5.1 Ölçüsel Yak¬nsakl¬k SORU 1: f : [a; b] ! R fonksiyonu diferensiyellenebilir fonksiyon olsun. E¼ ger 0 0 f türevi [a; b] aral¬g¼¬nda düzgün s¬n¬rl¬ ise f fonksiyonu Lebesgue anlam¬nda integrallenebilirdir ve Z 0 f d = f (b) f (a) [a;b] d¬r. Gösteriniz. ÇÖZÜM 1: f : R ! R fonksiyonu diferensiyellenebilir ve 8x 2 [a; b] için 0 f (x) M olacak şekilde M > 0 sabitini dikkate alal¬m. 8 > > < f (a) + f 0 (a) (x a) ; x < a f (x) = > > : f (b) + f 0 (b) (x b) ; x > b olarak tan¬mlans¬n. f fonksiyonu R üzerinde tan¬ml¬ve diferensiyellenebilir oldu¼ gu kabul edilebilir.x 2 R için fn (x) = n f x+ 1 n f (x) ile tan¬ml¬ (fn ) diferensiyellenebilir fonksiyonlar dizisini dikkate alal¬m. Herbir 0 x 2 R için fn (x) ! f (x) sa¼ glan¬r. Ortalama de¼ ger teoremi kullan¬l¬rsa herbir x 2 R için jfn (x)j M oldu¼ gu görülmektedir. Dolay¬s¬yla Lebesgue yak¬nsak0 l¬k teoremi dikkate al¬n¬rsa, f fonksiyonu [a; b] aral¬g¼¬nda Lebesgue anlam¬nda 1 integrallenebilir ve Z 0 f d = lim n!1 (1) fn (x) dx a [a;b] sa¼ glan¬r. u = x + Zb 1 n de¼ gişken de¼ giştirmesi yap¬l¬rsa 8 b 9 Zb Zb <Z = 1 fn (x) dx = n f x+ dx f (x) dx : ; n a a a 8 1 9 b+ n b > > Z Z < = = n f (u) du f (x) dx > > : 1 ; a a+ n 8 1 9 1 b+ n a+ n > > Z Z < = = n f (x) dx f (x) dx > > : ; a b 1 b+ n = R 1 a+ n R f (x) dx b f (x) dx a 1 n ! f (b) 1 n f (a) bulunur. (1) ifadesi yard¬m¬yla istenilen elde edilir. SORU 2: (fn ) ölçülebilir fonksiyonlar¬n bir dizisi ve f : X ! R fonksiyon olsun. 8 > 0 için lim n!1 (fx 2 X : jfn (x) f (x)j g) = 0 sa¼ glans¬n. Bu durumda f fonksiyonu ölçülebilirdir. Gösteriniz. ÇÖZÜM 2: (kn ) pozitif tamsay¬lar¬n artan dizisi öyle ki 8k > kn için x 2 X : jfk (x) f (x)j 2 1 n <2 n sa¼ glans¬n. 8n 2 N için En = kümesi ve E = 1 S 1 T m=1 n=m x 2 X : jfkn (x) 1 [ En n=m öyle ki x 2 = 1 n En tan¬mlans¬n. Bu durumda 8m 2 N için (E) sa¼ glan¬p f (x)j ! 1 X (En ) 21 m n=m (E) = 0 olur. Ayr¬ca, e¼ ger x 2 = E ise bu durumda bir m 2 N vard¬r 1 S n=m En ve 8n m için jfkn (x) f (x)j < 1 n sa¼ glan¬r. Böylece x 2 = E için lim fkn (x) = f (x) ve hemen hemen heryerde fkn ! f sa¼ glan¬r. Bu ise f fonksiyonunun ölçülebilir olmas¬n¬gerektirir. 3