir.
Benzer ﬂekilde g : (- •, a) Æ R sürekli fonksiyonunda lim g x = c olux Æ-∞
yorsa, y = c do¤rusu yatay asimptottur.
Yatay asimptot, ba¤›ms›z de¤iﬂkenin yeteri kadar büyük veya negatif yönde
yeteri kadar küçük de¤erlerinde fonksiyonun sabit fonksiyon gibi davrand›¤›n›
ifade eder.
ﬁimdi yukar›daki ad›mlar› izleyerek çeﬂitli fonksiyonlar›n grafiklerini çizelim.
ÖRNEK 11
2
y = C (x ) = 2000 + 50x - x , 0 ≤ x ≤ 600
16
toplam maliyet fonksiyonunun grafi¤ini çizelim.
2
C : 0, 600 Æ R, C (x ) = 2000 + 50x - x
16
ﬂeklinde düﬂünebiliriz. Buna göre,
i) Tan›m kümesi [0,600] kapal› aral›¤›d›r.
ii) Fonksiyon x = 0 ve x = 600 de tan›ml› oldu¤undan C (0) = 2000,
C (600) = 9500
iii)
C ' (x ) = 50 - x , 50 - x = 0, x = 400, C(400) = 12000
8
8
C '' (x ) = - 1 , C '' (400) = - 1 < 0 oldu¤undan
8
8
x = 400 yerel maksimum noktas›d›r.
x
400
0
C'
+
C ''
-
C
2000
0
600
-
12000
9500
ÇÖZÜM
0 ≤ x ≤ 600 verildi¤inden bu fonksiyonu,
Grafik Çizimi
158
Fonksiyon (0, 400) aral›¤nda artan, (fonksiyon de¤erlerinin 2000 den 12000 e
artt›¤›na dikkat ediniz), (400, 600) aral›¤›nda azaland›r (bu aral›kta da 12000 den
9500 e azald›¤›na dikkat ediniz).
x = 400 yerel maksimum, C (400) = 12000 yerel maksimum (ayn› zamanda
mutlak maksimum) de¤eridir. Her x için C'' (x) < 0 oldu¤undan grafik aﬂa¤›
bükeydir.
Fonksiyonun y-eksenini kesti¤i noktalar› bulmak için x = 0 için y de¤erini bulmam›z gerekiyor. C (0) = 2000 dir. y = 0 yani C (x) = 0 denkleminin varsa kökleri de grafi¤in x eksenini kesti¤i noktalar› verecektir.
2
2000 + 50x - x = 0
16
bu denklemin kökleri olan
x 1 = 400 + 80 30 @ 838,2; x 2 = 400 - 80
30 @ -38,2
say›lar› [0,600] aral›¤›nda olmad›¤›ndan grafik x ekseninni kesmez. Fonksiyonun
tan›m kümesi yukar›daki x1, x2 say›lar›n› içeren bir aral›k olsayd› grafik x eksenini bu noktalarda kesecekti.
Bu bilgilere göre C fonksiyonunun grafi¤i aﬂa¤›daki gibi olacakt›r.
y
1200
200
400
600
Şekil 7.18
4
ÖRNEK 12
y = f (x ) = x - x 3
4
ÇÖZÜM
fonksiyonunun grafi¤ini çizelim.
Tan›m kümesi R = (-• , •) d›r.
4
lim x - x 3 = + •,
4
x Æ -•
4
lim x - x 3 = •
4
xÆ •
f ' (x) = x 3 - 3x 2
2
x 3 - 3x = 0 , x 1 = x 2 = 0, x 3 = 3,
f (0) = 0, f (3) = - 27
4
x
Grafik Çizimi
x
-∞
0
f'
-
0
3
-
∞
+
0
∞
∞
f
0
- 27
4
x = 0 da türev iﬂaret de¤iﬂtirmedi¤inden bu nokta bir yerel ekstremum noktas›
de¤ildir. x = 3 te yerel minimum vard›r.
f '' (x) = 3x2 - 6x
3x2 - 6x = 0, x = 0, x = 2
x
0
f ''
+
0
2
-
+
0
f
x = 0 ve x = 2 noktalar› büküm noktas›d›r.
x = 0 için y = 0
4
y = 0, x - x 3 = 0 ,
4
x
x3 x - 4 = 0 ,
4
0
-∞
-
0
-
f ''
+
0
-
∞
-
0
- 27
4
-4
3
+
+
+
+
0
y
2
∞
4
+
0
0
x= 4
3
2
f'
f
x= 0 ,
4
x
-27/4
Şekil 7.19
∞
159
Grafik Çizimi
160
ÖRNEK 13
2x
x -1
fonksiyonunun grafi¤ini çizelim.
ÇÖZÜM
y = f (x ) =
2
Fonksiyon, paydan›n kökleri olan -1 ve 1 de tan›ml› de¤ildir. Bu nedenle tan›m
kümesi,
R - {-1,1} = (-•, -1) » (-1, 1) » (1, •)
d›r.
2x = 0 , lim 2x = 0 , y = 0 yatay asimptottur.
lim
x Æ -∞ 2
xÆ ∞ 2
x -1
x -1
lim
2x = - ∞ ,
x2 - 1
lim
2x = - ∞ ,
-1
x Æ -1-
x -1
kök yok
x = 0 için
y=0 ,
x
-∞
f'
-
f
x Æ 1+ x 2
2(x 2 - 1) - 2x . 2x
2
2x = +∞ , x = 1
-1
lim
x Æ 1- x 2
f ' (x) =
2x = +∞ , x = -1
-1
lim
düﬂey asimptot
x Æ -1+ x 2
2
2
= -2x - 2 = 0 ,
2
x2 - 2
y=0
için
-2x 2 - 2 = 0 , x 2 = -1
x=0
1
-1
düﬂey asimptot
∞
-
-
0
-∞ +∞
-∞
+∞
0
y
-1
1
x
Şekil 7.20
SIRA S‹ZDE 4
1.
f (x ) = 2x + 1 + 5 fonksiyonunun düﬂey asimptotunu bulunuz.
2x
2.
g (x ) = 3x - 5 fonksiyonunun yatay asimptotunu bulunuz.
1 - 2x
Grafik Çizimi
161
Maksimum ve Minimum Problemleri
Bir iﬂletmeci hangi üretim düzeyinde ortalama maliyetin en düﬂük, hangi üretimsat›ﬂ miktar›nda en yüksek kâr elde edece¤ini bilmek ister. Bu de¤erleri yaﬂayarak de¤il hesaplayarak bilmek zorundad›r. Yaﬂayarak ö¤renmek isteyenlerin büyük olas›l›kla ikinci bir ﬂans› olmayacakt›r. En küçük veya en büyük de¤eri bulma problemlerinde en büyük yard›mc›m›z türev kavram›d›r. Bu kesimde bununla
ilgili problemlere iki örnek verece¤iz.
ÖRNEK 14
Kare prizma biçiminde 800 cm3 lük kapal› bir kutu yap›lacakt›r. Kutunun alt ve
üst tabanlar›n›n birim maliyeti yan yüzlerinin birim maliyetinin 2 kat› oldu¤una
göre, en ucuza malolacak kutunun boyutlar›n› bulunuz.
Kutunun hacmi
: V = x2 y dir.
Taban alanlar›
: x2 + x2 = 2x2
y
Yanal yüz alanlar› : 4xy
Toplam alan
: 2x2 + 4xy
x
dir.
x
Yan yüzün birim maliyetine 1 dersek, tabanlar›n birim maliyeti 2 olur.
Bu durumda
C = 2x2 . 2 + 4xy .1 = 4x2 + 4xy
olur. Dikkat ederseniz maliyet x ve y de¤iﬂkenlerine ba¤l›d›r. Burada hacimden yararlanarak y yi x türünden ifade edebiliriz.
V = x 2y = 800 oldu¤undan y = 800
x2
C (x) = 4x 2 + 4x . 800 = 4x 2 + 3200
x
x2
bulunur.
ﬁimdi C fonksiyonunun minimum noktas›n› bulmal›y›z.
3
C ' (x) = 8x - 3200 = 8x - 3200
x2
x2
8x 3 - 3200 = 0 , 8 (x 3 - 400) = 0
x2
x=
Buradan
x
C'
0
3
400 @ 7,37 cm
∞
7,37
-
0
+
C
Tablodan görüldü¤ü gibi x = 7,37 bir minimum noktas›d›r. x in bu de¤erine
karﬂ›l›k gelen y de¤erini bulal›m.
y = 800 @ 800 @ 14,74 cm
54,29
x2
Buna göre, taban kenarlar› 7,37 cm, yüksekli¤i 14,74 cm olan kutu en ucuza malolacakt›r.
ÇÖZÜM
Problemi çözmek için önce matematiksel ifadesini bulmam›z gerekir. Bunun için
kutunun taban kenar uzunluklar›na x cm, yüksekli¤ine y cm diyelim.
Grafik Çizimi
162
ÖRNEK 15
ÇÖZÜM
Bir turistik otel iﬂletmesi bir seyahat acentas›yla ﬂu ﬂekilde anlaﬂma
yapm›ﬂt›r. 150 turiste kadar kiﬂi baﬂ›na konaklama ücreti günlük 8 milyon TL, 150 kiﬂiden sonra, 150 ile 300 aras›ndaki her bir kiﬂiye karﬂ›l›k
her müﬂteriden 20.000 TL indirim yap›lacakt›r. Otelin bir kiﬂi için
masraf› 4.000.000 TL oldu¤una göre,
a) otele maksimum geliri sa¤layacak,
b) otele maksimum kâr› sa¤layacak
turist say›s›n› bulunuz.
Önce otelin gelirini ve kâr›n› matematik dille ifade etmemiz gerekiyor.
x . 8 000 000 , 0 ≤ x ≤ 150
R (x ) =
8 000 000 - (x - 150) . 20.000 x , 150 < x ≤ 300
veya
8 000 000 . x , 0 ≤ x ≤ 150
R (x ) =
-20 000x 2 + 11 000 000 x , 150 < x ≤ 300
R fonksiyonunun maksimum noktas›n› bulmak için türevini alal›m.
8 000 000 , 0 ≤ x < 150
R ' (x ) =
-40 000 x + 11 000 000 , 150 < x ≤ 300
R' (x) = 0 , - 40 000x + 11 000 000 = 0 , x = 275
x
R'
0
275
150
+
+
0
300
-
R
Buna göre gelirin en yüksek oldu¤u turist say›s› 275 tir.
b) ﬁimdi de kâr fonksiyonunu ele alal›m.
y
6,125.108
150 175
300
Şekil 7.21
x
Grafik Çizimi
163
R (x ) = R (x ) - C (x )
8 000 000 x - 4 000 000 x , 0 ≤ x ≤ 150
=
-20 000 x 2 + 11 000 000 x - 4 000 000 x , 150 ≤ x ≤ 300
4 000 000 x , 0 ≤ x ≤ 150
=
-20 000 x 2 + 7000 000 x , 150 ≤ x ≤ 300
4 000 000
K ' (x ) =
, 0 ≤ x < 150
-40 000 x + 7 000 000 , 150 < x ≤ 300
K' (x) = 0 ise x = 175
x
K'
0
175
150
+
+
0
300
-
K
Tablodan da gördü¤ünüz gibi en yüksek kâr 175 turistten elde edilmektedir. Buradan da gördü¤ünüz gibi en yüksek gelirin elde edildi¤i nokta ile en yüksek kâr›n elde edildi¤i nokta farkl› olabilmektedir.
Dairesel dik silindir biçiminde 162 p cm3 hacimli kapal› bir kutu yap›lacakt›r. Kutunun 1 cm2 nin maliyeti 5000 TL oldu¤una göre en ucuza mal olacak kutunun
maliyetini bulunuz.
SIRA S‹ZDE 5
164
Kendimizi S›nayal›m - Biraz Daha Düﬂünelim
Kendimizi S›nayal›m
x2
1. f (x) = + 1 fonksiyonu hangi aral›kta artand›r?
a. (- •, 1)
b. (- •, 0)
c. (- 1, 1)
d. (0 , •)
e. (1 , •)
x
fonksiyonu aﬂa¤›daki aral›klar›n hangix 2+ 1
sinde azaland›r?
a. (- •, 0)
b. (0, 1)
c. (- 1, •)
d. (1, •)
e. (- •, •)
3. f (x) = x 3 - 2x2 -4x + 6 fonksiyonunun yerel minimum
noktas› aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
a. (0 , 6)
b. (1 , 1)
c. - 1 , 1
3
d. - 2 , 202
3 27
e. (2 , -2)
2. f (x ) =
4. f (x) = x 3 - 2x2 -4x + 6 fonksiyonunun yerel maksimum de¤eri kaçt›r?
a. -2
b. 1
c. 202
27
d. 2
e. 6
7. x
mal miktar› olmak üzere bir mal›n milyon TL
cinsinden kâr fonksiyonu, K (x) = 800x - 2x2 verilsin.
Buna göre, bu maldan elde edilecek en yüksek kâr kaç
TL dir?
a. 640 Milyar
b. 160 Milyar
c. 80 Milyar
d. 40 Milyar
e. 800 Milyon
8. x mal miktar› olmak üzere, bir mal›n gelir fonksiyonu,
2
verilsin. Buna göre, gelirin azalmaya
R (x ) = 15x - x
600
baﬂlad›¤› mal miktar› kaçt›r?
a. 4500
b. 3000
c. 600
d. 300
e. 15
9. x mal miktar› olmak üzere, bir mal›n toplam maliyet
2
fonksiyonu, C (x ) = 3000 + 60x - x dur. Buna göre, ma10
liyetin en yüksek oldu¤u üretim miktar› kaçt›r?
a. 30
b. 60
c. 250
d. 300
e. 450
10. f (x) = 2x 3 + 9x2 + 12x - 13 fonksiyonu hangi aral›kta aﬂa¤› bükeydir?
a.
b.
2
5. f (x ) = x + 7x -1
fonksiyonunun düﬂey asimptotux+ 3
nun denklemi aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
a. x = -3
b. x = 3
c. y = -3
d. y = 3
e. x = - 1
3
2
6. f (x ) = 2x - 3x
fonksiyonunun yatay asimptotux 2 + 6x + 5
nun denklemi aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
a. x = 2
b. y = 2
c. y = -3
d. x = - 1
3
e. x = -1
- •,-3
2
3
- , •
2
c.
d.
- •,-2
- 2, - 1
e.
-1,•
11. Karesi ile toplam› en küçük olan gerçel say› kaçt›r?
a. - 1
b. - 1
2
c. 0
d. 1
2
e. 1
Biraz Daha Düﬂünelim
1. f (x ) = 2x + 5 fonksiyonunun grafi¤ini çiziniz.
x- 3
2.g (x ) = 1 x 3 + x 2 - 8x fonksiyonunun grafi¤ini çiziniz
3
Üstel ve Logaritmik
Fonksiyonlar
8
Amaçlar
Bu üniteyi çal›ﬂt›ktan sonra;
y = ax ﬂeklindeki üstel fonksiyon kavram›n› ve üstel fonksiyonlar›n özelliklerini ö¤renecek, grafiklerini çizecek,
y = ax üstel fonksiyonun ters fonksiyonu olan y = logax logaritmik fonksiyon kavram›n› ve logaritmik fonksiyonlar›n özelliklerini ö¤renecek, grafiklerini çizecek,
logaritman›n temel özelliklerini ö¤renecek,
üstel ve logaritmik fonksiyonlar›n türevlerini ö¤renecek,
üstel ve logaritmik fonksiyonlar›n uygulamalar› olarak bileﬂik faiz, nüfus
art›ﬂ›, ekonomik büyüme hesaplar› yapabileceksiniz.
166
Üstel ve Logaritmatik Fonksiyonlar
‹çindekiler
•
•
•
•
•
•
•
Üstel Fonksiyon
Üstel Fonksiyonlar›n Grafikleri
Logaritmik Fonksiyon
Logaritmik Fonksiyonlar›n Grafikleri
Logaritman›n Temel Özellikleri
Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar›n Türevleri
Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar›n Ekonomideki Uygulamalar›
• 1. ünitede verilen üslü say›lar, 4. ünitede verilen fonksiyon ve ters
fonksiyon, 6. ünitede verilen türev kurallar› konular› tekrar gözden
geçirilmelidir.
• Örnekler iyice incelenmelidir.
• Al›ﬂt›rmalar çözülmelidir.
Giriﬂ
500 milyon TL %62 y›ll›k faiz oran›yla 1 er ayl›k zaman dilimleriyle bankaya yat›r›ld›¤›nda, y›l sonundaki banka hesap tutar› ne olur?
Türkiyenin nüfusu 2000 y›l›nda yaklaﬂ›k 65 milyon ve ortalama y›ll›k nüfus
art›ﬂ yüzdesi %2 olarak belirlenmiﬂse 2025 y›l›nda Türkiye'nin nüfusu ne kadar
olacakt›r?
Daha önceleri, bu türden problemlerle karﬂ›laﬂm›ﬂs›n›zd›r. Yukar›da örnekleri
verilen, faiz problemlerini çözmek için uygun biçimde oluﬂturulan formüllerden
yararlanm›ﬂ olmal›s›n›z. ﬁimdi ise, bunlar› çözmek için üstel fonksiyon kavram›ndan yararlanaca¤›z.
Üstel fonksiyonlar, matematikte oldu¤u kadar bileﬂik faiz, nüfus art›ﬂ›, ekonomik büyüme konular›ndaki uygulamalar›yla önem kazan›r.
Üstel Fonksiyonlar
167
ÜSTEL FONKS‹YONLAR
Burada, üstel fonksiyonlar› tan›mlayarak özelliklerini ö¤renecek ve grafiklerini çizece¤iz. y = ax fonksiyonunun grafi¤ini a >1 ve 0 < a < 1 olmak üzere iki durumda inceleyece¤iz.
1
3
4. Ünitede f (x) = x2, g (x) = x3, h(x) =
x = x 3 gibi kuvvet fonksiyonlar›n› inceledik.
x
Bu fonksiyonlarda taban de¤iﬂken üs sabittir. Bu ünitede de 2x , 3x , 1 gibi
3
taban› sabit üssü de¤iﬂken fonksiyonlar› inceleyece¤iz.
a > 0 , a ≠ 1 bir gerçel say› olmak üzere
f : R Æ R+ ,
f (x) = ax
fonksiyonuna bir üstel fonksiyon ve a say›s›na da bu üstel fonksiyonun taban›
denir.
y = ax üstel fonksiyonunda a taban› pozitiftir. Çünkü fonksiyon, f (x) = (-2)x
gibi bir kural ile tan›mlan›rsa x = 1
için fonksiyonun de¤eri,
2
f 1 = -2 1/2 = -2 tan›ms›z olur. Bu nedenle üstel fonksiyonlarda taban
2
daima pozitiftir.
II) y = ax üstel fonksiyonunda a ≠ 1 d›r. Çünkü a = 1 al›n›rsa her x gerçel
say›s› için 1x = 1 oldu¤undan fonksiyon sabit fonksiyon olur. Bu yüzden
a taban› a > 0 , a ≠ 1 olarak al›nm›ﬂt›r. Örne¤in:
I)
f x = 2x ,
x
g (x ) = 1 , h(x ) = 1000
3
x
a > 0, a π 1 bir gerçel say› olmak
üzere R den R+ ya tan›mlanan
f(x) = ax fonksiyonuna üstel
fonksiyon denir.
x
, u (x ) = 1
25
birer üstel fonksiyondur.
III) a , b pozitif say›lar x , y gerçel say›lar olmak üzere, üslü çokluklar›n özelliklerinde oldu¤u gibi üstel fonksiyonlar içinde aﬂa¤›daki özellikler s›ralanabilir:
• a0 = 1
• a x . a y = a x +y
• a x y = a xy
• ab
x
= a xb x
x
• a = ax -y
ay
• a
b
x
x
= ax
b
• a -x = 1x
a
ﬂeklinde tan›mlan›r.
ÖRNEK 1
1
f (x) = 5x üstel fonksiyonunun x = -1 , x = 0 , x = , x = 2 için ald›¤›
2
de¤erleri bulal›m:
0
f (0) = 5 = 1
f
f
1 = 51/2 = 5 @ 2,236
2
2 = 5
2
@ 9,672
ÇÖZÜM
f (-1) = 5-1 = 1
5
Üstel Fonksiyonlar›n Grafi¤i
168
ÜSTEL FONKS‹YONLARIN GRAF‹⁄‹
Bir fonksiyonun grafi¤i çizilirken, tan›m kümesindeki bir x de¤eri fonksiyonda
yerine konularak karﬂ›l›k gelen y de¤eri bulunur. Sonra, (x, y) noktas› düzlemde
belirlenir. Düzlemdeki bu tür noktalar birleﬂtirilerek fonksiyonun grafi¤i elde
edilir.
• ﬁimdi üstel fonksiyonun özelliklerini elde etmek için baz› fonksiyonlar›n grafiklerini, noktasal olarak çizelim. Fonksiyonun noktasal grafi¤ini çizmek için
x’e baz› de¤erler vererek bu de¤erlerin fonksiyon alt›ndaki görüntülerini yani y de¤erlerini bulal›m. Daha sonrada bulunan (x, y) ikililerine düzlemde
karﬂ›l›k gelen noktalar› belirleyelim.
ÖRNEK 2
ÇÖZÜM
y = f (x) = 3x fonksiyonunun grafi¤ini çizelim.
x
-3
f(x) = 3
x
3
-3
-2
= 1
27
3
-2
-1
=1
9
0
3 -1 = 1
3
1
30 = 1
2
32 = 9
3
3
3 = 27
Buna göre,
-3 , 1 , -2 , 1 , -1 , 1 , 0 , 1 , 1 , 3 , 2 , 9 , 3 , 27
27
9
3
ikilileri düzlemde belirtilerek y = 3x fonksiyonunun grafi¤i elde edilir.
y
y = 3x
3
1
1/3
1/9
1/27
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
Şekil 8.1
ÖRNEK 3
ÇÖZÜM
x
ﬁimdi de y = 1 fonksiyonunun grafi¤ini çizelim:
3
x
f(x) = 1
3
-2
-3
x
1
3
-3
= 27
1
3
-2
=9
-1
1
3
-1
0
=3
1
3
0
1
=1
1
3
2
1 2 1
=
9
3
3
1 3 1
=
3
27
Üstel Fonksiyonlar›n Grafikleri
Buna göre,
-3 , 27 , -2 , 9 , -1 , 3 , 0 , 1 , 1 , 1 , 2 , 1 , 3 , 1
3
9
27
x
ikilileri düzlemde belirtilerek y = 1
3
fonksiyonunun grafi¤i elde edilir.
y
y=
1
3
x
9
3
1
-3
-2
-1
1
0
2
x
3
Şekil 8.2
Bu iki örne¤e göre, y = 3x fonksiyonunun grafi¤i y = ax , a > 1 fonksiyonux
nun grafi¤inin ve y = 1 fonksiyonunun grafi¤i de y = ax , 0 < a < 1 fonksiyo3
nunun grafi¤inin tipik birer örne¤idir. Buna göre,
(i) a > 1 oldu¤unda y = ax fonksiyonunun grafi¤i:
y = ax
a>1
y
a
1
x
1
0
Şekil 8.3
(ii) 0 < a < 1
oldu¤unda
y = ax
fonksiyonunun grafi¤i:
y
y = ax
0<a<1
1
a
0
x
1
Şekil 8.4
169
Üstel Fonksiyonlar›n Grafikleri
170
x
y = 2x ve y = 1
2
SIRA S‹ZDE 1
fonksiyonlar›n›n grafiklerini de siz çiziniz.
Üstel Fonksiyonlar›n Temel Özellikleri
y = ax üstel fonksiyonu her x de¤eri için ax > 0 d›r. Yani fonksiyonun tan›m kümesi (-•, •) için de¤er kümesi (0 , •) dur. Böylece fonksiyonun
grafi¤i daima x - ekseninin üst bölgesinde kal›r.
II) y = ax üstel fonksiyonunda;
I)
x = 0 için a0 = 1
olur. Bu nedenle fonksiyonun grafi¤i daima (0, 1) noktas›ndan geçer.
III) y = ax üstel fonksiyonunda;
Bir fonksiyonda x1 < x2 için
f(x1) > f(x2) ise fonksiyon azalan
x1 < x2 için f(x1) < f(x2) ise
fonksiyon artand›r.
0 < a < 1 iken x1 < x2 için ax1 > ax2 oldu¤undan fonksiyon daima azaland›r.
a > 1 iken x1 < x2 için ax1 < ax2 oldu¤undan fonksiyon daima artand›r.
Buna göre, y = ax üstel fonksiyonu x1 π x2 için ax1 ≠ ax2 oldu¤undan
bire-birdir.
IV) y = ax üstel fonksiyonunda;
a=e
al›n›rsa y = ex
üstel fonksiyonu elde edilir. Buradaki e say›s› irrasyonel bir say› olup
yaklaﬂ›k de¤eri e @ 2,71828... dir. Bu say›n›n taban olarak al›nmas› matematiksel aç›dan anlaml›d›r. Bu fonksiyona eksponansiyel fonksiyon da denir ve
exp (x) = ex
ile gösterilir.
ÖRNEK 4
ÇÖZÜM
y = ex fonksiyonunun grafi¤ini çizelim.
x
-1
x
f(x) = e
-1
e = 1
e
@
-1/2
0.37
-1/2
e
= 1
e
@
1
1/2
0
0.61 e0 = 1
e1/2 = e
@
1.65
e
@ 2.71
Buna göre, (-1 , 0.37) , - 1 , 0.61 , (0 , 1) , 1 , 1.65 , (1 , 2.71) ikilileri düzlem2
2
de belirtilerek y = ex fonksiyonunun grafi¤i elde edilir.
y
y = ex
2.71
1.65
1
0.61
0.37
-1
-1/2
0
1
x
Şekil 8.5
Logaritmik Fonksiyon
171
LOGAR‹TM‹K FONKS‹YON
Burada, logaritma fonksiyonunu tan›mlayarak, üslü ve logaritmik ifadeler aras›ndaki iliﬂkiyi ö¤renece¤iz.
f : R Æ R+ , f (x) = ax , a > 0 , a ≠ 1 üstel fonksiyonu bire-bir ve örten
oldu¤undan ters fonksiyonu vard›r. Bu ters fonksiyona logaritma fonksiyonu denir. Buna göre logaritma fonksiyonu,
loga : R+ Æ R , f(x) = logax
veya
y = logax
olarak gösterilir ve "a taban›na göre logaritma x" olarak okunur.
Logaritma fonksiyonunun tan›m›na göre,
y = logax ¤ x =ay
olur. Burada pozitif bir x say›s›n›n a taban›na göre logaritmas›, x 'i bulmak için
a say›s›n›n yükseltilmesi gereken kuvvetini ifade eder. Örne¤in, log39 say›s›, 9
say›s›n› bulmak için 3 say›s›n›n yükseltilmesi gereken kuvvetini ifade eder. Bu
say› da 2 dir.
ÖRNEK 5
Aﬂa¤›daki üslü ifadeleri logaritma biçiminde yazal›m.
24 = 16
için
log216 = 4
(ii)
34
için
log381 = 4
= 81
4
(iii) 1 = 1
81
3
için
log1 1 = 4
3 81
-4
(iv) 1 = 16
2
için
log1 16 = - 4
ÇÖZÜM
(i)
2
ÖRNEK 6
Aﬂa¤›da verilen logaritmik ifadeleri üslü biçimde yazal›m:
1
2
(iv) log14 = -2 ise
2
(v) log100,1 = -1
ise
ÇÖZÜM
(i) log28 = 3 ise 23 = 8
(ii) log39 = 2 ise 32 = 9
(iii) log101000 = 3 ise 103 = 1000
-2
=4
10-1 = 0,1
ÖRNEK 7
Aﬂa¤›da tan›mlanan fonksiyonlar›n ters fonksiyonlar›n› bulal›m:
üstel fonksiyonunun ters fonksiyonu logaritma
y = 3x ¤ x = log3y
Son eﬂitlikte x yerine y , y yerine x yazarak
y = log3x
ters fonksiyon bulunur.
ÇÖZÜM
(i) f : R Æ R+ , f (x) = y = 3x
fonksiyonudur.
172
Logaritmik Fonksiyon
(ii) f : R Æ R+ , f (x ) = y = 1
3
ritma fonksiyonudur.
y= 1
3
x
¤
x
üstel fonksiyonunun ters fonksiyonu loga-
x = log1 y
3
buradan,
y = log1 x ters fonksiyonu bulunur.
3
Logaritmik Fonksiyonun Grafi¤i
Burada y = logax fonksiyonunun grafi¤ini a > 1 ve 0 < a < 1 iken çizece¤iz.
Bir fonksiyon ile ters fonksiyonun grafiklerinin y = x do¤rusuna göre simetrik oldu¤unu biliyoruz. y = logax fonksiyonu y = ax üstel fonksiyonunun ters
fonksiyonu oldu¤undan y = ax fonksiyonunun grafi¤inin y = x do¤rusuna göre simetri¤i y = logax fonksiyonunun grafi¤ini verir. Buna göre,
(i) a > 1 oldu¤unda y = logax
in grafi¤i
y
y=x
y = ax
a
y = logax
1
y = ax ve y = logax fonksiyonlar›n›n grafikleri y = x do¤rusuna
göre simetriktir.
0
1
x
a
Şekil 8.6
(ii) 0 < a < 1 oldu¤unda y = logax in grafi¤i
y
y=x
y = ax
1
y = ax in grafi¤i biliniyorken,
y = logax in grafi¤ini bulmak için
y = ax in grafi¤inin y = x do¤rusuna göre simetri¤ini al›r›z.
a
x
0
a
1
y = logax
Şekil 8.7
Logaritmik Fonksiyon
y = 2x
ve y = log2x
fonksiyonlar›n›n grafiklerini çiziniz.
173
SIRA S‹ZDE 2
ﬁimdi bu grafiklerden yararlanarak y = logax fonksiyonunun özelliklerini ifade
edelim:
I) Grafiklerden görüldü¤ü gibi y = logax fonksiyonu (0 , •) aral›¤›nda tan›ml› oldu¤undan sadece pozitif say›lar›n logaritmalar› vard›r. Negatif say›lar›n ve
s›f›r›n logaritmas› tan›ml› de¤ildir.
II) a > 0 , a ≠ 1 olan her a say›s› için a1 = a oldu¤undan logaa = 1 dir.
Yani her pozitif a say›s›n›n kendi taban›na göre logaritmas› 1 dir. Örne¤in;
log55 = 1 , log100100 = 1 , log1 1 = 1
7 7
III) a > 0 , a ≠ 1
olan her a say›s› için a0 = 1 oldu¤undan loga1 = 0.
Yani her tabana göre 1 say›s›n›n logaritmas› 0 d›r. Buna göre logaritma
fonksiyonunun grafi¤i (1 , 0) noktas›ndan geçer.
IV) a > 1 ise 1 den büyük say›lar›n logaritmalar› pozitif, 1 den küçük say›lar›n
logaritmalar› negatiftir.
0 < a < 1 ise 1 den büyük say›lar›n logaritmalar› negatif, 1 den küçük say›lar›n logaritmalar› pozitiftir (Grafikten kontrol ediniz).
V) Üstel fonksiyon bire-bir oldu¤undan bunun ters fonksiyonu olan logaritma
fonksiyonu da bire-bir dir. Yani x1 ≠ x2 için logax1 ≠ logax2 dir.
Logaritma iﬂlemlerine geçmeden önce logaritma için uygun bir taban seçme
problemine de¤inelim: Logaritma, say›sal hesaplamalarda büyük kolayl›k sa¤lar.
Çünkü üslü ve köklü çokluklarda, say›lar›n kesirli veya irrasyonel olmas› durumunda iﬂlem yapmak kolay de¤ildir. Böyle iﬂlemlerin h›zl› ve do¤ru yap›lmas›nda logaritma önem taﬂ›r. Toplama iﬂleminin çarpmaya göre ve çarpma iﬂleminin
üs alma iﬂlemine göre daha kolay oldu¤u bilinir. Logaritmada temel ilke budur.
Günümüzde say›lar›n logaritmalar›n›n hesaplanmas›nda 10 taban›na göre haz›rlanm›ﬂ hesap cetvelleri veya elektronik hesap makinalar› kullan›l›r. Asl›nda 1 den
farkl› her pozitif say› logaritmada taban olabilir. Taban› 10 olan logaritmaya baya¤› logaritma denir ve k›saca log10 = log ile gösterilir. Kulland›¤›m›z say› sisteminin 10 luk sistem olmas› nedeniyle 10 taban›na göre logaritma kullan›lmas›
yap›lan iﬂlemleri kolaylaﬂt›r›r. 10 taban›na göre logaritman›n kullan›ﬂl› olmas›na
karﬂ›n yaklaﬂ›k de¤eri 2,71828... olan ve e ile gösterilen say›n›n taban olarak
kullan›lmas› matematiksel olarak daha anlaml›d›r. Do¤al say› olmayan bu e say›s›n› taban alan logaritmaya do¤al logaritma denir ve loge = ln ile gösterilir.
Buna göre do¤al logaritma fonksiyonu:
ln : R+ Æ R ,
f (x) = lnx
dir. Bu fonksiyon y = ex üstel fonksiyonunun tersidir.
y = lnx
Logaritma, say›sal hesaplarda kolayl›k sa¤lar. Toplama çarpmaya göre,
çarpma üs alma iﬂlemine göre daha
kolay olmas› nedeniyle, logaritma
hesaplamalarda kolayl›k sa¤lar.
¤ x = ey
O halde, y = lnx fonksiyonunun grafi¤i y = ex fonksiyonunun y = x
do¤rusuna göre simetri¤idir. y = ex ve y = lnx fonksiyonlar›n›n grafikleri
aﬂa¤›daki gibidir.
y = ex fonksiyonunun ters fonksiyonu y = lnx dir.
174
Logaritmik Fonksiyon
y
y = ex
y=x
e
y = lnx
1
0
1
x
e
Şekil 8.8
Logaritman›n Temel Özellikleri
Burada logaritman›n temel özelliklerini ve bu özelliklerle ilgili problem çözümlerini ö¤renece¤iz.
x , y , a Œ R+ , a ≠ 1
olmak üzere
I) Bir çarp›m›n logaritmas›, çarpanlar›n logaritmalar›n›n toplam›na eﬂittir.
loga(xy) = logax + logay
Bu eﬂitli¤i kan›tlayal›m. Bunun için logax = u , logay = v olsun.
x = au , y = av olur.
logaritman›n tan›m›ndan
x . y = au . av = au + v
loga(x . y) = u + v
loga(x . y) = logax + logay
elde edilir.
II) Bir bölümünün logaritmas›, pay›n logaritmas› ile paydan›n logaritmas›n›n fark›na eﬂittir.
loga x
y = loga x - loga y
logax = u , logay = v olsun.
x = au , y = av olur.
x = au = au-v ,
y av
log a x
y = u- v ,
logaritman›n tan›m›ndan
loga x
y = loga x - loga y
elde edilir.
Logaritmik Fonksiyon
III) Bir kuvvetin logaritmas›, say›n›n logaritmas› ile kuvvetin çarp›m›na eﬂittir.
(n Œ N).
loga x n = n loga x
loga x n = loga (x . x ... x )
n tane
= loga x + loga x + ... + loga x
n tane
= n loga x
elde edilir.
Özel olarak
n = -1
ve
n =1
r
için s›ras›yla (r , pozitif tamsay›)
log a x -1 = loga 1x = - log a x
olur.
loga x
1
r
= log a
r
x = 1r loga x
elde edilir.
IV) Logaritmada taban de¤iﬂtirme:
Bir say›n›n bir tabana göre logaritmas› biliniyorsa, bu say›n›n herhangi bir tabana göre logaritmas› bulunabilir:
Her a , b , c Œ R+ , a ≠ 1 , b ≠ 1 , c ≠ 1 için
logab . logbc = logac
dir.
logab = u , logbc = v olsun.
au = b , bv = c olur.
(au)v = bv = c
logaritman›n tan›m›ndan
auv = c ,
logac = u . v
logac = logab . logbc
(1)
bulunur. Buradan, loga b ≠ 0 oldu¤undan
logbc =
loga c
loga b
elde edilir. Bu eﬂitli¤e taban de¤iﬂtirme kural› denir.
(1) eﬂitli¤inde c = a al›n›rsa
logaa = logab . logba
1 = logab . logba
loga b = 1
logba
elde edilir.
175
Logaritmik Fonksiyon
176
ÖRNEK 8
ÇÖZÜM
log2781 ifadesinin de¤eri nedir?
ÖRNEK 9
log2781 =
ÇÖZÜM
3 . a 3 b2
5 3
c
log 381
log334
=
= 4
3
3
log 327
log33
ifadesinin logaritmas›n› yaz›n›z.
3 2
log 3 . a b
5 3
c
3 2
= log 3 a b
3
5 c
logaritma kurallar›n› uygulayarak
= log3 + 3 loga + 2 logb - log5 - 1 logc
3
elde edilir.
ÖRNEK 10
ÇÖZÜM
3 logx + 1 logy - 2 loga + 3 logb
4
mas› biçiminde yaz›n›z.
ifadesini çarp›m ve bölümün logarit-
Logaritman›n temel özellikleri gere¤ince
log
x3
4
y
a 2 . b3
elde edilir.
ÖRNEK 11
ÇÖZÜM
f (x) = log3x oldu¤una göre f
ÖRNEK 12
f
3
9 = log3
3
3
9
say›s› nedir?
2
9 = log3 33 = 2
3
ÇÖZÜM
log32 = a ise log248 ifadesinin a cinsinden de¤eri nedir?
log248 =
log3 24 . 3
log348
=
log32
log 32
= 4a a+ 1
=
4 log32 + log33
log 32
Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar›n Türevleri
log 25 + log 9 + log 1 - log 3
3
5
8
4
177
ÖRNEK 13
ifadesinin de¤eri nedir?
ÇÖZÜM
25 . 9 . 1
3 5 4
log
= log 25 . 9 . 1 . 8 = log10 = 1
3 5 4 3
3
8
ÜSTEL VE LOGAR‹TM‹K FONKS‹YONLARIN
TÜREVLER‹
Burada üstel ve logaritmik fonksiyonlar›n türevlerini ö¤renecek ve bunlarla ilgili
örnekler göreceksiniz.
I) y = f (x) = ex
için
y ' = f ' (x) = ex dir.
ÖRNEK 14
y = (3x + 1) . ex fonksiyonunun türevini bulal›m.
ÇÖZÜM
y ' = (3x + 1)' . ex + (3x + 1) . (ex)'
y ' = 3 . ex + (3x + 1) . ex
= (3x + 4) ex
II) g türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere
y = f (x) = eg (x)
y = ex
3
için
y ' = f ' (x) = g ' (x) . eg (x)
dir.
ÖRNEK 15
fonksiyonunun türevini bulunuz.
ÇÖZÜM
3
3
y ' = x 3 ' ex = 3x 2 ex
ÖRNEK 16
y = 12e 3x fonksiyonunun x = 0 noktas›ndaki te¤etinin e¤imini
hesaplay›n›z.
y ' = f ' (x) = 12 . 3 . e3x = 36 e3x
f ' (0) = 36 e0 = 36
bulunur.
ÇÖZÜM
Bir fonksiyonun verilen bir noktadaki te¤etinin e¤imi, fonksiyonun o noktadaki
türevinin de¤erine eﬂit olaca¤›ndan,
Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar›n Türevleri
178
III) a > 0 , a ≠ 1 , x Œ R
y = f (x) = ax
ÖRNEK 17
için
olmak üzere
y ' = f ' (x) = ax . lna
d›r.
ÇÖZÜM
y = 3x fonksiyonunun x = 0 noktas›ndaki türevini bulunuz.
y ' = f ' (x) = 3x ln3
f ' (0) = 30 ln3 = ln3 @ 1,0986
IV) g türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere
y = f (x) = a g (x) için y ' = f ' (x) = a g (x) g ' (x) lna d›r.
ÖRNEK 18
2 - 3x
ÇÖZÜM
y = f (x ) = 3x
ÖRNEK 19
fonksiyonunun türevini bulunuz.
2 - 3x
y ' = f ' (x ) = 3x
2 - 3x
= 2x - 3 . 3x
y = f (x) = x2 . 23x
ÇÖZÜM
2
. x 2 - 3x ' . ln 3 = 3x - 3x . 2x - 3 . ln 3
. ln 3
fonksiyonu için f ' (1) say›s›n› bulunuz.
y ' = f ' (x) = (x2) ' . 23x + x2 . (23x) '
f ' (x) = 2x . 23x + x2 . 3 . 23x . ln 2
f ' (1) = 2 . 23 + 1 . 3 . 23 . ln 2
= 16 + 24 ln 2
V) a > 0 , a ≠ 1 , x > 0 olmak üzere
y = f (x ) = log a x için
ÖRNEK 20
y ' = f ' (x ) = 1x . loga e olur.
ÇÖZÜM
y = f (x)= log3x 'in türevi bulunuz.
y ' = f ' (x ) = 1x . log3e
olur.
VI) g türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere
y = f (x ) = log a g (x ) için
y ' = f ' (x ) =
(g (x ))'
g (x )
. loga e d›r.
Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar›n Türevleri
179
ÖRNEK 21
y = f (x)= loga(2x2 + 1) fonksiyonunun türevini bulunuz.
2x 2 + 1 '
2x 2 + 1
. loga e =
ÇÖZÜM
y' =
4x . log e
a
2x 2 + 1
ÖRNEK 22
y = f (x) = log3(x2 + 1) fonksiyonunun türevini bulunuz.
x2 + 1 '
. log3e = 22x . log3e
x2 + 1
x +1
ÇÖZÜM
y ' = f ' (x ) =
ÖRNEK 23
y = f (x) = log48x2 fonksiyonunun türevini bulunuz.
8x 2 '
8x 2
. log4e = 16x . log4e = 2x log4e
8x 2
ÇÖZÜM
y ' = f ' (x ) =
VII) y = f (x) = lnx , x > 0 için y ' = f ' (x ) = 1x dir.
ÖRNEK 24
y = f (x) = x 2lnx , x > 0 fonksiyonu için f ' (1) say›s›n› bulunuz.
f ' (1) = 2 . 1 . ln1 + 1 = 2 . 0 + 1 = 1
y = f (x ) =
lnx 2
x +1
lnx
2
' . x + 1 - x + 1 ' . lnx
x+ 1 2
2 . lnx . 1x . x + 1 - 1 . ln x
f ' (1) = 0 = 0
4
x+ 1 2
2
2
ÇÖZÜM
f ' (x ) =
ÖRNEK 25
, x > 0 olmak üzere f ' (1) say›s›n› bulunuz.
Bölümün türev kural›na göre,
y ' = f ' (x ) =
ÇÖZÜM
y ' = f ' (x ) = x 2 ' . lnx + x 2 . lnx ' = 2x lnx + x 2 . 1x = 2x lnx + x
Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar›n Türevleri
180
VIII) g türevlenebilir pozitif bir fonksiyon olmak üzere
y = f (x) = ln(g (x)) fonksiyonu için y ' = f ' (x ) =
ÖRNEK 26
g' (x )
dir.
g (x )
ÇÖZÜM
y = f (x) = ln (x + 5)3 fonksiyonu için f ' (1) say›s›n› bulunuz.
y ' = f ' (x ) =
x+5
3
x+5
3
'
=
2
3 x+5
x+5
3
=
3
x+5
f ' (1) = 3 = 1
2
6
bulunur. Burada ln (x + 5)3 ≠ (ln (x + 5))3 oldu¤una dikkat ediniz.
ÖRNEK 27
ÇÖZÜM
y = f (x) = ln3 (4x2 + 1) fonksiyonunun türevini bulunuz.
y ' = f ' (x ) = 3 ln2 4x 2 + 1 .
=
ÖRNEK 28
24x . ln2 4x 2 + 1
4x 2 + 1
8x
+1
4x 2
olur.
ÇÖZÜM
y = f (x) = 3 e2x+1 fonksiyonunun ikinci türevini bulunuz.
ÖRNEK 29
y ' = f ' (x) = 3 . (2x + 1)' . e2x+1
y ' = f ' (x) = 3 . 2 . e2x+1 = 6 e2x+1
y '' = f '' (x) = 6 . (2x + 1)' . e2x+1
f '' (x) = 6 . 2 . e2x+1 = 12 . e2x+1
ÇÖZÜM
y = f (x) = a10x fonksiyonunun ikinci türevini bulunuz.
y ' = f ' (x) = (10x)' . a10x . lna = 10 . a10x . lna
lna sabit oldu¤u için
y '' = f '' (x) = 10 . 10 . a10x . lna . lna
f '' (x) = 100 . a10x . (lna)2
Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar›n Ekonomideki Uygulamalar›
181
ÖRNEK 30
y = f (x) = log36x 'in ikinci türevini bulunuz.
log3e
6x '
6x
. log e = 1 log e
3
x
3
ÇÖZÜM
y ' = f ' (x ) =
sabit oldu¤undan
'
y '' = f '' (x ) = x1 . log3e = - 1 . log3e = -1
x2
x 2ln3
ÖRNEK 31
y = f (x) = x lnx in ikinci türevini bulunuz.
y ' = f ' (x ) = 1 . lnx + x . 1x = lnx + 1
ÇÖZÜM
y ' = f ' (x ) = x ' . lnx + x . lnx '
y '' = f '' (x ) = 1x
Aﬂa¤›daki fonksiyonlar›n türevlerini bulunuz.
1. y = x e-x
6. y = lnx
2.
3.
4.
5.
y = x 2 + 3 ex
x3
+ x2
y=e
y = 32x
2
-x 2
y=e
.
3
3x
5
7.
y = ln (x2 + x + 1)
8.
y = a x . lnx
9.
y = ln3 (x2 + 1)
10.
2
2
y = e-x lnx 2
ÜSTEL VE LOGAR‹TM‹K FONKS‹YONLARIN
EKONOM‹DEK‹ UYGULAMALARI
ﬁimdi, üstel ve logaritmik fonksiyonlar›n ekonomideki uygulamalar›na örnekler
verece¤iz.
Üstel ve logaritmik fonksiyonlarla bileﬂik faiz, nüfus art›ﬂ›, ekonomik büyüme
gibi hesaplamalarda karﬂ›laﬂ›r›z.
Bileﬂik faiz, belli zaman aral›¤›nda gerçekleﬂen faizin, ana paraya eklenmesiyle bulunan tutar›n faizidir.
P0
i
t
Pt
=
=
=
=
ana para,
faiz oran›
zaman (gün, ay veya y›l olarak)
ana para + faiz (t zaman süresinde)
SIRA S‹ZDE 3
Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar›n Ekonomideki Uygulamalar›
182
Pt yi P0 , i , t cinsinden bulal›m.
1. zaman dilimi sonunda gerçekleﬂen faiz P0i olacakt›r. Böylece, 1. zaman dilimi sonunda banka hesap tutar›
P1 = P0 + P0i = P0 (1+i )
olur.
2. zaman dilimi sonunda gerçekleﬂen faiz P1i olacakt›r. Böylece 2. zaman dilimi sonunda banka hesap tutar›
P2 = P1 + P1i = P1 (1+i )
= P0 (1+i ) (1+i ) = P0 (1+i )2
olur.
3. zaman dilimi sonunda gerçekleﬂen faiz P2i dir. Böylece 3. zaman dilimi sonunda, banka hesap tutar›
P3 = P2 + P2i = P2 (1+i )
= P0 (1+i )2 (1+i )
= P0 (1+i )3
olur.
Bu ﬂekilde devam edilerek t zaman dilimi sonunda banka hesap tutar›
Pt = P0 (1+i )t
olur. Buna bileﬂik faiz (efektif faiz) formülü denir.
Burada,
f:N Æ R ,
f (t ) = P0 (1+i )t
fonksiyonu ortaya ç›kar. 1 + i = a ile gösterirsek
f (t ) = at P0
buradaki at terimi, t zaman dilimi sonunda banka hesap tutar›n›n, ana paran›n
kaç kat› oldu¤unu ifade eder.
ÖRNEK 32
ÇÖZÜM
50 milyon TL %80 y›ll›k faiz oran›yla 3 er ayl›k zaman dilimleriyle bankaya yat›r›ls›n. 5 y›l sonundaki banka hesap tutar›n› bulunuz. 5 y›l sonunda kazan›lan toplam faizi hesaplay›n›z.
t zaman dilimi sonunda banka hesap tutar›
Pt = P0 (1+i )t
dir. Bankaya yat›r›lan para P0 ve bir zaman diliminde gerçekleﬂen faiz oran› i
s›ras›yla;
P0 = 50 . 106
i =
TL
Y›ll›k faiz oran›
0,80
=
= 0,20
4
Bir y›ldaki zaman dilimi say›s›
Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar›n Ekonomideki Uygulamalar›
183
olur. Burada %80 y›ll›k faiz oran›n›n 0,80 ﬂeklinde yaz›lmas› gerekti¤ine dikkat
ediniz. Bir y›lda 3 er ayl›k 4 zaman dilimi oldu¤una göre, 5 y›ldaki zaman dilimi
say›s›
t = 4 . 5 = 20
dir. Bu durumda 5 y›l sonunda yani, 20 tane 3 er ayl›k zaman dilimi sonunda bankadaki hesap tutar›:
P20 = 50 . 106 (1 + 0,20)20
= 50 . 106 (1,2)20
= 5 . 107 . (38,337) = 1916 . 106 TL
Kazan›lan toplam faiz:
P20 - P0 = 1916 . 106 - 50 . 106
= 1866 . 106 TL
olur.
ÖRNEK 33
Bankaya yat›r›lan 25 .106 TL, 5 y›lda bileﬂik faiz uygulanarak 800. 106
TL ye ulaﬂ›yor. Bankan›n uygulad›¤› y›ll›k faiz oran› nedir?
Pt = P0 (1+i )t
ÇÖZÜM
Bileﬂik faiz formülüne göre, t zaman dilimi sonunda banka hesap tutar›
dir. Burada,
P0 = 25 . 106 , t = 5 y›l , Pt = 800 . 106
Buna göre, yukar›daki eﬂitlikte verilenler yerine konursa,
800 . 106
32
25
2
i
= 25 . 106 (1+i )5
= (1+i )5
= (1+i )5
= 1+i
=1
bulunur. Bu ise y›ll›k faiz oran›n›n %100 oldu¤unu gösterir.
ÖRNEK 34
Y›ll›k %60 faiz oran›yla 20 . 106 TL, bileﬂik faizle bankaya yat›r›l›yor. Kaç
y›l sonra bankadaki hesap tutar› 209 . 106 TL ye ulaﬂ›r.
de¤erlerini
Pt = P0 (1+i )t
ifadesinde yerine koyal›m.
ÇÖZÜM
Pt = 209 . 106 , P0 = 20 . 106 , i = 0.60
Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar›n Ekonomideki Uygulamalar›
184
209 . 10 6 = 20 . 10 6 1+0,6 t
209 = 20 1,6 t
209 = 1,6 t
20
bulunur. Buradan n y›l say›s›n› bulmak için basit bir logaritma iﬂlemi yeterli olacakt›r.
t =
ÖRNEK 35
log 209 - log 20
2,3201 - 1,3010
=
@ 5 y›l
log 1,6
0,2041
ÇÖZÜM
Bir bankaya y›ll›k %80 faizle yat›r›lan bir miktar para bileﬂik faiz ile 10
y›l sonra 320 . 109 TL ye ulaﬂ›yor. Bankaya yat›r›lan paray› hesaplay›n›z.
Pt = P0 (1+i )t
ifadesinde verilenleri yerine koyarak,
320 . 10 9 = P 0 1 + 0,8
10
320 . 10 9 = P 0 1,8 10
10
@ 896 . 10 6 TL
P 0 = 32 . 10
10
1,8
bulunur. 10 y›l önce bankaya yat›r›lan para yaklaﬂ›k 896 milyon TL dir.
ÖRNEK 36
ÇÖZÜM
Bir miktar para bankaya y›ll›k %80 faiz oran›yla birer ayl›k zaman dilimleri ile yat›r›l›rsa, y›l sonunda gerçekleﬂecek bileﬂik faiz oran› nedir?
t = 12 ay olmak üzere i =
0,8
dir.
12
Bileﬂik faiz formülüne göre,
Pt = P 0 1 + i
P 12 = P 0 1 +
t
0,8
12
12
P 12 = P 0 2,17
bulunur. Y›l sonunda banka hesap tutar›, yat›r›lan paran›n 2,17 kat›na ulaﬂm›ﬂt›r. O halde yat›r›lan paran›n 1,17 kat› (%117) bileﬂik faiz oran›d›r.
Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar›n Ekonomideki Uygulamalar›
185
Üstel ve logaritmik fonksiyonlar›n di¤er bir uygulamas› da nüfus art›ﬂ›n›n hesab›d›r. Bununda bileﬂik faiz hesab›ndan bir fark› yoktur. Belli bir zaman baﬂlang›c›nda nüfus N0 , nüfus art›ﬂ yüzdesi i olsun. t zaman dilimi sonunda ulaﬂ›lan
nüfus yani, baﬂlang›çtaki nüfus + nüfus art›ﬂ›, N (t ) olsun. Bileﬂik faiz hesab›ndaki formülü yeni duruma dönüﬂtürürsek
N (t ) = N0 (1+i )t
olur.
ÖRNEK 37
Dünya nüfusu 1975 y›l›nda yaklaﬂ›k 4 milyar ve ortalama y›ll›k nüfus art›ﬂ yüzdesi %2 ise 2010 y›l›nda dünya nüfusu ne kadar olacakt›r?
ÇÖZÜM
N (t ) = N0 (1+i )t
ba¤›nt›s›nda
N0 = 4 . 109 , i = 0,02
t = 2010 - 1975 = 35 y›l
olup, buna göre
N (t ) = 4 . 109 (1+0,02)35
N (t ) = 4 . 109 (1,02)35
@ 4 . 109 . 2
= 8 . 109
olur. Yani 2010 y›l›nda dünya nüfusu yaklaﬂ›k 8 milyara ulaﬂacakt›r.
ÖRNEK 38
Türkiye'nin nüfusu 1998'de 60 . 106 olarak al›n›rsa kaç y›l sonra nüfus
iki kat›na ç›kacakt›r? Ortalama nüfus art›ﬂ yüzdesini 0,02 olarak al›n›z.
ba¤›nt›s›nda
N (t ) = 120 . 106 , N0 = 60 . 106 , i = 0,02
de¤erlerini yerine koyarak,
120 . 106 = 60 . 106 (1+0,02)t
2 = (1,02)t
olur. Her iki taraf›n logaritmas› al›n›rsa,
log 2 = t . log 1,02
t =
log 2
log 1,02
@ 35 y›l
O halde Türkiyenin nüfusu 35 y›l sonra 2033 y›l›nda 120 milyon olacakt›r.
ÇÖZÜM
N (t ) = N0 (1+i )t
186
Kendimizi S›nayal›m
Kendimizi3 S›nayal›m
ise f ' (1) de¤eri nedir?
1. f (x ) = e -x
a. 3e
b. 3e-1
c. 1
3e
d. -3
e
e. -3
2. f (x) = x ex ise f ' (0) de¤eri nedir?
a. -1
b. 0
c. 1
d. e
e. e2
3. f (x) = (x2 + 1)e-x ise f ' (0) de¤eri nedir?
a. -1
b. 0
c. 1
d. e
e. 1 + e
4. f (x ) = e x ise f ' (4 ) de¤eri nedir?
a. -1 e2
6
2
b. e
4
3
c. e
4
-1
d.
4
e. e3
5. f (x) = x lnx fonksiyonun x = e noktas›ndaki te¤etinin e¤imi aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
a. 1 + e
b. 2
c. 1
d. 0
e. -e
2
6. f (x ) = 5 ex + x fonksiyonunun ikinci türevi aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
2
a. 5 ex + x
2
b. 5 ex + x 4x 2 + 4x + 3
c. ex
2+x
.
2
4x 2 + 2x + 1
2
ex + x
. 2x + 1
d. e
e. 5
2x + 1
x2+ x
2
7. f (x) = ex +lnx ise f '' (1) de¤eri nedir?
a. e + 1
b. e
c. e - 1
d. 0
e. -1
8. f (x ) = e x ise f ' (0 ) de¤eri nedir?
a. 0
b. 1/2
c. 1
d. 2
e. e
9. f (x) = ax . ex ise f ' (0) de¤eri nedir?
a. lna
b. ex lna
c. lna + ex
d. 1 + lna
e. e
10. 75 milyon TL %75 y›ll›k faiz oran›yla 3'er ayl›k zaman
dilimleriyle bankaya yat›r›l›yor.Buna göre 1. y›l sonundaki banka hesap tutar› kaç milyon TL'dir.
a. 200
b. 158
c. 149
d. 140
e. 138
11.Bileﬂik faiz oran›yla bankaya yat›r›lan 49 milyon TL 2
y›l sonunda 81 milyon TL ye ulaﬂt›¤›na göre bankan›n uygulad›¤› y›ll›k faiz oran› yaklaﬂ›k olarak nedir?
a. 15
b. 10
c. 28
d. 300
e. 375
12. %95 bileﬂik faiz oran›yla bankaya yat›r›lan bir miktar
para 5 y›l sonunda 400 milyon TL'ye ulaﬂt›¤›na göre yat›r›lan para kaç milyon TL'dir.
a. 10
b. 12
c. 14
d. 20
e. 45
13. Türkiye'nin nüfusu 1995 y›l›nda yaklaﬂ›k 60 milyon
ve ortalama y›ll›k nüfus art›ﬂ yüzdesi % 2 ise, 2025 y›l›nda Türkiye'nin nüfusu yaklaﬂ›k kaç milyon olur?
a. 250
b. 108
c. 100
d. 97
e. 85
Belirsiz ‹ntegral
Amaçlar
Bu üniteyi çal›ﬂt›ktan sonra;
belirsiz integralin al›n›ﬂ›n›,
belirsiz integralinin ekonomik uygulamalar›n›,
belirsiz integral alma yöntemlerini ö¤reneceksiniz.
9
188
Belirsiz ‹ntegral
‹çindekiler
• Belirsiz integral tan›m›
• Belirsiz integral hesaplama yöntemleri
• Belirsiz integral ünitesine baﬂlamadan önce türev ile ilgili üniteleri bir
kere daha gözden geçirmelisiniz.
• Belirsiz integral kavram›n› ve türevle iliﬂkisini iyice kavraman›z gerekir.
• ‹ntegral alma kurallar› için örnekleri iyi incelemeniz ve bir kere de sizin çözmeniz daha uygun olacakt›r.
Giriﬂ
Bir iﬂletmenin, x üretim miktar›n› göstermek üzere, marjinal maliyet
fonksiyonunun,
MC = x2 + 2x
olarak belirledi¤ini varsayal›m. Firman›n toplam maliyet fonksiyonu nas›l
bulunur?
Yukar›da vermiﬂ oldu¤umuz probleme benzer bir çok iﬂletme ve ekonomi probleminin çözümünde integral alma kullan›lacakt›r. Bu kitapta verilmemesine
ra¤men, olaylar›n zaman içindeki de¤iﬂimini gösteren dinamik modellerin
çözümünde kullan›lan Diferansiyel Denklemlerin çözümünde de integralden
yararlan›l›r.
Belirsiz ‹ntegral Tan›m›
189
BEL‹RS‹Z ‹NTEGRAL TANIMI
Belirsiz integral konusuna girmeden önce bir ekonomi problemini ele alarak, çözümünü inceleyelim.
ÖRNEK 1
Bir iﬂletme, x de¤iﬂkeni üretim miktar›n› göstermek üzere, marjinal maliyet fonksiyonunu,
MC = f (x) = 4x + 4
olarak belirlemiﬂtir. Verilen marjinal maliyet fonksiyonunundan yararlanarak bu iﬂletmenin, sabit maliyetler 50 000 TL. olmak üzere, 100 birimlik
üretiminin toplam maliyetini bulunuz.
dF (x )
= F ' (x ) = f (x )
dx
olur. Bu iliﬂki örnekte verilen verilere uygunal›rsa,
dF (x )
= 4x + 4
dx
eﬂitli¤i bulunur. Türevle ilgili verilerden, türevi f (x) = 4x + 4 olan bir F (x) fonksiyonu, sabit fark›yla,
F (x) = 2x2 + 4x
olarak bulunur. Türevi 4x + 4 olan fonksiyonlardan baz›lar›, sabitin türevinin s›f›r oldu¤u gözönüne al›narak, aﬂa¤›daki ﬂekilde yaz›labilir.
F 1(x) = 2x2 + 4x + 5 ,
F 2(x) = 2x2 + 4x - 100 ,
F
F
'1 (x) = 4x + 4
'2 (x) = 4x + 4
Yukar›daki örneklerde oldu¤u gibi, türevi 4x + 4 olan fonksiyonlar biribirinden
sabitlerle ayr›lmaktad›r. Fonksiyonlardaki sabit yerine genel bir sabit olan c
koyulursa,
F (x) = 2x2 + 4x + c
olur. Toplam maliyet fonksiyonundaki c sabiti, üretimin olmad›¤› durumdaki sabit maliyeti göstermektedir. Örne¤imizdeki toplam maliyet fonksiyonu olan F (x)
de x = 0 olarak al›nd›¤›nda,
F (0) = c = 50 000
olarak bulunur. Buradan x = 100 birimlik üretim için toplam maliyet,
F (100) = 2 (100)2 + 4.100 + 50 000 = 70 400
olacakt›r.
Vermiﬂ oldu¤umuz örnekteki yöntem genelleﬂtirilerek belirsiz integral tan›m›
aﬂa¤›daki ﬂekilde yap›labilir.
ÇÖZÜM
Türevle ilgili ünitelerde marjinal maliyet fonksiyonunun, toplam maliyet fonksiyonunun üretim miktar› olarak olan x de¤iﬂkenine göre birinci türevi oldu¤u
aç›klanm›ﬂt›. Toplam maliyet fonksiyonu F (x) ise, F (x) in türevi marjinal maliyet fonksiyonu olan f (x) olacakt›r. Böylece,
Belirsiz integral ile maliyet fonksiyonlar› aras›nda iliﬂkiler vard›r. Bu iliﬂkiler, bizi belirsiz integral tan›m›na
götürecektir.
190
Temel ‹ntegral Kurallar›
Bir f (x) fonksiyonu için,
dF (x )
= f (x )
dx
olacak ﬂekilde bir F (x) fonksiyonu varsa, F (x) + c fonksiyonlar›na, f (x) in ters
türevleri veya belirsiz integrali denir ve bu durum,
f (x ) dx = F (x ) + c
Belirsiz integral, türevi verilen fonksiyonlar› bulma iﬂlemidir. Bu iﬂleme
ters türev de denir. Türevi eﬂit fonksiyonlar birbirinden integral sabiti
denilen c sabitiyle ayr›l›rlar.
‹ntegral tan›m›ndaki dx diferansiyeli,
integralin hangi de¤iﬂkene göre
al›naca¤›n› göstermektedir.
ﬂeklinde ifade edilir. Bu eﬂitlik "f (x) fonksiyonunun belirsiz integralinin F (x) + c"
oldu¤unu gösterir.
Burada simgesine integral iﬂareti, f (x) fonksiyonuna integrant veya integral alt› denilir. Bu ifadeye belirsiz integral denilmesinin nedeni F (x) + c fonksiyonlar›n›n kesin tan›ml› olmay›ﬂ›, bir fonksiyon ailesini göstermesindendir. F (x)
fonksiyonlar›n› biribirinden ay›ran c sabitine integral sabiti denir.
‹ntegral tan›m›ndaki dx diferansiyeli integralin hangi de¤iﬂkene göre al›nd›¤›n› göstermektedir. Bununla ilgili olarak aﬂa¤›daki örnekleri inceleyiniz.
3x dx integrali, 3x fonksiyonunun x e göre integralinin al›naca¤›n› göstermektedir.
4y 2x dx integrali, 4y 2x fonksiyonunun x e göre integralinin al›naca¤›n›
göstermektedir.
4y 2x dy integrali, 4y 2x fonksiyonunun y ye göre integralinin al›naca¤›n›
göstermektedir.
2t 2y + t + 1 dt integrali, 2t 2y + t + 1 fonksiyonunun t ye göre integralinin
al›naca¤›n› göstermektedir.
TEMEL ‹NTEGRAL KURALLARI
Temel integral alma kurallar›n› anlayabilmeniz için türev konusuna yeniden bakman›z yararl› olacakt›r.
Bu k›s›mda türev alma kurallar›ndan yararlanarak integral alma kurallar›n›
aç›klayaca¤›z.
1)
adx = ax + c
2) n ≠ -1 için
3) n = -1 için
n+1
+c
x ndx = x
n+1
x -1dx =
4)
e xdx = e x + c
5)
x
a xdx = a + c , a > 0
lna
1 dx = ln x + c , x ≠ 0
x
Yukar›da verilen temel integral formülleri, integral alma sonucu bulunan fonksiyonun türevinin integrali al›nacak fonksiyonu verip vermedi¤ine bak›larak do¤rulanabilir. ﬁöyle ki:
Temel ‹ntegral Kurallar›
191
1) F (x ) = ax + c ise F ' (x ) = a olur.
n + 1 xn + 1 - 1
= x n olur.
n+1
n+1
+ c ise F ' (x ) =
2) F (x ) = x
n+1
3) F (x ) = ln x + c ise F ' (x ) = 1x
Yandaki do¤rulamalar integralin ters
türev oldu¤unu göstermektedir.
olur. x ≠ 0
4) F (x ) = e x + c ise F ' (x ) = e x olur.
x
5) F (x ) = a + c , ise
lna
x
F ' (x ) = a . lna = a x olur.
lna
ﬁimdi yukar›da vermiﬂ oldu¤umuz kurallar için birer örnek verelim. Siz de
ikinci taraftaki fonksiyonlar›n türevlerini alarak integrali al›nan fonksiyonlar› verip
vermedi¤ini kontrol ediniz.
x dx = 2 x x + c
3
3dx = 3x + c
3
x 2dx = x + c
3
Türev yard›m› ile do¤rulamalar› siz
de yap›n›z.
dx = - 1 + c
x3
2x 2
dy
4
x 3dx = x + c
4
=- 1 +c
y
y
2
x
5 xdx = 5 + c
ln5
2ydy = y 2 + c
Yukar›da verilen temel integral kurallar› türev ile ilgili ünitelerde verilen türev
alma kurallar› yard›m›yle daha da geliﬂtirilebilir.
Buna göre, f (x) ve g(x) fonksiyonlar›, s›ras›yle F (x) ve G (x) in türevleri olan
fonksiyonlar ise,
d F (x ) + G (x ) = d F (x ) + d G (x ) = f (x ) + g (x )
dx
dx
dx
oldu¤undan,
Birden fazla fonksiyonun toplamlar›n›n türevi, bu fonksiyonlar›n ayr›
ayr› bulunan türevleri toplam›na eﬂittir. Bu kural›n sonucu olarak da, birden çok fonksiyonun toplamlar›n›n
integralini fonksiyonlar›n ayr› ayr›
bulanan integralin taplam›na eﬂit oldu¤u bulunur.
f (x ) + g (x ) dx = d F (x ) + G (x )
= F (x ) + G (x ) + c
= f (x )dx + g (x )dx
olur. O halde kural olarak, iki fonksiyonunun toplamlar›n›n integrali, bunlar›n ayr› ayr› bulunan integralleri toplam›na eﬂit olaca¤›n› söyleyebiliriz.
f (x ) + g (x ) dx =
f (x ) dx +
g (x ) dx
Sabitle bir fonksiyonun çarp›m›n›n integrali de, türev kurallar› yard›miyle,
fonksiyonun integrali ile sabitin çarp›m›na eﬂittir.
k f (x ) dx = k f (x ) dx
ﬂeklinde gösterilir.
Bir sabitle bir fonksiyonun çarp›m›n›n türevi, fonksiyonun türevi ile sabitinin çarp›m›na eﬂit oldu¤unu hat›rlay›n›z. Verdi¤imiz kural da türev
kural›n›n bir sonucudur.
Temel ‹ntegral Kurallar›
192
SIRA S‹ZDE 1
Yukar›da verilen kurallar yard›m›yla aﬂa¤›daki integrallerin nas›l al›nd›¤›n›
inceleyiniz.
Örnekteki integralleri al›rken, integral
iﬂleminden önce basitleﬂtirme iﬂlemlerini yapmak problemlerin çözümünü kolaylaﬂt›racakt›r.
1)
3
2
2
2x - 4x + 6 dx = 2 x 2dx - 4 xdx + 6 dx = 2x - 2x + 6x + c
3
2)
6x - 2x + 8 dx = 6 x 2dx - 2 xdx + 8 dx = 2x - x 2 + 8x + c
3)
e y + y 2 dy = e ydy + y 2dy = e y +
4)
3t 3 + 2t 2 + 3 dt = 3
5)
6)
2
3
2 1 dx = 2
x
y3
+c
3
4
3
t 3dt + 2 t 2dt + 3 dt = 3t + 2t + 3t + c
3
4
1
= 2ln x + c = lnx 2 + c
x dx
x 4 + x - 1 dx =
x
=
x 4 dx +
x
x
x dx
x 3dx + dx -
1
x dx
4
1
= x + x - ln x + c
x dx
4
Temel integral alma kurallar› yard›m›yla aﬂa¤›daki integrallerin nas›l al›nd›¤›n›
inceleyiniz. Bu integrallerde, üstel ve köklü ifadelerin bulundu¤u integrallerin nas›l al›naca¤› gösterilmiﬂtir.
Bu örneklerde köklerin kuvvet ﬂeklinde yaz›lmalar› çok önemlidir. ‹ntegralleri önce al›n›z ve sonra cevapla karﬂ›laﬂt›r›n›z.
x
2
6.5x - 2e x + x - 1 dx = 6. 5 - 2e x + x - x + c
2
ln5
4/3
+ 2x 1/2 + c = 3 x 3 x + 2 x + c
x 1/3 + x -1/2 dx = 3x
4
4
3
x+ 1
x
4
x 3 + x + 2 dx =
3
x
dx =
x 3/4 dx + x 2/3 dx + 2 dx
7/4
5/3
= 4x
+ 3x + 2x + c
7
5
= 4x
ÖRNEK 2
4
3
x 3 + 3 x x 2 + 2x + c
5
ÇÖZÜM
Bir iﬂletmede x üretim miktar›na ba¤l› olarak marjinal maliyet fonksiyonu,
MC(x) = x + 50ex
ve sabit maliyet 250 000 birim ise, toplam maliyet fonksiyonunu bulunuz.
Önce verilen 1. Örnek incelenirse marjinal maliyet fonksiyonunun integralinin
toplam maliyet fonksiyonunu verece¤i görülür. Baﬂka bir ifadeyle,
TC (x ) =
x + 50 e x dx =
2
xdx + 50 e xdx = x + 50 e x + c
2
Temel ‹ntegral Kurallar›
193
olur. Üretim miktar›n›n s›f›r oldu¤u noktadaki maliyetin sabit maliyeti gösterece¤ini biliyorsunuz. Buradan,
TC (0) = 50.e0 + c = 250 000 ve
c = 250 000 - 50 = 249 950
olur. Böylece toplam maliyet fonksiyonu,
2
TC (x ) = x + 50 e x + 249 950
2
olur.
Ekonomide, marjinal maliyet fonksiyonu verildi¤inde toplam maliyet fonksiyonunu bulmada kullan›lan yöntemden, üretim miktar›na ba¤l› olarak verilen marjinal kâr fonksiyonundan toplam kâr fonksiyonu bulunabilir. Bunun için aﬂa¤›daki
örne¤i inceleyiniz.
Ekonomide marjinal maliyet fonksiyonu verildi¤inde toplam maliyet
fonksiyonunu, marjinal kâr fonksiyonu verildi¤inde de toplam kâr
fonksiyonu bulunabilir. Bu hesaplama
yöntemi integral almad›r.
ÖRNEK 3
Bir iﬂletmede x üretim miktar›na ba¤l› olarak marjinal kâr fonksiyonu,
K ' (x) = 100x - 5000
olarak belirlenmiﬂtir. ‹ﬂletmede üretim yap›lmad›¤›nda zarar 25000 birim ise, toplam kâr fonksiyonunu bulunuz.
K (x ) =
100x - 5000 dx = 50x 2 - 5000x + c
ÇÖZÜM
Marjinal kâr fonksiyonunun integrali toplam kâr fonksiyonunu verece¤inden, toplam kâr fonksiyonunu,
olur. Üretim yap›lmad›¤›nda, x = 0 olaca¤›ndan,
K (0) = c = -25000 birim olarak bulunur. Böylece toplam kâr fonksiyonu,
K (x) = 50x2 - 5000x - 25000
olacakt›r.
Bir iﬂletmede talep miktar› x birim, üretilen mal›n sat›ﬂ fiyat› p olmak üzere,
talep fonksiyonu,
Bu örne¤in çözümünde
Gelir = Fiyat . Miktar
oldu¤u unutulmamal›d›r.
p = f (x)
olacakt›r. Baﬂka bir deyimle, bir iﬂletmenin üretti¤i mallar›n tamam›n› satt›¤› durumda, talep miktar› üretim miktar›na eﬂit ve mal›n fiyat› da üretim miktar›n›n bir
fonksiyonu olmaktad›r. Bu fonksiyona, yukar›da fonksiyon ﬂeklinde ifade edildi¤i gibi, talep fonksiyonu denir.
‹ﬂletmenin toplam gelir fonksiyonu,
R (x) = x.p = x f (x)
olur.
Toplam gelir fonksiyonunun türevi marjinal gelir fonksiyonunu verecektir.
R ' (x) = f (x) + x. f ' (x)
E¤er iﬂletmenin, x üretim miktar›na ba¤l› olarak, marjinal gelir fonksiyonu biliniyorsa, toplam gelir fonksiyonu,
R (x ) = R ' (x ) dx
Toplam gelir fonksiyonunun türevinin marjinal gelir fonksiyonu oldu¤unu unutmay›n›z. Bu sonuç bir çok
ekonomik problemin çözülmesinde
kullan›l›r.
Belirsiz ‹ntegral Alma Yöntemleri
194
olarak bulunur. Böylece toplam gelir fonksiyonu, c sabit geliri göstermek
üzere,
R ' (x ) dx = R (x ) + c
olarak bulunur.
Yukar›da yap›lan aç›klamalar ile aﬂa¤›daki örnek aras›ndaki iliﬂkiyi kurunuz.
ÖRNEK 4
ÇÖZÜM
Bir iﬂletmenin, x üretim miktar›n› göstermek üzere, marjinal gelir fonksiyonu,
R ' (x) = 10 - 2x - x2
ise toplam gelir fonksiyonu ne olur?
R (x ) = MRdx =
2
3
3
10 - 2x - x 2 dx = 10x - 2x - x + c = 10x - x 2 - x + c
2
3
3
Üretim yap›lmad›¤›nda, gelir s›f›r olaca¤› için burada c = 0 olacak ve dolay›s›yle
bu iﬂletme için toplam gelir fonksiyonu,
3
R (x ) = 10x - x 2 - x
3
olur.
ÖRNEK 5
Bir kentin nüfusunun, t y›l olarak zaman› göstermek üzere,
p ' (t ) = 6000 + 9000 t
ÇÖZÜM
ba¤›nt›s›yle büyüdü¤ü belirlenmiﬂtir. Kentin ﬂu andaki nüfusu 500 000 kiﬂi ise, 4 y›l sonraki nüfusu ne olur?
Kent nüfusunun büyümesini gösteren,
p ' (t ) = 6000 + 9000 t
fonksiyonunun integrali al›narak, t y›l sonraki nüfusu,
p (t ) = p ' (t ) dt = 6000t + 6000t t + 500 000
fonksiyonu ile belirlenir. t = 4 için,
p (4) = 6000.4 + 6000.4 4 + 500 000 = 572 000
olacakt›r.
BEL‹RS‹Z ‹NTEGRAL ALMA YÖNTEMLER‹
Bu kesimde, belirsiz integral hesaplar›nda en çok kullan›lan üç yöntemi tan›taca¤›z. Bu yöntemler de¤iﬂken dönüﬂümü, k›smi integrasyon ve basit kesirlere ay›rma teknikleri olarak adland›r›l›r.
De¤iﬂken Dönüﬂümü ‹le ‹ntegral Alma
De¤iﬂken dönüﬂümü ile integral alma yöntemini bir örnek üzerinde aç›klayarak
genelleﬂtirece¤iz.
Belirsiz ‹ntegral Alma Yöntemleri
20
x 2 - 1 xdx
195
ÖRNEK 6
integralini hesaplay›n›z.
ÇÖZÜM
‹ntegrali al›nacak fonksiyondaki (x2 - 1)20 ifadesinin aç›larak integralin al›nmas›
çok uzun iﬂlemler gerektirmektedir. Bu uzun iﬂlemleri ortadan kald›rarak integrali al›nacak fonksiyonu basitleﬂtirmek için de¤iﬂkeni dönüﬂtürece¤iz.
‹ntegrali al›nacak fonksiyonda (x2 - 1) yerine yeni bir de¤iﬂken olarak,
u = x2 - 1
de¤iﬂkenini koyal›m. Dönüﬂümle verilen fonksiyonunun x e göre türevini alal›m
ve buradan da dx diferansiyelini bulal›m.
du = 2x ﬁ du = dx
2x
dx
Buldu¤umuz bu de¤erleri integrali al›nacak fonksiyonda yerine koyal›m.
20
x 2 - 1 xdx =
u 20. x . du = 1 u 20du
2x
2
21
21
= 1 .u + c = 1 u 21 + c = 1 x 2 - 1 + c
2 21
42
42
Bu örnekte uygulanan de¤iﬂken dönüﬂümü ile integral alma yöntemi için aﬂa¤›daki genel ilke verilecektir.
Çözümde buldu¤unuz integralin U'
ya ba¤l› olarak al›naca¤›n› du diferansiyeli göstermektedir.
•
u de¤iﬂkeni u = g(x) ﬂeklinde seçiniz. Genelde, integrali al›nacak fonksiyondaki parantez içerisi, kök içerisi veya bir üs u olarak al›n›r.
•
du = g ' (x ) ve buradan du = dx diferansiyeli bulunur.
dx
g ' (x )
u = g (x ) ve du = dx de¤erleri integral al›nacak fonksiyonda yerlerine
g ' (x )
konulursa, içerisinde x de¤iﬂkeni yerine u de¤iﬂkenine ba¤l› integrali al›nacak
bir fonksiyon bulunur. E¤er, yap›lan dönüﬂüm sonucunda içerisinde x
de¤iﬂkeni bulunan bir fonksiyon bulunursa baﬂka bir dönüﬂüm uygulan›r.
Dönüﬂüm sonucunda u ya ba¤l› olarak bulunan fonksiyonun integrali u ya
göre al›nacakt›r. Al›nan integralde u yerine u = g (x) de¤eri konulur.
Kural incelendi¤inde de¤iﬂkenin ve
buna ba¤l› olarak diferansiyelin nas›l dönüﬂtürüldü¤ünü görmek çok
önemlidir Genelde integrali al›nacak
fonksiyondaki parantez içerisi, kök
içerisi veya bir üs u olarak al›n›r.
•
•
Vermiﬂ oldu¤umuz de¤iﬂken dönüﬂümü yöntemi ile al›nacak integral örnekleri verece¤iz.
10
x 3 + 1 x 2dx
ÖRNEK 7
integralini al›n›z.
u = x3 + 1 ,
du = 3x 2 ﬁ dx = du
dx
3x 2
de¤erleri bulunur.
konulursa,
Bulunan
de¤erler
integraldeki
fonksiyonda yerlerine
ÇÖZÜM
‹ntegrali al›nacak fonksiyonda (x3 + 1) ifadesi yerine u de¤iﬂkeni al›n›rsa,
Belirsiz ‹ntegral Alma Yöntemleri
196
10
x 3 + 1 x 2dx =
11
u 10. x 2. du = 1 u10 . du = 1 . u + c
3
3 11
3x 2
11
= 1 x2 + 1 + c
33
sonucu bulunur.
ÖRNEK 8
xdx
4
x +2
integralini al›n›z.
ÇÖZÜM
2
‹ntegrali al›nacak fonksiyonda parantezin içerisindeki (x2 + 2) ifadesi u olarak
al›nacakt›r.
du = dx
u = x 2 + 2 , du = 2x ﬁ
dx
2x
Bulunan de¤erler integrali al›nacak fonksiyonda yerlerine konulursa,
xdx
2
x +2
=
4
x . du = 1 u -4.du
2
u 4 2x
-3
1
= 1. u +c = -1.
+c
2 -3
6 x2 + 2 3
bulunur.
ÖRNEK 9
ÇÖZÜM
xdx
x2 + 3
integralini hesaplay›n›z..
u = x2 + 3 olarak al›nd›¤›nda,
du = 2x
dx
ﬁ
dx = du
2x
olur. Bu de¤erler integrali al›nacak fonksiyonda yerlerine konulursa,
Bu örnekteki integralin al›nmas›nda
logaritmik fonksiyonun türevinden
yararlan›ld›¤›n› görünüz.
ÖRNEK 10
sonucu bulunur.
e 3x + 6. dx
ÇÖZÜM
x . du = 1 du = 1 ln u + c = 1 ln x 2 + 3 + c
u 2x
2 u
2
2
xdx =
x2 + 3
integralini hesaplay›n›z.
u = 3x + 6 olarak al›n›rsa,
du = 3
dx
ﬁ du = dx
3
de¤erleri bulunur. Bulunan de¤erler integrali al›nacak fonksiyonda yerlerine
konulursa,
e 3x+6 dx =
sonucu bulunur.
e u . du = 1 e u + c = 1 e 3x+6 + c
3
3
3
Belirsiz ‹ntegral Alma Yöntemleri
x . x 2 + 2 dx
197
ÖRNEK 11
integralini hesaplay›n›z.
du = 2x ﬁ du = dx
2x
dx
ÇÖZÜM
‹ntegrali al›nacak fonksiyonda u = x2 + 2 olarak al›n›rsa,
de¤erleri bulunur. Bulunan de¤erler integrali al›nacak fonksiyonda yerlerine
konulursa,
3/2
+ c = 1 u u +c
x. x 2 + 2 dx = x . u 1/2 . du = 1 u 1/2 du = 1 u
2x
2
2 3
3
2
= 1 x2 + 2 x2 + 2 + c
3
sonucu bulunur.
ex
2+1
. xdx
ÖRNEK 12
integralini hesaplay›n›z.
du = 2x ﬁ du = dx
2x
dx
ÇÖZÜM
u = x2 + 1 al›n›rsa,
de¤erleri bulunur. Bulunanlar integrali al›nacak fonksiyonda yerlerine konulursa,
ex
2+ 1
. xdx =
2
e u . x . du = 1 e u du = 1 e u + c = 1 e x + 1 + c
2x
2
2
2
sonucu bulunur.
e 2x dx
2 + e 2x
ÖRNEK 13
integralini hesaplay›n›z.
du = 2e 2x
dx
ﬁ dx = du
2e 2x
de¤erleri bulunur. Bulunan de¤erler integrali al›nacak fonksiyonda yerlerine
konulursa,
e 2x dx =
2 + e 2x
sonucu bulunur.
e 2x . du = 1 ln u + c = 1 ln 2 + e 2x + c
u 2e 2x
2
2
ÇÖZÜM
‹ntegrali al›nacak fonksiyonda u = 2 + e2x olarak al›n›rsa,
Belirsiz ‹ntegral Alma Yöntemleri
198
SIRA S‹ZDE 2
Örneklerdeki integralleri al›rken önce
de¤iﬂkenin nas›l dönüﬂtürüldü¤üne
dikkat ediniz.
Aﬂa¤›daki integralleri alarak ikinci tarafla karﬂ›laﬂt›r›n›z.
1)
2
3
5x + 3 dx = 1 5x + 3 + c ,
15
2)
1 - 2x
3)
3x + 5 dx = 2 3x + 5
9
5
dx = - 1 1 - 2x
12
6
u = 5x + 3
+ c,
u = 1 - 2x
3x + 5 + c ,
u = 3x + 5
4)
2x dx = ln x 2 + 5 + c ,
x2 +5
u = x2 + 5
5)
e 8xdx = 1 e 8x + c ,
8
u = 8x
6)
2x . e x
2 - 1
dx = e x
2x + 1 dx
7)
2
x +x
4
= -
2 - 1
u = x2 - 1
+ c,
1
3 x +x
2
3
ln x + 1 dx
= 1 ln x + 1
x +1
2
8)
u = x2 + x
+ c,
2
+ c,
u = ln x + 1
K›smi ‹ntegral Alma Yöntemi
u ve v , x de¤iﬂkenine ba¤l› ve bu de¤iﬂkene göre türevlenebilir iki fonksiyon
olsun. Bu iki fonksiyonun çarp›mlar›n›n x e göre türevleri al›n›rsa,
d u . v = u . dv + v . du
dx
dx
dx
bulunur. Diferansiyelleri kullanarak,
d (uv) = udv + vdu
eﬂitli¤i bulunur. Bu eﬂitli¤in her iki taraf›ndaki ifadelerin integralleri al›n›rsa,
d uv =
u.v ﬂeklinde x e ba¤l› iki fonksiyonun çarp›mlar›n›n türevinden yararlan›larak
udv = uv -
vdu
ﬂeklinde belirlenen k›smi integral formülü bulunur.
udv + vdu
veya
uv = udv + vdu
eﬂitli¤i bulunur. Son eﬂitlikteki
udv terimi yaln›z b›rak›l›rsa, k›smi integral alma
yönteminde kullan›lacak formül bulunur.
K›smi integral yöntem uyguanmas›
için dv integrali en kolay al›nabilen
ve ayn› zamanda,
vdu
integralinin kolayca al›nmas›n› sa¤layan fonksiyon olarak seçilmelidir.
udv = uv - vdu
Formülde çarp›m ﬂeklinde verilen udv ifadesindeki çarpanlardan dv olarak
integrali en kolay al›nabilen ve ayn› zamanda vdu integralinin kolayca al›nmas›n› sa¤layan fonksiyon seçilmelidir. E¤er, dv olarak seçilen fonksiyon ikinci taraftaki integralin al›nmas›n› kolaylaﬂt›rm›yorsa, dv olarak di¤er çarpan seçilir.
Belirsiz ‹ntegral Alma Yöntemleri
199
Aﬂa¤›da verece¤imiz örnekleri dikkatle incelerseniz bu seçimi kolayca yapar
ve integrali hesaplayabilirsiniz.
x e xdx
ÖRNEK 14
integralini k›smi integral alma yöntemiyle hesaplay›n›z.
ÇÖZÜM
K›smi integral alma yöntemiyle bu integrali almak için önce x.exdx çarp›m›nda
hangi çarpan›n u, hangi çarpan›n dv olarak seçilmesi gerekti¤i belirlenmelidir.
Burada dv = exdx , u = x olarak al›n›rsa,
dv = exdx ﬁ v = ex
x = u ﬁ dx = du
olarak bulunur. Bulunan de¤erler k›smi integral alma formülünde yerlerine
koyulursa,
x e xdx = x e x -
e xdx
Ø Ø
Ø Ø
Ø Ø
u dv = u . v -
v du
= xex - ex + c
bulunur.
x lnx dx
2
dv = xdx ﬁ v = x
2
1
u = lnx ﬁ du = x dx
dv = xdx ﬁ
de¤erleri bulunur. Bulunan de¤erler k›smi integral alma formülünde yerlerine
konulursa,
2
2
2
2
2
x lnx dx = x lnx - x . 1 dx = x lnx - 1 xdx = x lnx - 1 . x + c
x
2
2 2
2
2
2
2
2
= x lnx - 1 x 2 + c
2
4
ÇÖZÜM
‹ntegrali al›nacak fonksiyonun çarpanlar›ndan biri olan lnx fonksiyonunun integrali kolayl›kla al›namaz. O halde dv olarak xdx çarpan› seçilirse,
bulunur.
ÖRNEK 15
integralini k›smi integral alma yöntemiyle hesaplay›n›z.
Belirsiz ‹ntegral Alma Yöntemleri
200
ÖRNEK 16
ÇÖZÜM
lnx dx
integralini k›smi integral alma yöntemiyle hesaplay›n›z.
‹ntegrali al›nacak fonksiyonun çarpanlar›ndan lnx fonksiyonunu u, dx ise dv
olarak al›nacakt›r.
u = lnx ﬁ du = 1 dx
x
dv = dx ﬁ v = x
Bulunan de¤erler yerlerine konulursa,
lnx dx = x lnx - x . 1x dx = x lnx - dx = x lnx - x + c
sonucu bulunur.
ÖRNEK 17
ÇÖZÜM
lnx
2
dx
integralini k›smi integral alma yöntemiyle hesaplay›n›z.
u = lnx
dv = dx
lnx
2
2
ﬁ du = 2 lnx . 1x dx
ﬁ
v=x
dx = x lnx
lnx dx
= x lnx
integralinin bir önceki örnekte hesapland›¤›na dikkat ediniz.
ÖRNEK 18
ÇÖZÜM
1 lnx dx
x2
2
- 2. ln x . 1x x dx
2
- 2 lnx dx = x lnx
2
- 2 x lnx - x + c
integralini k›smi integral alma yöntemiyle hesaplay›n›z.
dv = 12 dx ﬁ v = - 1x
x
u = lnx
olur.
ﬁ du = 1x dx
Bu de¤erler integrali al›nacak fonksiyonda yerlerine konulursa,
1 lnx dx = - 1 lnx x
x2
- x1 . 1x dx
= - 1x lnx + 12 dx
x
= - 1x lnx - 1x + c
sonucu bulunur.
Belirsiz ‹ntegral Alma Yöntemleri
ln x +1 dx
201
ÖRNEK 19
integralini k›smi integral alma yöntemiyle hesaplay›n›z.
ﬁ v=x
u = ln x + 1
ﬁ du =
1 dx
x+ 1
ÇÖZÜM
dv = dx
Bu de¤erler integrali al›nacak fonksiyonda yerlerine konulursa,
ln x +1 dx = x ln x + 1 = x ln x + 1 -
x dx
x+ 1
1-
1
dx
x +1
= x ln x + 1 - x + ln x + 1 + c
sonucu bulunur.
x 4 ln10x dx
ÖRNEK 20
integralini hesaplay›n›z.
5
dv = x 4dx ﬁ v = x
5
ÇÖZÜM
‹ntegrali al›nacak fonksiyonunun çarpanlar›ndan ln10x ifadesi u , x4dx ifadesi
de dv olarak al›n›rsa,
u = ln10x ﬁ du = 1x dx
Bulunan de¤erler yerlerine konulursa,
5
5
x 4 ln10x dx = x ln10x - x . 1 dx
5
5 x
5
5
= x ln10x - x + c
5
25
bulunur.
Basit Kesirlere Ay›rma Yöntemiyle ‹ntegral Alma
a lar sabit ve n ≥ 0 tamsay› olmak üzere,
a 0x n + a 1x n -1 + .... a n -1x + a n
ﬂeklinde x in kuvvetlerine göre düzenlenmiﬂ bir ifadeye polinom denildi¤ini
biliyorsunuz.
Bir polinomun ax + b ﬂeklinde birinci dereceden ax2 + bx + c ﬂeklinde ikinci dereceden çarpanlar› olabilir.
f (x) ve g (x) birer polinom ve g (x) ≠ 0 olmak üzere,
F (x ) = f (x )
g (x )
x in pozitif tamsay› olan kuvvetlerine göre düzenlenmiﬂ ifadelere polinom denir. f (x) ve g (x) birer polinom ve g (x) ≠ 0 olmak üzere
F (x ) =
f (x )
g (x )
ﬂeklindeki fonksiyona rasyonel fonksiyon denir. Burada bir rasyonel
fonksiyonun basit kesirler ﬂeklinde
nas›l ifade edilece¤i aç›klanacakt›r.
Belirsiz ‹ntegral Alma Yöntemleri
202
ﬂeklindeki fonksiyona rasyonel fonksiyon denir. Rasyonel fonksiyonda paydaki
fonksiyonunun derecesi paydadaki polinomun derecesinden küçük ise bu kesir
basit kesirdir. E¤er paydaki polinomun derecesi paydadaki polinomun derecesinden büyük veya eﬂit ise, verilen kesirin pay›ndaki polinom paydas›ndaki polinoma bölünerek verilen fonksiyon bir polinom ile bir basit kesirin toplam› ﬂeklinde
ifade edilebilir.
Örnek olarak
x
x 2 fonksiyonunu ele alal›m.
x- 1
2
x-1
- 2+
+x - x x + 1
x
+- x +- 1
1
x2 = x + 1 + 1
x -1
x -1
Böylece
olur.
Bu rasyonel fonksiyonun integralini alal›m.
x + 1+
1 dx = x 2 + x + ln x - 1 + c
2
x -1
Bir rasyonel fonksiyonun paydas›ndaki polinomun biribirinden farkl› ax + b
ﬂeklinde birinci dereceden çarpanlar› varsa, çarpanlar›n her biri için,
A
ax + b
ﬂeklinde basit kesirler yaz›l›r ve bu kesirler toplanarak rasyonel fonksiyona özdeﬂ
k›l›n›r.
ÖRNEK 21
ÇÖZÜM
dx
x2 -1
integralini hesaplay›n›z.
Paydadaki polinom,
(x2 - 1) = (x - 1) (x + 1) ﬂeklinde çarpanlar›na ayr›l›r.
1
∫ A + B
x -1 x +1
x2 - 1
‹kinci taraftaki kesirlerin paydalar› eﬂitlenirse ve gerekli düzenlemeler yap›l›rsa,
1 ∫ A (x + 1) + B (x - 1)
1 ∫ (A + B )x + A - B
özdeﬂlikleri bulunur. Özdeﬂli¤in ikinci taraf› x li terimin katsay›s› birinci taraftaki
x li terim olmad›¤› için katsay› s›f›r olacakt›r.
A+B=0
A-B=1
Bu iki denklem ortak çözülürse A = 1 ve B = - 1 olarak bulunur. Böylece
2
2
1
1
= 1 1 - 1
2 x -1
2 x +1
x2 - 1
Belirsiz ‹ntegral Alma Yöntemleri
203
olur. ‹ntegral al›n›rsa,
dx = 1 dx - 1 dx
2 x -1
2 x +1
x2 -1
= 1 ln x - 1
2
= ln
- 1 ln x + 1 + c
2
x -1 +c
x +1
bulunur.
dx
x + 7x + 6
2
ÖRNEK 22
integralini al›n›z.
1
= A + B
x +1 x +6
x 2 + 7x + 6
ÇÖZÜM
‹ntegrali al›nacak rasyonel fonksiyonun paydas›ndaki polinom çarpanlar›na ayr›l›rsa, x2 + 7x + 6 = (x + 1) (x + 6) bulunur.
Eﬂitli¤in ikinci taraf›ndaki kesirlerin paydalar› eﬂitlenir ve gerekli düzenlemeler
yap›l›rsa,
1 ∫ A (x + 6) + B (x + 1)
1 ∫ (A + B )x + 6A + B
ﬁ
A + B = 0 , 6A + B = 1
denklem sistemi bulunur. Bu iki denklemin ortak çözümünden
A =1 , B =- 1
5
5
bulunur.
1
1 - 1
1
= 1
5 x +1
5 x +6
x 2 + 7x + 6
‹ntegral al›n›rsa
1
= 1 dx - 1 dx
5 x +1
5 x +6
x 2 + 7x + 6
5
= ln
x+ 1 + c
x +6
olur.
x 2dx
x2 - 4
ÖRNEK 23
integralini al›n›z.
ÇÖZÜM
‹ntegrali al›nacak rasyonel fonksiyonun pay›ndaki polinomun derecesi paydas›ndaki polinomun derecesinden büyük veya eﬂit ise; pay paydaya bölünerek verilen
fonksiyon bir polinom ile bir basit kesirin toplam› ﬂeklinde ifade edilir.
Belirsiz ‹ntegral Alma Yöntemleri
204
x
2
- 2
+ x +- 4
4
x 2- 4
1
x2 ∫ 1 + 4
x2 - 4
x2 - 4
Özdeﬂlikteki
4 fonksiyonu yukar›da aç›kland›¤› gibi basit kesirlere ayr›labilir.
x2 - 4
4 ∫ A + B
x- 2 x+ 2
x -4
2
‹kinci taraftaki kesirlerin paydalar› eﬂitlenip gerekli düzenlemeler yap›l›rsa,
4 ∫ (A + B)x + 2A - 2B özdeﬂli¤i bulunur. Özdeﬂli¤in iki taraf›ndaki benzer terimlerin katsay›lar›n›n eﬂitli¤inden,
A+B=0
2A - 2B = 4
denklem sistemi bulunur. Bulunan iki denklem iki bilinmeyenden oluﬂan denklem sisteminin ortak çözümünden A = 1, B = -1 bulunur. Verilen rasyonel fonksiyonunun integrali al›n›rsa,
x 2dx = dx + dx - dx
x- 2 x+ 2
x2 - 4
= x + ln x - 2 - ln x + 2 + c
= x + ln x - 2 + c
x+ 2
bulunur.
‹ntegrali al›nacak rasyonel ifadelerin
paydas›ndaki çarpanlar›n biçimi
önemlidir.
‹ntegrali al›nacak rasyonel fonksiyonun paydas›ndaki polinomun ax + b
ﬂeklinde birinci derece ifadelerin tekrarlanm›ﬂ çarpanlar› varsa, A lar
bulunmas› gereken sabitler olmak üzere (n) kere tekrarlanm›ﬂ bir çarpan için,
A2
An
A1 +
+ ...
ax + b ax + b 2
ax + b n
ﬂeklinde n tane basit kesirin toplam› yaz›l›r.
ÖRNEK 24
x + 1 dx
ÇÖZÜM
x -1
2
integralini al›n›z.
‹ntegrali al›nacak rasyonel fonksiyonunun paydas›ndaki (x - 1) çarpan› iki kere
tekrarlanm›ﬂt›r. Bu nedenle,
B
x +1 ∫ A +
x -1 x -1
x -12
2
Belirsiz ‹ntegral Alma Yöntemleri
205
özdeﬂli¤i yaz›l›p, ikinci taraf›n paydalar› eﬂitlenirse, x + 1 ∫ A (x - 1) + B özdeﬂli¤i ve buradan da, x + 1 ∫ Ax - A + B özdeﬂli¤i bulunur. Özdeﬂli¤in her iki
taraf›ndaki benzer terimlerin katsay›lar› eﬂitlenirse,
A=1
-A + B = 1
denklem sistemi bulunur. Bulunan sistemin çözümünden A = 1, B = 2 de¤erleri
bulunur.
1
x +1 ∫ 1 +2.
2
x
1
x -1
x -1
2
‹ntegral al›n›rsa,
(x + 1) dx
x -1
2
=
dx + 2
x -1
= ln x - 1 -
dx
x -1
2
2 +c
(x - 1)
bulunur.
2x 2 - 1 dx
x 3 + x2
ÖRNEK 25
integralini al›n›z.
2x 2 - 1
∫ A + B2 + C
x x
x +1
x3 + x2
‹kinci taraf›n paydalar› eﬂitlenirse,
2x2 - 1 ∫ x (x + 1)A + (x + 1)B + x2 C
∫ (A + C )x2 + (A + B )x + B
özdeﬂli¤i bulunur. Özdeﬂli¤in iki taraf›ndaki benzer terimlerin katsay›lar› eﬂitlenirse,
A+C=2
A+B=0
B = -1
denklem sistemi bulunur. Sistemin ortak çözümünden, A = 1, B = -1, C = 1 de¤erleri bulunur. ‹ntegrali al›n›rsa,
2x 2 - 1 dx
=
x 3 + x2
dx +
dx
x +1
x2
= ln x + 1 + ln x + 1 + c
x
= ln x x + 1
+ 1 + c
x
sonucu bulunur.
dx x
ÇÖZÜM
Verilen rasyonel fonksiyonun paydas›ndaki polinom, x3 + x2 ∫ x2(x + 1) ﬂeklinde çarpanlar›na ayr›l›r. Burada x çarpan› iki kere tekrarlanm›ﬂt›r.
Kendimizi S›nayal›m
206
Kendimizi S›nayal›m
1.
6xdx
3x 2- 10
aﬂa¤›dakilerden hangisine eﬂittir?
5.
a. 1 e -2x + c
2
a. ln 3x 2 - 10 + c
b. ln x 2 - 10 + c
b. 1 e -2x + c
3
c. ln 3x 2 + 10 + c
2.
e -2x dx aﬂa¤›dakilerden hangisine eﬂittir?
d. 6ln x 2 - 2 + c
c. - 1 e -2x + c
2
e. 1 ln x 3 + 3
2
d. - 1 e -2x + c
3
+ c
3
e 3x . x 2dx aﬂa¤›dakilerden hangisine eﬂittir?
e. 1 e -2x + c
4
3
a. e 3x + c
6.
1 e 3x 3 + c
b.
3
2
a. 1 e x + c
2
2
1
b. - e x + c
2
3
c. 1 e 3x + c
2
d.
1 e 3x 3 + c
9
2
c. e x + c
3
e. e x + c
d. e x
eﬂittir?
a.
b.
c.
d.
e.
4.
e.
5
x 2 + 2x . x + 1 dx aﬂa¤›dakilerden hangisine
3.
x2
2
e x . xdx aﬂa¤›dakilerden hangisine eﬂittir?
+ 2x
12
5
x2
6
x2
6
dx aﬂa¤›dakilerden hangisine eﬂittir?
1
1
c. 2e x + c
+c
d. e
+c
e.
x 2 lnxdx aﬂa¤›dakilerden hangisine eﬂittir?
a.
3
3
b. x lnx + x + c
3
3
b.
3
3
c. x lnx - x + c
3
18
x 3 lnx + x 3 + c
3
9
3
3
e. x lnx + x + c
9
3
-1
x+
c
1 + c
ex
lnx 5dx
aﬂa¤›dakilerden hangisine eﬂittir?
x
8.
3
3
a. x lnx - x + c
3
9
d.
1
x2
b. -e x + c
+c
4
+ 2x
18
1
ex .
1
a. 1 e x + c
2
+c
x 2 + 2x
4
+ c
1 ex2 + c
8
+c
x 2 + 2x
10
+ 2x
6
7.
6
2- 1
c.
d.
e.
lnx 5
+c
5
lnx 6
+c
6
lnx 2
+c
3
lnx 4
+c
4
lnx + c
6
Baﬂvurabilece¤imiz Kaynaklar
9. x üretim miktar›n› göstermek üzere, bir firman›n marjinal gelir fonksiyonu, R ' (x) = 40 000 - 2x olarak belirlenmiﬂtir. Buna göre, bu firman›n toplam gelir fonksiyonu aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
a. ln
a. 40 000 - x2
b. ln
b. 40 000x - x2
c. 40 000x + x2
c. ln
d. 40 000x -3x
e. x2
d. ln
10. x üretim miktar›n› göstermek üzere, bir firman›n
marjinal maliyet fonksiyonu, C ' (x) = 8x + 100 olarak be80 bin birim ise, toplam maliyet fonksiyonu aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
a.
b.
c.
d.
e.
+ 100x + 69.600
c. 4x2 + 10x + 69.000
d. 4x2 + 100x + 70.000
e. 4x2 + 100x
11. x üretim miktar›n› göstermek üzere, bir firmada
marjinal kâr fonksiyonu, P ' (x) = 2x + 500 olarak
belirlenmiﬂtir. Firmada 100 birimlik üretim için toplam
kâr 20 bin birim ise, toplam kâr fonksiyonu aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
a. -x2 + 500x - 20 000
b. -x2 + 500x + 20 000
c. x2 + 500
d. x2 + 500x - 30 000
e. -x2 - 500x + 20 000
x- 3 + c
x+3
4
x- 3 + c
x+3
6
x- 3 + c
x+3
12
x- 3 + c
x+3
x
13. e dx aﬂa¤›dakilerden hangisine eﬂittir?
ex- 1
a. 4x2 + 100x + 60.000
b.
3
e. ln x - 3 + c
x+3
lirlenmiﬂtir. Firman›n 40 birim üretim için toplam maliyet
4x2
dx
aﬂa¤›dakilerden hangisine eﬂittir?
x2 - 9
12.
ln
ln
ln
ln
ex
(ex + 1) + c
|ex - 1| + c
ex + c
|1 - ex| + c
+c
ln x dx
aﬂa¤›dakilerden hangisine eﬂittir?
x
14.
a. ln2 x
+ c
2
b. ln x
2
+c
c. ln2x + c
3
d. ln x
3
+c
2
e. ln x
3
+c
Bernhard Riemann (1826 - 1866)
Riemann’ ›n uzay geometri konusundaki çal›ﬂmalar›, modern kuramsal fizi¤in geliﬂmesine
önemli etkileri olmuﬂtur. Bu gün Riemann integrali olarak bilinen belirli integral kavram›n›
ortaya koymuﬂtur.
"Riemann gibi bir geometrici gerçek dünyan›n
en önemli çizgilerinin hemen hemen hepsini
herkesten önce sezmiﬂ olabilirdi."
A. S. EDDINGTON
207
10
Belirli ‹ntegral
ve Uygulamalar›
Amaçlar
Bu üniteyi çal›ﬂt›ktan sonra;
belirli integralin tan›m›n›,
belirli integralin al›n›ﬂ›n›,
belirli integralin iﬂletme ve ekonomik uygulamalar›n› ö¤reneceksiniz.
210
Belirli ‹ntegral ve Uygulamalar›
‹çindekiler
• Belirli ‹ntegral Tan›m›
• Belirli ‹ntegralin Uygulamalar›
•
•
Üniteyi çal›ﬂ›rken görece¤iniz gibi, bu üniteye baﬂlamadan önce belirsiz integral kurallar›n› bir kere daha gözden geçirmeniz gerekmektedir.
Belirli integralin uygulamalar› için de, türevle ilgili üniteleri ve belirsiz integral uygulamalar›n› da gözden geçirmeniz gerekmektedir.
Giriﬂ
Bir iﬂletmenin, x de¤iﬂkeni üretim miktar›n› göstermek üzere marjinal maliyet fonksiyonunu,
MC(x) = 2x + 3
olarak belirledi¤ini varsayal›m. Verilen marjinal maliyet fonksiyonundan yararlanarak 200 birimlik üretim için firman›n toplam maliyeti ne olur?
Vermiﬂ oldu¤umuz problem ile 9. ünite giriﬂinde verdi¤imiz problem aras›ndaki fark› görmektesiniz. Önceki problemde marjinal maliyet fonksiyonu verilerek,
toplam maliyet fonksiyonu istenmektedir. Bu problemde ise toplam maliyet fonksiyonu veriliyor, 200 birimlik üretim için toplam maliyetin ne olaca¤› soruluyor. Bu
karﬂ›laﬂt›rma sonucunda, belirli integral sözkonusu problemlerin çözümü için
uygun bir yöntem olmaktad›r.
Belirli integral, üniteyi çal›ﬂ›rken görece¤iniz gibi, fonksiyonu verilen bir
e¤ri ile x ve y eksenleri aras›nda kalan alanlar›n da hesaplanmas›nda
kullan›lmaktad›r.
Bir E¤ri Alt›ndaki Alan ve Belirli ‹ntegral Tan›m›
211
B‹R E⁄R‹ ALTINDAK‹ ALAN VE BEL‹RL‹ ‹NTEGRAL
TANIMI
[a, b ] kapal› aral›¤›nda tan›ml› ve sürekli f (x) fonksiyonunun gösterdi¤i e¤rinin,
f (x) ≥ 0 olmak üzere, ﬁekil 10.1'de görüldü¤ü gibi oldu¤unu varsayal›m.
y
f (x )
f (tn)
f (tn)
a = x0 t1 x1 t2 x2 t3 x3 ....
xn -1 tn xn = b
x
Şekil 10.1
[a, b ] aral›¤›n› a = x0 < x1 < x2 < x3 ..... xn -1 < xn = b ﬂeklinde uzunlu¤u
biribirine eﬂit n tane alt aral›¤a bölelim ve herbir alt aral›¤›n uzunlu¤unu ∆x ile
gösterelim.
∆x = b -na
dir.
Alt aral›klar üzerinde keyfi olarak al›nm›ﬂ t1, t2 ..... tn noktalar› için fonksiyonun ald›¤› de¤erler f (t1), f (t2), f (t3) ..... f (tn) olacakt›r. f (x) fonksiyonunun gösterdi¤i e¤ri, x = a, x = b do¤rular› ve x ekseni aras›nda kalan alan, yaklaﬂ›k olarak taban uzunluklar› ∆x ve yükseklikleri f (t1), f (t2), ..... f (tn) olan dikdörtgenlerin alanlar› toplam› olarak yaz›labilir.
S @ f (t1) ∆x + f (t2) ∆x + ..... f (tn) ∆x
Bu toplam, toplam sembolü yard›miyle,
n
S @
∑
f t k ∆x
k =1
ﬂeklinde ifade edilebilir. Aral›k say›s›n› gösteren n de¤eri n Æ ∞ iken ∆x Æ 0
olacakt›r. Verilen toplam›n limiti, f (x) fonksiyonu sürekli bir fonksiyon oldu¤undan, vard›r. Toplam›n bu limitine belirli integral denir ve
n
b
S = lim ∑ f t k ∆x =
k Æ∞k =1
a
f (x ) dx
b
biçiminde gösterilir.
a
f (x ) dx yaz›l›ﬂ›, f (x) fonksiyonunun a ile b aras›nda-
ki integrali diye okunur. Burada a ya integralin alt s›n›r›, b ye integralin üst
s›n›r› denir.
Belirli integral fonksiyonu f (x) olarak
verilen e¤ri ile [a, b] kapal› aral›¤›nda
x ekseni aras›nda kalan alan›n bulunmas› ile tan›mlanmaktad›r. Bu alan
bulunurken verilen aral›k n tane alt
aral›¤a ayr›lmakta, aral›klar›n taban
oldu¤u dikdörtgenlerin alanlar›n›n
toplam›n›n limiti al›nmaktad›r.
212
Belirli ‹ntegralin Baz› Özellikleri
f (x) fonksiyonu [a, b ] aral›¤› üzerinde pozitif, negatif ve s›f›r de¤erleri de alabilir. Bu durumda, yukar›da oldu¤u gibi keyfi x0, x1 ... xn noktalar›
a = x0 < x1 < x2 ... < xn-1 < xn = b koﬂulunu sa¤layacak ﬂekilde al›narak [a, b ]
aral›¤› [xi-1 , xi ]
alt aral›klar›na bölünür. i = 1, 2, .... n için ∆xi = [xi-1 , xi ]
n
ve ti Œ [xi-1 , xi ] olmak üzere
∑ f ti ∆xi
toplam›na, Rieamann topla-
i =1
m› ad› verilir. Bu toplam pozitif, negatif veya s›f›r olabilen bir say›d›r. n Æ ∞ ve
∆xi Æ 0 için Rieamann toplam›n›n limitine f (x) fonksiyonunun [a, b ] aral›¤›ndaki belirli integrali denir ve bu limit,
n
b
a
f (x ) dx = nlim
Æ•
Dx i Æ0
∑ f ti ∆xi
i =1
ﬂeklinde ifade edilir.
y
f (t1)
f (t2)
f (t3)
xi -1
ti
xi
x
xn -1 tn xn = b
a = x0 t1 x1 t2 x2
f (ti )
Şekil 10.2
BEL‹RL‹ ‹NTEGRAL‹N BAZI ÖZELL‹KLER‹
Bu kesimde, belirli ve belirsiz integral tan›mlar›ndan elde edilebilecek kimi önemli özellikler verilecektir. Bu özellikler yard›miyle, limit hesaplamas›na girmeden
belirli integrallerin hesaplamalar›n› yapaca¤›z.
a
a)
a
f (x ) dx = 0
b
b)
a
b
c)
a
a
f (x ) dx = -
b
f (x ) dx
f (x ) ± g (x ) dx =
b
a
b
f (x ) dx ±
b
d) a ≤ c ≤ b için
a
a
g (x ) dx
c
f (x ) dx =
a
b
f (x ) dx +
c
f (x ) dx
Belirli ‹ntegralin Baz› Özellikleri
e) ‹ntegral hesab›n birinci temel teoremi: f (x ), [a, b ] aral›¤› üzerinde sürekli bir fonksiyon ve a < x < b ise,
x
F (x ) =
a
f (t ) dt
olarak tan›mlanan F (x ) fonksiyonu türevlenebilir ve F ' (x ) = f (x ) dir.
f) ‹ntegral hesab›n ikinci temel teoremi: F (x ), [a, b ] aral›¤› üzerinde sürekli
bir fonksiyon ve F (x ) de türevi f (x ) olan bir fonksiyon (yani F ' (x ) = f (x ))
ise,
b
a
f (x ) dx = F (b ) - F (a )
dir.
Bu özelliklerden son ikisi üzerinde k›saca dural›m: f (x), [a, b ] aral›¤› üzerinde sürekli bir fonksiyon, x Œ (a, b ) ve h > 0 olsun. Kolayl›k için f (x) in grafi¤ini ﬂekilde oldu¤u gibi kabul edelim.
y
M (h )
f (x)
m (h)
x
a
x
x+h
b
Şekil 10.3
[x, x + h] aral›¤› içinde f (x) in ald›¤› en büyük de¤er M (h), en küçük
de¤er m (h) olsun. Taban› h ve yüksekli¤i M (h) olan büyük dikdörtgenin
alan› h . M (h), taban› h ve yüksekli¤i m (h) olan küçük dikdörtgenin alan›
h . m (h), f (x) in grafi¤i alt›nda ve [x, x + h] aral›¤› üstünde kalan bölgenin alan›
x +h
x
f (t ) dt oldu¤undan, bu alanlar aras›nda
x +h
hm h ≤
x
f (t ) dt ≤ hM h
(1)
eﬂitsizli¤i yaz›labilir. Di¤er taraftan x ≤ c ≤ x + h olmak üzere, F (x) fonksiyonunun tan›mlan›ﬂ›na göre,
213
214
Belirli ‹ntegralin Baz› Özellikleri
x +h
x
x +h
f (t ) dt =
c
c
f (t ) dt +
x +h
f (t ) dt =
x
c
x
f (t ) dt -
c
f (t ) dt = F (x + h ) - F (x )
oldu¤undan (1) eﬂitsizli¤inden
m h ≤
F x +h -F x
h
≤ M h
eﬂitsizli¤i elde edilir. h Æ 0 iken m (h) Æ f (x) ve M (h) Æ f (x) oldu¤undan
F x +h -F x
hÆ0
h
f (x ) ≤ lim
≤ f (x )
veya buradan
F ' (x) = f (x)
elde edilir. Böylece integral hesab›n birinci temel teoremi, yani (e) özelli¤i kan›tlanm›ﬂ olur.
Bu teorem, integral ile türev aras›ndaki önemli iliﬂkiyi verir. Bu iliﬂki say›lar
için "kare alma" ile "karekök alma" aras›ndaki iliﬂkiye benzemektedir. E¤er pozitif bir say›n›n karesini al›rsan›z, elde edilen say›n›n karekökü baﬂlang›çtaki say›x
d›r. Benzer olarak, sürekli bir f (x) fonksiyonunun
a
f (t ) dt
ile tan›mlanan
ilkeli (belirsiz integrali) olan F (x) fonksiyonunun türevi f (x) dir.
‹ntegral hesab›n ikinci temel teoremine gelince: f (x), [a, b] aral›¤› üzerinde sürekli bir fonksiyon ve F (x) de F ' (x) = f (x) olacak ﬂekilde bir fonksiyon olsun. a ≤ x ≤ b için birinci temel teoreme göre,
x
A (x ) =
a
f (t ) dt
olarak tan›mlanan A (x) fonksiyonunun türevi f (x) dir. Böylece F ' (x) = f (x) ve
A ' (x) = f (x) oldu¤undan F (x) ile A (x) fonksiyonlar› birbirlerinden bir sabit kadar farkl›d›rlar, yani öyle bir c sabiti vard›r ki,
A (x) - F (x) = c
veya
A (x) = F (x) + c
dir. Bu eﬂitlikte s›ras›yla x = a, x = b yazal›m. x = a için
a
A (a ) =
a
f (t ) dt = 0 , yani A (a ) = F (a ) + c = 0 veya c = - F (a )
olur. Buradan, x = b için
b
A (b ) =
a
f (t ) dt = F (b ) + c = F (b ) - F (a )
veya k›saca
b
a
f (t ) dt = F (b ) - F (a )
Belirli ‹ntegralin Baz› Özellikleri
215
x =b
sonucuna ulaﬂ›l›r. Bazen F (b) - F (a) fark› yerine
kullan›l›r; Baﬂka bir ifadeyle,
x= a
gösterimi de
x =b
b
a
F (x )
f (t ) dt = F (x )
x= a
olur. Bu formül bize ilkeli bilinen bir fonksiyonun belirli integralinin kolayca hesaplanabilece¤ini gösterir.
2
3
2x + x 2 dx = x 2 + x
3
-2
ÖRNEK 1
2
-2
= 4+8 - 4- 8
3
3
= 16
3
e
ln x
2
1
12
x dx = ln x
2
1
2
ln3 x
. 1 dx =
x
3
2 - 2x
ex
0
4
x dx =
1
0
1
1
= 1
3
1
3x dx
ÖRNEK 3
= ln2 - ln1 = ln2
2
x - 1 dx = 1 ex - 2x
2
4
8
2
ÖRNEK 2
e
2
0
x 1/2 dx = 2 x x
3
ÖRNEK 4
= 1-1 =0
2 2
4
1
ÖRNEK 5
= 2 . 4 . 2 - 2 . 1 . 1 = 14
3
3
3
ÖRNEK 6
integralini hesaplay›n›z.
1 + 3 x2
u = 1 + 3x 2 ﬁ du = 6x dx
dx = du
6x
Burada belirli integralin limitleri de yeni de¤iﬂkene göre belirlenecektir.
x =0
için
u = 1 + 3x 2 = 1 + 3 . 0 = 1
x = 8
için
u =1+3.
8
2
= 1 + 3 . 8 = 25
ÇÖZÜM
De¤iﬂken dönüﬂümü yöntemi uygulanacakt›r.
Verilen kural›n uygulamalar› örneklerle verilmiﬂtir. De¤iﬂkeni dönüﬂtürürken ne ﬂekilde bir iﬂlem yap›laca¤›
belirsiz integral ünitesinde aç›klanm›ﬂt›r.
Belirli ‹ntegralin Baz› Özellikleri
216
Belirli integral hesaplan›rken de¤iﬂken
dönüﬂtürülürse, integralin limitlerinin
de yeni de¤iﬂkene göre dönüﬂtürülmesi gerekir..
8
0
3x dx
1 + 3 x2
e
ÇÖZÜM
1
lnx dx
x
1
25
=1
2
ÖRNEK 7
25
= 1
2
1
du
u
-1
u2
1 25
2
du =
1.u
2 1
2
25
=
u
= 5-1 =4
1
1
belirli integralini hesaplay›n›z.
Bu integralin hesaplanabilmesi için de¤iﬂken dönüﬂümü yöntemi uygulanacakt›r.
u = lnx
du = 1x dx
ﬁ
x du = dx
x =1
için
u = ln1 = 0
x =e
için
u = lne = 1
e
1
ÖRNEK 8
1
lnx dx =
x
0
2
u du = u
2
1
0
= 1
2
1
ÇÖZÜM
-3
1 - x dx
belirli integralini hesaplay›n›z.
Bu integralin hesaplanabilmesi için de de¤iﬂken dönüﬂümü yöntemi uygulanacakt›r.
u= 1 -x
ﬁ
du = - dx
x = - 3 için
u= 1 -x = 1 + 3 = 4
x =1
u= 1 - x = 1 - 1 = 0
için
1
-3
0
1 - x dx = -
4
4
u du =
0
u du = 2 u u
3
4
0
= 16
3
Aﬂa¤›daki örneklerde belirli integalin iﬂletme ve ekonomideki uygulamalar›n›
bulacaks›n›z.
Belirli ‹ntegralin Baz› Özellikleri
217
ÖRNEK 9
Türkiye’de yay›nlanan bir gazetenin, t de¤iﬂkeni y›llar› göstermek üzere,
sat›ﬂlar›n›n art›ﬂ›,
S (t ) = 100 et
fonksiyonu ile belirlenmiﬂtir. ‹lk 10 y›l içinde bu gazetenin toplam sat›ﬂ›
ne olur?
10
0
100 et dt = 100
10
0
et dt = 100 et
10
0
ÇÖZÜM
Gazetenin ilk 10 y›ldaki toplam sat›ﬂ›n› bulmak için t1 = 0, t2 = 10 limitleri aras›nda verilen fonksiyonunun belirli integral al›nmal›d›r.
= 100 e10 - 1 @ 2202546
olur (e10 @ 22026,46 olarak al›nm›ﬂt›r).
ÖRNEK 10
t de¤iﬂkeni ay olarak zaman› göstermek üzere, bir iﬂletmenin aylar itibariyle sat›ﬂlar›,
S t = 30 t + 100
fonksiyonu ile belirlenmiﬂtir. Bu iﬂletmenin ilk 4 aydaki sat›ﬂlar› toplam›
nedir?
0
4
=
0
ÇÖZÜM
4
Sat›ﬂlar toplam› =
30 t + 100 dt
30 t 1/2 + 100 dt = 20 t
4
t + 100 t
0
= 20 . 4 . 4 + 400
= 160 + 400 = 560
ÖRNEK 11
Bir firmada, x sat›ﬂ miktar›n› göstermek üzere, marjinal gelir fonksiyonu,
R ' (x) = - 0,02x + 100
olarak belirlenmiﬂtir. Buna göre;
a) 100 birimlik sat›ﬂ için toplam gelir ne olur?
b) 10 ile 50 birim aras›nda yap›lan sat›ﬂlar için toplam gelir ne olur?
0
ÇÖZÜM
100
a) R (x ) =
- 0,02x + 100 dx
= - 0,01x 2 + 100x
100
0
= - 0,01 . 100 2 + 100 . 100
= - 100 + 10.000 = 9900 birim
50
b) R (x ) =
10
- 0,02x + 100 dx = - 0,01x 2 + 100x
50
10
= 3976 birim
Belirli ‹ntegralin Baz› Özellikleri
218
ÖRNEK 12
Bir firman›n, x üretim miktar› olmak üzere, marjinal gelir fonksiyonu,
MG = f (x) = 20
ÇÖZÜM
olarak belirlenmiﬂtir. Buna göre;
a) 500 birimlik üretim için toplam gelir ne olur?
b) 200 ve 1000 birimlik aras›nda üretim için toplam gelir ne olur?
500
500
a)
20 dx = 20x
0
1000
1000
b)
SIRA S‹ZDE 1
Bu sorulara kolayca yan›t
verebilmeniz için belirsiz integral
kurallar›n› yeniden gözden geçiriniz.
200
= 20 . 500 = 10 000 birim
0
20 dx = 20x
200
= 16 000 birim
Aﬂa¤›da verilen belirli integralleri hesaplay›n›z.
1
1.
0
3
2.
0
2
3.
0
e x dx
3x 2 - 4x dx
4x 3 - 9x 2 dx
2 2
4.
0
5.
e
1
6.
3
0
7.
3
0
8.
ln x dx
x
x 3 + 3x
1/2
3x 2 + 9
1/2
x 2 + 1 dx
. x dx
2
1
9.
x 2 + 1 . x dx
0
-1
x + x -1
dx
2x - 1 3 dx
10. Bir firmada, x üretim miktar›n› göstermek üzere, marjinal gelir fonksiyonu,
MG = 10x olarak belirlenmiﬂtir. Bu firman›n 20 birim üretim yapt›¤›nda toplam
geliri kaç birim olur?
11. Bir firman›n, x de¤iﬂkeni y›llar› göstermek üzere, sat›ﬂlar›n›n art›ﬂ›, S (x) = 9x2
fonksiyonu ile belirlenmiﬂtir. ‹lk 3 y›l içinde bu firman›n sat›ﬂlar› kaç birim olur?
12. Bir ülkede, t de¤iﬂkeni y›llar› göstermek üzere, nüfus S (t) = e2t fonksiyonu ile verilmiﬂtir. Bu ülkede ilk 10 y›l içinde nüfus kaç birim artar?
Belirli ‹ntegralin Alan Hesaplar›na Uygulanmas›
219
BEL‹RL‹ ‹NTEGRAL‹N ALAN HESAPLARINA
UYGULANMASI
Belirli integrali tan›mlarken bir f (x) ≥ 0 fonksiyonunun gösterdi¤i e¤ri
x = a, x = b do¤rulariyle x ekseni aras›nda kalan alan›n,
ve
Bir f(x) ≥ 0 fonksiyonunun gösterdi¤i e¤ri ile x = a, x = b do¤rular›
ve x ekseni aras›ndaki alan,
b
b
S=
a
S=
f (x ) dx
belirli integrali ile bulunur.
E¤er f(x) ≤ 0 ise, fonksiyonunun
gösterdi¤i e¤ri ile x ekseni aras›ndaki alan
belirli integraliyle ifade edilebilece¤i aç›klanm›ﬂt›.
y
b
S=-
belirli integrali ile hesaplan›r.
S
0
x=a
x=b
x
Şekil 10.4
E¤er f (x) fonksiyonunun gösterdi¤i e¤ri ile x = a, x = b do¤rular› aras›nda
kalan alan aﬂa¤›da ﬁekil 10.5 (a)'da görüldü¤ü gibi bütünüyle x ekseninin alt›nda
kal›yorsa, alan,
b
a
f (x ) dx
belirli integrali ile bulunur. E¤er f (x) fonksiyonu [a, b ] aral›¤›nda hem pozitif
hem de negatif de¤erler al›yorsa, istenilen alan
c
S=
a
b
f (x ) dx -
c
f (x ) dx
integraliyle hesaplan›r [ﬁekil 10.5 (b)].
y
y
f (x)
f (x)
x=b
x=a
0
S
(a)
x
x=a
0
x=c
f x dx
a
f (x)
S=-
f x dx
a
x=b
(b)
Şekil 10.5
x
Belirli ‹ntegralin Alan Hesaplar›na Uygulanmas›
220
ÖRNEK 13
ÇÖZÜM
f (x) = 1 - x2 fonksiyonunun gösterdi¤i e¤ri ile x ekseni aras›ndaki kalan alan› hesaplay›n›z.
Verilen fonksiyonunun gösterdi¤i e¤ri aﬂa¤›da ﬁekil 10.6'da gösterilmiﬂtir.
y
Bu gibi örnekleri çözerken, önce
verilen fonksiyonun grafi¤ini
çizmemiz gerekir. Bu gibi çizimlerin
ne ﬂekilde yap›laca¤› türevle ilgili
ünitelerde aç›klanm›ﬂt›r.
1
S
-1
x
1
Şekil 10.6
ﬁekilde taral› olarak gösterilen alan› belirli integral yard›miyle bulaca¤›z.
1
S=
-1
3 1
1 - x 2 dx = x - x
3
-1
= 1- 1 - -1+ 1 =1-1 +1-1
3
3
3
3
= 2 - 2 = 4 br2
3
3
ÖRNEK 14
ÇÖZÜM
f (x) = x2 + 1 fonksiyonunun gösterdi¤i e¤ri x = 0, x = 1 do¤rular› ve x
ekseni aras›nda kalan alan› bulunuz.
Alan bulma problemlerinde önce verilen fonksiyonun grafi¤inin çizilmesi uygun
olur. f (x) = x2 + 1 fonksiyonunun gösterdi¤i e¤ri ile istenilen alan taral› olarak
aﬂa¤›da ﬁekil 10.7 de gösterilmiﬂtir.
y
x = 0 do¤rusunun y ekseni oldu¤unu hat›rlay›n›z.
1
0
x
1
Şekil 10.7
1
S=
0
3
x 2 + 1 dx = x + x
3
1
0
= 1 + 1 = 4 br2
3
3
Belirli ‹ntegralin Alan Hesaplar›na Uygulanmas›
221
ÖRNEK 15
f (x) = x2 - 4x + 3 fonksiyonunun gösterdi¤i e¤ri ile x1 = 1, x2 = 3 noktalar› ve x ekseni aras›nda kalan alan› hesaplay›n›z.
ÇÖZÜM
Bildi¤iniz gibi f (x) = x2 - 4x + 3 fonksiyonu çizildi¤inde bir parabol belirtir. Bu
parabolün tepe noktas› T (2, - 1) dir. f (x) fonksiyonunun gösterdi¤i e¤ri ile bulunmas› istenen alan aﬂa¤›da ﬁekil 10.8 de gösterilmiﬂtir.
y
3
1
2
3
x
0
-1
Şekil 10.8
ﬁekilden görüldü¤ü gibi istenilen alan x ekseninin alt›nda kalmaktad›r.
3
S=-
1
3
x 2 - 4x + 3 dx = - x - 2x 2 + 3x
3
3
1
= - 9 - 18 + 9 - 1 - 2 + 3
3
= 1 + 1 = 4 br2
3
3
ÖRNEK 16
1
f (x) = lnx fonksiyonunun gösterdi¤i e¤ri x 1 = , x 2 = e do¤rular› ve x
2
ekseni aras›nda kalan alan› bulunuz.
y
f (x) = lnx
1/2
1
x
e
Şekil 10.9
ﬁekilde görüldü¤ü gibi, bulunmas› istenilen alan›n bir k›sm› x-ekseni alt›nda, bir
k›sm› ise x ekseninin üstünde kalmaktad›r. O halde bulunmas› istenilen alan iki
belirli integralin toplanmasiyle bulunacakt›r.
ÇÖZÜM
f (x) = lnx fonksiyonunun gösterdi¤i e¤ri ile s›n›rlanan bulunmas› istenilen alan
taral› olarak aﬂa¤›daki gösterilmiﬂtir.
Belirli ‹ntegralin Alan Hesaplar›na Uygulanmas›
222
1
S=-
e
1/2
lnx dx +
1
lnx dx
Bu integralin al›nmas› k›smi integrasyon yöntemi ile yap›lacakt›r.
1
S = - x lnx - x
e
1/2
+ x lnx - x
= - 1 . ln1 - 1 - 1 ln 1 - 1
2 2
2
1
+
e lne - e - 1 . ln1 - 1
= - - 1 - 1 ln 1 + 1 = 1 (3 - ln2) br2
2 2 2
2
Belirli integral iki e¤ri aras›ndaki alan›n bulunmas› için de kullan›l›r. ﬁimdi f (x)
ve g (x) ﬂeklinde verilmiﬂ iki fonksiyonun gösterdi¤i e¤riler ile x = a, x = b do¤rular› aras›nda kalan alan aﬂa¤›daki ﬁekil 10.10 da görüldü¤ü gibi olsun.
y
f (x)
g (x)
0
x=a
x=b
x
Şekil 10.10
f (x) ve g (x) gibi verilen herhangi
iki fonksiyonun gösterdi¤i e¤riler ile
x=a, x=b do¤rular› aras›nda kalan
alan,
b
ﬁekilde görüldü¤ü gibi f (x) ≥ g (x) olarak verilmiﬂtir. Taral› alan,
b
S=
a
f (x ) - g (x ) dx
f (x ) - g (x ) dx
a
belirli integralinin
hesaplanacakt›r.
yard›m›yla
ÖRNEK 17
belirli integrali yard›miyle bulunur.
ÇÖZÜM
f (x) = x2 ve g (x) = x fonksiyonlar›n›n gösterdikleri e¤riler aras›nda kalan alan nedir?
Önce verilen fonksiyonlar›n grafiklerini çizelim. f (x) = x 2 fonksiyonu tepesi baﬂlang›ç noktas›nda olan bir paraboldür. g (x) = x ise birinci aç›ortay›n› göstermektedir.
Belirli ‹ntegralin Alan Hesaplar›na Uygulanmas›
f (x) = x2
y
223
g (x) = x
A (1, 1)
x
0
Şekil 10.11
Bu iki fonksiyonun grafikleri 0(0,0) ve A (1, 1) noktalar›nda kesiﬂirler. Burada
ﬂekilde görülen taral› alan›n hesaplanmas› istenmektedir.
1
S=
0
2
3
x - x 2 dx = x - x
2 3
= 1 - 1 = 1 br2
2 3
6
ÖRNEK 18
f (x) = x2 ve g (x) = -x2 - 2 fonksiyonlar›n›n gösterdikleri e¤riler ile
x = - 1, x = 3 do¤rular› aras›nda kalan alan nedir?
y
-1
f (x) = x2
3
x
-2
g (x) = - x2 - 2
Şekil 10.12
3
S=
-1
3
=
-1
3
=
-1
x 2 - -x 2 - 2 dx
x 2 + x 2 + 2 dx
2x 2 + 2 dx
3
= 2x + 2x
3
3
=
-1
18 + 6 - - 2 - 2 = 80 br2
3
3
ÇÖZÜM
f (x) ve g (x) fonksiyonlar›n›n grafikleri ile istenilen alan aﬂa¤›daki ﬁekil 10.12
de gösterilmiﬂtir.
Belirli ‹ntegralin Alan Hesaplar›na Uygulanmas›
224
ÖRNEK 19
ÇÖZÜM
Örneklerde görüldü¤ü gibi, verilen
fonksiyonlar›n çizimlerini yapmadan
alan hesaplamas› yapmay›z.
f (x) = x2 - 2x ve g (x) = -x - 4 fonksiyonlar›n›n gösterdikleri e¤riler ile
x = 0, x = 3 do¤rular› aras›nda kalan alan› bulunuz.
f (x) ve g (x) fonksiyonlar›n›n grafikleri, x = 0, x = 3 do¤rular› aras›ndaki alan
aﬂa¤›daki ﬂekilde gösterilmiﬂtir.
y
f (x)
g (x)
1
-4
-1
3
x
-4
Şekil 10.13
3
S=
0
3
=
0
x 2 - 2x - -x - 4 dx
x 2 - x + 4 dx
3
2
= x - x + 4x
3 2
ÖRNEK 20
3
0
2
= 33 br
2
ÇÖZÜM
f (x) = x2 - 10x ve g (x) = - x2 + 10x fonksiyonlar›n›n gösterdi¤i e¤riler
aras›ndaki alan nedir?
Örnekte verilen f(x) ve g(x) fonksiyonlar›n›n gösterdikleri e¤rilerin kesim noktalar›n› bulmak gerekmektedir. Kesim noktalar› iki e¤rinin denklemlerinin ortak çözümü ile bulunur.
f (x) ve g (x) fonksiyonlar›n›n kesim noktalar›n› bulmak için ortak çözümün yap›lmas› gerekir.
x2 - 10x = - x2 + 10x
2x2 - 20x = 0
x1 = 0 , x2 = 10
f (x) ve g (x) fonksiyonlar›n›n gösterdikleri e¤riler ile hesaplanmas› istenilen
alan aﬂa¤›daki ﬂekilde taral› olarak gösterilmiﬂtir.
Belirli integral Yard›m›yla Tüketici ve Üretici Rant›n›n Hesaplanmas›
225
y
25
f (x) = x2 - 10x
5
10
x
g (x) = - x2 + 10x
-25
Şekil 10.14
10
S=
0
- x 2 + 10x - x 2 - 10x
10
dx =
0
3
- 2x 2 + 20x dx = - 2x + 10x 2
3
10
0
= - 2000 + 1000 = 1000 br2
3
3
BEL‹RL‹ ‹NTEGRAL YARDIMIYLA TÜKET‹C‹ VE
ÜRET‹C‹ RANTININ HESAPLANMASI
Bir tüketici, almak istedi¤i bir tüketim mal› için uygun gördü¤ü bir fiyat› ödemeye haz›rd›r. Tüketici bu mal› al›rken ödeyece¤i fiyat ödemeye haz›r oldu¤u fiyattan daha düﬂük ise aradaki farka tüketici rant› denir. Baﬂka bir deyimle, tüketici ödemeye haz›r oldu¤u fiyattan daha düﬂük fiyattan bir mal ald›¤› için kazançl›
ç›kacakt›r.
Tüketici rant›n› talep fonksiyonu yard›m›yla belirleyece¤iz. Bildi¤iniz gibi, bir
mal›n talep edilen miktarlar›yla bu mal›n fiyatlar› aras›nda talep fonksiyonu dedi¤imiz bir fonksiyonel iliﬂki vard›r.
Talep ile fiyat aras›ndaki iliﬂki ters yönlü oldu¤u için talep fonksiyonu azalan
bir fonksiyondur. Aﬂa¤›da bir mal›n fiyat› p, talep edilen miktarlar x ve (x0 , p0)
denge noktas› olmak üzere p = f (x) ile talep fonksiyonunun grafi¤i ﬁekil 10.15'de
gösterilmiﬂtir.
Ekonomi derslerinde tan›mlar›n› bildi¤imiz üretici ve tüketici rantlar›n›n
belirli integral yard›m›yle nas›l bulunaca¤› aç›klanacakt›r.
Tüketici rant›n›n bulunmas› için firman›n talep fonksiyonunu belirlemesi gerekmektedir. x0 fiyat düzeyinde tüketici rant›,
p
x0
TR =
f (x) dx - p 0 x 0
0
ﬂeklinde hesaplan›r.
p0
(x0 , p0)
p = f (x)
x0
x
Şekil 10.15
Belirli integral Yard›m›yla Tüketici ve Üretici Rant›n›n Hesaplanmas›
226
ﬁekilde taral› olarak gösterilen alan tüketicinin ödemeye haz›r oldu¤u ve daha
düﬂük fiyattan mal ald›¤› için ödemedi¤i tutar› göstermektedir. Bu alan verilen tan›ma göre tüketici rant›n› verecektir.
x0
TR =
ÖRNEK 21
0
f (x ) dx - p 0x 0
ÇÖZÜM
Talep fonksiyonu p = 50 - 3x olan bir mal için talep miktar› 10 birim oldu¤unda tüketici rant›n› bulunuz.
x0 = 10 için p0 = 50 - 3 . 10 = 20
oldu¤undan
10
TR =
0
50 - 3x dx - 10 . 20
= 50x - 3x
2
2 10
- 200
0
= 500 - 150 - 200 = 150 birim
olacakt›r.
ÖRNEK 22
ÇÖZÜM
Talep fonksiyonu p = 60
3+x
ketici rant›n› bulunuz.
olan bir mal için fiyat p0 = 5 oldu¤unda tü-
p0 = 5 için talep fonksiyonu yard›m›yla talep miktar› olan x0 de¤erini bulal›m.
5=
60
3 + x0
9
TR =
0
ﬁ
x0 = 9
60 dx - p 0 . x 0
3+x
= 60 ln x + 3
9
0
- 9 . 5 = 60 . ln 12 - ln 3 - 45
= 60 ln 4 - 45 = 120 ln 2 - 45 birim
ÖRNEK 23
ÇÖZÜM
Talep fonksiyonu p = - x2 + 9 olan bir mal için x0 = 2 de¤erindeki
tüketici rant›n› bulunuz.
x0 = 2 ye karﬂ› gelen p0 de¤eri, talep fonksiyonundan,
p0 = - (2)2 + 9 = 5
olarak bulunur.
Belirli integral Yard›m›yla Tüketici ve Üretici Rant›n›n Hesaplanmas›
2
TR =
0
227
- x 2 + 9 dx - 5 . 2
2
3
= - x + 9x
3
0
- 10 = 16
3
birim
Bir mal›n arz fonksiyonu, bu mal›n fiyatlar›yla bu fiyatlarda arz edilen miktarlar›
aras›ndaki fonksiyonel iliﬂkiyi göstermektedir. Bir mal›n arz edilen miktarlar› x
de¤iﬂkeniyle, fiyatlar› ise p de¤iﬂkeni ile gösterilirse, talep fonksiyonuna benzer
ﬂekilde arz fonksiyonu,
p = f (x)
olacakt›r. Arz fonksiyonu, iktisat derslerinden bildi¤iniz gibi, artan bir fonksiyondur. Arz fonksiyonu ile (x0 , p0) denge noktas› aﬂa¤›da ﬁekil 10.16 da genel olarak gösterilmiﬂtir.
p
p0
p = f (x)
(x0 , p0)
x0
x
Şekil 10.16
Bir üretici üretti¤i mallar› piyasada satmaya haz›r oldu¤u fiyattan daha yüksek
bir fiyattan satarsa daha fazla bir kazanç elde eder. ‹ﬂte bu kazanca üretici rant›
denir.
ﬁekilde bu rant taral› alan olarak gösterilmiﬂtir. Tüketici rant› belirli integralin
alan bulma uygulamas› yard›m›yla,
ÜR = p 0 x 0 -
x0
Ekonomi derslerinde gördü¤ümüz
gibi, arz fonksiyonu verildi¤inde
üretici rant›n›n nas›l bulunaca¤› aç›klanacakt›r. E¤er f(x) = p arz fonksiyonu ise üretici rant›, (x0 , p0)
noktas›nda,
x0
ÜR = p 0x 0 -
f (x ) dx
0
f (x) dx
0
formülüyle bulunur.
formülüyle bulunur.
x de¤iﬂkeni üretim miktarlar›n› p de¤iﬂkeni fiyatlar› göstermek üzere,
bir mal için arz fonksiyonu,
p= x+ 9
olarak belirlenmiﬂtir . Talep miktar› x0 = 7 oldu¤unda üretici rant›n›
bulunuz.
ÖRNEK 24
Belirli integral Yard›m›yla Tüketici ve Üretici Rant›n›n Hesaplanmas›
ÇÖZÜM
228
p0 = 7 + 9 = 4
oldu¤undan
7
ÜR = 4 . 7 -
x + 9 dx
0
= 28 - 2 x + 9
3
7
x +9
0
= 28 - 2 . 16 . 4 - 2 . 9 . 3 = 10 birim
3
3
3
bulunur.
ÖRNEK 25
Bir mal için x de¤iﬂkeni miktar›, p de¤iﬂkeni fiyat› göstermek üzere arz
ve talep fonksiyonlar› aﬂa¤›daki ﬂekilde belirlenmiﬂtir.
p = 20 - 3x2
p = 2x2
Talep fonksiyonu
Arz fonksiyonu
ÇÖZÜM
Bu fonksiyonlardan yararlanarak denge noktas›ndaki tüketici ve üretici
rantlar›n› bulunuz.
Denge noktas› arz ve talep fonksiyonlar›n›n kesim noktas›d›r. Denge noktas›ndaki fiyat ve miktar› bulmak için verilen fonksiyonlar› ortak çözelim.
20 - 3x2 = 2x2
20 = 5x2
4 = x2 ﬁ x = ± 2 , x0 = - 2 olamayaca¤›ndan x0 = 2 , p0 = 8 olur.
2
TR =
0
20 - 3x 2 dx - 2 . 8 = 20x - x 3
2
0
- 16 = 16 br
bulunur. Benzer olarak,
2
ÜR = 2 . 8 -
0
3
2x 2 dx = 16 - 2 x
3
2
0
= 32 br
3
bulunur.
SIRA S‹ZDE 2
Aﬂa¤›da verilen arz ve talep fonksiyonlar›ndan yararlanarak yanlar›nda gösterilen
fiyat düzeylerindeki üretici ve tüketici rantlar›n› bulunuz.
1. Talep fonksiyonu p = -2x + 3 ise x0 = 1 noktas›ndaki tüketici rant› nedir?
2. Arz fonksiyonu p = 4x + 7 ise x0 = 1 noktas›ndaki üretici rant›n› bulunuz.
Kendimizi S›nayal›m
Kendimizi S›nayal›m
1. f (x) = x2 parabolü, x = 1, x = 2 do¤rular› ve x ekseni aras›nda kalan alan nedir?
a. 13
3
b. 11
3
c. 10
3
d. 7
3
e. 1
13
2. f (x) = 9 - x2 parabolü x = -2 , x = 3 do¤rular› ve
x ekseni ile s›n›rlanan bölgenin alan› kaç birim karedir?
a. 87
5
b. 89
5
c. 100
3
d. 101
3
e. 103
3
3. f (x) = 2x - x2 parabolü x = -1 , x = 2 do¤rular› ve
x ekseni aras›nda kalan bölgenin alan› kaç birim karedir?
a. 7
3
b. 8
3
c. 10
3
d. 11
3
e. 13
3
229
4. f (x) = 2x2 ve g (x) = 27 - x2 parabolleri ile s›n›rlanan
bölgenin alan› kaç birim karedir?
a. 108
b. 107
c. 106
d. 105
e. 100
5. f (x) = x2 parabolü ve g (x) = -x do¤rusu aras›nda
kalan bölgenin alan› kaç birim karedir?
a. 3
2
b. 1
c. 1
5
d. 1
6
e. 1
8
6. x talep miktar ve p de fiyat olmak üzere, bir mal için
talep fonksiyonu,
p = -x + 3
olarak belirlenmiﬂtir. Buna göre, x0 = 2 için tüketici rant› nedir?
a. 4
b. 3
c. 2
d. 1
e. 1
2
7. x üretim miktar› ve p fiyat olmak üzere, bir mal için
arz fonksiyonu,
p = 16 + x
olarak belirlenmiﬂtir. Buna göre, x0 = 6 için üretici rant›
nedir?
a. 12
b. 13
c. 15
d. 18
e. 20
230
Sir Isaac Newton (1643 - 1727)
Günümüz diferansiyel ve integral hesab›n kurucular›ndan olan Newton, optik ve yerçekimi
konular›ndaki çal›ﬂmalar› onun dünyan›n en
büyük bilim adamlar›ndan biri olarak bilinmesine neden olmuﬂtur.
"Diferansiyel ve integral hesap her kilidi açan
öyle bir anahtard›r ki, onun sayesinde matematikçiler geometrinin ve onun sonucu olarak
da do¤an›n s›rlar›n› keﬂfederler"
P. BERKELEY
"Modern matematik gittikçe hesap yerine düﬂünceye yöneliyor. Buna ra¤men matemati¤in
baz› dallar› vard›r ki, hesaplama her zaman
önemini koruyacakt›r."
P. G. LEJEUNE - DIRICHLET
11
Do¤rusal Denklem
Sistemleri
Amaçlar
Bu üniteyi çal›ﬂt›ktan sonra;
‹ki bilinmeyenli do¤rusal denklem sistemlerinin grafik çözümlerini
yapabilecek,
n-bilinmeyenli do¤rusal denklem sistemlerinin çözüm yöntemlerini
ö¤renecek,
Ekonomide arz ve talep aras›ndaki iliﬂkinin matematiksel olarak ifade edilmesine bir örnek olarak, do¤rusal arz-talep fonksiyonlar›n› inceleyecek,
denge fiyat› ve denge miktar›n›n bulunmas›n› ö¤reneceksiniz.
232
Do¤rusal Denklem Sistemleri
‹çindekiler
•
•
•
•
•
•
•
‹ki Bilinmeyenli Do¤rusal Denklem Sistemleri
n ≥ 3 için n - Bilinmeyenli Do¤rusal Denklem Sistemleri
Bilinmeyen Say›s› n, Denklem Say›s›n› m Olan Sistemlerin Çözümleri
Arz-Talep Fonksiyonlar› ve Denge Miktarlar› ‹çin Do¤rusal Bir Model
Ünite içinde geçen size yeni olan kavramlar üzerinde düﬂünmelisiniz,
örnekleri dikkatlice incelemelisiniz.
Verilenlerin ve bulunmas› istenilenlerin neler oldu¤unu öncelikle belirlemelisiniz.
Size b›rak›lan al›ﬂt›rmalar› ka¤› ve kalem kullanarak çözmelisiniz.
Giriﬂ
Bir g›da pazar›, fiyatlar› 1,5 milyon TL/kg ve 2 milyon TL/kg olan iki çeﬂit çay› kar›ﬂt›rmak suretiyle 100 kg karma çay haz›rlam›ﬂt›r. Bu karma çay›n fiyat› 1,8 milyon TL/kg olarak belirlenmiﬂse, 100 kg karma çay içindeki ucuz ve pahal› çay
miktarlar› ne olur?
Ortaö¤retim y›llar›nda yukar›daki türden problemlerin çözümleriyle u¤raﬂm›ﬂ
olmal›s›n›z. Bu türden bir problemi çözmek için, ad›na iki bilinmeyenli denklemler dedi¤imiz denklemlerden yararland›n›z. Çeﬂitli havuz problemlerinin, faiz
problemlerinin uygun biçimde oluﬂturulan denklemler yard›m›yla kolayca çözülebildi¤ini an›ms›yor olmal›s›n›z. ﬁimdi ise, daha çok bilinmeyen ve daha çok
denklemden oluﬂan sistemlerin çözümleri üzerinde duraca¤›z. Ad›na do¤rusal
denklem sistemi diyece¤imiz bu tür denklem sistemlerinin çözümlerinin varl›¤› ve
tekli¤i konular›n› araﬂt›raca¤›z.
Matematikte oldu¤u kadar istatistik, fizik, biyoloji, mühendislik, ekonomi gibi
alanlar için de birçok problem bir do¤rusal denklem ya da do¤rusal denklem sistemi biçiminde ifade edilir ve çözümü aran›r. Bazen do¤rusal denklem sistemi
olarak ifade edilemeyen problemler de do¤rusal denklem sistemine dönüﬂtürülerek
yaklaﬂ›k çözümler bulunmaya çal›ﬂ›l›r. Bu nedenle do¤rusal denklem sistemleri
do¤rusal cebirin önemli bir konusunu oluﬂturur.
Bu ünitede, genel do¤rusal denklem sistemlerinin ifade ediliﬂi, homojen ve homojen olmayan sistemlerin çözümlerinin varl›¤› ve tekli¤inin araﬂt›r›lmas›, yok etme yöntemiyle çözümün bulunmas› konular› üzerinde duraca¤›z. Daha sonra,
matrisler konusunun iﬂlendi¤i ünite içinde de matris yöntemleriyle do¤rusal denklem sistemlerinin çözümlerinin bulunmas›n› yeniden ele alaca¤›z.
‹ki Bilinmeyenli Do¤rusal Denklem Sistemleri
‹K‹ B‹L‹NMEYENL‹ DO⁄RUSAL DENKLEM S‹STEMLER‹
AMAÇ
1
‹ki bilinmeyenli bir do¤rusal denklem sisteminin grafik ve analitik
çözümünün bulunmas›d›r.
a, b gerçel say›lar, a ≠ 0 ve x bir bilinmeyen olmak üzere ax + b = 0 biçiminde
bir eﬂitli¤e bir bilinmeyenli bir do¤rusal (lineer) denklem denildi¤ini biliyoruz.
Böyle bir denklemi sa¤layan tek bir say› vard›r; bu say› x = - b d›r. Bu say›ya
a
ax + b = 0 do¤rusal denkleminin çözümü denir. Örne¤in, 3x +2 = 0 do¤rusal
denklemin çözümü x = - 2 dür.
3
a, b, c gerçel say›lar ve a ≠ 0 , b ≠ 0 olmak üzere, x, y bilinmeyenleri için
ax + by + c = 0 biçimindeki bir eﬂitli¤e iki bilinmeyenli bir do¤rusal denklem denir. Böyle bir denklemin koordinat düzlemde bir do¤ruyu temsil etti¤ini biliyoruz.
Dolay›s›yla bu do¤ru üzerindeki herhangi bir noktay› temsil eden (x , y) s›ral› ikilisi ax + by + c = 0 denklemini sa¤lar, yani denklemin bir çözümüdür. Bu nedenle böyle bir denklemin sonsuz çoklukta çözümü vard›r. y bilinmeyenini x e ba¤l› olarak çözersek, y = - 1 ax + c bulunur. x in alaca¤› her farkl› de¤ere karﬂ›b
l›k y nin farkl› bir de¤eri bulunur. O halde (x , y) çözümlerinin her birisi do¤ru
üzerinde bir noktay› gösterir (ﬁekil 11.1). Sözgeliﬂi, 2x - 3y + 1 = 0 do¤rusal
denkleminin (0 , 1/3), (1 , 1), (2, 5/3) çözümleri 2x - 3y + 1 = 0 do¤rusu üzerinde birer noktan›n koordinatlar›d›r.
y
ﬁimdi iki bilinmeyenli iki do¤-
ax + by + c = 0
rusal denklemin birlikte verildikle-
(0 , - bc )
ri durumu ele alal›m. Bu denklemler, genel halde
a1x + b1y + c1 = 0
a2x + b2y + c2 = 0
(x , y)
y
x
x
0
olsunlar. Bu denklemlere iki bilinmeyenli iki denklemden oluﬂan bir
do¤rusal denklem sistemi denir.
Şekil 11.1
Denklemleri birlikte sa¤layan bir (x0, y0) ikilisi sistemin bir çözümüdür. Böyle bir
do¤rusal denklem sisteminin çözümünü aramak, geometrik olarak, düzlemde bu
denklemlerin temsil etti¤i do¤rular›n kesim noktas›n› aramak demektir. Do¤rular›n paralel olmas› durumunda hiçbir ortak çözüm olmayacakt›r [ﬁekil 11.2 (a)]; çak›ﬂ›k olmalar› durumunda sonsuz çözüm [ﬁekil 11.2 (b)], kesiﬂiyor olmalar› durumunda ise tek çözüm olacakt›r [ﬁekil 11.2 (c)].
233
234
‹ki Bilinmeyenli Do¤rusal Denklem Sistemleri
y
y
y
a 1x + b 1y + c1 = 0
a 1x + b 1y + c1 = 0
a 2x + b 2y + c2 = 0
a 2x + b 2y + c2 = 0
x
a1 x + b1 y + c1 = 0
y0
l
( x 0 , y0)
x
x0
x
a 2 x + b 2y + c2 = 0
(a)
(b)
(c)
Do¤rular paralel
Sistemin çözümü yok
Do¤rular çak›ﬂ›k
Sistemin sonsuz çözümü var
Do¤rular kesiﬂiyor
Sistemin tek çözümü var
Şekil 11.2
ÖRNEK 1
ÇÖZÜM
2x + 3y = 10
- 8x + y = 25
do¤rusal denklem sistemini çözünüz.
Bu denklem sistemindeki denklemlerden her biri bir do¤ru denklemidir.
do¤rusunun e¤imi - 2 ve - 8x + y = 25 do¤rusunun e¤imi 8
3
oldu¤undan bu do¤rular kesiﬂirler. Dolay›s›yla verilen denklem sisteminin tek bir
çözümü vard›r. ﬁimdi bu çözümü yok etme yöntemiyle bulal›m. Bu yönteme göre, önce her iki denklemde bilinmeyenlerden birinin katsay›lar›n› eﬂitleyerek, bilinmeyenlerden birini yok edip ikincisini hesaplayal›m. Bunun için birinci denklemi 4 ile çarp›p ikincisi üzerinde toplayal›m;
2x + 3y = 10
4 /2x + 3y = 108
-8x + y = 25
x + 12y = 40
-8x + y = 25
13y = 65
Æy=5
bulunur. y = 5 de¤erini birinci denklemde yerine yazal›m:
2x + 3(5) = 10
y
(2 )
-5 ,5
2x = 10 - 15
10
3
-8x + y =olur.
25
- 25
8
2x = -5
x= - 5
2
2x + 3y = 10
0
5
Şekil 11.3
x
olur. Böylece sistemin tek çözümü
x = - 5 , y = 5 olarak bulunmuﬂ
2
olur. Do¤rular›n kesim noktas›
- 5 , 5 dir.
2
235
‹ki Bilinmeyenli Do¤rusal Denklem Sistemleri
ÖRNEK 2
3x - 2y = 7
-21x + 14y = -49
denklem sistemini çözünüz.
ÇÖZÜM
Bu denklem sisteminin denklemlerinin temsil etti¤i do¤rular›n e¤imleri eﬂittir;
m = 3/2 dir. Dolay›siyle bu do¤rular ya çak›ﬂ›kt›r ya da birbirlerine paraleldir.
y - eksenini kesim noktalar› da ayn›, - 7 oldu¤undan bu do¤rular çak›ﬂ›kt›r. O
2
halde bu do¤ru üzerindeki her bir nokta sistemin bir çözümüdür; yani verilen sistemin sonsuz çoklukta çözümü vard›r. ﬁimdi cebirsel olarak bu sonucu do¤rulayal›m.
7 / 3x - 2y = 7
-21x + 14y = 49
Æ 21x - 14y = 49
-21x + 14y = -49
0=0
Bu sonuç sistemin iki denkleminin eﬂde¤er oldu¤unu gösterir. Bu nedenle bu
denklemlerden birisi, diyelim ki 3x - 2y = 7 denklemi, al›narak çözüm yap›l›r.
3x - 2y = 7 denkleminin x e ba¤›ml› çözümü,
y = 1 3x - 7
2
y
olur. x de¤iﬂkeninin alaca¤› her bir
3x - 2y = 7
de¤ere karﬂ›l›k y nin bir de¤eri bulunur. Bu nedenle verilen sistemin
- 21x + 14y = - 49
0
x
7
3
-7
2
sonsuz çoklukta çözümü vard›r.
Baz› özel çözümleri yazabiliriz:
x= 0
için
y= - 7
2
x= 1
için
y=-2
x = -1
için
y=-5
Şekil 11.4
ÖRNEK 3
-4x + 3y = 9
12x - 9y = 15
denklem sistemini çözünüz.
çözümü yoktur. ﬁimdi bu sonucu cebirsel olarak do¤rulayal›m.
ÇÖZÜM
Önce geometrik olarak çözümün var olup olmad›¤›n› görelim. Denklemlerin her
birinin gösterdi¤i do¤runun e¤imi m = 4 dir. Fakat bu do¤rulardan birincisinin
3
y-ekseninin kesim noktas› 3, ikincisinin - 5 oldu¤undan bunlar farkl› paralel
3
do¤rulard›r. Bu nedenle de ortak bir noktalar› yoktur. O halde verilen sistemin bir
236
‹ki Bilinmeyenli Do¤rusal Denklem Sistemleri
y
3/ -4x + 3y = 9
12x - 9y = 15
3
- 4x + 3y = 9
Æ
-12x + 9y = 27
12x - 9y = 15
0 = 42
12x - 9y = 15
-9
4
0
5
4
x
Böyle bir eﬂitlik olamayaca¤›na göre,
verilen denklem sisteminin bir çözümü
yoktur.
-5
3
Şekil 11.5
ÖRNEK 4
ÇÖZÜM
Bir g›da pazar›, fiyatlar› 1,5 milyon TL/kg ve 2 milyon TL/kg olan iki tür
çaydan 100 kg karma çay haz›rlam›ﬂt›r. Karma çay›n fiyat› 1,8 milyon
TL/kg oldu¤una göre, her bir çaydan ne miktar kar›ﬂt›r›lm›ﬂt›r?
x1 = 100 kg karma çay içindeki 1,5 milyon TL/kg l›k çay miktar›,
x2 = 100 kg karma çay içindeki 2 milyon TL/kg l›k çay miktar›
olsun. O zaman,
x1 + x2 = 100
(1)
eﬂitli¤i yaz›l›r. Di¤er taraftan karma çay›n fiyat› 1,8 milyon TL/kg oldu¤una göre
1,5x1 + 2x2 = 1,8 . 100
(2)
olmal›d›r. Böylece (1) ve (2) denklemlerinden
x1 + x2 = 100
1,5x1 + 2x2 = 180
do¤rusal denklem sistemi elde edilir. Sistemi çözelim:
-2/ x1 + x2 = 100
1,5x1 + 2x2 = 180
Æ
-2x1 - 2x2 = -200
1,5x1 + 2x2 = 180
-0,5x1 = -20
x1 = 40 ve böylece x2 = 60 bulunur. O halde, 100 kg karma çay içinde 40 kg
ucuz çay, 60 kg pahal› çay olmal›d›r.
SIRA S‹ZDE 1
1.
Aﬂa¤›da verilen do¤rusal denklem sistemlerinin çözümlerini önce geometrik
olarak (grafik yoluyla), sonra da cebirsel olarak araﬂt›r›n›z.
a) 2x + y = -1
-2x + y = 1
b) 3x - y = 2
-18x + 6y = -12
d) x
=3
x+y=5
e) -2x + y = -3
y=1
c) 2x + y = 3
4x + 2y = 1
237
n - Bilinmeyenli Do¤rusal Denklem Sistemleri (n≥3)
2.
Aﬂa¤›da verilen do¤rusal denklem sistemlerinin her birinin çözümünün var
olup olmad›¤›n›, varsa çözümün tek mi sonsuz çoklukta m› oldu¤unu belirleyiniz ve çözümü bulunuz.
a) x - y = 0
b) -2x + 4y = 36
c) 2x - y = 4
2x + 2y = 0
x - 2y = 20
x + 2y = 7
d)
2x
=y-3
-6x + 3y = 9
e)
-x + 3y = 0
2x - 6y = 8
f)
3x - 2y = 5
-2x + 3y = 4
n-B‹L‹NMEYENL‹ DO⁄RUSAL DENKLEM S‹STEMLER‹
(n ≥ 3)
AMAÇ
2
Çok bilinmeyenli çok denklemden oluﬂan do¤rusal denklem sisteminin çözümlerinin Gauss yok etme yöntemiyle bulunmas›.
Önce iki bilinmeyenli iki denklemden oluﬂan bir do¤rusal denklem sisteminin çözümünün araﬂt›r›lmas›nda izlenen yok etme yöntemini, 3-bilinmeyenli üç denklemden oluﬂan bir do¤rusal denklem sisteminin çözümünün araﬂt›r›lmas›na yönelik olarak genelleﬂtirelim. Sonra da n-bilinmeyenli m say›da do¤rusal denklemden oluﬂan sistemlerin çözümlerinin bulunmas› konusu üzerinde dural›m.
Bilinmeyen say›s› ve denklem say›s› üç olarak al›n›rsa,
a1x + b1y + c1z + d1 = 0
a2x + b2y + c2z + d2 = 0
a3x + b3y + c3z + d3 = 0
biçiminde üç bilinmeyenli üç denklemden oluﬂan bir do¤rusal denklem sistemi
elde edilir. Her üç denklemi birlikte sa¤layan bir (x0, y0, z0) s›ral› üçlüsüne sistemin bir çözümü denir. Geometrik olarak, bu denklemlerin her biri koordinat uzay› içinde bir düzlemi temsil eder. Dolay›s›yla sistemin ortak çözümü olmayabilir
(üç düzlemden en az ikisinin birbirlerine paralel olmas› veya farkl› do¤rular boyunca kesiﬂmeleri durumu [ﬁekil 11.6 (a), (b) ve (c)]), sonsuz çoklukta çözüm olabilir (üç düzlemin bir do¤ru boyunca kesiﬂmeleri veya çak›ﬂ›k olmalar› durumu,
[ﬁekil 11.7(a)]) ya da tek bir çözüm olabilir (üç düzlemin tek ortak noktalar› olmas› durumu, [ﬁekil 11.7(b)]).
p1
p1
p2
p
p
2
1
p
2
p3
p3
p3
(a)
Düzlemler paralel
Sistemin çözümü yok
(b)
‹ki paralel düzlem üçüncüsü
taraf›ndan kesiliyor
Sistemin çözümü yok
(c)
Üç düzlem farkl› do¤rular
boyunca kesiﬂiyorlar
Sistemin ortak çözümü yok
Şekil 11.6
238
n - Bilinmeyenli Do¤rusal Denklem Sistemleri (n≥3)
p2
p1
p2
p1
p
3
p3
(a)
(b)
Üç düzlem bir do¤ru boyunca kesiﬂiyorlar
Sistemin sonsuz çoklukta çözümü var
Üç düzlemin tek bir ortak noktas› var
Sistemin tek çözümü var
Şekil 11.7
ﬁimdi farkl› durumlar için birer örnek verelim.
ÖRNEK 5
ÇÖZÜM
7x - 3y + 3z = 28
-x - 3y + z = 12
5x + 3y + z = 0
do¤rusal denklem sisteminin çözümünü bulunuz.
Üçüncü denklemi -3 ile çarp›p birinci denklemle ve -1 ile çarp›p ikinci denklemle toplarsak, birinci ve ikinci denklemden z bilinmeyeni yok olur. Böylece verilen
sistem,
-8x - 12y
= 28
-6x - 6y
= 12
5x + 3y + z = 0
do¤rusal denklem sistemine dönüﬂür. Bu sistemin ikinci denklemini -2 ile çarp›p
birinci denklem üzerinde toplayal›m;
4x
=4
-6x - 6y
= 12
5x + 3y + z = 0
sistemi elde edilir. Bu sistemin birinci denkleminden x = 1 bulunur. ‹kinci denklemde x = 1 yaz›l›nca y = -3 olur. Üçüncü denklemde x = 1 , y = -3 yaz›l›nca
5(1) + 3 (-3) + z = 0 veya z = 4 elde edilir. Böylece son sistemin tek çözümü
x = 1 , y = -3 , z = 4 olur. Bu çözüm ayn› zamanda verilen denklem sisteminin de
tek çözümüdür. Bunu do¤rulamak için bulunan bu de¤erleri verilen sistemde yerine yazal›m,
7(1) - 3(-3) + 3(4) = 28
- (1) - 3(-3) + 4
= 12
5(1) + 3(-3) + 4
=0
veya
olarak istenilen do¤rulanm›ﬂ olur.
28 = 28
12 = 12
0=0
239
n - Bilinmeyenli Do¤rusal Denklem Sistemleri (n≥3)
x1 + 2x2 - x3 = 4
2x1 + 3x2 - x3 = 1
3x1 - x2 + 4x3 = -37
do¤rusal denklem sisteminin çözümünü bulunuz.
R1 : x1 + 2x2 - x3 = 4
R2 : 2x1 + 3x2 - x3 = 1
R3 : 3x1 - x2 + 4x3 = -37
Æ
R1
: x1 + 2x2 - x3 = 4
R'2 = -2R1 + R2 :
-x2 + x3 = -7
R'3 = -3R1 + R3 :
-7x2 + 7x3 = -49
Æ
R1 : x1+ 2x2 - x3 = 4
-x2 + x3 = -7
R' 2 :
0=0
-7 R'2 + R'3 :
ÇÖZÜM
Kolayl›k ve k›sal›k için verilen sistemin birinci denklemini R1, ikinci denklemini
R2 , üçüncü denklemini R3 ile gösterelim. k s›f›rdan farkl› bir say› olmak üzere,
kRi + Rj (i , j = 1 , 2 , 3 ve i ≠ j ) simgesiyle i-yinci denklemin iki taraf›n›n
k ile çarp›l›p j-yinci denklem üzerinde toplanmas›n›, kRi ile de i-yinci denklemin
k ile çarp›lmas›n› gösterelim. ﬁimdi bu gösterimleri kullanarak verilen sistemin çözümünü araﬂt›ral›m.
ÖRNEK 6
Æ
R1 : x1 + 2x2 - x3 = 4
R'2 :
-x2 + x3 = -7
Elde edilen son denklem sistemi üç bilinmeyenli iki denklemden oluﬂan bir sistemdir. Bu sistemde x3 ü ba¤›ms›z de¤iﬂken olarak düﬂünüp x1 ve x2 bilinmeyenlerini x3 e ba¤l› olarak çözebiliriz. x3 = t diyelim. R'2 den x2 = x3 + 7 = t + 7
ve R1 den x1 = -2x2 + x3 + 4 = -2 (t + 7) + t + 4 = - t - 10 olur. Böylece sistemin çözümü, t parametresine ba¤l› olarak
x1 = - t - 10
x2 = t + 7
(t Œ R)
x3 = t
olur. Her t gerçel say›s› için (-t -10, t + 7, t ) s›ral› üçlüsü verilen sistemin bir çözümü olur. Bu nedenle verilen sistemin sonsuz çoklukta çözümü vard›r. Bu sonucu geometrik olarak ﬂöyle yorumlayabiliriz: Verilen denklem sisteminin denklemlerinin temsil etti¤i düzlemler, parametrik denklemleri yukar›daki ﬂekilde olan
do¤ru boyunca kesiﬂirler.
ÖRNEK 7
x1 + 3x2 - 6x3 = -4
-2x1 + x2 + 4x3 = 0
-2x1 - 6x2 + 12x3 = 5
do¤rusal denklem sistemini çözünüz.
Æ
R1 : x1 + 3x2 - 6x3 = -4
R'2 = 2R1 + R2 :
7x2 - 8x3 = -8
R3 = 2R1 + R3 :
0 = -3
Dönüﬂtürülen sistemin üçüncü denklemi R'3 geçersiz bir eﬂitlik oldu¤undan verilen sistemin bir çözümü olamaz.
ÇÖZÜM
R1 : x1 + 3x2 - 6x3 = -4
R2 : -2x1 + x2 + 4x3 = 0
R3 : -2x1 - 6x2 + 12x3 = 5
240
Bilinmeyen Say›s› n, Denklem Say›s› m Olan Sistemler
Bilinmeyen Say›s› n, Denklem Say›s› m Olan Sistemler
ﬁimdi genel bir do¤rusal denklem sistemi tan›mlayal›m ve 2 veya 3 bilinmeyenli
sistemlerin çözümleri için verilen yöntemi genelleﬂtirelim.
Genel olarak, x1 , x2 , ... , xn ler bilinmeyenler aij ve bi ler gerçel say›lar
olmak üzere,
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm
biçiminde olan bir denklem sistemine, n bilinmeyenli m denklemden oluﬂan
bir do¤rusal denklem sistemi denir. E¤er bi lerin hepsi s›f›r ise sisteme homojen, en az bir bi ≠ 0 ise sisteme homojen olmayan do¤rusal denklem sistemi denir. n bilinmeyenli bir do¤rusal denklem sisteminin bir çözümü her bir
denklemi sa¤layan bir (k1 , k2 , ... , kn) n-s›ral›s›d›r. Böyle bir do¤rusal denklem
sisteminin tek çözümü olabilir, sonsuz çoklukta çözümü olabilir ya da hiçbir çözümü olmayabilir. E¤er sistem homojen, yani b1 = b2 = ... = bn = 0 ise
(0 , 0 , ... , 0) n-s›ral›s› bir çözümdür. Bu tür çözüme homojen sistemin s›f›r çözümü (aﬂikâr çözümü) denir. O halde, homojen bir sistemin daima bir çözümü
(en az s›f›r çözümü) vard›r. Homojen olmayan bir sistemin çözümünün varl›¤›,
tekli¤i konusu sistemin bilinmeyen say›s›, denklem say›s›, aij katsay›lar› ve bi sabitleri ile iliﬂkilendirilerek k›saca irdelenecektir. Bunun için önce basamak biçiminde do¤rusal denklem sistemi tan›m›na de¤inelim.
Bir do¤rusal denklem sistemi, genel olarak, dikdörtgen biçimindedir. E¤er bilinmeyen say›s› denklem say›s›na eﬂit ise sisteme kare sistem denir. Denklem sisteminin ilk denkleminden ve ilk bilinmeyenden baﬂlayarak, aﬂa¤›ya do¤ru bilinmeyen say›s› giderek azal›yorsa bu tür bir sisteme basamak biçimindedir denir.
Örne¤in;
3x1 - 5x2 - 10x3 + x4
x2 + 7x3
x 3 + x4
5x4
=
=
=
=
-35
5
0
3
x1 + 3x2 + x3 - x4 = 0
-x2 + x3 + 5x4 = 0
3x3 - x4 = 0
denklem sistemlerinden ilki basamak biçiminde homojen olmayan do¤rusal denklem sistemi, ikincisi basamak biçiminde homojen olan bir do¤rusal denklem sistemidir. Basamak biçimindeki bir sistemin avantaj›, sistemin çözümünün var olup
olmad›¤›n›n daha kolay belirlenmesi, çözüm varsa çözümün kolayca bulunabilmesinden gelmektedir.Örne¤in, yukar›da verilen homojen olmayan basamak biçi3
3
mindeki sistemin son denkleminden x 4 =
, üçüncü denkleminden x 3 = ,
5
5
22
46
x
=
x
=
ikinci denkleminden 2
, birinci denkleminden 1
olarak sistemin
15
5
çözümü kolayca bulunabilir. E¤er verilen do¤rusal denklem sistemi basamak biçiminde de¤ilse, sistem aﬂa¤›da tan›mlanan üç tür temel sat›r iﬂlemleriyle çözümü
de¤iﬂtirilmeden basamak biçimine dönüﬂtürülebilir.
Temel sat›r iﬂlemleri;
I. sistemin herhangi iki denklemin s›ras›n›n de¤iﬂtirilmesi,
II. sistemin bir denklemin her iki yan›n›n s›f›r olmayan bir say› ile çarp›lmas›,
III. sistemin bir denkleminin s›f›r olmayan bir kat›n›n bir baﬂka denkleme eklenmesi.
241
Bilinmeyen Say›s› n, Denklem Say›s› m Olan Sistemler
Bir do¤rusal denklem sistemine sonlu say›da temel sat›r iﬂlemi uygulan›rsa, sonuçta elde edilen yeni do¤rusal denklem sistemine baﬂlang›çtaki sisteme eﬂde¤er
denklem sistemi denir. Eﬂde¤er denklem sistemlerinin çözümleri varsa, ayn›d›r.
Bu nedenle verilen bir do¤rusal denklem sisteminin çözümünü bulmak için sistem temel sat›r iﬂlemleriyle basamak biçiminde eﬂde¤er bir sisteme dönüﬂtürülebilir ve çözüm aran›r. Bu biçimde çözüm aramaya Gauss yok etme yöntemi
denir.
Homojen olmayan bir do¤rusal denklem sistemi basamak biçimine dönüﬂtürüldü¤ünde, e¤er denklemlerden birinin birinci taraf› s›f›r iken ikinci taraf s›f›rdan
farkl› bir say› ise, verilen sistemin çözümü yoktur. Bu durumda sistem tutars›zd›r denir. E¤er sistem tutars›z de¤il ve bilinmeyen say›s› denklem say›s›na eﬂit ise,
sistemin tek bir çözümü vard›r (Bu çözüm yukar›daki örnekte oldu¤u gibi kolayca bulunur).
Denklem say›s› m, bilinmeyen say›s› n den daha az oldu¤u durumda (n-m)
tane bilinmeyen bilinen kabul edilerek, sistemin çözümü aran›r. Bu durumda sistemin sonsuz çoklukta çözümü vard›r. E¤er do¤rusal denklem sistemi homojen
ise, daima s›f›r çözümü oldu¤u aç›kt›r; yani homojen bir sistemin çözümsüzlü¤ü
(tutars›zl›¤›) söz konusu de¤ildir. Böyle bir sistemin ya tek ya da sonsuz çoklukta çözümü vard›r. Sistem basamak biçime dönüﬂtürüldü¤ünde denklem say›s› bilinmeyen say›s›na eﬂit ise tek çözüm s›f›r çözümdür; denklem say›s› bilinmeyen
say›s›ndan az ise homojen sistemin sonsuz çoklukta çözümü vard›r, (n-m) tane
bilinmeyen bilinen kabul edilerek çözüm yap›l›r
Özetlersek; m tane denklemden ve n tane bilinmeyenden oluﬂan homojen olmayan bir do¤rusal denklem sistemi için m < n ise, sistemin hiçbir çözümü olmayabilir ya da sonsuz çoklukta çözümü olabilir. E¤er m ≥ n ise, hiçbir çözüm olmayabilir, tek çözüm olabilir ya da sonsuz çoklukta çözüm olabilir. Homojen sistemlerde ise, ya s›f›r çözüm ya da sonsuz çoklukta çözüm vard›r.
ﬁimdi bu farkl› durumlar için örnekler verelim:
ÖRNEK 8
3x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = -1
- x3 + 2x4 = -3
x1
x1 + 2x2 + x3 + x4 = 2
x4 = 5
-x1 - 4x2 do¤rusal denklem sisteminin çözümünü bulunuz.
- x3 + 2x4 = -3
x1
3x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = -1
x1 + 2x2 + x3 + x4 = 2
x4 = 5
-x1 - 4x2 Bu sistemin birinci sat›r›n›, s›ras›yla -3 ile çarp›p ikinci sat›r üzerinde, -1 ile çarp›p
üçüncü sat›r üzerinde, 1 ile çarp›p dördüncü sat›r üzerinde toplayal›m:
ÇÖZÜM
Dört bilinmeyenli dört denklemden oluﬂan homojen olmayan bir do¤rusal denklem sistemi. Bu sistemi sat›r iﬂlemleriyle basamak biçime dönüﬂtürelim. Bunun
için ilk denklemde birinci bilinmeyen x1 in katsay›s› 1 olacak ﬂekilde bir iﬂlem yapabiliriz. Fakat ilk denklemin tüm terimlerini 3 e bölmek uygun olmaz, çünkü kesirli say›larla iﬂlem yapmak durumunda kal›r›z. Bu nedenle ilk iﬂlem olarak birinci sat›r ile ikinci sat›r›n yerlerini de¤iﬂtirelim:
242
Bilinmeyen Say›s› n, Denklem Say›s› m Olan Sistemler
x1
2x2 +
2x2 +
-4x2 -
x3 + 2x4
5x3 - 5x4
2x3 - x4
x3 + x4
=
=
=
=
-3
8
5
2
ﬁimdi de ikinci sat›r›, s›ras›yla, -1 ile çarp›p üçüncü sat›r ve 2 ile çarp›p dördüncü
sat›r üzerinde toplayal›m:
x1
- x3 + 2x4
2x2 + 5x3 - 5x4
-3x3 + 4x4
9x3 - 9x4
=
=
=
=
-3
8
-3
18
Üçüncü sat›r›n üç kat›n› dördüncü sat›r üzerinde toplayal›m:
x1
- x3 + 2x4
2x2 + 5x3 - 5x4
-3x3 + 4x4
3x4
=
=
=
=
-3
8
-3
9
Bu sistem basamak biçiminde bir do¤rusal denklem sistemidir. Dördüncü denklemden x4 = 3 bulunur. Bu de¤er üçüncü denklemde yerine yaz›l›nca
-3x3 + 4.3 = -3
veya
-3x3 = -3 - 12 ,
x3 = 5
olur. x3 ve x4 ün bulunan de¤erleri ikinci denklemde yerlerine yaz›l›nca x2 = -1
ve birinci denklemde yaz›l›nca x1 = -4 bulunur. O halde, verilen denklem sisteminin tek çözümü var ve bu çözüm x1 = -4 , x2 = -1 , x3 = 5 , x4 = 3 ; yani
(-4 , -1 , 5 , 3) s›ral› dörtlüsüdür.
ÖRNEK 9
ÇÖZÜM
x+ y - z =0
-2x + 5y + 7z = 9
3x + y + z = -8
x + 2y - 3z = 4
do¤rusal denklem sisteminin çözümünü bulunuz.
Verilen sistemde üç bilinmeyen dört tane denklem var. Bu denklemlerden herhangi üçünü al›p, üç bilinmeyenli üç denklemden oluﬂan sistemin çözümünü
araﬂt›r›r›z. E¤er çözüm varsa ve bu çözüm d›ﬂar›da kalan denklemi de sa¤l›yorsa,
verilen sistemin çözümü olur; sa¤lam›yorsa, sistem tutars›zd›r. ‹lk üç denklemden
oluﬂan sistemin çözümünü araﬂt›ral›m.
x+ y- z =0
R1 :
R2 : -2x + 5y + 7z = 9
R3 : 3x + y + z = -8
Æ
R1 : x + y - z = 0
R'2 = 2R1 + R2 :
7y + 5z = 9
R'3 = -3R1 + R3 :
-2y + 4z = -8
R1 : x + y - z = 0
7y + 5z = 9
R'2 :
R" = 1 R' :
3
2 3
-y + 2z = -4
Æ
243
Bilinmeyen Say›s› n, Denklem Say›s› m Olan Sistemler
R1 :
R''3 :
R' 2 :
R1 :
R''3 :
7R''3 + R'2 :
x+ y - z =0
- y + 2z = 9
7y + 5z = 9
‹kinci denklem ile üçüncü denklemin yerlerini
de¤iﬂtirdik.
x+ y - z =0
- y + 2z = -4
19z = -19
‹kinci denklemi 7 ile
çarp›p üçüncü denklem
üzerinde toplad›k.
Üçüncü denklemden z = -1, ikinci denklemden y = 2, birinci denklemden x = -3
bulunur. ﬁimdi bu çözümün verilen sistemin dördüncü denklemini sa¤lay›p sa¤lamad›¤›na bakal›m:
x + 2y - 3z = 4
-3 + 2.2 - 3(-1) = 4
4 =4
oldu¤undan verilen denklem sistemi tutarl›d›r ve sistemin çözümü (-3, 2, -1) s›ral› üçlüsüdür.
ÖRNEK 10
= -1
x1 + x2 + x3
x4 = -3
x1 + 2x2 +
3x4 = 4
x2 +
denklem sisteminin çözümünü bulunuz.
= -1
x1 + x2 + x3
x2 - x3 + x4 = -2
3x4 = 4
x2 +
Bu sistemin üçüncü denklemini -1 ile çarp›p üçüncü denklem üzerinde toplayal›m.
= -1
x1 + x2 + x3
x2 - x3 + x4 = -2
x3 + 2x4 = 6
Bu sistemin denklem say›s› bilinmeyen say›s›ndan az oldu¤undan aradaki fark kadar bilinmeyeni bilinen kabul ederek sistemin çözümünü araﬂt›ral›m. Aradaki fark
4 - 3 = 1 oldu¤undan bilinmeyenlerden birini, diyelim ki x4 ü bilinen kabul edelim. x4 = t olsun. O zaman,
x1 + x2 + x3 = -1
x2 - x3 = -2 - t
x3 = 6 - 2t
sistemini elde ederiz. Böylece sistemin t ye ba¤l› olarak elde edilen çözümü, (bu
çözüme parametrik çözüm denir)
x4 = t,
x3 = 6 - 2t,
x2 = x3 - 2 - t = 6 - 2t - 2 - t = 4 - 3t
x1 = -1 - x2 - x3 = -1 - 4 + 3t - 6 + 2t = -11 + 5t
ÇÖZÜM
Sistemi basamak biçimine dönüﬂtürelim: Birinci denklemi -1 ile çarp›p ikinci
denklem üzerinde toplayal›m.
244
Bilinmeyen Say›s› n, Denklem Say›s› m Olan Sistemler
olur. t gerçel say›s›n›n alaca¤› her de¤er için sistemin bir özel çözümü bulunur.
Bu nedenle verilen sistemin sonsuz çoklukta çözümü vard›r. Sistemin parametrik
çözümü (-11 + 5t, 4 - 3t, 6 - 2t, t) s›ral› dörtlüsüdür. ‹ki özel çözümü
t=0
t=1
için
için
x1 = -11 ,
x1 = -6 ,
x2 = 4 ,
x2 = 1 ,
x3 = 6 ,
x3 = 4 ,
x4 = 0
x4 = 1
olarak verilebilir.
ÖRNEK 11
ÇÖZÜM
x + y - z = -1
3x - y + z = 5
2x + 2y - 2z = 3
denklem sistemini çözünüz.
Sistemi basamak biçimine dönüﬂtürelim: Birinci denklemi -3 ile çarp›p ikinci
denklem, -2 ile çarp›p üçüncü denklem üzerinde toplayal›m.
x + y - z = -1
- 4y + 4z = 8
0 =5
basamak biçimine dönüﬂür. Bu sistemin üçüncü denkleminde görülen 0 = 5
eﬂitli¤i olamayaca¤›na göre, verilen sistemin denklemleri tutars›zd›r; bir baﬂka deyiﬂle, sistemin çözümü yoktur.
ÖRNEK 12
ÇÖZÜM
R1 : x1 - 2x2 + 3x3 - 2x4 = 0
x4 = 0
R2 : 3x1 - 7x2 R3 : 4x1 - 7x2 + 9x3 + 2x4 = 0
2x3 - 3x4 = 0
R 4 : x1 +
homojen sistemin çözümünü bulunuz.
Sistemi basamak biçimine dönüﬂtürelim:
R1
R' 2 = -3R1 + R2
R'3 = -4R1 + R3
R'4 = -R1 + R4
:
:
:
:
x1 - 2x2 + 3x3 - 2x4 =
-x2 - 9x3 + 5x4 =
x2 - 3x3 + 10x4 =
2x2 - x3 - x4 =
0
0
0
0
R1
R' 2
R''3 = R'2 + R'3
R''4 = 2R'2 + R4
:
:
:
:
x1 - 2x2 + 3x3 -x2 - 9x3 +
-12x3 +
-19x3 +
0
0
0
0
R1
R' 2
:
:
R"' = - 1 R"
3
12 3
R''4
:
x1 - 2x2 + 3x3 - 2x4 = 0
-x2 - 9x3 + 5x4 = 0
x3 - 5 x 4 = 0
4
:
2x4
5x4
15x4
9x4
=
=
=
=
-19x3 + 9x4 = 0
245
Bilinmeyen Say›s› n, Denklem Say›s› m Olan Sistemler
R1
R' 2
:
:
R"'
:
R'''4 = 19R'''3 + R''4
:
3
x1 - 2x2 + 3x3 -x2 - 9x3 +
2x4 = 0
5x4 = 0
x3 - 5 x 4 = 0
4
59 x
- 4 4 =0
Sistemin bu basamak biçimi dört bilinmeyen ve dört denklemden oluﬂtu¤undan
verilen sistemin tek çözümü s›f›r çözümdür.
ÖRNEK 13
R1 : -x + y + z = 0
R2 : x + 2y + 8z = 0
R3 : x - 3y - 7z = 0
homojen do¤rusal denklem sisteminin çözümünü bulunuz.
ÇÖZÜM
Sistemi basamak biçime dönüﬂtürelim:
R1
: -x + y + z = 0
R'2 = R1 + R2
:
3y + 9z = 0
R'3 = R1 + R3
:
- 2y - 6z = 0
R1
R''2
: -x + y + z = 0
:
y + 3z = 0
Æ
R1
: -x + y + z = 0
R" = 1 R'
2
3 2
1
R" = R'
3
2 3
:
y + 3z = 0
:
y + 3z = 0
Æ
olur. ﬁimdi bu homojen sistemin bilinmeyen say›s› 3 denklem say›s› 2 oldu¤undan bir bilinmeyeni, diyelim ki z yi, bilinen kabul ederek çözüm aran›r. z = t
için sistemin parametrik çözümü,
z=t
,
y = -3z = -3t
,
x = y + z = - 3t + t = - 2t
olur. Verilen sistemin t ye ba¤l› sonsuz çoklukta çözümü vard›r. t = -1 ve t = 5
için iki özel çözümünü yazal›m:
t = -1
t=5
için
için
x=2
x = -10
,
,
y=3
y = -15
,
,
z = -1
z=5
olur.
Aﬂa¤›daki do¤rusal denklem sistemlerinin varsa, çözüm kümelerini bulunuz.
1. 3x1 - 5x2 = -30
2.
x1 + x2 + x3 = 0
5x1 - x2 + 4x3 = 16
x1 + x2 = -2
10x1 + 3x2 - x3 = -1
3.
5x + 7y - 10z = 20
10x + 12y - 21z = -5
-15x - 21y + 32z = -50
4.
2x1 + x2 - 3x3 = 12
6x1 + 4x2 + x3 = 48
-2x1 - x2 + 3x3 = -18
5.
5x1 - 4x2 + 6x3 = 24
3x1 - 3x2 + x3 = 54
-2x1 + x2 - 5x3 = 30
6.
-2x1 + 4x2 - x3 = 6
x1 - x2 + 5x3 = -2
SIRA S‹ZDE 2
246
Arz - Talep Fonksiyonlar› ve Denge Miktarlar› ‹çin Do¤rusal Bir Model
7.
x1 + x2 + x3 + x4
3x4
2x1 - x2 +
x2 + 3x3 - x4
x1 - x2 + x3
=
=
=
=
0
0
0
0
8.
x1
2x1
x1
x1
+
+
+
x2
2x2
7x2
3x2
+
+
+
+
2x3
5x3
4x3
3x3
=
=
=
=
0
0
0
0
100 kiﬂilik bir grupta bulunan bayanlar›n say›s› baylar›n say›s›n›n yar›s›ndan 1
fazlad›r. Bu gruptaki bayan ve baylar›n say›s› nedir?
10. 50 milyar paras› olan bir yat›r›mc› paras›n›n taman›n› y›ll›k getirisi %25, %30
ve %35 olan üç tür yat›r›m arac›nda de¤erlendiriyor. Y›l sonunda %25 ve %30
ile yatan miktarlar›n toplam getirisi 8,4 milyar, %35 ile yatan miktar›n ana para ile birlikte dönüﬂü 27 milyar ise, her bir yat›r›m arac›na yatan miktar nedir?
9.
ARZ - TALEP FONKS‹YONLARI VE DENGE
M‹KTARLARI ‹Ç‹N DO⁄RUSAL B‹R MODEL
AMAÇ
3
Ekonomide arz ve talep aras›ndaki iliﬂkinin bir do¤rusal denklem
sistemiyle ifade edebilece¤ini görmek ve bu iliﬂkiyi matematiksel
olarak irdelemektir.
Bir ticari mal›n piyasas›nda mal›n fiyat›, mal›n piyasadaki talebi ve piyasaya arz›
aras›nda karmaﬂ›k bir iliﬂki vard›r. Bu iliﬂkiyi çeﬂitli matematiksel modellerle yaklaﬂ›k ifade etmek mümkündür. Mal›n fiyat›n› ba¤›ms›z de¤iﬂken olarak kabul
edersek, arz ve talep miktarlar›n› fiyat›n fonksiyonlar› olarak ifade edebiliriz. Bu
fonksiyonlara arz-talep fonksiyonlar› denir. Arz-talep fonksiyonlar› do¤rusal olabilece¤i gibi, ikinci dereceden veya daha yüksek dereceden polinom türünde fonksiyonlar da olabilir. Biz burada bir mal›n pazar› için basit bir matematiksel model
oluﬂturmak istiyoruz. Bunun için de arz-talep fonksiyonlar›n› ba¤›ms›z de¤iﬂken
fiyat›n do¤rusal fonksiyonlar› olarak kabul edece¤iz. Modelimizde arz ve talep
miktarlar›n›n eﬂit oldu¤u andaki fiyata denge fiyat›, denge fiyat›na karﬂ›l›k gelen
arz-talep miktar›na da denge miktarlar› diyece¤iz; ya da k›saca, denge fiyat›denge miktarlar› ikilisine modelimizin denge noktas› (denge durumu) ad›n› verece¤iz. Böylece arz fonksiyonu, talep fonksiyonu ve denge durum aras›ndaki iliﬂkiyi bir do¤rusal denklem sistemiyle ifade edebilece¤iz.
ﬁimdi böyle bir matematiksel modeli ayr›nt›lara girerek oluﬂtural›m.
Bir ticari mal›n (ürünün) bir zaman aral›¤› içinde pazara sunum (arz) miktar›n› qs, pazar›n talep miktar›n› qd ve fiyat›n› p ile gösterelim. ﬁimdi arz-talep ve fiyat aras›nda basit dengeli bir matematiksel model oluﬂturmak istiyoruz. Modelimizin basitli¤i için p yi ba¤›ms›z de¤iﬂken, qs ve qd yi de p nin do¤rusal fonksiyonlar› olarak düﬂünelim. Fiyat artt›kça sunum artaca¤›ndan ve talep de azalaca¤›ndan, qs yi p nin artan bir fonksiyonu, qd yi de p nin azalan bir fonksiyonu olarak düﬂünebiliriz. Böylece a1, a2, b1, b2 pozitif katsay›lar olmak üzere, qs ve qd
fonksiyonlar›
qs = -a1 + b1 p
qd = a2 - b2 p
biçiminde yaz›labilir. Modelimizin dengeli olmas› için bu sisteme bir de denge koﬂulu eklemeliyiz. Bu denge koﬂulu p nin belli bir de¤eri için talebin arza eﬂit olmas›, yani qd = qs durumunda ortaya ç›kar. Böylece modelimizin matematiksel ifadesi, a1 , b1 , a2 , b2 > 0 olmak üzere,
Arz - Talep Fonksiyonlar› ve Denge Miktarlar› ‹çin Do¤rusal Bir Model
qs = -a1 + b1 p
qd = a2 - b2 p
qd = qs
(1)
biçiminde üç bilinmeyenli üç denklemden oluﬂan bir do¤rusal denklem sistemi
olur. ﬁimdi bu sistemin bir çözümünü analitik olarak aramaya giriﬂmeden önce,
geometrik olarak görmeye çal›ﬂal›m. Bu nedenle, arz-talep analizinde oldu¤u gibi; yatay ekseni p, düﬂey ekseni qs , qd olan bir dik koordinat sisteminde arz
fonksiyonu qs nin ve talep fonksiyonu qd nin grafiklerini çizelim:
Arz fonksiyonu qs artan oldu¤undan e¤imi pozitif b1 say›s›d›r ve düﬂey
ekseni kesim noktas› -a1 dir. Ancak fiyat›n belirli bir p1 (p1 = a1 / b1) de¤erinden sonra sunum söz konusu olaca¤›ndan, qs nin grafi¤inin baﬂlang›ç noktas› p1
olacakt›r [ﬁekil 11.8(a)]. Talep fonsiyonu qd azalan oldu¤undan e¤imi negatif -b2
say›s›d›r ve düﬂey ekseni kesim noktas› a2 dir [(ﬁekil 11.8(b)]. Sistemin denge
koﬂulu için qs = qd = q yaz›p, arz-talep fonksiyonlar›n›n grafiklerini, düﬂey
ekseni q olan ayn› koordinat sisteminde çizersek, qs ve qd nin grafiklerinin
kesim noktas› denge fiyat› p0 'a karﬂ›l›k gelen q0 için (p0, q0) denge noktas› olur
[ﬁekil 11.9].
qd
qs
a2
q s = -a 1 + b 1 p
0
q d = a 2 - b 2p
p 1 = a 1 /b 1
0
p
p
a 2 /b 2
- a1
(a)
Do¤rusal arz fonksiyonun grafi¤i
(b)
Do¤rusal talep fonksiyonun grafi¤i
Şekil 11.8
q
a2
q s = -a 1 + b 1 p
arz fonksiyonu
qd = a 2 - b 2 p
talep fonksiyonu
q0 = qs = qd
0
(p 0 , q 0 ) denge noktas›
a 1 /b 1
p0
a 2 /b 2
p
-a 1
p fiyat› için ürünün arz miktar› talep miktar›na eﬂittir.
0
Şekil 11.9
247
248
Arz - Talep Fonksiyonlar› ve Denge Miktarlar› ‹çin Do¤rusal Bir Model
ﬁimdi (1) denklem sisteminin çözümünü analitik olarak bulal›m. Denge koﬂulu qs = qd oldu¤undan, qs = qd = q dersek, (1) sistemi
q = - a1 + b1 p
q = a2 - b2 p
(2)
do¤rusal denklem sistemine dönüﬂür. ‹ki bilinmeyenli iki denklemden oluﬂan bu
sistemin çözümü için q yu yok edersek,
-a1 + b1 p = a2 - b2 p
veya
(b1 + b2)p = a1 + a2
olur. b1 + b2 ≠ 0 oldu¤undan p ye göre çözüm, denge fiyat› p yi verir.
p = a1 + a2
b1 + b2
olur. p nin bu de¤eri (2) sisteminin birinci denkleminde yerine yaz›l›nca, denge
miktar›
q = - a 1 + b 1 a 1 + a 2 = - a 1b 1 - a 1b 2 + b 1a 1 + b 1a 2
b1 + b2
b1 + b2
= a 2b 1 - a 1b 2
b1 + b2
bulunur. b1 + b2 > 0 oldu¤undan denge miktar› q nun pozitif olmas› için
a2b1 -a1b2 > 0 olmal›d›r. Dolay›s›yla, (1) sisteminin ekonomik olarak anlaml› olabilmesi için, sistemin a2b1 - a1b2 > 0 koﬂulunu sa¤lamas› gerekir.
Bu örnekteki (1) denklem sistemiyle verilen pazar modeline do¤rusal model
ad› verilir.
ﬁimdi konuya iliﬂkin baz› örnekler verelim:
ÖRNEK 14
ÇÖZÜM
Arz-talep fonksiyonlar› aﬂa¤›daki denklem sistemleriyle verilen pazar
modellerinin denge noktas› (p , q) yu bulunuz.
b) qs - 15p + 125 = 0
a) qs = -3 + 7p
qd + 3p - 37 = 0
qd = 15 - 2p
Her bir pazar modeli için qs = qd oldu¤unda denge söz konusu olacakt›r. Bu nedenle verilen her bir sistem için qs = qd = q yaz›p, denge fiyat› p ve denge miktar› q yu bulal›m:
a)
qs = qd = q
yaz›nca
-3 + 7p = q
15 - 2p = q
denklem sistemi elde edilir. Bu sistemden q yok edilirse,
-18 + 9p = 0
ve böylece p = 2 bulunur. p nin bu de¤eri q = -3 + 7p denkleminde yerine
yaz›l›nca q = 11 bulunur. Denge noktas› (2 , 11) olur.
249
Arz - Talep Fonksiyonlar› ve Denge Miktarlar› ‹çin Do¤rusal Bir Model
b) Benzer olarak,
q - 15p + 125 = 0
q + 3p - 37 = 0
sisteminden q yok edilince
18p - 162 = 0
denklemi elde edilir. Bu denklemden p = 162 = 9 bulunur.
18
Bu de¤er q - 15p + 125 = 0 denkleminde yerine yaz›l›nca, q - 15(9) + 125 = 0
veya q = 10 bulunur. Denge noktas› (9 , 10) olur.
Yukar›daki örneklerde sadece bir tür ticari mal›n pazar› için do¤rusal bir model
verildi. Asl›nda birbirleriyle iliﬂkili birden çok ticari mal birlikte düﬂünüldü¤ünde
de bir do¤rusal model yaz›labilir. Basitlik için, diyelim ki, birbirleriyle iliﬂkili iki ticari mal için do¤rusal bir model yazmak istiyoruz. Birinci mal›n fiyat› p1, ikincisinin p2 olsun. Bu mallar›n arz-talep fonksiyonlar›n› da s›ras›yla qs1 , q d 1 , q s2 , q d 2
ile gösterelim. Parametrik olarak bu do¤rusal modelleri, denge koﬂullar›n› da ekleyerek ﬂöyle yazabiliriz:
qs1 - q d 1 = 0
qs1 = a 0 + a 1p 1 + a 2p 2
qd 1 = b 0 + b 1p 1 + b 2p 2
ve
qs2 - q d 2 = 0
qs2 = c 0 + c 1p 1 + c 2p 2
qd 2 = d 0 + d 1p 1 + d 2p 2
ﬁimdi bu duruma bir örnek olarak, iliﬂkili iki ticari mal›n pazar› için verilen
do¤rusal modellerin denge çözümlerini bulal›m.
ÖRNEK 15
Birbirleriyle iliﬂkili iki ticari mal için arz ve talep fonksiyonlar aﬂa¤›daki
denklemlerle veriliyor. Bu mallar için denge fiyatlar›n› ve denge miktarlar›n› bulunuz.
2) qd 2 = 18 + p1 - p2
1) qd 1 = 12 - 2p1 + p2
qs1 = -8 + 3p1
qs2 = -6 + 2p2
qd 1 = qs1 = q1
ve
qd 2 = qs2 = q2
yaz›nca, verilen (1) ve (2) denklem sistemleri
q1 = 12 - 2p1 + p2
q1 = -8 + 3p1
q2 = 18 + p1 - p2
q2 = -6 + 2p2
sistemlerine dönüﬂür. Birinci sistemden q1 ve ikinci sistemden q2 yok edilince,
5p1 - p2 = 20
ve
-p1 + 3p2 = 24
denklemleri elde edilir. Bu denklemleri ortak çözelim:
5p1 - p2 = 20
-p1 + 3p2 = 24
ÇÖZÜM
Bir ticari mal›n pazar› için denge koﬂulu qs = qd olmas›d›r. Bu nedenle
250
Arz - Talep Fonksiyonlar› ve Denge Miktarlar› ‹çin Do¤rusal Bir Model
‹ki bilinmeyenli iki denklemden oluﬂan bu sistemin çözümü için birinci denklemi
3 ile çarp›p ikinci denklem üzerinde toplarsak,
14p1 = 84
veya
p1 = 6
bulunur. Böylece 3p2 = 24 + p1 = 24 + 6 = 30 , p2 = 10 olur. ﬁimdi bu denge fiyatlar›n› her bir sistemin arz ya da talep fonksiyonlar›nda yerine yaz›nca, her
bir mal›n arz miktar› talep miktar›na eﬂit olacakt›r. Yani,
q1 = 12 - 2p1 + p2 = 12 - 2(6) + 10 = 10
q2 = 18 + p1 - p2 = 18 + 6 - 10 = 14
olacakt›r. Böylece denge fiyatlar p1 = 6, p2 = 10 ve denge miktarlar› q1 = 10,
q2 = 14 olarak bulunur.
SIRA S‹ZDE 3
Bir mal›n talep fonksiyonu qd = 75 - 2p ve arz fonksiyonu qs = -15 + 4p olarak veriliyor. Bu mal için,
a) talebin s›f›r oldu¤u,
b) arz›n s›f›r oldu¤u,
c) arz ve talebin eﬂit oldu¤u
fiyatlar› belirleyiniz.
2. Arz ve talep fonksiyonlar›,
qs = -5 + 3p
qd = 35 - p
olarak verilen bir mal›n hangi fiyat› için arz ve talep miktarlar› eﬂit olur? Denge miktar›n› belirleyiniz.
3. Arz-talep do¤rular›,
qs = -13 + 12p
qd = 27 - 4p
1.
olarak verilen bir modelin denge noktas› nedir?
4. Birbirleriyle iliﬂkili iki mal›n arz ve talep fonksiyonlar›,
qd 1 = 54 - 2p1 + p2
qd 2 = 68 + 3p1 - 2p2
qs1 = 11p1 - 16
qs2 = 11p2 - 18
olarak veriliyor. Her bir mal›n arz ve talebinin eﬂit miktarlarda olaca¤› denge
fiyatlar var m›d›r? Varsa denge de¤erleri nelerdir?
Kendimizi S›nayal›m
251
Kendimizi S›nayal›m
1. 2x + 3y = 1 ve -3x + 2y = -8 do¤rular›n›n kesim noktas› aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
a. (-1 , 2)
b. (2 , -1)
c. (1 , -1)
d. (-1 , 1)
e. (2 , 1)
2. 2x - 5y = 16
6. x + y - 2z = -2
2x - y - z = 5
x - 3y + 2z = 10
do¤rusal denklem sisteminde yer alan düzlemlerin arakesit do¤rusunun parametrik denklemleri aﬂa¤›dakilerden
hangisidir?
a. x = t
y = -4 + t
z = -1 + t (t Œ R)
-x + 7y = -17
do¤rusal denklem sisteminin (x, y) çözümü aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
a. (18, 4)
b. (23, 6)
c. (-4, -3)
d. (3, 2)
e. (3, -2)
3. 3x + 6y = 8
kx + 2y = 6
do¤rusal denklem sisteminin çözümsüz olmas› için k ne
olmal›d›r?
a. -2
b. -1
c. 1
d. 2
e. 3
4. -5x + ky = -2
15x + y = 6
do¤rusal denklem sisteminin sonsuz çözümü oldu¤una
göre, k kaçt›r?
a. -1
b. -1/3
c. 1/3
d. 1
e. 3
5. 2x + 3y - z - 1 = 0
,
-x + 5y + z - 14 = 0
ve
3x + y + 2z - 5 = 0
düzlemleri verilsin. Bu düzlemlerin kesim noktas› aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
a. (1 , 2 , 3)
b. (-1 , 2 , 3)
c. (-2 , 1 , 3)
d. (2 , 3 , 1)
e. (2 , 3 , -1)
b. x = -1 + t
y = -3 + t
z=t
(t Œ R)
c. x = -1 + t
y = 2t
z=t
(t Œ R)
d. x = 1 + t
y = -1 + t
z=t
(t Œ R)
e. x = 1 + t
y=t
z=1-t
(t Œ R)
7. 2x1 + 3x2 - x3 + x4 = 0
3x4 = 0
x1 - x2 +
x4 = 0
3x2 do¤rusal denklem sisteminin çözümü ile ilgili aﬂa¤›daki
ifadelerden hangisi do¤rudur?
a. Sistemin tek çözümü x1 = x2 = x3 = x4 = 0 d›r.
b. Sistemin tek çözümü x1 = -8 , x2 = 1, x3 = -10,
x4 = 3 tür.
c. Sistemin sonsuz çoklukta çözümü vard›r ve bu çözüm,
x 1 = - 8 t , x 2 = 1 t , x 3 = - 10 t , x 4 = t (t Œ R)
3
3
3
d. Sistemin sonsuz çoklukta çözümü vard›r ve bu çözüm,
x1 = -8t , x2 = t , x3 = -10t , x4 = t (t Œ R)
e. Sistemin çözümü yoktur.
8.
x1 + 7x2 - 3x3 = -40
2x1 - x2 + x3 = 9
x1 - 3x2 + 2x3 = 20
do¤rusal denklem sisteminin (x1, x2, x3) çözümü aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
a. (3 , -7 , -2)
b. (1 , 3 , 2)
c.. (1 , -5 , 2)
d. (-1 , 5 , 4)
e. (-5 , 2 , 3)
252
Biraz Daha Düﬂünelim
9. Arz-talep fonksiyonlar›,
qs = -14 + 8p
qd = 105 - 9p
denklemleriyle verilen bir mal›n denge fiyat› ve denge
miktar› aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
a. p = 3
, q = 10
b. p = 10 , q = 15
c. p = 11 , q = 74
d. p = 11 , q = 6
e. p = 7
, q = 42
Biraz Daha Düﬂünelim
1. a) 3x - 4y = 6
b) 5x + 2y = 11
x + 2y = 2
4x + 3y = 6
do¤rusal denklem sistemlerini grafik olarak çözünüz.
2. 3x + y = 2
5x - y = 4
- 3x + 2y = y
,
8x
=6
do¤rusal denklem sistemlerinin eﬂde¤er oldu¤unu gösteriniz.
3.
x - 2y - z = 2
x - y + 2z = 9
10. Arz-talep fonksiyonlar›,
qd 1 = 3 - p1 + p2 , qs1 = -4 + 5p1
qd 2 = 14 + p1 - 3p2 , qs2 = -9 + 2p2
denklemleriyle verilen iki ticari mal için denge fiyat› ve
denge miktarlar› aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
a. p1 = 2 , p2 = 5 , q1 = 6 , q2 = 1
b. p1 = 2 , p2 = 6 , q1 = 6 , q2 = 3
c. p1 = 3 , p2 = 5 , q1 = 11 , q2 = 1
d. p1 = 3 , p2 = 7 , q1 = 11 , q2 = 5
e. p1 = p2 = 5
, q1 = 21 , q2 = 1
2x + y + z = 3
sisteminin çözümünü bulunuz.
4. ‹ki kapda bulunan %4 lük ve %9 luk tuz çözeltilerinden 50 litre %6 l›k bir çözelti elde etmek için her bir kapdan ne kadar çözelti al›narak kar›ﬂt›r›lmal›d›r?
5. Bir nehirde seyreden bir bot, önce nehirin ak›ﬂ›na ters
yönde 6 saat yukar› do¤ru seyrettikden sonra geriye dönüyor ve 2 saatte hareket etti¤i noktaya ulaﬂ›yor. Sonra
aﬂa¤› do¤ru 3 saat seyredip, tekrar yukar› do¤ru 8 saat
seyretti¤i halde baﬂlang›ç noktas›na 4 km yaklaﬂ›yor. Bu
nehirin ak›ﬂ h›z› nedir?
Pierre Fermat (1601 - 1665)
Avukat ve devlet adam› olan Fermat’ ›n bilinen en önemli çal›ﬂmas› Fermat’ ›n son teoremi olarak bilinen " xn+yn=zn (n >2) denkleminin pozitif tam say›lar için çözümü yoktur"
biçiminde ifade edilen teoremdir. Bu teorem
için Fermat, okudu¤u bir kitab›n kenar›na ﬂu
notu yazm›ﬂt›r: "Ben bu teoremin gerçekten
çok güzel bir kan›t›n› yapt›m, fakat bu sayfan›n dar kenar›na s›¤maz." Oysa bu teoremin
kan›t› matematikçileri yaklaﬂ›k 350 y›l u¤raﬂt›rm›ﬂt›r.
Matrisler
12
Amaçlar
Bu üniteyi çal›ﬂt›ktan sonra;
matris kavram›n› tan›yacak ve bir tablonun bir matris biçiminde gösteriliﬂini yazabileceksiniz,
bir matrisin boyutunu tan›y›p, matrislerin adland›r›l›ﬂ›n› ö¤reneceksiniz,
uygun matrisler aras›nda toplama, çarpma ve bir say› ile çarpma iﬂlemleri
yapabileceksiniz,
ters matris kavram›n› tan›y›p, ilkel sat›r-sütun iﬂlemleri yoluyla ters matrisin
hesaplan›ﬂ›n› ö¤reneceksiniz,
do¤rusal
denklem sistemlerinin çözümlerini matris yöntemiyle
bulabileceksiniz,
çeﬂitli ekonomi problemlerinin matrislerle temsil ediliﬂini yazabilecek ve çözümlerini matris yöntemiyle araﬂt›rabileceksiniz.
254
Matrisler
‹çindekiler
•
•
•
•
•
Matris Tan›m›, Bir Matrisin Boyutu ve Özel Türden Matrisler
Matris ‹ﬂlemleri
Matris ‹ﬂlemlerinin Özellikleri
Ters Matris
Do¤rusal Denklem Sistemlerinin Matrislerle Gösteriliﬂi
• Tan›mlar ve yeni kavramlar üzerinde iyi düﬂünülmeli ve do¤ru alg›lamaya çal›ﬂ›lmal›d›r.
• Örnekler iyi incelenmelidir.
• Ö¤renciye b›rak›lan sorularda verilenlerin ve bulunmas› istenilenlerin
neler oldu¤u iyi ay›rt edilmelidir.
• Çal›ﬂ›rken mutlaka ka¤›t ve kalem kullan›lmal›d›r ve al›ﬂt›rma sonuçlar› çözülerek bulunmal›d›r.
Giriﬂ
Bu ünitenin konusu matrisler cebiri ve uygulamalar›d›r. Daha aç›k ifade edecek
olursak; bu ünitede matrislerin özellikleri, tipi ya da boyutu, matrisler aras›nda
cebirsel iﬂlemler, bu iﬂlemlerin sa¤lad›¤› özellikler, sat›r ve sütun iﬂlemleri gibi konular ele al›nacakt›r. Uygulamada önemli yeri olan ters matrisin varl›¤› ve hesaplanmas›na iliﬂkin baz› yöntemler üzerinde durulacakt›r. Bütün bu gerekli kavramlar›n verilmesinden sonra, matrislerin uygulama alan›nda önemini gösteren
türden örnekler verilecektir. Bu tür örneklerin baﬂ›nda, do¤rusal denklem sistemlerinin matris gösterimleriyle ifade ediliﬂleri ve çözümlerinin irdelenmesi gelir.
Matris gösterimleriyle verilen bir do¤rusal denklem sisteminin çözümü yap›lmadan, çözümün varl›¤›, varsa tekli¤i belirlenebilir; çözüm varsa, çözümün bulunmas›n› kolaylaﬂt›ran matris yöntemler verilebilir. Birçok ekonomik iliﬂkiler bir
do¤rusal denklem sistemiyle ifade edilebildi¤inden, ekonomik iliﬂkilerin matematiksel olarak modellenmesinde matrislerin önemli bir yeri vard›r. ‹leride verece¤imiz örnekler bu önemi daha iyi aç›klayacakt›r.
Matrisin Tan›m›, Bir Matrisin Boyutu ve Özel Türden Matrisler
MATR‹S TANIMI, B‹R MATR‹S‹N BOYUTU VE ÖZEL
TÜRDEN MATR‹SLER
AMAÇ
1
Bu kesimde amaçlanan, tablolar›n matris olarak gösteriliﬂi, matris terminolojisinin tan›t›lmas›; kare, sat›r, sütun, birim matrisler,
bir matrisin devri¤i, matris eﬂitli¤i kavramlar›n›n aç›klanmas›d›r.
Önce "matris nedir?" sorusuna yan›t arayal›m. Günlük yaﬂant›m›zda say›lar›n,
de¤iﬂkenlerin veya parametrelerin oluﬂturdu¤u çeﬂitli tablolar yapmaya ihtiyaç duyar›z. Örne¤in, bir fabrikan›n üretti¤i, diyelim ki beﬂ tür mal›n ilk alt› ayl›k üretim
miktarlar›n›n aylara göre dökümünün verilmesi istenirse, bunu göstermenin bir
yolu beﬂ sat›r ve alt› sütundan oluﬂan bir tablo haz›rlamakt›r. Sat›rlar›n karﬂ›s›na
mal çeﬂitlerini, sütunlar›n tepesine de aylar yaz›l›rsa, bir sat›r ile bir sütun kesiﬂti¤i yere de o ay içinde üretilen o mal›n miktar› yaz›labilir. Bu tabloya fabrikan›n
ilk alt ayl›k üretim tablosu denildi¤i gibi üretim matrisi de denir. Aﬂa¤›daki örne¤i inceleyiniz.
Bir giyim atölyesinde üretilen mallar›n y›l›n ilk ay› içindeki üretim miktarlar›
aﬂa¤›daki tablo ile verilmiﬂtir.
Ocak
ﬁubat
Mart
Nisan
May›s Haziran
Ceket
250
200
150
300
200
100
Pantolon
300
250
175
300
250
200
Yelek
100
75
75
50
25
0
Gömlek
350
400
350
300
325
350
Kravat
500
450
400
375
250
150
Beﬂ sat›r, alt› sütundan oluﬂan bu tablo, hangi mal›n hangi ay ne miktarda üretildi¤ini göstermektedir. K›sa bir ifadeyle, atölyenin ilk alt ayl›k üretim tablosu
veya üretim matrisidir.
Say›lar›n, de¤iﬂkenlerin veya parametrelerin oluﬂturdu¤u dikdörtgen biçiminde
bir tabloya bir matris denir.
Bir matrisi oluﬂturan nesnelere o matrisin elemanlar› ya da ö¤eleri ad› verilir. Yatay çizgiler üzerinde yer alan matris elemanlar›na matrisin sat›rlar›, düﬂey
çizgiler üzerinde yer alan matris elemanlar›na matrisin sütunlar› denir. Bir matris, sat›r say›s› ve sütun say›s› ile ifade edilir. m say›da sat›r›, n say›da sütunu olan
bir matris için mxn ye matrisin boyutu ya da mertebesi denir. Bir matrisin boyutu yaz›l›rken daima önce sat›r say›s› sonra da sütun say›s› yaz›l›r. E¤er sat›r say›s› sütun say›s›na eﬂit ise, bu tür bir matrise kare matris denir. Boyutu nxn
olan bir matris, k›saca n- yinci mertebeden kare matris diye de ifade edilebilir.
Bir matrisin m say›da sat›r› ve bir tek sütuna varsa, yani matrisin boyutu mx1 ise,
böyle bir matrise sütun matris ya da bir sütun vektör denir. Bir tek sat›r› ve n
say›da sütunu, yani mertebesi 1xn olan bir matrise de sat›r matris ya da bir
sat›r vektör denir.
Bir matrisin sat›rlar› ve sütunlar› normal parantez ( ) veya köﬂeli parantez [ ]
biçiminde çizgiler aras›na yaz›l›r ve matrisin boyutu da parantezin sa¤ alt köﬂesine yaz›larak gösterilir. Bu kitapta matrisler için ( ) gösterimini kullanaca¤›z.
255
256
Matrisin Tan›m›, Bir Matrisin Boyutu ve Özel Türden Matrisler
Aﬂa¤›da çeﬂitli boyutlardaki matrisler için birer örnek verilmiﬂtir.
ÖRNEK 1
-3
7
4
0
0,5
2
-8
1
9
11
-5
3
2x2
1
3/2
-7
2 x 4 boyutunda bir matris
2x4
2 nci mertebeden kare matris
3
Sat›r matris (sat›r vektör)
1x4
3
-1
4
Sütun matris (sütun vektör)
3x1
Matrisler, A, B, C, ... , X, Y gibi büyük harfler ile onlar›n ö¤eleri de küçük
harfler ile gösterilirler. Boyutu mxn olan genel bir matrisin i -yinci sat›r› ile
j -yinci sütunun kesiﬂti¤i yerdeki eleman› aij olarak yaz›l›r. Böylece A matrisi
A = (aij )mxn biçiminde temsil edilebilir (Bu tür yaz›l›ﬂlarda, yani bir matrisin boyutunun yaz›l›ﬂ›nda olsun veya bir eleman›n konumunun gösteriliﬂinde olsun, daima sat›r say›s› ya da numaras› sütun say›s›ndan ya da numaras›ndan önce yaz›l›r). Gösteriliﬂi A = (aij )mxn olan m sat›r, n sütundan oluﬂan genel bir A matrisi,
elamanlar›n›n konumlar› aç›k gösterilecek ﬂekilde aﬂa¤›daki biçimde yaz›labilir:
a 11
a 21
...
ai 1
...
am 1
A=
≠
1. sütun
a 12
a 22
...
ai 2
...
am 2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. a 1j
. a 2j
. ...
. a ij
. ...
. a mj
≠
2. sütun
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a 1n
a 2n
...
a in
...
a mn
¨ 1. sat›r
¨ 2. sat›r
¨ i -inci sat›r
≠
j -yinci sütun
‹ki matrisin boyutlar› ve ayn› konumdaki tüm elemanlar› eﬂit ise bu iki matrise eﬂit matrisler denir. O halde, A = (aij )mxn ve B = (bij )rxs matrislerinin eﬂit olmas› için gerekli ve yeterli koﬂul m = r, n = s ve her i, j için aij = bij olmas›d›r.
ÖRNEK 2
A=
1
3
8
0
-1
x
matrisinin
B=
1
y
z
0
-1
5
matrisine eﬂit
ÇÖZÜM
olmas› için x, y, z ne olmal›d›r?
A matris ile B matrisinin boyutlar› ayn› oldu¤undan, A = B olmas› için x = 5,
y = 3, z = 8 olmal›d›r.
257
Matrisin Tan›m›, Bir Matrisin Boyutu ve Özel Türden Matrisler
-3
A=
5
7
0
0
1
-1
8
2
4
-5
5
D= 2 3 0 -1 ,
1
,
B=
3
5
2
7
8
9
-1
0
ÖRNEK 3
-1
,
C=
3
6
E= -4
matrisleri veriliyor. Bu matrislerin boyutlar›n›, eleman say›lar›n› ve a24 ,
b32 , c31 , d14 , e11 elemanlar›n› bulunuz.
B matrisinin boyutu 3x3 dür; yani üçüncü mertebeden bir kare matristir.
Elemanlar› say›s› 3x3 = 9 dur. b32 = - 1 dir.
C matrisinin boyutu 3x1 dir. Bu matris bir sütun matristir; elemanlar› say›s› 3
ve c31 = 6 d›r.
D matrisinin boyutu 1x4 dür. Bu matris bir sat›r matristir; elemanlar› say›s› 4
ve d14 = - 1 dir.
E matrisi boyutu 1x1 olan hem sat›r hem de sütun matristir. E nin tek eleman›
e11 = - 4 dür.
n- yinci mertebeden bir A = (aij ) kare matrisinde a11 , a22 , a33 , ... , ann
elemanlar›na k›saca matrisin köﬂegen elemanlar› denir.
E¤er bir kare matrisin köﬂegen elemanlar›n›n hepsi 1 ve di¤er tüm elemanlar› 0 ise, böyle bir matrise bir birim matris denir. n- yinci merteben bir birim
matris için
a ij =
1
i=j
0
iπj
i, j = 1,2,...,n
dir. Her mertebeden birim matris vard›r ve mertebesi n olan birim matris, genel olarak, In simgesiyle gösterilir.
Örne¤in,
I2 =
1
0
0
1
, I3 =
1
0
0
0
1
0
0
0
1
matrislerinden birincisi 2 ci mertebeden, ikincisi de 3 cü mertebeden birim
matrislerdir.
Bir A = (aij )mxn matrisi için A n›n devri¤i (transpozesi) diye adland›r›lan
ve AT = (a'ij )nxm ile gösterilen matris, boyutu nxm olan ve a'ij = aji olarak
tan›mlanan matristir. Bir baﬂka ifade ile, A n›n sat›rlar›n› sütun, sütunlar›n› da sat›r
yaparak elde edilen matrise A n›n devri¤i denir ve bu yeni matris AT ile gösterilir. Örne¤in,
ÇÖZÜM
Her bir matrisi tek tek ele al›p sorular› yan›tlayal›m. A matrisinin boyutu 3x4
dür; özel bir adland›r›l›ﬂ› yoktur. Elemanlar› say›s› 3x4 = 12 dir. a24, ikinci sat›r dördüncü sütunda bulunan eleman oldu¤undan a24 = 8 dir.
258
Matrisin Tan›m›, Bir Matrisin Boyutu ve Özel Türden Matrisler
a 11 a 12 a 13 a 14
a 21 a 22 a 23 a 24
a 31 a 32 a 33 a 34
A=
3x4
matrisinin devri¤i, boyutu 4x3 olan ve A n›n sat›rlar›n› sütun kabul eden
matristir.
a' 11 a' 12 a' 13
a' 21 a' 22 a' 23
T
A =
a 11
a 12
a 13
a 14
=
a' 31 a' 32 a' 33
a' 41 a' 42 a' 34
ÖRNEK 4
A=
-1
3
0
2
0
5
a 21
a 22
a 23
a 24
a 31
a 32
a 33
a 34
4x3
3
, B=
2x3
, C=
2
2
3x1
3
0
0
0
-5
0
0
0
1
3x3
ÇÖZÜM
matrislerinin devriklerini bulunuz.
AT =
T
C =
SIRA S‹ZDE 1
1. A =
-1
2
3
0
0
5
, BT =
2
2
1x3
,
3x2
3
0
0
0
-5
0
0
0
1
-3
2 1 x
y z 0
ne olmal›d›r?
=C
3x3
0
3
1
sonucunu bulunuz.
2. A =
3
5
matrisinin ö¤eleri için 2a13 - 3a212 - 4a23 iﬂleminin
- 3/2
, B=
2 1 4
matrislerinin eﬂit olmalar› için x, y, z de¤erleri
9 z z
3. Ö¤eleri a11 = a22 = a33 = 1, a12 = a21 = -1, a13 = a31 = 2 ve a23 = a32 = 3
olan kare matrisi yaz›n›z.
1 x y
4. A =
-2 1 z
matrisi için A = AT ise, A matrisinin bilinmeyen ö¤elerini
3 4 5
bulunuz ve A matrisini yeniden yaz›n›z.
259
Matris ‹ﬂlemleri
MATR‹S ‹ﬁLEMLER‹
Bu kesimde matris toplamas›, ç›karmas›, say› ile çarp›m› ve matris çarp›m› iﬂlemlerini tan›yacak ve bu iﬂlemlerin kimi özelliklerini ö¤reneceksiniz.
Matris Toplam›
A = (aij )mxn ve B = (bij )mxn ayn› tipten iki matris olsunlar. Ö¤eleri cij = aij + bij
(i = 1,2,...m ; j = 1,2,...,n) olan C = (cij )mxn matrisine A ve B matrislerinin toplam› denir ve bu matris C = A + B ﬂeklinde gösterilir. Bu durumda A ve B matrislerine toplanabilir matrisler ad› verilir.
Aç›kt›r ki,
A+B=
a 11
a 12
. . . a 1n
a 21
a 22
. . . a 2n
+
b 11
b 12
. . . b 1n
b 21
b 22
. . . b 2n
...
...
a m1 a m2 . . . a mn
=
b m1 b m2 . . . b mn
a 11+b 11
a 12+b 12
...
a 1n+b 1n
a 21+b 21
a 22+b 22
...
a 2n+b 2n
...
a m1+b m1
a m2+b m2
...
a mn+b mn
dir.
A ve B matrislerinin A - B fark› da benzer ﬂekilde tan›mlan›r.
A=
3 2 -1
,
B=
-1 7 4
0 4 5
bulunuz.
A-B=
matrisleri için A + B , A - B matrislerini
3 -2 0
3+ -1
2+7
-1+4
0+3
4+ -2
=
5+0
3- -1
2-7
-1-4
0-3
4- -2
5-0
=
2
9
3
3
2
5
4
-5
-5
- 3
6
5
ÇÖZÜM
A+B=
ÖRNEK 5
Say› ‹le Çarpma
Bir matrisin bir say› ile çarp›m›, o matrisin elemanlar›n›n konumlar›n› bozmadan, tüm elemanlar›n verilen say› ile çarp›m›yla oluﬂturulan matristir. Yani k
bir say› ve A = (aij )mxn verilen bir matris ise, k ile A n›n kA ile gösterilen say›
ile çarp›m› kA = (kaij )mxn olarak tan›mlanan matristir.
k = 5 ve A =
4
-2
3
0
1
5
ÖRNEK 6
için kA matrisini bulunuz.
260
ÇÖZÜM
Matris ‹ﬂlemleri
ÖRNEK 7
kA = 5
4
-2
3
0
1
5
=
5.4
5. - 2
5.3
5.0
5.1
5.5
=
20
- 10
15
0
5
25
1 Ocak 1999 tarihinde peynir, et, ﬂeker fiyatlar› milyon TL/kg olarak F
matrisiyle veriliyor.
F=
1,5
Peynir
2,5
Et
0,4
ﬁeker
ÇÖZÜM
Enflasyonun her y›l %30 oran›nda artaca¤›n› varsayarak, 3 y›l
sonra 1 Ocak 2002 tarihindeki peynir, et, ﬂeker fiyatlar›n› temsil eden
sütun matrisi bulunuz.
1. y›l sonunda F1 = F + 0,30 F = 1,30 F
2. y›l sonunda F2 = F1 + 0,30 F1 = 1,30 F1 = 1,30 (1,30 F) = (1,30)2 F
3. y›l sonunda F3 = F2 + 0,30 F2 = 1,30 F2 = 1,30 (1,30)2 F = (1,30)3 F
olur. Böylece aran›lan matris, yani 3 y›l sonraki fiyat matrisi
1,5
3
F 3 = 1,30 F = 2,197
2,197.1,5
=
2,5
2,197.2,5
0,4
3,2955
=
2,197.0,4
5,4925
0,8788
olarak bulunur.
Bir A matrisi için (- 1) A = - A olarak gösterilir. Sözgeliﬂi, 6. Örnekteki A
matrisi için
-A=
-4
2
-3
0
-1
-5
dir.
ÖRNEK 8
2
5
1
7
-1
A + kB matrisini bulunuz.
3
ÇÖZÜM
A=
3
- 4
, B=
A + kB = A + - 1 B =
=
3
-4
1
7
+
3
-4
1
7
-2
-5
1
-3
matrisleri ve k = -1 say›s› veriliyor.
+ -1
=
olur. O halde, A + (- 1) B = A - B dir.
2
5
-1
3
3-2
-4-5
1+1
7-3
=A-B
261
Matris ‹ﬂlemleri
Tüm elemanlar› s›f›r olan bir matrise s›f›r matris denir. Her mertebeden s›f›r
matris vard›r ve genel olarak s›f›r matris O simgesiyle gösterilir. Aç›kt›r ki, her A
matrisi için A - A = O d›r.
ÖRNEK 9
Bir A matrisi için A = - A ise, A n›n s›f›r matris oldu¤unu gösteriniz.
ÇÖZÜM
A herhangi bir matris olsun. A = - A ise, bu eﬂitli¤in her iki yan›n› A matrisi ile
toplarsak
A + A = A + (- A)
2A = A - A = O
2A = O
A=O
olur. O halde, A s›f›r matristir. (Burada O, A ile ayn› mertebeden olan s›f›r matrisi göstermektedir).
‹ki Vektörün ‹ç Çarp›m›
A bir sat›r vektör, B de bir sütun vektör olsun. E¤er A ile B nin elemanlar› say›s› eﬂit ise, A n›n her bir eleman›n›n B nin karﬂ›l›k gelen eleman› ile çarp›l›p toplanmas›yla elde edilen say›ya A sat›r vektörüyle B sütun vektörünün iç çarp›m› denir ve bu say› A . B ile gösterilir. K›saca
b 11
A = a 11 a 12 . . . a 1n ve B =
b 21
b n1
ise,
A . B = a11 b11 + a12 b21 + ... + a1n bn1
olur.
ÖRNEK 10
-1
A= 2
3
-4
ve
B=
7
5
vektörleri için A . B iç çarp›m›n› hesaplay›n›z.
A. B =
2
3
-4
7
=2. -1 +3.7+ -4 .5
5
= - 2 + 21 - 20 = - 1
bulunur.
Matris Çarp›m›
ﬁimdi iki matrisin çarp›m›n› tan›mlamak istiyoruz. ‹ki matrisin toplam›n›n veya fark›n›n tan›mlanabilmesi için bunlar›n boyutlar›n›n eﬂit olmas› gerekti¤ini biliyoruz.
‹ki matrisin çarp›m›n›n tan›mlanabilmesi için de bunlar›n boyutlar› aras›nda bir
iliﬂki olmas› gerekmektedir. Bu iliﬂki ﬂudur: Matrislerin birincisinin sütun say›s›
ÇÖZÜM
-1
262
Matris ‹ﬂlemleri
ikincisinin sat›r say›s›na eﬂit olmal›d›r. Bu koﬂul alt›nda iki matrisin çarp›m›n› aﬂa¤›daki ﬂekilde tan›mlayabiliriz:
A = (aij )mxn matrisi ile B = (bij )nxr matrisinin AB ile gösterilen çarp›m› öyle
bir C = (cij ) matrisidir ki, C nin boyutu mxr dir ve cij eleman› A n›n i- yinci sat›r
vektörü ile B nin j- yinci sütun vektörünün iç çarp›m›d›r; yani her i = 1, 2, ... , m
ve j = 1, 2, ... r için
b 1j
c ij =
a i2
a i1
b 2j
a in
= a i1 b 1j + a i2 b 2j +
+ a in b nj
bnj
veya k›saca
n
c ij =
∑
a ik b kj
k=1
dir.
AB = C çarp›m›n›n daha iyi anlaﬂ›lmas› için tan›m› biraz görselleﬂtirelim:
A
B
C
b 1j
i - yinci sat›r
vektörü
ai 1 ai 2
b 2j
.
ai n
=
bnj
mxn
nxr
2
A=
4
-1
7
5
,B=
9
2x3
sat›r
mxr
≠
j - yinci sütun
vektörü
ÖRNEK 11
¨ i - yinci
ci j
j - yinci sütun
1
0
-2
8
3
-1
6
4
2
,C=
3
2
0
5
2x2
3x3
ÇÖZÜM
matrisleri için tan›ml› olan çarp›mlar› belirleyiniz ve çarp›m matrisleri
bulunuz.
Sadece AB ve CA çarp›mlar› tan›ml›d›r. (Nedenini siz aç›klay›n›z)
AB =
=
2
4
7
-1
5
9
.
2x3
2.1 + 4.8 + 7.6
- 1.1 + 5.8 + 9.6
=
76
40
6
93
51
15
2x3
1
0
-2
8
3
-1
6
4
2
3x3
2.0 + 4.3 + 7.4
2. - 2 + 4 . - 1 + 7.2
- 1.0 + 5.3 + 9.4
- 1 - 2 + 5 - 1 + 9.2
263
Matris ‹ﬂlemleri
CA =
3 2
0 5
=
2
4
7
-1
5
9
.
2x2
2x3
3.2 + 2. - 1
3.4 + 2.5
3.7 + 2.9
0.2 + 5. - 1
0.4 + 5.5
0.7 + 5.9
4
22
39
-5
25
45
=
2x3
ÖRNEK 12
Bir konfeksiyon atölyesinde sat›ﬂa haz›rlanan dört parti giyim eﬂyas›n›n
miktarlar› E matrisi, bu eﬂyan›n birim fiyatlar› da milyon TL olarak F
matrisi ile veriliyor. Her bir parti mal›n de¤erini gösteren sütun matris D
yi bulunuz.
Ceket Pantolon Gömlek Kravat
100
150
250
200
1. parti
75
100
175
175
2. parti
125
125
100
100
3. parti
140
160
300
250
4. parti
E=
F=
80
Ceket
20
Pantolon
15
Gömlek
10
Kravat
D = EF =
100 150 250 200
80
75 100 175 175
20
125 125 100 100
15
140 160 300 250
10
8000 + 3000 + 3750 + 2000
=
6000 + 2000 + 2625 + 1750
10000 + 2500 + 1500 + 1000
11200 + 3200 + 4500 + 2500
=
16750
1. parti mal›n de¤eri
12375
2. parti
"
"
15000
3. parti
"
"
21400
4. parti
"
"
ÇÖZÜM
Her bir parti mal›n de¤erini gösteren matris D = EF dir. O halde,
264
Matris ‹ﬂlemleri
ÖRNEK 13
Alt› ö¤rencinin devam etti¤i bir dersin iki ara s›nav ve bir genel s›nav notlar›n›n dökümü S matrisi ile veriliyor. Ara s›navlar %20 ve genel s›nav
%60 a¤›rl›kl› oldu¤una göre, dönem sonunda bu ö¤rencilerin baﬂar› notlar› listesini (matrisini) bulunuz.
ÇÖZÜM
S=
1.ara
s›nav
2. ara
s›nav
Genel
s›nav
42
65
70
1. ö¤renci
55
40
65
2. ö¤renci
30
50
60
3. ö¤renci
76
82
85
4. ö¤renci
30
40
43
5. ö¤renci
70
83
92
6. ö¤renci
Ara s›navlar›n ve genel s›nav›n a¤›rl›klar› matrisini A ile gösterecek olursak, A
matrisini
0,20
A=
0,20
0,60
sütun matrisi olarak alabiliriz. (A y› neden sat›r matris de¤ilde sütun matris olarak
ald›¤›m›z› siz düﬂününüz). O zaman, ö¤rencilerin baﬂar› notlar› matrisine B diyecek olursak, B = SA olur. Böylece
B = SA =
42
65
70
8,4 + 13 + 42
55
40
65
30
50
60
76
82
85
15,2 + 16,4 + 51
82,6
30
40
43
6 + 8 + 25,8
39,8
70
83
92
14 + 16,6 + 55,2
85,8
0,20
63,4
11 + 8 + 39
=
0,20
0,60
6 + 10 + 36
58
=
52
elde edilir.
SIRA S‹ZDE 2
1. A =
-2 3
0 5
, B=
1 -3
matrisleri için A - 2B + AB matrisini bulunuz.
2 4
9
2. A = (2 3 7) sat›r vektörü ile B = 2
bulunuz.
-1
sütun vektörünün iç çarp›m› olan say›y›
Matris ‹ﬂlemlerinin Özellikleri
3. A =
2 0
, B=
1 -2
a) AB
d) A2
1 1
, C=
2 1
b) BA
e) A (B+C )
-1 2
matrisleri veriliyor.
0 2
c) (AB) C
matrislerini bulunuz.
MATR‹S ‹ﬁLEMLER‹N‹N ÖZELL‹KLER‹
AMAÇ
Matris iﬂlemlerinin sa¤lad›¤› kimi özelliklerin tan›t›lmas›.
2
Matris toplamas›, ç›karmas›, say› ile çarp›m› ve matris çarp›m›na iliﬂkin kimi özellikler aﬂa¤›da dört grup olarak s›ralanm›ﬂt›r. Bu gruplarda geçen iﬂlemler için verilen matrislerin uyumlu olduklar›, yani iki matrisin toplam› söz konusu ise bu
matrislerin toplanabilir olduklar›, çarp›mlar› söz konusu ise çarp›labilir olduklar›
kabul edilmiﬂtir. Özelliklerin kan›tlar›na girilmeyecek, baz›lar›n›n örneklerle do¤rulanmas›yla yetinilecektir.
I. i) A + B = B + A
Matris toplamas›n›n de¤iﬂme özelli¤i vard›r.
ii) (A + B) + C = A + (B + C )
Matris toplamas›n›n birleﬂme veya parantez kayd›rma özelli¤i vard›r.
iii) A + O = O + A = A
S›f›r matris, matris toplamas›n›n etkisiz eleman›d›r.
iv) A + (- A) = O
II. k, k1 , k2 say›lar
i) kA = Ak
ii) (k1 + k2) A = k1 A + k2 A
ii) k (A + B) = kA + kB
iii) k1 (k2 A) = (k1 k2) A
iv) k (AB) = (kA) B = A (kB)
- A , A matrisinin toplamsal tersidir.
III. i)
A (BC ) = (AB) C
Matris çarp›m›n›n birleﬂme veya parantez
kayd›rma özelli¤i vard›r.
ii) A (B + C ) = AB + AC
Matris çarp›m›n›n toplama üzerine da¤›lma
özelli¤i vard›r.
iii) IA = AI = A
(Burada A kare matris de¤ilse, soldaki
birim matris ile sa¤daki birim matrisin mertebeleri farkl›d›r.)
IV. i)
ii)
iii)
iv)
(A + B)T = AT + BT
(AT )T = A
(kA)T = kAT
(AB)T = BT AT
ﬁimdi yukar›daki kimi özellikleri örneklerle do¤rulayal›m ve önemlerine
de¤inelim.
265
266
Matris ‹ﬂlemlerinin Özellikleri
ÖRNEK 14
A=
2
3x
5
-4
, B=
y
-x
3
7
, C=
2y
- 4x
1
0
ÇÖZÜM
matrisleri veriliyor. Bu matrisler için matris toplam›n›n birleﬂme özelli¤i I (ii) yi do¤rulay›n›z.
A+B =
2
3x
5
-4
2 + y 2x
A+B +C=
8
B+C =
+
-x
3
7
+
3
y
-x
3
7
A+ B+C =
y
+
2
3x
5
-4
- 4x
1
0
- 4x
1
0
2 + y 2x
8
2y
2y
+
=
=
3y
- 5x
4
7
3
2+3y - 2x
=
9
3
3y
- 5x
4
7
=
2 + 3y
- 2x
9
3
O halde, (A + B) + C = A + (B + C) dir.
Matris toplamas›n›n birleﬂme özelli¤inin önemi ﬂudur: Sonlu say›da toplanabilir
matris için parantez kullanmadan bunlar aras›na + iﬂareti konularak toplamlar› yaz›labilir. Örne¤in, A + B + C, A + B + C + D yaz›l›ﬂlar› anlaml›d›r. Çünkü bu toplamlar ikili nas›l gruplan›rsa gruplans›n sonuç de¤iﬂmeyecektir.
Genel olarak, matris çarp›m›n›n de¤iﬂme özelli¤i yoktur; yani
AB ≠ BA
d›r. Çünkü AB çarp›m› tan›ml› iken BA tan›ml› olmayabilir veya tersi (sözgeliﬂi, A n›n boyutu 2x3 ve B nin boyutu 3x4 ise AB çarp›m› tan›ml› BA çarp›m›
tan›ml› de¤ildir). Asl›nda AB ve BA çarp›mlar›n›n her ikisi de tan›ml› olsa bile,
genelde eﬂitlik yoktur. Aﬂa¤›daki örnek bu durumu aç›klamaktad›r.
ÖRNEK 15
A=
1
2
, B=
-1
5
ÇÖZÜM
3
4
2
7
matrisler için AB ≠ BA oldu¤unu görünüz.
AB =
BA =
1
2
-1
5
3
4
2
7
-1
5
1
2
2
7
3
4
oldu¤undan AB ≠ BA d›r.
=
-1+4
5 + 14
=
- 3 + 8 15 + 28
=
- 1 + 15 - 2 + 20
2 + 21 4 + 28
=
3
19
5
43
14
18
23
32
267
Matris ‹ﬂlemlerinin Özellikleri
A ve B çarp›labilir matrisler ve bu matrislerden biri s›f›r matris ise AB çarp›m›n›n s›f›r matris olaca¤› aç›kt›r. Fakat bunun tersi do¤ru de¤ildir; yani A ≠ O ve
B ≠ O oldu¤u halde AB = O olabilir. Aﬂa¤›daki örne¤i inceleyiniz.
A=
3
9
1
3
, B=
-3
9
1
-3
ÖRNEK 16
matrisleri veriliyor. AB çarp›m›n›n s›f›r matris oldu¤unu gösteriniz.
3
9
-3
9
1
3
1
-3
=
-9+9
27 - 27
-3+3
=
9-9
0
0
0
0
ÇÖZÜM
AB =
Bu örnek ﬂunu göstermektedir: A ve B gibi iki matris için AB = O ise A = O
veya B = O olmak zorunda de¤ildir. Oysa a, b gerçel say›lar› için ab = 0 ise
a = 0 veya b = 0 olmak zorunda oldu¤unu an›msay›n›z. Yine a, b, c say›lar› için
ab = ac (a ≠ 0) ise, b = c dir. Gerçel say›lar için çarpman›n k›saltma özelli¤i olarak bilinen bu özellik de matris çarp›m› için genel olarak geçerli de¤ildir. Aﬂa¤›daki
örne¤i inceleyiniz.
A=
2
3
6
9
, B=
-2
1
3
2
, C=
1
1
1
2
ÖRNEK 17
matrisleri veriliyor. Bu matrisler için k›saltma kural›n›n geçerli olmad›¤›n›
gösteriniz.
AC =
2
3
-2
1
6
9
3
2
2
3
1
1
6
9
1
2
=
=
-4+9
2+6
- 12 + 27
6 + 18
2+3
2+6
6+9
6 + 18
=
=
5
8
15
24
5
8
15
24
ÇÖZÜM
AB =
O halde, AB = AC dir; fakat k›saltma kural› geçerli de¤ildir. Çünkü B ≠ C dir.
Matris çarp›m›n›n birleﬂme özelli¤i III(i) nedeniyle çarp›labilir matrisler için
ABC, ABCD gibi yaz›l›ﬂlar› anlaml› olur. Aﬂa¤›daki örnek, matris çarp›m›n›n birleﬂme özelli¤ini do¤rulayan bir örnektir.
A=
1
0
2
-3
, B=
4 1 0
0 1 2
1
, C=
0
5
matrisleri için (AB) C = A (BC) = ABC eﬂitli¤ini do¤rulay›n›z.
ÖRNEK 18
268
ÇÖZÜM
Matris ‹ﬂlemlerinin Özellikleri
AB =
1
0
4
1
0
2
-3
0
1
2
AB
AB C =
BC =
C
4
1
0
8
-1
-6
0
0 1 2
A BC =
=
0
1
0
8
-1
-6
4
- 22
5
4
=
10
5
A
4
ABC
1
1
4 1 0
=
BC
ABC
1
0
4
2
-3
10
=
4
- 22
Böylece çarp›labilir A, B ve C matrisleri için (AB) C = A (BC ) = ABC eﬂitli¤i do¤rulanm›ﬂ olur.
Matris çarp›m›n birleﬂme özelli¤i, kare bir matrisin pozitif bir kuvvetinin
tan›mlanmas›n› da sa¤lar. A bir kare matris ve n de pozitif bir tam say› ise, A n›n
n- yinci kuvveti
A = A . A . A .... A
n tane
olarak tan›mlan›r. Özel olarak, A bir köﬂegen matris
A =
a 11
0
0
0
a 22
0
0
0
a mm
ise,
An =
olur.
n
a 11
0
0
0
n
a 22
0
0
0
a nmm
269
Matris ‹ﬂlemlerinin Özellikleri
A=
0
0
0
-1
0
0
0
3
25
0
-1
0
0
A=
1
5
2
köﬂegen matrisinin beﬂinci kuvvetini bulunuz.
0
5
32
0
0
0
-1
0
0
0
243
=
0
5
0
3
ÖRNEK 19
3
, B=
-2
0
1
2
ÇÖZÜM
A5 =
2
ÖRNEK 20
matrisleri için (A + B)T = AT + BT ve (AB)T = BT AT eﬂitliklerini do¤rulay›n›z.
A+B
AB
T
3
5
1
2
T
=
=
1
1
6
4
-5
2
-8
4
T
T
A +B =
T T
B A =
, BT =
1
4
-5
-8
2
4
0
2
=
=
6
1
T
T
1
-2
1
6
1
4
-5
-8
2
4
ÇÖZÜM
AT =
oldu¤undan (A + B)T = AT + BT ve (AB)T = BT AT eﬂitlikleri sa¤lanm›ﬂ olur.
1. A =
2
-1
0
3
4
5
, B=
1
0
0
0
-3
2
, C=
0
3
1
5
4
-2
matrisleri veriliyor. Aﬂa¤›daki matrisleri hesaplay›n›z. E¤er matris iﬂlemi tan›ml›
de¤ilse, neden tan›ml› olmad›¤›n› aç›klay›n›z.
a) A + B,
b) A - B,
c) B + C,
d) 3A,
e) B + CT,
f) 4A - 2B + 3CT,
g) AB,
h) AC,
i) (A + B) C,
m) A + X = B olacak ﬂekildeki X matrisini bulunuz.
n) A + Y = O olacak ﬂekildeki Y matrisini bulunuz.
j) AT CT,
SIRA S‹ZDE 3
270
Matris ‹ﬂlemlerinin Özellikleri
5
2. A =
2
3
4
, B=
matrisleri veriliyor.
6
7
a) AB matrisini bulunuz.
b) Bu vektörlerin iç çarp›m› olan A . B say›s›n› hesaplay›n›z.
3. A =
3
1
0
2
, B=
1/3
- 1/6
0
1/2
matrisleri veriliyor.
AB = BA = I eﬂitli¤ini do¤rulay›n›z.
4. A =
1 12
, I=
0 3
1
0
0
1
matrisleri veriliyor.
AX = XA = I eﬂitli¤ini sa¤layacak ﬂekilde bir X matrisi bulunuz.
5. Bir giyim ma¤azas›n›n üç ambar›nda bulunan dört kalem mallar›n›n de¤erleri,
milyon TL olarak, aﬂa¤›daki D matrisi ile veriliyor. E¤er bu ma¤aza, mallar›na
%20 zam yaparsa ambarlar›ndaki mallar›n de¤erlerini temsil eden matris ne olur?
500 750 900
D=
650 525 830
420 640 835
340 590 610
6. A ve B boyutlar› ayn› olan kare matrisler ise,
(A + B)2 = A2 + AB + BA + B2
eﬂitli¤ini gösteriniz.
7. A =
1
0
0
0
2
0
0
0
-5
matrisi veriliyor.
a) A4 matrisini bulunuz.
b) AB = BA = I olacak ﬂekildeki B matrisinin
B=
1
0
0
0
1/ 2
0
0
0
- 1/5
oldu¤unu gösteriniz.
271
Ters Matris
8. Bir ﬂirket sat›n almak iste¤i 90 adet televizyon, 110 adet buzdolab›, 70 adet çamaﬂ›r makinas› için dört ayr› firmadan fiyat teklifleri al›yor. Firmalar›n bu mallar
için verdikleri birim fiyatlar, milyon TL olarak, A matrisi ile temsil edilmektedir.
Tv
A=
Bd
Çm
130 180 170
1. firma
150 175 165
2. firma
120 190 150
3. firma
140 200 160
4. firma
E¤er ﬂirket bu mallar›n hepsini ayn› firmadan almak isterse, minimum toplam
fiyat› hangi firma vermiﬂtir?
AMAÇ
3
TERS MATR‹S
Tersi olan kare matrislerin terslerinin bulunmas›.
A bir kare matris olsun. A ile sa¤dan ve soldan çarp›ld›¤›nda ayn› birim matrisi
veren bir matris varsa, bu matrise A n›n tersi denir ve bu matris A-1 ile gösterilir. O halde, A n›n tersi A-1 varsa,
AA-1 = A-1 A = I
d›r.
ﬁimdi ters matrise iliﬂkin do¤rudan tan›mdan elde edilebilecek baz› uyar›lar ve
sonuçlar s›ralayal›m:
i) Ancak kare matrislerin tersleri olabilir. Her kare matrisin de tersi yoktur.
ii) A matrisinin tersi varsa, bu ters matris de kare matristir ve boyutu A n›n boyutu ile ayn›d›r.
iii) A n›n tersi varsa bu ters matris tektir.
iv) A n›n tersi A-1 varsa, A da A-1 ›n tersidir; yani (A-1)-1 = A d›r.
A=
3
11
, B=
1
4
gösteriniz.
BA =
- 11
-1
3
11
4
- 11
1
4
-1
3
4
- 11
3
11
-1
3
1
4
oldu¤undan A-1 = B dir.
ÖRNEK 21
matrisleri veriliyor. A-1 = B oldu¤unu
3
=
=
1
0
0
1
1
0
0
1
= I
=I
ÇÖZÜM
AB =
4
272
Ters Matris
ÖRNEK 22
ÇÖZÜM
A=
2
0
5
0
matrisinin tersinin olmad›¤›n› gösteriniz.
A matrisinin tersinin varl›¤›n› kabul edelim. Bu matris A ile ayn› boyutta bir matris olacakt›r; diyelim ki
B=
b 11
b 12
b 21
b 22
olsun ve AB = BA = I eﬂitliklerini sa¤las›n.
AB =
2
0
b 11
b 12
5
0
b 21
b 22
=
2b 11 2b 12
=
5b 11 5b 12
1
0
0
1
Sa¤ yandaki son iki matrisin eﬂitli¤inden
2b11 = 1
5b11 = 0
2b12 = 0
5b12 = 1
denklemleri elde edilir. Ayn› zamanda b11 = 1/2 ve b11 = 0 (benzer olarak
b12 = 0 ve b12 = 1/5) olamayaca¤›ndan, AB = I eﬂitli¤ini sa¤layan bir B matrisi bulunamaz. Öyleyse A matrisinin ters matrisi yoktur.
ÖRNEK 23
ÇÖZÜM
A matrisinin tersi varsa, tek oldu¤unu gösteriniz.
A matrisinin iki tane tersinin varl›¤›n› kabul edelim. Bunlar B ve C olsunlar.
O zaman
AB = BA = I
AC = CA = I
eﬂitlikleri vard›r. ﬁimdi bu eﬂitlikleri ve çarp›m›n birleﬂme özelli¤ini kullan›rsak
B = BI = B (AC ) = (BA) C = IC = C
olur.
ÖRNEK 24
ÇÖZÜM
A ve B ayn› boyutlu tersleri olan matrisler ise, AB çarp›m matrisinin de
tersinin var oldu¤unu ve (AB)-1 = B -1 A-1 oldu¤unu gösteriniz.
A ve B ayn› boyutlu tersleri olan matrisler ise, AB ve B -1 A-1 çarp›mlar› da
tan›ml›d›r. AB = C diyelim. CD = DC = I olacak ﬂekilde bir D matrisi var m›?
E¤er D = B -1 A-1 al›rsak aran›lan koﬂullar sa¤lan›r. Gerçekten,
CD = (AB) (B -1A-1) = A (BB -1) A-1 = A (I ) A-1 = (A I ) A-1 = AA-1 = I
DC = (B -1 A-1) (AB) = B -1 (A-1 A) B = B -1 (I ) B = B -1 (IB) = B -1 B = I
oldu¤undan C -1 = D; yani (AB)-1 = B -1 A-1 dir.
273
Ters Matris
A=
1
3
2
0
ÖRNEK 25
matrisinin tersini bulunuz.
y
z
t
biçiminde bir matris olacakt›r ve
AB = BA = I koﬂulunu sa¤layacakt›r. Buna göre,
AB =
1
3
x
y
2
0
z
t
=
x + 3z y + 3t
2x
2y
=
1
0
0
1
matris eﬂitli¤inden
x
2x
+ 3z
=
=
+ 3t =
=
y
2y
1
0
0
1
do¤rusal denklem sistemi elde edilir. Sistem yeterince basit oldu¤undan çözümünü hemen yazabiliriz: x = 0, y = 1/2, z = 1/3, t = - 1/6 bulunur. ﬁimdi
0
1/2
1/3
- 1/6
B=
matrisinin A n›n tersi, yani B = A-1 oldu¤unu kolayca do¤rulayabiliriz:
AB =
BA =
1
3
0
1/2
2
0
1/3
- 1/6
0
1/2
1
3
1/3
- 1/6
2
0
=
=
1
0
0
1
1
0
0
1
oldu¤undan
A-1 =
0
1/2
1/3
- 1/6
bulunur.
‹lkel Sat›r ‹ﬂlemleri ve Ters Matrisin Hesaplanmas›
Bir kare matrisin tersini hesaplaman›n birçok yöntemi vard›r. 25. Örnekte 2 nci
mertebeden bir kare matrisin tersinin nas›l bulunabilece¤ini gördük. Ancak, bu
yol üç ve daha yukar› mertebeden matrislerin terslerinin bulunmas›nda uygun bir
yol de¤ildir. Örne¤in, üçüncü mertebeden bir matrisin tersini bulmak için dokuz
bilinmeyenli dokuz denklemden oluﬂan bir do¤rusal denklem sistemini çözmek
durumunda kal›r›z. Bu nedenle, ters matrisi hesaplaman›n daha uygun yöntemlerini ö¤renmeliyiz. Bu yöntemlerden biri de Gauss Yöntemidir. Gauss Yönteminin
ÇÖZÜM
x
A matrisinin tersi varsa, B =
274
Ters Matris
ne oldu¤una girmeden önce bir matrisin sat›rlar› aras›nda tan›mlanan ilkel sat›r iﬂlemlerinden söz edelim:
Do¤rusal denklem sistemlerinin çözümlerini araﬂt›r›rken (11. Ünite) üç tür temel sat›r iﬂleminden söz etmiﬂtik. Ayn› tür iﬂlemler bir matrisin sat›rlar›na uyguland›¤›nda bu iﬂlemlere ilkel sat›r iﬂlemleri, elde edilen matrise de verilen matrise sat›r eﬂde¤er matris denir. ﬁimdi ilkel sat›r iﬂlemlerini görelim:
Üç tip ilkel sat›r iﬂlemi vard›r:
I. Matrisin iki sat›r›n›n yerlerinin de¤iﬂtirilmesi
II. Bir sat›r›n s›f›r olmayan bir say› ile çarp›lmas›
III. Bir sat›r›n bir say› ile çarp›l›p baﬂka bir sat›r üzerinde toplanmas›
Sat›r iﬂlemleri do¤rusal cebirin en önemli araçlar›ndan birisidir. Do¤rusal denklem sistemlerinin çözümlerinin belirlenmesinde ve daha kimi konularda hem kuramsal hem de uygulama aç›s›ndan neredeyse kaç›n›lmazd›r. Bu nedenlerden dolay› sat›r iﬂlemlerinin mekanik bir biçime getirilmesi oldukça yararl›d›r. Öncelikle
bir matrise sat›r iﬂlemleri uygulamaktan beklentimizin ne oldu¤una aç›kl›k getirelim. Amaç yap›lan iﬂlere göre de¤iﬂmekle birlikte genelde verilen matrisi basamak biçimine getirmek ço¤u problem için yeterlidir. ﬁimdi basamak matrisin ne
oldu¤unu tan›mlayal›m. E¤er verilen bir matriste her sat›r›n s›f›rdan farkl› ilk ö¤esi bir ve bu birin oldu¤u sütunda birden sonra gelen ö¤eler s›f›r ise böyle bir matrise basamak biçiminde (ya da eﬂolon biçimde) bir matris denir. Aﬂa¤›da örnek olarak gösterilen matrisler basamak biçimdedir.
1 -2 3 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0 1
1 0 1
0 0 1 -1
,
0 0 1
0 0 0
,
1 -3 4
0 0 1
,
0 0 1 1 0
0 0 0 1 -1
0 0 0 0 1
Yukar›daki örneklerden kolayca anlaﬂ›laca¤› gibi öncelikle her sat›r›n ilk ö¤esine bak›yoruz, e¤er bu ö¤e bir ise birin alt›ndaki ö¤enin s›f›r olup olmad›¤›n› denetliyoruz. ﬁimdi verilen bir matrisin sistematik bir ﬂekilde bu biçime nas›l getirilece¤ini görelim. Basamak biçimin tan›m›ndan da anlaﬂ›laca¤› gibi öncelikle, e¤er
birinci sat›r›n birinci ö¤esi s›f›rdan farkl› ise bu ö¤eyle birinci sat›r bölünür. E¤er
birinci sat›r›n birinci ö¤esi s›f›r ise, birinci sat›r, birinci ö¤esi s›f›rdan farkl› olan
herhangi bir sat›r ile de¤iﬂtirilip yukar›daki iﬂlem uygulan›r. Daha sonra birinci sat›r i ≥ 2 için i- yinci sat›r›n ilk ö¤esi a n›n toplamsal tersi - a ile çarp›l›p i- yinci
sat›r üzerine toplan›p, birin alt›nda kalan ö¤eler s›f›r yap›l›r. Bu sayede basamak
biçim için birinci sat›r›n gerçekleﬂmesi gereken koﬂul sa¤lanm›ﬂ olur. Daha sonra
ayn› iﬂlem ikinci ve daha sonraki sat›rlara uygulan›r. Böylece verilen matrisin basamak biçimine getirmiﬂ oluruz. ﬁimdi bir örnekle uygulamay› görelim:
ÖRNEK 26
1 3 -1
A=
0 1 4
-2 1 1
matrisini basamak biçimine getiriniz.
275
Ters Matris
a11 = 1 oldu¤undan ikinci ve üçüncü sat›r›n birinci ö¤elerini s›f›r
yapmal›y›z. ‹kinci sat›r›n ilk ö¤esi s›f›rd›r. Üçüncü sat›r›n ilk ö¤esini
s›f›r yapmak için birinci sat›r 2 ile çarp›l›p üçüncü sat›ra eklenir.
0 1 4
-2 1 1
1
3
-1
0
1
4
-2 + 1.2
1 + 3.2
1 + (-1).2
~
1 3 -1
0 7 -1
1
3
-1
0
1
4
0
7 +1. (-7)
-1 + 4.(-7)
1 3 -1
~
3
-1
0
1
4
0
7
-1
‹kinci sat›r›n ikinci ö¤esi 1 oldu¤undan, üçüncü sat›r›n ikinci ö¤esi
s›f›r yap›lmal›d›r. Bunun için ikinci sat›r -7 ile çarp›l›p üçüncü
sat›ra eklenir.
0 1 4
~
=
1
ÇÖZÜM
1 3 -1
0 1 4
=
1
3
-1
0
1
4
0
0
-29
Üçüncü sat›r›n üçüncü ö¤esini bir yapmak için üçüncü sat›r›n her
ö¤esini üçüncü sat›r›n üçüncü ö¤esi olan -29 say›s›na böldük.
0 0 1
Apaç›k olarak bu son elde etti¤imiz matris basamak biçimindedir.
ÖRNEK 27
4 1 -2
A=
matrisini basamak biçimine getirelim.
3 -1 0
3 -1 0
~
1
1/4 -2/4
3
-1
0
1
~
0
1
1/4 -1/2
0
-7/4 3/2
‹kinci sat›r›n birinci ö¤esini s›f›r yapmak için birinci sat›r›n
- 3 kat›n› ikinci sat›ra ekleyelim.
1/4
-1/2
-1 + 1 .(-3) 0 + - 1 .(-3)
2
4
=
1
1/4 -1/2
0
-7/4 3/2
‹kinci sat›r›n ikinci ö¤esini 1 yapmak için ikinci sat›r›n her
ö¤esini - 4/7 ile çarpal›m.
ÇÖZÜM
‹lk sat›r›n ilk eleman› 1 olmad›¤› için bu sat›r›n her eleman›n› 4 e
bölelim.
4 1 -2
276
Ters Matris
~
ÖRNEK 28
0
1/4
-1/2
0
1
3. -4
7
2
Son bir örnek daha A =
=
0
0
0 1
1/4 -1/2
1
-6
7
matrisini basamak biçimine getirelim.
ÇÖZÜM
-2 1
Birinci sat›r›n birinci ö¤esi s›f›r oldu¤u için bu sat›r›n ilk ö¤esini
s›f›rdan farkl› olan ikinci sat›r ile yer de¤iﬂtirelim.
0 1
-2 1
~
-2 1
‹lk sat›r›n ilk ö¤esini 1 yapmak için birinci sat›r› -2 ye bölelim.
0 1
~
1
-1/2
0
1
elde edilir.
E¤er bir A kare matrisi A n›n sat›rlar›na uygulanan ilkel sat›r iﬂlemleri sonucunda birim matrise dönüﬂtürülebiliyorsa, bir baﬂka ifadeyle A matrisi birim matris I
ya sat›r eﬂde¤er ise, A matrisinin tersi vard›r. Bunun için, A ile I aﬂa¤›da oldu¤u
gibi yan yana yaz›l›r ve elde edilen
(A : I )
blok matrisine ilkel sat›r iﬂlemleri uygulan›rsa, A n›n yerinde birim matris oluﬂturuldu¤unda, I n›n yerinde oluﬂan matris A-1 olur. K›saca (A:I ) blok matrisi bir (I:B)
matrisine dönüﬂtürülebildi¤inde B = A-1 dir. Bu yolla A-1 matrisinin bulunmas›na
Gauss Yöntemi denir.
ÖRNEK 29
ÇÖZÜM
A=
1
3
2
-4
matrisinin varsa, tersini bulunuz.
Gauss Yöntemini uygulayal›m:
A: I =
~
1
3
1
0
2
-4
0
1
1
3
1
0
0
- 10
-2
1
Birinci sat›r› - 2 ile çarp›p ikinci sat›r
üzerinde toplayal›m.
‹kinci sat›r› - 1 ile çarpal›m.
10
277
Ters Matris
~
~
1
3
1
0
0
1
1/5
- 1/10
1
0
2/5
3/10
0
1
1/5
- 1/10
‹kinci sat›r› - 3 ile çarp›p
birinci sat›r üzerinde
toplayal›m.
olur. A n›n yerinde birim matris oluﬂtu¤u için A-1 vard›r ve
A
-1
=B=
2/5
3/10
1/5
- 1/10
= 1
10
4
3
2
-1
dir.
-3
0
1
1
2
3
0
0
5
A=
ÖRNEK 30
matrisinin varsa, tersini bulunuz.
-3
0
1
1
0
0
1
2
3
0
1
0
0
0
5
0
0
1
1
2
3
0
1
0
-3
0
1
1
0
0
0
0
5
0
0
1
A: I =
~
~
~
~
~
1
2
3
0
1
0
0
6
10
1
3
0
0
0
1
0
0
1/5
1
2
3
0
1
0
0
1
5/3
1/6
1/2
0
0
0
1
0
0
1/5
1
0
- 1/3
- 1/3
0
0
0
1
5/3
1/6
1/2
0
0
0
1
0
0
1/5
1
0
0
- 1/3
0
1/15
0
1
0
1/6
0
0
1
0
1/2 - 1/3
0
1/5
Birinci sat›r ile ikinci sat›r›
yer de¤iﬂtirelim.
Birinci sat›r› 3 ile çarp›p
ikinci sat›r üzerinde
toplayal›m; üçüncü sat›r›
1/5 ile çarpal›m.
‹kinci sat›r›
çarpal›m.
1/6
ile
‹kinci sat›r› - 2 ile çarp›p
birinci sat›r üzerinde
toplayal›m.
Üçüncü sat›r› 1/3 ile
çarp›p
birinci
sat›r
üzerinde; - 5/3 ile çarp›p
ikinci sat›r üzerinde
toplayal›m.
= I: B
ÇÖZÜM
Gauss Yöntemini uygulayal›m:
278
Ters Matris
oldu¤undan, A matrisinin tersi vard›r ve A-1 = B dir; yani
- 1/3
A
-1
0
1/15
1
1/6 1/2 - 1/3 = 30
0
0 1/5
=
- 10
0
2
5
15
- 10
0
0
6
olur.
ÖRNEK 31
1
2
-3
-6
ÇÖZÜM
A=
matrisinin varsa, tersini bulunuz.
Gauss Yöntemini kullanal›m:
1
2
1
0
-3
-6
0
1
A: I =
~
1 2
1 0
0 0
3 1
Birinci sat›r›n 3 kat›n› ikinci sat›ra
ekleyelim.
Birinci blokun ikinci sat›r› bütünüyle s›f›r oldu¤undan art›k burada birim matris
oluﬂturulamaz. O halde, A matrisinin tersi yoktur.
SIRA S‹ZDE 4
1
1. A =
1
-2
, B=
1
, C=
-2
1
matrisleri
3
2
3
1
3 -1
veriliyor. Bu matrislerden hangileri birbirlerinin tersidir?
2
2. A =
0
0
0
3
0
0
0
1/4
matrisi için A -1 =
1/2
0
0
0
1/3
0
0
0
4
oldu¤unu do¤rulay›n›z.
3. A
-1
=
0
1
1
2
ise, A matrisi nedir?
4. Sat›r iﬂlemleri uygulayarak
A=
1
0
0
-3
0
2
1
2
0
matrisini birim matrise dönüﬂtürünüz. A-1 var m›, varsa hangi matris?
Do¤rusal Denklem Sistemlerinin Matrislerle Gösteriliﬂi
5. Aﬂa¤›daki matrislerin terslerini Gauss yöntemiyle bulunuz.
A=
1
2
3
4
, B=
5
-1
10
2
, C=
2
6
10
0
1
-3
0
0
4
DO⁄RUSAL DENKLEM S‹STEMLER‹N‹N
MATR‹SLERLE GÖSTER‹L‹ﬁ‹
AMAÇ
4
Verilen bir do¤rusal denklem sisteminin matris gösterimiyle yaz›l›ﬂ›n› ve çözümünün matris iﬂlemleriyle nas›l yap›labilece¤ini örneklerle görmek.
n bilinmeyen ve m tane denklemden oluﬂan
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm
do¤rusal denklem sistemi
AX = B
biçiminde bir matris eﬂitli¤i ile gösterilebilir. Bu yaz›l›ﬂta
A=
a 11 a 12
a 1n
a 21 a 22
a 2n
am 1 am 2
amn
katsay›lar matrisi,
x1
X=
x2
xn
bilinmeyenler matrisi ve
b1
B=
b2
bm
sabitler matrisi ad›n› al›r. E¤er do¤rusal denklem sistemi homojen sistem ise, yani sabitler matrisi B s›f›r matris ise, verilen do¤rusal denklem sisteminin matris
gösterimi
279
280
Do¤rusal Denklem Sistemlerinin Matrislerle Gösteriliﬂi
AX = O
ﬂeklinde olur. Aﬂa¤›daki örnekleri inceleyiniz.
ÖRNEK 32
+ x4 = 5
x1 – 3x2
– x3 + 3x4 = – 1
2x1
x2 + 4x3 – x4 = 7
ÇÖZÜM
do¤rusal denklem sisteminin matris gösterimini yaz›n›z.
Sistemin katsay›lar matrisi, bilinmeyenler matrisi ve sabitler matrisi, s›ras›yla,
A=
1
-3
0
1
2
0
-1
3
0
1
4
-1
x1
x
,X= 2
x3
x4
5
, B=
-1
7
olmak üzere, verilen sistemin AX = B biçimindeki matris gösterimi
1
-3
0
1
2
0
-1
3
0
1
4
-1
x1
x2 =
x3
x4
5
-1
7
olur.
Do¤rusal Denklem Sistemlerinin Matris Gösterimiyle
Çözümlerinin Aranmas›
Verilen bir do¤rusal denklem sisteminin matris gösterimi sistemin çözümünün
aranmas›nda kolayl›k sa¤lar. ﬁöyle ki; matris gösterimi AX = B olan bir do¤rusal
denklem sistemi için, katsay›lar matrisi A ile sabitler matrisi B yi yan yana yaz›p elde etti¤imiz
(A : B)
blok matrisine verilen sistemin geniﬂletilmiﬂ matrisi denir. Bu geniﬂletilmiﬂ matris üzerine uygulanan her ilkel sat›r iﬂlemiyle elde edilen yeni matris, baﬂlang›çta
verilen do¤rusal denklem sistemine eﬂde¤er bir denklem sisteminin geniﬂletilmiﬂ
matrisdir. Baﬂka bir ifadeyle, (A : B) geniﬂletilmiﬂ matris üzerine uygulanan ilkel
sat›r iﬂlemleri verilen sistemin çözümünü etkilemeyecektir. Çünkü (A : B) üzerindeki ilkel sat›r iﬂlemleri asl›nda verilen do¤rusal denklem sistemi için sat›r iﬂlemleridir. ‹ﬂte bu kural sistemin çözümünün aranmas›nda uygulanan Gauss yok
etme yönteminin geniﬂletilmiﬂ matris üzerinde uygulanabilirli¤ini sa¤lar. Örneklerle görelim:
281
Do¤rusal Denklem Sistemlerinin Matrislerle Gösteriliﬂi
ÖRNEK 33
x1 + 2x2 – x3 = 6
– x1 + x2 + 2x3 = – 1
3x1 – x2 + x3 = 0
do¤rusal denklem sistemini çözünüz.
2
-1
6
-1
1
2
-1
3
-1
1
0
ÇÖZÜM
A: B =
1
Geniﬂletilmiﬂ matrisi, basamak biçiminde bir do¤rusal denklem sisteminin geniﬂletilmiﬂ matrisine dönüﬂtürmek için ilkel sat›r iﬂlemleri uygulayal›m.
A: B =
~
~
~
1
2
-1
6
-1
1
2
-1
3
-1
1
0
1
2
-1
6
0
3
1
5
0
-7
4
- 18
1
2
-1
6
0
3
1
5
0
0
19
3
- 19
3
1
2
-1
6
0
3
1
5
0
0
1
-1
‹lk sat›r› ikinci sat›r üzerinde toplayal›m; ilk sat›r› - 3 ile çarp›p üçüncü sat›r üzerinde toplayal›m.
‹kinci sat›r› 7 ile çarp›p üçüncü
3
sat›r üzerinde toplayal›m.
Üçüncü sat›r› 3 ile çarpal›m.
19
Son yaz›lan blok matris basamak biçimindeki
x1 + 2x2 - x3 = 6
3x2 + x3 = 5
x3 = - 1
do¤rusal denklem sisteminin geniﬂletilmiﬂ matrisidir. Bu sistemin üçüncü denkleminden x3 = - 1, ikinci denkleminden x2 = 2, birinci denkleminden x1 = 1 bulunur.
Bu çözüm ayn› zamanda verilen do¤rusal denklem sisteminin bir çözümüdür.
282
Do¤rusal Denklem Sistemlerinin Matrislerle Gösteriliﬂi
ÖRNEK 34
2x1 – x2 = 1
– 6x1 + 3x2 = 5
ÇÖZÜM
do¤rusal denklem sisteminin çözümünü araﬂt›r›n›z.
Geniﬂletilmiﬂ matrisi yaz›p, sat›r iﬂlemleri uygulayal›m:
A: B =
~
2
- 1
1
-6
3
5
2
- 1
1
0
0
8
‹lk sat›r› 3 ile çarp›p ikinci sat›r üzerinde
toplayal›m.
Bu blok matris hiçbir do¤rusal denklem sisteminin geniﬂletilmiﬂ matrisi olamaz.
(Nedenini siz aç›klay›n›z.) O halde, verilen do¤rusal denklem sisteminin bir çözümü yoktur; bir baﬂka ifade ile sistem tutars›zd›r.
ÖRNEK 35
x1 + 2x3 = – 7
3x1 – x3 = 14
ÇÖZÜM
do¤rusal denklem sistemini çözünüz.
Katsay›lar matrisi
A=
1
2
3
-1
A -1 = 1
7
için
1
2
3
-1
oldu¤undan, sistemin matris gösteriliﬂinden bilinmeyenler matrisi X i çözebiliriz:
AX
A-1 (AX)
IX
X
=
=
=
=
B
A-1B
A-1B
A-1B
Böylece
X=
x1
x2
=1
7
1
2
-7
3
-1
14
= 1
7
- 7 + 28
- 21 - 14
=
3
-5
olur. O halde, sistemin çözümü x1 = 3 ve x2 = - 5 dir.
Bu son örnek bize ﬂunu göstermektedir: n bilinmeyenli n tane denklemden
oluﬂan bir do¤rusal denklem sisteminin katsay›lar matrisi A n›n tersi A-1 varsa,
bilinmeyenler matrisi
X = A-1B
dir.
283
Do¤rusal Denklem Sistemlerinin Matrislerle Gösteriliﬂi
ÖRNEK 36
x1 + 2x2 + 2x3 = 3
= 0
3x1 + x2
= 2
x1 + x2 + x3
do¤rusal denklem sistemini çözünüz.
ÇÖZÜM
Katsay›lar matrisi
A=
1
2
2
3
1
0
1
1
1
n›n tersi A-1 Gauss yöntemiyle hesaplan›rsa
A
-1
=
-1
0
2
3
1
-6
-2
-1
5
bulunur. O halde,
x1
X = x 2 = A -1B =
x3
-1
0
2
3
3
1
-6
0
-2
-1
5
2
-3+4
=
1
=
9 - 12
- 6 + 10
-3
4
ve verilen sistemin çözümü x1 = 1, x2 = - 3, x3 = 4 olur.
1. Aﬂa¤›daki do¤rusal denklem sistemlerinin matris gösterimlerini yaz›n›z.
a) x - 2y = - 3
3x + y = 5
b)
c) x1 + x2 + x3 + x4 = 0
x2 - x3 + x4 = 0
+ x4 = 0
x1 - x2
d) 3x1 + x2 + 5x3 - x4 = 3
- x1
x1
+ 2x3 = 4
5x1 - 3x2 + x3 = 2
+ x3 + x4 = 0
2. Aﬂa¤›da matris gösterimleri verilen do¤rusal denklem sistemlerini yaz›n›z.
a)
3
-2
1
5
3 1 2
c)
2 1 3
1 1 1
-2
x1 =
x2
x1
x2 =
x3
56
1
0
2
-1
1
0
b)
0
0
0
d) ( 1
2
-1
x1
1
x2 =
2
x3
x1
x
2
3)
= 7
x3
x4
SIRA S‹ZDE 5
284
Do¤rusal Denklem Sistemlerinin Matrislerle Gösteriliﬂi
3. Aﬂa¤›da verilen do¤rusal denklem sistemlerinin matris gösterimlerini yaz›n›z ve
Gauss yöntemiyle çözümlerini bulunuz.
b) x1 + x2 = 9
a) 3x1 - 2x2 = - 2
x2 + x3 = 11
x1 + 5x2 = 56
+ x3 = 10
x1
c)
x1 + x2 + x3 - x4 = 2
x1 + x2 - x3 + x4 = 2
x1 - x2 + x3 + x4 = 4
- x1 + x2 + x3 + x4 = 0
4.
x1
+ 2x3 = - 1
2x1 - x2 + 3x3 = - 8
4x1 + x2 + 8x3 = 1
do¤rusal denklem sistemi veriliyor. Önce A-1 matrisini bulunuz sonra da denklem sistemini çözünüz.
Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)
Cebirin temel teoremini ilk kez kan›tlayan matematikçidir. Kuramsal ve uygulamal› matematik alanlar›nda bir çok konuya öncülük etmiﬂtir.
"Matematik tüm bilimlerin kraliçesi, say›lar
kuram› ise matemati¤in kraliçesidir."
Carl Friedrich GAUSS
"Evrenin hakimi say›d›r."
Pisagorcular
"Daha sonraki devirlerdeki sistematik aritmeti¤in oluﬂumu ve geliﬂmesinin oldu¤u gibi, yüzy›l›m›zdaki (19.) matemati¤in özgün bilimsel
fikirler sahas›nda meydana getirdi¤i hemen
hemen herﬂeyin Gauss ile ba¤lant›s› vard›r."
Lêopold KRONECKER
285
Kendimizi S›nayal›m
Kendimizi S›nayal›m
1. 2x1 - 3x2 + x3 = 2
x1 + 2x3
=-1
= 0
4x1 + 5x2
do¤rusal denklem sisteminin katsay›lar matrisi aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
a.
c.
e.
2
1
4
-3
0
5
1
2
0
b.
2
1
4
-3
0
5
2
-1
0
d.
2
2
-1
-1
2
1
0
-3
0
2
-3
1
1
0
2
4
5
0
2
-1
0
2
1
4
-3
0
5
-1
5
2
p
x
1
5
0,3
y
0
4
-1
2
matrisinin a24
c.
e.
matrisinin devri¤i (transpozesi)
a.
0
-3
4
1
5
-2
b.
1
5
-2
0
-3
4
c.
4
-3
0
-2
5
1
d.
0
1
-3
5
e.
4
-2
-3
5
4
-2
0
1
1
0
0
-5
2
0
0
4
1
2 0 0
0 1 0
1
-1
4
0
1
5
b.
3
0
0
0
d.
1 0
3 2
0
1
0
0
0
0
-2
0
0
0
0
x
0
0
1
6. Aﬂa¤›daki matrislerden hangisi basamak biçiminde bir
matristir?
a.
1
- 34
10
1 0 0
0 0 1
0 2 0
a.
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
b.
1 0 0
0 1 0
c.
c.
1 0
0 1
d.
0 0 1
0 1 0
1 0 0
e.
1 0 0
0 1 0
0 0 1
-2
4
5. Aﬂa¤›dakilerden hangisi bir köﬂegen matristir?
eleman› aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
a. x
b. π
c. y
d. 2
e. - 1
3. Aﬂa¤›dakilerden hangisi üçüncü mertebeden bir birim
matristir?
e.
5
-3
aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
a.
2. A =
1
0
4. A =
2
0
0
0
5
2
3
0
-1
0
0
3
b.
d.
0
1
0
0
0
0
5 0 1
0 5 1
0 5 0
1
0
0
0
5
1
0
0
7
0
1
0
9
0
2
0
286
Kendimizi S›nayal›m
-1
2
3
3
4
7. A =
B=
C=
D=
1
0
-2
4
0
5
matrislerinin AB çarp›m matrisi aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
0
,
1
0
-7
8
3
2
3
5
1
2
1
0
-1
3
1
0
11
0
-3
5
4
x
-1
0
1
-3
0
0
7
5
5
2
5
c. - 2
28
e. O s›f›r matris
-3
1 -1
0 32
d.
1
5
,
11.
0
B=
0
-6
-1
32
b.
3
7
3
0
0
ve
e.
0
-1
0
0
0
2
0
-6
c.
1
32
0
6
-1
0
matrisinin tersi aﬂa¤›dakilerden
hangisidir?
a.
b. 23
0
a.
,
matrisleri için aralar›nda toplama iﬂleminin yap›labildi¤i
matrisler aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
a. A ve B
b. A ve C
c. A ve D
d. B ve C
e. B ve D
8. 7. soruda verilen matrisler için aﬂa¤›daki matris çarp›mlar›ndan hangisi tan›ml›d›r?
a. BA
b. BD
c. CA
d. DA
e. AD
-2
0
9. A = (1 4 7 - 3) sat›r matrisi ile B =
sütun
4
1
matrisinin AB çarp›m› hangi matristir?
a. 25
2 1 -1
0 3 4
10. A =
d.
-2
0
28
-3
c.
e.
1 -3 0
0 3 1
0 0 1
1/3
0
0
0
-1
0
0
0
1/2
b.
2 0 1
0 1 0
3 0 1
d.
-1/3
0
0
0
1
0
0
0
-1/2
5
2
-1
olan
0 0 2
0 -1 0
3 0 0
12. Geniﬂletilmiﬂ matrisi
1 -3 0 2
0 4 -1 3
2 -3 7 0
do¤rusal denklem sistemi aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
a. x1 - 3x2
+ 2x4 - 5 = 0
4x2 - x3 +3x4 - 2 = 0
2x1 - 3x2 +7x3
+1=0
b. x1 - 3x2
+2x4 + 5 = 0
-x3 +3x4 + 2 = 0
4x2
2x1 - 3x2 + 7x3
-1 = 0
c. x1 - 3x2 + 2x3 - 5 = 0
4x1 - x2 + 3x3 - 2 = 0
2x1 - 3x2 + 7x3 + 1 = 0
d. x1 - 3x2
+ 2x4 + 5x5 = 0
4x2 - x3 + 3x4 + 2x5 = 0
2x1 - 3x2 + 7x3
- x5 = 0
e. x1+ 2x3
-5=0
-3x1 + 4x2 - 3x3 - 2 = 0
-x2 + 7x3 +1 = 0
2x1 + 3x2
=0
Biraz Daha Düﬂünelim
Biraz Daha Düﬂünelim
1. Bir üretici A, B, C, D, E ham maddelerini kullanarak üç
çeﬂit mal üretmektedir. Her mal›n birim üretimi için gerekli hammadde miktarlar› kg olarak aﬂa¤›daki tablo ile
verilmektedir.
Hammadde çeﬂitleri
Ürün türleri
A
B
C
D
E
I
3
2
1
0
1
II
1
0
2
3
2
III
2
1
2
1
0
E¤er bu üretici 70 adet birinci tür, 80 adet ikinci tür ve
110 adet üçüncü türden mal üretimi sipariﬂi al›rsa, bu
mallar›n üretimi için gerekli ham madde miktarlar› nas›l
bir matrisle temsil edilebilir? Ayr›ca hammaddelerin fiyatlar› milyon TL/kg olarak, aﬂa¤›daki tablo ile verilmiﬂ ise,
sipariﬂ edilen mallar için gerekli toplam ham madde bedeli ne olur?
Hammadde
birim fiyatlar›
A
B
C
D
E
3
1
5
4
2
287
13
Determinantlar
Amaçlar
Bu üniteyi çal›ﬂt›ktan sonra;
determinant kavram›n› tan›yacak, determinantlar›n özelliklerini ö¤renecek
ve bir kare matrisin determinant›n› hesaplayabileceksiniz,
bir kare matrisin tersinin var olup olmad›¤›na karar verebileceksiniz,
tersi olan matrisin tersini, determinant› yard›m›yla bulabileceksiniz,
bilinmeyen say›s›, denklem say›s›na eﬂit olan do¤rusal denklem sistemlerinin
çözümünü Cramer Yöntemiyle yapabileceksiniz.
290
Determinantlar
‹çindekiler
•
•
•
•
Determinant ve Determinant Hesaplamas›, Saruss Kural›
Kofaktörler ile Determinant Hesaplamas›
Ters Matrisin Kofaktörler ve Determinant Yard›m›yla Bulunmas›
Cramer Kural›
•
•
•
•
Kare matrisler ile determinantlar aras›ndaki iliﬂki iyi anlaﬂ›lmal›d›r.
Determinantlar›n özellikleri dikkatle incelenmelidir.
Determinant hesaplamalar›nda pratik kurallar iyi ö¤renilmelidir.
Çözüm için b›rak›lan al›ﬂt›rmalar kâ¤›t ve kalem kullan›larak çözülmelidir.
Giriﬂ
Elemanlar› say›lar olan bir kare matrise, o matrisin determinant› denilen bir say› karﬂ›l›k getirilir. Bu say›, matrisin elemanlar› aras›nda belli kurallara göre yap›lan hesaplamalar sonucu elde edilir. Bir kare matrisin determinant› olan say›n›n hesaplanmas›na k›saca determinant›n aç›l›m› veya hesaplanmas› denir.
Determinant ve Determinant Hesaplanmas›
DETERM‹NANT VE DETERM‹NANT HESAPLANMASI
Determinant, matrisler cebirinin önemli bir kavram›d›r. Kare matrisler için tan›ml›
olan bu kavram, matemati¤in bir çok alan›nda, özellikle de do¤rusal denklem sistemlerinin çözümlerinin araﬂt›r›lmas›nda oldukça yararl› araç niteli¤indedir.
Bir matrisin determinant› belli bir kurala göre onun elemanlar› türünden tan›mlanan bir say›d›r. Bir A kare matrisi için A n›n determinant› olan bu say›
det (A) veya |A|
simgelerinden biriyle gösterilir. Bazen A matrisinin elemanlar› do¤rudan iki çizgi
içine al›narak da A n›n determinant› gösterilebilir. Söz geliﬂi,
A=
3
2
-1
0
matrisi için A n›n determinant›
3
2
-1
0
A=
olarak gösterilir. ﬁimdi bir kare matris için bu say›n›n nas›l tan›mland›¤›n› önce
boyutu 1 x 1, 2 x 2, 3 x 3 olan matrisler için, sonra da genel n x n-li bir matris için ifade edelim.
Boyutu 1 x 1 olan bir matrisin determinant›, matrisin tek eleman› olan o say›d›r. Örne¤in, A = (- 3) matrisi için |A| = - 3, B = (7) matrisi için |B| = 7; genel olarak bir M = (m11)1x1 matrisi için |M|= m11 dir.
Boyutu 2 x 2 olan bir
a 11 a 12
a 21 a 22
A=
matrisi için A n›n determinant› köﬂegenleri üzerindeki elemanlar›n›n çarp›mlar›
fark›d›r; yani
A = a 11 a 12 = a 11a 22 - a 12a 21
a 21 a 22
-
+
formülüyle tan›mlan›r.
Örne¤in,
A=
1
5
7
8
matrisinin determinant›n› det (A) = 1.8 - 5.7 = 8 - 35 = - 27 olarak bulunur.
Boyutu 3 x 3 olan bir
A =
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
matrisinin determinant› aﬂa¤›daki ﬂekilde hesaplan›r:
(i) A n›n ilk iki sütunu, üçüncü sütunun yan›na, parantezin d›ﬂ›na yaz›l›r;
(ii) Bu yaz›l›ﬂtan sonra aﬂa¤›da oldu¤u gibi A n›n esas köﬂegenine paralel kö
ﬂegenler ve ikinci köﬂegenine paralel köﬂegenler çizilir;
291
292
Kofaktörler ‹le Determinant Hesaplanmas›
(iii) Esas köﬂegenler üzerindeki ö¤elerin ayr› ayr› çarp›mlar› toplam› ile ikinci
köﬂegenler üzerindeki ö¤elerin ayr› ayr› çarp›mlar› toplam› fark› olan say›
A n›n determinant›d›r.
3. mertebeden bir kare matrisin determinant›n› bu ﬂekilde hesaplamaya Sarrus Kural› denir.
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
A =
-
-
a 11 a 12
a 21 a 22
a 31 a 32
-
+
+
+
det (A) = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) - (a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33)
formülüyle hesaplan›r.
ÖRNEK 1
ÇÖZÜM
A=
1
-2
3
2
4
-1
3
5
2
|A| =
-
1
-2
3
1
-2
2
4
-1
2
4
3
5
2
3
5
-
|A| =
=
=
=
matrisinin determinant›n› hesaplay›n›z.
-
+
+
+
[1.4.2 + (- 2). (- 1). 3 + 3.2.5] - [3.4.3 + 1. (- 1).5 + (- 2) . 2.2]
(8 + 6 + 30) - (36 - 5 - 8)
44 - 23
21
KOFAKTÖRLER ‹LE DETERM‹NANT HESAPLANMASI
Boyutu 4 x 4 veya daha büyük olan matrislerin determinantlar›n›n hesaplanmas› için geçerli olan pratik bir kural yoktur. ﬁimdi herhangi bir kare matrisin determinant›n›n hesaplanmas› için geçerli olan genel bir kural verece¤iz. Bu kural, kofaktörler yoluyla determinant hesaplanmas› olarak bilinen yöntemdir. Önce bir
matrisin bir eleman›n kofaktörünü ve matrisin kofaktörler matrisini tan›mlayal›m:
A=
a 11
a 12
a 1n
a 21
a 22
a 2n
a n1
a n2
a nn
matrisi verilsin. aij eleman›n›n minörü diye, bu matrisin i -yinci sat›r› ve j -yinci
sütunu at›ld›ktan sonra geriye kalan (n - 1) boyutlu matrisin determinant›na denir. aij eleman›n›n kofaktörü ise, aij nin minörü olan determinant›n iﬂaretli de¤erine denir; yani aij nin kofaktörünü a'ij ile gösterecek olursak,
293
Kofaktörler ‹le Determinant Hesaplanmas›
a 11
a' ij = - 1
i+ j
a1
a1
j -1
a 1n
j +1
a
i- 1 1
a
i- 1
j- 1
a
i- 1
j+ 1
a
i- 1 n
a
i+ 1 1
a
i+ 1 j - 1
a
i+ 1 j+ 1
a
i+ 1 n
a n1
an
an
j- 1
ann
j+ 1
olur. A matrisinin kofaktörler matrisi de, A n›n elemanlar›n›n kofaktörlerinin
oluﬂturdu¤u matrise denir; yani bu matrisi Ak ile gösterirsek
Ak =
a' 11
a' 12
a' 1n
a' 21
a' 22
a' 2n
a' n 1
a' n 2
a' nn
olur. ﬁimdi bir örnekle bu tan›mlar› aç›kl›¤a kavuﬂtural›m.
A=
1
0
-3
2
1
4
5
-2
3
ÖRNEK 2
matrisinde her eleman›n kofaktörlerini hesapla-
y›n›z ve A n›n kofaktörler matrisi Ak y› yaz›n›z.
için
a' 11 = - 1
1
0
-3
2
1
4
5
-2
3
= -1
1+1
1
4
-2
3
= 1 . 3 + 8 = 11
Benzer olarak,
a 12 = 0
için
a 13 = - 3 için
a 21 = 2
a 22 = 1
için
için
a' 12 = - 1
1+2
a' 13 = - 1
a' 21 = - 1
a' 22 = - 1
2
4
5
3
2
1
5
-2
1+3
2+1
2+2
= - 1 . 6 - 20 = 14 ,
0
-3
-2
3
1
-3
5
3
= 1. -4-5 =-9,
= -1. 0-6 =6,
= 1 . 3 + 15 = 18 ,
ÇÖZÜM
a 11 = 1
1+1
294
Kofaktörler ‹le Determinant Hesaplanmas›
a 23 = 4 için a' 23 = - 1
a 31 = 5 için a' 31 = - 1
2+3
3+1
a 32 = - 2 için a' 32 = - 1
a 33 = 3 için a' 22 = - 1
1
0
5
-2
0
-3
1
4
3+2
3+3
=
=1. 0+3 =3,
1
-3
2
4
1
0
2
1
-1 -2-0 =2,
= - 1 . 4 + 6 = - 10 ,
=1. 1-0 =1
bulunur. Böylece A n›n kofaktörler matrisi
11
14
-9
6
18
2
3
- 10
1
Ak =
olur.
Determinant›n Kofaktörlere Göre Aç›l›m›
n x n- li bir A matrisinin determinant›n› hesaplamak için A n›n keyfi bir sat›r› veya bir sütunu seçilerek, o sat›rdaki veya sütundaki tüm elemanlar kofaktörleriyle çarp›l›p topland›¤›nda A matrisinin determinant› elde edilir. Formül olarak,
i -yinci sat›r seçildi¤inde
det (A) = ai 1 a'
i1
+ ai 2 a'
i2
+ ... + ai n a'
in
toplam› ile ifade edilir. Bu yaz›l›ﬂa A n›n determinant›n›n i -yinci sat›r›n kofaktörlerine göre aç›l›m› denir. E¤er A n›n j -yinci sütunu al›n›rsa, det (A) n›n j -yinci sütunun kofaktörlerine göre aç›l›m›
det (A) = a1j a'
1j
+ a2j a'
2j
+ ... + anj a'
nj
olur.
A matrisinin determinant›n› kofaktörlere göre hesaplamak için herhangi bir
sat›r veya sütun seçilebilece¤ine göre, en fazla s›f›r› olan sat›r veya sütunun seçilmesinin hesaplamay› kolaylaﬂt›raca¤› aç›kt›r.
ÖRNEK 3
ÇÖZÜM
A=
1
2
-1
3
matrisinin determinant›n› hesaplay›n›z.
A n›n determinant›n› ikinci sat›r›n kofaktörlerine göre açal›m.
a21 = - 1 için a'
21
= (- 1)1+2 . 2 = - 2 ve a22 = 3 için a'
22
oldu¤undan
det (A) = a21 a'
bulunur.
21
+ a22 a'
22
= (- 1) (- 2) + 3 . 1 = 2 + 3 = 5
= (- 1)2+2 . 1 = 1
295
Kofaktörler ‹le Determinant Hesaplanmas›
-6
3
1
0
2
4
1
-1
5
A=
ÖRNEK 4
matrisinin determinant›n› hesaplay›n›z.
ÇÖZÜM
‹kinci sat›r›n kofaktörlerine göre açal›m:
det A
=
-6
3
1
0
2
4
1
-1
5
= 0. -1
+2. -1
2+1
2+2
3
1
-1
5
-6
1
1
5
+ 4 . - 1 2+3
-6
3
1
-1
= 0 + 2 - 31 - 4 3 = - 74
D =
1
2
-3
5
0
-1
0
3
7
3
5
0
0
8
0
0
ÖRNEK 5
determinant›n› hesaplay›n›z.
( ∆ bir grek harfi olup delta diye okunur.)
∆=
1
2
-3
5
0
-1
0
3
7
3
5
0
0
8
0
0
= 8. -1
4+2
1
-3
5
0
0
3
7
5
0
1
-3
7
5
= 8.1.3. -1
2+3
= 8 . 3 . - 1 5 + 21
= -24 . 26 = - 624
ÇÖZÜM
Verilen determinant›, en çok s›f›r bulunan dördüncü sat›r›n kofaktörlerine göre
açal›m. Sadece a42 = 8 ≠ 0 oldu¤undan ∆ = a42 . a' 42 olacakt›r. O halde,
296
Kofaktörler ‹le Determinant Hesaplanmas›
Determinantlar›n Özellikleri
Matrislerin baz› özelliklerinden determinantlar için önemli özellikler ç›kart›labilir.
ﬁimdi bu özelliklerin nas›l ç›kart›labildi¤i konusu üzerinde durmadan, do¤rudan
determinantlar için kimi özellikler s›ralayal›m.
Determinant özellikleri:
I. Bir determinant›n bir sat›r› veya bir sütunu tümüyle s›f›r ise determinant›n de¤eri s›f›rd›r.
II. Bir determinant›n iki sat›r (veya iki sütunu) yer de¤iﬂtirirse, determinant›n iﬂareti de¤iﬂir.
III. Bir determinant›n bir sat›r› veya bir sütununu sabit bir k say›s› ile çarp›ld›¤›nda elde edilen determinant›n de¤eri, baﬂlang›çtaki determinant›n de¤eri ile k say›s›n›n çarp›m›na eﬂittir.
IV. Bir determinant›n bir sat›r› (veya sütunu) baﬂka bir sat›r›n (veya sütunun) bir kat› ise, determinant›n de¤eri s›f›rd›r.
V. Bir determinant›n bir sat›r› (veya sütunu) sabit bir say› ile çarp›l›p
baﬂka bir sat›r (veya sütun) üzerinde toplan›rsa, determinant›n de¤eri
de¤iﬂmez.
Bu özellikler bir determinant›n de¤erini hesaplamak için oldukça yararl› olabilirler. Örne¤in, III ve V. özellikler kullan›larak dördüncü mertebeden bir determinant›n de¤erinin nas›l hesapland›¤›na iliﬂkin aﬂa¤›daki örne¤i dikkatle inceleyiniz.
ÖRNEK 6
ÇÖZÜM
∆=
2
6
4
12
3
0
1
20
1
5
3
0
4
3
2
26
∆=
determinant›n› hesaplay›n›z.
2
6
4
12
1
3
2
6
3
0
1
20
3
0
1
20
1
5
3
0
1
5
3
0
4
3
2
26
4
3
2
26
1
3
2
6
0
-9
-5
2
0
2
1
-6
0
-9
-6
2
-9
-5
2
2
1
-6
0
-1
0
=2
=2
= 2
=2.1
=2. -1
3+2
= 2 . - 1 54 - 4 = - 2 . 50 = - 100
bulunur.
-9
-5
2
2
1
-6
-9
-6
2
-9
2
2
-6
297
Kofaktörler ‹le Determinant Hesaplanmas›
[Yap›lan hesaplamada ﬂu s›ra izlenmiﬂtir: Önce birinci sat›r›n ortak çarpan› 2 say›s› determinant d›ﬂ›na al›nm›ﬂt›r (III. özellik). Sonra, s›ras›yla, birinci sat›r - 3, - 1,
- 4 ile çarp›l›r ikinci sat›r, üçüncü sat›r, dördüncü sat›r üzerinde toplanm›ﬂt›r (V.
özellik). Sonra da üç s›f›r bulunan birinci sütunun kofaktörlerine göre 3 x 3- lü bir
determinanta indirgenmiﬂtir. Üçlü determinant›n birinci sat›r› - 1 ile çarp›l›p
üçüncü sat›r üzerinde toplanm›ﬂt›r.]
∆=
1
-2
3
0
4
7
5
1
-3
6
-9
0
8
9
0
2
ÖRNEK 7
determinant›n› hesaplay›n›z.
∆=
1
-2
3
0
4
7
5
1
0
0
0
0
8
9
0
2
= 0
olur. Çünkü determinant›n bir sat›r› tümüyle s›f›rd›r. Bu nedenle, bu sat›rdaki elemanlar›n kofaktörlerine göre aç›l›m s›f›r olur.
Ters Matrisin Kofaktörler ve Determinant Yard›m›yla
Bulunmas›
Bir A matrisinin tersi A-1 in var olmas› için gerekli ve yeterli koﬂulun A n›n birim matrise sat›r eﬂde¤er olmas› oldu¤unu biliyoruz. Di¤er taraftan birim matrisin
determinant› s›f›rdan farkl› oldu¤undan, birim matrise sat›r eﬂde¤er olan her matrisin determinant› da s›f›rdan farkl›d›r. Dolay›s›yla, bir A matrisinin tersi A-1 in var
olmas› için gerekli ve yeterli koﬂul A n›n determinant›n›n s›f›rdan farkl› olmas›d›r.
Verilen A kare matrisi için A-1 matrisini bulman›n birçok yolu vard›r. Bunlardan baz›lar›n› daha önce görmüﬂtük. ﬁimdi de kofaktörler matrisi ve det (A) y›
kullanarak A-1 matrisini hesaplaman›n bir formülünü verelim.
Bir A kare matris için det (A) ≠ 0 ise, A-1 matrisi vard›r ve AkT , A n›n
kofaktörler matrisinin transpozesi olmak üzere,
A -1 =
dir.
1 . AT
k
det A
ÇÖZÜM
Birinci sat›r› 3 ile çarp›p üçüncü sat›r üzerinde toplayal›m:
298
Kofaktörler ‹le Determinant Hesaplanmas›
ÖRNEK 8
ÇÖZÜM
A=
-2
1
5
4
det A
=
matrisinin tersi A-1 i bulunuz.
-2
1
5
4
=
- 2 . 4 - 1.5 = - 8 - 5 = - 13 ≠ 0
oldu¤undan A-1 vard›r. Önce kofatörler matrisi Ak y› bulal›m.
4
-5
-1
-2
Ak =
4
-1
-5
-2
T
ve
Ak=
olur. Böylece
A
-1
4
-1
-5
-2
1
0
2
3
-1
5
0
4
1
= - 1
13
bulunur.
ÖRNEK 9
ÇÖZÜM
A=
det A =
-
matrislerinin tersi A-1 i bulunuz.
1
0
2
1
0
3
-1
5
3
-1
0
4
1
0
4
-
-
+
= - 1 + 24 - 20 = 3 ≠ 0
+
+
oldu¤undan A-1 vard›r. Tüm elemanlar›n kofaktörlerini hesaplayal›m.
a'11 = - 1
1+1
a '12 = - 1
1+2
a '13 = - 1
1+3
a '21 = - 1
2+1
-1
5
4
1
3
5
0
1
3
-1
0
4
0
2
4
1
= 1 - 1 - 20 = - 21
=-1 3 =-3
= 1 12 = 12
=-1 -8 =8
299
Kofaktörler ‹le Determinant Hesaplanmas›
2+2
a'23 = - 1
2+3
a'31 = - 1
3+1
a'32 = - 1
3+2
a'33 = - 1
3+3
- 21
Ak =
-3
1
2
0
1
1
0
0
4
0
2
-1
5
1
2
3
5
=1 1 =1
=-1 4 =-4
=1 2 =2
=-1 5-6 =1
1
0
3
-1
=1 -1 =-1
12
ve
8
1
-4
2
1
-1
ÇÖZÜM
a'22 = - 1
A Tk =
- 21
8
2
-3
1
1
12
-4
-1
oldu¤undan
A
-1
= 1
3
- 21
8
2
-3
1
1
12
-4
-1
bulunur.
Do¤rusal Denklem Sistemlerinin Çözümleri ‹çin Cramer
Kural›
Bilinmeyen say›s› denklem say›s›na eﬂit olan bir do¤rusal denklem sistemi AX = B biçiminde verilmiﬂ olsun. Sistemin çözümü için ﬂu durumlar
söz konusudur:
A = (aij )nxn katsay›lar matrisi olmak üzere,
I. det (A) ≠ 0 ise, sistemin tek çözümü vard›r. Bu çözüm
xj =
∆j
det A
j = 1 , 2, . . . n
biçimindedir. Burada ∆j , A matrisinde j -yinci sütun yerine B matrisi
yaz›larak elde edilen matrisin determinant›d›r. Bu ﬂekilde AX = B sisteminin çözümünün verilmesine Cramer Yöntemi denir.
II. det (A) = 0 ve ∆j = 0, j = 1, 2, ... n ise, AX = B sisteminin sonsuz çoklukta çözümü vard›r.
III. det (A) = 0 ve en az bir j için ∆j ≠ 0 ise, AX = B sisteminin hiç bir çözümü yoktur.
300
Kofaktörler ‹le Determinant Hesaplanmas›
ÖRNEK 10
ÇÖZÜM
2x1 - 3x2 = 40
5x1 + x2 = 15
do¤rusal denklem sistemini Cramer Yöntemiyle çözünüz.
Sistemi AX = B biçiminde yazarsak,
2
-3
5
1
x1
x2
40
=
15
olur. Böylece
det A =
2
-3
5
1
= 2 + 15 = 17 ≠ 0
oldu¤undan Cramer Yöntemine göre
40
x1 =
-3
2
x2 =
= 40 + 45 = 85 = 5
17
17
15
1
det A
40
= 30 - 200 = - 170 = - 10
17
17
5
15
det A
bulunur.
ÖRNEK 11
3x1 - 4x2 + x3 = 1
x1 + 3x2 - x3 = - 9
=-4
2x1 - x2
ÇÖZÜM
do¤rusal denklem sistemini Cramer Yöntemiyle çözünüz.
det A =
3
-4
1
1
3
-1
2
-1
0
=-2≠0
oldu¤undan Cramer Yöntemiyle sistemin çözümü
x1 =
1
-4
1
-9
3
-1
-4
-1
0
det (A )
=
4 =-2
-2
301
Kofaktörler ‹le Determinant Hesaplanmas›
3
1
1
1
-9
-1
2
x2 =
3
-4
1
1
3
-9
2
x3 =
-4
0
det (A )
-1 -4
det (A )
=
0 =0
-2
= - 14 = 7
-2
olarak bulunur.
ÖRNEK 12
Bir firma X, Y, Z ham maddelerini çeﬂitli oranlarda kullanarak A, B, C
mallar›n› üretiyor. Bu mallar›n her birinin birim üretimi için gerekli ham
madde miktarlar› (birim olarak) aﬂa¤›daki tablo ile verilmektedir.
Ham madde
X
Y
Z
A ürünü
4
6
0
B ürünü
0
5
2
C ürünü
9
1
8
E¤er 112 birim X ham maddesi, 93 birim Y ham maddesi ve 74 birim Z
ham maddesi bütünüyle kullan›l›rsa, elde edilecek ürün say›lar› ne olur?
olsun. O zaman,
+ 9x3 = 112
4x1
6x1 + 5x2 + x3 = 93
2x2 + 8x3 = 74
do¤rusal denklem sistemi elde edilir. ﬁimdi bu sistemi Cramer Yöntemiyle çözelim.
Katsay›lar matrisinin determinant›
∆=
4
0
9
6
5
1
0
2
8
= 160 + 108 - 8 = 260
oldu¤una göre
x1 =
112
0
9
93
5
1
74
2
∆
8
= 2600 = 10
260
ÇÖZÜM
x1 = elde edilecek A ürünü say›s›
" B
"
"
x2 = "
" C
"
"
x3 = "
302
Kofaktörler ‹le Determinant Hesaplanmas›
x2 =
x3 =
4
112
9
6
93
1
0
74
∆
8
4
0
112
6
5
93
0
2
∆
74
= 1300 = 5
260
= 2080 = 8
260
bulunur.
SIRA S‹ZDE 1
Aﬂa¤›da verilen matrislerin determinantlar›n› hesaplay›n›z.
1.
A = (-3) ,
2. B =
3. C =
4. D =
5. E =
-2
-3
5
7
1
-2
8
4
0
-2
3
2
-3
,
1
7
-3
0
2
5
4
9
-3
2
5
0
1
1
0
0
,
0
3
0
0
0
2
-1
0
0
5
0
3
0
1
4
1
5
7
-2
0
0
0
0
3
2
,
Aﬂa¤›da verilen determinantlar› hesaplay›n›z.
6.
7.
∆=
∆=
1
2
3
3
6
9
-2
1
5
1
0
-1
5
2
3
4
7
-1
0
3
4
-2
0
0
1
,
,
Kofaktörler ‹le Determinant Hesaplanmas›
8. A =
9.
3
2
1
-4
-1
5
0
0
-2
matrisinin kofaktörler matrisi A k y› bulunuz.
Sekizinci örnekteki A matrisinin tersini bulunuz.
10. 3x1 + 5x2 + 2x3 = -2
= -3
4x1 + x2
x3 = 7
-9x1 +
denklem sisteminin çözümünü Cramer Yöntemiyle bulunuz.
11. AX = B biçimindeki bir do¤rusal denklem sisteminin çözümü, matris çarp›m› biçiminde
X=
1
0
-1
2
2
-1
0
3
1
1
3
4
ise, bu do¤rusal denklem sisteminin aç›k yaz›l›ﬂ› nedir? Sistemin çözümünü bulunuz.
12. A ve B olarak adland›r›lan iki tür mal›n üretildi¤i bir atölyede her bir mal›n
bir adet üretimi için gerekli para ve iﬂ saati aﬂa¤›daki tablo ile verilmektedir.
Para (milyon TL)
Zaman (saat)
A
7
4
B
5
3
E¤er bu atölyede 11.3 milyar TL ve 6600 iﬂ saati tümüyle bu mallar›n üretimi için
harcan›rsa, her bir maldan kaç adet üretilmiﬂ olur?
303
304
Kendimizi S›nayal›m
Kendimizi S›nayal›m
Aﬂa¤›daki sorular›n yan›tlar›n› verilen seçenekler aras›ndan bularak iﬂaretleyiniz.
1. A =
10
3
1
3
-2
2
-2
7
-3
matrisinin kofaktörler matrisi aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
a.
8
-18
17
16
2
-76
8
-22
-29
b.
8
16
8
-18
2
-76
17
-22
-29
c.
17
-76
-29
-18
2
-22
-8
16
8
d.
-29
-22
8
-76
2
16
17
-18
-8
e.
-8
5
17
16
-28
-76
8
-17
-29
3.
2. A =
-5
2
-3
a.
b.
d.
0
3
2
matrisinin determinant› aﬂa¤›daki say›lardan hangisidir?
a. -39
b. -23
c. 0
d. 19
e. 23
3
4
3
1
2
1
matrisinin tersi aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
c.
2
4
7
1
2
0
e.
1
1
-3
0
- 1
2
-3
2
-1
0
1
1
0
-1
1
-1
2
0
-3
3
2
1
1
0
1
1
- 1
2
0
-3
3
1
1
0
-1
2
-1
0
-3
3
2
1
1
1
-3
0
-1
3
-1
0
1
4. Aﬂa¤›daki matrislerden hagisinin tersi yoktur?
a.
1 0
4 3
b.
-2 1
6 3
c.
0 2
-1 5
d.
-3 -6
2 4
e.
2 0 0
0 -3 0
1 0 -1
Biraz Daha Düﬂünelim
1
5.
x
x
2
1
y
y
2
1
z
z
2
3. A =
determinant› aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
a. (x - y) (x - z) (z - y)
b. 0
c. (x +y) (x +z) (z +y)
d. x2 y2 z2
e. xyz
2
3
3
2
0
a)
1 0 4
0 1 1
0 0 0
-3
1
0
b)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
-2
0
3
c)
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
a)
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
b)
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
Evrak çantas›
El çantas›
Cüzdan
1
0
0
0
0
-4
3
9
-6
0
K e s m e
2
1
0,5
D i k m e
2
1
1
C i l a l a m a
1
1
1
Bu imalâthane bir günde 125 iﬂ saati kesme, 150 iﬂ saati dikme ve 120 iﬂ saati cilâlama kapasitesine sahip ise,
tam kapasite ile kullan›ld›¤›nda bir günde üretilen ürün
say›lar› ne olur?
5
4
3
2
2. Aﬂa¤›daki matrislerden hangisinin tersi vard›r? Ters matrisi bulunuz.
1
0
1
1
12
4
2
-2
8
matrisinin determinant›n› hesaplay›n›z.
4. Bir deri çanta üreticisinin imalâthanesinde, evrak çantas›, el çantas› ve cüzdan üretilmektedir. Her bir ürünün
birim üretimi için gerekli olan zaman iﬂ saati olarak aﬂa¤›daki tablo ile verilmektedir.
Biraz Daha Düﬂünelim
1. Aﬂa¤›da geniﬂletilmiﬂ matrisleri verilen denklem sistemlerinden çözümü olanlar›n çözümlerini bulunuz.
3
-3
0
6
0
305
14
Do¤rusal
Programlama
Amaçlar
Bu üniteyi çal›ﬂt›ktan sonra:
Uygulamada çok kullan›lan bir eniyileme tekni¤i olan do¤rusal programlama yönteminin ne oldu¤unu,
‹ﬂletme yönetiminde çok karﬂ›laﬂ›lan maliyet ve kâr problemlerinin do¤rusal
denklemlerle nas›l ifade edilece¤ini
Basit grafik yöntemle do¤rusal programlama modellerinin nas›l
çözülebilece¤ini göreceksiniz.
308
Do¤rusal Programlama
‹çindekiler
• Do¤rusal Programlaman›n Tan›m›
• Bir Maliyet veya Kâr Probleminin Do¤rusal Programlama Yöntemi ile Çözülmesi ‹çin Gerekli Olan Koﬂullar
• Verilen Problemin Denklemlerle Belirlenen Bir Model Haline Getirilmesi
• Do¤rusal Programlama Modelinin Basit Grafik Yöntemle Çözülmesi
• Do¤rusal programlama ünitesine baﬂlamadan önce do¤rusal denklem
sistemleri ve matris ile ilgili üniteleri yeniden gözden geçiriniz.
• Verilen problemlerde nelerin de¤iﬂken olarak al›naca¤›n› belirleyiniz.
• Belirlenen de¤iﬂkenler aras›ndaki iliﬂkileri kurarken nelerin de¤iﬂkenlerin katsay›lar› olaca¤›n› belirleyiniz.
• De¤iﬂkenler aras›ndaki iliﬂkilerin eﬂitlik veya eﬂitsizlik ﬂeklinde olmas› halinde çözüm yöntemi de¤iﬂmektedir. Bu bak›mdan iliﬂkinin ﬂeklinin ne olaca¤›n› iyice belirleyiniz.
Giriﬂ
Bu günün iﬂletme yöneticileri karar verirken iﬂ deneyimlerinin ve kuramsal bilgilerini yan›s›ra matematiksel yöntemlerden de yararlanmaktad›rlar.
Bilgisayar teknolojisindeki geliﬂmeler, kurulan matematiksel modellerin çözümünü kolaylaﬂt›rmaktad›r. Bu bak›mdan da sözkonusu yöntemler çok daha fazla kullan›lmaktad›r. Örne¤in, bir pamuklu dokuma fabrikas›nda, pamuktan dokumaya kadar olan süreçte bütün üretim noktalar›nda devaml›l›¤› sa¤lamak isteyen bir yönetici bunu ancak matematiksel yöntemlerle sa¤layabilir.
Do¤rusal programlama da yukar›da belirtti¤imiz konularda karar vermeyi kolaylaﬂt›ran matematiksel yöntemlerden biridir. Bu ünitede do¤rusal programlama
yöntemi tan›t›lacak ve basit çözüm yöntemleri tan›t›lacak ve basit çözüm yöntemleri verilecektir. Burada önemli olan verilen problemin bileﬂenlerine ayr›lmas› ve
modelin kurulmas›d›r. Model kurulduktan sonra çözümü bilgisayarda kolayca
yap›lmaktad›r.
Do¤rusal Programlama Nedir? Bir Problemin Do¤rusal Programlamayla Çözülebilmesi ‹çin Gerekli Koﬂullar
309
DO⁄RUSAL PROGRAMLAMA NED‹R?
AMAÇ
1
Uygulamada çok kullan›lan bir eniyileme olan do¤rusal programlama yönteminin ne oldu¤unu ö¤renebilmektir.
Bir matematikçiye do¤rusal programlaman›n ne oldu¤u sorulursa al›nacak yan›t
"Do¤rusal baz› s›n›rland›rmalar alt›nda do¤rusal bir fonksiyonu maksimum veya
minimum yapan de¤erleri bulma yöntemidir." olacakt›r. Ayn› soru bir iktisatç›ya
sorulursa "S›n›rl› olanaklar›n optimal da¤›l›m›nda kullan›lan bir tekniktir." olacakt›r. ‹ﬂletme biliminde do¤rusal programlama nedir diye sorulursa "Önceden belirlenmiﬂ bir amac›n, örne¤in minimum masraf veya maksimum kâr›, gerçekleﬂtirmeye yarayan bir tekniktir." olacakt›r.
B‹R PROBLEM‹N DO⁄RUSAL PROGRAMLAMAYLA
ÇÖZÜLEB‹LMES‹ ‹Ç‹N GEREKL‹ KOﬁULLAR
Bir problemin do¤rusal programlama yöntemiyle çözülebilmesi için, problemde
aﬂa¤›daki koﬂullar›n bulunmas› gerekir:
• Problemi meydana getiren unsurlar›n rakamla ifade edilebilmesi gerekir. Bu
özellik rakamla ifade edilemeyen unsurlar› içeren problemler bu yöntemle çözülemeyece¤ini göstermektedir. Örne¤in, fayda optimizasyonu gibi.
• De¤iﬂkenler aras›nda alternatif seçim olabilmelidir. Maksimum veya minimum
yap›lacak fonksiyondaki de¤iﬂkenler aras›nda bir seçim yap›labilmelidir. Örne¤in, sadece bir makinaya veya insan eme¤ine ihtiyaç duyan bir üretim
probleminde seçim sözkonusu olmad›¤› için böyle bir problem, do¤rusal
programlama yöntemiyle çözülemez.
• Problemde öngörülen de¤iﬂkenler aras›nda kurulan ba¤›nt›lar do¤rusal olmal›d›r.
Do¤rusal denilince, problemde de¤iﬂkenler aras›nda bulunan eﬂitlik ve eﬂitsizliklerin birinci dereceden iliﬂkileri olmal›d›r. Bu durum bir üretim problemi üzerinde aç›klanacakt›r.
Bir iﬂletmede bir A mal›n›n bir biriminin üretilmesi için 4 dakikal›k bir
zamana gerek varsa, bu maldan 100 birim üretmek için 400 dakika zamana ihtiyaç olacakt›r. Burada zaman ile üretilen miktar aras›ndaki iliﬂki do¤rusald›r.
4A = 400
Bu iﬂletmede A mal› ile birlikte bir B mal›n›n da üretildi¤ini varsayal›m.
B mal›n›n üretiminin bir birimi için 3 dakikal›k zamana gerek oldu¤unu ve bu iki mal›n üretimi için 400 dakikal›k zamana ihtiyaç varsa aradaki iliﬂki,
4A + 3B = 400
olacakt›r.
Yukar›daki örnekten herhangi bir mal›n bir biriminin üretimi için kullan›lacak
zaman di¤er birimlerin üretiminden az veya çok ise buradaki iliﬂki do¤rusal bir
iliﬂki olmayacakt›r.
De¤iﬂkenlerin hangi özellikleri sa¤lamas› halinde do¤rusal programlama
yöntemi uygulanabilir?
ÖRNEK 1
310
Do¤rusal Programlama Yöntemiyle Çözülecek Problemin Bir Model Haline Getirilmesi
DO⁄RUSAL PROGRAMLAMA YÖNTEM‹YLE
ÇÖZÜLECEK PROBLEM‹N B‹R MODEL HAL‹NE
GET‹R‹LMES‹
Verilen bir problemin do¤rusal programlama tekni¤iyle çözülebilmesi için aﬂa¤›daki yol izlenir.
Problemin Tan›t›lmas›
‹ﬂletme ve iktisat problemlerinde standartlar (zaman, hammadde, kâr ve birim
maliyetler) tan›t›l›r. Üretimin yap›labilmesi için üretim teknikleri ve bu tekniklerin
her birinin uygulanmas›yla üretilebilecek mamullerin birim maliyetleri (veya her
birimin sat›ﬂ›ndan elde edilecek kâr) hesaplan›r.
Matematiksel Modelin Kurulmas›
Bu aﬂamada aﬂa¤›daki iﬂlemler uygulan›r:
De¤iﬂkenlerin Belirlenmesi
‹ﬂletme problemlerine uygulanan do¤rusal programlama modellerinde, genellikle, üretim hacmi, makinalar›n çal›ﬂma süreleri, üretimde kullan›lan hammadde
miktarlar› ve üretim için yap›lan giderler de¤iﬂken olarak al›n›r.
Modelin Genel Olarak Gösterilmesi
Genel olarak modele girecek de¤iﬂkenler x1 , x2 , ... , xn ile, bu de¤iﬂkenler aras›ndaki ba¤lant›lar› kuran parametreler ise a11 , a12 , ... , a1n , ... amn ﬂeklinde gösterilir. Ayr›ca, verilmiﬂ sabit de¤erler (makina kapasiteleri, eldeki hammadde miktarlar› ve iﬂ gücü gibi) b1 , b2 , ... , bm ile gösterilir. De¤iﬂkenler aras›ndaki iliﬂkiler genel olarak aﬂa¤›daki ﬂekilde gösterilir.
a11 x1 + a12 x2 + ... a1j xj + ... + a1n xn ≤ b1
a21 x1 + a22 x2 + ... a2j xj + ... + a2n xn ≤ b2
.
.
.
am 1 x1 + am 2 x2 + ... am j xj + ... amn xn ≤ bm
Buradaki de¤iﬂkenler pozitif ve s›f›r de¤eri al›rlar. Ancak, bu de¤iﬂkenler negatif de¤er alamazlar.
Ayr›ca, modelde amaç fonksiyonu denilen, modeldeki bütün de¤iﬂkenleri içinde bulunduran, de¤iﬂkenlerin katsay›lar› birim kârlar veya maliyetler olan, maksimum veya minimum yap›lmas› istenen bir fonksiyon da vard›r.
Z = c1x1 + c2x2 + ... cnxn
Bu fonksiyona, amaç fonksiyonu denir.
Aﬂa¤›daki örnekte verilen veriler yard›m›yla modelin nas›l kurulaca¤› aç›klanacakt›r.
ÖRNEK 2
Bir iﬂletme A ve B olmak üzere iki çeﬂit mal üretmektedir. A ve B mallar›n›n üretimi için izlenebilir iki üretim tekni¤i vard›r. Aﬂa¤›daki tabloda sözkonusu iki mal›n üretim teknikleri ile birer birimlerinin sat›ﬂ›ndan
elde edilebilecek kârlar gösterilmiﬂtir.
Do¤rusal Programlama Yöntemiyle Çözülecek Problemin Bir Model Haline Getirilmesi
A Mal›
I. Teknik II. Teknik
B Mal›
I. Teknik II. Teknik
Kapasite
‹ﬂgücü (saat)
40
40
40
40
600
Hammadde X
8
6
4
3
140
Hammadde Y
4
5
11
16
120
6 TL
5,5 TL
9 TL
8 TL
x1
x2
x3
x4
Birim kâr
De¤iﬂkenler
311
Yukar›daki verilerden hangi maldan hangi üretim tekni¤iyle ne kadar
mal üretelim ki bu firman›n kâr› maksimum olsun?
40x1 + 40x2
8x1 + 6x2
4x1 + 5x2
+
+
+
40x3
4x3
11x3
+
+
+
40x4
3x4
16x4
≤
≤
≤
600
140
120
ÇÖZÜM
Verilen problemdeki de¤iﬂkenler aras›ndaki iliﬂkiler aﬂa¤›da verilmiﬂtir.
Ayr›ca, bütün de¤iﬂkenleri içinde bulunduran ve katsay›lar› bu problemde birim
kârlar olan amaç fonksiyonu da yaz›lmal›d›r.
Z = 6x1 + 5,5x2 + 9x3 + 8x4
Yukar›da verilen problemde de¤iﬂkenler aras›ndaki iliﬂkilerde kurulan eﬂitsizlik sisteminde eﬂitsizlikler belirli bir de¤erden küçük eﬂitsizlikler olarak verilmiﬂtir. Baz› iﬂletme problemlerinde,
Baz› problemlerde de¤iﬂkenler aras›ndaki iliﬂkiler eﬂitlik veya büyük
eﬂitsizlik ﬂeklinde olabilir.
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn ≥ b2
gibi eﬂitlik ve eﬂitsizlikler de bulunabilir. Aﬂa¤›da bu gibi iliﬂkileri de içeren bir
problem verilecektir.
Bir iﬂletme A mal›ndan 200 birim ve B mal›ndan 300 birim üretmek istemektedir. Sözkonusu iki mal›n üretimi iki üretim departman›ndan geçerek yap›labilmektedir.
Birinci departmanda A ve B mallar› bir makina kullan›larak üretilmektedir. Bu makinada bir birim A mal› 2 saatte, bir birim B mal› ise 4
saatte üretilmektedir. Sözkonusu makinan›n bu mallar›n üretiminde kullan›lacak 1700 saat zaman› vard›r.
‹kinci departmanda A ve B mallar›n›n üretimi için iki makina kullan›lmaktad›r. Birinci makinan›n kullan›lmas› halinde A mal›n›n bir biriminin üretimi 4 saat, B mal›n›n bir biriminin üretimi 7 saat almaktad›r.
Bu departmandaki ikinci makinan›n kullan›lmas› halinde bir birim A
mal›n›n üretiminin 10 saat, bir birim B mal›n›n üretiminin 12 saat ald›¤› bilinmektedir. Birinci makinan›n bu mallar›n üretiminde kullan›labilecek 1000 saati, ikinci makinan›n da 3000 saati vard›r. Ayr›ca birinci
makinan›n 500 saat fazla çal›ﬂma olarak kullan›labilir zaman› vard›r.
Birinci departmanda kullan›lacak makinan›n bir saatlik maliyeti 3000
TL d›r. ‹kinci departmanda birinci makinan›n bir saatlik maliyeti 3000
TL, ikinci makinan›n ise 2000 TL s›d›r.
ÖRNEK 3
Do¤rusal Programlama Yöntemiyle Çözülecek Problemin Bir Model Haline Getirilmesi
312
ÇÖZÜM
E¤er makinalar fazla mesaili çal›ﬂt›r›l›rsa saat baﬂ›na 450 TL l›k art›ﬂ
olmaktad›r. Fazla mesai uygulamas› ikinci departmandaki birinci makinada uygulanmaktad›r.
Bütün giderlerin minimum olaca¤› üretim miktarlar›n›n bulunmas›
istenmektedir.
Önce bu problemde kullan›lacak de¤iﬂkenler tan›mlanacakt›r:
x1 : Birinci departmandan ve ikinci departmanda normal zamanda birinci makina kullan›larak üretilecek A mal› miktar›
x2 : Birinci departmandan ve ikinci departmandaki birinci makina kullan›larak fazla mesai kullan›larak üretilecek A mal› miktar›
x3 : Birinci departmandan ve ikinci departmandaki ikinci makinada üretilecek
A mal› miktar›
x4 : Birinci departmandan ve ikinci departmanda birinci makinada normal zamanda üretilen B mal› miktar›
x5 : Birinci departmandan ve ikinci departmanda birinci makinada fazla mesai yap›larak üretilecek B mal› miktar›
x6 : Birinci departmandan ve ikinci departmandaki ikinci makinadan geçerek
üretilecek B mal› miktar›
Bu de¤iﬂkenler için birim maliyetler,
18000 TL
x1 için
19800 TL
x2 için
26000 TL
x3 için
33000 TL
x4 için
x5 için
36150 TL
36000 TL
x6 için
olarak bulunur.
Yukar›da belirlenen de¤iﬂkenler aras›ndaki iliﬂkiler aﬂa¤›da gösterilmiﬂtir.
Birinci departman
2x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 + 4x5 + 4x6 ≤ 1700
‹kinci departman
birinci makina (normal zaman)
4x1 + 7x4 ≤ 1000
‹kinci departman
birinci makina (fazla mesai)
4x2 + 7x5 ≤ 500
‹kinci departman ikinci makina
10x3 + 12x6 ≤ 3000
Planlanan A mamulü miktar›
x1 + x2 + x3 = 200
Planlanan B mamulü miktar›
x4 + x5 + x6 = 300
Amaç Fonksiyonu
Z = 18000 x1 + 19800 x2 + 26000 x3 + 33000 x4 + 36150 x5 + 36000 x6
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ≥ 0
Do¤rusal Programlama Modelinin Çözüm Yöntemleri
Do¤rusal programlama modelleri üç yöntemle çözülebilmektedir. Bu yöntemler:
a) Grafik Yöntemi
b) Simpleks Yöntemi
c) Matris Yöntemi
olmaktad›r.
Do¤rusal Programlama Yöntemiyle Çözülecek Problemin Bir Model Haline Getirilmesi
313
Bu ünitede do¤rusal programlama modellerinin grafik yöntemle nas›l çözülebilece¤ini örneklerle aç›klayaca¤›z.
ÖRNEK 4
Bir firma A ve B olmak üzere iki çeﬂit mal üretmektedir. Bu iki çeﬂit mal
bir üretim departman›ndaki bir makinadan geçerek üretilmektedir. A
mal›n›n bir biriminin üretimi için 5 saat, B mal›n›n bir birimi için 2 saat zaman harcanmaktad›r. Sözkonusu departmandaki makinan›n A ve
B mallar›n›n üretiminde kullan›labilecek 60 saat zaman› vard›r. De¤iﬂkenler ile aralar›ndaki iliﬂkileri belirleyin.
5x1 + 2x2 ≤ 60
olacakt›r. Bulunan bu iliﬂkinin grafi¤i ve çözüm alan› aﬂa¤›da ﬁekil 14.1'de
gösterilmiﬂtir.
x2
30
5x1 + 2x2 ≤ 60
x1 , x2 ≥ 0
12
x1
Şekil 14.1
Yukar›da vermiﬂ oldu¤umuz örnekte A ve B mallar›n›n üretimi için, ikinci
bir departmandaki makinalar›nda kullan›lmas› gerekti¤ini varsayal›m. Bu departmanda bir birim A mal› üretmek için 5 saat, bir birim B mal› üretmek için ise
4 saat zamana ihtiyaç vard›r. ‹kinci departmanda bu üretim için kullan›labilecek
80 saat zaman oldu¤unu varsayarsak, x1 , x2 de¤iﬂkenleri aras›nda ikinci departmandaki k›s›tlamay› gösteren iliﬂki,
5x1 + 4x2 ≤ 80
olacakt›r.
Bu problemle ilgili k›s›tlay›c›lar topluca,
5x1 + 2x2 ≤ 60
5x1 + 4x2 ≤ 80
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
olarak gösterilir. Bu eﬂitsizlik sistemi ile, eﬂitsizliklerin çözüm alanlar›n›n kesiﬂimi
aﬂa¤›da ﬁekil 14.2 de ﬂekilde gösterilmiﬂtir.
ÇÖZÜM
Bu problemde A mal›n›n üretim miktar› x1 , B mal›n›n üretim miktar› x2 ile
gösterilirse, x1 ve x2 de¤iﬂkenleri aras›ndaki iliﬂki,
Do¤rusal Programlama Yöntemiyle Çözülecek Problemin Bir Model Haline Getirilmesi
314
x2
De¤iﬂkenler aras›ndaki iliﬂkileri gösteren do¤rusal denklemlerin grafikleri çizildi¤inde, ﬂekilde görülen uygun çözüm alan› belirlenir.
5x1 + 2x2 = 60
30
20
5x1 + 4x2 = 80
12
16
x1
Şekil 14.2
ﬁekilde görülen taral› alan yukar›daki bütün eﬂitsizliklerin ortak çözüm alan›d›r. Bu alana uygun çözüm alan› denir.
Baz› problemlerde de¤iﬂkenler aras›nda kurulan iliﬂkinin belirli bir de¤erden
büyük veya eﬂit ﬂeklinde bir eﬂitsizlik biçiminde olabilece¤i önceki kesimde aç›klanm›ﬂt›. Bu ﬂekilde bir eﬂitsizli¤in bulundu¤u durumda çözümün ne ﬂekilde yap›laca¤› aﬂa¤›da verilen bir örnek üzerinde aç›klanacakt›r.
ÖRNEK 5
ÇÖZÜM
3x1 + 5x2 ≤ 30
2x1 + 4x2 ≥ 60
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
sistemini grafik üzerinde gösterip, uygun çözüm alan›n› belirleyiniz.
x2
15
2x1 + 4x2 ≥ 60
6
3x1 + 5x2 ≤ 30
10
30
x1
Şekil 14.3
E¤er, de¤iﬂkenler aras›ndaki iliﬂkileri
gösteren denklemlerin gösterdi¤i
do¤rular kesiﬂmiyorsa, uygun çözüm
alan› yoktur.
ﬁekilde sistemdeki iki eﬂitsizli¤in çözüm alanlar› taral› olarak gösterilmiﬂtir. Görüldü¤ü gibi sistemdeki eﬂitsizliklerin ikisini de sa¤layan ortak bir çözüm alan›
yoktur.
Önceki kesimlerde do¤rusal programlama modelinde verilen k›s›tlay›c›lar alt›nda maksimum veya minimum yap›lacak bir fonksiyona amaç fonksiyonu denildi¤ini biliyorsunuz.
Aﬂa¤›daki problemlerde k›s›tlay›c›larla birlikte amaç fonksiyonunun da verildi¤i bir do¤rusal programlama modelinin grafik yöntemle nas›l çözülece¤i
aç›klanacakt›r.
Do¤rusal Programlama Yöntemiyle Çözülecek Problemin Bir Model Haline Getirilmesi
315
Do¤rusal Programlama Modelinin Grafik Çözümü
Grafik yöntemle do¤rusal programlama modelinin çözümünde önce verilen eﬂitsizliklerin koordinat sisteminde grafikleri çizilerek uygun çözüm alan› bulunur.
Optimum çözümün bulunmas› için uygun çözüm alan›n› gösteren çokgenin,
bir konveks çokgen olmas› gerekir. Bulunan uygun çözüm alan›n› gösteren
çokgenin köﬂelerinin koordinatlar› bu köﬂelerden geçen do¤rular›n denklemlerinin ortak çözümü ile bulunur. Bulunan köﬂelerin koordinatlar› amaç fonksiyonunda yerlerine koyulur. Problem minimum yapma problemi ise amaç fonksiyonunun alaca¤› en küçük de¤erin, maksimum yapma problemi ise amaç fonksiyonunun alaca¤› en büyük de¤erin bulundu¤u noktan›n koordinatlar› optimum çözümü verecektir.
Optimum çözüm bulunabilmesi için
çözüm alan›n› gösteren s›n›rl› bölgenin, konveks çokgen ﬂeklinde olmas› gerekir.
ÖRNEK 6
2x1 + 4x2 ≤ 40
4x1 + 3x2 ≤ 60
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
Amaç fonksiyonu Zmak = 20x1 + 15x2
ÇÖZÜM
x2
20
4x1 + 3x2 = 60
A
10
O
B
2x1 + 4x2 = 40
15 C
l
x1
20
Şekil 14.4
ﬁekil 14.4 de görüldü¤ü gibi uygun çözüm alan› AOBC dörtgenidir.
Dörtgenin B köﬂesinin koordinatlar›,
2x1 + 4x2 = 40
4x1 + 3x2 = 60
denklem sisteminin ortak çözümünden (12 , 4) = (x1 , x2) bulunur.
Dörtgenin köﬂelerinin koordinatlar›yla, amaç fonksiyonunun bu noktalarda ald›¤›
de¤erler aﬂa¤›daki tabloda gösterilmiﬂtir.
Nokta
(x1 , x2)
Z = 20x1 + 15x2
A
B
C
(0 , 10)
(12 , 4)
(15 , 0)
Z = 20.0 + 15.10 = 150
Z = 20.12 + 15.4 = 300
Z = 20.15 + 15.0 = 300
Tabloda görüldü¤ü gibi, amaç fonksiyonu en büyük de¤erini B noktas›nda almaktad›r. O halde x1 = 12 , x2 = 4 oldu¤unda amaç fonksiyonunun maksimum
olma koﬂulu sa¤lanmaktad›r.
Do¤rusal Programlama Yöntemiyle Çözülecek Problemin Bir Model Haline Getirilmesi
316
ÖRNEK 7
ÇÖZÜM
6x1 + 2x2 ≥ 30
3x1 + 2x2 ≥ 24
5x1 + 10x2 ≥ 60
x1 , x2 ≥ 0
Zmin = 30x1 + 50x2
Yukar›da verilen do¤rusal programlama probleminin uygun çözüm alan›n› belirleyerek, optimum çözümü bulunuz.
Verilen k›s›tlay›c›lar ile uygun çözüm alan›, aﬂa¤›daki grafikte gösterilmiﬂtir.
x2
6x1 + 2x2 = 30
15
A
3x1 + 2x2 = 24
12
6
B
5x1 + 10x2 = 60
C
5
8
D
12
x1
Şekil 14.5
ﬁekil 14.5 de görüldü¤ü gibi optimum çözüm A , B , C ve D noktalar›n›n birisinde olacakt›r.
B noktas›n›n koordinatlar›,
6x1 + 2x2 = 30
3x1 + 2x2 = 24
denklemlerinin ortak çözümüyle (2, 9) olarak bulunur. C noktas›n›n koordinatlar›,
5x1 + 10x2 = 60
3x1 + 2x2 = 24
denklemlerinin ortak çözümüyle (6 , 3) olarak bulunur.
Aﬂa¤›daki tabloda A , B , C , D noktalar›nda amaç fonksiyonunun alaca¤› de¤erler verilmiﬂtir.
Nokta
(x1 , x2)
Z = 30x1 + 50x2
A
B
C
D
(0 , 15)
(2 , 9)
(6 , 3)
(12 , 0)
Z
Z
Z
Z
=
=
=
=
30.0 + 15.50 = 750
30.2 + 9.50 = 510
30.6 + 3.50 = 330
30.12 + 0.50 = 360
Tabloda görüldü¤ü gibi, amaç fonksiyonu en küçük de¤erini C noktas›nda almakta ve dolay›s›yla optimum çözüm x1 = 6 , x2 = 3 tür.
Do¤rusal Programlama Yöntemiyle Çözülecek Problemin Bir Model Haline Getirilmesi
317
ÖRNEK 8
4x1 + 2x2 ≥ 28
2x1 + 3x2 ≥ 30
x2 ≥ 4
x1 , x2 ≥ 0
Zmin = 4x1 + 5x2
do¤rusal programlama modelinin uygun çözüm alan›n› bularak, optimum çözümü bulunuz.
x2
4x1 + 2x2 = 28
14
A
2x1 + 3x2 = 30
10
B
4
x≥4
C
7
15
x1
Şekil 14.6
ﬁekil 14.6 da görüldü¤ü gibi amaç fonksiyonunu minimum yapacak de¤erler A ,
B , C noktalar›ndan birinin koordinatlar› olacakt›r. B noktas›n›n koordinatlar›,
4x1 + 2x2 = 28
2x1 + 3x2 = 30
denklemlerinin ortak çözümüyle (3 , 8) olarak bulunur. C noktas›n›n koordinatlar›,
2x1 + 3x2 = 30
x2 = 4
denklemlerinin ortak çözümüyle (9 , 4) olarak bulunur.
A , B , C noktalar›nda amaç fonksiyonunun ald›¤› de¤erler, aﬂa¤›daki tabloda
gösterilmiﬂtir.
Nokta
(x1 , x2)
Z = 4x1 + 5x2
A
B
C
(0 , 14)
(3 , 8)
(9 , 4)
Z = 4.0 + 5.14 = 70
Z = 4.3 + 5.8 = 52
Z = 9.4 + 4.5 = 56
O halde amaç fonksiyonunu minimum yapan çözüm x1 = 3 , x2 = 8 olmaktad›r.
ÇÖZÜM
Verilen k›s›tlay›c›lar›n grafikleri ile uygun çözüm alan›, taral› olarak aﬂa¤›daki ﬂekilde gösterilmiﬂtir.
Kendimizi S›nayal›m
318
Kendimizi S›nayal›m
1. Bir üretici her biri iki ayr› tezgahta iﬂlenmesi gereken
bisikletler ve motorsiklet gövdeleri üretmektedir. Birinci
tezgah›n kapasitesi 120, ikinci tezgah›n kapasitesi 180 saattir. Bisiklet üretimi 6 saat 1. tezgahta, 4 saat 2. tezgahta
iﬂlenerek, motorsiklet gövdesi üretimi 3 saat 1. tezgahta,
10 saat 2. tezgahta iﬂlenerek gerçekleﬂtirilmektedir. Bisikletten elde edilen kâr 45 birim, motor gövdesinden elde
edilen kâr 55 birim ise,iﬂletmenin kâr›n›n maksimum de¤eri nedir?
Model:
x2
Zmax = 45x1 + 55x2
(0, 40)
6x1 + 3x2 = 120
K›s›tlar:
6x1 + 3x2 ≤ 120
(0, 18)
4x1 + 10x2 ≤ 180
x1 , x2 ≥ 0
4x + 10x = 180
1
(0, 0)
(20, 0)
3. Bir üretici elindeki üç ayr› tezgâh› kullanarak iki farkl›
ürün üretmektedir. Bir birim (I ) üretmek için A tezgâh›nda 2, B tezgâh›nda 1, C tezgâh›nda 6, bir birim (II ) üretmek için A tezgâh›nda 2, B tezgâh›nda 5, C tezgâh›nda 2
saat iﬂlem görmektedir. Planlama döneminde tezgâh kapasiteleri s›ras›yla 24, 44 ve 60 saattir. Parça baﬂ›na I ürününden 6, II ürününden 9 birim kâr edilmektedir. ‹ﬂletmenin
maksimum kâr› ne olur?
x2
(0, 12)
2x1 + 2x2 = 24
6x1 + 2x2 = 60
(4, 8)
(0, 8.8)
Model:
Zmax = 6x1 + 9x2
K›s›tlar:
2x1 + 2x2 ≤ 24
x1 + 5x2 ≤ 44
6x1 + 2x2 ≤ 60
x1 , x2 ≥ 0
x1 + 5x2 = 44
(9, 3)
2
(45, 0)
x1
(0, 0)
(10, 0) (12, 0)
x1
ﬁekil 14.9
ﬁekil 14.7
a. 900
b. 990
c. 1306,25
d. 1650
e. 2700
2. Bir üretici elektrikli el testereleri ve matkaplar üretmektedir. Testerenin maliyeti 6 birim, matkab›n ise 4 birimdir. Taﬂ›ma maliyeti testere için 0,20 birim, matkap
için 0,30 birim. dir. Testere 9 birimden matkap ise 5,5 birimden sat›labilmektedir. ‹ﬂletmenin üretim maliyetleri
için ay›rd›¤› bütçe 2400 taﬂ›ma maliyetleri için ay›rd›¤›
bütçe 120 birim oldu¤una göre, iﬂletme kâr›n› maksimum
yapmak için her bir üründen ne kadar üretmelidir?
x2
Model:
Zmax = 9x1 + 5,5x2
K›s›tlar:
6x1 + 4x2 ≤ 2400
0,2x1 + 0,3x2 ≤ 120
x1 , x2 ≥ 0
(0, 600)
(0, 400)
(240, 240)
(0, 0)
(400, 0)
(600, 0)
x1
a. 60
b. 81
c. 72
d. 96
e. 79,2
4. ‹ki tür mal üretmekte olan bir firma haftal›k talebi karﬂ›layacak üretim program› yapmak istemektedir. Yap›lan
araﬂt›rmaya göre toplam talebin 6 birim oldu¤u anlaﬂ›lm›ﬂt›r. Yönetim, birinci maldan haftada en az 3 birim,
ikinci maldan en az 2 birim üretmek istemektedir. Mallar›n birim maliyetleri s›ras›yla 4 ve 5 birim oldu¤una göre
üretim maliyetini minimum yapacak haftal›k üretim program›n› bulunuz.
x2
6
(3, 3)
2
(3, 2) (4, 2)
(0, 0)
3
ﬁekil 14.10
ﬁekil 14.8
a.
b.
c.
d.
e.
(0,400)
(240,240)
(600,0)
(0,600)
(400,0)
Model:
Zmin = 4x1 + 5x2
K›s›tlar:
x1 + x2 ≤ 6
x1 ≥ 3
x2 ≥ 2
x1 , x2 ≥ 0
a.
b.
c.
d.
e.
(3,2)
(4,2)
(6,0)
(3,5)
(7,2)
6
x1
Kendimizi S›nayal›m
5. Bir iﬂletme 2 tür ürün üretmektedir. Ürünlerin birim
sat›ﬂ›nda elde edilen kârlar s›ras›yla 2 TL ve 1 TL . dir.
Birinci maldan 1 br üretmek için 1 br malzeme, 1 saat
makine ve 2 saat emek, ikinci maldan 1 bir ürütmek için
5 br malzeme, 3 saat makine ve 2 saat emek kullan›lmaktad›r. ‹ﬂletmenin elinde 10 br malzeme, 6 saatlik makine
kapasitesi ve 8 saatlik emek bulundu¤una göre, iﬂletmenin kâr›n› maksimum yapacak üretim program› ne
olmal›d›r?
2x1 + 2x2 = 8
x2
900
400
350
x2 = 350
x2 = 100
100
x1 + 3x2 = 6
(0, 2)
50
x1 + 5x2 = 10
(3, 1)
(4, 0)
(6, 0)
ﬁekil 14.11
Model:
Zmax = 2x1 + x2
K›s›tlar:
x1 + 5x2 ≤ 10
x1 + 3x2 ≤ 6
2x1 + 2x2 ≤ 8
x1 , x2 ≥ 0
(10,0)
(0,2)
(4,0)
(6,0)
(3,1)
(10, 0)
800
300
ﬁekil 14.12
x1
(0, 0)
a.
b.
c.
d.
e.
6. Aﬂa¤›da verilen modelin optimum çözümünü
araﬂt›r›n›z.
300
x2
(0, 4)
319
Model:
Zmax = 2x1 + 6x2
K›s›tlar:
2x1 + 4x2 ≤ 1600
6x1 + 2x2 ≤ 1800
x2 ≤ 350
x1 ≥ 50
x2 ≥ 100
x1 + x2 ≥ 300
x1 , x2 ≥ 0
a.
b.
c.
d.
e.
1000
1600
2200
2300
3000
x1
Kendimizi S›nayal›m
320
7. Bir iﬂletmenin üretti¤i P1 ve P2 ürünleri M1, M2 ve M3
makinelerinde iﬂlenmektedir. P1 ürünü M1 'de 11, M2 'de
7 ve M3 'de 6 dakika, P2 ürünü ise M1 'de 9, M2 'de 12,
M3 'de 16 dakika iﬂlem zaman› gerektirmektedir. M1, M2
ve M3 makinelerinin planlama, dönemindeki kapasiteleri
s›ras›yla 165, 140 ve 160 saattir. P1 'den birim baﬂ›na 900,
P2 'den ise 1000 TL. kâr edildi¤ine göre, iﬂletmenin maksimum kâr› ne olur?
x2
x2
1100
1000
800
700
600
11x1 + 9x2 = 9900
7x1 + 12x2 = 8400
6x1 + 16x2 = 9600
900 1200
ﬁekil 14.13
Model:
Zmax = 900x1 + 1000x2
K›s›tlar:
11x1 + 9x2 ≤ 9900
7x1 + 12x2 ≤ 8400
6x1 + 16x2 ≤ 9600
x1 , x2 ≥ 0
a.
b.
c.
d.
e.
8. Bir çiftlikte yaﬂayan hayvanlar›n beslenmesinde kullan›lan iki farkl› tür yem bulunmaktad›r. M yemi kg baﬂ›na
0.1 kg A, 0.1 kg C, 0.2 kg D, N yemi 0.1 kg B, 0.2 kg C,
0.1 kg D içermektedir. Her bir hayvan›n günlük 0.4 kg A,
0.6 kg B, 2 kg C ve 1.7 kg D ihtiyac› vard›r. 1 kg M 10
TL, 1 kg N 4 TL. oldu¤una göre hayvanlar›n besin ihtiyac›n› karﬂ›layacak ve maliyeti minimum yapacak besleme program›n› bulunuz.
600000
810000
852000
898261
1080000
x
1600 1
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x1 = 4
x2 = 6
2x1 + x2 = 17
x1 + 2x2 = 20
x1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ﬁekil 14.14
Model:
Zmin = 10x1 + 4x2
K›s›tlar:
0,1x1 ≥ 0,4
0,1x2 ≥ 0,6
0,1x1 + 0,2x2 ≥ 2
0,2x1 + 0,1x2 ≥ 1,7
x1 , x2 ≥ 0
a.
b.
c.
d.
e.
(0, 17)
(4, 9)
(4.6, 7.67)
(8, 6)
(20, 0)
x1 ≥ 4
x2 ≥ 6
x1 + 2x2 ≥ 20
2x1 + x2 ≥ 17
Kendimizi S›nayal›m
9. Aﬂa¤›da verilen modelin uygun çözümü aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
x2
Model:
Zmax = 11x1 + 4x2
K›s›tlar:
7x1 + 6x2 ≤ 84
4x1 + 2x2 ≤ 32
x1 , x2 ≥ 0
16
15
4x1 + 2x2 = 32
14
13
12
11
10. Aﬂa¤›da verilen modelin uygun çözümünü araﬂt›r›n›z.
x2
Model:
Zmin = 4x1 - x2
K›s›tlar:
3x1 + x2 ≥ 6
x1 + 4x2 ≥ 4
x1 , x2 ≥ 0
6
5
4
3
2
1
10
9
1
8
7
2
3
4
ﬁekil 14.16
6
5
a. 1
b. 74
11
c. 16
d. 0
e. -6
7x1 + 6x2 = 84
4
3
2
1
x1
1
2
3
4
5
6
7
8
ﬁekil 14.15
a.
b.
c.
d.
e.
(0, 14)
(2.4, 11.2)
(8, 0)
(12, 0)
(16, 0)
9 10
11 12
321
x1
323
Yan›t Anahtarlar›
1
S›ra Sizde Yan›t Anahtar›
SIRA S‹ZDE 1
1. a) {1, 3}
b) {5}
c) {2}
d) {1, 2, 3, 5}
2. a) Ø
e) {a, b, d, e }
b) {b }
f) {c }
c) {a, d, e }
g) {b }
d) {a }
h) {a, c, d, e }
3. A = {a, b, c }
ve
B = {a, c, d }
4. B \ [A » C ]
5. C \ [A » B ]
SIRA S‹ZDE 2
1. a) 31
9
b) 1213
99
c) 13399
99900
2. a) 36,5
b) 5,6
c) 0,83
SIRA S‹ZDE 5
4. a) (-1, 3)
b) (- ∞, -5)
SIRA S‹ZDE 6
1. a) 0
b) 30
3
c) a
d) 3-2
2. a) 5 3
b) -21 2
c) 10
d) 7 7
3. a) 3
b)
1. a) 14
b) 1
b4
3
6
5
2
c)16
SIRA S‹ZDE 7
c) 8
7
2
2. a) {-5, 1}
c) (∞, -7) » (-3, +∞)
b) (3, 11)
Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar›
1. d
6. d
11. c
2. e
7. d
12. e
3. e
8. d
4. b
9. c
5. d
10. e
Biraz Daha Düﬂünelim Yan›t Anahtar›
1. a) 206
33
b) 3910
2. a) 0,428571
b) 0,296
3. a) c < d < b < a
b) c < a < b
999
c) 113
333
d) 3782
3333
ÜN‹TE
324
Yan›t Anahtarlar›
4. a) [4, 7)
b) [-3, 4)
c) (- ∞, 7)
d) [4, 7)
6. a) 2-6
e) 1
b) 4.105
f) 1/4
c) 8.10-3
d) -1
c) -0,2
d)
7. a)
ÜN‹TE
2
15
2
b)
24
213
3
e) 9
3
S›ra Sizde Yan›t Anahtar›
SIRA S‹ZDE 1
1. a) {-4}
b) {-1/2}
c) {1}
d) {5}
2. a) {-1, 2/3}
e) {2/3, 7/4}
›) Ø
b) {-1, 3/2}
f) {-3/2, 2/5}
i) {0, 1/5}
c) {-5/3, 7/11}
g) {-9, 9}
d) {5/4, 3/2}
h) {-7}
3. a) {-5/2, 0, 5/2}
b) {-2, 0}
c) {-7, 0, 5}
d) {0}
1. a) {-∞, -5/3]
b) (-∞, 14/11)
c) [3, ∞)
2. a) {27}
b) {-29}
c) {1}
3. a) (-4, 7)
b) (-7, 13)\{3}
c) (-∞, 3/4] » [11/4, ∞)
SIRA S‹ZDE 2
d) {5}
e) {2/7, 4/5}
Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar›
1. c
6. c
11. e
2. b
7. c
12. d
3. e
8. c
4. c
9. b
5. e
10. a
Biraz Daha Düﬂünelim Yan›t Anahtar›
ÜN‹TE
3
1. a) {-4, 3}
b) {-2}
c) {-2}
3. a) (-∞, 7/4]
b) (-3, ∞)
c) [11/7, 17/7]
4. a) Ø
b) {-9/2, 1/2}
5. a) {3}
b) {5}
S›ra Sizde Yan›t Anahtar›
SIRA S‹ZDE 1
1. a) A ve B nin her ikisi de grafi¤in üstündedir.
b) A grafi¤in üstünde fakat B de¤ildir.
c) A grafi¤in üstünde fakat B de¤ildir.
d) {-2, 2}
Yan›t Anahtarlar›
2. a) Grafik
b) Grafik
keser.
c) Grafik
keser.
d) Grafik
e) Grafik
x - eksenini (1/2, 0), y - eksenini (0, -1) noktas›nda keser.
x - eksenini (1, 0), ve (-2, 0) noktalar›nda, y - eksenini ise (0, -2) noktas›nda
x - eksenini (-1, 0), ve (3, 0) noktalar›nda, y - eksenini ise (0, -3) noktas›nda
x ve y - eksenini (0, 0) da keser.
x - eksenini (4, 0) da, y - eksenini (0, -2) ve (0, 2) noktalar›nda keser.
3. a)
b)
y
-2
2
y
-1
x
1
x
-4
SIRA S‹ZDE 2
1. a) mAB = - 2 ; y = - 2 x
3
3
c) mAB = 1 ; y = x - 3
4
4 4
b) mAB = - 3 ; y = - 3 x + 12
5
5
5
1
1
7
; y=
x +
d) mAB =
2
2
2
2. y = - 3 x + 3
5
3. a) m = -2
b) m = 3/2
4. a) paralel
b) kesiﬂen, kesiﬂim noktas› (3/2, 3/2)
c) kesiﬂen kesiﬂim noktas› (3/2, -1/2)
d) kesiﬂen kesiﬂim noktas› (4/5, 7/5)
e) kesiﬂen kesiﬂim noktas› (-1/10, -7/10)
f) kesiﬂen kesiﬂim noktas› (5, 0)
5. a) y = 3x -3
c) m = 0
325
326
Yan›t Anahtarlar›
SIRA S‹ZDE 3
1. a)
y
b)
y
1/3
5/4
2/3
5/2
c)
d)
y
x
1/3
x
-25/8
y
3
- 3/5
3
x
3/5
x
y
e)
y
f)
5/2
-3
2
x
1
x
1
-7
y
y
g)
h)
5/3
3
x
-2
-25/4
2. a) Tepe noktas› minimum noktad›r T (1, 3)
b) T (2, -9)
c) T (2/3, -1/3)
d) T (-1/4, 7/8)
3. a) Tepe noktas› maksimum noktad›r T (1/4, 1/8)
b) T (0, 1)
-5
-2
1
x
Yan›t Anahtarlar›
SIRA S‹ZDE 4
1. a)
b)
y
y
y > 2x-1
y > 3x
x
1/2
x
-1
c)
d)
y
y
y ≥ (x-1)2
y ≥ x/3
1
x
e)
x
1
y
y
y
2. a)
b)
3
3
x
x
2
-2
c)
d)
y
y
Ç=Ø
x
1
x
327
328
Yan›t Anahtarlar›
e)
f)
y
y
x
g)
x
y
5
x
Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar›
1. c
6. c
11. d
2. d
7. c
12. b
3. d
8. e
4. c
9. d
5. a
10. e
Biraz Daha Düﬂünelim Yan›t Anahtar›
y
1. a)
y
b)
1
-1
x
x + y = -1
d)
y=
y
x2
x
x
y =- x3
2. 1000
3. y = x - 1
4. m = 2, n = -2
x
y = 1- x2
c)
y
1
-1
-1
329
Yan›t Anahtarlar›
5. a)
b)
y
-2
y
3/2
-4
x
1
-2
x
-4
4
S›ra Sizde Yan›t Anahtar›
SIRA S‹ZDE 1
1. V (x) = x (30 - 2x) (20 - 2x)
2. f x = 9 - x2
3. a) f (x ) = 4x
b) f x = 2x2
c) f (x ) = x 2
4. a) (-∞, -1] » [1, ∞)
b) (-3, 0] » [1, +∞)
e) R
c) R \ {-2, 2}
d) R
SIRA S‹ZDE 2
1. a) f 1-1 de¤il, örten, artan veya azalan de¤il
b) f 1-1, örten ve artand›r
c) R \ {1} Æ R \ {1} 1-1 örten ve azalan
d) (-∞, 0] » [1, ∞)
2. a) (i) ( fog )(x ) = 27x2 - 3x - 2
(ii) ( gof )(x ) = -9x2 + 15x + 1
b) (i) fog
x =
2x - 2
(ii) fog
x =
2x2 - 2x - 2
3. a) f
-1
c) f
-1
2x - 1
x = 2x - 3
x- 1
b) f
-1
2
x = x -1
2
d) f
-1
4. a) f (3) - g (2) = -5/4
c) f (t + 1) = t2 - t - 2
b)
x =1+ x- 1
2
x = 2x + 1
2
x -1
f 5
1+ g 3
=6
t +3
d) g t = 2
t
Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar›
1. a
6. a
11. d
2. e
7. e
12. d
3. b
8. a
4. b
9. c
5. c
10. d
ÜN‹TE
330
Yan›t Anahtarlar›
Biraz Daha Düﬂünelim Yan›t Anahtar›
b) (-∞, -3] » [3, +∞)
1. a) R
c) R
d) R
2. a) (i) fog
x = x2 + 2
(ii) ( gof )(x ) = x + 2
b) (i) ( fog )(x ) = |x + 3|
3. a) f -1(x) = x - 2
ÜN‹TE
5
x = 5x + 2
2x - 1
-1
c) f
(ii) ( gof )(x ) = |x | + 3
b) f
-1
x = x+ 5
x- 1
d) f
-1
x =
3
x+ 1
2
S›ra Sizde Yan›t Anahtar›
1. 4) - 1
6
1
9)
2
2. 1) -3
3
6)
6
5) 3
6) Yoktur
7) 10
8) 4
10) 3
11) Yoktur
12) Yoktur
13) 0
2) 1
3) -1
4) 9
5) 2
7) -6
8) 69
9) - 1
10) 0
11) -2
12) 2
16) 1
17) 2
4
3. 1) Yoktur
5) ∞
4. 1) Sürekli de¤il
13) 3
4
14) 2
15) 2
3
2) Yoktur
3) -1
6) ∞
7) - ∞
2) Sürekli
3) Sürekli
4) - ∞
4) Sürekli
Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar›
1. d
6. e
11. c
2. b
7. a
12. e
3. d
8. d
Biraz Daha Düﬂünelim Yan›t Anahtar›
1.
2.
3.
4.
Yoktur
-2
0
Yoktur
4. e
9. d
5. b
10. e
331
Yan›t Anahtarlar›
S›ra Sizde Yan›t Anahtar›
1. 1)
f ' (x 0 ) = -2
2)
2. 1) f '(x ) = -4
6
ÜN‹TE
7
ÜN‹TE
f ' (0) = 0, f '(-1) = -2
g' (x) = 2x + 3
1
l
4) ' (x ) = -2x
5
2) - 2
3
2)
3) k ' (x ) = 3
3. 1) - 1
18
3) -8
2x
4)
3
5) 5
32
2
7) 8 - 2x
2
x2 + 4
9) 3x + 2
3
6)
1
16
8)
5
48
x2 + 1
2
10) 2
2 x+ 1
11) -6x 2 - 4x - 1 - x -2 + 4x -3 - 6x -4
4. 1) y = - 3 x + 4
2) y = -4x + 4
5. 1) 3 x -5/2
8
2) 0,
3)
5
3456
4) - 2
9
Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar›
1. a
6. c
11. a
2. a
7. b
3. e
8. a
4. c
9. e
5. a
10. b
Biraz Daha Düﬂünelim Yan›t Anahtar›
1. 1. - 9
2
2. 17
32
3.
2 2 +1
4 2
2+ 2
S›ra Sizde Yan›t Anahtar›
1. (- ∞, -1) ve (3, ∞) aral›klar›nda artan,
(-1, 3) aral›¤›nda azalan.
2. a) x = - b
2a
b) x = 1
16
c) (2000, 37000)
3. a) (0, ∞)
d) (3, 11)
b) (0, -7)
4. a) x = 0
3
b) y = 2
5. 1764390 TL.
332
Yan›t Anahtarlar›
Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar›
1. b
6. c
11. b
2. d
7. c
3. e
8. a
4. c
9. d
5. a
10. a
Biraz Daha Düﬂünelim Yan›t Anahtar›
1.
2.
y
y
4
80/3
2
26/3
~6,6
x
3
-5/3
ÜN‹TE
2
-1
-4
-5/2
~3,6
-28/3
8
S›ra Sizde Yan›t Anahtar›
SIRA S‹ZDE 1
1.
x
y = 1 in grafi¤i
2
y = 2x in grafi¤i
y
y
1
2
1/2
1
1
x
SIRA S‹ZDE 2
y = 2x
ve y = log2x in grafi¤i
y
y=x
2
y = 2x
1
1
2
y = log2 x
x
x
x
333
Yan›t Anahtarlar›
SIRA S‹ZDE 3
1. y ' = e -x 1- x
2. y ' = ex
2
3
5x 6 + 15x 4 + 2x
2
4. y ' = 4x . 32x . ln3
3
3. y ' = x 3x ex + 2
x
5. y ' = x e -x 3
5
-2 + 3x ln3
1
6. y ' =
2x lnx
2
ax
8. y ' = 2x . a x . lna . lnx + x
2x + 1
x2 + x + 1
6x . ln2 x2+ 1
9. y ' =
x2+ 1
7. y ' =
2
2
10. y ' = 2x . e -x 1-x 2 . lnx 2
Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar›
1. d
6. b
11. c
2. c
7. c
12. c
3. a
8. b
13. b
4. b
9. d
5. b
10. c
9
ÜN‹TE
10
ÜN‹TE
Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar›
1. a
6. a
11. d
2. d
7. b
12. c
3. a
8. b
13. b
4. a
9. b
14. b
5. c
10. b
S›ra Sizde Yan›t Anahtar›
SIRA S‹ZDE 1
1. e -1
2. 9
3. -8
4. 26/3
5. 1/2
6. 48
7. 21
8.
9. -10
10. 2000
11. 81
12.
4 2
3
1 e 20 - 1
2
SIRA S‹ZDE 1
1. 1
2. 2
Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar›
1. d
6. c
2. c
7. d
3. b
4. a
5. d
334
Yan›t Anahtarlar›
ÜN‹TE
11
S›ra Sizde Yan›t Anahtar›
SIRA S‹ZDE 1
1. a) x = -1/2 , y = 0
b) Sonsuz çoklukta çözüm var; t Œ R, x = t, y = 3t -2
c) Çözüm yok
d) x = 3, y = 2
e) x = 2, y = 1
2. a) S›f›r çözüm; x = 0, y = 0
b) Çözüm yok
c) x = 3, y = 2
d) Sonsuz çoklukta çözüm var;
x = t, y = 2t + 3, t Œ R
e) Çözüm yok
f) x = 23 , y = 22
5
5
SIRA S‹ZDE 2
1.
2.
3.
4.
5.
x1 = -5 , x2 = 3
x1 = 1 , x2 = -3 , x3 = 2
x = -14 , y = 20 , z = 5
Çözüm yok
Sonsuz çoklukta çözüm var. t Œ R için
x 1 = - 14 t - 48 , x 2 = - 13 t - 66 , x 3 = t
3
3
19
x3 , x 2 = 1 - 9 x3
6. x 1 = - 1 2
2
7. Tek çözüm s›f›r çözüm.
8. Sonsuz çoklukta çözümü var.
x1 = - 9 x3 , x 2 = - 1 x3
4
4
9. Baylar›n say›s› 66
Bayanlar›n say›s› 34
10. %25 ile yatan miktar 12 milyar
%30 ile yatan miktar 18 milyar
%35 ile yatan miktar 20 milyar
SIRA S‹ZDE 3
75
1. a) p =
2
b) p = 15
4
c) p = 15
2. p = 10 , q = 25
3.
5 , 17
2
4. p1 = 6 , p2 = 8 , q1 = 50 , q2 = 70
335
Yan›t Anahtarlar›
Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar›
1. b
6. a
2. e
7. c
3. c
8. c
4. b
9. e
5. b
10. a
Biraz Daha Düﬂünelim Yan›t Anahtar›
y
1. a)
y
11
2
b)
3x - 4y = 6
1
5x + 2y = 11
4x + 3y = 6
2
11
2
2
-3
2
x + 2y = 2
-2
3
x
3
2
3. (1, -2, 3)
4. %4 lük çözeltiden 30 litre, %9 luk çözeltiden 20 litre kar›ﬂt›r›lmal›d›r.
5. Botun h›z› 8, nehirin h›z› 4 dür.
12
S›ra Sizde Yan›t Anahtar›
SIRA S‹ZDE 1
1. 7
2. x = 4 , y = 9 , z = 0
3.
1 -1 2
-1 1 3
2 3 1
1 -2 3
4. A= -2 1 4
3 4 5
1.
SIRA S‹ZDE 2
0 27
6 17
2. 17
3.
2 2
-3 -1
b)
3 -2
5 -2
c) -2 8
3 -8
d)
4 0
0 4
a)
e)
0 6
-4 -3
ÜN‹TE
336
Yan›t Anahtarlar›
SIRA S‹ZDE 3
1. a)
3 -1 0
3 1 7
b)
1 -1 0
3 7 3
e)
1 1 4
3 2 0
c) B + C tan›ml› de¤il
d)
6 -3 0
9 12 15
6 -1 12
21 37 10
f)
g) AB tan›ml› de¤il
h) -1 1
24 19
j)
9
12
15
i) -1 4
29 0
17
19
25
2
-12
-10
m) -1 1 0
-3 -7 -3
n) -2 1 0
-3 -4 -5
2. a) (56)
b) 56
1 -4
4.
0 1
3
5.
1,20 D =
7. a)
1
0
0
8. 3. firma
SIRA S‹ZDE 4
1. A ile C
2.
600
780
504
408
-2 1
1 0
0
4
0
900 1080
630 996
768 1002
708 732
0
0
625
Yan›t Anahtarlar›
4.
1
0
0
-1
2
0
1
2
3
2
1
2
0
-1
5. A =
-2
1
3
2
-1
2
B -1=
C -1=
1
10
1
20
- 1
2
1
4
1
2
-3
- 7
2
0
1
3
4
0
0
1
4
SIRA S‹ZDE 5
1. a)
b)
1
1
-1
0
1
-1
0
1
= -3
5
x1
x2 =
x3
1 0 2
5 -3 1
1
c) 0
1
-1
d)
x
y
1 -2
3 1
x1
x2
=
x3
x4
1
1
1
1
2. a) 3x1 - 2x2 = -2
x1 + 5x2 = 56
b) x1 + 2x3 = 1
-x1 + x2 = 2
c) 3x1 + x2 + 2x3 = 0
2x1 + x2 + 3x3 = 0
x1 + x2 + x3 = 0
3. a) (6, 10)
-11
-4
6
0
0
0
0
x1
x2
= 3
x3
x4
3 1 5 -1
4. A -1 =
4
2
d) x1 + 2x2 - x3 + 3x3 = 7
b) (4, 5, 6)
2
0
-1
2
1
-1
c) (2, 0, 1, 1)
,
x1
x2 =
x3
-3
5
1
337
338
Yan›t Anahtarlar›
Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar›
1. a
6. d
11. c
2. c
7. d
12. a
3. e
8. e
Biraz Daha Düﬂünelim Yan›t Anahtar›
1. Hammadde miktarlar› matrisi :
A
B
510 250
C
450
D
E
350 230
Toplam hammadde bedeli : 5 890 milyon TL.
ÜN‹TE
13
S›ra Sizde Yan›t Anahtar›
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
|A| = -3
|B| = 1
|C| = 56
|D| = 405
|E| = -420
D=0
D = 120
2
4
11
8. A k =
-8
-6
-19
- 1
5
9. A -1 =
0
0
5
- 2 - 11
5
10
4
5
3
5
19
10
0
0
- 1
2
10. x1 = -1 ,
x2 = 1 , x3 = -2
1
2
11. A -1 =
1
-1
2
1
6
-2
3
1
6
1
3
1
6
1
6
3x1 + x2 + x3 = 12
3x1 - 2x2 + x3 = 9
-3x1 + x2 + x3 = 24
x=
x1
x2
x3
=
-2
1
17
12. A türünden 900 adet, B türünden 1000 adet.
4. b
9. b
5. b
10. b
339
Yan›t Anahtarlar›
Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar›
1. e
2. a
3. b
4. d
5. a
Biraz Daha Düﬂünelim Yan›t Anahtar›
1. a) x1 = -3 - 4t , x2 = 1 - t , x3 = t
b) x1 = -2, x2 = 0, x3 = 3
c) Çözüm yok.
2. a) Tersi yok
1
b)
-1
0
0
1
0
1
-1
0
0
1
0
(t Œ R )
-1
1
-1
1
3. -1728
4. Bir günde üretilen evrak çantas›, el çantas› ve cüzdan say›lar›, s›ras›yla, x , y , z olmak
üzere x = 30 , y = 40, z = 50.
14
Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar›
1. c
6. d
2. e
7. d
3. d
8. b
4. a
9. c
5. c
10. e
ÜN‹TE
340
Yararlan›labilecek Kaynaklar
Yararlan›labilecek Kaynaklar
Caferov, V.; Editör: Üreyen, M.; Analiz, T.C. A.Ü.Aç›kö¤retim Fakültesi Yay›nlar›, No: 600, Eskiﬂehir, 1999.
Çoker, D; Özer, O; Taﬂ, K.; Genel Matematik, Ad›m Yay›nc›l›k, Ankara, 1994.
Frank S. Budnick; Applied Mathematics for Business
and the Social Sciences; Mc Graw-Hell, 1993.
Gö¤üﬂ, M.; Koçak, ﬁ.; Tayfur, C.; Üreyen, M; Matematik
I (Diferansiyel Hesap), Bizim Büro, Ankara, 1984,
Gö¤üﬂ, M.; Koçak, ﬁ.; Üreyen, M.; Matematik I ‹ktisadi
Uygulamal›, Birlik Ofset, Eskiﬂehir, 1993.
Hegarty, J.; Calculus for the Management and Social
Sciences, Allyn and Bacon, Inc. Boston, 1980.
‹nönü, Ö.; Akova, C.; ‹ﬂmen, ‹.; Demirgüç, Z.; Büyük
Matematikçiler I, II, Milli E¤itim Bas›mevi, ‹stanbul
1945, 1947.
Koçak, ﬁ.; Üreyen, M.; Gö¤üﬂ, M.; Olgun, ﬁ., Görgülü, A.;
Editör: Kaya, R.; I. Fasikül, T.C.A.Ü. Aç›kö¤retim
Fakültesi Yay›nlar› No: 115.
Musa ﬁenel; Do¤rusal Programlama Metodu ile Üretim Planlamas›, E‹T‹A Yay›m 1974.
Paul, R.S.; Haeussler, E.F.Jr. Introductory Mathematical
Analysis for Students of Business and Economics, Reston Publishing Company 1973.
Protter, M.H.; Morrey, C.B. A First Course in Real Analysis, Springer Verlag 1977.
Sherman K. Stein, Anthony Barcellos; (Türkçesi Beno Kuryel); Calculus ve Analitik Geometri, Mc GrawHell, 1997.
Dizin
Dizin
Do¤al logaritma 173
Do¤al say›lar 7
A
Do¤ru Denklemi 45, 46
Aç›k aral›k 11, 12
Do¤rusal Denklem 233
Alt küme 4, 7, 10, 11, 37
Do¤rusal Denklem Sistemleri 233, 237, 240
Amaç fonksiyonu 310, 311, 312
Do¤rusal fonksiyon 135
Anl›k h›z 119, 120
Do¤rusal model 248
Ara de¤er teoremi 113
Do¤rusal programlama 309, 310
Arakesit 4, 251
Aral›k 10, 11, 12
Artan fonksiyon 145, 146
E
E¤im 44, 46
Arz-talep fonksiyonlar› 246, 247, 248
E¤im-kesim denklemi 46
Azalan Fonksiyon 145, 146
E¤ri alt›ndaki alan 211
Ekstremum noktas› 149, 151
B
Eﬂde¤er denklem sistemi 241
Ba¤›ml› de¤iﬂken 68
Eﬂitsizlik 10
Ba¤›ms›z de¤iﬂken 68
Evrensel küme 4
Basamak biçimi 240, 241, 242, 243, 274, 275, 276, 281
Basit kesirler 202
Basit kesirlere ay›rma 201
F
Faiz oran› 182
Baya¤› logaritma 173
Fonksiyon 67
Belirli integral 211, 212, 216
Fonksiyon grafi¤i 70
Belirsiz integral 190, 194
Bileﬂik faiz 181, 182
Bileﬂke Fonksiyon 77, 78
G
Gauss yok etme yöntemi 241, 280
Birim matris 257, 265, 271
Geniﬂletilmiﬂ matris 280
Birinci Türev Testi 150
Gerçel say› 7
Blok matris 276, 280, 282
Görüntü kümesi 68, 69
Boﬂ küme 3
Grafik çözüm 315
Bükeylik 154
Büküm noktas› 155, 156, 159
I-‹
‹ç Çarp›m 261
C-Ç
‹kinci Türev Testi 152
Cebirsel ifade 23
‹lkel sat›r iﬂlemleri 274
Cramer Kural› 299
‹ntegral 189, 211
Cramer Yöntemi 299
‹ntegral alma 194, 198, 201
Çift fonksiyon 74
‹ntegral sabiti 190
Çözüm kümesi 23, 27, 28, 30
‹ntegralin s›n›rlar› 211
‹rrasyonel say›lar 7
D
De¤iﬂken 23
De¤iﬂken dönüﬂümü 194, 195, 215, 216
De¤iﬂme özelli¤i 265, 266
Denge fiyat› 246, 247, 248
Denge Miktarlar› 246, 249
Denge noktas› 246
Determinant 291, 292
Determinant aç›l›m› 294
Determinant hesaplamas› 291
Dik koordinat sistemi 37, 247
K
Kapal› aral›k 11
Kare matris 255
Kare sistem 240
Karmaﬂ›k say›lar 8, 9
Katsay›lar matrisi 279
Kesin artan fonksiyon 145
Kesin azalan fonksiyon 145
K›s›tlay›c›lar 313
K›smi integral alma yöntemi 198
341
342
Dizin
Kofaktör 292
Soldan limit 105
Koordinat Düzlemi 37
Sonsuz çoklukta çözüm 235, 237, 238, 240
Köﬂegen matris 268, 269
Sürekli Fonksiyon 109, 111
Kritik nokta 149, 150, 152
Süreklilik 109
Küme 3
Süreksizlik 110
Sütun matris 255
L
Sütun vektör 255
limit 93, 94
Logaritma 171
T
Logaritmik fonksiyon 171
Talep fonksiyonu 193
Logaritmik fonksiyonun grafi¤i 172
Tam say›lar kümesi 7
Te¤et 121
M
Te¤et Denklemi 136
Maliyet fonksiyonu 119, 129
Te¤et do¤rusu 135
Marjinal gelir 139
Tek fonksiyon 74
Marjinal maliyet fonksiyonu 189, 192
Ters fonksiyon 79
Matematiksel model 72, 246
Ters matris 271, 272
Matris 255
Ters türev 190, 191
Matrisin basamak biçimi 240
Tüketici rant› 225
Matris çarp›m› 261
Türev 120, 121
Minör 292
Türev fonksiyonu 139
Monoton fonksiyon 74
Türevlenebilir fonksiyon 121
Mutlak maksimum 112
Mutlak minimum 112
U-Ü
Uygun çözüm alan› 314
O-Ö
Üretici rant› 227
Ondal›k say› 9, 19
Ortalama h›z 119, 120
Örten fonksiyon 74
Üstel fonksiyon 167
Y
Özdeﬂlik 23
Yatay asimptot 157
Yerel Maksimum 148, 149
P
Yerel Minimum 148, 149
Parametre 23
Periyodik fonksiyon 74
Polinom 201
Polinom fonksiyon 82
R
Rasyonel fonksiyon 83, 201
Rasyonel say› 7, 8, 9
S
Sabit fonksiyon 82, 100
Sa¤dan limit 105
Sarrus Kural› 292
Sat›r matris 255
Sat›r vektör 255
Sayma say›lar› 7
S›f›r çözüm 240
S›f›r matris 261
Z
Zincir kural› 131

genel matemat‹k - Akademik Bilgi Sistemi

Products

Support

genel matemat‹k - Akademik Bilgi Sistemi

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib