MasColell Ders Notları

MasColell Ders Notları
Murat Donduran
February 20, 2009
Contents
1 İşbirliksiz Oyunların Temel Elemanları
1.1 Oyun Nedir? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Genişleyen Biçimde Oyunlar . . . . . . . . . . . . .
1.3 Stratejiler ve Bir Oyunun Normal Biçimde Sunumu
1.4 Rastlantısallaşmış Seçimler . . . . . . . . . . . . . .
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
3
7
9
Chapter 1
İşbirliksiz Oyunların Temel
Elemanları
1.1
Oyun Nedir?
Bir oyun, stratejik bir birbirine bağımlılık ilişkisi içinde çeşitli sayıda bireylerin durumlarının formal sunumudur. Kısacası, herbir bireyin rafaha sadece kendi eylemine değil
aynı zamanda diğer bireylerin eylemlerine de bağlıdır. Bundan başka, kendisi için en iyi
olan eylem diğer bireylerin ne yapacaklarının beklentisinde de bağlıdır. Stratejik etkileşim
durumunu tanımlamak için, dört şey gereklidir;
1. Oyuncular : Kimler oyunu oynamaktadır?
2. Kurallar : Kim ne zaman oynamaktadır? Hareket ederlerken ne bilmektedirler? Ne
yapabilirler?
3. Çıktılar : Oyuncular tarafından gerçekleştirilen eylemlerin olanaklı her kümesi için,
oyunun çıktısı nedir?
4. Ödemeler : Olanaklı çıktılar üzerinde oyuncuların tercihleri (örneğin fayda fonksiyonları) nedir?
Aşağıdaki örnek bir oyunun ilk üç öğesini göstermektedir.
Örnek 1.1 (Eşleşen Paralar). .
1. Oyuncular: İki oyuncu vardır. 1 ve 2 ile gösterilmektedir.
2. Kurallar: Her iki oyuncu aynı anda havaya iki tane bozuk para atmaktadır. Ya yazı
gelecek ya da tura gelecektir.
3. Çıktılar: İki para eşleşirse, 1. oyuncu 2. oyuncuya 1 lira eşleşmezse 2. oyuncu 1.
oyuncuya 1 lira ödemektedir.
2
Bu örnekteki oyunu tamamlamak için, olanaklı çıktılar üzerinde oyuncuların tercihlerinin ne olduğunu belirtmek gerekmektedir. Kısacası, tanımdaki dördüncü öğe tamamlanmalıdır. Genel olarak, oyuncunun tercihi fayda fonksiyonları tarafından belirlenmektedir ve her olanaklı çıktı için fayda seviyesi atanmaktadır. Oyuncunun fayda fonksiyonuna
ödeme fonksiyonu denmekte ve fayda seviyesi de ödeme olarak adlandırılmaktadır. Analiz
boyunca fayda fonksiyonları beklenen fayda biçiminde olacaktır.
Her oyuncunun ödemesini basit şekilde elde ettiği yada kaybettiği para miktarına
eşitleyerek dördüncü öğe oluşturulabilir. Bu noktada oyuncuların ödemelerini maksimize
eden eylemler rakibinin ne yaptığı beklentisine bağlıdır.
Örnek 1.2 (New York’ta Buluşma). .
1. Oyuncular: İki oyuncu, Ali ile Veli vardır.
2. Kurallar: Her iki oyuncu da ayrıdır ve iletişim içinde değildir. Öğle yemeği için
New York’ta buluşacaklardır ancak nerede buluşacaklarını unutmuşlardır. Herbiri
nereye gideceğine karar vermek zorundadır ve sadece bir şeçim şansı vardır.
3. Çıktılar: Karşılaşırlarsa mutlu olacaklardır. Buluşamazlarsa yemeği yanlız yiyeceklerdir.
4. Ödemeler: Karşılaşırlarsa ödeme 100, ayrı ayrı kalırlarsa 0 birimdir.
Bu örnekte, iki oyuncunun çıkarları bağlantılıdır. Problemleri basitçe koordinasyondur. Yine de, her oyuncunun ödemesi diğer oyuncunun ne yaptığına bağlıdır ve daha da
önemlisi, her oyuncunun optimal eylemi diğerinin ne yapacağını düşünmesine bağlıdır.
