[a, b] → R fonksiyonu sınırlıise f(x)

KONU 6. ASI·MPTOTI·K EŞI·TLI·KLER
Tan¬m 6.1. E¼
ger f : [a; b] ! R fonksiyonu s¬n¬rl¬ise
f (x) = O(1); x 2 [a; b]
olarak tan¬mlan¬r, yani
jf (x)j
M; 8x 2 [a; b] () f (x) = O(1); x 2 [a; b]:
Benzer olarak,
jf (x)j
jg(x)j
M; 8x 2 [a; b] () f (x) = O(g(x)); x 2 [a; b]
yaz¬l¬r. Ayn¬şekilde
f (x) '(x)
g(x)
M; 8x 2 [a; b] () f (x) = '(x) + O(g(x)); x 2 [a; b]
gibi tan¬mlan¬r. E¼
ger lim f (x) mevcut ve s¬n¬rl¬ise, bu özellik
x!a
f (x) = O(1); x ! a
asimptotik eşitli¼
gi ile yaz¬l¬r.
f (x) = O(g(x)); x ! 1
ve
f (x) = '(x) + O(g(x)); x !
1
benzer biçimde tan¬mlan¬r.
O(1) asimptotik ifadesinden farkl¬olarak, o(1) asimptotik ifadesi s¬f¬ra yak¬nsama anlam¬nda kullan¬l¬r.
f (x) = o(1); x ! 1 () lim f (x) = 0:
x!1
Ayn¬şekilde
f (x) = o(g(x)); x ! a
ve
f (x) = '(x) + o(g(x)); x ! a
tan¬mlan¬r.
Soru 6.2.
cos x = 1 + O(x2 ); x ! 0
asimptotik eşitli¼
gini ispatlay¬n¬z.
1
Çözüm.
lim
x!0
cos x 1
= lim
x!0
x2
sin x
2x
=
1
2
oldu¼
gundan
cos x 1
= O(1); x ! 0 () cos x = 1 + O(x2 ); x ! 0
x2
bulunur.
Soru 6.3.
f (x) = 1 + o(x); x ! 0
ise, f 2 (x) fonksiyonunun x ! 0 için asimptoti¼
gini bulunuz.
Çözüm.
2
f 2 (x) = [1 + o(x)] = 1 + 2o(x) + o(x2 ) = 1 + o(x) + o(x2 ) = 1 + o(x); x ! 0
bulunur.
Al¬şt¬rmalar
1.
ex = 1 + x +
x2
+ O(x3 ); x ! 0
2
oldu¼
gunu ispatlay¬n¬z.
2.
x arctan x
x + = o(1); x ! 1
2
asimptotik eşitli¼
gi gerçekleniyorsa, kaç olmal¬d¬r?
3.
f (x) = 1 + o(x); x ! 0
p
ise, f (x) fonksiyonunun x ! 0 için asimptoti¼
gini bulunuz.
4.
ln(1 + x) = x + O(x2 ); x ! 0
eşitli¼
ginin do¼
grulu¼
gunu ispatlay¬n¬z.
5.
x
1
= O( 2 ); x ! 1
3
1+x
x
oldu¼
gunu gösteriniz.
2