Böylece, kordinasyon görevi bile stratejik bir önem kazanmaktadır.
1.2
Genişleyen Biçimde Oyunlar
Yukarıda tanımlanan dört öğe biliniyorsa, oyun genişleyen biçimde gösterilebilir. Genişleyen biçim kim ne zaman hareket edecek, her oyuncu hangi eylemleri gerçekleştirecek,
hareket ettiklerini oyuncular neleri bilmektedir, oyuncular tarafından gerçekleştirilen eylemlerin bir fonksiyonu olarak çıktılar nelerdir, ve her olanaklı çıktıdan elde edilen ödemeler
nelerdir gibi soruların cevaplarını kapsamaktadır.
Genişleyen biçim oyun ağacı olarak bilinen kavramsal araca dayanmaktadır. Basit bir
örnekle başlamak kolaylık sağlayacaktır.
Örnek 1.3 (Eşleşen Paralar Versiyon B ve Genişleyen Biçimi). . Bu versiyon ilk versiyona özdeştir. Sadece iki oyuncu ardışık hareket etmektedir. İlk verisyonda eş-anlı olarak
hareket etmektedirler. Önce birinci oyuncu parası çevirmekte daha sonra ikinci oyuncu
birinci oyuncunun seçimini gördükten sonra parasını çevirmektedir (Bu 2. oyuncu için
gerçekten çok güzel bir oyundur).
3
Bu oyunun genişleyen biçimdeki sunumu şekil (1.1)’de gösterilmektedir. Oyun başlangıç
karar noktasında başlamaktadır (Açık daire ile gösterilmiştir). 1. oyuncunun hareketini
yaptığı yerdir. Yazı mı Tura mı kararını verecektir. 1. oyuncu için her iki olanaklı seçim
bu başlangıç karar noktasından çizilen yollarla gösterilmektedir. Her yolun sonunda bir
başka karar noktası vardır. Buralarda 2. oyuncu 1. oyuncunun seçimini gördükten sonra
iki eylem arasından birini seçecektir. 2. oyuncu hareket ettikten sonra oyun sona erecektir. Varılan noktalara terminal noktalar denmektedir. Her terminal noktada oyuncuların
ödemeleri sırasıyla gösterilmektedir.
1.Oyuncu
b
Yazı
H
2.Oyuncu r
Yazı @ Tura
r
−1, 1
@
@r
1, −1
HHTura
H
HHr2.Oyuncu
Yazı @ Tura
@
@r
r
1, −1
−1, 1
Figure 1.1: Eşleşen Paralar Versiyon B için Genişleyen Biçim
Örnek 1.4 (Eşleşen Paralar Versiyon C ve Genişleyen Biçimi). . Bu versiyon versiyon
B’ye özdeştir. Farklılık 1. oyuncu kararını verdiğinde parayı 2. oyuncuya göstermemektedir. 2. oyuncu hareket etmeden önce 1. oyuncunun seçimi görememektedir.
1.Oyuncu
b
H Tura
Yazı
HH
2.Oyuncu
r
p
p p p p p p p p p p p p p p p p pH
pH
p r
@ Tura
Yazı @ Tura
H
Yazı
r
1, 0
@
@r
r
2, 3
0, 1
@
@r
−1, 0
Figure 1.2: Eşleşen Paralar Versiyon C için Genişleyen Biçim
Bu oyun şekil (1.2)’de gösterilmektedir. Şekil (1.1)’e özdeş sadece 2. oyuncunun karar
noktalarının arasına kesikli çizgi çizilmiştir. Bu çizginin anlamı iki karar noktasının tek
bir enformasyon kümesinde olduğunu belirtmesidir. Bu enformasyon kümesinin anlamı
kısaca şudur; 2. oyuncu hareket edeceği zaman 1. oyuncunun kararını göremediğinden
hangi karar noktasında olduğunu bilemez. 2. oyuncunun enformasyon kümesindeki iki her
iki noktadada aynı olanaklı eylemler vardır. 2. oyuncu iki nokta arasında ayrım yapamaz.
Prensipte, 1. oyuncunun karar noktasının da bir enformasyon kümesi vardır. Çünkü
1. oyuncuda hareket etmeden önce hiçbir şeyin olmadığını bilmektedir. Bu enformasyon
kümesinin bir elemanı vardır (1. oyuncu hareket ettiğinde hangi noktada olduğunu tam
olarak bilmektedir). Kabaca, şekil (1.2)’de de 1. oyuncu için bir enformasyon kümesi
belirtilebilir. Ancak, grafiksel gösterimi basitleştirmek amacıyla bu gösterim kullanılmamaktadır. Bundan dolayı, kesikli çizgilerin olmadığı karar noktalarında enformasyon
kümeleri tekildir (singleton).
4
Bir oyuncunun bütün enformasyon kümelerinin listesi oyuncunun perspektifinden hareketi hakkında ”olayları” ve ”durumları” ayırabilmesinin listesini vermektedir. Örneğin,
örnek (1.1)’de 2. oyuncunun perspektifinden, olabilecek iki ayrılabilir olay vardır. Bunlar
iki tekil enformasyon kümesinden oluşmaktadır. Ancak, örnek (1.4)’de 2. oyuncunun
sadece olanaklı bir tane durumu vardır.
Örnek (1.4)’de, enformasyon kümeleri üzerine doğal bir kısıtlama konmaktadır: veri
bir enformasyon kümesi içindeki her noktada, oyuncunun olanaklı eylemlerinin benzer bir
kümesi olmak zorundadır. Diğer kısıtlama mükemmel hatırlama (perfect recall) olarak
bilinmektedir. Mükemmel hatırlama oyuncunun bir kere öğrendiğini bir daha unutmaması
durumudur.
1.Oyuncu
b
2.Oyuncu r l PP
PP r
PP
2.Oyuncu
PP
Pr
A
A
A
A
A
A
AR
AR
L
L
A
A
A
A
A
A
A
A
1.Oyuncu
pr p p p p p p p p p p p p p pArp p p p p p p p p p p p p p p rp p p p p p p p p p p p p p pAr
A
A
A
A
A y
A y
A y
A y
x
x
x
x
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
r
Ar
Ar
Ar
Ar
r
r
r
Figure 1.3: Mükemmel Hatırlamayı Sağlamayan Bir Oyun Ağacı
Şekil (1.3)’de, 1. oyuncu önceki hareketini unutmaktadır. Aksi belirtilmedikçe bütün
oyunlar mükemmel hatırlama altında oynanacaktır.
Enformayon kümelerinin kullanımı eş-anlı yerine ardışık oyunlara izin vermektedir.
Böylelikle örnek (1.1) de oyun ağacı ile gösterilebilir.
Bu bağlamda kusursuz enformasyonlu oyunun tanımı yapılabilir.
Tanım 1.1. Her enformasyon kümesi sadece tek bir karar noktasını içeriyorsa bu oyun
kusursuz enformasyonlu bir oyundur. Aksi takdirde, oyun kusurlu enformasyonludur.
Örnek 1.5 (Eşleşen Paralar Versiyon D ve Genişleyen Biçimi). . Oyuncular oyunun B
versiyonunu oynamadan önce, iki oyuncu biz bozuk para atarak oyuna kimin başlayacağına
karar vermektedirler. Böylece, 1. ve 2. oyuncu için parayı ilk kullanacak oyuncuyu
seçmede eşit olasılık olacaktır.
Şekil (1.4)’de bu oyun doğanın oyuna başlaması ile gösterilmektedir. Doğa oyuna iki
yola sahip olarak 12 olasılıkla kararını vermektedir. Doğa sabit olasılıklarla iki eylemi
5
Doğa
b
PPP 1
2
PP
1
2
1.Oyuncu r Y A
A
A
2.Oyuncu
r
A
A
Y
AT
A
A
Ar
r
-1,1
AT
A
A
A
A
2.Oyuncu
Ar
A
A
Y
AT
A
A
Ar
r
1,-1 1,-1
PP
2.Oyuncu
P
Pr
A
A
A
AT
Y A
A
A
A
1.Oyuncu
1.Oyuncu
Ar
r
A
A
A
A
Y
Y
AT
AT
A
A
A
A
Ar
Ar
r
r
-1,1 -1,1
1,-1 1,-1
-1,1
Figure 1.4: Eşleşen Paralar Versiyon D
oynamak zorunda olan bir oyuncu olarak eklenmiştir. Şekilde (Y ) yazı, (T ) tura için
kullanılmıştır.
Grafiksel olarak gösterimine ek olarak, genişleyen biçim matematiksel olarak da tanımlanabilir. Formal olarak, genişleyen biçimdeki bir oyun aşağıda sıralanan maddelere sahiptir;
1. Noktaların sonlu kümesi X , olanaklı eylemlerin sonlu kümesi A ve oyuncuların sonlu
kümesi {1, ..., I}.
2. Her x noktasının tek bir ara atasını belirten bir fonksiyon, p : X → {X ∪ ∅},
Başlangıç noktası x0 hariç, bütün x ∈ X için p(x) boş-olmayandır. x noktasının
ara torun noktası o zaman s(x) = p−1 (x) olacaktır. x noktasının bütün ataları
ve torunları kümesi p(x) ve s(x) yinelemesi ile bulunabilir. Bir ağaç yapısı olması
için, ayrık kümeler olmak zorundadır (x noktasının atası torunu olamaz.) Terminal
noktalar kümesi T = {x ∈ X : s(x) = ∅}. Diğer bütün noktaları X \ T karar
noktalarıdır.
3. α : X \ {x0 } → A fonksiyonu başlangıç noktası olmayan bir x noktasına atasından
p(x) bir eylemle gelmektedir ve x0 , x00 ∈ s(x) ve x0 6= x00 ise, α(x0 ) 6= α(x00 ) olan
özelliği sağlamaktadır. x karar noktasında elverişli seçimler kümesi c(x) = {a ∈ A :
Bazı x0 ∈ s(x) noktaları için a = α(x0 )}
4. Enformasyon kümeleri koleksiyonu, H ve H : X → H her x noktasını bir enformasyon kümesine H(x) ∈ H atayan fonksiyon. H koleksiyonundaki enformasyon
kümeleri X kümesinin parçalanışı biçimindedir. Tekil enformasyon kümesine atanmış bütün karar noktalarında aynı seçimler elverişldir. Formal olarak, H(x) = H(x0 )
ise, c(x) = c(x0 ) geçerlidir. Bundan dolayı, H enformasyon kümesindeki elverişli
seçimler C(H) = {a ∈ A : x ∈ H için a ∈ c(x)} şeklinde yazılmaktadır.
6
5. ι : H → {0, 1, ..., I} fonksiyonu, H koleksiyonundaki her enformasyon kümesini
bu kümedeki karar noktasında hareket eden oyuncuya atamaktadır (ya da doğaya
formal olarak 0. oyuncuya atamaktadır.) i. oyuncunun enformasyon kümeleri
koleksiyonu Hi = {H ∈ H : i = ι(H)} şeklinde gösterilmektedir.
6. ρ : P
H0 ×A → [0, 1] fonksiyonu doğanın hareket ettiği ve bütün H ∈ H0 için a ∈
/ C(H)
ve a∈C(H) ρ(H, a) = 1 ise, ρ(H, a) = 0 olan enformasyon kümelerinde eylemlere
olasılık atamaktadır.
7. Ödeme fonksiyonları koleksiyonu, u = {u1 (.), u2 (.), ..., uI (.)}, ulaşılan her terminal
noktada oyunculara fayda atamaktadır; ui : T → R.
Böylece, yukarıdaki maddelerle genişleyen biçimde bir oyun tanımlanmaktadır;
Γ = {X , A, I, p(.), α(.), H, H(.), ι(.), ρ(.), u}
1.3
Stratejiler ve Bir Oyunun Normal Biçimde Sunumu
Oyun teorisinde merkezi kavram oyuncunun stratejisi nosyonudur. Strateji tam bir tesadüfi
plan ya da karar kuralıdır ve hareket etmesi gereken her olanaklı ayrılabilir durumda nasıl
hareket edeceğini belirten bir plan ya da kuraldır. Oyuncunun perspektifinden, böyle durumlar kümesi enformasyonkümelerinin koleksiyonu taraafından belirtilmektedir. Hareket
etme ihtiyacı duyabileceği farklı ayrılabilir durumları belirten her enformasyon kümesine
konu olmaktadır.
Tanım 1.2. Hi ; i oyuncusunun enformasyon kümelerinin koleksiyonu, A oyundaki olanaklı
eylemlerin kümesi, ve C(H) ⊂ A, H enformasyon kümesindeki olanaklı eylemlerin kümesi
olsun. i oyuncusu için bir strateji, bütün H ∈ Hi için si (H) ∈ C(H) olan bir si : Hi → A
fonksiyonudur.
Tam bir tesadüfi plan olarak, strateji genellikle oyunun fiili oynanması sırasında ulaşılamayabilinecek enformasyon kümelerinde oyuncunun eylemlerini belirtmektedir.
Örnek 1.6 (Eşleşen Paralar Versiyon B’de Stratejiler). . Eşleşen paraler versiyon B’de 1.
oyuncu için strateji oyunun başlangıç noktasındaki hareketini belirtmektedir. İki olanaklı
stratejisi vardır: yazı (Y) ya da tura (T) stratejilerini oynayabilir. Diğer taraftan, 2.
oyuncu için strateji, her iki enformasyon kümesinde nasıl (Y yada T) oynayacağını belirtmektedir. Yani, 1. oyuncu Y oynarsa ve 1. oyuncu T oynarsa nasıl oynayacaktır?
Böylece, 2. oyuncunun dört olanaklı stratejisi vardır;
Strateji
Strateji
Strateji
Strateji
1
2
3
4
(s1 ):
(s2 ):
(s3 ):
(s4 ):
1.
1.
1.
1.
oyuncu
oyuncu
oyuncu
oyuncu
Y
Y
T
T
oynarsa,
oynarsa,
oynarsa,
oynarsa,
Y
Y
Y
Y
oyna,
oyna,
oyna,
oyna,
7
1.
1.
1.
1.
oyuncu
oyuncu
oyuncu
oyuncu
Y oynarsa, T oyna.
T oynarsa, T oyna.
Y oynarsa, T oyna.
T oynarsa, T oyna.
Örnek 1.7 (Eşleşen Paralar Versiyon C’de Stratejiler). . Eşleşen paralar oyununun C
versiyonunda, 1. oyuncunun stratejileri versiyon B’deki ile aynıdır. Fakat 2. oyuncunun sadece iki olanaklı stratejisi vardır. ”Y” ya da ”T” oynamak, çünkü sadece bir tane
enformasyon kümesi vardır.
I-oyunculu bir oyunda oyuncuların strateji seçimlerinin profilini s = (s1 , ..., sI ) vektörü
ile göstermek uygundur. si , i. oyuncunun seçilen stratejisi belirtmektedir. Kısaca yazmak
için, bazen s strateji profili (si , s−i ) şeklinde gösterilecektir. s−i , i. oyuncu dışındaki
oyuncuların (I − 1) boyutundaki strateji vektörüdür.
Oyuncuları için stratejilerin her profili s = (s1 , ..., sI ), oyunun çıktısına neden olmaktadır. Böylece, herhangi bir strateji profili için, s = (s1 , ..., sI ), her oyuncu tarafından
elde edilen ödemeler ortaya çıkacaktır. Bundan dolayı, oyun direk olarak stratejiler ve
ilgili ödemeleri ile belirlenebilir. Bir oyunun sunmanın ikinci yolu normal (ya da stratejik)
biçim olarak bilinen yöntemle olacaktır. Bu genişleyen biçimdeki bir oyunun kısaltılmış
halidir.
Tanım 1.3. I oyuncu ile bir oyun için, ΓN normal biçim sunumu her i oyuncusu için
stratejiler kümesi Si (si ∈ Si ile) ve ui (s1 , ..., sI ) ödeme fonksiyonu ile belirtilmektedir.
ui (s1 , ..., sI ), (s1 , ..., sI ) stratejilerinden ortaya çıkan (muhtemelen rastlantısal) çıktılar ile
ilgili von Neumann-Morgenstern fayda seviyelerini vermektedir. Formal olarak,
ΓN = [I, {Si }, {ui (.)}]
şeklinde yazılmaktadır.
Gerçekte, normal biçimde bir oyunu tanımlarken, her strateji için spesifik hareketlerin
kaydını tutmaya ihtiyaç yoktur. Oyuncunun çeşitli olanaklı stratejilerini i. oyuncunun
strateji kümesi Si = (s1i , s2i , ...) şeklinde yazarak basitçe sayılabilir ve her strateji numarası ile ifade edilebilir.
Örnek 1.8 (Eşleşen Paralar Versiyon B’nin Normal Biçimi). . Örnek (1.6)’de iki oyuncunun strateji kümeleri tanımlanmıştır. Ödeme fonksiyonları aşağıdaki şekildedir;
(
+1, (s1 , s2 ) = (H, 3 ya da 4 stratejileri) yada (T, 1 ya da 3 stratejileri) ise
u1 (s1 , s2 ) =
−1, (s1 , s2 ) = (H, 1 ya da 2 stratejileri) yada (T, 2 ya da 4 stratejileri) ise
ve u2 (s1 , s2 ) = −u1 (s1 , s2 ). Bu bilgileri şekil (1.5)’de özetlemek olanaklıdır. Her bir
hücrede, iki oyuncunun ödemeleri u1 (s1 , s2 , u2 (s1 , s2 ) olarak gösterilmiştir.
8
1. Oyuncu
s1
−1, +1
+1, −1
Y
T
2. Oyuncu
s2
s3
−1, +1 +1, −1
−1, +1 +1, −1
s4
+1, −1
−1, +1
Figure 1.5: Eşleşen Paralar Versiyon B Normal Biçimi
2.Oyuncu
b
P
@ PPP
PP
@
PP d
a
b
c
PP
@
PP
@
P
1. Oyuncu @p rp p p p p p p p p p p p p pPp P
p p p p p p p p p p p p p p p p p p rp p p p p p p p p p p p p p p p p p p @
p pP
p pP
p r
rp p @ R
L @ R
L @ R
L @ R
@
@
@
@
@r
@r
@r
@r
r
r
r
L
r
−1, +1
+1, −1
−1, +1
−1, +1
+1, −1
+1, −1
+1, −1
−1, +1
Figure 1.6: Yukarıdaki Normal Biçimin Genişleyen Biçimi
Yukarıdaki normal biçimdeki oyun şekil (1.6)’de genişleyen biçimde gösterilmektedir.
Oyundaki davranışları incelemek için normal biçim sunumunu kullanmaktaki mantık,
oyuncunun karar problemini rakibinin benimseyeceğini düşündüğü stratejileri veri kabul
ederek stratejisini seçmesi olarak düşünülmektedir. Çünkü her oyuncu bu problemle karşı
karşıyadır, oyuncular stratejilerini eş-anlı olarak {Si } kümelerinden seçtikleri düşünülmektedir.
1.4
Rastlantısallaşmış Seçimler
Bu bölüme kadar oyuncuların seçimlerini belirlilik (kesinlik) altında yaptıkları varsayılmıştır.
Bununla beraber, birseçimle karşılaşan oyuncunun rastlantısallaştırma olanağını dışlamanın önsel (priori) bir nedeni yoktur. Tanım (1.3)’de belirtildiği gibi, deterministik bir
strateji, pür strateji olarak da adlandırılabilir. i oyuncusu için her H ∈ H enformasyon
kümesinde si (H) deterministik seçimini belirtmektedir. i oyuncusunun (sonlu) pür stratejiler kümesi Si olsun. Oyuncunun rastlantısallaştırmasının yolu bu kümeden rastlantısal
olarak bir elemanı seçmesidir. Bu tip rastlantısallaştıma durumunda karma strateji söz
konusudur.
Tanım 1.4. i oyuncusunun
veri (sonlu) pür strateji kümesi Si ile, karma stratejisi, σi :
P
Si → [0, 1] sayesinde, si ∈Si σi (si ) = 1 koşulunu sağlayan σi (si ) ≥ 0 olasılığını her pür
si ∈ Si stratejisine atamaktadır.
9
i oyuncusunun M tane pür stratejisi olsun; Si = {s1i , ..., sM i }. i oyuncusunun olanaklı
karma stratejiler kümesi bundan dolayı aşağıdaki simpleksin noktalarıyla ilgilidir;
(
∆(Si ) =
(σ1i , ..., σM i ) : bütün m = 1, ..., M için σmi ≥ 0 ve
M
X
)
σmi = 1
m=1
Bu simpleks Si kümesinin karma genişlemesi olarak adlandırılmaktadır. Pür strateji, Si
kümesinin elemanları üzerindeki olasılık dağılımının yozlaştığı (degenerate) karma stratejilerin özel bir durumu olarak da görülebilir.
10

Download

MasColell Ders Notları

Products

Support

MasColell Ders Notları

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib